Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires. Comment représenter graphiquement une fonction Graphique e

L’exposant est l’une des fonctions exponentielles les plus connues en mathématiques. Il représente le nombre d'Euler élevé à la puissance spécifiée. Dans Excel, il existe un opérateur distinct qui vous permet de le calculer. Voyons comment cela peut être utilisé en pratique.

L'exposant est le nombre d'Euler élevé à une puissance donnée. Le nombre d'Euler lui-même est d'environ 2,718281828. Parfois, on l’appelle aussi le numéro Napier. La fonction exposant ressemble à ceci :

où e est le nombre d'Euler et n est le degré d'élévation.

Pour calculer cet indicateur dans Excel, un opérateur distinct est utilisé - EXP.. De plus, cette fonction peut être affichée sous forme de graphique. Nous parlerons plus loin de l'utilisation de ces outils.

Méthode 1 : Calculer l'exposant en saisissant manuellement la fonction

EXP(nombre)

Autrement dit, cette formule ne contient qu'un seul argument. C’est précisément à la puissance à laquelle il faut élever le nombre d’Euler. Cet argument peut être soit une valeur numérique, soit une référence à une cellule contenant un exposant.

Méthode 2 : utilisation de l'assistant de fonction

Bien que la syntaxe de calcul de l'exposant soit extrêmement simple, certains utilisateurs préfèrent utiliser Assistant de fonction. Voyons comment cela se fait avec un exemple.

Si une référence de cellule contenant un exposant est utilisée comme argument, vous devez alors placer le curseur dans le champ "Nombre" et sélectionnez simplement cette cellule sur la feuille. Ses coordonnées seront immédiatement affichées sur le terrain. Après cela, pour calculer le résultat, cliquez sur le bouton "D'ACCORD".

Méthode 3 : traçage

De plus, dans Excel, il est possible de construire un graphique en utilisant comme base les résultats obtenus en calculant l'exposant. Pour construire un graphique, la feuille doit déjà avoir des valeurs calculées de l'exposant de diverses puissances. Ils peuvent être calculés à l'aide de l'une des méthodes décrites ci-dessus.

Tout d’abord, essayez de trouver le domaine de la fonction :

Avez-vous réussi ? Comparons les réponses :

Est-ce que tout va bien ? Bien joué!

Essayons maintenant de trouver la plage de valeurs de la fonction :

Vous l'avez trouvé ? Comparons :

J'ai compris? Bien joué!

Travaillons à nouveau avec des graphiques, mais maintenant ce sera un peu plus compliqué - trouvez à la fois le domaine de définition de la fonction et la plage de valeurs de la fonction.

Comment trouver à la fois le domaine et l'étendue d'une fonction (avancé)

Voici ce qui s'est passé :

Je pense que vous avez compris les graphiques. Essayons maintenant de trouver le domaine de définition d'une fonction conformément aux formules (si vous ne savez pas comment faire, lisez la section sur) :

Avez-vous réussi ? Vérifions réponses:

1. , puisque l'expression radicale doit être supérieure ou égale à zéro.
2. , puisqu'on ne peut pas diviser par zéro et que l'expression radicale ne peut pas être négative.
3. , puisque, respectivement, pour tous.
4. , puisqu'on ne peut pas diviser par zéro.

Cependant, il nous reste encore un point sans réponse...

Je vais répéter encore une fois la définition et la souligner :

Avez-vous remarqué ? Le mot « célibataire » est un élément très, très important de notre définition. Je vais essayer de vous l'expliquer avec mes doigts.

Disons que nous avons une fonction définie par une ligne droite. . À partir de là, nous substituons cette valeur dans notre « règle » et obtenons cela. Une valeur correspond à une valeur. On peut même faire un tableau différentes significations et construisez un graphique de cette fonction pour le vérifier.

"Regarder! - vous dites : « cela se produit deux fois ! » Alors peut-être qu'une parabole n'est pas une fonction ? Non, c'est vrai !

Le fait que « » apparaisse deux fois n’est pas une raison pour accuser la parabole d’ambiguïté !

