Comment définir une fonction. Méthodes de spécification d'une fonction. Exemples. Méthode analytique de spécification d'une fonction

Que signifient les mots ? "définir une fonction" ? Ils veulent dire : expliquez à tous ceux qui veulent savoir ce que fonction spécifique nous parlons. De plus, expliquez clairement et sans ambiguïté !

Comment cela peut-il être fait ? Comment définir une fonction ?

Vous pouvez écrire une formule. Vous pouvez dessiner un graphique. Vous pouvez faire un tableau. De toute façon c'est une règle par laquelle nous pouvons connaître la valeur du i pour la valeur x que nous avons choisie. Ceux. "définir la fonction", cela signifie montrer la loi, la règle par laquelle un x se transforme en y.

Habituellement, dans diverses tâches, il y a déjà prêt fonctions. Ils nous donnent ont déjà été fixés. Décidez vous-même, oui, décidez.) Mais... Le plus souvent, les écoliers (et même les étudiants) travaillent avec des formules. Ils s'y habituent, vous savez... Ils s'y habituent tellement que toute question élémentaire liée à une manière différente de préciser une fonction bouleverse immédiatement la personne...)

Pour éviter de tels cas, il est logique de traiter de différentes manières attributions de fonctions. Et bien sûr, appliquez ces connaissances à des questions « délicates ». C'est assez simple. Si vous savez ce qu'est une fonction...)

Allons-y?)

Méthode analytique de spécification d’une fonction.

Le moyen le plus universel et le plus puissant. Une fonction définie analytiquement c'est la fonction qui est donnée formules. En fait, c'est toute l'explication.) Des fonctions familières à tout le monde (j'ai envie d'y croire !), par exemple : y = 2x, ou y = x 2 etc. etc. sont spécifiés analytiquement.

Soit dit en passant, toutes les formules ne peuvent pas définir une fonction. Toutes les formules ne remplissent pas la condition stricte de la définition d’une fonction. A savoir - pour chaque X, il ne peut y avoir que un igrec. Par exemple, dans la formule y = ±x, Pour un valeurs x=2, il s'avère deux valeurs y : +2 et -2. Il est impossible de définir une fonction à valeur unique avec cette formule. En règle générale, ils ne travaillent pas avec des fonctions à valeurs multiples dans cette branche des mathématiques, le calcul.

Qu’y a-t-il de bien dans la manière analytique de spécifier une fonction ? Parce que si vous avez une formule, vous connaissez la fonction Tous! Vous pouvez faire un signe. Construisez un graphique. Explorez cette fonctionnalité en programme complet. Prévoyez exactement où et comment cette fonction se comportera. Toute analyse mathématique est basée sur cette méthode de spécification des fonctions. Disons que prendre une dérivée d'une table est extrêmement difficile...)

La méthode analytique est assez familière et ne pose pas de problèmes. Il existe peut-être quelques variantes de cette méthode que les étudiants rencontrent. Je parle de fonctions paramétriques et implicites.) Mais ces fonctions font l'objet d'une leçon spéciale.

Passons au moins de la manière habituelle attributions de fonctions.

Méthode tabulaire pour spécifier une fonction.

Comme son nom l’indique, cette méthode est un simple signe. Dans ce tableau, chaque x correspond à ( est mis en conformité) un certain sens du jeu. La première ligne contient les valeurs de l'argument. La deuxième ligne contient les valeurs de fonction correspondantes, par exemple :

Tableau 1.

S'il vous plaît, faites attention ! Dans cet exemple, le jeu dépend de X de toute façon. J'ai inventé ça exprès.) Il n'y a pas de modèle. C'est bon, ça arrive. Moyens, exactement comme ça J'ai précisé cette fonction spécifique. C'est exact J'ai établi une règle selon laquelle un X se transforme en Y.

Tu peux inventer un autre une assiette contenant un motif. Ce signe indiquera autre fonction, par exemple :

Tableau 2.

Avez-vous saisi le modèle ? Ici toutes les valeurs du jeu sont obtenues en multipliant x par deux. Voici la première question « délicate » : une fonction définie à l'aide du tableau 2 peut-elle être considérée comme une fonction y = 2x? Pensez-y pour l’instant, la réponse sera ci-dessous, sous forme graphique. Tout est très clair là-bas.)

Qu'est-ce qui est bon méthode tabulaire pour spécifier une fonction ? Oui, parce qu’il ne faut rien compter. Tout a déjà été calculé et écrit dans le tableau.) Mais il n'y a rien de plus bon. Nous ne connaissons pas la valeur de la fonction pour X, qui ne sont pas dans le tableau. Dans cette méthode, ces valeurs x sont simplement n'existent pas.À propos, c'est un indice d'une question délicate.) Nous ne pouvons pas savoir comment la fonction se comporte en dehors de la table. Nous ne pouvons rien faire. Et la clarté de cette méthode laisse beaucoup à désirer... La méthode graphique est bonne pour la clarté.

