دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با امتیاز 60-65 است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد در ریاضیات (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

سطح هرم. در این مقاله به مشکلات اهرام معمولی خواهیم پرداخت. یادآوری می کنم که هرم منتظم هرمی است که قاعده آن چند ضلعی منتظم است، بالای هرم به مرکز این چند ضلعی برآمده است.

وجه جانبی چنین هرمی یک مثلث متساوی الساقین است.ارتفاع این مثلث از راس کشیده شده است هرم منظم، به نام apothem، SF – apothem:

در نوع مشکل ارائه شده در زیر، باید سطح کل هرم یا مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید. این وبلاگ قبلاً چندین مشکل را با اهرام معمولی مورد بحث قرار داده است، جایی که سؤال یافتن عناصر (ارتفاع، لبه پایه، لبه کناری) مطرح شد.

در تکالیف آزمون دولتی واحدبه عنوان یک قاعده، اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم در نظر گرفته می شود. من هیچ مشکلی با هرم های پنج ضلعی و هفت ضلعی منظم ندیده ام.

فرمول مساحت کل سطح ساده است - باید مجموع مساحت پایه هرم و مساحت سطح جانبی آن را پیدا کنید:

بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

اضلاع قاعده هرم چهار گوش منتظم 72 و لبه های کناری 164 است. مساحت این هرم را پیدا کنید.

مساحت سطح هرم برابر است با مجموع مساحت سطح جانبی و قاعده:

*سطح جانبی از چهار مثلث با مساحت مساوی تشکیل شده است. قاعده هرم مربع است.

می توانیم مساحت ضلع هرم را با استفاده از موارد زیر محاسبه کنیم:

بنابراین، سطح هرم عبارت است از:

جواب: 28224

اضلاع قاعده یک هرم شش ضلعی منتظم برابر با 22، لبه های جانبی برابر با 61 است. مساحت سطح جانبی این هرم را پیدا کنید.

قاعده هرم شش ضلعی منتظم یک شش ضلعی منتظم است.

سطح جانبی این هرم از شش ناحیه مثلث مساوی با ضلع های 61،61 و 22 تشکیل شده است:

بیایید مساحت مثلث را با استفاده از فرمول هرون پیدا کنیم:

بنابراین، سطح جانبی عبارت است از:

جواب: 3240

*در مشکلات ارائه شده در بالا، مساحت وجه جانبی را می توان با استفاده از فرمول مثلث دیگری پیدا کرد، اما برای این کار باید ابهام را محاسبه کنید.

27155. مساحت یک هرم چهار گوش منتظم را پیدا کنید که ضلع قاعده آن 6 و ارتفاع آن 4 است.

برای یافتن سطح هرم باید مساحت قاعده و مساحت سطح جانبی را بدانیم:

مساحت پایه 36 است زیرا مربعی با ضلع 6 است.

سطح جانبی از چهار وجه تشکیل شده است که مثلث های مساوی هستند. برای پیدا کردن مساحت چنین مثلثی، باید قاعده و ارتفاع آن (آپوتم) را بدانید:

*مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع کشیده شده به این قاعده است.

پایه معلوم است، برابر با شش است. بیایید ارتفاع را پیدا کنیم. در نظر بگیریم مثلث قائم الزاویه(با رنگ زرد مشخص شده است):

یک پا برابر است با 4، زیرا این ارتفاع هرم است، دیگری برابر با 3 است، زیرا برابر با نیمی از لبه پایه است. می توانیم فرضیه را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم:

این بدان معنی است که مساحت سطح جانبی هرم عبارت است از:

بنابراین، سطح کل هرم عبارت است از:

پاسخ: 96

27069. اضلاع قاعده یک هرم چهار گوش منتظم برابر با 10، لبه های کناری برابر با 13 است. مساحت سطح این هرم را پیدا کنید.

27070. اضلاع قاعده هرم شش ضلعی منتظم برابر با 10، لبه های جانبی برابر با 13 است. مساحت سطح جانبی این هرم را بیابید.

