On représente l'enveloppe complexe (2.124) sous forme exponentielle

Où Euh(t) est une fonction réelle positive du temps appelée enveloppe physique(souvent - enveloppe);

Il est très important que le concept d’enveloppe physique d’un signal à bande étroite coïncide avec le concept d’enveloppe de forme d’onde modulée.

Enveloppe physique Euh(t) et la phase u (f) sont liées aux amplitudes en phase et en quadrature du signal à bande étroite par les relations suivantes :

Des relations (2.127) découle une autre forme généralisée modèle mathématique signal à bande étroite, utilisé dans la théorie de la modulation :

D'après la relation (2.128), un signal à bande étroite est une oscillation complexe résultant d'une modulation simultanée du signal harmonique porteur à la fois en amplitude et en angle de phase.

Exemple 2.10

Un signal à bande étroite est émis, qui a la forme d'une oscillation LM à tonalité unique : et(C)= U t ( 1 + McosQ/)cos(co 0 / + i/4). Définissons l'enveloppe complexe Euh(t), en phase A et (?) et quadrature Mais) amplitude de ce signal.

Solution

Choisissons la valeur c 0 comme fréquence de référence du signal bande étroite. Ensuite, d'après la formule (2.126), on obtient l'expression suivante pour l'enveloppe complexe d'un signal bande étroite :

Puisque cos(rc/4) = sin(K/4) = У2/2, alors d'après les formules (2.127) on trouve

Par analogie avec les signaux à modulation d'angle, nous introduisons la notion de phase instantanée (pleine) d'un signal à bande étroite

Définissons fréquence instantanée en dérivée de la phase totale du signal :

Propriétés de base de l'enveloppe physique d'un signal à bande étroite.

A l'aide des relations (2.127), on exprime l'enveloppe physique Euh(t)à travers les amplitudes en phase et en quadrature d'un signal arbitraire à bande étroite :

En comparant les formules (2.124) et (2.130), il est facile de voir que l'enveloppe physique est le module de l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite.

Évaluons l'influence de la fréquence de référence à partir de 0 sur les deux enveloppes du signal bande étroite. Dans le cas général, l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite est déterminée de manière ambiguë. Si au lieu de la fréquence de référence с 0 incluse dans la formule (2.125), on prend une certaine fréquence C0j = со () + Дсо, alors le signal d'origine Utah) prend la forme

Puis la nouvelle valeur de l'enveloppe complexe U" u (t) = U u (t)e~ jAxot .

Cependant, l'enveloppe physique du signal à bande étroite restera inchangée lorsque la fréquence change, puisque |e_yLo) "| = 1.

La deuxième propriété de l'enveloppe physique est à tout moment pour un signal à bande étroite Utah) Euh(t). La validité de cette affirmation découle de la relation (2.128). Le signe égal correspond ici aux instants où le facteur cos|co 0 ? + f u (?)] = 1. On peut supposer que l'enveloppe physique « enveloppe » réellement les amplitudes du signal à bande étroite et est son amplitude instantanée. La valeur du concept d'enveloppe est due au fait que dans les systèmes de communication, les détecteurs d'amplitude (démodulateurs) sont largement utilisés, capables de reproduire l'enveloppe d'un signal à bande étroite avec une grande précision.

Propriétés de base de la fréquence instantanée d'un signal à bande étroite. Si l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite est représentée par un vecteur qui tourne sur le plan complexe avec une vitesse angulaire constante Q, c'est-à-dire analytiquement, le signal est décrit par la fonction U u (t) = = U u (t)e ±jnt , alors, d'après la formule (2.129), la fréquence instantanée de cette oscillation est constante dans le temps et donc cd m = с 0 ± Q.

On peut montrer que, dans le cas général, la fréquence instantanée d'un signal à bande étroite varie dans le temps selon la loi

Relation entre le spectre d'un signal à bande étroite et son enveloppe complexe. Soit 5(co) la densité spectrale du signal à bande étroite tu (t)y enveloppe complexe Euh(t) qui, à son tour, a une densité spectrale Vous (à). A l'aide de la relation (2.125), nous déterminons la relation entre les densités spectrales du signal physique et son enveloppe complexe en écrivant la transformée de Fourier directe :

Où U*(t) - enveloppe conjuguée complexe ; U m *(co) - densité spectrale conjuguée complexe de l'enveloppe complexe d'un signal à bande étroite Euh(t).