Le fait est que, lors du calcul, nous avons reçu un match. Et en calculant avec, nous avons reçu un jeu. Alors c'est vrai, une parabole est une fonction. Regardez le graphique :

J'ai compris? Sinon, voici un exemple de vie très loin des mathématiques !

Disons que nous avons un groupe de candidats qui se sont rencontrés lors de la soumission de documents, chacun d'entre eux ayant indiqué, lors d'une conversation, où il habite :

D'accord, il est tout à fait possible que plusieurs hommes vivent dans une même ville, mais il est impossible qu'une personne vive dans plusieurs villes en même temps. C'est comme une représentation logique de notre "parabole" - Plusieurs X différents correspondent au même jeu.

Voyons maintenant un exemple où la dépendance n'est pas une fonction. Disons que ces mêmes gars nous ont dit pour quelles spécialités ils postulaient :

Ici, nous avons une situation complètement différente : une personne peut facilement soumettre des documents pour une ou plusieurs directions. C'est un élément les ensembles sont mis en correspondance plusieurs éléments multitudes. Respectivement, ce n'est pas une fonction.

Testons vos connaissances en pratique.

Déterminez à partir des images ce qui est une fonction et ce qui ne l'est pas :

J'ai compris? Et voilà réponses:

• La fonction est - B, E.
• La fonction n'est pas - A, B, D, D.

Vous demandez pourquoi ? Oui, voici pourquoi :

Sur toutes les photos sauf DANS) Et E) Il y en a plusieurs pour un !

Je suis sûr que maintenant vous pouvez facilement distinguer une fonction d'une non-fonction, dire ce qu'est un argument et ce qu'est une variable dépendante, et également déterminer la plage de valeurs admissibles d'un argument et la plage de définition d'une fonction . Passons à la section suivante : comment définir une fonction ?

Méthodes de spécification d'une fonction

À votre avis, que signifient ces mots ? "définir la fonction"? C'est vrai, cela signifie expliquer à tout le monde quelle est la fonction dans ce cas il y a un discours. Et expliquez-le de manière à ce que tout le monde vous comprenne correctement et que les graphiques de fonctions dessinés par les personnes sur la base de votre explication soient les mêmes.

Comment cela peut-il être fait ? Comment paramétrer une fonction ? La méthode la plus simple, qui a déjà été utilisée plus d'une fois dans cet article, est en utilisant la formule. Nous écrivons une formule et en y substituant une valeur, nous calculons la valeur. Et comme vous vous en souvenez, une formule est une loi, une règle par laquelle il devient clair pour nous et pour une autre personne comment un X se transforme en Y.

Habituellement, c'est exactement ce qu'ils font - dans les tâches, nous voyons des fonctions toutes faites spécifiées par des formules, cependant, il existe d'autres moyens de définir une fonction que tout le monde oublie, et donc la question « comment pouvez-vous définir une fonction autrement ? chicanes. Comprenons tout dans l'ordre et commençons par la méthode analytique.

Méthode analytique de spécification d'une fonction

La méthode analytique consiste à spécifier une fonction à l'aide d'une formule. C'est la méthode la plus universelle, la plus complète et la plus sans ambiguïté. Si vous avez une formule, alors vous savez absolument tout sur une fonction - vous pouvez en faire un tableau de valeurs, vous pouvez construire un graphique, déterminer où la fonction augmente et où elle diminue, en général, étudiez-la au complet.

Considérons la fonction. Quelle est la différence ?

"Qu'est-ce que ça veut dire?" - demandez-vous. Je vais vous expliquer maintenant.

Permettez-moi de vous rappeler que dans la notation, l'expression entre parenthèses est appelée un argument. Et cet argument peut prendre n’importe quelle expression, pas nécessairement simple. Ainsi, quel que soit l’argument (l’expression entre parenthèses), nous l’écrirons plutôt dans l’expression.

Dans notre exemple, cela ressemblera à ceci :

Considérons une autre tâche liée à la méthode analytique de spécification d'une fonction, que vous aurez à l'examen.

