1 équations d'équilibre pour un système spatial arbitraire de forces. Système de forces convergent spatial. Conditions d'équilibre pour un système de forces plan

Théorème. Pour l'équilibre d'un système spatial de forces, il est nécessaire et suffisant que le vecteur principal et le moment principal de ce système soient égaux à zéro. Adéquation: à F o =0 le système de forces convergentes appliqué au centre de réduction O est équivalent à zéro, et à M o =0 le système de couples de forces est équivalent à zéro. Par conséquent, le système de forces originel est équivalent à zéro. Nécessité:

Soit ce système de forces équivalent à zéro. Après avoir réduit le système à deux forces, on constate que le système de forces Q et P (Fig. 4.4) doit être équivalent à zéro, donc ces deux forces doivent avoir une ligne d'action commune et l'égalité Q = –P doit être satisfait. Mais cela peut être le cas si la ligne d'action de la force P passe par le point O, c'est-à-dire si h = 0. Cela signifie que le moment principal est nul (M o =0).

Parce que Q+P=0, a Q=F o +P", puis F o +P"+P=0, et donc F o = 0. Les conditions nécessaires et suffisantes sont égales au système spatial de forces dans le forme : F o =0 , M o =0 (4.15), ou, en projections sur des axes de coordonnées, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0 ; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM O z (F k)=M O z (F 1)+M oz (F 2)+.. . +M oz (Fn)=0.(4.17)

Que. Lorsque vous résolvez des problèmes à 6 niveaux, vous pouvez trouver 6 inconnues. Remarque : un couple de forces ne peut pas être réduit à une résultante.– un mouvement dans lequel un point (corps) participe simultanément à plusieurs mouvements (par exemple, un passager se déplaçant le long d'un chariot en mouvement). Dans ce cas, un système de coordonnées mobile (Oxyz) est introduit, qui effectue un mouvement donné par rapport au système de coordonnées fixe (principal) (O 1 x 1 y 1 z 1). Mouvement absolu nom des points mouvement par rapport à un système de coordonnées fixe. Mouvement relatif– mouvement par rapport au système de coordonnées mobile. (déplacement autour du chariot). Mouvement portatif– déplacement du système mobile. coordonnées par rapport à une coordonnée stationnaire (mouvement de la voiture). Théorème d'addition de vitesse: , ; -orts (vecteurs unitaires) du repère mobile, l'ort tourne autour de l'axe instantané, donc la vitesse de sa fin, etc., Þ : , ; – la vitesse relative. ; vitesse de transport : :
, donc la vitesse absolue d'un point = la somme géométrique de ses vitesses portable (v e) et relative (v r), module : . etc. Les termes de l'expression qui détermine l'accélération : 1) – accélération du pôle O ; 2) 3) – accélération relative du point ; . 4) , on obtient : .: Les trois premiers termes représentent l'accélération d'un point en mouvement portable : – accélération du pôle O ; – l'accélération de rotation, – accélération accélérée, c'est-à-dire Théorème d'addition d'accélération (théorème de Coriolis) , Où Lors de l'addition de deux mouvements de translation, le mouvement résultant est également translationnel et la vitesse du mouvement résultant est égale à la somme des vitesses des mouvements composants. Ajout de rotations TV. corps autour d’axes qui se croisent. On appelle un axe de rotation dont la position dans l'espace change avec le temps. axe de rotation instantané du corps. Le vecteur vitesse angulaire est un vecteur glissant dirigé le long de l'axe de rotation instantané. La vitesse angulaire absolue d'un corps = la somme géométrique des vitesses des rotations des composants - la règle du parallélogramme des vitesses angulaires. . Si un corps participe simultanément à des rotations instantanées autour de plusieurs axes se coupant en un point, alors . Dans le cas d'un mouvement sphérique d'un corps rigide dont l'un des points reste immobile pendant tout le mouvement, on a les équations du mouvement sphérique : Y=f 1 (t) ; q = f 2 (t); j = f 3 (t). Y – angle de précession, q – angle de nutation, j – angle de rotation propre – angles d'Euler. Vitesse angulaire de précession, ang. vitesse de nutation, arc. sk. propre rotation. , – module de la vitesse angulaire du corps autour de l'axe instantané. Par projections sur des axes de coordonnées fixes : – Les équations cinématiques d’Euler. Ajout de rotations autour de 2 axes parallèles. 1) Les rotations sont dirigées dans une seule direction. w=w 2 +w 1 , C est le centre instantané des vitesses et l'axe instantané de rotation le traverse, , . 2) Les rotations sont dirigées dans des directions différentes. , w=w 2 -w 1 S – instantané. centre sk. et instantané axe de rotation . Lors d'une rotation autour des ||èmes axes, les vecteurs vitesse angulaire s'additionnent de la même manière que les vecteurs forces parallèles. 3) Quelques tours– les rotations autour des ||-ème axes sont dirigées dans des directions différentes et les vitesses angulaires sont égales en amplitude ( – une paire de vitesses angulaires). Dans ce cas, v A = v B, le mouvement résultant du corps est un mouvement de translation (ou de translation instantanée) avec une vitesse v = w 1 × AB - le moment d'une paire de vitesses angulaires (le mouvement de translation de la pédale de vélo par rapport au cadre). Instantané le centre des vitesses est à l'infini. Ajout de mouvements de translation et de rotation. 1) Vitesse de mouvement de translation ^ vers l'axe de rotation - mouvement plan-parallèle - rotation instantanée autour de l'axe Рр avec vitesse angulaire w=w". 2) Mouvement de vis– le mouvement du corps est composé d'un mouvement de rotation autour de l'axe Aa d'angle sk. w et translationnel avec une vitesse v||Aa. L'axe Aa est l'axe de la vis. Si v et w sont dans une direction, alors la vis est à droite, si dans des directions différentes, alors elle est à gauche. On appelle la distance parcourue pendant un tour par n'importe quel point du corps situé sur l'axe de la vis. pas d'hélice – h. Si v et w sont constants, alors h= =const ; à pas constant, tout (×)M ne se trouvant pas sur l'axe de la vis décrit une ligne hélicoïdale. dirigé tangentiellement à l’hélice.