همچنین فرمول هایی برای مساحت سطح جانبی یک هرم معمولی وجود دارد. در یک هرم منظم، قاعده یک برآمدگی متعامد از سطح جانبی است، بنابراین:

پ- محیط پایه، ل- شعار هرم

*این فرمول بر اساس فرمول مساحت یک مثلث است.

اگر می خواهید در مورد نحوه استخراج این فرمول ها بیشتر بدانید، آن را از دست ندهید، انتشار مقالات را دنبال کنید.همین. موفق باشید برای شما!

با احترام، الکساندر کروتیتسکیخ.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی درباره سایت به من بگویید ممنون می شوم.

شکلی است که قاعده آن یک چند ضلعی دلخواه است و وجوه جانبی با مثلث نشان داده می شوند. رئوس آنها در یک نقطه قرار دارد و با بالای هرم مطابقت دارد.

هرم می تواند متنوع باشد - مثلثی، چهار گوش، شش ضلعی و غیره. نام آن را می توان بسته به تعداد گوشه های مجاور پایه تعیین کرد.
هرم سمت راستهرمی نامیده می شود که اضلاع قاعده، زوایا و لبه های آن با هم برابر است. همچنین در چنین هرمی مساحت وجوه جانبی برابر خواهد بود.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم حاصل مجموع مساحت تمام وجوه آن است:
یعنی برای محاسبه مساحت سطح جانبی هرم دلخواه، باید مساحت هر مثلث مجزا را پیدا کنید و آنها را با هم جمع کنید. اگر هرم کوتاه شده باشد، چهره آن با ذوزنقه ها نشان داده می شود. فرمول دیگری برای هرم منظم وجود دارد. در آن، مساحت سطح جانبی از طریق نیم محیط پایه و طول آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم را در نظر بگیریم.
بگذارید یک هرم چهار گوش منظم داده شود. سمت پایه ب= 6 سانتی متر، آپوتم الف= 8 سانتی متر مساحت سطح جانبی را پیدا کنید.

در قاعده یک هرم چهار گوش منتظم یک مربع قرار دارد. ابتدا محیط آن را پیدا می کنیم:

اکنون می توانیم مساحت سطح جانبی هرم خود را محاسبه کنیم:

برای پیدا کردن مساحت کل یک چند وجهی، باید مساحت پایه آن را پیدا کنید. فرمول مساحت قاعده هرم بسته به اینکه چند ضلعی در قاعده قرار دارد ممکن است متفاوت باشد. برای این کار از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید مساحت متوازی الاضلاعو غیره

مثالی از محاسبه مساحت قاعده یک هرم که با شرایط ما ارائه شده است را در نظر بگیرید. از آنجایی که هرم منظم است، یک مربع در قاعده آن وجود دارد.
مساحت مربعبا فرمول محاسبه می شود:
جایی که a ضلع مربع است. برای ما 6 سانتی متر است یعنی مساحت قاعده هرم:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند یافتن مساحت کل چند وجهی است. فرمول مساحت هرم از مجموع مساحت قاعده و سطح جانبی آن تشکیل شده است.

• مسئله 1. مساحت کل هرم را پیدا کنید
• مسئله 2. مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را پیدا کنید

مشکل 1. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

راه حل.

در قاعده یک هرم مثلثی منظم یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارد.
بنابراین برای حل مشکل از خواص یک مثلث منظم استفاده می کنیم:

ما ارتفاع مثلث را می دانیم، از جایی که می توانیم مساحت آن را پیدا کنیم.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

از آنجایی که مساحت پایه برابر خواهد بود با:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بیایید از جدول مقادیر توابع مثلثاتی استفاده کنیم و مقادیر شناخته شده را جایگزین کنیم.

OK / MK = √2/2

بیایید در نظر بگیریم که OK برابر با شعاع دایره محاط است. سپس
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

سپس
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

سپس مساحت وجه جانبی برابر با نصف حاصلضرب ارتفاع و قاعده مثلث است.
ساید = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

بنابراین، مساحت کل هرم برابر خواهد بود
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

پاسخ دهید: 3√3 + 18/√6

مشکل 2. مساحت سطح جانبی یک هرم منظم را پیدا کنید

راه حل.