Manière graphique de spécifier une fonction.

Dans cette méthode, la fonction est représentée par un graphique. L'argument (x) est tracé le long de l'axe des abscisses et la valeur de la fonction (y) est tracée le long de l'axe des ordonnées. Selon l'horaire, vous pouvez également choisir n'importe quel X et trouvez la valeur correspondante à. Le graphique peut être n'importe lequel, mais... pas n'importe lequel.) Nous travaillons uniquement avec des fonctions non ambiguës. La définition d'une telle fonction indique clairement : chaque X est mis en conformité le seul à. Un un jeu, pas deux, ou trois... Par exemple, regardons le graphique circulaire :

Un cercle est comme un cercle... Pourquoi ne serait-il pas le graphique d'une fonction ? Trouvons quel jeu correspondra à la valeur de X, par exemple 6 ? On déplace le curseur sur le graphique (ou on touche le dessin sur la tablette), et... on voit que ce x correspond deux significations du jeu : y=2 et y=6.

Deux et six ! Par conséquent, un tel graphique ne sera pas une affectation graphique de la fonction. Sur un x représente deux jeu. Ce graphique ne correspond pas à la définition d'une fonction.

Mais si la condition d’absence d’ambiguïté est remplie, le calendrier peut être absolument n’importe quoi. Par exemple:

Cette même torsion est la loi par laquelle un X peut être converti en Y. Non ambigu. Nous voulions connaître la signification de la fonction pour x = 4, Par exemple. Nous devons trouver les quatre sur l’axe des x et voir quel jeu correspond à ce x. Nous déplaçons la souris sur la figure et voyons que la valeur de la fonction à Pour x=4 est égal à cinq. On ne sait pas quelle formule détermine cette transformation d’un X en Y. Et ne le faites pas. Tout est fixé par le planning.

Nous pouvons maintenant revenir à la question « délicate » concernant y = 2x. Traçons cette fonction. C'est ici:

Bien entendu, en traçant ce graphique nous n’avons pas pris un nombre infini de valeurs X. Nous avons pris plusieurs valeurs et calculé oui, fait un signe - et tout est prêt ! Les personnes les plus alphabétisées n'ont pris que deux valeurs de X ! Et à juste titre. Pour une ligne droite, il n’en faut pas plus. Pourquoi ce travail supplémentaire ?

Mais nous je savais avec certitude ce que x pourrait être n'importe qui. Entier, fractionnaire, négatif... N'importe lequel. C'est selon la formule y=2x visible. Par conséquent, nous avons hardiment relié les points du graphique par une ligne continue.

Si la fonction nous est donnée par le tableau 2, alors il faudra prendre les valeurs de x seulement de la table. Parce que les autres X (et Y) ne nous sont pas donnés et il n'y a nulle part où les prendre. Ces valeurs ne sont pas présentes dans cette fonction. Le calendrier s'arrangera à partir de points. On passe la souris sur la figure et on voit le graphique de la fonction spécifiée dans le tableau 2. Je n'ai pas écrit les valeurs x-y sur les axes, vous le découvrirez, cellule par cellule ?)

Voici la réponse à la question « délicate ». Fonction spécifiée par le tableau 2 et fonction y=2x - différent.

Méthode graphique bon pour sa clarté. Vous pouvez immédiatement voir comment la fonction se comporte, où elle augmente. où il diminue. À partir du graphique, vous pouvez immédiatement reconnaître certains caractéristiques importantes fonctions. Et dans le sujet des dérivées, les tâches avec des graphiques sont partout !

En général, les méthodes analytiques et graphiques de définition d'une fonction vont de pair. Travailler avec la formule aide à créer un graphique. Et le graphique suggère souvent des solutions que vous ne remarqueriez même pas dans la formule... Nous serons amis avec les graphiques.)

Presque tous les étudiants connaissent les trois façons de définir une fonction que nous venons d’examiner. Mais à la question : « Et le quatrième !? - se congèle complètement.)

Il existe un tel moyen.

Description verbale de la fonction.

Oui, oui ! La fonction peut être spécifiée sans ambiguïté par des mots. La grande et puissante langue russe est capable de beaucoup !) Disons la fonction y=2x peut être spécifié avec la description verbale suivante : Chaque valeur réelle de l'argument x est associée à sa valeur double. Comme ça! La règle est établie, la fonction est précisée.

De plus, vous pouvez spécifier verbalement une fonction extrêmement difficile, voire impossible, à définir à l’aide d’une formule. Par exemple: Chaque valeur de l'argument naturel x est associée à la somme des chiffres qui composent la valeur de x. Par exemple, si x=3, Que y=3. Si x=257, Que y=2+5+7=14. Et ainsi de suite. Il est problématique d’écrire cela dans une formule. Mais le signe est facile à réaliser. Et établissez un calendrier. Au fait, le graphique a l'air drôle...) Essayez-le.