3) La vitesse du mouvement de translation forme un angle arbitraire avec l'axe de rotation. Dans ce cas, le mouvement peut être considéré comme consistant en une série de mouvements de vis instantanés autour d'axes de vis en constante évolution - mouvement instantané de la vis.

Un enregistrement analytique des conditions d'équilibre pour un système spatial arbitraire de forces est représenté par un système de six équations (5.3).

D'un point de vue mécanique, les trois premières équations établissent l'absence de translation et les trois dernières - le mouvement angulaire du corps. Dans le cas du SSS, les conditions d'équilibre seront représentées par un système des trois premières équations. Dans le cas d'un système de forces parallèles, le système sera également constitué de trois équations : une équation de la somme des projections de forces sur l'axe parallèle auquel les forces du système sont orientées, et deux équations de moments autour de l'axe parallèle auquel les forces du système sont orientées. axes qui ne sont pas parallèles aux lignes d'action des forces du système.

CENTRE DE GRAVITÉ DU CORPS

Le centre de gravité d'un corps solide est le point par lequel passe la ligne d'action des forces de gravité résultantes des particules d'un corps donné, quelle que soit sa localisation dans l'espace.

Les coordonnées du centre de gravité, point C (Fig. 6.3) peuvent être déterminées à l'aide des formules suivantes :

Il est clair que plus la partition est fine, plus le calcul sera effectué avec précision à l'aide des formules (6.7), (6.8). Cependant, la complexité des calculs peut être assez importante. Dans la pratique de l'ingénierie, des formules sont utilisées pour déterminer le centre de gravité des corps de forme régulière.

CINÉMATIQUE

CONFÉRENCE 6.

La cinématique est la branche de la mécanique qui traite du mouvement des corps et

Points sans tenir compte des forces qui leur sont appliquées.

6.1. Méthodes de spécification du mouvement des points Le mouvement des corps ou des points ne peut être considéré que par rapport à certains systèmes de référence –

Considérons les trois systèmes de référence les plus utilisés pour résoudre des problèmes et, qui leur correspondent, trois manières de spécifier le mouvement d'un point. Leurs caractéristiques se résument à : a) la description du système de référence lui-même ; b) déterminer la position d'un point dans l'espace ; c) indiquer les équations du mouvement d'un point ; d) établir des formules permettant de trouver les caractéristiques cinématiques du mouvement d'un point.

Méthode vectorielle

Cette méthode est généralement utilisée pour dériver des théorèmes et d’autres propositions théoriques. Son avantage par rapport aux autres méthodes est la compacité de l'enregistrement. Le centre est utilisé comme système de référence dans cette méthode. À PROPOS avec un triple de vecteurs unitaires – je, j, k (Fig. 8.1). Position dans l'espace d'un point arbitraire M. déterminé par vecteur de rayon, r. Ainsi, l'équation du mouvement d'un point M. il y aura une fonction à valeur unique du rayon vecteur en fonction du temps, t :

En comparant les deux dernières définitions, on peut conclure que la trajectoire d'un point est aussi l'hodographe de son rayon vecteur.

Présentons le concept vitesse moyenne, V moy (Fig. 8.1) :

Et vitesse vraie (instantanée), V :

Direction V coïncide avec la tangente à la trajectoire du point (Fig. 8.1).

L'accélération d'un point est une grandeur vectorielle qui caractérise l'évolution de la vitesse d'un point :

La manière naturelle

relation entre S et le temps, t , est l'équation du mouvement d'un point dans manière naturelle tâches de mouvement :

Vitesse ponctuelle dirigée le long de l'axe t , est défini comme :

Accélération ponctuelle, UN, est dans l'avion tn et peut être décomposé en composants :

Signification physique ce développement est la suivante : la ligne d'action de la composante tangente, à , coïncide avec la ligne d'action du vecteur vitesse, V , et reflète le changement uniquement dans le module de vitesse ; composante normale de l'accélération, et n , caractérise le changement de direction de la ligne d'action du vecteur vitesse. Leurs valeurs numériques peuvent être trouvées à l'aide des formules suivantes :

Où

– rayon de courbure de la trajectoire en un point donné.

Méthode de coordonnées

Cette méthode est le plus souvent utilisée pour résoudre des problèmes. Le système de référence est un trio d'axes mutuellement perpendiculaires x , oui , z (Fig. 8.3). Position des points M. déterminé par ses coordonnées xM , et M , zM .

Les équations du mouvement d'un point sont des fonctions à valeur unique de ces coordonnées de

et son module :

La direction du vecteur vitesse dans l'espace peut être déterminée analytiquement à l'aide des cosinus directeurs :

Accélération ponctuelle M. peut être établi par ses projections sur les axes de coordonnées :

La direction du vecteur accélération dans l'espace est déterminée par les cosinus directeurs.

Les conditions nécessaires et suffisantes à l'équilibre de tout système de forces sont exprimées par des égalités (voir § 13). Mais les vecteurs R et ne sont égaux que lorsque, c'est-à-dire lorsque les forces agissant, selon les formules (49) et (50), satisfont aux conditions :

Ainsi, pour l'équilibre d'un système spatial arbitraire de forces, il est nécessaire et suffisant que les sommes des projections de toutes les forces sur chacun des trois axes de coordonnées et les sommes de leurs moments par rapport à ces axes soient égales à zéro.

