Les fonctions de Walsh sont périodiques si. Représentation des signaux par des fonctions discontinues. Fonctions Rademacher, Walsh, Haar. Transformée de Walsh discrète

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Les fonctions de Walsh sont une famille de fonctions qui forment un système orthogonal, prenant uniquement les valeurs 1 et -1 dans tout le domaine de définition.

En principe, les fonctions de Walsh peuvent être représentées sous la forme forme continue, mais le plus souvent, ils sont définis comme des séquences discrètes de $2^n$ éléments. Groupe de $2^n$ Les fonctions de Walsh forment la matrice Hadamard.

Les fonctions de Walsh sont largement utilisées dans les communications radio, où elles sont utilisées pour mettre en œuvre l'accès multiple par répartition en code (CDMA), par exemple dans de telles normes. communication cellulaire comme IS-95, CDMA2000 ou UMTS.

Le système de fonctions de Walsh est une base orthonormée et, par conséquent, permet d'étendre des signaux de forme arbitraire en une série de Fourier généralisée.

Une généralisation des fonctions de Walsh au cas de plus de deux valeurs sont les fonctions de Vilenkin – Chrestenson.

Désignation

Soit la fonction de Walsh définie sur l'intervalle ; en dehors de cet intervalle, la fonction est répétée périodiquement. Introduisons le temps sans dimension $\thêta = t / T$ . Alors la fonction de Walsh numérotée k est notée $wal(k,\thêta)$ . La numérotation des fonctions dépend de la méthode d'ordre des fonctions. Il existe un ordre de Walsh - dans ce cas, les fonctions sont désignées comme décrit ci-dessus. Les commandes Paley sont également courantes ( $copain(p,\thêta)$ ) et Hadamard ( $avait(h,\thêta)$ ).

Concernant le moment $\thêta = 0$ Les fonctions de Walsh peuvent être divisées en paires et impaires. Ils sont désignés comme $cal(k,\thêta)$ Et $sal(k,\thêta)$ respectivement. Ces fonctions sont similaires aux sinus et cosinus trigonométriques. La relation entre ces fonctions s'exprime comme suit :

$cal(k,\theta) = wal(2k,\theta)$ $sal(k,\theta) = wal(2k-1,\theta)$

Formation

Il existe plusieurs méthodes de formation. Considérons l'une d'entre elles, la plus visuelle : la matrice Hadamard peut être formée par une méthode récursive en construisant des matrices de blocs à l'aide de la formule générale suivante :

$H_(2^n) = \begin(bmatrix)H_(2^(n-1)) & H_(2^(n-1)) \\ H_(2^(n-1)) & -H_(2^(n-1)) \end(bmatrix)$

C'est ainsi qu'une matrice Hadamard de longueur peut être formée $2^n$ :

$H_1 = \begin(bmatrice)1\fin(bmatrice)$

$H_2 = \begin(bmatrice)1 & 1 \\ 1 & -1 \end(bmatrice)$

$H_4 = \begin(bmatrice)1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end(bmatrix)$

Chaque ligne de la matrice Hadamard est une fonction de Walsh.

DANS dans ce cas les fonctions sont ordonnées par Hadamard. Le numéro de fonction Walsh est calculé à partir du numéro de fonction Hadamard en réorganisant les bits dans la notation binaire du nombre dans l'ordre inverse, suivi de la conversion du résultat du code Gray.

Exemple

Le résultat est une matrice de Walsh dans laquelle les fonctions sont ordonnées par Walsh :

$W_4 = \begin(bmatrice)1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end(bmatrix)$

Propriétés

1. Orthogonalité

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Littérature

Baskakov S.I. Circuits et signaux d'ingénierie radio. - M. : Ecole Supérieure, 2005 - ISBN 5-06-003843-2
Golubov B.I., Efimov A.V., Skvortsov V.A. Séries et transformations de Walsh : théorie et applications. - M. : Sciences, 1987
Zalmanzon L.A. Fourier, Walsh, Haar transforme et leur application dans le contrôle, les communications et d'autres domaines. - M. : Nauka, 1989 - ISBN 5-02-014094-5

Voir aussi

Remarques

Extrait caractérisant la fonction de Walsh

"Apparemment, tout le monde n'est pas encore parti, prince", a déclaré Bagration. – Jusqu’à demain matin, demain on saura tout.
"Il y a un piquet sur la montagne, Votre Excellence, toujours au même endroit où il se trouvait le soir", rapporta Rostov, se penchant en avant, tenant sa main sur la visière et incapable de contenir le sourire amusé provoqué en lui par son voyage. et surtout par le bruit des balles.
"D'accord, d'accord", a déclaré Bagration, "merci, monsieur l'officier."
"Votre Excellence," dit Rostov, "permettez-moi de vous demander."
- Ce qui s'est passé?
« Demain, notre escadron est affecté aux réserves ; Laissez-moi vous demander de me détacher auprès du 1er escadron.
- Quel est ton nom de famille ?
- Comte Rostov.
- Oh d'accord. Reste avec moi comme infirmier.
– Le fils d'Ilya Andreich ? - a déclaré Dolgoroukov.
Mais Rostov ne lui répondit pas.
- J'espère donc, Votre Excellence.
- Je vais commander.
« Demain, peut-être, ils enverront une sorte d'ordre au souverain », pensa-t-il. - Que Dieu bénisse".

