Intégrales doubles et leurs propriétés. Propriétés des intégrales doubles. Fixer les limites de l’intégration
Tangente et normale à la surface
Définition. Normaleà la surface au point N 0 est une droite passant par le point N 0 perpendiculaire au plan tangent à cette surface.
En tout point, la surface n’a qu’un seul plan tangent ou n’en a pas du tout.
Si la surface est donnée par l'équation z = f(x, y), où f(x, y) est une fonction dérivable au point M 0 (x 0, y 0), le plan tangent au point N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) existe et a l'équation :
L’équation de la normale à la surface à ce stade est :
Sens géométrique différentiel complet fonction de deux variables f(x, y) au point (x 0, y 0) est l'incrément de l'application (coordonnées z) du plan tangent à la surface lors du déplacement du point (x 0, y 0) à le point (x 0 + Dx, y 0 +Dу).
Comme on peut le voir, la signification géométrique de la différentielle totale d'une fonction de deux variables est un analogue spatial signification géométrique différentielle d'une fonction d'une variable.
Exemple. Trouver les équations du plan tangent et normal à la surface
au point M(1, 1, 1).
Équation du plan tangent :
Équation normale :
Calcul double intégrale en coordonnées polaires.
Soit la zone D délimitée par une ligne r = r() et des rayons = Et = , où et r– coordonnées polaires d'un point du plan associées à ses coordonnées cartésiennes x Et oui
Relations (Fig. 5). Dans ce cas
Commentaire. Si la zone D dans Coordonnées cartésiennes est donné par une équation contenant un binôme, par exemple, etc., alors il est plus pratique de calculer l'intégrale double sur une telle région en coordonnées polaires.
Double intégrale. Définitions et propriétés de base.
Intégrales doubles.
Considérons une courbe fermée sur le plan dont l'équation est
L'ensemble de tous les points situés à l'intérieur de la courbe et sur la courbe elle-même sera appelé une région fermée D. Si vous sélectionnez des points dans la région sans tenir compte des points situés sur la courbe, la région sera appelée une région ouverte D.
D'un point de vue géométrique, D est l'aire de la figure délimitée par le contour.
Divisons la région D en n régions partielles par une grille de lignes espacées les unes des autres le long de l'axe x d'une distance Dx i, et le long de l'axe y d'une distance Dу i. D'une manière générale, cet ordre de partitionnement est obligatoire ; il est possible de partitionner la zone en zones partielles de forme et de taille arbitraires.
On constate que l'aire S est divisée en rectangles élémentaires dont les aires sont égales à S i = Dx i × Dy i.
Dans chaque région partielle, prenez un point arbitraire P(x i, y i) et composez la somme intégrale
où f est une fonction continue et sans ambiguïté pour tous les points de la région D.
Si nous augmentons infiniment le nombre de régions partielles D i , alors, évidemment, l'aire de chaque région partielle S i tend vers zéro.
Définition: Si, à mesure que le pas de partition du domaine D tend vers zéro, les sommes intégrales ont une limite finie, alors cette limite est appelée double intégraleà partir de la fonction f(x, y) sur le domaine D.
En tenant compte du fait que S i = Dx i × Dy i on obtient :
Dans la notation ci-dessus, il y a deux signes S, car la sommation est effectuée sur deux variables x et y.
Parce que La division de la région d'intégration est arbitraire, et le choix des points Р i est également arbitraire, alors, en considérant toutes les aires Si comme identiques, on obtient la formule :
Conditions d'existence d'une double intégrale.
Formulons conditions suffisantes existence d'une double intégrale.
Théorème. Si la fonction f(x, y) est continue dans un domaine fermé D, alors la double intégrale existe
Théorème. Si la fonction f(x, y) est délimitée dans un domaine fermé D et y est continue partout sauf pour un nombre fini de lignes lisses par morceaux, alors la double intégrale existe.
Propriétés de la double intégrale.
3) Si D = D 1 + D 2, alors
4) Théorème de la valeur moyenne. La double intégrale de la fonction f(x, y) est égale au produit de la valeur de cette fonction en un point donné du domaine d'intégration et de l'aire du domaine d'intégration.
5) Si f(x, y) ³ 0 dans le domaine D, alors .
6) Si f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), alors .
#43 Définition Supposons que la courbe C donné fonction vectorielle où est la variable s− longueur de l'arc de la courbe. Alors la dérivée de la fonction vectorielle
Il s'agit d'un vecteur unitaire dirigé selon la tangente à cette courbe (Figure 1).