Les égalités (51) expriment simultanément les conditions d'équilibre d'un corps rigide sous l'influence de tout système spatial de forces.

Si, en plus des forces, un couple agit également sur le corps, spécifié par son moment, alors la forme des trois premières conditions (51) ne changera pas (la somme des projections des forces du couple sur n'importe quel axe est égal à zéro), et les trois dernières conditions prendront la forme :

Le cas des forces parallèles. Dans le cas où toutes les forces agissant sur le corps sont parallèles entre elles, vous pouvez choisir les axes de coordonnées de manière à ce que l'axe soit parallèle aux forces (Fig. 96). Alors les projections de chacune des forces sur l'axe et leurs moments par rapport à l'axe z seront égales à zéro et le système (51) donnera trois conditions d'équilibre :

Les égalités restantes se transformeront alors en identités de la forme

Par conséquent, pour l'équilibre d'un système spatial de forces parallèles, il est nécessaire et suffisant que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe parallèle aux forces et la somme de leurs moments par rapport aux deux autres axes de coordonnées soient égales à zéro.

Résolution de problèmes. La procédure de résolution des problèmes reste ici la même que dans le cas d’un système plan. Après avoir établi l'équilibre du corps (objet) considéré, il est nécessaire de décrire toutes les forces extérieures agissant sur lui (à la fois les connexions données et réactionnelles) et d'établir les conditions d'équilibre de ces forces. À partir des équations résultantes, les quantités requises sont déterminées.

Pour obtenir des systèmes d'équations plus simples, il est recommandé de dessiner les axes de manière à ce qu'ils coupent davantage de forces inconnues ou leur soient perpendiculaires (à moins que cela ne complique inutilement les calculs de projections et de moments d'autres forces).

Un nouvel élément dans la composition des équations est le calcul des moments de forces autour des axes de coordonnées.

Dans les cas où de dessin général Il est difficile de voir quel est le moment d'une force donnée par rapport à un axe quelconque ; il est recommandé de représenter dans un dessin auxiliaire la projection du corps en question (avec la force) sur un plan perpendiculaire à cet axe.

Dans les cas où, lors du calcul du moment, des difficultés surviennent pour déterminer la projection de la force sur le plan correspondant ou le bras de cette projection, il est recommandé de décomposer la force en deux composantes mutuellement perpendiculaires (dont l'une est parallèle à une certaine coordonnée axe), puis utilisez le théorème de Varignon (voir. tâche 36). De plus, vous pouvez calculer analytiquement les moments à l'aide des formules (47), comme par exemple dans le problème 37.

Problème 39. Il y a une charge sur une plaque rectangulaire de côtés a et b. Le centre de gravité de la dalle ainsi que la charge sont situés au point D avec coordonnées (Fig. 97). L'un des ouvriers tient la dalle au coin A. À quels points B et E deux autres ouvriers devraient-ils soutenir la dalle afin que les forces appliquées par chacun de ceux qui tiennent la dalle soient égales.

Solution. On considère l'équilibre d'une plaque, qui est un corps libre en équilibre sous l'action de quatre forces parallèles où P est la force de gravité. Nous établissons les conditions d'équilibre (53) pour ces forces, en considérant la plaque horizontale et en traçant les axes comme indiqué sur la Fig. 97. On obtient :

Selon les conditions du problème, il devrait y avoir Alors à partir de la dernière équation En substituant cette valeur de P dans les deux premières équations, on trouvera finalement

La solution est possible quand Quand et quand sera Quand le point D est au centre de la plaque,

Problème 40. Sur un arbre horizontal reposant dans les roulements A et B (Fig. 98), une poulie de rayon cm et un tambour de rayon sont montés perpendiculairement à l'axe de l'arbre. L'arbre est entraîné en rotation par une courroie enroulée autour d'une poulie ; en même temps, une charge pesant , attachée à une corde enroulée sur un tambour, est soulevée uniformément. En négligeant le poids de l'arbre, du tambour et de la poulie, déterminer les réactions des roulements A et B et la tension de la branche motrice de la courroie, si l'on sait qu'elle est le double de la tension de la branche menée. Étant donné : cm, cm,

Solution. Dans le problème considéré, avec rotation uniforme de l'arbre, les forces agissant sur lui satisfont aux conditions d'équilibre (51) (cela sera prouvé au § 136). Traçons les axes de coordonnées (Fig. 98) et représentons les forces agissant sur l'arbre : tension F de la corde, modulo égal à P, tension de la courroie et composantes des réactions des roulements.

Pour compiler les conditions d'équilibre (51), on calcule d'abord et on entre dans le tableau les valeurs des projections de toutes les forces sur les axes de coordonnées et leurs moments par rapport à ces axes.

Nous créons maintenant des conditions d'équilibre (51) ; puisqu'on obtient :

A partir des équations (III) et (IV) on trouve immédiatement, en tenant compte du fait que

En substituant les valeurs trouvées dans les équations restantes, nous trouvons :

Et enfin

Problème 41. Un couvercle rectangulaire avec un poids formant un angle avec la verticale est fixé sur l'axe horizontal AB au point B par un roulement cylindrique, et au point A par un roulement avec butée (Fig. 99). Le couvercle est maintenu en équilibre par la corde DE et tiré vers l'arrière par une corde lancée sur le bloc O avec un poids à l'extrémité (ligne KO parallèle à AB). Donné : Déterminer la tension de la corde DE et les réactions des roulements A et B.

