Groupe cyclique. Structures algébriques. Générer des éléments d'un groupe cyclique

• 1. Groupe Z entiers avec l’opération d’addition.
• 2. Groupe de toutes les racines complexes du degré n de un avec l'opération de multiplication. Puisque le nombre cyclique est un isomorphisme

le groupe est cyclique et l'élément est générateur.

Nous voyons que les groupes cycliques peuvent être finis ou infinis.

3. Soit un groupe arbitraire et un élément arbitraire. L'ensemble est un groupe cyclique avec élément générateur g. On l'appelle le sous-groupe cyclique généré par l'élément g, et son ordre est l'ordre de l'élément g. Selon le théorème de Lagrange, l’ordre d’un élément est un diviseur de l’ordre du groupe. Afficher

fonctionnant selon la formule :

est évidemment un homomorphisme et son image coïncide avec. Une cartographie est surjective si et seulement si le groupe G- cyclique et g son élément constitutif. Dans ce cas, nous appellerons l'homomorphisme standard du groupe cyclique G avec générateur sélectionné g.

En appliquant le théorème d'homomorphisme dans ce cas, nous obtenons une propriété importante des groupes cycliques : chaque groupe cyclique est une image homomorphe du groupe Z .

Dans n'importe quel groupe G peut être déterminé degrésélément avec des indicateurs entiers :

La propriété détient

C'est évident si . Considérons le cas où . Alors

Les autres cas sont traités de la même manière.

De (6) il résulte que

De plus, par définition. Ainsi, les puissances d'un élément forment un sous-groupe dans le groupe G.Ça s'appelle un sous-groupe cyclique généré par un élément, et est noté par .

Deux cas fondamentalement différents sont possibles : soit tous les degrés d'un élément sont différents, soit non. Dans le premier cas, le sous-groupe est infini. Examinons plus en détail le deuxième cas.

Laisser ,; Alors. Le plus petit nombre naturel T, pour lequel, est appelé dans ce cas en ordreélément et est désigné par .

Phrase 1. Si , Que

Preuve. 1) Diviser m sur n avec reste :

Alors, par la définition de l'ordre

En raison du précédent

Conséquence. Si mo sous-groupe contient n éléments.

Preuve. Vraiment,

et tous les éléments répertoriés sont différents.

Dans le cas où il n'existe pas de tel naturel T, que (c'est-à-dire que le premier des cas décrits ci-dessus se produit), on pense . Noter que; les ordres de tous les autres éléments du groupe sont supérieurs à 1.

Dans le groupe additif, nous ne parlons pas des puissances d'un élément , et à propos de lui multiples, qui sont désignés par . Conformément à cela, l'ordre des éléments du groupe additif est G-- est le plus petit nombre naturel T(s'il en existe) pour lequel

EXEMPLE 1. La caractéristique d'un champ est l'ordre de tout élément non nul dans son groupe additif.

EXEMPLE 2. Il est évident que dans un groupe fini, l’ordre de tout élément est fini. Montrons comment sont calculés les ordres des éléments d'un groupe. La substitution est appelée. faire du vélo longueur et est noté s'il se réorganise cycliquement

et laisse tous les autres numéros en place. Évidemment, l’ordre de la durée du cycle est égal à r. Les cycles sont appelés indépendant, si parmi les nombres qu'ils réorganisent réellement, il n'y en a pas de communs ; dans ce cas . Chaque substitution peut être décomposée de manière unique en un produit de cycles indépendants. Par exemple,

ce qui est clairement montré sur la figure, où l'action de substitution est représentée par des flèches. Si la substitution est décomposée en un produit de cycles indépendants de longueur , Que

EXEMPLE 3. L'ordre d'un nombre complexe c dans un groupe est fini si et seulement si ce nombre est racine d'une certaine puissance d'unité, qui, à son tour, se produit si et seulement si a est proportionné à c, c'est-à-dire .

EXEMPLE 4. Trouvons des éléments d'ordre fini dans l'ensemble des mouvements du plan. Qu'il en soit ainsi. Pour n'importe quel point

réorganisé cycliquement par le mouvement , donc leur centre de gravité Ô relativement immobile. Donc, - soit une rotation de l'angle de vue autour du point Ô, ou réflexion par rapport à une ligne droite passant par Ô.

EXEMPLE 5. Trouvons l'ordre de la matrice

comme élément du groupe. Nous avons

Donc. Bien entendu, cet exemple est spécialement choisi : la probabilité que l'ordre d'une matrice choisie aléatoirement soit fini est nulle.

Proposition 2. Si , Que

Preuve. Laisser

Donc. Nous avons

Ainsi, .

Définition 1 . Groupe G appelé cyclique, si un tel élément existe , Quoi . Un tel élément est appelé élément générateur groupes G.

EXEMPLE 6. Le groupe additif d'entiers est cyclique car il est généré par l'élément 1.

EXEMPLE 7. Groupe de déductions modulo additif n est cyclique car il est généré par l'élément .