La méthode de description verbale est assez exotique. Mais parfois c’est le cas. Je l'ai apporté ici pour vous donner confiance face à l'inattendu et situations inhabituelles. Il faut juste comprendre le sens des mots "fonction spécifiée..." Voilà, cette signification :

S'il existe une loi de correspondance biunivoque entre X Et à- ça veut dire qu'il y a une fonction. Quelle loi, sous quelle forme elle s'exprime - une formule, une tablette, un graphique, des mots, des chants, des danses - ne change pas l'essence du problème. Cette loi permet de déterminer la valeur correspondante du Y à partir de la valeur de X. Tous.

Nous allons maintenant appliquer ces connaissances approfondies à certaines tâches non standard.) Comme promis au début de la leçon.

Tâche 1 :

La fonction y = f(x) est donnée par le tableau 1 :

Tableau 1.

Trouver la valeur de la fonction p(4), si p(x)= f(x) - g(x)

Si vous ne comprenez pas du tout ce que c'est, lisez la leçon précédente « Qu'est-ce qu'une fonction ? » Il est écrit très clairement à propos de ces lettres et crochets.) Et si seule la forme tabulaire vous confond, alors nous réglerons le problème ici.

De la leçon précédente, il est clair que si, p(x) = f(x) - g(x), Que p(4) = f(4) - g(4). Courrier f Et g désigne les règles selon lesquelles chaque X se voit attribuer son propre jeu. Pour chaque lettre ( f Et g) - le vôtre règle. Ce qui est donné par le tableau correspondant.

Valeur de la fonction f(4) déterminé à partir du tableau 1. Ce sera 5. Valeur de la fonction g(4) déterminé selon le tableau 2. Ce sera 8. Le plus difficile reste.)

p(4) = 5 - 8 = -3

C'est la bonne réponse.

Résoudre l'inégalité f(x) > 2

C'est ça! Il faut résoudre l'inégalité qui (sous sa forme habituelle) est brillamment absente ! Il ne reste plus qu'à abandonner la tâche ou à tourner la tête. Nous choisissons le second et discutons.)

Que signifie résoudre les inégalités ? Cela signifie trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles la condition qui nous est donnée est satisfaite f(x) > 2. Ceux. toutes les valeurs de fonction ( à) doit être supérieur à deux. Et sur notre carte, nous avons tous les jeux... Et il y a plus de deux, et moins... Et, pour plus de clarté, traçons une frontière le long de ces deux ! Nous déplaçons le curseur sur le dessin et voyons cette bordure.

À proprement parler, cette frontière est le graphique de la fonction y=2, mais ce n'est pas le sujet. L'important est que le graphique montre désormais très clairement où, à quels X, valeurs de fonction, c'est-à-dire oui, plus de deux. Ils sont plus X > 3. À X > 3 toute notre fonction passe plus haut frontières y=2. C'est la solution. Mais il est trop tôt pour couper la tête !) Je dois encore écrire la réponse...

Le graphique montre que notre fonction ne s’étend pas à gauche et à droite jusqu’à l’infini. Les points aux extrémités du graphique l’indiquent. La fonction s'arrête là. Par conséquent, dans notre inégalité, tous les X qui dépassent les limites de la fonction n’ont aucune signification. Pour la fonction de ces X n'existe pas. Et nous résolvons en fait l'inégalité pour la fonction...

La bonne réponse sera :

3 < X ≤ 6

Ou, sous une autre forme :

X ∈ (3; 6]

Maintenant, tout est comme il se doit. Trois n'est pas inclus dans la réponse, car l'inégalité originelle est stricte. Et le six s'allume, parce que et la fonction en six existe, et la condition d'inégalité est satisfaite. Nous avons réussi à résoudre une inégalité qui (sous sa forme habituelle) n'existe pas...

C'est ainsi que certaines connaissances et logiques élémentaires vous sauvent dans les cas non standards.)

est donné, en d’autres termes, connu si pour chaque valeur du nombre possible d’arguments on peut connaître la valeur correspondante de la fonction. Les trois plus courants façon de spécifier une fonction: tabulaires, graphiques, analytiques, il existe aussi des méthodes verbales et récursives.

1. Méthode tabulaire le plus utilisé (tableaux de logarithmes, racines carrées), son principal avantage est la possibilité d'obtenir la valeur numérique d'une fonction, les inconvénients sont que le tableau peut être difficile à lire et ne contient parfois pas de valeurs intermédiaires de la argument.

Par exemple:

Argument X prend les valeurs spécifiées dans le tableau, et à est déterminé selon cet argument X.

2. Méthode graphique consiste à tracer une ligne (graphique) dans laquelle les abscisses représentent les valeurs de l'argument, et les ordonnées représentent les valeurs correspondantes de la fonction. Souvent, pour plus de clarté, les échelles sur les axes sont considérées comme différentes.

