Les coordonnées du centre de gravité de la formule du trapèze. La position du centre de masse. Caractéristiques géométriques d'un triangle isocèle

Dans la pratique de l'ingénierie, il arrive qu'il devienne nécessaire de calculer les coordonnées du centre de gravité d'une figure plate complexe constituée d'éléments simples pour lesquels l'emplacement du centre de gravité est connu. Cette tâche fait partie de la tâche de déterminer...

Caractéristiques géométriques des sections mixtes de poutres et de tiges. De telles questions sont souvent rencontrées par les ingénieurs concepteurs de matrices de poinçonnage lors de la détermination des coordonnées du centre de pression, les développeurs de schémas de chargement pour divers véhicules lors du placement des charges, les concepteurs de construction de structures métalliques lors de la sélection de sections d'éléments et, bien sûr, les étudiants lors de leurs études. les disciplines "Mécanique Théorique" et "Résistance des Matériaux".

Bibliothèque de figures élémentaires.

Pour les figures planes symétriques, le centre de gravité coïncide avec le centre de symétrie. Le groupe symétrique d'objets élémentaires comprend : un cercle, un rectangle (dont un carré), un parallélogramme (dont un losange), un polygone régulier.

Sur les dix chiffres présentés dans la figure ci-dessus, seuls deux sont de base. Autrement dit, en utilisant des triangles et des secteurs de cercles, vous pouvez combiner presque toutes les figures d'intérêt pratique. Toutes les courbes arbitraires peuvent être divisées en sections et remplacées par des arcs de cercles.

Les huit chiffres restants sont les plus courants, c'est pourquoi ils ont été inclus dans ce type de bibliothèque. Dans notre classification, ces éléments ne sont pas fondamentaux. Un rectangle, un parallélogramme et un trapèze peuvent être composés de deux triangles. Un hexagone est la somme de quatre triangles. Le segment du cercle est la différence entre le secteur du cercle et le triangle. Le secteur annulaire du cercle est la différence entre les deux secteurs. Un cercle est un secteur de cercle d'angle α=2*π=360˚. Un demi-cercle est respectivement un secteur de cercle d'angle α=π=180˚.

Calcul sous Excel des coordonnées du centre de gravité d'une figure composée.

Il est toujours plus facile de transmettre et de percevoir une information en considérant un exemple que d'étudier la question sur des calculs purement théoriques. Considérez la solution au problème "Comment trouver le centre de gravité?" sur l'exemple d'une figure composée montrée dans la figure sous ce texte.

Une section composée est un rectangle (de dimensions un1 =80 millimètres, b1 \u003d 40 mm), auquel un triangle isocèle a été ajouté en haut à gauche (avec la taille de la base un2 =24 mm et hauteur h2 \u003d 42 mm) et à partir duquel un demi-cercle a été coupé en haut à droite (centré au point de coordonnées X03 =50mm et y03 =40 mm, rayon r3 =26mm).

Pour vous aider à effectuer le calcul, nous allons impliquer le programme Microsoft Excel ou programme Oo Calc . N'importe lequel d'entre eux fera facilement face à notre tâche!

Dans les cellules avec jaune le remplissage est faisable préliminaire auxiliaire calculs .

Dans les cellules avec un remplissage jaune clair, nous comptons les résultats.

Bleu la police est donnée initiale .

Noir la police est intermédiaire résultats de calcul .

Rouge la police est final résultats de calcul .

Nous commençons à résoudre le problème - nous commençons à rechercher les coordonnées du centre de gravité de la section.

Donnée initiale:

1. Les noms des figures élémentaires qui forment la section composite seront saisis en conséquence

à la cellule D3 : Rectangle

à la cellule E3 : Triangle

à la cellule F3 : Demi-cercle

2. A l'aide de la "Bibliothèque de figures élémentaires" présentée dans cet article, on détermine les coordonnées des centres de gravité des éléments de la section mixte xci et yci en mm par rapport aux axes 0x et 0y choisis arbitrairement et écrivez

à la cellule D4 : =80/2 = 40,000

xc 1 = un 1 /2

à la cellule D5 : =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

à la cellule E4 : =24/2 =12,000

xc 2 = un 2 /2

à la cellule E5 : =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

à la cellule F4 : =50 =50,000

xc 3 = X03

à la cellule F5 : =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Calculer l'aire des éléments F 1 , F 2 , F3 en mm2, en reprenant les formules de la section "Bibliothèque des figures élémentaires"

dans la cellule D6 : =40*80 =3200

F1 = un 1 * b1

dans la cellule E6 : =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

dans la cellule F6 : =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

L'aire du troisième élément - le demi-cercle - est négative car cette découpe est un espace vide !