EXEMPLE 8. Groupe multiplicatif de racines complexes nième degré de 1 est cyclique. En effet, ces racines sont des nombres

C'est clair que . Le groupe est donc généré par l'élément.

Il est facile de voir que dans un groupe cyclique infini les seuls éléments générateurs sont et. Ainsi, dans le groupe Z les seuls éléments générateurs sont 1 et -- 1.

Nombre d'éléments du groupe final G je l'ai appelée en ordre et est noté par. L'ordre d'un groupe cyclique fini est égal à l'ordre de son élément générateur. Par conséquent, de la proposition 2, il résulte

Phrase 3 . Élément de groupe cyclique d'ordre n est générateur si et seulement si

EXEMPLE 9. Les éléments générateurs d'un groupe sont appelés racines primitives nème puissance de 1. Ce sont les racines de l'espèce , Où. Par exemple, les racines primitives du 12ème degré à partir de 1 le sont.

Les groupes cycliques sont les groupes les plus simples imaginables. (En particulier, ils sont abéliens.) Le théorème suivant donne leur description complète.

Théorème 1. Tout groupe cyclique infini est isomorphe à un groupe. Tout groupe cyclique fini d'ordre n est isomorphe à un groupe.

Preuve. Si est un groupe cyclique infini, alors d'après la formule (4) la cartographie est un isomorphisme.

Soit un groupe d'ordre cyclique fini p. Considérez la cartographie

alors la cartographie est bien définie et bijective. Propriété

découle de la même formule (1). C'est donc un isomorphisme.

Le théorème a été prouvé.

Pour comprendre la structure d'un groupe, la connaissance de ses sous-groupes joue un rôle important. Tous les sous-groupes du groupe cyclique peuvent être facilement décrits.

Théorème 2. 1) Chaque sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

2)Dans un groupe d'ordre cyclique n l'ordre de tout sous-groupe divise n et pour tout diviseur q du nombre n il existe exactement un sous-groupe d'ordre q.

Preuve. 1) Soit un groupe cyclique et N-- son sous-groupe, différent de (Le sous-groupe identité est évidemment cyclique.) Notez que s'il y en a, alors et . Laisser T-- le plus petit des nombres naturels pour lequel . Prouvons que . Laisser . divisons À sur T avec reste :

d'où, en vertu de la définition du nombre T il s'ensuit que et, par conséquent, .

2) Si , alors le raisonnement précédent s'applique à (dans ce cas ), montre que . En même temps

Et N est le seul sous-groupe de l'ordre q dans le groupe G. De retour si q-- n'importe quel diviseur de nombre n Et , puis un sous-ensemble N, défini par l'égalité (9), est un sous-groupe d'ordre q. Le théorème a été prouvé.

Conséquence . Dans un groupe cyclique d'ordre premier, tout sous-groupe non trivial coïncide avec le groupe entier.

EXEMPLE 10. Dans un groupe, chaque sous-groupe a la forme où.

EXEMPLE 11. Dans un groupe nièmes racines puissances de 1, tout sous-groupe est un groupe de racines q-ème degré de 1, où.

Soit M un sous-ensemble du groupe G. L'ensemble de tous les produits possibles des éléments de M et de leurs inverses est un sous-groupe. Il est appelé sous-groupe généré par le sous-ensemble M et est noté hMi. En particulier, M génère un groupe G si G = hMi. La simple déclaration suivante est utile :

un sous-groupe H est généré par un sous-ensemble M alors et

Si G = hMi et |M|< ∞, то G называется bien sûr généré.

Un sous-groupe généré par un élément a G est appelé cyclique et est noté hai. Si G = hai pour certains un G, alors G est aussi appelé cyclique. Exemples de groupes cycliques :

1) groupe Z d'entiers relatifs à l'addition ;

2) groupe Z(n) déductions modulo n par rapport à l'addition ;

son les éléments sont les ensembles de tous les entiers qui donnent le même reste lorsqu'ils sont divisés par un nombre n Z donné.

Il s'avère que ces exemples épuisent tous les groupes cycliques :

Théorème 2.1 1) Si G est un groupe cyclique infini, alors

GZ.

2) Si G est un groupe cyclique fini d'ordre n, alors

GZ(n).

L'ordre d'un élément a G est le plus petit nombre naturel n tel que an = 1 ; si un tel nombre n'existe pas, alors l'ordre de l'élément est considéré comme infini. L'ordre de l'élément a est noté |a|. Notez que |hai| = |une|.

2.1. Calculez les ordres des éléments des groupes S3, D4.

2.2. Soit |G|< ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.

2.3. Soit g G, |g| = n. Montrer que gm = e si et seulement si n divise m.

2.4. Soit |G| = n. Montrer que an = e pour tout a G.

2.5. Montrer qu'un groupe d'ordre pair contient un élément d'ordre 2.

2.6. Laissez le groupe G avoir un ordre impair. Montrer que pour tout a G il existe un b G tel que a = b2.

2.7. Vérifiez que |x| = |yxy−1 |, |ab| = |ba|, |abc| = |bca| = |cabine|.

2.8. Soit un G, |a| = n et b = ak. Prouver que |b| = n/PGCD(n, k);

2.9. Soit ab = ba. Montrer que LCM(|a|, |b|) est divisible par |ab|. Donnez un exemple lorsque LCM(|a|, |b|) 6= |ab|.

2.10. Soit ab = ba, GCD(|a|, |b|) = 1. Montrer que |ab| = |une||b|.

2.11. Soit σ Sn un cycle. Vérifiez que |σ| égale à la longueur σ.

2.12. Soit σ Sn, σ = σ1. . . σm, où σ1, . . . , σm sont des cycles indépendants. Vérifiez que |σ| = LCM(|σ1 |, . . . , |σm |).