Dans la formule ci-dessus α, β
Et γ
− angles entre les directions tangente et positive des axes O x, Ô oui et O z, respectivement.
Introduisons une fonction vectorielle définie sur la courbe C, de sorte que pour une fonction scalaire
Il existait une intégrale curviligne. Une telle intégrale est appelée intégrale curviligne du deuxième type de fonction vectorielle le long d'une courbe. C et est noté
Ainsi, par définition,
où est le vecteur unitaire de la tangente à la courbe C.
La dernière formule peut également être réécrite sous forme vectorielle :
Où.
Si la courbe C se trouve dans le plan O xy, alors en supposant R= 0, on obtient
Propriétés d'une intégrale curviligne du deuxième type
Une intégrale curviligne de seconde espèce a les propriétés suivantes : Soit C désigne une courbe commençant à un point UN et point final B. Notons par −C courbe dans la direction opposée - de BÀ UN. Alors
Si C− combiner des courbes C 1 et C 2 (Figure 2 ci-dessus), alors si la courbe C est donné paramétriquement sous la forme , alors Si la courbe C se trouve dans le plan O xy et l'équation Tm est donnée (on suppose que R= 0 et t = x), alors la dernière formule s'écrit sous la forme
N°49La surface F est donnée explicitement z = z(x,y), (x,y)О D (compact),
où z(x,y) a des dérivées partielles continues du premier ordre dans D, la fonction f(x,y,z) est définie et continue sur F. Alors il existe une intégrale égale à
Preuve. Pour les zones que nous obtenons
Alors les sommes intégrales seront égales
La première des sommes est intégrale pour , la seconde peut être rendue arbitrairement petite en choisissant une partition suffisamment petite. Cette dernière découle de la continuité uniforme de la fonction f(x,y,z(x,y)) sur D.
N° 40 (suite) Condition suffisante pour exister intégrale curviligne La première sorte sera formulée plus tard, lorsque nous montrerons comment la calculer.
La définition d'une intégrale curviligne du premier type a la même structure que la définition d'une intégrale définie. Par conséquent, une intégrale curviligne de première espèce a les mêmes propriétés qu’une intégrale définie. Nous présentons ces propriétés sans preuve.
PROPRIÉTÉS DE L'INTÉGRALE CURVILINEAIRE DU 1ER TYPE
1. , où est la longueur de la courbe.
2. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale curviligne de première espèce, c'est-à-dire
3. L'intégrale curviligne du premier type de la somme algébrique de deux fonctions (nombre fini) est égale à la somme algébrique des intégrales curvilignes du premier type de ces fonctions, c'est-à-dire
4. Si la courbe est divisée en deux parties et n'a pas de points internes communs, alors
(propriété d'additivité d'une intégrale curviligne de première espèce).
5. Si la fonction () est partout sur la courbe, alors
6. Si partout sur la courbe (),
7. (une conséquence des propriétés 6 et 1) Si et sont les plus petits et respectivement valeur la plus élevée fonctions sur la courbe, alors
où est la longueur de la courbe.
8. (théorème de la valeur moyenne pour une intégrale curviligne de première espèce) Si la fonction est continue sur la courbe, alors il existe un point tel que l'égalité
où est la longueur de la courbe.
N° 42 Longueur de courbe.
Si la fonction intégrande f(x, y, z) ≡ 1, alors à partir de la définition d'une intégrale curviligne de 1ère espèce on constate que dans ce cas elle est égale à la longueur de la courbe le long de laquelle s'effectue l'intégration :
Masse courbe.
En supposant que la fonction intégrale γ (x, y, z) détermine la densité de chaque point de la courbe, on trouve la masse de la courbe à l'aide de la formule
3. On va trouver les moments de la courbe l, en raisonnant de la même manière que dans le cas d'une région plane : -
moments statiques courbe plate l par rapport aux axes Ox et Oy ;
moment d'inertie de la courbe spatiale par rapport à l'origine ;
· moments d'inertie de la courbe par rapport aux axes de coordonnées.
4. Les coordonnées du centre de masse de la courbe sont calculées à l'aide des formules
N° 38(2) Changement de variables dans les intégrales triples
Lors du calcul d’une intégrale triple, comme d’une intégrale double, il est souvent pratique de procéder à un changement de variables. Cela permet de simplifier la forme du domaine d'intégration ou de l'intégrande.