Calcul des coordonnées du centre de gravité :

4. définissons superficie totale chiffre final F0 en mm2

dans la cellule fusionnée D8E8F8 : =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Calculer les moments statiques de la figure composite Sx et Oui en mm3 par rapport aux axes sélectionnés 0x et 0y

dans la cellule fusionnée D9E9F9 : =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

dans la cellule fusionnée D10E10F10 : =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Oui = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Et enfin, nous calculons les coordonnées du centre de gravité de la section mixte Xc et Oui en mm dans le système de coordonnées sélectionné 0x - 0y

dans la cellule fusionnée D11E11F11 : =D10/D8 =30,640

Xc = Oui / F0

dans la cellule fusionnée D12E12F12 : =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

La tâche est résolue, le calcul dans Excel est terminé - les coordonnées du centre de gravité de la section, compilées à l'aide de trois éléments simples, sont trouvées!

Conclusion.

L'exemple de l'article a été choisi pour être très simple afin de faciliter la compréhension de la méthodologie de calcul du centre de gravité d'une section complexe. La méthode réside dans le fait que toute figure complexe doit être divisée en éléments simples avec lieux célèbres l'emplacement des centres de gravité et effectuer les calculs finaux pour l'ensemble de la section.

Si la section est composée de profils laminés - coins et canaux, il n'est pas nécessaire de les diviser en rectangles et en carrés avec des secteurs circulaires découpés "π / 2". Les coordonnées des centres de gravité de ces profils sont données dans les tables GOST, c'est-à-dire que le coin et le canal seront des éléments élémentaires de base dans vos calculs de sections composites (cela n'a aucun sens de parler de poutres en I, de tuyaux , barres et hexagones - ce sont des sections à symétrie centrale).

L'emplacement des axes de coordonnées sur la position du centre de gravité de la figure, bien sûr, n'affecte pas! Par conséquent, choisissez un système de coordonnées qui simplifie vos calculs. Si, par exemple, je faisais pivoter le système de coordonnées de 45˚ dans le sens des aiguilles d'une montre dans notre exemple, le calcul des coordonnées des centres de gravité d'un rectangle, d'un triangle et d'un demi-cercle se transformerait en une autre étape de calcul distincte et fastidieuse que vous ne pouvez pas faire " dans ta tête".

Le fichier de calcul Excel suivant dans ce cas n'est pas un programme. Il s'agit plutôt d'une esquisse d'une calculatrice, d'un algorithme, d'un modèle qui suit dans chaque cas. créez votre propre séquence de formules pour les cellules avec un remplissage jaune vif.

Alors, maintenant vous savez comment trouver le centre de gravité de n'importe quelle section ! Un calcul complet de toutes les caractéristiques géométriques des sections composites complexes arbitraires sera considéré dans l'un des prochains articles dans la rubrique "". Suivez l'actualité sur le blog.

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Quelques mots sur un verre, une pièce de monnaie et deux fourchettes, qui sont représentés sur «l'icône-illustration» au tout début de l'article. Beaucoup d'entre vous connaissent certainement ce "truc" qui suscite des regards admiratifs d'enfants et d'adultes non initiés. Le sujet de cet article est le centre de gravité. C'est lui et le point d'appui, jouant avec notre conscience et notre expérience, trompant simplement notre esprit !

Le centre de gravité du système "fourchettes + pièce" est toujours situé sur fixé distance verticale vers le bas du bord de la pièce, qui à son tour est le point d'appui. C'est une position d'équilibre stable ! Si vous secouez les fourches, il devient immédiatement évident que le système s'efforce de reprendre son ancienne position stable ! Imaginez un pendule - un point d'attache (= le point d'appui de la pièce sur le bord du verre), une tige-axe du pendule (= dans notre cas, l'axe est virtuel, puisque la masse des deux fourchettes est séparé dans différentes directions de l'espace) et la charge au bas de l'axe (= le centre de gravité de l'ensemble du système "fourche" + pièce"). Si vous commencez à dévier le pendule de la verticale dans n'importe quelle direction (avant, arrière, gauche, droite), il reviendra inévitablement à sa position d'origine sous l'influence de la gravité. état d'équilibre stable(la même chose se produit avec nos fourchettes et pièces de monnaie) !

Qui n'a pas compris, mais veut comprendre - découvrez-le vous-même. C'est très intéressant de "s'atteindre" soi-même ! J'ajouterai que le même principe d'utilisation d'un équilibre stable est également mis en œuvre dans le jouet Roly-Get Up. Seul le centre de gravité de ce jouet est situé au-dessus du point d'appui, mais en dessous du centre de l'hémisphère de la surface d'appui.

Vos commentaires sont toujours les bienvenus, chers lecteurs !

je supplie, RESPECTANT travail de l'auteur, télécharger le fichier APRÈS LA SOUSCRIPTION pour les annonces d'articles.