Solution. Considérez l'équilibre du couvercle. Traçons les axes de coordonnées, en commençant par le point B (dans ce cas, la force T coupera les axes, ce qui simplifiera la forme des équations de moment).

Nous représentons ensuite toutes les forces données et réactions de réaction agissant sur la couverture : la force de gravité P appliquée au centre de gravité C de la couverture, la force Q égale en grandeur à Q, la réaction T de la corde et la réaction de les relèvements A et B (Fig. 99 ; le vecteur M k représenté en pointillés n'est pas pertinent pour cette tâche). Pour établir les conditions d'équilibre, on introduit un angle et on note le calcul des moments de certaines forces expliqué dans la fig auxiliaire. 100, une, b.

Sur la fig. 100, et la vue est représentée en projection sur le plan depuis l'extrémité positive de l'axe

Ce dessin permet de calculer les moments des forces P et T par rapport à l'axe. On voit que les projections de ces forces sur le plan (plan perpendiculaire) sont égales aux forces elles-mêmes, et au bras de la force P par rapport à. le point B est égal à ; l'épaule de la force T par rapport à ce point est égale à

Sur la fig. 100, b montre une vue en projection sur un plan depuis l'extrémité positive de l'axe y.

Ce dessin (avec la Fig. 100, a) permet de calculer les moments de forces P et par rapport à l'axe y. On en voit que les projections de ces forces sur le plan sont égales aux forces elles-mêmes, et le bras de la force P par rapport au point B est égal au bras de la force Q par rapport à ce point est égal à ou , comme on peut le voir sur la Fig. 100, a.

En compilant les conditions d'équilibre (51) en tenant compte des explications faites et en supposant en même temps que l'on obtient :

(JE)

Considérant ce que nous trouvons à partir des équations (I), (IV), (V), (VI) :

En substituant ces valeurs dans les équations (II) et (III), on obtient :

Enfin,

Problème 42. Résolvez le problème 41 pour le cas où le couvercle est en outre sollicité par une paire située dans son plan avec un moment de rotation de la paire dirigé (en regardant le couvercle d'en haut) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Solution. En plus des forces agissant sur le couvercle (voir Fig. 99), on représente le moment M du couple sous la forme d'un vecteur perpendiculaire au couvercle et appliqué en tout point, par exemple au point A. Ses projections sur le couvercle axes de coordonnées : . Ensuite, en composant les conditions d'équilibre (52), nous constatons que les équations (I) - (IV) resteront les mêmes que dans le problème précédent, et les deux dernières équations ont la forme :

A noter que le même résultat peut être obtenu sans composer une équation sous la forme (52), mais en représentant le couple avec deux forces dirigées, par exemple, le long des droites AB et KO (dans ce cas, les modules des forces seront égal), puis en utilisant conditions normaleséquilibre.

En résolvant les équations (I) - (IV), (V), (VI), nous trouverons des résultats similaires à ceux obtenus dans le problème 41, avec la seule différence que toutes les formules incluront à la place de la quantité. Finalement on obtient :

Problème 43. La tige horizontale AB est fixée au mur par une charnière sphérique A et est maintenue dans une position perpendiculaire au mur par les entretoises KE et CD, représentées sur la Fig. 101, a. Une charge avec un poids est suspendue à l'extrémité B de la tige. Déterminer la réaction de la charnière A et la tension des haubans si le poids de la tige est négligé.

Solution. Considérons l'équilibre de la tige. Il est soumis à l'action de la force P et des réactions. Traçons les axes de coordonnées et établissons les conditions d'équilibre (51). Pour trouver les projections et les moments de force, décomposons-le en composants. Alors, d’après le théorème de Varignon, puisque depuis

Le calcul des moments de forces par rapport à l'axe est expliqué par un dessin auxiliaire (Fig. 101, b), qui montre une vue en projection sur un plan

Considérons un système spatial arbitraire de forces agissant sur un corps rigide. Ramenons ce système de forces à un centre donné et concentrons-nous sur le cas où le vecteur principal et le moment principal de ce système de forces sont égaux à zéro, c'est-à-dire

(1) Un tel système de forces est équivalent à zéro, c'est-à-dire équilibré. Par conséquent, les égalités (1) sont conditions suffisanteséquilibre. Mais ces conditions sont également nécessaires, c'est-à-dire si le système de forces est en équilibre, alors les égalités (1) sont également satisfaites. En effet, si le système était en équilibre, mais, par exemple. alors ce système se grefferait sur la résultante au centre de réduction et il n'y aurait pas d'équilibre. Si mais Mo =**O, ce système serait greffé sur la paire et il n'y aurait pas non plus d'équilibre. La paire ne pourrait pas s'équilibrer. Ainsi, nous avons prouvé que pour l'équilibre d'un système spatial arbitraire de forces, il est nécessaire et suffisant que le vecteur principal et le moment principal de ce système par rapport à un centre de réduction arbitrairement choisi soient égaux à zéro. Les conditions (1) sont appelées conditions d'équilibre sous forme vectorielle. Pour obtenir une forme analytique des conditions d'équilibre plus pratique à des fins pratiques, nous projetons les égalités (1) sur les axes Système cartésien coordonnées En conséquence nous obtenons :

(2)conditions d'équilibre pour un système de forces parallèles dans l'espace Pour l'équilibre d'un système spatial arbitraire de forces, il est nécessaire et suffisant que la somme des projections de toutes les forces sur les axes de coordonnées x, y et z, ainsi que la somme des moments de toutes les forces par rapport à celles-ci axes, égal à zéro. Soit un système spatial de forces parallèles agissant sur un corps rigide. Le choix des axes étant arbitraire, il est possible de choisir un système de coordonnées pour qu'un des axes soit parallèle aux forces, et deux

d'autres leur sont perpendiculaires (Fig. 1.38). Avec ce choix d'axes de coordonnées, les projections de chacune des forces sur les axes x et y et leurs moments par rapport à l'axe z seront toujours égaux à zéro. Cela signifie que

Ces égalités sont identiques, que le système de forces soit en équilibre ou non, c'est-à-dire cessent d’être des conditions d’équilibre. Les conditions d’équilibre suivantes subsisteront donc :

Ainsi, pour l'équilibre d'un système de forces parallèles dans l'espace, il faut et suffisant que la somme des projections de toutes les forces sur l'axe parallèle à ces forces soit égale à zéro et que les promesses de leurs moments relatifs à chacune des forces les deux axes de coordonnées perpendiculaires aux forces sont également égaux à zéro.