Par exemple:à trouver dans les délais à, ce qui correspond à x = 2,5 il faut tracer une perpendiculaire à l'axe Xà la marque 2,5 . La marque peut être faite avec une grande précision à l'aide d'une règle. On retrouve alors cela à X = 2,5 à est égal 7,5 , cependant, si nous devons trouver la valeur àà Xégal 2,76 , alors la méthode graphique de spécification de la fonction ne sera pas assez précise, car La règle ne permet pas des mesures aussi précises.

Les avantages de cette méthode de spécification des fonctions sont la facilité et l'intégrité de la perception, la continuité des changements dans l'argumentation ; L’inconvénient est le degré réduit de précision et la difficulté d’obtenir des valeurs précises.

3. Méthode analytique consiste à spécifier une fonction par une ou plusieurs formules. Le principal avantage de cette méthode est la grande précision dans la détermination de la fonction de l'argument d'intérêt, mais l'inconvénient est le temps nécessaire pour effectuer des opérations mathématiques supplémentaires.

Par exemple:

La fonction peut être spécifiée à l'aide d'une formule mathématique y=x2, alors si X est égal 2 , Que à est égal 4, nous construisons X dans un carré.

4. Méthode verbale consiste à spécifier une fonction en langage ordinaire, c'est-à-dire mots. Dans ce cas, il faut donner les valeurs d'entrée et de sortie et la correspondance entre elles.

Par exemple:

Vous pouvez spécifier verbalement une fonction (tâche) qui est acceptée comme argument naturel X avec la valeur correspondante de la somme des chiffres qui composent la valeur à. Précisons : si X est égal 4 , Que à est égal 4 , et si X est égal 358 , Que àégal à la somme 3 + 5 + 8 , c'est-à-dire 16 . En outre similaire.

5. Manière récursive consiste à spécifier une fonction par elle-même, tandis que valeurs de fonction sont déterminés à travers ses autres valeurs. Cette méthode de spécification d'une fonction est utilisée pour spécifier des ensembles et des séries.

Par exemple:

Pendant la décomposition Numéros d'Euler est donné par la fonction :

Son abréviation est donnée ci-dessous :

À calcul direct une récursion infinie se produit, mais on peut prouver que la valeur f(n) avec une augmentation n tend vers l'unité (donc, malgré l'infinité de la série, la valeur Numéros d'Euler Certainement). Pour un calcul approximatif de la valeur e il suffit de limiter artificiellement la profondeur de récursion à un certain nombre donné à l'avance et, une fois atteint, de l'utiliser à la place f(n) unité.

Cours : Concept de fonction. Propriétés de base de la fonction.

Enseignant : Goryacheva A.O.

À PROPOS DE. : La règle (loi) de correspondance entre les ensembles X et Y, selon laquelle pour chaque élément de l'ensemble X un et un seul élément de l'ensemble Y peut être trouvé, est appeléefonction .

Une fonction est considérée comme définie si :

Le domaine de définition de la fonction X est donné ;

La plage de valeurs de la fonction Y est précisée ;

La règle (loi) de correspondance est connue, et telle que pour chaque valeur de l'argument, une seule valeur de la fonction peut être trouvée. Cette exigence d'unicité de la fonction est obligatoire.

À PROPOS DE. : L'ensemble X de toutes les valeurs réelles valides de l'argument x pour lequel la fonction y = f (x) est définie est appelédomaine de la fonction .

L'ensemble Y de toutes les valeurs réelles y que prend une fonction est appeléplage de fonctions .

Examinons quelques façons de spécifier des fonctions.

Méthode tabulaire . Une solution assez courante consiste à spécifier un tableau de valeurs d'arguments individuels et leurs valeurs de fonction correspondantes. Cette méthode de définition d'une fonction est utilisée lorsque le domaine de définition de la fonction est un ensemble fini discret.

Méthode graphique . Le graphique de la fonction y = f(x) est l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation donnée.

La méthode graphique de spécification d'une fonction ne permet pas toujours de déterminer avec précision les valeurs numériques de l'argument. Cependant, elle présente un gros avantage par rapport aux autres méthodes : la visibilité. En ingénierie et en physique, une méthode graphique de spécification d'une fonction est souvent utilisée, et un graphique est le seul moyen disponible pour cela.

Méthode analytique . Le plus souvent, la loi qui établit le lien entre un argument et une fonction est précisée au travers de formules. Cette méthode de spécification d'une fonction est appelée analytique.

Cette méthode permet pour chaque valeur numérique de l'argument x de trouver exactement ou avec une certaine précision la valeur numérique correspondante de la fonction y.

Méthode verbale . Cette méthode est celle dépendance fonctionnelle exprimé en mots.

Exemple 1 : la fonction E(x) est la partie entière de x. En général, E(x) = [x] désigne le plus grand entier qui ne dépasse pas x. En d’autres termes, si x = r + q, où r est un entier (peut être négatif) et q appartient à l’intervalle = r. La fonction E(x) = [x] est constante sur l'intervalle = r.