La technique mathématique de calcul du centre de masse appartient au domaine des cours de mathématiques ; il y a des tâches similaires bons exemples par calcul intégral. Mais même si vous savez intégrer, il est utile de connaître quelques astuces pour calculer la position du centre de masse. L'une de ces astuces est basée sur l'utilisation du soi-disant théorème de Pappus, qui fonctionne comme suit. Si nous prenons une figure fermée et formons un corps rigide en faisant tourner cette figure dans l'espace de sorte que chaque point se déplace perpendiculairement au plan de la figure, alors le volume du corps formé dans ce cas est égal au produit de l'aire de ​​\u200b\u200ble chiffre et la distance parcourue par son centre de gravité ! Bien sûr, ce théorème est également vrai dans le cas où une figure plate se déplace le long d'une ligne droite perpendiculaire à son aire, mais si nous la déplaçons le long d'un cercle ou d'un autre

courbe, on obtient alors un corps beaucoup plus intéressant. Lors d'un déplacement le long d'un chemin courbe, l'intérieur de la figure avance moins que l'extérieur, et ces effets s'annulent. Donc, si nous voulons définir; le centre de masse d'une figure plate avec une densité uniforme, alors il faut se rappeler que le volume formé par sa rotation autour de l'axe est égal à la distance parcourue par le centre de masse, multipliée par l'aire du chiffre.
Par exemple, si nous devons trouver le centre de masse d'un triangle rectangle de base D et de hauteur H (Fig. 19.2), procédez comme suit. Imaginez un axe le long de H et faites pivoter le triangle de 360° autour de cet axe. Cela nous donne un cône. La distance parcourue par la coordonnée x du centre de masse est de 2πx et l'aire de la région qui s'est déplacée, c'est-à-dire l'aire du triangle, est égale à l/2 HD. Le produit de la distance parcourue par le centre de masse et l'aire du triangle est égal au volume du cône, soit 1/3 πD 2 H. Ainsi, (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H, ou x= D/З. De manière assez similaire, en tournant autour de la deuxième jambe, ou simplement pour des raisons de symétrie, on constate que y\u003d H/3. En général, le centre de masse de tout triangle homogène est situé au point d'intersection de ses trois médianes (lignes reliant le sommet du triangle au milieu du côté opposé), qui est à une distance de la base égale à 1/ 3 de la longueur de chaque médiane.
Comment le voir ? Coupez le triangle avec des lignes parallèles à la base en plusieurs bandes. Remarquez maintenant que la médiane coupe en deux chaque bande, de sorte que le centre de masse doit se trouver sur la médiane.
Prenons maintenant une figure plus complexe. Supposons qu'il soit nécessaire de trouver la position du centre de masse d'un demi-cercle homogène, c'est-à-dire d'un cercle coupé en deux. Où sera situé le centre de masse dans ce cas ? Pour un cercle complet, le centre de masse est situé au centre géométrique, mais pour un demi-cercle, trouver sa position est plus difficile. Soit r le rayon du cercle et x la distance du centre de masse à la limite rectiligne du demi-cercle. En le faisant tourner autour de cette arête comme autour d'un axe, on obtient une boule. Dans ce cas, le centre de masse parcourt une distance de 2πx et l'aire du demi-cercle est de 1/2πr 2 (la moitié de l'aire du cercle). Puisque le volume de la sphère est, bien sûr, 4πg 3 /3, à partir de là, nous trouvons

ou alors

Il existe un autre théorème de Pappus, qui est en fait un cas particulier du théorème formulé ci-dessus, et est donc également valable. Supposons qu'au lieu d'un demi-cercle solide, nous ayons pris un demi-cercle, par exemple un morceau de fil en forme de demi-cercle avec une densité uniforme, et que nous voulions trouver son centre de masse. Il s'avère que la zone "balayée" par une courbe plate lorsqu'elle se déplace, similaire à celle décrite ci-dessus, est égale à la distance parcourue par le centre de masse, multipliée par la longueur de cette courbe. (La courbe peut être considérée comme une bande très étroite et le théorème précédent lui est appliqué.)

Sur la base des formules générales obtenues ci-dessus, il est possible d'indiquer des méthodes spécifiques pour déterminer les coordonnées des centres de gravité des corps.

1. Symétrie. Si un corps homogène a un plan, un axe ou un centre de symétrie (Fig. 7), alors son centre de gravité se situe respectivement dans le plan de symétrie, l'axe de symétrie ou dans le centre de symétrie.

Fig.7

2. Scission. Le corps est divisé en un nombre fini de parties (Fig. 8), pour chacune desquelles la position du centre de gravité et l'aire sont connues.

Fig.8

3.Méthode des zones négatives. Un cas particulier de la méthode de partitionnement (Fig. 9). Elle s'applique aux caisses avec découpes si les centres de gravité de la caisse sans découpe et de la découpe sont connus. Un corps en forme de plaque découpée est représenté par une combinaison d'une plaque pleine (sans découpe) d'aire S 1 et de l'aire de la partie découpée S 2 .