Trouvez la valeur de l'expression à.

Je suis sûr qu'au début vous avez eu peur en voyant une telle expression, mais il n'y a absolument rien d'effrayant là-dedans !

Tout est comme dans l'exemple précédent : quel que soit l'argument (l'expression entre parenthèses), nous l'écrirons à la place dans l'expression. Par exemple, pour une fonction.

Que faut-il faire dans notre exemple ? Au lieu de cela, vous devez écrire, et à la place - :

raccourcissez l’expression résultante :

C'est ça!

Travail indépendant

Essayez maintenant de trouver vous-même le sens des expressions suivantes :

1. , Si
2. , Si

Avez-vous réussi ? Comparons nos réponses : Nous sommes habitués au fait que la fonction a la forme

Même dans nos exemples, nous définissons la fonction exactement de cette manière, mais analytiquement, il est possible de définir la fonction sous une forme implicite, par exemple.

Essayez de créer cette fonction vous-même.

Avez-vous réussi ?

C'est ainsi que je l'ai construit.

Quelle équation avons-nous finalement dérivée ?

Droite! Linéaire, ce qui signifie que le graphique sera une ligne droite. Faisons un tableau pour déterminer quels points appartiennent à notre droite :

C’est exactement de cela dont nous parlions… Un correspond à plusieurs.

Essayons de dessiner ce qui s'est passé :

Est-ce que nous avons une fonction ?

C'est vrai, non ! Pourquoi? Essayez de répondre à cette question à l'aide d'un dessin. Qu'as-tu obtenu ?

« Parce qu’à une valeur correspond plusieurs valeurs !

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

C'est vrai, une fonction ne peut pas toujours être exprimée explicitement, et ce qui est « déguisé » en fonction n'est pas toujours une fonction !

Méthode tabulaire de spécification d'une fonction

Comme son nom l’indique, cette méthode est un simple signe. Oui, oui. Comme celui que vous et moi avons déjà réalisé. Par exemple:

Ici, vous avez immédiatement remarqué un motif : le Y est trois fois plus grand que le X. Et maintenant la tâche de « bien réfléchir » : pensez-vous qu'une fonction donnée sous forme de tableau est équivalente à une fonction ?

Ne parlons pas longtemps, mais dessinons !

Donc. Nous dessinons la fonction spécifiée par le papier peint des manières suivantes :

Voyez-vous la différence ? Il ne s'agit pas uniquement de points marqués ! Regardez de plus près :

L'avez-vous vu maintenant ? Lorsque nous définissons une fonction de manière tabulaire, nous affichons sur le graphique uniquement les points que nous avons dans le tableau et la ligne (comme dans notre cas) ne passe que par eux. Lorsque nous définissons analytiquement une fonction, nous pouvons prendre n’importe quel point, et notre fonction ne se limite pas à eux. C'est la particularité. Souviens-toi!

Méthode graphique de construction d'une fonction

La méthode graphique de construction d'une fonction n'est pas moins pratique. Nous dessinons notre fonction, et une autre personne intéressée peut trouver à quoi y est égal en un certain x et ainsi de suite. Graphique et méthodes analytiques certains des plus courants.

Cependant, ici, vous devez vous rappeler ce dont nous avons parlé au tout début : tous les « gribouillis » dessinés dans le système de coordonnées ne sont pas une fonction ! Vous souvenez-vous? Juste au cas où, je copierai ici la définition de ce qu'est une fonction :

En règle générale, les gens nomment généralement exactement les trois manières de spécifier une fonction dont nous avons discuté - analytique (à l'aide d'une formule), tabulaire et graphique, oubliant complètement qu'une fonction peut être décrite verbalement. Comment ça ? Oui, très simple !