De la formule (2.131), il s'ensuit que la densité spectrale d'un signal à bande étroite 5(co) peut être trouvée en transférant le spectre de l'enveloppe complexe V m (co) du voisinage de co = 0 au voisinage de la référence fréquences co = ±co (). Dans ce cas, les amplitudes de toutes les composantes spectrales du signal sont réduites de moitié. A noter que pour déterminer le spectre du signal dans la région des fréquences négatives, l'opération de conjugaison complexe est utilisée.

La formule (2.131) nous permet d'utiliser la densité spectrale connue d'un signal à bande étroite pour trouver le spectre de son enveloppe complexe, qui, à son tour, détermine entièrement son enveloppe physique et sa fréquence instantanée.

Exemple 2.11

Le signal à bande étroite est une impulsion radio de forme exponentielle, écrite analytiquement sous la forme u(t) = U m e""depuis/. Définissons l'enveloppe complexe Euh(t), la densité spectrale d'un signal donné S(co) et la densité spectrale V/co) de son enveloppe complexe.

Solution

Soit la fréquence de référence égale à 0. Puisque sin co/ = cos(co/ - l/2), alors la phase initiale u(t) =-l/2. En utilisant la relation (2.126) et la formule d’Euler, nous obtenons l’expression suivante pour l’enveloppe complexe du signal :

A l'aide de la transformée de Fourier directe, on trouve la densité spectrale de l'enveloppe complexe :

Nous calculons de la même manière la densité spectrale d’un signal à bande étroite.

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Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie

UNIVERSITÉ D'ÉTAT DE NOVOSSIBIRSK

Faculté de Mécanique et Mathématiques.

Département de programmation.

ABSTRAIT

Enveloppe du signal.

groupe 7126

Superviseur scientifique Kulikov A.I. __________

Novossibirsk 2009

Contenu:

1. Introduction.
2. Traitement du signal.
3. Trouver l'enveloppe du signal.
4. Appliquer une enveloppe.
5. Conclusion.
6. Liste des sources utilisées.

1. Introduction.

Le nombre de moyens de transmission d'informations est en constante augmentation. L'un des moyens d'utiliser efficacement la ressource radiofréquence consiste à compresser le spectre des signaux transmis, qui occupent une partie importante des signaux.

Malgré le fait que le problème du companding (compression - restauration du spectre des signaux vocaux lors de leur traitement sur la base d'un modèle mathématique de la théorie de la modulation) du spectre des signaux vocaux (RS) est aujourd'hui résolu avec assez de succès au moyen de la théorie statistique, la recherche de solutions à ce problème sur la base de concepts théoriques alternatifs n'a pas seulement perdu de sa pertinence, mais elle est devenue encore plus urgente avec le développement des technologies de télécommunications, ce qui s'explique par les capacités limitées des méthodes connues avec demande croissante.

Développement de nouveaux moyens efficaces L'extension du spectre RS est pertinente, tout d'abord, pour les systèmes de radiocommunication, y compris les systèmes de radiocommunication mobiles spécialisés. Ceci est également pertinent pour les systèmes d'enregistrement et de stockage de grandes quantités d'informations vocales.

En outre, l'une des tâches les plus importantes des systèmes de surveillance radio est

déterminer la présence d'un ou plusieurs signaux dans

bande de fréquence analysée. Dans ce cas, divers temporaires

caractéristiques de l’enveloppe du signal.

2. Traitement du signal.

La base de la recherche sur les signaux est l’analyse spectrale. Le concept d'analyse spectrale est assez large. Elle est applicable à la considération de toutes fonctions sous la forme d'une série de Fourier généralisée. L'analyse du signal utilise généralement une transformée ou une série de Fourier pour déplacer l'analyse dans le domaine fréquentiel. Le signal est considéré comme une collection infinie ou finie de composantes harmoniques.

