La nième racine d'un complexe complexe. Puissance avec un exposant rationnel arbitraire

nombres sous forme trigonométrique.

La formule de Moivre

Soit z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) et z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

La forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe est pratique à utiliser pour effectuer les opérations de multiplication, de division, d'élévation à une puissance entière et d'extraction de la racine du degré n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + je péché( 1 +  2)).

En multipliant deux nombres complexes sous forme trigonométrique, leurs modules sont multipliés et leurs arguments s'ajoutent. Lors de la division leurs modules sont divisés et leurs arguments sont soustraits.

Un corollaire de la règle de multiplication d'un nombre complexe est la règle d'élévation d'un nombre complexe à une puissance.

z = r(cos  + je péché ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ce rapport est appelé La formule de Moivre.

Exemple 8.1 Trouver le produit et le quotient des nombres :

Et

Solution

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Exemple 8.2 Écrire un nombre sous forme trigonométrique

∙
–i)7 .

Solution

Notons
et z 2 =
- je.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 ; ;

 1 = arg z 1 = arctan
;

z 1 =
;

r2 = |z2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2 ;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Extraire la racine d'un nombre complexeDéfinition. Racine n
la puissance d'un nombre complexe z (désigne) s'appelle
= 0.

nombre complexe

w tel que w n = z. Si z = 0, alors

Soit z  0, z = r(cos + isin). Notons w = (cos + sin), puis on écrit l'équation w n = z sous la forme suivante

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

D’où  n = r,

Ainsi sem =

Parmi ces valeurs, il y en a exactement n différentes.
Donc k = 0, 1, 2,…, n – 1.

Sur le plan complexe, ces points sont les sommets d'un n-gone régulier inscrit dans un cercle de rayon

avec centre au point O (Figure 12). Figure 12
.

Exemple 9.1

Trouver toutes les valeurs

Solution.
Représentons ce nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument.

w k =
.

, où k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

Sur le plan complexe, ces points sont les sommets d'un carré inscrit dans un cercle de rayon

avec le centre à l’origine (Figure 13). Figure 12
.

Exemple 9.1

Figure 13 Figure 14

Solution.
Exemple 9.2

w k =
z = – 64 = 64(cos +isin);
;

w 0 =
, où k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

Sur le plan complexe, ces points sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 2 de centre au point O (0 ; 0) - Figure 14.

§ 10 Forme exponentielle d'un nombre complexe.

La formule d'Euler

Notons
= cos  + isine  et
= cos  - isine  . Ces relations sont appelées .

Les formules d'Euler
Fonction

a les propriétés habituelles d'une fonction exponentielle :

Soit le nombre complexe z sous forme trigonométrique z = r(cos + isin).

En utilisant la formule d'Euler, on peut écrire :
.

z = r Cette entrée s'appelle forme exponentielle

nombre complexe. En l'utilisant, nous obtenons les règles de multiplication, de division, d'exponentiation et d'extraction de racine.
Si z 1 = r 1 ·
et z 2 = r 2 ·

?Que
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, où k = 0, 1, … , n – 1. Exemple 10.1

Écrire un nombre sous forme algébrique
.

Exemple 9.1

z = Exemple 10.2

Exemple 9.1

Résolvez l'équation z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Pour tout coefficient complexe, cette équation a deux racines z 1 et z 1 (éventuellement coïncidant). Ces racines peuvent être trouvées en utilisant la même formule que dans le cas réel. Parce que

prend deux valeurs qui ne diffèrent que par le signe, alors cette formule ressemble à :
Puisque –9 = 9 e  i, alors les valeurs

il y aura des numéros :
Alors
.

Exemple 9.1

Résolvez les équations z 3 +1 = 0 ; z 3 = – 1.
.

Les racines requises de l'équation seront les valeurs

Solution.
Pour z = –1 nous avons r = 1, arg(–1) = .

, k = 0, 1, 2.

Exercices

g)

d) 7(cos0 + isin0).

11 Écrivez les nombres sous des formes algébriques et géométriques :

12 numéros sont donnés
.

En les présentant sous forme exponentielle, trouvez

13 En utilisant la forme exponentielle d'un nombre complexe, effectuez les étapes suivantes :
UN)

b)
V)

d) Avec Et § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe 2 .

nombre naturel Numéro complexe Z appelé§ 9 Extraire la racine d'un nombre complexe– racine c Numéro complexe § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = racine.