از آنجایی که قاعده یک هرم مثلثی منظم یک مثلث متساوی الاضلاع است، AO شعاع دایره ای است که اطراف قاعده محصور شده است.
(این نتیجه از)

شعاع دایره ای را که به دور مثلث متساوی الاضلاع احاطه شده است را از ویژگی های آن می یابیم

از این رو طول لبه های یک هرم مثلثی منظم برابر خواهد بود با:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ارتفاع هرم با شرط (10 سانتی متر)، AO = 16√3/3 شناخته می شود.
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

هر ضلع هرم یک مثلث متساوی الساقین است. مربع مثلث متساوی الساقینما از اولین فرمول ارائه شده در زیر می یابیم

S = 1/2 * 16 مربع ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 متر مربع ((556/3) - 64)
S = 8 متر مربع (364/3)
S = 16 متر مربع (91/3)

از آنجایی که هر سه وجه هرم منظم با هم برابر هستند، سطح جانبی برابر خواهد بود
3S = 48 √(91/3)

پاسخ: 48 √(91/3)

مسئله 3. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

ضلع هرم مثلثی منظم 3 سانتی متر و زاویه بین وجه جانبی و قاعده هرم 45 درجه است. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.
از آنجایی که هرم منظم است، یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده آن وجود دارد. بنابراین مساحت پایه است


بنابراین = 9 * √3/4

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بهره ببریم

مساحت سطح جانبی هرم منتظم برابر است با حاصلضرب آپوتم آن و نصف محیط قاعده.

در مورد سطح کل، ما به سادگی سطح پایه را به سطح کناری اضافه می کنیم.

سطح جانبی هرم منتظم برابر است با حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم.

اثبات:

اگر ضلع قاعده a باشد، تعداد اضلاع آن n است، سطح جانبی هرم برابر است با:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

که در آن l نقطه پایانی و p محیط قاعده هرم است. قضیه ثابت شده است.

این فرمول به این صورت است:

مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم هرم است.

مساحت کل هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس پر = S سمت +S اساسی

اگر هرم نامنظم باشد، سطح جانبی آن برابر با مجموع مساحت وجوه جانبی آن خواهد بود.

حجم هرم

حجمهرم برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع است.

اثبات از یک منشور مثلثی شروع می کنیم. اجازه دهید صفحه ای را از میان راس A" قاعده بالایی منشور و لبه مخالف BC قاعده پایینی بکشیم. این صفحه هرم مثلثی A" ABC را از منشور جدا می کند. قسمت باقی مانده از منشور را به اجسام جامد تجزیه می کنیم و صفحه ای را از طریق مورب های A"C و B"C وجه های جانبی می کشیم. دو جسم به دست آمده نیز هرم هستند. با در نظر گرفتن مثلث A"B"C به عنوان قاعده یکی از آنها و C به عنوان راس آن، می بینیم که قاعده و ارتفاع آن مانند هرم اولی است که بریده ایم، بنابراین اهرام A"ABC و اندازه CA"B"C برابر است. علاوه بر این، هر دو هرم جدید CA"B"C" و A"B"BC نیز از نظر اندازه برابر هستند - اگر مثلث‌های BBC" و B"CC را در نظر بگیریم، مشخص خواهد شد. "خورشیدها یک راس مشترک A دارند" و پایه های آنها در یک صفحه قرار دارند و با هم برابرند، بنابراین اندازه اهرام برابر است. بنابراین، منشور به سه هرم با اندازه یکسان تجزیه می شود. حجم هر یک از آنها برابر با یک سوم حجم منشور است، سپس، به طور کلی، حجم هرم n-گونال برابر با یک سوم حجم یک منشور با همان ارتفاع و یکسان است. یا برابر) با یادآوری فرمول بیان کننده حجم یک منشور، V=Sh، نتیجه نهایی را به دست می آوریم: V=1/3Sh.