2.13. Les groupes sont-ils cycliques : a) Sn ;

b) Dn ;

c) µn := (z C | zn = 1) ?

2.14. Montrer que si |G| = p est un nombre premier, alors G est cyclique.

2.15. Montrer qu'un groupe non identitaire G n'a pas de sous-groupes propres si et seulement si |G| = p, c'est-à-dire que G est isomorphe à Z(p) (p est un nombre premier).

2.16. Montrer que si |G| ≤ 5, alors G est abélien. Décrire les groupes d'ordre 4.

2.17. Soit G un groupe cyclique d'ordre n d'élément générateur a. Soit b = ak. Montrer que G = hbi si et seulement si GCD(n, k) = 1, c'est-à-dire le nombre d'éléments générateurs dans un groupe cyclique d'ordre n est égal à ϕ(n), où ϕ est la fonction d'Euler :

2.18.* Prouver que

2.19. Soit G un groupe cyclique d'ordre n, m|n. Montrer que G contient exactement un sous-groupe d’ordre m.

2.20. Trouver tous les générateurs des groupes : a) Z, b) Z(18).

2.21. Montrer qu'un groupe infini a un nombre infini de sous-groupes.

2 .22 .* Soit |G|< ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* Soit F un corps, G un sous-groupe fini de F . Montrer que G est cyclique.

RAZDEL 3

Homomorphismes. Sous-groupes normaux. Groupes de facteurs

Une application de groupe f : G −→ H est appelée un homomorphisme si f(ab) = f(a)f(b) pour tout a, b G (donc l'isomorphisme

– cas particulier homomorphisme). D'autres types d'homomorphisme sont souvent utilisés :

le monomorphisme est un homomorphisme injectif, l'épimorphisme est un homomorphisme surjectif, l'endomorphisme est un homomorphisme en soi, l'automorphisme est un isomorphisme en soi.

Sous-ensembles

Trait = (a G | f(a) = 1) G

Imf = (b H | f(a) = b pour certains a G) H

sont appelés respectivement le noyau et l'image de l'homomorphisme f. Évidemment, Kerf et Imf sont des sous-groupes.

Sous-groupe N< G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Le noyau d'un homomorphisme est un sous-groupe normal. L’inverse est également vrai : tout sous-groupe normal est le noyau d’un certain homomorphisme. Pour le montrer, introduisons sur le plateau

16 Section 3. Homomorphismes, groupes de facteurs

G/N = (aN | a G) cosets par l'opération normale du sous-groupe N : aN · bN = abN. Alors G/N se transforme en un groupe, appelé groupe quotient par sous-groupe N. L'application f : G −→ G/N est un épimorphisme, et Kerf = N.

Tout homomorphisme f : G −→ H est une composition d'un épimorphisme G −→ G/Kerf, d'un isomorphisme G/Kerf −→ Imf et d'un monomorphisme Imf −→ H.

3.1. Prouver que ces applications sont homomorphes

groupes de mères, et trouver leur noyau et leur image. une) f : R → R, f(x) = ex ;

b) f : R → C, f(x) = e2πix ;

c) f : F → F (où F est le champ), f(x) = ax, a F ; d) f : R → R, f(x) = sgnx ;

e) f : R → R, f(x) = |x|; e) f : C → R, f(x) = |x|;

g) f : GL(n, F) → F (où F est le corps), f(A) = det A ;

h) f : GL(2, F) → G, où G est un groupe de fonctions fractionnaires linéaires (voir problème 1.8), F est un corps,

i) f : Sn → (1, −1), f(σ) = sgnσ.

3.2. Sous quelle condition sur un groupe G est l'application f : G → G donnée par la formule

a) g 7→g2 b) g 7→g−1 ,

est-ce un homomorphisme ?

3.3. Soit f : G → H un homomorphisme et soit G. Montrer que |f(a)| divise |a|.

3.4. Montrer que l'image homomorphe d'un groupe cyclique est cyclique.

3.5. Montrer que l'image et l'image inverse d'un sous-groupe sous un homomorphisme sont des sous-groupes.

3.6. On appelle les groupes G1 et G2 anti-isomorphes s'il existe une bijection f : G1 → G2 telle que f(ab) = f(b)f(a) pour tout a, b G1. Montrer que les groupes antiisomorphes sont isomorphes.

3.7.* Montrer qu'il n'existe pas d'homomorphismes non triviaux Q → Z, Q → Q+.