Exemple 2 : la fonction y = (x) est la partie fractionnaire d'un nombre. Plus précisément, y =(x) = x - [x], où [x] est la partie entière du nombre x. Cette fonction est définie pour tout x. Si x est un nombre arbitraire, alors représentez-le sous la forme x = r + q (r = [x]), où r est un entier et q se situe dans l'intervalle ; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Trouvez toutes les valeurs de x auxquelles la fonction prend des valeurs négatives (Fig. e) :

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f)g)

6. Trouvez toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction prend des valeurs non négatives (Fig. e) :

1) (Fig. i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

Salut)

9. A quelles valeurs de l'argument y<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

j)l)

10. A quelles valeurs de x la valeur de la fonction est-elle positive (Fig. l) ?

Une fonction est une loi selon laquelle un nombre x d'un ensemble X donné est associé à un seul nombre y, écrit , tandis que x est appelé l'argument de la fonction, y est appelé la valeur de la fonction.
Il existe différentes manières de définir des fonctions.

1. Méthode analytique.
Méthode analytique - C'est la manière la plus courante de spécifier une fonction.
Cela consiste dans le fait que la fonction est donnée par une formule qui établit quelles opérations doivent être effectuées sur x pour trouver y. Par exemple .
Regardons le premier exemple - . Ici la valeur x = 1 correspond à , la valeur x = 3 correspond, etc.
Une fonction peut être définie sur différentes parties de l'ensemble X par différentes fonctions.
Par exemple:

Dans tous les exemples donnés précédemment de méthode analytique de réglage, la fonction a été spécifiée explicitement. Autrement dit, à droite se trouvait la variable y et à droite la formule pour la variable x. Cependant, avec la méthode analytique de paramétrage, la fonction peut également être spécifiée implicitement.
Par exemple . Ici, si nous donnons une valeur à la variable x, alors pour trouver la valeur de la variable y (la valeur de la fonction), nous devons résoudre l'équation. Par exemple, pour la première fonction donnée en x = 3, nous allons résoudre l'équation :
. Autrement dit, la valeur de la fonction à x = 3 est -4/3.
Avec la méthode analytique de réglage, la fonction peut être spécifiée paramétriquement - c'est lorsque x et y sont exprimés via un paramètre t. Par exemple,

Ici à t = 2, x = 2, y = 4. Autrement dit, la valeur de la fonction à x = 2 est 4.
2. Méthode graphique.
Avec la méthode graphique, un système de coordonnées rectangulaires est introduit et un ensemble de points avec des coordonnées (x, y) est représenté dans ce système de coordonnées. En même temps. Exemple:
3. Méthode verbale.
La fonction est spécifiée à l'aide d'une formulation verbale. Un exemple classique est la fonction Dirichlet.
« La fonction est égale à 1 si x est un nombre rationnel ; la fonction est égale à 0 si x est un nombre irrationnel.
4. Méthode tabulaire.
La méthode tabulaire est plus pratique lorsque l’ensemble X est fini. Avec cette méthode, un tableau est compilé dans lequel chaque élément de l'ensemble X se voit attribuer un numéro Y.
Exemple.

Concept d'une fonction Méthodes de spécification d'une fonction Exemples de fonctions Définition analytique d'une fonction Méthode graphique de spécification d'une fonction Limite d'une fonction en un point Méthode tabulaire de spécification d'une fonction théorème sur les limites unicité d'une limite limite d'une fonction ayant une limite transition vers une limite dans une inégalité Limite d'une fonction à l'infini Fonctions infinitésimales Propriétés des fonctions infinitésimales

