Nombres complexes extrayant la racine du 3ème degré. Puissance avec un exposant rationnel arbitraire

Maison

Isolation des façades

Numéro complexe Z appelé racinen– c, Si Z n = c.

Retrouvons toutes les valeurs de la racine n– oh puissance d'un nombre complexe Avec. Laisser c=| c|·(parce que Arg c+ je· péché ArgAvec), UN Z = | Z|·(avecsystème d'exploitation Arg Z + je· péché Arg Z) , Où Z racine n- oh puissance d'un nombre complexe Avec. Alors ça doit être = c = | c|·(parce que Arg c+ je· péché ArgAvec). Il s'ensuit que
Et n· Arg Z = ArgAvec
Arg Z =
(k=0,1,…) . Ainsi, Z =
(parce que
+ je· péché
), (k=0,1,…) . Il est facile de voir que n'importe laquelle des valeurs
, (k=0,1,…) diffère de l'une des valeurs correspondantes
,(k = 0,1,…, n-1) par plusieurs 2π. C'est pourquoi, (k = 0,1,…, n-1) .

Exemple.

Calculons la racine de (-1).

, évidemment |-1| = 1, argument (-1) = π

-1 = 1·(parce que π + je· péché π )

, (k = 0, 1).

= je

Puissance avec un exposant rationnel arbitraire

Prenons un nombre complexe arbitraire Avec. Si n nombre naturel, alors Avec n = | c| n ·(Avecsystème d'exploitation nArgs +je· péché nArgAvec)(6). Cette formule est également vraie dans le cas n = 0 (s≠0)
. Laisser n < 0 Et n Z Et s ≠ 0, Alors

Avec n =
(parce que nArgAvec+i·sin nArgAvec) = (parce que nArgAvec+ i·sin nArgAvec) . Ainsi, la formule (6) est valable pour tout n.

Prenons un nombre rationnel , Où q nombre naturel, et r est entier.

Puis sous degré c r nous comprendrons le numéro
.

Nous obtenons cela ,

(k = 0, 1, …, q-1). Ces valeurs q morceaux, si la fraction n'est pas réductible.

Cours n°3 La limite d'une séquence de nombres complexes

Une fonction à valeurs complexes d'un argument naturel est appelée séquence de nombres complexes et est désigné (Avec n ) ou Avec 1 , Avec 2 , ..., Avec n . Avec n = un n + b n · je (n = 1,2, ...) nombres complexes.

Avec 1 , Avec 2 , … - membres de la séquence ; Avec n – membre commun

Numéro complexe Avec = un+ b· je appelé limite d'une séquence de nombres complexes (c n ) , Où Avec n = un n + b n · je (n = 1, 2, …) , où pour tout

ça devant tout le monde n > N l’inégalité persiste
. Une suite ayant une limite finie est appelée convergent séquence.

Théorème.

Pour qu’une suite de nombres complexes (avec n ) (Avec n = un n + b n · je) a convergé vers un nombre avec = un+ b· je, est nécessaire et suffisant pour que l’égalité soit respectéelim un n = un, lim b n = b.

Preuve.

Nous allons démontrer le théorème en nous basant sur la double inégalité évidente suivante

, Où Z = x + oui· je (2)

Nécessité. Laisser lim(Avec n ) = s. Montrons que les égalités sont vraies lim un n = un Et lim b n = b (3).

Évidemment (4)

Parce que
, Quand n → ∞ , alors du côté gauche de l'inégalité (4) il s'ensuit que
Et
, Quand n → ∞ . donc les égalités (3) sont satisfaites. La nécessité est avérée.

Adéquation. Supposons maintenant que les égalités (3) soient satisfaites. De l'égalité (3) il résulte que
Et
, Quand n → ∞ , donc, en raison du côté droit de l’inégalité (4), ce sera
, Quand n→∞ , Moyens lim(Avec n )=c. La suffisance a été prouvée.

Ainsi, la question de la convergence d'une séquence de nombres complexes équivaut à la convergence de deux séquences de nombres réels, donc toutes les propriétés fondamentales des limites des séquences de nombres réels s'appliquent aux séquences de nombres complexes.