3 .8 .* Soit G un groupe, g G. Montrer que pour l'existence de f Hom(Z(m), G) tel que f(1) = g, il faut et suffisant que gm = e.

3.9. Décrire

a) Hom(Z(6), Z(18)), b) Hom(Z(18), Z(6)), c) Hom(Z(12), Z(15)), d) Hom(Z (m), Z(n)).

3.10. Vérifiez que

α, βR, α2 + β2 6= 0 .

3. 11. (Généralisation du théorème de Cayley.) Montrer que l'affectation à un élément a G de la permutation xH 7→axH sur l'ensemble des cosets par rapport au sous-groupe H< G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12. Vérifier que l'ensemble Aut G de tous les automorphismes d'un groupe G forme un groupe par rapport à la composition.

3. 13. Vérifiez que la cartographie f g : G → G, f g (x) = gxg −1 , où g G, est un automorphisme du groupe G (ces automorphismes sont appelés interne ). Vérifier que les automorphismes internes forment un sous-groupe Inn G< Aut G.

3.14. Trouver le groupe d'automorphisme a) Z ;

b) un groupe non cyclique d'ordre 4 (voir problème 2.16) ; c)S3 ;

18 Section 3. Homomorphismes, groupes de facteurs

3.15. Est-il vrai que : a) G C G, E C G ;

b) SL(n,F)CGL(n,F);

c) les matrices scalaires non nulles forment un sous-groupe normal dans GL(n, F) ;

d) les matrices diagonales (triangulaires supérieures) avec des éléments diagonaux non nuls forment un sous-groupe normal dans

e) Un C Sn ;

e) Auberge G C Aut G ?

3.16. Soit = ​​2. Montrer que H C G.

3.17. Soit M, N C G. Montrer que M ∩ N, MN C G.

3.18. Soit N C G, H< G. Докажите, что N ∩ H C H.

3.19. Soit N C G, H< G. Докажите, что NH = HN < G.

3.20. Soit H< G. Докажите, что xHx−1 C G.

3.21. Soit H< K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3.22. Soit M, N C G, M ∩ N = E. Montrer que M et N sont commutables élément par élément.

3.23. Prouver que :

a) L'image d'un sous-groupe normal sous un épimorphisme est normale ; b) L'image inverse complète d'un sous-groupe normal (pour tout homo-

morphisme) est normal.

3.24. Vérifiez que G/G E, G/E G.

3.25. Montrer que Z/nZ est un groupe cyclique d’ordre n.

3.26.* Prouver que :

d) R/R (1, -1);

e) GL(n, F)/SL(n, F) F ;

où GL+ (n, R) := (A GL(n, R) | det A > 0).

3.27. Montrer que Q/Z est un groupe périodique (c'est-à-dire que l'ordre de n'importe lequel de ses éléments est fini) qui contient un sous-groupe unique d'ordre n pour chaque nombre naturel n. Chacun de ces sous-groupes est cyclique.

3 .28 .* Montrer que : a) C(G) C G,

b) Auberge G G/C(G).

3.29.* Soit N C G, H< G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* Montrer que si M C N C G, M C G, alors

(G/M)/(N/M) G/N.

3.31. Montrer que si G/C(G) est cyclique, alors G = C(G) (c'est-à-dire G/C(G) = E).

3.32. Appelons le commutateur des éléments x et y du groupe G l'élément := x−1 y−1 xy. Un sous-groupe de commutateurs d'un groupe G est son sous-groupe G0 généré par tous les commutateurs. Prouver que :

a) G0CG;

b) Le groupe G/G0 est abélien ;

c) G est abélien si et seulement si G0 = E.

3.33. Soit N C G. Montrer que G/N est abélien si et seulement si N G0 .

3.34. Définissons par récurrence G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . Un groupe G est dit résoluble si G(n) = E pour certains n N. Vérifier que :

a) les sous-groupes et les groupes quotients d'un groupe résoluble sont résolubles ;

b) si N C G est tel que N et G/N sont résolubles, alors G est résoluble.

3.35. Prouver que le groupe G est résoluble si et seulement s'il existe une chaîne de sous-groupes

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 Section 3. Homomorphismes, groupes de facteurs

tel que tous les groupes quotients Gk /Gk+1 sont abéliens.

3.36. Vérifier que a) sont des groupes abéliens ; b) les groupes S3 et S4 ;

c) le sous-groupe de toutes les matrices triangulaires supérieures dans GL(n, F) (où F est un corps)

sont résolubles.

3.37. Soit G(n) un sous-groupe de G engendré par l'ensemble (gn | g G). Prouver que :

a) G(n)CG ;

b) G/G(n) a une période n (c'est-à-dire que l'identité xn = 1 est satisfaite) ;

c) G a une période n si et seulement si G(n) = E.

3.38. Soit N C G. Montrer que G/N a une période n si et seulement si N G(n) .

3.39. Soit G le groupe (par rapport à la composition) des applications

φ : R → R de la forme x 7→ax + b (a 6= 0), H = (φ G | φ : x 7→x + b). Prouver que H C G. À quoi est égal G/H ?