Description verbale de la fonction

Comment décrire verbalement une fonction ? Prenons notre exemple récent - . Cette fonction peut être décrit comme « à chaque valeur réelle de x correspond sa triple valeur ». C'est ça. Rien de compliqué. Vous objecterez bien sûr - "il existe des fonctions tellement complexes qu'il est tout simplement impossible de le préciser verbalement!" Oui, il y en a, mais il y a des fonctions plus faciles à décrire verbalement qu'à définir avec une formule. Par exemple : « tout le monde valeur naturelle x correspond à la différence entre les chiffres qui le composent, tandis que la fin du nombre est considérée comme le plus grand chiffre contenu dans l'enregistrement du nombre. Voyons maintenant comment notre description verbale de la fonction est mise en œuvre dans la pratique :

Le plus grand chiffre d'un nombre donné est respectivement le minuscule, alors :

Principaux types de fonctions

Passons maintenant à la partie la plus intéressante - examinons les principaux types de fonctions avec lesquelles vous avez travaillé/travaillez et travaillerez au cours des mathématiques scolaires et collégiales, c'est-à-dire apprenons à les connaître, pour ainsi dire. , et donne-leur brève description. En savoir plus sur chaque fonction dans la section correspondante.

Fonction linéaire

Une fonction de la forme où, sont des nombres réels.

Le graphique de cette fonction est une ligne droite, donc construire une fonction linéaire revient à trouver les coordonnées de deux points.

La position de la droite sur le plan de coordonnées dépend du coefficient angulaire.

La portée d'une fonction (c'est-à-dire la portée des valeurs d'argument valides) est .

Plage de valeurs - .

Fonction quadratique

Fonction du formulaire, où

Le graphique de la fonction est une parabole ; lorsque les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, lorsque les branches sont dirigées vers le haut.

De nombreuses propriétés fonction quadratique dépendent de la valeur du discriminant. Le discriminant est calculé à l'aide de la formule

La position de la parabole sur le plan de coordonnées par rapport à la valeur et au coefficient est indiquée sur la figure :

Domaine de définition

La plage de valeurs dépend de l'extremum de la fonction donnée (point sommet de la parabole) et du coefficient (direction des branches de la parabole)

Proportionnalité inverse

La fonction donnée par la formule, où

Le nombre est appelé coefficient de proportionnalité inverse. Selon la valeur, les branches de l'hyperbole se trouvent dans des carrés différents :

Portée de la définition - .

Plage de valeurs - .

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

1. Une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble est associé à un seul élément de l'ensemble.

• - il s'agit d'une formule désignant une fonction, c'est-à-dire la dépendance d'une variable par rapport à une autre ;
• - valeur de variable, ou argument ;
• - quantité dépendante - change lorsque l'argument change, c'est-à-dire selon toute formule spécifique reflétant la dépendance d'une quantité par rapport à une autre.

2. Valeurs d'argument valides, ou le domaine d'une fonction, est ce qui est associé aux possibilités dans lesquelles la fonction a un sens.

3. Plage de fonctions- ce sont les valeurs qu'il faut, compte tenu des valeurs acceptables.

4. Il existe 4 façons de définir une fonction :

• analytique (à l'aide de formules);
• tabulaire;
• graphique
• description verbale.

5. Principaux types de fonctions :

• : , où, sont des nombres réels ;
• : , Où;
• : , Où.

Choisissons dans l'avion système rectangulaire coordonnées et nous tracerons les valeurs de l'argument sur l'axe des abscisses X, et en ordonnée - les valeurs de la fonction y = f(x).

Graphique de fonction y = f(x) est l'ensemble de tous les points dont les abscisses appartiennent au domaine de définition de la fonction, et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction.

Autrement dit, le graphe de la fonction y = f (x) est l'ensemble de tous les points du plan, coordonnées X, à qui satisfont la relation y = f(x).

Sur la fig. 45 et 46 montrent des graphiques de fonctions y = 2x + 1 Et y = x 2 - 2x.

À proprement parler, il faut distinguer le graphique d'une fonction (dont la définition mathématique exacte a été donnée ci-dessus) et une courbe tracée, qui ne donne toujours qu'une esquisse plus ou moins précise du graphique (et même alors, en règle générale, pas le graphe entier, mais seulement sa partie située dans les parties finales du plan). Cependant, dans ce qui suit, nous dirons généralement « graphique » plutôt que « croquis graphique ».

