معادله هدایت حرارتی راه حل اساسی معادله گرما. وظایف برای کار مستقل

صفحه اصلی

سنگ

معادله هدایت حرارتی در یک محیط همگن، همانطور که دیدیم، شکل دارد

ضریب هدایت حرارتی داخلی، c ظرفیت گرمایی ماده و چگالی است. علاوه بر رابطه (1)، باید شرایط اولیه را نیز در نظر داشت که توزیع دمای اولیه و در را نشان می دهد

اگر بدن توسط یک سطح (S) محدود شود، در این سطح نیز شرایط محدود کننده ای خواهیم داشت که بسته به شرایط فیزیکی می تواند متفاوت باشد. به عنوان مثال، سطح (S) را می توان در دمای معینی نگهداری کرد که می تواند در طول زمان تغییر کند. در این حالت، شرط محدود کننده به تعیین تابع U در سطح (S) کاهش می یابد و این عملکرد داده شدههمچنین ممکن است به زمان t بستگی داشته باشد. اگر دمای سطح ثابت نباشد، اما تابش دمای معینی به محیط وجود داشته باشد، طبق قانون نیوتن، اگرچه دقیق نیست، جریان گرما از سطح (S) متناسب با اختلاف دمای بین فضای اطراف است. و سطح بدن (S). این یک شرط حدی از فرم را می دهد

که در آن ضریب تناسب h ضریب هدایت حرارتی خارجی نامیده می شود.

در صورت انتشار گرما در جسمی با ابعاد خطی، یعنی در یک میله همگن که آن را در امتداد محور قرار می دهیم، به جای رابطه (1)، معادله را خواهیم داشت.

با این شکل از معادله، البته تبادل حرارت بین سطح میله و فضای اطراف در نظر گرفته نمی شود.

معادله (S) را می توان از رابطه (1) نیز به دست آورد، با فرض اینکه U مستقل از . شرایط اولیه در مورد میله

معادله گرما برای حالت ناپایدار

غیر ثابت، اگر دمای بدن هم به موقعیت نقطه و هم به زمان بستگی دارد.

اجازه دهید با نشان دادن و = و(م, تی) درجه حرارت در یک نقطه مجسم همگن که توسط یک سطح محدود شده است اس، در لحظه زمان تی. معلوم است که مقدار حرارت dQ، در طول زمان جذب می شود dt، با برابری بیان می شود

کجا dS- عنصر سطح، ک- ضریب هدایت حرارتی داخلی، - مشتق تابع ودر جهت نرمال بیرونی به سطح اس. از آنجایی که در جهت کاهش دما گسترش می یابد، پس dQ> 0 اگر > 0، و dQ < 0, если < 0.

از تساوی (1) به دست می آید

حالا بیایید پیدا کنیم سبه گونه ای دیگر عنصر را انتخاب کنید dVحجم V، توسط سطح محدود شده است اس. مقدار گرما dQ، دریافت شده توسط عنصر dVدر زمان dt، متناسب با افزایش دما در این عنصر و جرم خود عنصر است، یعنی.

جایی که چگالی ماده است، ضریب تناسبی به نام ظرفیت گرمایی ماده.

از برابری (2) بر می آید

بنابراین،

کجا . با توجه به اینکه = , ، دریافت می کنیم

با جایگزینی سمت راست برابری با استفاده از فرمول Ostrogradsky-Green، به دست می آوریم

برای هر حجمی V. از اینجا می گیریم معادله دیفرانسیل

که نامیده می شود معادله گرما برای حالت ناپایدار.

اگر بدنه میله ای است که در امتداد محور هدایت می شود اوه، سپس معادله گرما شکل می گیرد

مشکل کوشی را برای موارد زیر در نظر بگیرید.

1. مورد یک میله نامحدود.حل معادله (3) را پیدا کنید تی> 0، ) شرایط اولیه را برآورده می کند. با استفاده از روش فوریه، یک راه حل در فرم به دست می آوریم

- انتگرال پواسون.

2. کیس میله, از یک طرف محدود شده استجواب معادله (3) که شرط اولیه و شرط مرزی را برآورده می کند، با فرمول بیان می شود.

3. کیس میله, از هر دو طرف محدود شده است.مشکل کوشی این است که چه زمانی X= 0 و X = لراه حلی برای معادله (3) پیدا کنید که شرایط اولیه و دو شرط مرزی را برآورده کند، برای مثال، یا .