17, Théorème sur l'équivalence de deux couples de forces dans l'espace.

Apporter une force à un centre donné (méthode Poinsot) - une force peut être transférée parallèlement à elle-même vers n'importe quel point du plan si vous ajoutez la paire de forces appropriée, dont le moment est égal au moment de cette force par rapport au point en question. Ajoutons au système au point A deux forces, égales en grandeur l'une à l'autre et en grandeur de la force donnée, dirigées le long d'une ligne droite dans des directions opposées et parallèles à la force donnée : L'état cinématique n'a pas changé (le axiome d'attachement). La force d’origine et l’une des forces ajoutées dans la direction opposée forment une paire de forces. Le moment de ce couple est numériquement égal au moment de la force initiale par rapport au centre de réduction. Dans de nombreux cas, il est pratique de représenter une paire de forces par une flèche en arc de cercle. Amener un système de forces arbitraire plan à un centre donné - nous sélectionnons un point arbitraire sur le plan et transférons chacune des forces à l'aide de la méthode Poinsot jusqu'à ce point. Au lieu du système arbitraire initial, nous obtenons un système convergent de forces et un système de paires. Le système de forces convergent est réduit à une seule force appliquée au centre de réduction, qui était auparavant appelée la résultante, mais désormais cette force ne remplace pas le système de forces d'origine, puisqu'après la réduction un système de paires est apparu. Un système de paires se réduit à une paire (théorème de l'addition des paires) dont le moment est égal à la somme algébrique des moments des forces d'origine par rapport au centre de réduction. En général, plat système arbitraire les forces se réduisent à une force, appelée vecteur principal, et à un couple avec un moment égal au moment principal de toutes les forces du système par rapport au centre de réduction : - vecteur principal, - moment principal. A. A. La condition d'équilibre d'un système de forces arbitraire plat est l'inversion simultanée du vecteur principal et du moment principal du système vers zéro : Les équations d'équilibre (forme I) sont obtenues sous la forme d'un système de trois équations à partir des conditions d'équilibre en utilisant des expressions pour les projections du vecteur principal : il existe deux autres formes d'équations d'équilibre (formes II et III)

17.

27-28. Dépendance entre les principaux moments de forces par rapport à deux centres de réduction arbitrairement choisis. Invariants du système de forces

Supposons que ce système spatial soit ramené au centre O, c'est-à-dire

Où Le moment principal forme un certain angle a avec la direction du vecteur principal (Fig. 1.32)

Prenons maintenant un nouveau centre de réduction O1 et ramenons toutes les forces vers ce centre. En conséquence, on obtient à nouveau un vecteur principal égal au vecteur principal R, et un nouveau moment principal déterminé par la formule où pк est le rayon vecteur du point d'application de la force Fk, tiré du nouveau centre de réduction O1 ( voir Fig. 1.32). Moment principal Mo1 par rapport au nouveau centre, la réduction a changé et forme maintenant un certain angle a1 avec la direction du vecteur principal R. Établissons une connexion entre les moments Mo et Mo1 D'après la figure 1.32, il est clair que (3) En substituant (3) dans l'égalité (2), nous obtenons (4) De plus, en ouvrant les parenthèses du côté droit de l'égalité (4). ) et en plaçant le facteur commun O1O en dehors du signe somme , on a

( - projections du moment principal par rapport au point O sur les axes de coordonnées).

Apporter de la force à un centre donné.

Pour amener une force appliquée en tout point d’un corps solide vers un centre donné il faut :

1) Transférer la force parallèle à elle-même vers un centre donné sans changer le module de la force.

2) En un centre donné, appliquer une paire de forces dont le moment vectoriel est égal au moment vectoriel de la force transférée par rapport au nouveau centre. Ce couple de forces est appelé couple adjoint.

L’action d’une force sur un corps rigide ne change pas lorsqu’elle est transférée parallèlement à elle-même vers un autre point du corps rigide si quelques forces sont ajoutées.

34. Pour un système plan de forces parallèles, deux équations d'équilibre peuvent être établies. Si les forces sont parallèles à l'axe Y, alors les équations d'équilibre ont la forme.

La deuxième équation peut être construite pour n’importe quel point.

35 Pour l'équilibre d'un corps complètement libre sur lequel agit un système spatial arbitraire de forces, il est nécessaire et suffisant que les six équations d'équilibre soient satisfaites. Si un corps est fixé en un point, il possède alors trois degrés de liberté. Un tel corps ne peut pas se déplacer en translation, mais peut uniquement tourner autour de n'importe quel axe, c'est-à-dire autour des axes de coordonnées. Pour qu'un tel corps soit en équilibre, il faut qu'il ne tourne pas, et pour cela il suffit d'exiger que les trois équations de moment soient égales à zéro.

Ainsi, pour qu'un corps absolument rigide avec un point fixe, sur lequel agit un système spatial arbitraire de forces, soit en équilibre, il faut et suffisant que la somme des moments de toutes les forces par rapport à trois axes mutuellement perpendiculaires soit égale zéro.