À l’aide d’un graphique, vous pouvez trouver la valeur d’une fonction en un point. À savoir, si le point x = un appartient au domaine de définition de la fonction y = f(x), puis pour trouver le numéro fa)(c'est-à-dire les valeurs de la fonction au point x = un) tu devrais faire ça. Il faut passer par le point d'abscisse x = un tracer une ligne droite parallèle à l'axe ordonnée; cette ligne coupera le graphique de la fonction y = f(x)à un moment donné ; l'ordonnée de ce point sera, en vertu de la définition du graphique, égale à fa)(Fig. 47).

Par exemple, pour la fonction f(x) = x2 - 2x en utilisant le graphique (Fig. 46) on trouve f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.

Un graphique de fonction illustre clairement le comportement et les propriétés d'une fonction. Par exemple, en considérant la Fig. 46 il est clair que la fonction y = x 2 - 2x prend des valeurs positives lorsque X< 0 et à x > 2, négatif - à 0< x < 2; plus petite valeur fonction y = x 2 - 2x accepte à x = 1.

Pour représenter graphiquement une fonction f(x) il faut trouver tous les points de l'avion, les coordonnées X,à qui satisfont à l'équation y = f(x). Dans la plupart des cas, cela est impossible à faire, car il existe un nombre infini de tels points. Par conséquent, le graphique de la fonction est représenté approximativement - avec plus ou moins de précision. La plus simple est la méthode consistant à tracer un graphique utilisant plusieurs points. Cela consiste dans le fait que l’argument X donnez un nombre fini de valeurs - disons, x 1, x 2, x 3,..., x k et créez un tableau qui inclut les valeurs de fonction sélectionnées.

Le tableau ressemble à ceci :

Après avoir dressé un tel tableau, nous pouvons tracer plusieurs points sur le graphique de la fonction y = f(x). Ensuite, en reliant ces points par une ligne lisse, nous obtenons une vue approximative du graphique de la fonction y = f(x).

Il convient toutefois de noter que la méthode de tracé multipoint est très peu fiable. En fait, le comportement du graphe entre les points visés et son comportement en dehors du segment entre les points extrêmes pris restent inconnus.

Exemple 1. Pour représenter graphiquement une fonction y = f(x) quelqu'un a compilé un tableau de valeurs d'arguments et de fonctions :

Les cinq points correspondants sont représentés sur la Fig. 48.

Sur la base de l'emplacement de ces points, il a conclu que le graphique de la fonction est une ligne droite (représentée sur la figure 48 avec une ligne pointillée). Cette conclusion peut-elle être considérée comme fiable ? À moins de considérations supplémentaires pour étayer cette conclusion, elle peut difficilement être considérée comme fiable. fiable.

Pour étayer notre affirmation, considérons la fonction

.

Les calculs montrent que les valeurs de cette fonction aux points -2, -1, 0, 1, 2 sont exactement décrites par le tableau ci-dessus. Cependant, le graphique de cette fonction n'est pas du tout une ligne droite (il est représenté sur la Fig. 49). Un autre exemple serait la fonction y = x + l + sinπx ; ses significations sont également décrites dans le tableau ci-dessus.

Ces exemples montrent que dans sa forme « pure », la méthode de tracé d'un graphique utilisant plusieurs points n'est pas fiable. Par conséquent, pour tracer un graphique d’une fonction donnée, on procède généralement comme suit. Tout d’abord, nous étudions les propriétés de cette fonction, à l’aide desquelles nous pouvons construire un croquis du graphique. Ensuite, en calculant les valeurs de la fonction en plusieurs points (dont le choix dépend des propriétés établies de la fonction), on trouve les points correspondants du graphe. Et enfin, une courbe est tracée passant par les points construits en utilisant les propriétés de cette fonction.

Nous examinerons plus tard certaines propriétés (les plus simples et les plus fréquemment utilisées) des fonctions utilisées pour trouver une esquisse graphique, mais nous examinerons maintenant certaines méthodes couramment utilisées pour construire des graphiques.