Fig.9

4.méthode de regroupement. C'est un bon complément aux deux dernières méthodes. Après avoir décomposé la figure en ses éléments constitutifs, il peut être opportun de combiner à nouveau certains d'entre eux, afin de simplifier ensuite la solution en tenant compte de la symétrie de ce groupe.

Centres de gravité de certains corps homogènes.

1) Centre de gravité d'un arc de cercle. Considérez l'arc UN B rayon R avec angle central. Par symétrie, le centre de gravité de cet arc se trouve sur l'axe Bœuf(Fig. 10).

Fig.10

Trouvons la coordonnée en utilisant la formule. Pour cela, sélectionnez sur l'arc UN Bélément MM' longueur, dont la position est déterminée par l'angle. Coordonner Xélément MM' sera . Remplacer ces valeurs X et d je et sachant que l'intégrale doit s'étendre sur toute la longueur de l'arc, on obtient :

où L- longueur de l'arc UN B, égal à .

De là, nous trouvons finalement que le centre de gravité de l'arc de cercle se trouve sur son axe de symétrie à une distance du centre Oégal à

où l'angle est mesuré en radians.

2) Le centre de gravité de l'aire d'un triangle. Considérons un triangle situé dans le plan Oxy, dont les coordonnées des sommets sont connues : ai(x je,et je), (je= 1,2,3). Casser le triangle en bandes étroites parallèles au côté ET 1 ET 2 , on arrive à la conclusion que le centre de gravité du triangle doit appartenir à la médiane ET 3 M 3 (fig.11) .

Fig.11

Casser le triangle en bandes parallèles au côté ET 2 ET 3 , vous pouvez vous assurer qu'il doit se trouver sur la médiane ET 1 M 1 . De cette façon, le centre de gravité d'un triangle se trouve au point d'intersection de ses médianes, qui, comme vous le savez, sépare la troisième partie de chaque médiane, en comptant à partir du côté correspondant.

En particulier, pour la médiane ET 1 M 1 on obtient, étant donné que les coordonnées du point M 1 est la moyenne arithmétique des coordonnées des sommets ET 2 et ET 3:

x c = X 1 + (2/3)∙(x M 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Ainsi, les coordonnées du centre de gravité du triangle sont la moyenne arithmétique des coordonnées de ses sommets :

X c =(1/3)Σ x je ; y c =(1/3)Σ et je.

3) Le centre de gravité de la zone du secteur circulaire. Considérons un secteur d'un cercle de rayon R d'angle au centre 2α, situé symétriquement par rapport à l'axe Bœuf(Fig. 12) .

Il est évident que y c = 0, et la distance du centre du cercle à partir duquel ce secteur est coupé à son centre de gravité peut être déterminée par la formule :

Fig.12

La façon la plus simple de calculer cette intégrale est de diviser le domaine d'intégration en secteurs élémentaires d'angle réφ. Jusqu'aux infinitésimaux du premier ordre, un tel secteur peut être remplacé par un triangle de base égale à R× réφ et hauteur R. L'aire d'un tel triangle dF=(1/2)R 2 ∙réφ, et son centre de gravité est à une distance de 2/3 R du haut, donc dans (5) on met X = (2/3)R∙cosφ. Remplacement dans (5) F= α R 2 , on obtient :

En utilisant la dernière formule, nous calculons, en particulier, la distance au centre de gravité demi-cercle.

En substituant dans (2) α = π/2, on obtient : X c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Exemple 1 Déterminons le centre de gravité du corps homogène représenté sur la Fig. 13.

Fig.13

Le corps est homogène, composé de deux parties ayant une forme symétrique. Les coordonnées de leurs centres de gravité :

Leurs tomes :

Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité du corps

Exemple 2 Trouver le centre de gravité d'une plaque pliée à angle droit. Dimensions - sur le dessin (Fig. 14).

Fig.14

Coordonnées des centres de gravité :

Carrés :

Riz. 6.5.

Exemple 3 Un trou carré cm est découpé dans une feuille carrée cm (Fig. 15). Trouver le centre de gravité de la feuille.

Fig.15

Dans ce problème, il est plus pratique de diviser le corps en deux parties : un grand carré et un trou carré. Seule la surface du trou doit être considérée comme négative. Puis les coordonnées du centre de gravité de la tôle avec le trou :

coordonnée puisque le corps a un axe de symétrie (diagonal).

Exemple 4 Le support de fil (Fig. 16) se compose de trois sections de la même longueur je.

Fig.16

Les coordonnées des centres de gravité des sections :

Par conséquent, les coordonnées du centre de gravité de l'ensemble du support :

Exemple 5 Déterminez la position du centre de gravité de la ferme, dont toutes les tiges ont la même densité linéaire (Fig. 17).

Rappelons qu'en physique, la masse volumique d'un corps ρ et sa gravité spécifique g sont liées par la relation : γ= ρ g, où g- Accélération de la gravité. Pour trouver la masse d'un corps aussi homogène, il faut multiplier la densité par son volume.