La notion de fonction est fondamentale et initiale, tout comme la notion d'ensemble. Soit X un ensemble de nombres réels x. Si chaque x € X, selon une loi, est associé à un certain nombre réel y, alors ils disent qu'une fonction est donnée sur l'ensemble X et écrivent La fonction ainsi introduite est appelée numérique. Dans ce cas, l'ensemble X est appelé le domaine de définition de la fonction, et la variable indépendante x est appelée l'argument. Pour indiquer une fonction, ils utilisent parfois uniquement le symbole qui désigne la loi de correspondance, c'est-à-dire au lieu de f(x) n et jester simplement /. Ainsi, une fonction est spécifiée si 1) le domaine de définition 2) sont spécifiés la règle /, qui attribue à chaque valeur a : € X un certain nombre y = /(x) - la valeur de la fonction correspondant à cette valeur de l'argument x. Les fonctions / et g sont dites égales si leurs domaines coïncident et que l'égalité f(x) = g(x) est vraie pour toute valeur de l'argument x de leur domaine commun de définition. Ainsi, les fonctions y, ne sont pas égales ; ils ne sont égaux que sur l'intervalle [O, I]. Exemples de fonctions. 1. La séquence (o„) est fonction d'un argument entier, défini sur l'ensemble des nombres naturels, tel que /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Fonction y = n ? (lire « en-factoriel »). Donné sur l'ensemble des nombres naturels : chaque nombre naturel n est associé au produit de tous les nombres naturels de 1 à n inclus : et par convention on suppose 0 ! = 1. Le signe de désignation vient du mot latin signum - signe. Cette fonction est définie sur toute la droite numérique ; son ensemble de valeurs se compose de trois nombres -1,0, I (Fig. 1). Pour une fonction, le domaine de définition est le segment. Pour la fonction y - sin x, le domaine de définition est l'axe numérique entier. Notez que toutes les formules ne définissent pas une fonction. Par exemple, la formule ne définit aucune fonction, puisqu’il n’existe pas une seule valeur réelle de x pour laquelle les deux racines écrites ci-dessus auraient des valeurs réelles. La tâche analytique d’une fonction peut paraître assez compliquée. En particulier, une fonction peut être définie par différentes formules sur différentes parties de son domaine de définition. Par exemple, une fonction pourrait être définie comme ceci : 1.2. Méthode graphique de spécification d'une fonction La fonction y = f(x) est dite spécifiée graphiquement si son graphique est donné, c'est-à-dire un ensemble de points (xy/(x)) sur le plan xOy dont les abscisses appartiennent au domaine de définition de la fonction, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction (Fig. 4). Pour chaque fonction, son graphique ne peut pas être représenté sous forme de figure. Par exemple, la fonction de Dirichlet si x est rationnel, si x est irrationnel, ZX \o, ne permet pas une telle image. La fonction R(x) est spécifiée sur toute la droite numérique et l'ensemble de ses valeurs se compose de deux nombres 0 et 1. 1.3. Méthode tabulaire de spécification d'une fonction Une fonction est dite tabulaire si un tableau est fourni dans lequel les valeurs numériques de la fonction sont indiquées pour certaines valeurs d'argument. Lors de la spécification d'une fonction dans un tableau, son domaine de définition est constitué uniquement des valeurs x\t x2i..., xn répertoriées dans le tableau. §2. Limite d'une fonction en un point La notion de limite d'une fonction est au cœur de l'analyse mathématique. Soit la fonction f(x) définie dans un certain voisinage Q du point xq, sauf peut-être au point de redéfinition (Cauchy). Un nombre A est appelé limite de la fonction f(x) au point xo si pour tout nombre e > 0, qui peut être arbitrairement petit, il existe un nombre<5 > 0, tel que pour tout iGH.i^ x0 satisfaisant la condition l'inégalité est vraie Concept de fonction Méthodes de spécification d'une fonction Exemples de fonctions Paramétrage analytique d'une fonction Méthode graphique de spécification d'une fonction Limite d'une fonction en un point Méthode tabulaire de spécifier un théorème de fonction sur les limites unicité d'une limite délimitation d'une fonction ayant une limite de transition vers la limite dans l'inégalité Limite d'une fonction à l'infini Fonctions infinitésimales Propriétés des fonctions infinitésimales Notation : À l'aide de symboles logiques, cette définition s'exprime comme suit Exemples . 