Soit la triple intégrale originale en coordonnées cartésiennes x, y, z dans le domaine U :
Il est nécessaire de calculer cette intégrale en nouvelles coordonnées u, v, w. La relation entre les anciennes et les nouvelles coordonnées est décrite par les relations :
On suppose que les conditions suivantes sont remplies :
1. Les fonctions φ, ψ, χ sont continues avec leurs dérivées partielles ;
2. Il existe une correspondance biunivoque entre les points de la région d'intégration U dans l'espace xyz et les points de la région U" dans l'espace uvw ;
3. Jacobien de la transformation I (u,v,w), égal à
est différent de zéro et maintient un signe constant partout dans le domaine d'intégration U.
Alors la formule pour changer les variables dans une triple intégrale s'écrit :
Dans l'expression ci-dessus, cela signifie valeur absolue Jacobien
N° 38 Intégrales triples dans coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques du point M(x,y,z) sont trois nombres − ρ, φ, θ, où
ρ est la longueur du rayon vecteur du point M ;
φ est l'angle formé par la projection du rayon vecteur sur le plan Oxy et l'axe Ox ;
θ est l'angle de déviation du rayon vecteur par rapport à la direction positive de l'axe Oz (Figure 1).
Veuillez noter que les définitions de ρ, φ en coordonnées sphériques et cylindriques sont différentes les unes des autres.
Les coordonnées sphériques d'un point sont liées à ses coordonnées cartésiennes par les relations
Le jacobien du passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques a la forme :
En développant le déterminant sur la deuxième colonne, on obtient
En conséquence, la valeur absolue du jacobien est égale à
Par conséquent, la formule pour changer les variables lors de la conversion des coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques a la forme :
Il est plus pratique de calculer l'intégrale triple en coordonnées sphériques lorsque le domaine d'intégration U est une boule (ou une partie de celle-ci) et/ou lorsque l'intégrande a la forme f (x2 + y2 + z2).
Surface
Sélectionnons un point M0 sur une surface lisse (fermée ou délimitée par un contour lisse) et traçons une normale à la surface, en lui choisissant une certaine direction (l'une des deux possibles). Traçons un contour fermé le long de la surface, commençant et se terminant au point M0. Considérons un point M qui fait le tour de ce contour, et dans chacune de ses positions on trace la normale de la direction dans laquelle passe continuellement la normale du point précédent. Si, après avoir parcouru le contour, la normale revient au point M0 à sa position d'origine pour tout choix de point M0 sur la surface, la surface est dite bilatérale. Si la direction de la normale, après avoir traversé au moins un point, change dans le sens opposé, la surface est dite unilatérale (un exemple de surface unilatérale est une bande de Mobius). De ce qui précède, il s'ensuit que le choix de). la direction de la normale en un point détermine sans ambiguïté la direction de la normale en tous les points de la surface.
Définition
L’ensemble de tous les points de la surface ayant la même direction normale est appelé le côté de la surface.
Orientation des surfaces.
Considérons une surface ouverte lisse à deux faces S, délimitée par un contour L, et choisissons un côté de cette surface.
Définition
Appelons positive la direction de parcours du contour L, dans laquelle le mouvement le long du contour se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'observateur situé au point final de la normale à un certain point de la surface S correspondant au côté sélectionné de la surface. Sens inverse nous appelons le circuit de dérivation négatif.
Flux de champ vectoriel.
Considérons un champ vectoriel A(M) défini dans un domaine spatial G, une surface lisse orientée S G et un champ de normales unitaires n(M) sur un côté sélectionné de la surface S.
Définition 13.3. Intégrale surfacique de 1ère espèce, (13.1)
où An est le produit scalaire des vecteurs correspondants, et An est la projection du vecteur A sur la direction normale, appelée flux du champ vectoriel A(M) à travers le côté sélectionné de la surface S.
Remarque 1.
Si vous choisissez l’autre côté de la surface, alors la normale et, par conséquent, le flux changeront de signe.
Remarque 2.
Si le vecteur A spécifie la vitesse d'écoulement du fluide en un point donné, alors l'intégrale (13.1) détermine la quantité de fluide s'écoulant par unité de temps à travers la surface S dans la direction positive (d'où le terme général « écoulement »).
N° 53 Intégrale de surface de la seconde espèce. Définition et saints.
Définition
Considérons une surface à deux faces, lisse ou lisse par morceaux, et fixons l'une de ses deux faces, ce qui équivaut à choisir une certaine orientation sur la surface.