Trois autres équations sont utilisées pour déterminer les composantes de la réaction charnière au point d'attache Nx, Ny, Nz

37. Un corps qui a deux points fixes a un degré de liberté. Il ne peut tourner qu'autour d'un axe passant par ces deux points fixes. L'équilibre existera si le corps ne tourne pas autour de cet axe. Par conséquent, pour l'équilibre, il suffit d'exiger que la somme des moments de toutes les forces agissant sur le corps par rapport à l'axe passant par deux points fixes soit égale à zéro : ∑Mxx(Fi)=0

38/Un système de corps est constitué de plusieurs corps reliés les uns aux autres d'une manière ou d'une autre. Les forces agissant sur les corps du système sont divisées en forces externes et internes. Les forces internes sont les forces d'interaction entre les corps d'un même système, et les forces externes sont les forces avec lesquelles les corps d'un système donné sont sollicités par des corps qui n'en font pas partie.

Si un système de corps est en équilibre, alors on considère l'équilibre de chaque corps séparément, en tenant compte forces internes interactions entre les corps. Si un système arbitraire plat est donné N corps, alors des équations d'équilibre 3N peuvent être compilées pour ce système. Lors de la résolution de problèmes sur l'équilibre d'un système de corps, on peut également considérer l'équilibre à la fois du système de corps dans son ensemble et de toute combinaison de corps. Lorsqu'on considère l'équilibre du système dans son ensemble, les forces internes d'interaction entre les corps ne sont pas prises en compte sur la base de l'axiome de l'égalité des forces d'action et de réaction. Ainsi, il existe 2 types de recherche de l'équilibre des systèmes de corps...1sp Tout d'abord, nous considérons la structure entière, puis nous déconnectons n'importe quel corps de ce système et considérons. Il y a un équilibre là-dedans. 2sp. Nous divisons le système en corps séparés et la composition de l'équation d'équilibre pour chaque corps.

Définissez statiquement les systèmes sont des systèmes dans dans lequel le nombre de quantités inconnues ne dépasse pas le nombre d'équations d'équilibre indépendantes pour un système de forces donné.

Statiquement indéfini Les systèmes sont des systèmes dans lesquels le nombre de quantités inconnues dépasse le nombre d'équations d'équilibre indépendantes pour un système de forces donné Kct=R-Y où R est le nombre de réactions. Nombre Y d'équations indépendantes

41.Une fois que le corps quitte la position d'équilibre, la force de frottement statique diminue et pendant le mouvement, elle est appelée force de frottement de glissement, c'est-à-dire que le coefficient de frottement de glissement est légèrement inférieur au coefficient de frottement statique. Dans les calculs techniques, ces coefficients sont supposés égaux. AVEC En augmentant la vitesse de déplacement, le coefficient de frottement de glissement diminue pour la plupart des matériaux. Le coefficient de frottement de glissement est déterminé expérimentalement.

La force de frottement de glissement est dirigée à l'opposé du mouvement possible du corps.

La force de frottement ne dépend pas de la surface des surfaces en contact.

La force de friction maximale est proportionnelle à la pression normale. Par pression normale, on entend la pression totale sur toute la zone de contact des surfaces frottantes : Fmax=fN

43. En présence de frottement, la réaction totale d'une surface rugueuse est déviée de la normale à la surface d'un certain angle<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

La tangente de l'angle de frottement est égale au coefficient de frottement.

Un cône de frottement est un cône décrit par la réaction totale R autour de la direction de la réaction normale. Si le coefficient de frottement f est le même dans toutes les directions, alors le cône de frottement sera circulaire

Pour qu'un corps soit en équilibre sur une surface rugueuse, il faut et suffisant que la résultante des forces actives se situe à l'intérieur du cône de friction ou passe le long de la génératrice du cône

30. Module du vecteur principal Ro=√Rx^2+Ry^2 où Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (Rx,Ry projections du vecteur principal sur les axes de coordonnées correspondants)

Angles formés par le vecteur principal avec l'axe de coordonnées correspondant Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

Module du moment principal par rapport au centre de réduction sélectionné O Mo√Mox^2+Moy^2 où Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-projections du moment principal par rapport au point O sur les axes de coordonnées)

Angles formés par le moment principal avec les axes de coordonnées correspondants Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

Si Ro n'est pas=0 Mo=0 le système de forces peut être remplacé par une seule force

Ro=0 Mo not=0 le système de forces est remplacé par un couple de forces

Rone=0 Mo not=0 mais Ro perpendiculaire à Mo est remplacé par une force ne passant pas par le centre de réduction

31.Système plat de forces. Toutes les forces de ce système se situent dans un seul plan. Soit, par exemple, le plan XAY, où A est un centre de réduction arbitraire. Les forces de ce système ne sont pas projetées sur l'axe AZ et ne créent pas de moments relatifs aux axes AX et AY, puisqu'elles se situent dans le plan XAY (section 13). Dans ce cas, l'égalité

En tenant compte de cela, on obtient des conditions d'équilibre pour un système de forces plan :

Ainsi, pour l'équilibre d'un corps rigide sous l'action d'un système plan de forces, il faut et suffisant que deux sommes des projections de forces sur les axes de coordonnées et la somme des moments algébriques de toutes les forces relatives à tout point dans le plan soit égal à zéro.

39.les forces agissant sur tous les points sont dites distribuées volume donné ou une partie donnée d'une surface ou d'une ligne. Ras limité les forces sont caractérisées par l'intensité q, c'est-à-dire par la force, exigible par unité de volume, de surface ou de longueur de ligne. Les forces distribuées sont généralement remplacées par des forces concentrées.