1. À l'aide de la définition de la limite d'une fonction en un point, montrez que la Fonction est définie partout, y compris au point zo = 1 : /(1) = 5. Prenez n'importe lequel. Pour que l'inégalité |(2x + 3) - 5| a eu lieu, les inégalités suivantes doivent être satisfaites. Par conséquent, si nous prenons, nous avons. Cela signifie que le nombre 5 est la limite de la fonction : au point 2. En utilisant la définition de la limite d'une fonction, montrez que la Fonction n'est pas définie au point xo = 2. Considérons /(x) dans un voisinage de le point Xq = 2, par exemple, sur l'intervalle ( 1, 5), ne contenant pas le point x = 0, auquel la fonction /(x) est également indéfinie. Prenons un nombre arbitraire avec > 0 et transformons l'expression |/(x) - 2| pour x φ 2 comme suit Pour x b (1, 5) on obtient l'inégalité Il est clair que si l'on prend 6 = c, alors pour tout x € (1,5) soumis à la condition l'inégalité sera vraie. le nombre A - 2 est la limite d'une fonction donnée en un point. Donnons une explication géométrique de la notion de limite d'une fonction en un point en nous référant à son graphique (Fig. 5). Pour x, les valeurs de la fonction /(x) sont déterminées par les ordonnées des points de la courbe M\M, et pour x > xo - par les ordonnées des points de la courbe MM2. La valeur /(x0) est déterminée par l'ordonnée du point N. Le graphique de cette fonction est obtenu si l'on prend une « bonne » courbe M\MMg et remplace le point M(x0, A) de la courbe par le point jV. Montrons qu'au point xo la fonction f(x) a une limite égale au nombre A (l'ordonnée du point M). Prenez n'importe quel nombre (aussi petit que désiré) e > 0. Marquez sur l'axe Oy les points d'ordonnées A, A - e, A + e Notons P et Q les points d'intersection du graphique de la fonction y. = /(x) avec les droites y = A- epy = A + e. Soit respectivement les abscisses de ces points x0 - Al x0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Il ressort clairement de la figure que pour tout x Ф x0 de l'intervalle (x0 - h\, x0 + hi), la valeur de la fonction /(x) est comprise entre. pour tout x ^ xo satisfaisant la condition, l'inégalité est vraie. Nous mettons alors l'intervalle sera contenu dans l'intervalle et, par conséquent, l'inégalité ou, qui est la même, sera satisfaite pour tout x satisfaisant la condition. que Ainsi, la fonction y = /(x) a une limite A au point x0 si, quelle que soit l'étroitesse de la bande e entre les droites y = A - eny = A + e, il existe un 5 > 0 tel que pour tout x à partir du voisinage perforé du point x0 les points du graphe de la fonction y = /(x) se retrouvent à l'intérieur de la e-strip spécifiée. Remarque 1. La valeur de b dépend de e : 6 = 6(e). Remarque 2. Pour déterminer la limite d'une fonction au point Xq, le point xo lui-même est exclu de la considération. Ainsi, la valeur de la fonction au point Ho ns affecte la limite de la fonction en ce point. De plus, la fonction peut même ne pas être définie au point Xq. Par conséquent, deux fonctions égales au voisinage du point Xq, excluant peut-être le point xo lui-même (où elles peuvent avoir différentes significations , l'un d'eux ou les deux ensemble peuvent être indéfinis), ont la même limite pour x - Xq ou les deux n'ont pas de limite. De là, en particulier, il s'ensuit que pour trouver la limite d'une fraction au point xo, il est légal de réduire cette fraction en expressions égales qui s'annulent en x = Xq. Exemple 1. Trouver La fonction /(x) = j pour tout x Ф 0 est égal à un, mais au point x = 0 elle n'est pas définie. En remplaçant /(x) par la fonction d(x) = 1 qui lui est égale en x 0, on obtient le Concept de fonction Méthodes de spécification d'une fonction Exemples de fonctions Paramétrage analytique d'une fonction Méthode graphique de spécification d'une fonction La limite de une fonction en un point Méthode tabulaire de spécification d'une fonction théorème sur les limites l'unicité d'une limite la limite d'une fonction, ayant une limite, transition vers la limite dans l'inégalité Limite d'une fonction à l'infini Fonctions infinitésimales Propriétés des fonctions infinitésimales Exemple 2 . Trouvez lim /(x), où la fonction coïncide avec la fonction /(x) partout, à l'exclusion du point x = 0, et a au point x = 0 une limite égale à zéro : lim d(x) = 0 (montrez-le ! ). Donc lim /(x) = 0. Problème. Formuler en utilisant des inégalités (dans le langage e -6), ce qui signifie Soit défini la fonction /(i) dans un voisinage Π du point x0, sauf peut-être le point x0 lui-même. Définition (Heine). Le nombre A est appelé limite de la fonction /(x) au point x0 si pour toute séquence (xn) de valeurs de l'argument x 6 P, z„ / x0) convergeant vers le point x0, la séquence correspondante des valeurs de la fonction (f(x„)) converge vers le nombre A. La définition ci-dessus est pratique à utiliser lorsqu'il est nécessaire d'établir que la fonction /(x) n'a pas de limite au point x0. Pour ce faire, il suffit de trouver une séquence (f(xn)) qui n'a pas de limite, ou d'indiquer deux séquences (f(xn)) et (f(xn)) ayant des limites différentes. Montrons, par exemple. , que la fonction ii /(x) = sin j (Fig. 7), définie PARTOUT, à l'exception du POINT X = O, la Fig. 7 n'a pas de limite au point x = 0. Considérons deux séquences (convergeant vers le point x = 0. Les valeurs des séquences correspondantes de la fonction /(x) convergent vers des limites différentes : la séquence (sinnTr) converge vers zéro, et la séquence (sin(5 + - vers un. Cela signifie que la fonction /( x) = sin j au point x = 0 n'a pas de limite Remarque : Les deux définitions de la limite d'une fonction en un point (définition de Cauchy et définition de Heine) sont équivalentes. Théorèmes des limites Théorème 1 (unicité de la limite Si). la fonction f(x) a une limite au point xo, alors cette