, Si § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe– Retrouvons toutes les valeurs de la racine d) oh puissance d'un nombre complexe racine=| racine|·(. Laisser parce que racine+ Arg· je parce quepéché Avec), Numéro complexe = | Numéro complexeUN|·(avec parce que Numéro complexe + Arg· je parce que Numéro complexe) système d'exploitation Numéro complexe, Où § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe- Retrouvons toutes les valeurs de la racine d) racine = racine = | racine|·(. Laisser parce que racine+ Arg· je parce que. Alors ça doit être Avec)
. Il s'ensuit que § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe· parce que Numéro complexe = parce queEt
parce que Numéro complexe =
(Avec=0,1,…) k Numéro complexe =
(. Laisser
+ Arg· je
), (Avec=0,1,…) . Ainsi,
, (Avec=0,1,…) . Il est facile de voir que n'importe laquelle des valeurs
,(Avec = 0,1,…, § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe-1) diffère de l'une des valeurs correspondantes par plusieurs 2π (Avec = 0,1,…, § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe-1) .

. C'est pourquoi,

Exemple..

Calculons la racine de (-1) |-1| = 1, , évidemment (-1) = π

argument. Laisser π + Arg· je π )

, -1 = 1·(

= Arg

(k = 0, 1).

Puissance avec un exposant rationnel arbitraire d) Prenons un nombre complexe arbitraire § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe. Si d) § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = | racine| § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe nombre naturel, alors|·(avec ·(AvecnArgArg· je ·(Avec. Alors ça doit être s + § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = 0 ((6). Cette formule est également vraie dans le cas)
oh puissance d'un nombre complexe § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe < 0 s≠0 § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe Numéro complexe Avec Et s ≠ 0

d) § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe =
, Alorsd)(parce que nArgd)) = , Alorsd)+i·sin nArgd)) + i·sin nArg § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe.

. Ainsi, la formule (6) est valable pour tout système d'exploitation Prenons un nombre rationnel q nombre naturel, et r

est entier. Puis sous racine degré nous comprendrons le numéro
.

Nous obtenons cela ,

(Avec = 0, 1, …, Prenons un nombre rationnel-1). Ces valeurs Prenons un nombre rationnel morceaux, si la fraction n'est pas réductible.

Cours n°3 La limite d'une séquence de nombres complexes

Une fonction à valeurs complexes d'un argument naturel est appelée séquence de nombres complexes et est désigné (Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) ou d) 1 , Avec 2 , ..., Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe . d) § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = un § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe + b § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe · Arg (§ 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = 1,2, ...) nombres complexes.

d) 1 , Avec 2 , … - membres de la séquence ; Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe – membre commun

nombre naturel d) = un+ b· Arg Z limite d'une séquence de nombres complexes (racine § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) système d'exploitation d) § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = un § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe + b § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe · Arg (§ 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = 1, 2, …) , où pour tout

ça devant tout le monde § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe > N l’inégalité persiste
. Une suite ayant une limite finie est appelée convergent séquence.

Théorème.

Pour qu’une suite de nombres complexes (avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) (Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = un § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe + b § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe · Arg) a convergé vers un nombre avec = un+ b· Arg, est nécessaire et suffisant pour que l’égalité soit respectéelim un § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = un, lim b § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = b.

Preuve.

Nous allons démontrer le théorème en nous basant sur la double inégalité évidente suivante

, Où Numéro complexe = x + oui· Arg (2)

Nécessité. Laisser lim(Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) = s. Montrons que les égalités sont vraies lim un § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = un Avec lim b § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe = b (3).

Évidemment (4)

Parce que
, Quand § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe → ∞ , alors du côté gauche de l'inégalité (4) il s'ensuit que
. Il s'ensuit que
, Quand § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe → ∞ . donc les égalités (3) sont satisfaites. La nécessité est avérée.

Adéquation. Supposons maintenant que les égalités (3) soient satisfaites. De l'égalité (3) il résulte que
. Il s'ensuit que
, Quand § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe → ∞ , donc, en raison du côté droit de l’inégalité (4), ce sera
, Quand § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe→∞ , Moyens lim(Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe )=c. La suffisance a été prouvée.

Ainsi, la question de la convergence d'une séquence de nombres complexes équivaut à la convergence de deux séquences de nombres réels, donc toutes les propriétés fondamentales des limites des séquences de nombres réels s'appliquent aux séquences de nombres complexes.

Par exemple, pour les suites de nombres complexes le critère de Cauchy est valable : pour qu'une séquence de nombres complexes (avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) converge, il faut et il suffit que pour tout

, que pour tout§ 9 Extraire la racine d'un nombre complexe, m > Nl’inégalité persiste
.

Théorème.

Soit une suite de nombres complexes (avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) Et (z § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) convergent vers c et respectivementz, alors les égalités sont vraieslim(Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe z § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) = racine z, lim(Avec § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe · z § 9 Extraire la racine d'un nombre complexe ) = racine· z. Si l'on sait avec certitude quezn'est pas égal à 0, alors l'égalité est vraie
.