Si des forces distribuées agissent dans un plan sur une ligne droite, elles sont alors remplacées par une force concentrée comme suit.

Une charge uniformément répartie d'intensité q est remplacée par une force concentrée Q = qL qui est appliquée au milieu de la section. Une charge uniformément répartie fait référence à des forces qui ont les mêmes ampleurs et directions sur une zone donnée du corps.

Si les forces distribuées changent selon une loi linéaire

(le long du triangle), alors la force concentrée Q = qmaxL/2- est appliquée au centre de gravité du triangle, situé à distance - de sa base……………….

44.Le frottement de roulement est la résistance au mouvement qui se produit lorsque des corps se roulent les uns sur les autres. Il apparaît par exemple entre les éléments des roulements, entre le pneu d'une roue de voiture et la chaussée. En règle générale, la valeur du frottement de roulement est bien inférieure à la valeur du frottement de glissement, et le roulement est donc un type de mouvement courant dans la technologie.

Le frottement de roulement se produit à l’interface de deux corps et est donc classé comme un type de frottement externe.

45.friction de rotation. Supposons qu'une balle lourde repose sur un plan horizontal, nous désignons le centre de la balle par O et le point de contact de la balle avec le plan par C. La rotation de la balle autour de la droite CO est appelée rotation. L'expérience montre que si le moment du couple qui devrait faire tourner la balle est très petit, alors la balle ne tournera pas. Il s'ensuit que l'action de la paire motrice est paralysée par une autre paire, de la présence de laquelle dépend le frottement en rotation.

Une méthode de calcul du couple de frottement d'un roulement consiste à diviser le couple de frottement en ce que l'on appelle le couple indépendant de la charge M0 et le couple dépendant de la charge M1, qui sont ensuite additionnés pour obtenir le couple total :

Deux forces parallèles dirigées dans la même direction sont réduites à une seule force – une force résultante appliquée en un point divisant une ligne droite en distances inversement proportionnelles aux grandeurs des forces. En ajoutant systématiquement des forces parallèles par paires, nous arrivons également à une force - la résultante R : Puisque la force peut être transférée le long de la ligne de son action, le point d'application de la force (résultante) est essentiellement indéfini. Si toutes les forces tournent du même angle et que l'addition des forces est effectuée à nouveau, alors nous obtenons une direction différente de la ligne d'action de la résultante. Le point d'intersection de ces deux lignes d'action des résultantes peut être considéré comme le point d'application de la résultante, qui ne change pas de position lorsque toutes les forces tournent simultanément du même angle. Ce point est appelé centre des forces parallèles. Le centre des forces parallèles est le point d'application de la résultante, qui ne change pas de position lorsque toutes les forces tournent simultanément du même angle.

47Le rayon vecteur d'un point est un vecteur dont le début coïncide avec l'origine du système de coordonnées, et la fin avec le point donné.

Ainsi, une caractéristique du rayon vecteur qui le distingue de tous les autres vecteurs est que son origine est toujours située au point d'origine (Fig. 17).

Le centre des forces parallèles, point par lequel passe la ligne d'action du système résultant de forces parallèles Fk pour toute rotation de toutes ces forces à proximité de leurs points d'application dans le même sens et sous le même angle. Les coordonnées du Centre des forces parallèles sont déterminées par les formules :

où xk, yk, zk sont les coordonnées des points d'application des forces.

48Centre de gravité d'un corps rigide - un point invariablement associé à ce corps, à travers lequel passe la ligne d'action des forces de gravité résultantes des particules du corps à n'importe quelle position du corps dans l'espace. Dans ce cas, le champ de gravité est considéré comme homogène, c'est-à-dire les forces gravitationnelles des particules du corps sont parallèles entre elles et restent constantes lors de toute rotation du corps. Coordonnées du centre de gravité :

; ; , où Р=åр k, x k,y k,z k – coordonnées des points d'application des forces de gravité р k. Le centre de gravité est un point géométrique et peut se trouver à l'extérieur du corps (par exemple un anneau). Centre de gravité d'une figure plate :

DF k – aire élémentaire, F – aire de la figure. Si la zone ne peut être divisée en plusieurs parties finies, alors . Si un corps homogène a un axe de symétrie, alors le centre de gravité du corps est sur cet axe.

49 En résolvant des problèmes pour déterminer la position (coordonnées) du centre de gravité d'une plaque homogène, un système de corps situés sur un plan ou un espace revient à établir des équations, à y insérer en outre des données numériques connues et à calculer le résultat :

Ceux. il est nécessaire de décomposer le système en composants et de trouver les positions des centres de gravité de ces éléments constitutifs. Calculer la masse des composants en l'exprimant par la densité spécifique - linéaire, volumétrique ou surfacique, selon le type de système présenté. A la fin de la solution, la densité spécifique sera réduite, alors ne soyez pas gêné de la saisir (en règle générale, elle n'est pas donnée, mais le texte du problème indique que la plaque, les tiges et la dalle sont homogènes) . Parmi les caractéristiques de cette tâche, il convient de noter deux choses : 1) déterminer le centre de gravité d'un composant d'une forme rectangulaire, carrée ou d'une tige, d'un cercle n'est pas difficile - le centre de gravité de ces figures est au centre.

50. secteur circulaire : ; Triangle. Divisant le triangle en lignes fines,

parallèle à chacun de ses côtés déterminer que puisque le centre

la gravité de chaque ligne repose sur son centre géométrique (au centre

symétrie), alors le centre de gravité du triangle se situe à l'intersection de ses

médian Le point d'intersection des médianes les divise dans le rapport (2:1).