3h40. Définissons l'opération sur l'ensemble G = Z × Z :

(une, b)(c, ré) = (une + (−1)b c, b + ré)

Montrer que G est un groupe et H = h(1, 0)i C G.

Groupes finis

Un groupe (semi-groupe) est appelé ultime, s'il est constitué d'un nombre fini d'éléments. Le nombre d'éléments d'un groupe fini est appelé son en ordre. Tout sous-groupe d'un groupe fini est fini. Et si NÍ G– sous-groupe du groupe G, puis pour tout élément UNÎ G beaucoup N / A={X: x=h◦un, pour tout hÎ H) s'appelle coset gauche Pour G relativement N. Il est clair que le nombre d'éléments dans N / Aégal à la commande N. (La définition peut être formulée de la même manière un– bon coset par rapport à N).

L'important est que pour tout sous-groupe N groupes G deux cosets gauche (droite) selon N coïncident ou ne se croisent pas, donc tout groupe peut être représenté comme une union de cosets gauche (droite) disjoints par N.

En effet, si deux classes N / A Et Hb, Où un, bÎ G, ont un élément commun X, alors il y a tÎ H tel que x = t◦un. Et puis la classe de gauche est pour X: Nx={oui: oui=h◦x= h◦(t◦un) = (h◦t)◦un} Í Ha, Mais un=t ‑1 ◦x Et N / A={oui: oui=h◦un= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í Hx. D'ici Nx=N / A. De même, on peut montrer que Nx=N b. Et donc N / A=N b. Si les cours N / A Et Hb n'ont pas d'éléments communs, alors ils ne se croisent pas.

Cette partition d'un groupe en cosets gauche (droite) est appelée décomposition du groupe en sous-groupe H.

Théorème 2.6.1. L'ordre d'un groupe fini est divisé par l'ordre de l'un de ses sous-groupes.

Preuve. Parce que G est un groupe fini, alors n'importe lequel de ses sous-groupes l'est aussi N a un ordre fini. Considérons la décomposition d'un groupe en sous-groupe N. Dans chaque coset de cette décomposition, le nombre d'éléments est le même et égal à l'ordre N. Par conséquent, si n– commande groupée G, UN k– ordre des sous-groupes N, Que n=m× k, Où m– nombre de cosets selon N dans la décomposition du groupe G.

Si pour un élément unÎ G Þ N / A=un(cosets gauche et droit par sous-groupe N coïncide), alors N appelé diviseur normal groupes G.

Déclaration: Si G est un groupe commutatif, alors n'importe quel sous-groupe de celui-ci N est un diviseur normal G.

En raison du caractère associatif de l'action dans un groupe (semi-groupe), on peut parler du « produit » de trois éléments ( UN◦b◦c) =(UN◦b)◦c = UN◦(b◦c). De même, le concept de produit complexe de néléments : UN 1 ◦UN 2 ◦…◦et n = ◦ et n = = ◦.

Travail n les éléments identiques d'un groupe sont appelés degré d'élément et est désigné un=. Cette définition a du sens pour tout n. Pour tout élément de groupe unÎ G indiquer UN 0 =e– élément neutre du groupe G. Et les pouvoirs négatifs d'un élément un ‑ n défini comme ( un ‑1)n ou ( un) -1 , où un-1 – élément inverse à UN. Les deux définitions un ‑ n coïncider, parce que un◦(un ‑1)n = (UN◦UN◦ ¼◦ UN)◦(un ‑1 ◦un‑1◦ ¼◦ un ‑1) = UN◦UN◦¼◦( UN◦un ‑1)◦un‑1 ◦¼◦ un ‑1 =e n =e. Ainsi, ( un ‑1)n = (un) ‑1 .

Dans un groupe additif, l'analogue du degré d'un élément est un volonté n son multiple, généralement noté n / A, qui ne doit pas être considéré comme une œuvre n sur UN, parce que nÎℕ et peut-être nÏ G. Que. n / A⇋, où nОℕ et 0 UN=e⇋0, et (‑ n)un = ‑(n / A) = n(‑un) pour tout naturel n, Où (- un) – inverse de unÎ G.

Il est facile de montrer qu’avec la notation choisie pour tout entier m Et n et pour n'importe qui unÎ G les propriétés connues sont remplies : UN) en notation multiplicative un ◦suis = un n + m Et ( un)m = un nm; b) en notation additive n / A+maman = (n+m)un Et n(maman)=(nm)un.

Considérons un sous-ensemble du groupe G, composé de toutes les puissances d'un élément arbitraire gÎ G. Notons-le Un g. Ainsi, Un g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Évidemment, Un g est un sous-groupe du groupe G, parce que pour tous les éléments X,àÎ Un g il s'ensuit que ( X◦à)Î Un g, et pour tout élément XÎ Un g il y aura X‑1 О Un g, En plus, g 0 =eÎ Un g.