Pour plus de précision, supposons d'abord que la surface est donnée par une équation explicite et que le point varie dans une région du plan délimitée par un contour lisse par morceaux.
Définissons maintenant une fonction aux points de cette surface. Après avoir divisé la surface avec un réseau de courbes lisses par morceaux en parties et choisi un point sur chacune de ces parties, nous calculons la valeur de la fonction en un point donné et la multiplions par l'aire de la projection sur le plan de l'élément, équipé d'un certain signe. Faisons une somme intégrale :
La limite finale de cette somme intégrale lorsque les diamètres de toutes les pièces tendent vers zéro est appelée l'intégrale de surface du deuxième type de
s'étend sur le côté sélectionné de la surface et est désigné par le symbole
(ici) nous rappelle la zone de projection d'un élément surfacique sur un plan
Si au lieu d'un plan on projette des éléments surfaciques sur un plan ou , alors on obtient deux autres intégrales surfaciques du deuxième type :
Dans les applications, on rencontre le plus souvent des connexions d'intégrales de tous ces types :
où sont les fonctions de , définies en des points de la surface.
Relation entre les intégrales de surface du deuxième et du premier type
Où est le vecteur normal unitaire de la surface - ort.
Propriétés
1. Linéarité : ;
2. Additivité : ;
3. Lorsque l'orientation de la surface change, l'intégrale de la surface change de signe.
No. 60 Operatornabla (opérateur de Hamilton)- opérateur différentiel vectoriel, désigné par le symbole (nabla). Pour l'espace euclidien tridimensionnel en coordonnées cartésiennes rectangulaires, l'opérateur nabla est défini comme suit : où sont les vecteurs unitaires le long des axes x, y, z.
Propriétés de l'opérateur observable. Ce vecteur a du sens lorsqu'il est combiné avec la fonction scalaire ou vectorielle à laquelle il est appliqué. Si vous multipliez le vecteur par le scalaire φ, vous obtenez un vecteur qui représente le gradient de la fonction. Si un vecteur est multiplié de manière scalaire par un vecteur, le résultat est un scalaire
c'est-à-dire la divergence du vecteur. Si vous multipliez par vecteur, vous obtenez le rotor d'un vecteur :
Remarque : ainsi que pour désigner le produit scalaire et vectoriel en général, lorsqu'ils sont utilisés avec l'opérateur nabla, ainsi que ceux utilisés ci-dessus, des notations alternatives équivalentes sont souvent utilisées, par exemple, au lieu de souvent ils écrivent , et au lieu de ils écrire ; cela s'applique également aux formules données ci-dessous.
En conséquence, le produit scalaire est un opérateur scalaire appelé opérateur de Laplace. Ce dernier est également désigné . En coordonnées cartésiennes, l'opérateur de Laplace est défini comme suit : L'opérateur nabla étant un opérateur différentiel, lors de la transformation d'expressions il faut prendre en compte à la fois les règles de l'algèbre vectorielle et les règles de différenciation. Par exemple:
Autrement dit, la dérivée d'une expression dépendant de deux champs est la somme des expressions dans chacune desquelles un seul champ est différencié. Pour faciliter l'indication des champs sur lesquels nabla agit, il est généralement admis que dans le produit des champs et des opérateurs, chaque opérateur agit sur l'expression à sa droite, et n'agit pas sur tout ce qui se trouve à gauche. Si l'opérateur doit agir sur un champ à gauche, ce champ est marqué d'une manière ou d'une autre, par exemple en plaçant une flèche au-dessus de la lettre : Cette forme de notation est généralement utilisée dans les transformations intermédiaires. En raison de cet inconvénient, ils essaient de se débarrasser des flèches dans la réponse finale.
№61 Opérations différentielles vectorielles du second ordre Les cinq opérations suivantes sont appelées :
1. où est l'opérateur de Laplace.
- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -
2
- - - - - - - - - - - - -
3 .
- - - - - - - - - - - - - - - - -
4. Voici la quantité vectorielle obtenue en appliquant l'opérateur de Laplace à chaque projection du vecteur.
- - - - - - - - - - - - - - -
Propriétés de base de la double intégrale
Les propriétés d'une intégrale double (et leur dérivation) sont similaires aux propriétés correspondantes d'une seule intégrale définie.