Secteur circulaire (Figure 54). Le centre de gravité se trouve sur l'axe

symétrie. En divisant un secteur circulaire en triangles élémentaires

déterminer l'arc formé par les centres de gravité des triangles. Rayon

l'arc est égal aux 2/3 du rayon du secteur. Ainsi, la coordonnée du centre

la gravité du secteur circulaire est déterminée

expression xC = péché α.

51Hémisphère. Le centre de gravité se trouve sur l'axe de symétrie à une distance

3/8 de la base.

Pyramide (cône) (Figure 55).

Le centre de gravité se trouve sur la ligne

reliant le sommet au centre

gravité de la base à une distance de ¾ de

Arc de cercle Le centre de gravité se trouve sur l'axe de symétrie et a

coordonnées xC = sin α ; уС = 0 .

Cinématique

1Cinématique, branche de la mécanique théorique, étudie le mouvement des corps matériels sans s'intéresser aux raisons qui provoquent ou modifient ce mouvement. Pour cela, seules la validité physique et la rigueur mathématique dans le cadre des modèles acceptés sont importantes. Problèmes de cinématique Définir le mouvement d'un point matériel (système) signifie donner un moyen de déterminer la position d'un point (tous les points formant un système) à tout moment.
Les tâches de la cinématique consistent à développer des méthodes pour spécifier le mouvement d'un point (système) et des méthodes pour déterminer la vitesse, l'accélération d'un point et d'autres grandeurs cinématiques des points qui composent un système mécanique. trajectoire ponctuelle

Préciser le mouvement d’un point signifie préciser sa position à chaque instant. Cette position doit être déterminée, comme déjà indiqué, dans un système de coordonnées. Cependant, pour cela, il n'est pas toujours nécessaire de préciser les coordonnées elles-mêmes ; vous pouvez utiliser des quantités qui leur sont liées d'une manière ou d'une autre. Vous trouverez ci-dessous trois manières principales de spécifier le mouvement d'un point.

1. La manière naturelle. Cette méthode est utilisée si la trajectoire du point est connue. Une trajectoire est un ensemble de points dans l’espace par lesquels passe une particule matérielle en mouvement. C'est la ligne qu'elle trace dans l'espace. Avec la méthode naturelle, il faut régler (Fig. 1) :

a) trajectoire de mouvement (par rapport à tout système de coordonnées) ;

b) un point arbitraire sur celui-ci, zéro, à partir duquel est mesurée la distance S à la particule en mouvement le long de la trajectoire ;

c) sens de référence positif S (lorsque le point M est déplacé dans le sens opposé, S est négatif) ;

d) début du temps t ;

e) fonction S(t), appelée loi du mouvement**) d'un point.

2. Méthode de coordonnées. C’est la manière la plus universelle et la plus complète de décrire le mouvement. Il assume la tâche :

a) systèmes de coordonnées (pas nécessairement cartésiens) q1, q2, q3 ;

b) début du temps t ;

c) la loi du mouvement d'un point, c'est-à-dire fonctions q1(t), q2(t), q3(t).

Lorsqu'on parle des coordonnées d'un point, on entendra toujours (sauf indication contraire) ses coordonnées cartésiennes.

3. Méthode vectorielle. La position d'un point dans l'espace peut également être déterminée par un rayon vecteur tracé d'une certaine origine à un point donné (Fig. 2). Dans ce cas, pour décrire le mouvement il faut définir :

a) l'origine du rayon vecteur r ;

b) début du temps t ;

c) la loi du mouvement du point r(t).

Puisque spécifier une quantité vectorielle r équivaut à spécifier ses trois projections x, y, z sur les axes de coordonnées, il est facile de passer de la méthode vectorielle à celle des coordonnées. Si nous introduisons des vecteurs unitaires i, j, k (i = j = k = 1), dirigés respectivement le long des axes x, y et z (Fig. 2), alors, évidemment, la loi du mouvement peut être représentée sous la forme *)

r(t) = x(t)je +y(t)j+z(t)k. (1)

L'avantage de la forme d'enregistrement vectorielle par rapport à la forme coordonnée est la compacité (au lieu de trois quantités, on opère avec une seule) et souvent une plus grande clarté.

Exemple. Un petit anneau M est posé sur un demi-cercle de fil fixe, à travers lequel passe une autre tige droite AB (Fig. 3), tournant uniformément autour du point A (= t, où = const). Trouver les lois du mouvement de l'anneau M le long de la tige AB et par rapport au demi-cercle.

Pour résoudre la première partie du problème, nous utiliserons la méthode des coordonnées, en dirigeant l'axe x du système cartésien le long de la tige et en choisissant son origine au point A. Puisque l'AMS inscrit est une ligne droite (basée sur le diamètre ),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

où R est le rayon du demi-cercle. La loi du mouvement qui en résulte est appelée oscillation harmonique (cette oscillation ne continuera évidemment que jusqu'au moment où l'anneau atteint le point A).

Nous résoudrons la deuxième partie du problème en utilisant la méthode naturelle. Choisissons le sens positif de comptage de la distance le long de la trajectoire (demi-cercle AC) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (Fig. 3), et zéro coïncidant avec le point C. Alors la longueur de l'arc SM en fonction du temps donnera la loi du mouvement de pointM

S(t) = R2 = 2Rt,

ceux. l'anneau se déplacera uniformément autour d'un cercle de rayon R avec une vitesse angulaire de 2. Comme il ressort clairement de l'examen,

le zéro du décompte du temps dans les deux cas correspondait au moment où l'anneau était au point C.

2.Méthode vectorielle pour spécifier le mouvement d'un point

La vitesse du point est dirigée tangentiellement à la trajectoire (Fig.2.1) et est calculé, selon (1.2), à l'aide de la formule