Les cris et les incendies dans l'armée ennemie se produisaient parce que pendant que l'ordre de Napoléon était lu parmi les troupes, l'empereur lui-même se promenait à cheval autour de ses bivouacs. Les soldats, voyant l'empereur, allumèrent des bottes de paille et, criant : vive l'empereur ! coururent après lui. L'ordre de Napoléon était le suivant :
"Militaires! L'armée russe se lance contre vous pour venger l'armée autrichienne d'Ulm. Ce sont les mêmes bataillons que vous avez vaincus à Gollabrunn et que vous n'avez cessé depuis de poursuivre jusqu'à cet endroit. Les positions que nous occupons sont puissantes, et pendant qu'ils se déplacent pour me flanquer sur la droite, ils exposeront mon flanc ! Militaires! Je dirigerai moi-même vos bataillons. Je resterai loin du feu si vous, avec votre courage habituel, semez le désordre et la confusion dans les rangs ennemis ; mais si la victoire est douteuse ne serait-ce qu'une minute, vous verrez votre empereur exposé aux premiers coups de l'ennemi, car il ne peut y avoir aucun doute dans la victoire, surtout un jour où l'honneur de l'infanterie française, si nécessaire à l’honneur de sa nation, est en cause.
Sous prétexte d'évacuer les blessés, ne bouleversez pas les rangs ! Que chacun soit pleinement imprégné de l’idée qu’il faut vaincre ces mercenaires d’Angleterre, inspirés par une telle haine contre notre nation. Cette victoire mettra fin à notre campagne, et nous pourrons regagner nos quartiers d'hiver, où nous retrouveront les nouvelles troupes françaises qui se forment en France ; et alors la paix que je ferai sera digne de mon peuple, vous et moi.
Napoléon."