Sous-groupe Un g appelé sous-groupe cyclique groupes G, généré par l'élément g. Ce sous-groupe est toujours commutatif, même s'il est lui-même G pas commutatif. Si le groupe G coïncide avec l'un de ses sous-groupes cycliques, alors on l'appelle groupe cyclique, généré par l'élément g.

Si toutes les puissances d'un élément g sont différents, alors le groupe G appelé sans fin groupe cyclique et l'élément g- élément ordre infini.

Si parmi les éléments d'un groupe cyclique il y en a des égaux, par exemple, g k=g mà k>m, Que g k‑m=e; et, désignant k-mà travers n, nous obtenons g n=e, nÎℕ.

Indicateur naturel le plus bas n tel que g n=e, appelé ordre de l'élément g, et l'élément lui-même g appelé élément d'ordre fini.

Un tel élément se trouvera toujours dans un groupe fini, mais il peut aussi se trouver dans un groupe infini.

Les groupes dont les éléments ont tous un ordre fini sont appelés périodique.

Puisque tout élément d’un groupe fini a un ordre fini, tous les groupes finis sont périodiques. De plus, tous les sous-groupes cycliques d'un groupe fini sont périodiques, puisqu'ils sont finis, et tout élément d'ordre fini n génère un groupe cyclique du même ordre n, composé d'éléments ( g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1). En effet, si le nombre d'éléments était égal à quelques k<n, Alors g k=e=g n, ce qui contredit le choix n, comme le moindre degré tel que g n=e; de l'autre côté, k>négalement impossible, car dans ce cas il y aurait des éléments identiques.

Déclaration: 1) tous les diplômes g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 sont différents, car s'il y avait égalité, par exemple, g je=g j (je>j), Que g je - j=e, Mais ( je‑j)<n, et par définition n – le plus petit degré est tel que g n=e.

2) Tout autre diplôme g, positif ou négatif, égal à l'un des éléments g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1, parce que n'importe quel entier k peut être représenté par l'expression : k=nq+r, Où q,rÎℤ et 0£ r<n, r– le reste et g k=g nq + r= g nq° gr= (g n)q° gr= eq° gr= gr.

1) Chaque groupe possède un élément unique de premier ordre ( e), générant un sous-groupe cyclique du premier ordre constitué d'un élément e.

2) Considérons le groupe de substitutions S 3, constitué des éléments : , , , , , . Commande S 3 =6. Ordre des éléments UN est égal à 2, car . Ordre des éléments b est également égal à 2, car . Ordre des éléments Avec est égal à 3, car Et . Ordre des éléments f est également égal à 3, car Et . Et enfin, commandez d est égal à 2, car . Ainsi, les sous-groupes cycliques S 3 générés par les éléments e, un, b, d, c Et f, respectivement égal : ( e}, {e, un}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) Et ( e, f, c), où les deux derniers coïncident. Notez également que l'ordre de chaque sous-groupe cyclique divise l'ordre du groupe sans reste. Le théorème suivant est vrai.

Théorème 2.7.1. (Lagrange) L'ordre d'un groupe fini est divisé par l'ordre de l'un de ses éléments (puisque l'ordre de l'élément et l'ordre du sous-groupe cyclique généré par celui-ci coïncident).

Il s'ensuit également que tout élément d'un groupe fini, élevé à une puissance de l'ordre du groupe, donne l'unité du groupe. (Parce que g m=merci=e k=e, Où m– commande groupée, n– ordre des éléments g, k– entier).

Il y a 3 sous-groupes dans le groupe S N={e, c, f) est un diviseur normal, mais les sous-groupes du 2e ordre ne sont pas des diviseurs normaux. Cela peut être facilement vérifié en trouvant les cosets gauche et droit en N pour chaque élément du groupe. Par exemple, pour un élément UN coset gauche N / A={e ◦ une, Avec◦ UN, f◦ un} = {UN, b, d) et coset droit un={une ◦e, UN◦ c, UN◦ f} = {UN, d, b) correspondre. De même pour tous les autres éléments S 3 .

3) L'ensemble de tous les entiers avec addition forme un groupe cyclique infini avec un élément générateur 1 (ou –1), car tout entier est un multiple de 1.

4) Considérons un ensemble de racines n‑ième pouvoir d'unité : F n=. Cet ensemble est un groupe par rapport à l'opération de multiplication des racines. En effet, le produit de deux éléments quelconques e k Et e m depuis F n, Où k, m £ n-1 sera également un élément F n, puisque = = , où r=(k+m)mod n Et r £ n-1 ; multiplication associative, élément neutre e=e 0 =1 et pour tout élément e k il y a l'inverse et . Ce groupe est cyclique, son élément générateur est une racine primitive. Il est facile de voir que tous les pouvoirs sont distincts : , plus loin pour k³ n les racines commencent à se répéter. Sur le plan complexe, les racines sont situées sur un cercle de rayon unité et le divisent en n arcs égaux, comme le montre la figure 11.

Les deux derniers exemples épuisent essentiellement tous les groupes cycliques. Puisque le théorème suivant est vrai.

Théorème 2.7.2. Tous les groupes cycliques infinis sont isomorphes les uns aux autres. Tous les groupes d'ordre cycliques finis n sont isomorphes les uns aux autres.