1°. Additivité. Si la fonction f(x, oui) est intégrable dans le domaine D et si la zone D en utilisant une courbe G la zone zéro est divisée en deux régions connectées qui n'ont pas de points intérieurs communs D 1 et D 2, alors la fonction f(x, oui) est intégrable dans chacun des domaines D 1 et D 2, et
2°. Propriété linéaire . Si les fonctions f(x, oui) Et g(x, oui) sont intégrables dans des domaines D, UN α Et β - n'importe lequel nombres réels, alors la fonction [ α · f(x, oui) + β · g(x, oui)] est également intégrable dans le domaine D, et
3°. Si les fonctions f(x, oui) Et g(x, oui) sont intégrables dans des domaines D, alors le produit de ces fonctions est intégrable dans D.
4°. Si les fonctions f(x, oui) Et g(x, oui) les deux sont intégrables au domaine D et partout dans cette zone f(x, oui) ≤ g(x, oui), Que
5°. Si la fonction f(x, oui) est intégrable dans le domaine D, alors la fonction | f(x, oui)| intégrable dans les zones D, et
(Bien sûr, de l'intégrabilité | f(x, oui)| V D l'intégrabilité ne suit pas f(x, oui)V D.)
6°. Théorème de la valeur moyenne. Si les deux fonctions f(x, oui) Et g(x, oui) sont intégrables dans des domaines D, fonction g(x, oui) est non négatif (non positif) partout dans cette région, M Et m- limites supérieures et inférieures exactes de la fonction f(x, oui) dans la région D, alors il y a un nombre μ , satisfaisant l'inégalité m ≤ μ ≤ M et tel que la formule est valide
INTÉGRALES DOUBLE
CONFÉRENCE 1
Intégrales doubles.Définition de la double intégrale et de ses propriétés. Intégrales itérées. Réduction des intégrales doubles en intégrales itérées. Fixer les limites de l’intégration. Calcul des intégrales doubles dans le système de coordonnées cartésiennes.
La double intégrale est une généralisation du concept d'intégrale définie au cas d'une fonction à deux variables. Dans ce cas, au lieu du segment d'intégration, il y aura une sorte de chiffre plat.
Laisser D est une zone limitée fermée, et f(x,y) est une fonction arbitraire définie et limitée dans ce domaine. Nous supposerons que les limites de la région D constitué d'un nombre fini de courbes définies par des équations de la forme oui=f(x) ou x=g( oui), Où f(x) Et g(oui) sont des fonctions continues.
Divisons la zone D au hasard sur n parties. Carré je la -ième section sera désignée par le symbole D et je. Dans chaque section, nous sélectionnons au hasard un point Pi, et laissez-le avoir des coordonnées dans un système cartésien fixe ( x je, y je). Composons somme intégrale pour la fonction f(x,y) par région D, pour cela, trouver les valeurs de la fonction en tout point P je, multipliez-les par l'aire des sections Ds correspondantes je et résumer tous les résultats obtenus :
Appelons diamètre diamètre(G) zones G la plus grande distance entre les points limites de cette zone.
Double intégrale fonctions f(x,y) sur le domaine D est la limite vers laquelle tend la séquence des sommes intégrales (1.1) avec une augmentation illimitée du nombre de partitions n (en même temps). Ceci s'écrit comme suit
Notez que, d'une manière générale, la somme intégrale pour fonction donnée et un domaine d'intégration donné dépend de la méthode de partitionnement du domaine D et sélection de points P je. Cependant, s'il existe une intégrale double, cela signifie que la limite des sommes intégrales correspondantes ne dépend plus des facteurs indiqués. Pour que la double intégrale existe(ou, comme on dit, de sorte que la fonction f(x,y) être intégrable dans le domaine D), il suffit que la fonction intégrande soit continu dans un domaine d'intégration donné.
Laissez la fonction f(x,y) est intégrable dans le domaine D. Puisque la limite des sommes intégrales correspondantes pour de telles fonctions ne dépend pas de la méthode de partitionnement du domaine d'intégration, la partition peut être effectuée à l'aide de lignes verticales et horizontales. Ensuite, la plupart des zones de la région D aura une forme rectangulaire dont l'aire est égale à D et je=D x je D et je. Par conséquent, la différence de zone peut s’écrire sous la forme ds = dxdy. Ainsi, dans le système de coordonnées cartésiennes intégrales doubles peut s'écrire sous la forme
Commentaire. Si l'intégrande f(x,y)º1, alors l'intégrale double sera égale à l'aire de la région d'intégration :
Notez que les intégrales doubles ont les mêmes propriétés que les intégrales définies. Notons quelques-uns d'entre eux.