A 5 heures du matin, il faisait encore complètement noir. Les troupes du centre, des réserves et du flanc droit de Bagration étaient toujours immobiles ; mais sur le flanc gauche, les colonnes d'infanterie, de cavalerie et d'artillerie, qui étaient censées descendre les premières des hauteurs pour attaquer le flanc droit français et le rejeter, selon leur disposition, dans les montagnes de Bohême, avaient déjà ont commencé à s'agiter et ont commencé à se lever de leurs positions de nuit. La fumée des incendies dans lesquels ils jetaient tout ce qui était inutile me rongeait les yeux. Il faisait froid et sombre. Les officiers buvaient du thé à la hâte et prenaient leur petit-déjeuner, les soldats mâchaient des craquelins, frappaient un coup de feu avec leurs pieds, s'échauffaient et se précipitaient contre les incendies, jetant dans le bois de chauffage les restes de cabines, de chaises, de tables, de roues, de cuves, tout ce qui était inutile. ne pouvait pas être emporté avec eux. Les chefs de colonne autrichiens se sont précipités entre les troupes russes et ont servi de précurseurs à l'attaque. Dès qu'un officier autrichien est apparu près du camp du commandant du régiment, le régiment a commencé à bouger : les soldats ont fui les incendies, ont caché des tubes dans leurs bottes, des sacs dans les chariots, ont démonté leurs armes et se sont alignés. Les officiers se boutonnaient, mettaient leurs épées et leurs sacs à dos et parcouraient les rangs en criant ; Les wagons et les aides-soignants attelèrent, emballèrent et attachèrent les chariots. Les adjudants, les commandants de bataillon et de régiment étaient assis à cheval, se signaient, donnaient les derniers ordres, instructions et instructions aux convois restants, et le piétinement monotone de mille pieds retentissait. Les colonnes se déplaçaient sans savoir d'où et sans voir, des gens qui les entouraient, de la fumée et du brouillard croissant, ni la zone d'où elles partaient, ni celle dans laquelle elles entraient.
Un soldat en mouvement est aussi entouré, limité et attiré par son régiment qu'un marin par le navire sur lequel il se trouve. Peu importe jusqu'où il va, peu importe les latitudes étranges, inconnues et dangereuses dans lesquelles il entre, autour de lui - comme pour un marin, il y a toujours et partout les mêmes ponts, mâts, cordages de son navire - toujours et partout les mêmes camarades, les mêmes rangées, le même sergent-major Ivan Mitrich, le même chien de compagnie Zhuchka, les mêmes supérieurs. Un soldat souhaite rarement connaître les latitudes sous lesquelles se trouve l’ensemble de son navire ; mais le jour de la bataille, Dieu sait comment et d'où, dans le monde moral de l'armée, une note sévère se fait entendre pour chacun, qui sonne comme l'approche de quelque chose de décisif et de solennel et suscite une curiosité inhabituelle. Pendant les jours de bataille, les soldats tentent avec enthousiasme de se soustraire aux intérêts de leur régiment, écoutent, regardent attentivement et s'interrogent avec impatience sur ce qui se passe autour d'eux.
Le brouillard est devenu si fort que, même si c'était l'aube, il était impossible de voir dix pas devant soi. Les buissons ressemblaient à des arbres immenses, les endroits plats ressemblaient à des falaises et des pentes. Partout, de tous côtés, on pouvait rencontrer un ennemi invisible à dix pas. Mais les colonnes marchèrent longtemps dans le même brouillard, descendant et remontant les montagnes, passant devant des jardins et des clôtures, à travers un terrain nouveau et incompréhensible, sans jamais rencontrer d'ennemi. Au contraire, tantôt devant, tantôt derrière, de tous côtés, les soldats apprirent que nos colonnes russes allaient dans la même direction. Chaque soldat se sentait bien dans son âme parce qu'il savait que, au même endroit où il allait, c'est-à-dire sans savoir où, allaient beaucoup, beaucoup plus d'entre nous.
"Regardez, les soldats de Koursk sont passés", disaient-ils dans les rangs.
- Passion, mon frère, que nos troupes ont rassemblées ! Le soir, j'ai regardé comment étaient disposées les lumières, il n'y avait pas de fin en vue. Moscou - un mot !
Même si aucun des commandants de colonne ne s'est approché des rangs ni n'a parlé aux soldats (les commandants de colonne, comme nous l'avons vu au conseil militaire, n'étaient pas de bonne humeur et n'étaient pas satisfaits de l'entreprise et n'ont donc fait qu'exécuter les ordres et ne se souciaient pas de amusant les soldats), malgré Cependant, les soldats marchaient joyeusement, comme toujours, en passant à l'action, surtout offensivement. Mais après avoir marché environ une heure dans un épais brouillard, la majeure partie de l’armée a dû s’arrêter et une désagréable conscience du désordre et de la confusion persistants a balayé les rangs. La manière dont cette conscience est transmise est très difficile à déterminer ; mais ce qui est sûr, c'est qu'elle se transmet d'une manière inhabituellement fidèle et se propage rapidement, imperceptiblement et de manière incontrôlable, comme l'eau dans un ravin. Si seulement armée russe il y avait une chose, sans alliés, alors peut-être beaucoup de temps se serait écoulé avant que cette conscience du désordre ne devienne une confiance générale ; mais maintenant, avec un plaisir et un naturel particuliers attribuant la cause des troubles aux stupides Allemands, tout le monde était convaincu qu'il existait une confusion néfaste provoquée par les fabricants de saucisses.

Le système IS95c (CDMA-2000-1x) utilise la technologie d'accès multiple par répartition en code (voir PSP et caractéristiques), grâce à l'utilisation de cette technologie, la méthode d'adressage des canaux, des stations mobiles et de base dans le système est également mise en œuvre à l'aide de codes dans d'une manière spéciale. Pour expliquer les principes mis en œuvre dans ce système, cette section expliquera d'abord certains concepts techniques, puis abordera les problèmes en détail.

Configuration des canaux radio

La configuration radio (RC) définit la configuration des canaux physiques en fonction du débit de données spécifique. Chaque RC définit un ensemble de débits de données, basés sur 9,6 ou 14,4 kbit/s. Ce sont les deux débits de données existants pris en charge par l'IS95c. Chaque RC définit également la largeur spectrale (taux d'étalement SR1) et le type de codage. Il existe actuellement cinq configurations de liaison radio définies dans cdma2000-1x pour la liaison aller et trois pour la liaison retour.

Taux de propagation : le taux de puces du canal aller ou retour IS95c utilise SR1 (taux de propagation 1) : identique à « 1XRTT ». Les canaux CDMA aller et retour utilisent un spectre étalé direct avec une séquence pseudo-aléatoire à une vitesse de puce de 1,2288 MHz.

La configuration RC2 basée sur une vitesse de 14,4 kbit/s prend également en charge des vitesses de 9,6, 4,8, 2,4 et 1,5 kbit/s pour la voix fonctionnant en SR1 n=9 R=1/2.