Preuve. Laisser ( G, ∘) est un groupe cyclique infini avec un élément générateur g. Il existe alors une application bijective f: ℤ ® G tel que pour tout entier k Et m leurs images f(k) Et f(m), égaux respectivement g k Et g m, sont des éléments G. Et en même temps f(k+m)=f(k)∘f(m), parce que g k + m=g k∘ g m.

Laissez maintenant ( G, ∘) est un groupe d'ordre cyclique fini n avec un élément générateur g. Alors chaque élément g kÎ G la seule façon de faire correspondre un élément est e kÎ F n(0£ k<n), selon la règle f(g k)=e k. Et en même temps pour tout g k Et g mÎ G il s'ensuit que f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), parce que f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(gr), Où r=(k+m)mod n, Et f(gr)=euh=e k× e m. Il est clair qu’une telle application est une application bijective.

Laisser G– groupe et élément un G. L'ordre de l'élément a (noté ׀а׀) est le plus petit nombre naturel nN, Quoi

un n = un . . . . un =1.

Si un tel numéro n'existe pas, alors ils disent que UN– un élément d’ordre infini.

Lemme 6.2. Si un k= 1, alors k divisé par l'ordre de l'élément UN.

Définition. Laisser G– groupe et UN G. Puis beaucoup

H = (a k ׀ k }

est un sous-groupe du groupe G, appelé sous-groupe cyclique généré par l'élément a (noté H =< а >).

Lemme 6.3. Sous-groupe cyclique N, généré par l'élément UN commande n, est un groupe d'ordre fini n, et

H = (1=a 0 , a, ..., a n-1 ).

Lemme 6.4. Laisser UN– un élément d’ordre infini. Alors le sous-groupe cyclique N = <UN> – est infini et tout élément de Nécrit sous la forme un k , ÀZ, et de la seule manière.

Le groupe s'appelle cyclique, s'il coïncide avec l'un de ses sous-groupes cycliques.

Exemple 1. Groupe additif Z de tous les entiers est un groupe cyclique infini généré par l'élément 1.

Exemple 2. L'ensemble de toutes les racines n la ième puissance de 1 est un groupe d'ordre cyclique n.

Théorème 6.2. Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Théorème 6.3. Tout groupe cyclique infini est isomorphe au groupe additif d'entiers Z. Tout ordre cyclique fini n isomorphe au groupe de toutes les racines n-ième degré à partir de 1.

Sous-groupe normal. Groupe de facteurs.

Lemme 6.5. Laisser N– sous-groupe du groupe G, pour lequel tous les cosets de gauche sont également des cosets de droite. Alors

aH = Ha, un G.

Définition. Sous-groupe N groupes G appelé normal dans G(noté NG), si toutes les cosets de gauche sont également à droite, c'est-à-dire

aH = Ha, unG.

Théorème 6.4. Laisser N
G, N/B– l’ensemble de tous les cosets d’un groupe G par sous-groupe N. Si défini sur le plateau N/B opération de multiplication comme suit

(aH)(bH) = (ab)H,

Que N/B devient un groupe appelé groupe de facteurs d'un groupe G par sous-groupe N.

Homomorphisme de groupe

Définition. Laisser G 1 et G 2 – groupes. Puis la cartographie f: G 1
G 2 est appelé un homomorphisme G 1 dans G 2 si

F(ab) = f(un)f(b) , un,b G 1 .

Lemme 6.6. Laisser f– homomorphisme de groupe G 1 par groupe G 2. Alors:

1) f(1) – unité de groupe G 2 ;

2) f(un -1) = f(un) -1 ,unG 1 ;

3) f(G 1) – sous-groupe du groupe G 2 ;

Définition. Laisser f– homomorphisme de groupe G 1 par groupe G 2. Puis beaucoup

kerf = {unG 1 ׀f(un) = 1G 2 }

appelé noyau d'homomorphisme f .

Théorème 6.5. keuh f
G.

Théorème 6.6. Tout sous-groupe normal d'un groupe G est le noyau d'un homomorphisme.

Anneaux

Définition. Ensemble non vide À appelé anneau, si on y définit deux opérations binaires, appelées addition et multiplication et satisfaisant les conditions suivantes :

À– Groupe abélien par rapport à l’opération d’addition ;

la multiplication est associative ;

les lois de la distributivité sont satisfaites

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x, y, zK.

Exemple 1. Ensembles Q Et R.- des bagues.

La bague s'appelle commutatif, Si

xy = yx, x,yK.

Exemple 2. (Comparaisons). Laisser m– nombre naturel fixe, un Et b– des entiers arbitraires. Puis le numéro UN comparable à un nombre b module m, si la différence un – b divisé par m(écrit: unb(mod m)).

La relation d'équation est une relation d'équivalence sur l'ensemble Z, cassant Z en classes appelées classes de résidus modulo m et est désigné Z m. Beaucoup Z m est un anneau commutatif avec identité.