Propriétés des intégrales doubles.
1 0 .Propriété linéaire. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales:
et le facteur constant peut être retiré du signe intégral:
2 0 .Propriété additive. Si le domaine d'intégration D est divisé en deux parties, alors l'intégrale double sera égale à la somme des intégrales sur chacune de ces parties:
3 0 .Théorème de la valeur moyenne. Si la fonction f( x,y)est continu dans la région D, alors dans cette région il y a un tel point(x, h) , Quoi:
La question suivante est : comment les intégrales doubles sont-elles calculées ? Il peut être calculé approximativement, à cet effet il a été développé méthodes efficaces compiler les sommes intégrales correspondantes, qui sont ensuite calculées numériquement à l'aide d'un ordinateur. Lors du calcul analytique des intégrales doubles, elles sont réduites à deux intégrales définies.
1.1 Définition de l'intégrale double
1.2 Propriétés de l'intégrale double
Les propriétés d'une intégrale double (et leur dérivation) sont similaires aux propriétés correspondantes d'une seule intégrale définie.
1°. Additivité. Si la fonction f(x, y) est intégrable dans une région D et si la région D est divisée par une courbe Г d'aire nulle en deux régions connectées D1 et D2 qui n'ont pas de points internes communs, alors la fonction f(x , y) est intégrable dans chacune des zones D 1 et D 2, et
2°. Propriété linéaire. Si les fonctions f(x, y) et g(x, y) sont intégrables dans le domaine D, hein ? Et? - des nombres réels, alors la fonction [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] est également intégrable dans le domaine D, et
3°. Si les fonctions f(x, y) et g(x, y) sont intégrables dans le domaine D, alors le produit de ces fonctions est également intégrable dans D.
4°. Si les fonctions f(x, y) et g(x, y) sont toutes deux intégrables dans le domaine D et partout dans ce domaine f(x, y) ? g(x, y), alors
5°. Si la fonction f(x, y) est intégrable dans le domaine D, alors la fonction |f(x, y)| est intégrable dans le domaine D, et
(Bien sûr, l'intégrabilité de |f(x, y)| dans D n'implique pas l'intégrabilité de f(x, y) dans D.)
6°. Théorème de la valeur moyenne. Si les deux fonctions f(x, y) et g(x, y) sont intégrables dans un domaine D, la fonction g(x, y) est non négative (non positive) partout dans ce domaine, M et m sont les supremum et infimum de la fonction f( x, y) dans le domaine D, alors il existe un nombre qui satisfait l'inégalité m ? ? ? M et tel que la formule est valide
En particulier, si la fonction f(x, y) est continue dans D et que le domaine D est connexe, alors dans ce domaine il existe un point (?, ?) tel que ? = f(?, ?), et la formule prend la forme
7°. Important propriété géométrique. égal à l'aire de la région D
Soit un corps T donné dans l'espace (Fig. 2.1), délimité d'en bas par la région D, d'en haut - par le graphe d'une fonction continue et non négative) z=f (x, y), qui est défini dans la région D, des côtés - surface cylindrique, dont la direction est la limite de la région D, et les génératrices sont parallèles à l'axe Oz. Un corps de ce type est appelé corps cylindrique.
1.3 Interprétation géométrique de la double intégrale
1.4 La notion d'intégrale double pour un rectangle
Soit une fonction arbitraire f(x, y) définie partout sur le rectangle R = ?
(voir fig. 1).< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.
Divisons le segment a ? x? b en n segments partiels en utilisant les points a = x 0
Cette partition par droites parallèles aux axes Ox et Oy correspond à la partition du rectangle R en n · p rectangles partiels R kl = ?
(k = 1, 2, ..., n ; l = 1, 2, ..., p). Nous désignons la partition indiquée du rectangle R par le symbole T. Plus loin dans cette section, le terme « rectangle » sera compris comme un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées.
Sur chaque rectangle partiel R kl on choisit un point arbitraire (? k, ? l). En mettant ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, on note ?R kl l'aire du rectangle R kl. Évidemment, ?R kl = ?x k ?y l .
est appelée la somme intégrale de la fonction f(x, y) correspondant à une partition T donnée du rectangle R et à un choix donné de points intermédiaires (? k, ? l) sur les rectangles partiels de la partition T. Nous appellerons la diagonale le diamètre du rectangle R kl. Un symbole ? notons le plus grand des diamètres de tous les rectangles partiels par R kl . Le nombre I est appelé limite des sommes intégrales (1) à ? > 0 si pour un nombre positif ? tu peux le préciser< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство
nombre positif< ?.