La configuration RC3, basée sur 9,6 kbps, prend également en charge 4,8, 2,7 et 1,5 kbps pour la voix, tandis que pour les flux de données avec des configurations de code de canal sont utilisées - prenant en charge 19,2, 38,4, 76,8 et 153,6 kbps/s et fonctionne en SR1 et. utilise le codage de canal avec les paramètres n=9 R=1/2.

La configuration RC4 pour la transmission de données utilise des flux avec un changement dans le code de canal - prenant en charge des vitesses de 9,6, 19,2, 38,4, 76,8, 153,6 et 307,2 kbit/s et fonctionne en SR1 et utilise des codes turbo.

RC5 - utilisé uniquement pour la transmission de données, des flux avec des configurations de code de canalisation sont utilisés - prenant en charge les vitesses 14,4, 28,8, 57,6, 115,2 et 230,4 travaux dans SR1 utilise des utilisations spéciales. encodage et, grâce à une gamme standardisée de vitesses, constitue la configuration la plus privilégiée pour la transmission de données.

Configuration radio	Configuration	Formule de vitesse, kbit/s
	rouler code R=1/2, k=9
	rouler code R=1/2, k=9
	rouler code R=1/2, k=9
	codes turbo
	spécialiste. codage

Tableau 1. Liste des configurations de liaison radio aller.

La configuration RC détermine également le mode de fonctionnement du chemin de transmission radio, par exemple, le mode RC3 utilise une nouvelle méthode de modulation, voir Fig. 1, et le mode RC1 est entièrement compatible avec l'IS95a CCC, voir. photo 1.

Riz. 1. Modulateur permettant de configurer le canal radio RC3

Dans cette section, nous considérerons le système en mode RC1.

Codes utilisés dans le système IS-95c.

SSMS utilise trois types de codes : les séquences m courtes et longues et les codes de Walsh.

PSP courte

Le court PSP se compose de deux séquences de brouillage pseudo-aléatoires PSP - I et PSP - Q (les symboles I et Q correspondent au but physique et indiquent les composants en phase et en quadrature dans le modulateur). La période de chacune des PSP nommées contient 215 chips dont le taux de répétition, selon la norme, est de 1,2288 Mchip/s. Un calcul direct montre qu'exactement 75 périodes de courtes PSP correspondent à un segment de deux secondes. Les PSP structurellement courtes sont des M - séquences de longueur

N=2-1 avec polynômes caractéristiques

f je = x 15 + x 13 + x 9 + x 8 + x 7 + x 5 +1 et

fQ = X 15 + X 12 + X 11 + X 10 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 +1,

étendu en ajoutant un symbole zéro à une chaîne de 14 zéros consécutifs dans chaque période.

PSP longue

Les symboles PSP longs ont un taux de répétition de 1,2288 Mchip/s. La formation d'un PSP long s'effectue à l'aide d'un polynôme

f( x) = x 42 + x 35 + x 33 + x 31 + x 27 + x 26 + x 25 + x 22 + x 21 + x 19 + + X 18 + X 17 + X 16 + X 10 + X 7 + X 6 + X5 + X3 + X2 + X + 1.

Codes Walsh

Les codes Walsh utilisés dans le système sont désignés par : W n N , où N est la longueur du code, n est la ligne de la matrice Walsh-Hadamard. Cette matrice est construite par un algorithme itératif (voir Fig. 2). A chaque itération, tout mot de code obtenu à l'étape précédente est converti en deux nouveaux en doublant la longueur en répétant deux fois dans un mot et en répétant avec un changement de signe dans l'autre. Ainsi, si C k , un certain mot obtenu à la k-ème étape, ses « descendants » à la k+1-ème étape seront des mots de la forme (C k ,C k),(C k ,-C k) , ainsi à partir des mots triviaux de longueur 1, égale à 1, en k itérations on peut obtenir 2 k vecteurs de code de longueur N=2 k dont l'orthogonalité est évidente (voir Fig. 2.).

Fig.2 Arbre des codes de canalisation.

En utilisant méthode spécifiée, vous pouvez créer un code de Walsh dont la dimension est égale à 2 k X 2 k(k- entier positif). Le jeu de codes Walsh est caractérisé par une matrice 64 x 64 (RC1) ou 128 x 128 (RC3), où chaque ligne correspond à un code différent. Les éléments du jeu de codes de Walsh étant orthogonaux entre eux, leur utilisation permet de diviser le canal de communication aller en 64 (RC1) ou 128 (RC3) signaux orthogonaux.

Adressage direct des canaux

Riz. 3. Schéma fonctionnel du canal vers l'avant

Adressage des canaux.

Le canal aller cdma2000-1x, tout en conservant la compatibilité IS95a, utilise la même structure pour le pilote du canal aller (F-Pilot), le canal de synchronisation (F-Sync) et la signalisation (F-Paging).