Fig.17

Le terme densité "linéaire" ou "linéaire" signifie que pour déterminer la masse du truss rod, il faut multiplier la densité linéaire par la longueur de cette tige.

Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la méthode de partitionnement. En représentant un treillis donné comme une somme de 6 tiges individuelles, on obtient :

où L je longueur je-ème tige de la ferme, et x je, et je sont les coordonnées de son centre de gravité.

La solution à ce problème peut être simplifiée en regroupant les 5 derniers truss rods. Il est facile de voir qu'ils forment une figure avec un centre de symétrie situé au milieu de la quatrième tige, là où se trouve le centre de gravité de ce groupe de tiges.

Ainsi, un treillis donné peut être représenté par une combinaison de seulement deux groupes de tiges.

Le premier groupe se compose de la première tige, pour elle L 1 = 4 mètres, X 1 = 0m, y 1 = 2 m. Le deuxième groupe de tiges se compose de cinq tiges, pour lesquelles L 2 = 20 mètres, X 2 = 3 mètres, y 2 = 2 m.

Les coordonnées du centre de gravité de la ferme se trouvent par la formule :

X c = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m ;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

A noter que le centre À PARTIR DE se trouve sur la ligne reliant À PARTIR DE 1 et À PARTIR DE 2 et divise le segment À PARTIR DE 1 À PARTIR DE 2 concernant : À PARTIR DE 1 À PARTIR DE/SS 2 = (X c - X 1)/(X 2 - X c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Questions pour l'auto-examen

Quel est le centre des forces parallèles ?

Comment sont déterminées les coordonnées du centre des forces parallèles ?

Comment déterminer le centre des forces parallèles dont la résultante est nulle ?

Quelle est la propriété du centre des forces parallèles ?

Quelles formules sont utilisées pour calculer les coordonnées du centre des forces parallèles ?

Qu'est-ce que le centre de gravité d'un corps ?

Pourquoi les forces d'attraction de la Terre, agissant sur un point du corps, peuvent-elles être considérées comme un système de forces parallèles ?

Écrivez la formule pour déterminer la position du centre de gravité des corps inhomogènes et homogènes, la formule pour déterminer la position du centre de gravité des sections plates?

Notez la formule pour déterminer la position du centre de gravité de simples formes géométriques: rectangle, triangle, trapèze et demi-cercle ?

Qu'appelle-t-on le moment statique de l'aire ?

Donner un exemple de corps dont le centre de gravité est situé à l'extérieur du corps.

Comment les propriétés de symétrie sont-elles utilisées pour déterminer les centres de gravité des corps ?

Quelle est l'essence de la méthode des poids négatifs?

Où se situe le centre de gravité de l'arc de cercle ?

Quelle construction graphique peut-on utiliser pour trouver le centre de gravité d'un triangle ?

Écrivez la formule qui détermine le centre de gravité d'un secteur circulaire.

En utilisant des formules qui déterminent les centres de gravité d'un triangle et d'un secteur circulaire, dérivez une formule similaire pour un segment circulaire.

Quelles formules sont utilisées pour calculer les coordonnées des centres de gravité des corps homogènes, des figures planes et des droites ?

Qu'appelle-t-on le moment statique de l'aire d'une figure plane par rapport à l'axe, comment est-il calculé et quelle dimension a-t-il ?

Comment déterminer la position du centre de gravité de la zone, si la position des centres de gravité de ses parties individuelles est connue?

Quels théorèmes auxiliaires sont utilisés pour déterminer la position du centre de gravité ?

6.1. informations générales

Centre des forces parallèles
Considérons deux forces parallèles dirigées dans la même direction , et , appliquées au corps aux points ET 1 et ET 2 (fig.6.1). Ce système de forces a une résultante dont la ligne d'action passe par un certain point À PARTIR DE. Position des pointes À PARTIR DE peut être trouvé en utilisant le théorème de Varignon :

Si vous tournez la force et près des points ET 1 et ET 2 dans une direction et sous le même angle, on obtient nouveau système graisses parallèles ayant les mêmes modules. Dans ce cas, leur résultante passera également par le point À PARTIR DE. Un tel point est appelé le centre des forces parallèles.
Considérons un système de forces parallèles et également dirigées appliquées à un corps rigide en des points. Ce système a une résultante.
Si chaque force du système est tournée près des points de leur application dans la même direction et sous le même angle, alors de nouveaux systèmes de forces parallèles également dirigées avec les mêmes modules et points d'application seront obtenus. La résultante de tels systèmes aura le même module R, mais à chaque fois dans une direction différente. Force déposée F 1 et F 2 trouvent que leur résultante R 1 , qui passera toujours par le point À PARTIR DE 1 , dont la position est déterminée par l'égalité . Ajout de plus R 1 et F 3 , trouver leur résultante, qui passera toujours par le point À PARTIR DE 2 allongés sur la ligne ET 3 À PARTIR DE 2. Après avoir mis fin au processus d'addition des forces, nous arriverons à la conclusion que la résultante de toutes les forces passera en effet toujours par le même point À PARTIR DE, dont la position par rapport aux points sera inchangée.
Point À PARTIR DE, par laquelle passe la ligne d'action du système résultant de forces parallèles pour toute rotation de ces forces à proximité des points de leur application dans la même direction sous le même angle est appelée centre des forces parallèles (Fig. 6.2).