Graphique de la fonction y = |f(x)|.

Il est souvent nécessaire de tracer une fonction y = |f(x)|, où f(x) - fonction donnée. Rappelons comment cela se fait. En définissant la valeur absolue d'un nombre, on peut écrire

Cela signifie que le graphique de la fonction y =|f(x)| peut être obtenu à partir du graphique, fonction y = f(x) comme suit : tous les points du graphique de la fonction y = f(x), dont les ordonnées sont non négatives, doivent rester inchangés ; de plus, au lieu des points du graphique de la fonction y = f(x) ayant des coordonnées négatives, vous devez construire les points correspondants sur le graphique de la fonction y = -f(x)(c'est-à-dire une partie du graphique de la fonction
y = f(x), qui se trouve en dessous de l'axe X, doit être réfléchi symétriquement par rapport à l'axe X).

Exemple 2. Représenter graphiquement la fonction y = |x|.

Prenons le graphique de la fonction y = x(Fig. 50, a) et une partie de ce graphique à X< 0 (situé sous l'axe X) réfléchi symétriquement par rapport à l'axe X. En conséquence, nous obtenons un graphique de la fonction y = |x|(Fig. 50, b).

Exemple 3. Représenter graphiquement la fonction y = |x 2 - 2x|.

Commençons par tracer la fonction y = x 2 - 2x. Le graphique de cette fonction est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut, le sommet de la parabole a les coordonnées (1 ; -1), son graphique coupe l'axe des x aux points 0 et 2. Dans l'intervalle (0 ; 2) la fonction prend des valeurs négatives, donc cette partie du graphique est réfléchie symétriquement par rapport à l'axe des abscisses. La figure 51 montre le graphique de la fonction y = |x 2 -2x|, basé sur le graphique de la fonction y = x 2 - 2x

Graphique de la fonction y = f(x) + g(x)

Considérons le problème de la construction d'un graphique d'une fonction y = f(x) + g(x). si des graphiques de fonctions sont donnés y = f(x) Et y = g(x).

Notez que le domaine de définition de la fonction y = |f(x) + g(x)| est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions y = f(x) et y = g(x) sont définies, c'est-à-dire ce domaine de définition est l'intersection des domaines de définition, fonctions f(x) et g(x).

Laissez les points (x 0 , y 1) Et (x 0, y 2) appartiennent respectivement aux graphes de fonctions y = f(x) Et y = g(x), c'est-à-dire y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Alors le point (x0;. y1 + y2) appartient au graphe de la fonction y = f(x) + g(x)(pour f(x 0) + g(x 0) = oui 1 +y2),. et n'importe quel point du graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu de cette façon. Par conséquent, le graphique de la fonction y = f(x) + g(x) peut être obtenu à partir de graphiques de fonctions y = f(x). Et y = g(x) en remplaçant chaque point ( x n, y 1) graphiques de fonctions y = f(x) point (x n, y 1 + y 2), Où y 2 = g(x n), c'est à dire en décalant chaque point ( x n, y 1) graphique de fonction y = f(x) le long de l'axe à par le montant oui 1 = g(x n). Dans ce cas, seuls ces points sont pris en compte X n pour lequel les deux fonctions sont définies y = f(x) Et y = g(x).

Cette méthode de tracé d'une fonction y = f(x) + g(x) est appelé addition de graphes de fonctions y = f(x) Et y = g(x)

Exemple 4. Sur la figure, un graphique de la fonction a été construit en utilisant la méthode d'addition de graphiques
y = x + sinx.

Lors du tracé d'une fonction y = x + sinx nous pensions que f(x) = x, UN g(x) = péchéx. Pour tracer le graphique de fonction, nous sélectionnons les points avec les abscisses -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valeurs f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Calculons aux points sélectionnés et plaçons les résultats dans le tableau.

L'exposant est noté , ou .