Également dans CDMA2000-1x, chaque utilisateur se voit attribuer son propre canal de trafic direct (F-Traffic), qui peut inclure :

Huit canaux supplémentaires (F-SCCH) pour RC1 et RC2 ;

Trois canaux supplémentaires (F-SCH) pour RC3 à RC9 ;

Deux canaux de contrôle dédiés (F-DCCH) ;

Les F-FCH sont utilisés pour la transmission vocale, les F-SCCH et les F-SCH sont utilisés pour la transmission de données. La station émettrice-réceptrice de base peut également envoyer le zéro ou le premier F-DCCH. Le F-DCCH est associé à des canaux de trafic (soit FCH et SCH, soit SCCH) et peut contenir des données de signalisation et des données de commande de puissance de transmission.

Dans ce manuel, nous examinerons de plus près les principaux canaux :

canal pilote (canal f-pilote);

canal de synchronisation (canal de synchronisation f);

canal d'appel personnel (f-pagination canal);

canal de trafic direct (canal de trafic aller).

En mode RC1, le mappage des canaux logiques vers les canaux physiques dans le sens aller est effectué à l'aide d'un système de fonctions de Walsh orthogonales de longueur 64 : avec je, je= 0,1,..., 63, où i est le numéro de la fonction de Walsh. La norme CDMA-2000 prévoit l'organisation d'un canal pilote, d'un canal de synchronisation, de un à sept canaux d'appel (en fonction de la charge d'abonnés sur la BS) et de 55 à 62 canaux de trafic direct, puisque certains canaux d'appel peuvent être utilisés comme canaux de circulation. La correspondance entre les canaux logiques et physiques est illustrée à la Fig. 4.

Riz. 5. Structure du canal CCMS aller de la norme CDMA-2000-1x

En mode RC3, le mappage des voies logiques vers les voies physiques s'effectue de la même manière qu'en RC1, à la seule différence que, grâce à l'utilisation de la modulation de phase en quadrature, le nombre de codes de Walsh utilisés passe de 64 à 128 - en conséquence, le nombre de canaux adressables possibles est doublé par rapport au mode RC1.

1. Canal pilote

D'après la fig. Le canal pilote 5 se voit attribuer une fonction Walsh nulle w0 , c'est-à-dire une séquence de zéros uniquement.

2. Canal synchronisation

Après l'entrelaceur de blocs, le flux de données est directement étalé en spectre en ajoutant modulo 2 avec la fonction Walsh affectée au canal de synchronisation. w 32.

3. Canalappel personnel

Après avoir brouillé le PSP long décimé de la période 2 42-1, le flux de données est soumis à une expansion spectrale de la même manière que cela a été fait pour les canaux déjà considérés : il est sommé modulo deux avec la fonction de Walsh affectée au canal de l'ensemble W 1 -W 7 . Ceci est suivi d'une combinaison avec les canaux restants (entrées P 1 - P 7 sur la Fig. 2), puis (dans le modulateur) d'une multiplication avec une bande passante courte complexe et d'un transfert vers la porteuse.

4. Canal de trafic direct

Une des séquences de Walsh w 8 + w 31 et w 33 + w 63 avec une vitesse de puce de 1,2288 Mchip/s, le numéro de séquence de Walsh identifiant de manière unique le numéro de canal de trafic aller.

Adressage des stations de base.

Une paire de PSP - I et PSP - Q ou, de manière équivalente, une PSP complexe. Cette courte bande passante complexe est la même pour les 64 canaux CDMA et est utilisée par toutes les BS du système, mais avec des décalages cycliques différents. La différence entre les décalages cycliques permet au MS de séparer les signaux émis par les BS de différentes cellules ou secteurs, c'est-à-dire qu'elle vous permet d'identifier la BS ou le numéro de secteur. Pour différentes BS, le décalage change avec un pas constant égal à 64 chip x PILOT_INC, où le paramètre système PILOT_INC prend des valeurs de 1 à 4. Ainsi, avec un pas minimum, 2 15 /2 6 = 2 9 = 512 courts déplacements de bande passante sont disponibles, c'est-à-dire qu'une existence sans conflit d'un réseau constitué de 512 BS est possible. S'il est nécessaire que le réseau soit composé d'un plus grand nombre de BS, alors lorsque aménagement du territoire Le réseau peut facilement garantir que les BS avec les mêmes décalages cycliques que les PSP courts ne peuvent pas se trouver simultanément dans la zone de visibilité radio du MS.

D'autre part, l'étape de décalage PRP détermine de manière unique la taille de cellule (ou de secteur) à laquelle la MS peut distinguer de manière fiable les PRP ayant un décalage temporel minimum. Il est facile de voir qu'avec un décalage minimum de 64 chips, le rayon de la cellule sera d'environ 15,5 km.