Figure 6.2

Déterminons les coordonnées du centre des forces parallèles. Puisque la position du point À PARTIR DE par rapport au corps est inchangé, alors ses coordonnées ne dépendent pas du choix du système de coordonnées. Faire pivoter toutes les forces près de leur application afin qu'elles deviennent parallèles à l'axe UO et appliquer le théorème de Varignon aux forces en rotation. Comme R" est la résultante de ces forces, alors, d'après le théorème de Varignon, on a , car , , on a

De là, nous trouvons la coordonnée du centre des forces parallèles zc:

Pour déterminer la coordonnée xc composer une expression pour le moment des forces autour de l'axe onces.

Pour déterminer la coordonnée yc faire tourner toutes les forces pour qu'elles deviennent parallèles à l'axe onces.

La position du centre des forces parallèles par rapport à l'origine (Fig. 6.2) peut être déterminée par son rayon vecteur :

6.2. Centre de gravité d'un corps rigide

centre de gravité d'un corps rigide est un point invariablement associé à ce corps À PARTIR DE, par laquelle passe la ligne d'action de la résultante des forces de pesanteur d'un corps donné, pour toute position du corps dans l'espace.
Le centre de gravité est utilisé dans l'étude de la stabilité des positions d'équilibre des corps et des milieux continus sous l'influence de la gravité et dans certains autres cas, à savoir: dans la résistance des matériaux et en mécanique des structures - lors de l'utilisation de la règle de Vereshchagin.
Il existe deux façons de déterminer le centre de gravité d'un corps : analytique et expérimentale. Méthode analytique la définition du centre de gravité découle directement de la notion de centre de forces parallèles.
Les coordonnées du centre de gravité, en tant que centre des forces parallèles, sont déterminées par les formules :

où R- poids de tout le corps; paquet- poids des particules corporelles ; xk, yk, zk- coordonnées des particules du corps.
Pour un corps homogène, le poids de tout le corps et de n'importe quelle partie de celui-ci est proportionnel au volume P=Vγ, pk =vk γ, où γ - poids par unité de volume, V- volume du corps. Substitution d'expressions P, paquet dans les formules pour déterminer les coordonnées du centre de gravité et, en réduisant d'un facteur commun γ , on a:

Point À PARTIR DE, dont les coordonnées sont déterminées par les formules obtenues, s'appelle le centre de gravité du volume.
Si le corps est une fine plaque homogène, le centre de gravité est déterminé par les formules :

où S- surface de la plaque entière; sk- la superficie de sa partie; xk, yk- coordonnées du centre de gravité des pièces de plaque.
Point À PARTIR DE dans ce cas s'appelle zone du centre de gravité.
Les numérateurs des expressions qui déterminent les coordonnées du centre de gravité des figures planes sont appelés avec moments statiques de la zone sur les haches à et X:

Ensuite, le centre de gravité de la zone peut être déterminé par les formules :

Pour les corps dont la longueur est plusieurs fois supérieure aux dimensions de la section transversale, le centre de gravité de la ligne est déterminé. Les coordonnées du centre de gravité de la ligne sont déterminées par les formules :

où L- longueur de la ligne; lc- la longueur de ses parties ; xk, yk, zk- coordonnée du centre de gravité des parties de ligne.

6.3. Méthodes de détermination des coordonnées des centres de gravité des corps

Sur la base des formules obtenues, il est possible de proposer des méthodes pratiques pour déterminer les centres de gravité des corps.
1. Symétrie. Si le corps a un centre de symétrie, alors le centre de gravité est au centre de symétrie.
Si le corps a un plan de symétrie. Par exemple, le plan XOU, alors le centre de gravité se situe dans ce plan.
2. scission. Pour les corps constitués de corps simples, la méthode de fractionnement est utilisée. Le corps est divisé en parties dont le centre de gravité est déterminé par la méthode de la symétrie. Le centre de gravité de tout le corps est déterminé par les formules du centre de gravité du volume (aire).

Exemple. Déterminez le centre de gravité de la plaque indiquée dans la figure ci-dessous (Fig. 6.3). La plaque peut être divisée en rectangles de différentes manières et les coordonnées du centre de gravité de chaque rectangle et leur aire peuvent être déterminées.

Fig.6.3

Réponse: Xc=17.0cm; yc= 18,0 cm.

3. Une addition. Cette méthode est un cas particulier de la méthode de partitionnement. Il est utilisé lorsque le corps présente des encoches, des découpes, etc., si les coordonnées du centre de gravité du corps sans l'encoche sont connues.