L'analyse spectrale des signaux non périodiques est basée sur l'utilisation de la transformée de Fourier. Les transformées de Fourier directe et inverse établissent une correspondance biunivoque entre le signal (fonction temporelle décrivant le signal St)) et sa densité spectrale :

, . (2.1)

La fonction est généralement complexe

(2.2)

où Re, Im sont les parties réelles et imaginaires de la quantité complexe ;

Module et argument d'une quantité complexe.

. (2.3)

Le module de la densité spectrale du signal décrit la répartition des amplitudes des composantes harmoniques sur la fréquence, appelée spectre d'amplitude. L'argument donne la distribution de phase sur la fréquence, appelée spectre de phase du signal.

Façonner l'enveloppe du signal au fil du temps est le moyen le plus efficace d'isoler le composant modulant dans les cas où la composition spectrale des composants modulants et porteurs est différente et ne se croise pas dans le domaine fréquentiel, c'est-à-dire Le domaine fréquentiel de la porteuse est bien supérieur au domaine fréquentiel du composant modulant.

Commodités de l'enveloppe :

• stocker des informations sur la forme du signal et ses principaux pics dans l'enveloppe ;
• la possibilité de réduire la quantité d'informations lors du passage aux enveloppes en raison de la moyenne locale ;
• en utilisant des enveloppes comme modèles.

Par conséquent, l’utilisation de l’enveloppe du signal a trouvé une large application dans divers domaines d’activité.

Aux premières étapes du développement du diagnostic vibratoire, l'analyse spectrale de l'enveloppe vibratoire a été utilisée pour déterminer les fréquences et les amplitudes des composantes harmoniques ayant des fréquences similaires, qui ne permettent pas de séparer ces composantes dans le spectre du signal vibratoire en raison de résolution limitée des analyseurs.

Avec l'avènement des analyseurs spectraux numériques à haute résolution fréquence, les diagnostiqueurs ont commencé à abandonner l'analyse des spectres d'enveloppe de ces composantes vibratoires multiplicatives dans lesquelles les deux composantes sont strictement périodiques. En pratique, ce type d'analyse est parfois également utilisé dans le diagnostic des roulements de pompes et autres machines génératrices de flux, afin de détecter la modulation des composantes vibratoires les plus fortes au niveau des harmoniques de la vitesse de rotation de la roue par des fréquences de modulation plus basses, par exemple, la vitesse de rotation du séparateur. La raison en est que dans les vibrations basse fréquence des machines de ce type, il existe des composantes aléatoires importantes qui rendent difficile la détection des composantes secondaires faibles dans le spectre de vibration à la fréquence de rotation du rotor.

Aujourd'hui également, le problème de la compression du spectre RS est très aigu. La nécessité de poursuivre le développement de la théorie de la modulation des signaux sonores, qui étudie les propriétés des signaux acoustiques naturels, est justifiée. La nécessité de compresser le spectre des signaux vocaux pour augmenter l'efficacité de l'utilisation de la ressource fréquentielle des canaux de transmission vocale est justifiée. Le développement et l'état actuel de la résolution du problème de l'extension du spectre RS dans le but de les diffuser sur les canaux de communication sont présentés. Les dépendances de la qualité de la parole sur le degré de compression du spectre RS par les méthodes modernes les plus populaires sont présentées.

La compression du spectre RS est possible en réduisant leurs redondances statistiques et psychoacoustiques. Dans les systèmes de radiotéléphonie modernes, afin de compresser le spectre des signaux vocaux, les vocodeurs hybrides ont trouvé l'utilisation la plus répandue, réduisant à la fois la redondance psychoacoustique et statistique. La qualité plutôt faible de la parole reçue avec un degré relativement faible de compression de son spectre à l'aide de méthodes modernes justifie la nécessité de trouver de nouvelles façons de résoudre efficacement ce problème sur la base de concepts théoriques alternatifs.

3. Trouver l'enveloppe du signal.

Lors de l'analyse mathématique de l'enveloppe du signal, il est très souvent pratique d'utiliser une représentation complexe équivalente de signaux au lieu de signaux réels afin de simplifier l'appareil mathématique de conversion de données.