Adressage du canal arrière

Dans le canal inverse (liaison montante)

Canal d'accès (canal d'accès);

Canal de trafic inversé canal de trafic).

L'asynchronie de la division du code rend irrationnelle l'utilisation des fonctions de Walsh comme séquences de formation de canaux (signatures) de canaux physiques, car avec des décalages temporels relatifs, elles ne peuvent pas maintenir l'orthogonalité et ont des propriétés de corrélation croisée très peu attrayantes. Par conséquent, divers décalages cycliques du long PSP de période 2 42 -1 sont responsables de la séparation des canaux dans la liaison montante. Les fonctions de Walsh dans le canal inverse sont également utilisées, mais à un titre différent : pour organiser une autre étape de codage résistant au bruit des données transmises par le MS.

Structure générale Le canal de communication inverse du système IS-95c est illustré sur la Fig. 6. Les canaux de trafic d'accès et de retour qui sont utilisés par la MS sont associés à certains canaux de radiomessagerie. En conséquence, un canal d'appel personnel peut avoir jusqu'à n = 32 canaux d'accès et jusqu'à t = 64 canaux de trafic retour.

Riz. 6. Structure de la norme SSMS à canal inverse IS-95c

1. Canal accéder

Canal accéder assure la connexion entre la MS et la BS jusqu'à ce que la MS se soit accordée sur le canal de trafic inverse qui lui est attribué. Le processus de sélection de canal d'accès est aléatoire - la MS sélectionne de manière aléatoire un numéro de canal dans la plage O...ACC_CHAN, où ACC_CHAN est un paramètre transmis par la BS dans le message de paramètres d'accès. Un modulateur orthogonal mappe (code) des groupes de 6 symboles binaires dans une fonction de Walsh de longueur 64. Cette opération est le codage de blocs de 6 bits (64,6) avec un code orthogonal. Avec un décodage optimal (« doux »), le gain d'énergie résultant de l'utilisation d'un tel code tend asymptotiquement à 4,8 dB (45). Dans le même temps, dans de nombreuses sources, la procédure considérée est appelée modulation orthogonale ou modulation de Walsh. est remplacée par la fonction de Walsh selon la règle suivante : la valeur décimale d'un nombre binaire de 6 bits correspondant à un groupe de 6 bits détermine de manière unique le numéro de la fonction de Walsh. Par exemple, s'il s'agit d'un groupe de 6 symboles de la forme. (010110) est fourni à l'entrée du modulateur orthogonal, alors il correspond à la valeur décimale 22, ce qui signifie que ce groupe est remplacé par le modulateur à fonction de Walsh. w 22, composé de 64 caractères. En raison de la modulation orthogonale, le débit de données augmente jusqu'à

Le flux de données modulé orthogonalement est soumis à un étalement direct du spectre à l'aide d'un long PSP avec un certain décalage cyclique qui identifie de manière unique une MS donnée, ce qui permet de l'identifier au niveau de la BS, et donc de mettre en œuvre une séparation de code des abonnés. Le décalage cyclique d'une bande passante mémoire longue est déterminé par un masque générateur de 42 bits de long, qui est construit à partir de l'identifiant BS, des numéros de canal d'appel et d'accès après expansion du spectre (somme modulo 2 avec une bande passante mémoire longue et conversion des symboles booléens en symboles bipolaires). ceux), le flux suit à la vitesse des copeaux, c'est-à-dire e. 1,2288 Mchip/s, entre dans les canaux en quadrature du modulateur de phase, où il est brouillé par deux PSP courts (PSP-I et PSP-Q) de période 2 15. Tous les MS d'une cellule donnée utilisent le même décalage PRP court. Étant donné que le canal de retour utilise la PSK en quadrature décalée (OQPSK), un élément de retard est introduit dans le bras Q du modulateur pendant la moitié de la durée de la puce. L'utilisation de l'OQPSK réduit la profondeur des creux indésirables dans l'enveloppe du signal et réduit donc la plage dynamique linéaire requise de l'amplificateur de puissance de l'émetteur MS.

Les fonctions de Walsh sont une famille de fonctions qui forment un système orthogonal, prenant uniquement les valeurs 1 et -1 dans tout le domaine de définition.

En principe, les fonctions de Walsh peuvent être représentées sous forme continue, mais le plus souvent elles sont définies comme des séquences discrètes de 2^n (\displaystyle 2^(n))22 éléments. Un groupe de (\displaystyle 2^(n))2^n fonctions de Walsh forme la matrice Hadamard.

Les fonctions de Walsh sont largement utilisées dans les communications radio, où elles sont utilisées pour mettre en œuvre la division de code MA (CDMA), par exemple dans les normes cellulaires telles que IS-95, CDMA2000 ou UMTS.