Exemple. Déterminer le centre de gravité d'une plaque ronde ayant une découpe avec un rayon r = 0,6 R(Fig. 6.4).

Figure 6.4

La plaque ronde a un centre de symétrie. Plaçons l'origine des coordonnées au centre de la plaque. Zone de plaque sans encoche, zone d'encoche. Zone de plaque crantée ; .
La plaque crantée a un axe de symétrie O1 ×, Par conséquent, yc=0.

4. L'intégration. Si le corps ne peut pas être divisé en un nombre fini de parties, dont les positions des centres de gravité sont connues, le corps est divisé en petits volumes arbitraires, pour lesquels la formule utilisant la méthode de partition prend la forme : .
De plus, ils passent à la limite, tendant les volumes élémentaires à zéro, c'est-à-dire contraction des volumes en points. Les sommes sont remplacées par des intégrales étendues à tout le volume du corps, puis les formules de détermination des coordonnées du centre de gravité du volume prennent la forme :

Formules pour déterminer les coordonnées du centre de gravité de la zone :

Les coordonnées du centre de gravité de la zone doivent être déterminées lors de l'étude de l'équilibre des plaques, lors du calcul de l'intégrale de Mohr en mécanique des structures.

Exemple. Déterminer le centre de gravité d'un arc de cercle de rayon R avec angle central AOB= 2α (figure 6.5).

Riz. 6.5

L'arc de cercle est symétrique à l'axe Oh, donc le centre de gravité de l'arc se trouve sur l'axe Oh, oui = 0.
D'après la formule du centre de gravité d'une ligne :

6.Voie expérimentale. Les centres de gravité de corps inhomogènes de configuration complexe peuvent être déterminés expérimentalement : par pendaison et pesée. La première consiste à suspendre le corps à un câble en divers points. La direction de la corde sur laquelle le corps est suspendu donnera la direction de la gravité. Le point d'intersection de ces directions détermine le centre de gravité du corps.
La méthode de pesée consiste à déterminer d'abord le poids d'un corps, tel qu'une voiture. Ensuite, sur la balance, la pression de l'essieu arrière de la voiture sur le support est déterminée. En compilant une équation d'équilibre par rapport à un point, par exemple l'axe des roues avant, vous pouvez calculer la distance entre cet axe et le centre de gravité de la voiture (Fig. 6.6).

Fig.6.6

Parfois, lors de la résolution de problèmes, il est nécessaire d'appliquer simultanément différentes méthodes pour déterminer les coordonnées du centre de gravité.

6.4. Centres de gravité de certaines formes géométriques simples

Pour déterminer les centres de gravité de corps de forme commune (triangle, arc de cercle, secteur, segment), il convient d'utiliser des données de référence (tableau 6.1).

Tableau 6.1

Coordonnées du centre de gravité de certains corps homogènes

№	Nom de la figurine	Photo
	arc de cercle: le centre de gravité d'un arc de cercle homogène est sur l'axe de symétrie (coordonnée yc=0). R est le rayon du cercle.
	Secteur circulaire homogène yc=0). où α est la moitié de l'angle central ; R est le rayon du cercle.
	Segment: le centre de gravité est situé sur l'axe de symétrie (coordonnée yc=0). où α est la moitié de l'angle central ; R est le rayon du cercle.
	Demi-cercle:
	Triangle: le centre de gravité d'un triangle homogène est au point d'intersection de ses médianes. où x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- coordonnées des sommets du triangle
	Cône: le centre de gravité d'un cône circulaire homogène se situe à sa hauteur et est à une distance de 1/4 de la hauteur de la base du cône.

Centre de gravité d'un arc de cercle

L'arc a un axe de symétrie. Le centre de gravité se trouve sur cet axe, c'est-à-dire y C = 0 .

dl– élément arc, dl = Rdφ, R est le rayon du cercle, x = Rcosφ, L= 2aR,

Par conséquent:

X C = R(sinα/α).

Centre de gravité du secteur circulaire

Secteur rayon R avec angle central 2 α possède un axe de symétrie Bœuf où se situe le centre de gravité.

Nous divisons le secteur en secteurs élémentaires, qui peuvent être considérés comme des triangles. Les centres de gravité des secteurs élémentaires sont situés sur l'arc de cercle de rayon (2/3) R.

Le centre de gravité du secteur coïncide avec le centre de gravité de l'arc UN B:

Demi-cercle:

37. Cinématique. Cinématique ponctuelle. Méthodes pour spécifier le mouvement d'un point.

Cinématique- une branche de la mécanique dans laquelle le mouvement des corps matériels est étudié d'un point de vue géométrique, sans tenir compte de la masse et des forces agissant sur eux. Méthodes pour spécifier le mouvement d'un point : 1) naturel, 2) coordonné, 3) vectoriel.