limite est unique Soit lim /(x) = A. Montrons qu'aucun nombre B φ A ne peut être la limite x-x0 de la fonction /(. x) au point x0. Le fait que lim /(x) φ En utilisant les symboles logiques XO se formule ainsi : En utilisant l'inégalité obtenue, prenons e = > 0. Puisque lim /(x) = A, pour le e > 0 choisi il y a 6 > 0 tel que À partir de la relation (1) pour les valeurs indiquées de x, nous avons Ainsi, il a été constaté que peu importe la taille de x Φ xQ tel que et en même temps ^ e. D'où B Définition. Une fonction /(x) est dite bornée au voisinage du point x0> s'il existe des nombres M > 0 et 6 > 0 tels que le théorème 2 (limite d'une fonction ayant une limite). Si une fonction f(x) est définie au voisinage d'un point x0 et a une limite finie au point x0, alors elle est bornée dans un certain voisinage de ce point. m Soit Alors pour tout exemple, pour e = 1, il y a 6 > O tel que pour tout x Φ x0 satisfaisant la condition l'inégalité sera vraie En notant que nous obtenons toujours Put. Alors en chaque point x de l'intervalle on aura Cela signifie, selon la définition, que la fonction /(x) est bornée dans un voisinage. Au contraire, de par la bornage de la fonction /(x) dans un voisinage de. au point x0, l'existence d'une limite de la fonction /(x) au point x0 ne s'ensuit pas. Par exemple, la fonction /(x) = sin est limitée au voisinage d'un point mais n'a pas de limite au point x = 0. Formulons encore deux théorèmes, signification géométrique ce qui est assez clair. Théorème 3 (passage à la limite dans l'inégalité). Si /(x) ^ ip(x) pour tout x d'un certain voisinage du point x0, sauf peut-être le point x0 lui-même, et chacune des fonctions /(x) et ip(x) au point x0 a un limite, alors notez qu'une inégalité stricte pour les fonctions n'implique pas nécessairement une inégalité stricte pour leurs limites. Si ces limites existent, alors on peut seulement affirmer que So, par exemple, l'inégalité while est satisfaite pour les fonctions Théorème 4 (limite d'une fonction intermédiaire). Si pour tout x dans un voisinage du point Xq, sauf peut-être le point x0 lui-même (Fig. 9), et les fonctions f(x) et ip(x) au point xo ont la même limite A, alors la la fonction f (x) au point x0 a une limite égale à la même valeur A. § ​​​​4. Limite d'une fonction à l'infini Soit la fonction f(x) soit définie sur toute la droite numérique, ou au moins pour tout x satisfaisant la condition jx| > K pour certains K > 0. Définition. Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) lorsque x tend vers l'infini, et il s'écrit si pour tout e > 0 il existe un nombre jV > 0 tel que pour tout x satisfaisant la condition |x| > lg, l'inégalité est vraie. En remplaçant la condition dans cette définition en conséquence, nous obtenons les définitions que si et seulement si simultanément Ce fait signifie géométriquement ce qui suit : quelle que soit l'étroitesse de la bande électronique entre les droites. lignes y = A-eyu = A + e, il existe une droite x = N >0 telle qu'à droite le graphique de la fonction y = /(x) est entièrement contenu dans la e-strip indiquée (Fig. 10 ). Dans ce cas, ils disent qu'à x +oo le graphique de la fonction y = /(x) se rapproche asymptotiquement de la droite y = A. Exemple, la fonction /(x) = jtjj- est définie sur toute la droite numérique et est une fraction dans laquelle le numérateur est constant et le dénominateur augmente sans limite à mesure que |x| +oo. Il est naturel de s’attendre à ce que lim /(x)=0. Montrons-le. M Prenons n'importe quel e > 0, sous réserve de la condition Pour que la relation ait lieu, l'inégalité avec ou, qui est la même, d'où Ainsi, doit être satisfaite. si nous le prenons, nous l'aurons. Cela signifie que le nombre est la limite d'une fonction donnée à Notez que l'expression radicale n'est que pour t ^ 1. Dans le cas où l'inégalité c est satisfaite automatiquement pour tous Le graphique d'une fonction paire y = - se rapproche asymptotiquement de la droite Problème de ligne. Formuler à l’aide des inégalités ce que signifie le §5. Fonctions infinitésimales Soit la fonction a(x) définie dans un certain voisinage du point xo, sauf peut-être le point x0 lui-même. Définition. La fonction a(x) est dite infinie petite fonction (en abrégé b.m.f.) avec x tendant vers xo, si Concept d'une fonction Méthodes de spécification d'une fonction Exemples de fonctions Paramétrage analytique d'une fonction Méthode graphique de spécification d'une fonction Limite d'une fonction en un point Méthode tabulaire de spécification d'une fonction théorème sur limites unicité d'une limite délimitation d'une fonction ayant une transition limite vers la limite dans l'inégalité Limite d'une fonction à l'infini Fonctions infinitésimales Propriétés des fonctions infinitésimales Par exemple, la fonction a(x) = x - 1 est b. m.f. en x 1, puisque lim(x-l) = 0. Le graphique de la fonction y = x-1 1-1 est représenté sur la Fig. II. En général, la fonction a(x) = x-x0 est l'exemple le plus simple de b. m.f. à x-»ho. Compte tenu de la définition de la limite d'une fonction en un point, définition b. m.f. peut être formulé ainsi. m.f. pour x -» x0.