Le système de fonctions de Walsh est une base orthonormée et, par conséquent, permet d'étendre des signaux de forme arbitraire en une série de Fourier généralisée.

Une généralisation des fonctions de Walsh au cas de plus de deux valeurs sont les fonctions de Vilenkin-Chrestenson.

Séquences M. Méthode de formation et propriétés des séquences M. Application des séquences M dans les systèmes de communication

Actuellement, parmi les séquences de codes binaires de grande longueur, les plus largement utilisées sont les séquences M, les séquences de Legendre, les séquences de codes Gold et Cassami, les séquences de codes Walsh et les séquences de codes non linéaires.

L’avantage des longues séquences M est que le niveau des lobes secondaires périodiques de la fonction d’incertitude de la séquence M diminue à mesure que sa longueur augmente. L. Le niveau maximum du lobe secondaire périodique du TCF d'une séquence M est inversement proportionnel à la longueur de la séquence (1/L).

Séquences M

Il a été mentionné ci-dessus que les séquences optimales pour étendre le spectre du signal sont longueur maximale ou des séquences M. De telles séquences sont formées à l'aide de machines numériques dont l'élément principal est un registre à décalage avec des cellules mémoire T1, T2, …, Tk(Figure 2).

Figure 2 – Machine automatique numérique pour la formation de séquences M

Les impulsions d'horloge arrivent simultanément dans toutes les cellules avec une période de , déplaçant les symboles stockés dans ces cellules vers les cellules adjacentes à droite en un cycle d'horloge. Désignons par des lettres les symboles stockés dans les cellules correspondantes au ème cycle. - symbole à l'entrée de la première cellule ; la valeur de ce symbole est formée à l'aide d'une relation de récurrence linéaire

Conformément à la valeur du symbole dans la cellule contenant le nombre, il est multiplié par un coefficient et ajouté à d'autres produits similaires. Les symboles et les coefficients peuvent avoir des valeurs de 0 ou 1 ; les opérations de sommation sont effectuées modulo 2. Si le coefficient est , alors le symbole de la cellule ne participe pas à la formation de la valeur de la somme.

Si nous prenons le contenu des cellules du registre à décalage comme état initial, alors après les cycles d'horloge, cet état se reproduira. Si en même temps nous enregistrons la séquence de symboles de la -ième cellule, alors la longueur de cette séquence sera égale à . Lors des mesures suivantes, cette séquence sera répétée à nouveau, etc. Le nombre est appelé la période de la séquence. La valeur d'une longueur fixe de registre à décalage dépend du nombre et de l'emplacement des prises. Pour chaque valeur, vous pouvez spécifier le nombre de taps et leurs positions auxquelles la période de la séquence résultante est maximale. N'importe quel état du registre à décalage (à l'exception de la combinaison zéro) peut être pris comme état initial ; changer l'état initial ne provoquera qu'un changement de séquence. Les séquences avec la période maximale possible pour une longueur de registre fixe sont appelées séquences M. Leur période (durée).

Schéma fonctionnel L'automate qui génère les M-séquences est généralement spécifié par le polynôme caractéristique :

dans lequel toujours , . Dans le tableau 1 pour les ensembles de valeurs des coefficients de ce polynôme, définissant des séquences de longueur maximale. Connaissance des vecteurs permet d'indiquer sans ambiguïté la structure d'un automate numérique qui forme la séquence M polynomiale (1.16) correspondante :

– si , alors la sortie de la cellule avec le numéro du registre à décalage est connectée à l'additionneur modulo 2 ;

– si , alors la sortie de la cellule portant le numéro du registre à décalage n'est pas connectée à l'additionneur modulo 2 (code long pour le brouillage et l'identification des stations mobiles).

Paul Feyerabend (né en 1924).

Thomas Kuhn (né en 1922).

Imre Lakatos (1921-1974).

Les fonctions de Walsh sont une extension naturelle du système de fonctions de Rademacher, obtenu par Walsh en 1923 et représentent système complet fonctions rectangulaires orthonormées.

L'ensemble des fonctions de Walsh, classées par fréquence, est généralement noté comme suit :

Les fonctions de Walsh, classées par fréquence, similaires aux fonctions trigonométriques, peuvent être divisées en cal(i,t) pair et sal(i,t) impair.

(17.3)

La figure 17.1 montre les huit premières fonctions wal w(il).

UN)

Figure 17.1

Il est clair que la fréquence de chaque fonction de Walsh suivante est supérieure ou égale à la fréquence de la fonction de Walsh précédente et présente un passage par zéro supplémentaire dans l'intervalle ouvert tÎ. C’est de là que vient le nom « ordonnancement des fréquences ».