Dans le cas général, un signal dynamique arbitraire s(t), donné sur une certaine section de l'axe du temps (à la fois fini et infini) a une densité spectrale bidirectionnelle complexe S(ω). Avec une transformée de Fourier inverse distincte des parties réelle et imaginaire du spectre S(ω), le signal s(t) est divisé en composantes paires et impaires, qui sont bilatérales par rapport à t = 0, et la somme de ce qui restaure complètement le signal d'origine. Sur la fig. La figure 2 montre un exemple d'un signal (A), son spectre complexe (B) et l'obtention des parties paires et impaires du signal à partir des parties réelles et imaginaires du spectre (C).

Riz. 3.1. Signal, densité spectrale du signal, composantes paires et impaires.

Vous pouvez également effectuer la transformée de Fourier inverse sous une autre forme - séparément pour les fréquences spectrales positives et négatives :

s(t) = S(ω) exp(jωt) dω + S(ω) exp(jωt)dω (3.1)

Les informations dans le spectre complexe du signal sont redondantes. En raison d'une conjugaison complexe, les informations complètes sur le signal s(t) contiennent à la fois la partie gauche (fréquences négatives) et droite (fréquences positives) du spectre S(ω). Le signal analytique représentant le signal réel s(t) est la deuxième intégrale de l'expression (3.1), normalisée à π, c'est-à-dire Transformée de Fourier inverse du spectre du signal s(t) uniquement aux fréquences positives :

z s (t) = (1/π) S(ω) exp(jωt). (3.2)

La dualité des propriétés de la transformée de Fourier détermine que le signal analytique z s (t), obtenu à partir d'une fonction spectrale unidirectionnelle, est toujours complexe et peut être représenté sous la forme :

z s (t) = Re z(t) + j·Im z(t). (3,2")

Une transformation similaire de la première intégrale de l'expression (3.1) donne le signal z s *(t), complexe conjugué au signal z(t) :

z s *(t) = Re z(t) - j·Im z(t),

ce qui est bien visible sur la fig. 3.2 lors de la reconstruction de signaux à partir de parties unilatérales du spectre illustré à la Fig. 2-B.

Riz. 3.2. Signaux z(t) et z*(t).

De la figure 3.2, on peut voir qu'en additionnant les fonctions z s (t) et z s * (t), les parties imaginaires des fonctions s'annulent, et les parties réelles, en tenant compte de la normalisation uniquement à π, et non à 2π , comme dans (3.1), la somme donne le signal original complet s(t) :

/2 = Re z(t) = =

= (1/2π) S(ω) cos ωt dt = s(t).

Il s'ensuit que la partie réelle du signal analytique z s (t) est égale au signal s (t) lui-même.

Pour identifier la nature de la partie imaginaire du signal z s (t), nous traduisons tous les termes de la fonction (3,2") dans la région spectrale avec représentation séparée par fréquences positives et négatives (indices – et +) du réel et de l'imaginaire. parties du spectre :

Z s (ω) = A - (ω) + A + (ω) + jB - (ω) + jB + (ω) + j,

où les indices A" et B" désignent les fonctions de transformation Im(z(t)). Dans cette expression, les fonctions du côté gauche du spectre (aux fréquences négatives) doivent se compenser mutuellement selon la définition du signal analytique (3.2), soit :

B" - (ω) = A - (ω), A" - (ω) = -B - (ω).

A partir de là, compte tenu de la parité des fonctions spectrales réelles A" - (ω) et de la bizarrerie des fonctions spectrales imaginaires B" - (ω), les égalités suivent également :

B" + (ω) = - A + (ω), A" + (ω) = B + (ω).

Mais ces quatre égalités ne sont rien d'autre que la transformée de Hilbert dans le domaine fréquentiel du spectre de la fonction Re z(t)Û A(ω)+jB(ω) dans le spectre de la fonction A"(ω)+jB"(ω)Û Im z(t) en multipliant par la fonction signature -j× sgn(ω). Par conséquent, la partie imaginaire du signal analytique z s (t) est analytiquement conjuguée avec sa partie réelle Re z(t) = s(t) via la transformée de Hilbert. Cette partie du signal analytique est appelée complément en quadrature signal s(t):

Je suis z(t) = = TH = s(t) * hb(t), (3.3)

hb(t) = 1/(πt),

z s (t) = s(t) + j × . (3.4)

où l'index désigne le signal, conjugué analytiquement avec le signal s(t), hb(t) est l'opérateur de Hilbert.