Numéro e

La base du degré de l'exposant est numéro e. Ce nombre irrationnel. C'est à peu près égal
e ≈ 2,718281828459045...

Le nombre e est déterminé par la limite de la séquence. C'est ce qu'on appelle deuxième limite merveilleuse:
.

Le nombre e peut également être représenté sous forme de série :
.

Graphique exponentiel

Le graphique montre l'exposant e dans une certaine mesure X.
oui (x) = ex
Le graphique montre que l'exposant augmente de façon monotone.

Formules

Les formules de base sont les mêmes que pour la fonction exponentielle de base de degré e.

;
;
;

Expression d'une fonction exponentielle avec une base arbitraire de degré a à travers une exponentielle :
.

Valeurs privées

Laissez-vous (x) = ex.
.

Alors

Propriétés des exposants e > 1 .

L'exposant a les propriétés d'une fonction exponentielle avec une base de puissance

Domaine, ensemble de valeurs (x) = ex Exposant y
défini pour tout x.
- ∞ < x + ∞ .
Son domaine de définition :
0 < y < + ∞ .

Ses nombreuses significations :

Extrêmes, croissants, décroissants

L’exponentielle est une fonction croissante de façon monotone, elle n’a donc pas d’extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

Fonction inverse
;
.

L'inverse de l'exposant est le logarithme népérien.

Dérivée de l'exposant e dans une certaine mesure X Dérivé e dans une certaine mesure X :
.
égal à
.
Dérivée du nième ordre :

Formules dérivées > > >

Intégral

Nombres complexes Actions avec nombres complexes réalisé à l'aide:
,
Les formules d'Euler
.

Expressions via des fonctions hyperboliques

; ;
.

Expressions utilisant des fonctions trigonométriques

; ;
;
.

Extension de la série de puissance

Littérature utilisée :
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Un graphique de fonction est une représentation visuelle du comportement d'une fonction sur un plan de coordonnées. Les graphiques vous aident à comprendre divers aspects d'une fonction qui ne peuvent pas être déterminés à partir de la fonction elle-même. Vous pouvez créer des graphiques de nombreuses fonctions, et chacune d'elles recevra une formule spécifique. Le graphique de n'importe quelle fonction est construit à l'aide d'un algorithme spécifique (si vous avez oublié le processus exact de représentation graphique d'une fonction spécifique).

Mesures

Représenter graphiquement une fonction linéaire

Déterminez si la fonction est linéaire. La fonction linéaire est donnée par une formule de la forme F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ou y = k X + b (\ displaystyle y = kx + b)(par exemple, ), et son graphique est une ligne droite. Ainsi, la formule comprend une variable et une constante (constante) sans aucun exposant, signe racine ou autre. Si une fonction d’un type similaire est donnée, il est assez simple de tracer un graphique d’une telle fonction. Voici d'autres exemples de fonctions linéaires :

Utilisez une constante pour marquer un point sur l'axe Y. La constante (b) est la coordonnée « y » du point où le graphique coupe l'axe Y, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un point dont la coordonnée « x » est égale à 0. Ainsi, si x = 0 est substitué dans la formule. , alors y = b (constante). Dans notre exemple y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) la constante est égale à 5, c'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe Y a les coordonnées (0,5). Tracez ce point sur le plan de coordonnées.

Trouver pente direct. Il est égal au multiplicateur de la variable. Dans notre exemple y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) avec la variable « x » il y a un facteur 2 ; ainsi, le coefficient de pente est égal à 2. Le coefficient de pente détermine l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe X, c'est-à-dire que plus le coefficient de pente est grand, plus la fonction augmente ou diminue rapidement.

Écrivez la pente sous forme de fraction. Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison, c'est-à-dire le rapport de la distance verticale (entre deux points sur une droite) à la distance horizontale (entre les mêmes points). Dans notre exemple, la pente est de 2, nous pouvons donc affirmer que la distance verticale est de 2 et la distance horizontale est de 1. Écrivez ceci sous forme de fraction : 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Si la pente est négative, la fonction est décroissante.