La discrétisation des fonctions de Walsh illustrées sur la figure 17.1a en huit points également espacés donne la matrice (8x8) illustrée sur la figure 17.1b. Cette matrice est notée H w(n) où n=log 2 N et la matrice aura la taille NxN.

Les fonctions de Walsh, lorsqu'elles sont classées par fréquence, peuvent dans le cas général être obtenues à partir des fonctions de Rademacher rk (x) en utilisant la formule :

(17.4)

où w est le numéro de la fonction de Walsh ; k – numéro de fonction Rademacher ; exposant de la fonction Rademacher, qui prend la valeur 0 ou 1 à la suite d'une sommation modulo deux, c'est-à-dire selon la règle : 1Å1=0Å0=0 ; 1Å0=0Å1=1 bits d'un nombre binaire w. Par exemple, pour la sixième fonction de Walsh ( w=6), inclus dans un système de taille N=2 3 =8, le produit (17.4) est constitué de trois facteurs de la forme : pour k=1 pour k=2 pour k=3 . Un nombre dans le système binaire s’écrit comme une combinaison de zéros et de uns. Dans notre cas, la valeur w et ses catégories sont présentées dans le tableau 17.1

Tableau 17.1

w 0 – le chiffre le plus significatif du nombre, w 3 – chiffre le moins significatif du nombre w.

Les exposants des fonctions de Rademacher sont égaux à : ; ; et donc,

wal(6,x)=r 1 1 (x)×r 2 0 (x)×r 3 1 (x)=r 1 (x)r 3 (x)

La règle d'obtention des exposants pour la fonction Rademacher est présentée schématiquement dans le tableau 17.1, où les flèches indiquent les chiffres sommables du nombre w et fonctions de Rademacher, auxquelles se rapporte l'exposant résultant. La figure 17.1 montre que les nombres pairs de fonctions de Walsh font référence à des fonctions paires et que les nombres impairs font référence à des fonctions impaires. Une autre façon de commander est la commande Paley. Lorsqu'elle est ordonnée par Paley, la notation analytique de la fonction de Walsh a la forme :

p 1 est le chiffre le moins significatif d'un nombre binaire, p n est le chiffre le plus significatif d'un nombre binaire. Lors de l'ordonnancement selon Paley, pour former des fonctions de Walsh, il faut prendre le produit des fonctions de Rademacher élevées à une puissance dont les nombres coïncident avec les nombres des chiffres correspondants de la représentation double du nombre p, et l'exposant de chaque fonction est égal au contenu du chiffre correspondant, c'est-à-dire 0 ou 1. De plus, la fonction Rademacher de poids faible correspond au chiffre de poids faible de la combinaison binaire du nombre p. Conformément à cette règle, le tableau 17.2 montre les valeurs des fonctions de Walsh ordonnées par Paley.

Tableau 17.2

r	page 1	page 2	page 3	r 1 (x) × r 2 (x) × r 3 (x)	wal p(i,x) = wal w(j,x)
				r 1 0 (x) × r 2 0 (x) × r 3 0 (x)	wal p(0,x) = wal w(0,x)
				r 1 1 (x) × r 2 0 (x) × r 3 0 (x)	wal p(1,x) = wal w(1,x)
				r 1 0 (x) × r 2 1 (x) × r 3 0 (x)	wal p(2,x) = wal w(3.x)
				r 1 1 (x) × r 2 1 (x) × r 3 0 (x)	wal p(3,x) = wal w(2.x)
				r 1 0 (x) × r 2 0 (x) × r 3 1 (x)	wal p(4,x) = wal w(7.x)
				r 1 1 (x) × r 2 0 (x) × r 3 1 (x)	wal p(5,x) = wal w(6.x)
				r 1 0 (x) × r 2 1 (x) × r 3 1 (x)	wal p(6,x) = wal w(4.x)
				r 1 1 (x) × r 2 1 (x) × r 3 1 (x)	wal p(7,x) = wal w(5.x)

Les fonctions Rademacher dans le tableau sont présentées sous la forme : . Une comparaison des produits et puissances des fonctions de Rademacher écrites dans les tableaux 17.1 et 17.2 montre qu'il existe une correspondance entre les fonctions de Walsh ordonnées par Paley et Walsh, qui se reflète dans la dernière colonne du tableau 17.2. Conformément aux fonctions de Walsh ordonnées par Paley, une matrice d'échantillons H p (n) peut également être construite, similaire à celle représentée sur la figure 17.1b.

wal h (0,x)=wal w(0,x); w wal h (2,x)=wal w(3,x); w wal h (4,x)=wal

(1,x); w wal h (6,x)=wal w(2,x); w wal h (1,x)=wal w(7,x);

(17.9)

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