Champs

Définition. Un champ est un ensemble non vide R., ne contenant pas 2 éléments, avec deux opérations binaires d'addition et de multiplication telles que :

Exemple 1. Beaucoup Q Et R. des champs sans fin.

Exemple 2. Beaucoup Z r– champ final.

Deux éléments un Et b champs R. différents de 0 sont appelés diviseurs nuls si ab = 0.

Lemme 6.7. Il n'y a pas de diviseur zéro dans le champ.

Considérons le groupe multiplicatif de toutes les puissances entières de deux (2Z, ), où 2Z= (2 n | n et Z). L'analogue de ce groupe en langage additif est le groupe additif des entiers pairs (2Z, +), 2Z = (2n | n e Z). Donnons une définition générale des groupes, dont ces groupes sont des exemples particuliers.

Définition 1.8. Groupe multiplicatif (G,) (le groupe additif (G, +)) est appelé cyclique, s'il est constitué de toutes les puissances entières (respectivement de tous les multiples entiers) d'un élément un e G, ceux. G=(un n | n e Z) (respectivement, G - (pa | n e Z)). Désignation : (a), lire : le groupe cyclique généré par l'élément a.

Regardons des exemples.

• 1. Un exemple de groupe cyclique infini multiplicatif est le groupe de toutes les puissances entières d'un nombre entier fixe un F±1, il est désigné un g. Ainsi, un g - (un).
• 2. Un exemple de groupe cyclique fini multiplicatif est le groupe C„ des nièmes racines de l’unité. Rappelons que les nièmes racines de l'unité se trouvent

selon la formule e k= cos---hisin^-, où k = 0, 1, ..., p- 1. Suivez- p p

Par conséquent, C„ = (е x) = (е x = 1, e x, ef = e 2 ,..., e" -1 = ?„_ x). Rappelons que les nombres complexes e k, k = 1, ..., n - 1, sont représentés par les points du cercle unité qui le divisent en n parts égales.

• 3. Un exemple typique de groupe cyclique infini additif est le groupe additif d'entiers Z il est généré par le nombre 1, c'est-à-dire Z = (1). Géométriquement, il est représenté par des points entiers sur une droite numérique. Essentiellement, le groupe multiplicatif est représenté de la même manière 2 7 - = (2), en général une z = (une), où est un entier un F±1 (voir Fig. 1.3). Nous discuterons de cette similitude des images dans la section 1.6.
• 4. Choisissons dans un groupe multiplicatif arbitraire G un élément UN. Alors toutes les puissances entières de cet élément forment un sous-groupe cyclique (a) = (app p p e Z)G.
• 5. Montrons que le groupe additif de nombres rationnels Q n'est lui-même pas cyclique et que deux de ses éléments appartiennent à un sous-groupe cyclique.

A. Montrons que le groupe additif Q n’est pas cyclique. Supposons le contraire : soit Q = (-). Il existe un entier b,

non divisible T. Puisque - eQ = (-) = sn-|neZ>, alors

b t/ ( t J.

Il existe un entier rc 0 tel que - = n 0 -. Mais alors t = n 0 ko,

où t:b- est arrivé à une contradiction.

B. Montrons que deux nombres rationnels arbitraires sont

Avec „ /1

et - appartiennent au sous-groupe cyclique (-), où T il y a le plus dt/

le plus petit commun multiple de nombres b Et d. En fait, laissez t-bu

, et ai 1 /1 Avec cv 1 /1

et m = av, u, v e Z, alors - = - = ai-e(-)i - = - = cv- e (-).

b b et t t/ a dv t t/

Théorème 1.3. L'ordre d'un groupe cyclique est égal à l'ordre de l'élément générateur de ce groupe, c'est-à-dire|(une)| = |une|.

Preuve. 1. Soit |a| = ">. Montrons que toutes les puissances naturelles d'un élément UN sont différents. Supposons le contraire : soit une k = une t et 0 à Alors T - À- nombre naturel et une t ~ k = e. Mais cela contredit le fait que | a =°°. Ainsi, toutes les puissances naturelles d'un élément UN sont différents, ce qui implique l'infinité du groupe (a). Par conséquent, | (une)| = °° = |a |.

2. Laissez | un | = n. Montrons que (une) = (e - une 0, une, une 2,..., a" -1). La définition d'un groupe cyclique implique l'inclusion (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) avec (a). Montrons l'inclusion inverse. Un élément arbitraire d'un groupe cyclique (UN) on dirait et t, Où ceux Z. Divisez le schnaps avec le reste : m-nq + r, où 0 p. une n = e, Que à = un p je + g = un p h ? une g = une g e(une 0 , une, un 2,..., a" - 1). D'où (a) c (a 0, a, a 2,..., Ainsi, (a) = (a 0, a, a 2,..., a" - 1 ).

Il reste à prouver que tous les éléments de l'ensemble (a 0 , a, un 2,..., a” -1 ) sont différents. Supposons le contraire : soit 0 i p, mais un" = UN). Puis il -e et 0 j - i - sont arrivés à une contradiction avec la condition | un | = p. Le théorème a été prouvé.