1. À partir du point où la ligne droite coupe l'axe Y, tracez un deuxième point en utilisant les distances verticales et horizontales.

   Une fonction linéaire peut être représentée graphiquement à l’aide de deux points. Dans notre exemple, le point d'intersection avec l'axe Y a pour coordonnées (0,5) ; À partir de ce point, déplacez-vous de 2 cases vers le haut puis d’1 case vers la droite. Marquez un point ; il aura les coordonnées (1,7). Vous pouvez maintenant tracer une ligne droite.À l’aide d’une règle, tracez une ligne droite passant par deux points.

   Pour éviter les erreurs, trouvez le troisième point, mais dans la plupart des cas, le graphique peut être tracé en utilisant deux points. Ainsi, vous avez tracé une fonction linéaire.

   1. Tracer des points sur le plan de coordonnées Définir une fonction.

      La fonction est notée f(x). Toutes les valeurs possibles de la variable "y" sont appelées le domaine de la fonction, et toutes les valeurs possibles de la variable "x" sont appelées le domaine de la fonction. Par exemple, considérons la fonction y = x+2, à savoir f(x) = x+2. Tracez deux lignes perpendiculaires qui se croisent.

      La ligne horizontale est l'axe X. La ligne verticale est l'axe Y.Étiquetez les axes de coordonnées. Divisez chaque axe en segments égaux et numérotez-les. Le point d'intersection des axes est 0. Pour l'axe X : à droite (à partir de 0) sont tracés nombres positifs

      , et à gauche sont négatifs. Pour l'axe Y : les nombres positifs sont tracés en haut (à partir de 0) et les nombres négatifs en bas. Trouvez les valeurs de "y" à partir des valeurs de "x".

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Dans notre exemple, f(x) = x+2. Remplacez des valeurs x spécifiques dans cette formule pour calculer les valeurs y correspondantes. Si on vous donne une fonction complexe, simplifiez-la en isolant le « y » d’un côté de l’équation. Tracez les points sur le plan de coordonnées.

      Pour chaque paire de coordonnées, procédez comme suit : recherchez la valeur correspondante sur l'axe X et tracez une ligne verticale (en pointillés) ; trouvez la valeur correspondante sur l’axe Y et tracez une ligne horizontale (ligne pointillée). Marquez le point d'intersection des deux lignes pointillées ; ainsi, vous avez tracé un point sur le graphique. Effacez les lignes pointillées.

   Faites cela après avoir tracé tous les points du graphique sur le plan de coordonnées. Remarque : le graphique de la fonction f(x) = x est une droite passant par le centre de coordonnées [point de coordonnées (0,0)] ; le graphe f(x) = x + 2 est une droite parallèle à la droite f(x) = x, mais décalée vers le haut de deux unités et passant donc par le point de coordonnées (0,2) (car la constante est 2) .

   Représenter graphiquement une fonction complexe Les zéros d'une fonction sont les valeurs de la variable x où y = 0, c'est-à-dire que ce sont les points où le graphique coupe l'axe X. Gardez à l'esprit que toutes les fonctions n'ont pas de zéros, mais ce sont les premières. étape dans le processus de représentation graphique d’une fonction. Pour trouver les zéros d’une fonction, assimilez-la à zéro. Par exemple:

   Trouvez et marquez les asymptotes horizontales. Une asymptote est une ligne que le graphique d'une fonction approche mais ne coupe jamais (c'est-à-dire que dans cette région, la fonction n'est pas définie, par exemple lors d'une division par 0). Marquez l'asymptote avec une ligne pointillée. Si la variable « x » est au dénominateur d'une fraction (par exemple, y = 1 4 − X 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), mettez le dénominateur à zéro et trouvez « x ». Dans les valeurs obtenues de la variable « x », la fonction n'est pas définie (dans notre exemple, tracez des lignes pointillées passant par x = 2 et x = -2), car vous ne pouvez pas diviser par 0. Mais les asymptotes n'existent pas seulement dans les cas où la fonction contient une expression fractionnaire. Il est donc recommandé de faire preuve de bon sens :