Par exemple, pour les suites de nombres complexes le critère de Cauchy est valable : pour qu'une séquence de nombres complexes (avec n ) converge, il faut et il suffit que pour tout

, que pour toutn, m > Nl’inégalité persiste
.

Théorème.

Soit une suite de nombres complexes (avec n ) Et (z n ) convergent vers c et respectivementz, alors les égalités sont vraieslim(Avec n z n ) = c z, lim(Avec n · z n ) = c· z. Si l'on sait avec certitude quezn'est pas égal à 0, alors l'égalité est vraie
.

nombres sous forme trigonométrique.

La formule de Moivre

Soit z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) et z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

La forme trigonométrique d'écriture d'un nombre complexe est pratique à utiliser pour effectuer les opérations de multiplication, de division, d'élévation à une puissance entière et d'extraction de la racine du degré n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + je péché( 1 +  2)).

En multipliant deux nombres complexes sous forme trigonométrique, leurs modules sont multipliés et leurs arguments s'ajoutent. Lors de la division leurs modules sont divisés et leurs arguments sont soustraits.

Un corollaire de la règle de multiplication d'un nombre complexe est la règle d'élévation d'un nombre complexe à une puissance.

z = r(cos  + je péché ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ce rapport est appelé La formule de Moivre.

Exemple 8.1 Trouver le produit et le quotient des nombres :

Solution

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Exemple 8.2 Écrire un nombre sous forme trigonométrique

∙
–i)7 .

Solution

Notons
et z 2 =
- je.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 ; ;

 1 = arg z 1 = arctan
;

z 1 =
;

r2 = |z2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2 ;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7n§ 9 Extraire la racine d'un nombre complexe Définition. Racine
la puissance d'un nombre complexe
= 0.

z (désigne

) est un nombre complexe w tel que w n = z. Si z = 0, alors

Soit z  0, z = r(cos + isin). Notons w = (cos + sin), puis on écrit l'équation w n = z sous la forme suivante

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

D’où  n = r,

Ainsi sem =

Parmi ces valeurs, il y en a exactement n différentes.
Donc k = 0, 1, 2,…, n – 1.

Sur le plan complexe, ces points sont les sommets d'un n-gone régulier inscrit dans un cercle de rayon

avec centre au point O (Figure 12). Figure 12
.

Exemple 9.1

Trouver toutes les valeurs

Solution.
Représentons ce nombre sous forme trigonométrique. Trouvons son module et son argument.

w k =
.

, où k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

Sur le plan complexe, ces points sont les sommets d'un carré inscrit dans un cercle de rayon
avec le centre à l’origine (Figure 13).

Figure 13 Figure 14

Exemple 9.2 Figure 12
.

Exemple 9.1

z = – 64 = 64(cos +isin);

Solution.
, où k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w k =
;
;

w 0 =
w 1 =

w 3 =
w 4 =
.

;

w 5 =

Sur le plan complexe, ces points sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 2 de centre au point O (0 ; 0) - Figure 14.

Notons
§ 10 Forme exponentielle d'un nombre complexe.
La formule d'Euler = cos  + isine  et .

= cos  - isine  .
Ces relations sont appelées

Les formules d'Euler

Fonction

a les propriétés habituelles d'une fonction exponentielle :
.

Soit le nombre complexe z sous forme trigonométrique z = r(cos + isin). En utilisant la formule d'Euler, on peut écrire : z = r

Cette entrée s'appelle
forme exponentielle
nombre complexe. En l'utilisant, nous obtenons les règles de multiplication, de division, d'exponentiation et d'extraction de racine.

Si z 1 = r 1 ·
;

et z 2 = r 2 ·

?Que

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · z n = r n ·

, où k = 0, 1, … , n – 1.
.

Exemple 9.1

Exemple 10.1Écrire un nombre sous forme algébrique

Exemple 9.1

z =
Exemple 10.2

Résolvez l'équation z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Pour tout coefficient complexe, cette équation a deux racines z 1 et z 1 (éventuellement coïncidant). Ces racines peuvent être trouvées en utilisant la même formule que dans le cas réel. Parce que