Cinématique ponctuelle- une section de cinématique qui étudie description mathématique mouvement des points matériels. La tâche principale de la cinématique est de décrire le mouvement à l'aide d'un appareil mathématique sans découvrir les raisons qui provoquent ce mouvement.

spa naturel. la trajectoire du point est indiquée, la loi de son mouvement le long de cette trajectoire, le début et la direction de la coordonnée de l'arc : s=f(t) – la loi du mouvement du point. Pour un mouvement rectiligne : x=f(t).

Coordonnée sp. la position d'un point dans l'espace est déterminée par trois coordonnées dont les changements déterminent la loi de mouvement du point : x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Si le mouvement est dans un plan, alors il y a deux équations de mouvement. Les équations de mouvement décrivent l'équation de trajectoire sous forme paramétrique. En éliminant le paramètre t des équations, on obtient l'équation de trajectoire sous la forme usuelle : f (x, y) = 0 (pour un plan).

Station thermale de vecteur. la position d'un point est déterminée par son rayon vecteur tiré d'un certain centre. Une courbe dessinée par la fin d'un vecteur, appelée. hodographe ce vecteur. Celles. la trajectoire est l'hodographe du rayon vecteur.

38. Connexion entre coordonnées et vecteurs, coordonnées et manières naturelles de spécifier le mouvement d'un point.

RELATION DE LA MÉTHODE VECTORIELLE AVEC LES COORDONNÉES ET NATURELLES s'exprime par les relations :

où est le vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire en un point donné, dirigé vers le relevé de distance, est le vecteur unitaire de la normale à la trajectoire en un point donné, dirigé vers le centre de courbure (voir Fig. 3).

RELATION DE LA MÉTHODE DES COORDONNÉES AVEC LE NATUREL. Équation de trajectoire f(x, y)=z ; f 1 (x, z)=y est obtenu à partir des équations de mouvement sous forme de coordonnées en éliminant le temps t. Une analyse supplémentaire des valeurs que peuvent prendre les coordonnées d'un point détermine cette section de la courbe, qui est une trajectoire. Par exemple, si le mouvement d'un point est donné par les équations : x = sin t ; y=sin 2 t=x 2 , alors la trajectoire du point est la section de la parabole y=x 2 pour laquelle -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Le début et la direction des distances de comptage sont choisis arbitrairement, cela détermine en outre le signe de la vitesse et la grandeur et le signe de la distance initiale s 0 .

La loi du mouvement est déterminée par la dépendance :

le signe + ou - est déterminé en fonction du sens accepté des distances de comptage.

Vitesse ponctuelle est une mesure cinématique de son mouvement, égale à la dérivée temporelle du rayon vecteur de ce point dans le référentiel considéré. Le vecteur vitesse est dirigé tangentiellement à la trajectoire du point dans la direction du mouvement

Vecteur vitesse (v) est la distance parcourue par un corps dans une certaine direction par unité de temps. A noter que la définition vecteur vitesse très similaire à la détermination de la vitesse, à l'exception d'une différence importante : la vitesse d'un corps n'indique pas la direction du mouvement, mais le vecteur vitesse d'un corps indique à la fois la vitesse et la direction du mouvement. Par conséquent, deux variables sont nécessaires pour décrire le vecteur vitesse du corps : la vitesse et la direction. Les grandeurs physiques qui ont une signification et une direction sont appelées grandeurs vectorielles.

Vecteur vitesse corps peut changer de temps en temps. Si sa vitesse ou sa direction change, la vitesse du corps change également. Un vecteur de vitesse constante implique une vitesse constante et une direction constante, tandis que le terme "vitesse constante" n'implique qu'une valeur constante, quelle que soit la direction. Le terme "vecteur de vitesse" est souvent utilisé de manière interchangeable avec le terme "vitesse". Ils expriment tous deux la distance parcourue par le corps par unité de temps.

accélération ponctuelle est une mesure de la variation de sa vitesse, égale à la dérivée temporelle de la vitesse de ce point ou à la dérivée seconde du vecteur rayon du point dans le temps. L'accélération caractérise la variation du vecteur vitesse en amplitude et en direction et est dirigée vers la concavité de la trajectoire.

Vecteur d'accélération

est le rapport entre le changement de vitesse et l'intervalle de temps pendant lequel ce changement s'est produit. L'accélération moyenne peut être déterminée par la formule :

où - vecteur d'accélération.

La direction du vecteur d'accélération coïncide avec la direction du changement de vitesse Δ = - 0 (ici 0 est la vitesse initiale, c'est-à-dire la vitesse à laquelle le corps a commencé à accélérer).

A l'instant t1 (voir Figure 1.8) le corps a une vitesse de 0 . A l'instant t2 le corps a une vitesse . Selon la règle de soustraction vectorielle, nous trouvons le vecteur de changement de vitesse Δ = - 0 . L'accélération peut alors être définie comme suit :