?, et alors ?
| ? -Je |
Une fonction f(x, y) est dite intégrable de Riemann sur un rectangle R s'il existe une limite finie I des sommes intégrales de cette fonction en ? > 0.
La limite spécifiée I est appelée l'intégrale double de la fonction f(x, y) sur le rectangle R et est désignée par l'un des symboles suivants :
Commentaire. De la même manière que pour une seule intégrale définie, on établit que toute fonction f(x, y) intégrable sur un rectangle R est bornée sur ce rectangle. Ceci donne lieu à ne considérer dans ce qui suit que des fonctions limitées f(x, y).
1. INTÉGRALES DOUBLE
1.1. Définition de la double intégrale
La double intégrale est une généralisation du concept d'intégrale définie au cas d'une fonction à deux variables. Dans ce cas, au lieu du segment d'intégration, il y aura une sorte de chiffre plat.
Laisser D est une zone limitée fermée, et f(x, oui) est une fonction arbitraire définie et limitée dans ce domaine. Nous supposerons que les limites de la région D constitué d'un nombre fini de courbes définies par des équations de la forme oui=f(x) ou x=g( oui), Où f(x) Et g(oui) sont des fonctions continues.
R.
Riz. 1.1
zone d'azobième D au hasard sur n parties. Carré je la ème section sera désignée par le symbole s je. Dans chaque section, nous sélectionnons au hasard un point P. je , et laissez-le avoir des coordonnées dans un système cartésien fixe ( x je , oui je). Composons somme intégrale pour la fonction f(x, oui) par région D, pour cela, trouver les valeurs de la fonction en tout point P. je, multipliez-les par l'aire des sections correspondantes s je et résumer tous les résultats obtenus :
.
(1.1)
Appelons diamètre diamètre(G) zones G la plus grande distance entre les points limites de cette zone.
Double intégrale
fonctions
f(x,
oui)
par région
D
est la limite vers laquelle tend la séquence d’intégrales
montants
(1.1) avec une augmentation illimitée du nombre de partitions
n
(en même temps
). Ceci s'écrit comme suit
.
(1.2)
A noter que, d'une manière générale, la somme intégrale pour une fonction donnée et un domaine d'intégration donné dépend de la méthode de partitionnement du domaine D et sélection de points P. je. Cependant, s'il existe une intégrale double, cela signifie que la limite des sommes intégrales correspondantes ne dépend plus des facteurs indiqués. Pour que la double intégrale existe(ou, comme on dit, à fonction f(x, oui) était intégré sur le terrainD), il suffit que la fonction intégrale soitcontinu dans un domaine d'intégration donné.
P.
Riz. 1.2
.
(1.3)
Commentaire . Si l'intégrande f(x, oui)1, alors l'intégrale double sera égale à l'aire de la région d'intégration :
.
(1.4)
Notez que les intégrales doubles ont les mêmes propriétés que les intégrales définies. Notons quelques-uns d'entre eux.
Propriétés des intégrales doubles.
1 0 . Propriété linéaire. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales:
et le facteur constant peut être retiré du signe intégral:
.
2 0 . Propriété additive. Si le domaine d'intégrationDdivisé en deux parties, alors l'intégrale double sera égale à la somme des intégrales sur chacune de ces parties:
.
3 0 . Théorème de la valeur moyenne. Si la fonction f( x, oui)continu dans la régionD, alors dans cette région il y a un tel point() , Quoi:
.
La question suivante est : comment les intégrales doubles sont-elles calculées ? Il peut être calculé de manière approximative ; à cet effet, des méthodes efficaces ont été développées pour compiler les sommes intégrales correspondantes, qui sont ensuite calculées numériquement à l'aide d'un ordinateur. Lors du calcul analytique des intégrales doubles, elles sont réduites à deux intégrales définies.
1.2. Intégrales itérées
Les intégrales itérées sont des intégrales de la forme
.
(1.5)
Dans cette expression, l'intégrale interne est d'abord calculée, c'est-à-dire Tout d'abord, l'intégration sur la variable est effectuée oui(dans ce cas la variable x est considérée comme une valeur constante). Grâce à l'intégration sur oui vous obtenez une fonction selon x:
.
Ensuite, la fonction résultante est intégrée sur x:
.
Exemple 1.1. Calculer les intégrales :
UN) 
, b) 
.
Solution . a) Intégrons sur oui, en supposant que la variable x= const. Après cela, nous calculons l'intégrale sur x:
.
b) Puisque dans l'intégrale interne l'intégration s'effectue sur la variable x, Que oui 3 peut être pris dans l’intégrale externe comme facteur constant. Depuis oui 2 dans l'intégrale interne est considéré comme une valeur constante, alors cette intégrale sera tabulaire. Effectuer une intégration séquentielle sur oui Et x, nous obtenons
Il existe une relation entre les intégrales doubles et itérées, mais examinons d'abord les domaines simples et complexes. La zone s'appelle simple dans n’importe quelle direction si une ligne droite tracée dans cette direction coupe la limite de la région en deux points au maximum. Dans le système de coordonnées cartésiennes, les directions le long des axes O sont généralement considérées x et O oui. Si la zone est simple dans les deux sens, alors ils disent brièvement - une zone simple, sans souligner la direction. Si une région n’est pas simple, on dit qu’elle est complexe.
L
un b
Riz. 1.4
Toute région complexe peut être représentée comme une somme de régions simples. En conséquence, toute intégrale double peut être représentée comme une somme d’intégrales doubles sur des régions simples. Par conséquent, dans ce qui suit, nous considérerons principalement uniquement les intégrales sur des domaines simples.
Théorème . Si le domaine d'intégrationD– simple dans le sens de l'axeOy(voir Fig. 1.4a), alors la double intégrale peut s'écrire sous forme répétée comme suit :
;
(1.6)
si le domaine d'intégrationD– simple dans le sens de l'axeBœuf(voir Fig. 1.4b), alors la double intégrale peut s'écrire sous forme répétée comme suit :
.
(1.7)
E
Riz. 1.3
1.3. FIXER DES LIMITES D’INTÉGRATION
1.3.1. Région d'intégration rectangulaire
P.
Riz. 1,5
Exemple 1.2. Calculer la double intégrale
.
Solution . Écrivons la double intégrale de manière itérative :
.
1.3.2. Domaine arbitraire d'intégration
Afin de passer d’une intégrale double à une intégrale répétée, il faut :
construire le domaine d'intégration;
fixer des limites aux intégrales, tout en se rappelant que les limites de l'intégrale externe doivent être des quantités constantes (c'est-à-dire des nombres), quelle que soit la variable à partir de laquelle l'intégrale externe est calculée.
Exemple 1.3. Organiser les limites d'intégration dans les intégrales itérées correspondantes pour la double intégrale
, si a) 
b) 
R.
Riz. 1.6
.
Supposons maintenant que l'intégration dans l'intégrale externe soit effectuée selon oui, et en interne – selon x. oui Dans ce cas les valeurs x passera de 0 à 2. Cependant, alors la limite supérieure des changements dans les valeurs de la variable x= oui sera composé de deux sections x/2 et oui=1. Cela signifie que la région d'intégration doit être divisée en deux parties de la ligne droite x=1. Puis dans la première région, y passe de 0 à 1, et x= oui de la ligne droite x= oui/2 en ligne droite x. Dans la deuxième région, y passe de 1 à 2, et x= oui de la ligne droite x– d'une ligne droite
.
=1. En conséquence nous obtenons
b
=0 à oui d'en haut sera limité par deux lignes : un cercle et une ligne droite. Sur le segment [–1;0] oui; variable sur le segment oui=1–x=0 à
.
. Ainsi, oui, et en interne – selon x Supposons maintenant que l'intégration dans l'intégrale externe soit effectuée selon oui. Dans ce cas x passera de 0 à 1, et la variable 
– d'un arc de cercle x=1–ouià une ligne droite
.
Ces exemples montrent combien il est important de choisir le bon ordre d’intégration.
Exemple 1.4. Modifier l'ordre d'intégration
UN) 
; 
.
R.
b)
.
Le résultat est la région d'intégration suivante (voir Fig. 1.8). Sur la base de la figure construite, nous fixons les limites de l'intégration Riz. 1.8 oui Construisons le domaine de l'intégration. Sur le segment pour x variable x=oui b) 
à une parabole x=oui; sur un segment - à partir d'une ligne droite x=
à une ligne droite
.