در این مورد، به دنبال راه حلی خاص در قالب یک سری است

برای شرایط مرزی،

و به صورت سریال

برای شرایط مرزی

مثال.جواب معادله را پیدا کنید

ارضای شرایط اولیه

و شرایط مرزی

□ ما در فرم به دنبال راه حلی برای مشکل کوشی خواهیم بود

بنابراین،

معادله گرما برای حالت ثابت

توزیع گرما در بدن نامیده می شود ثابت، اگر دمای بدن وبستگی به موقعیت نقطه دارد م(X, در, z) اما به زمان بستگی ندارد تی، یعنی

و = و(م) = و(X, در, z).

در این حالت 0 و معادله هدایت گرما برای حالت ثابت می شود معادله لاپلاس

که اغلب به صورت .

به درجه حرارت ودر بدن به طور منحصر به فرد از این معادله تعیین شد، شما باید دمای سطح را بدانید اسبدن ها بنابراین، برای معادله (1) مشکل ارزش مرزیبه صورت زیر فرموله شده است.

یافتن تابع و، معادله (1) راضی کننده در داخل حجم Vو دریافت در هر نقطه مسطوح اسمقادیر را تنظیم کنید

این وظیفه نامیده می شود مشکل دیریکلهیا مشکل ارزش مرزی اولبرای معادله (1).

اگر دمای سطح بدن ناشناخته باشد و شار گرما در هر نقطه از سطح مشخص باشد که متناسب با اسبه جای شرط مرزی (2) شرط را خواهیم داشت

مسئله یافتن جوابی برای معادله (1) که شرط مرزی (3) را برآورده کند نامیده می شود. مشکل نویمانیا مشکل ارزش مرزی دوم.

برای شکل های صفحه، معادله لاپلاس به صورت نوشته می شود

معادله لاپلاس برای فضا اگر همین شکل را دارد وبه مختصات بستگی ندارد z، یعنی و(م) با حرکت نقطه مقدار ثابتی را حفظ می کند مدر یک خط مستقیم، محور موازی اوز.

با جایگزینی معادله (4) را می توان به مختصات قطبی تبدیل کرد

مفهوم تابع هارمونیک با معادله لاپلاس مرتبط است. تابع فراخوانی می شود هارمونیکدر منطقه D، در صورتی که در این ناحیه به همراه مشتقاتش تا مرتبه دوم شمول پیوسته باشد و معادله لاپلاس را برآورده کند.

مثال.توزیع دمای ثابت را در یک میله نازک با سطح جانبی عایق حرارتی در انتهای میله بیابید.

□ ما یک مورد تک بعدی داریم. نیاز به یافتن یک تابع و, ارضای معادله و شرایط مرزی , . معادله کلی معادله مذکور است. با در نظر گرفتن شرایط مرزی به دست می آوریم

بنابراین، توزیع دما در یک میله نازک با سطح جانبی عایق حرارتی خطی است. ■

مشکل دیریکله برای یک دایره

اجازه دهید یک دایره با شعاع داده شود آرمتمرکز در قطب در موردسیستم مختصات قطبی لازم است تابعی را پیدا کنیم که در یک دایره هارمونیک باشد و شرط دایره آن را برآورده کند، جایی که تابع معینی است که روی دایره پیوسته است. تابع مورد نیاز باید معادله لاپلاس در دایره را برآورده کند

با استفاده از روش فوریه می توان به دست آورد

- انتگرال پواسون.

مثال.توزیع دمای ثابت را روی یک صفحه دایره ای نازک یکنواخت با شعاع پیدا کنید آر، نیمه بالایی در دما و نیمه پایینی در دما حفظ می شود.

□ اگر، پس، و اگر، پس. توزیع دما با انتگرال بیان می شود

بگذارید نقطه در نیم دایره بالایی قرار گیرد، یعنی. ; سپس از تا تغییر می کند و این فاصله طولی حاوی نقاطی نیست. بنابراین، ما جایگزین را معرفی می کنیم، از کجا، . سپس می گیریم

پس سمت راست منفی است ودر نابرابری ها را ارضا می کند. برای این مورد ما راه حل را بدست می آوریم

اگر نقطه در نیم دایره پایینی قرار گیرد، یعنی. ، سپس بازه تغییر شامل نقطه است، اما حاوی 0 نیست، و می توانیم جایگزینی را انجام دهیم، از جایی که،، سپس برای این مقادیر داریم

با انجام تحولات مشابه، متوجه می شویم

از آنجایی که سمت راست اکنون مثبت است، پس. ■

روش تفاضل محدود برای حل معادله گرما

فرض کنید باید یک راه حل برای معادله پیدا کنیم

رضایت بخش:

شرایط اولیه

و شرایط مرزی

بنابراین، لازم است برای معادله (1) راه حلی پیدا شود که شرایط (2)، (3)، (4) را برآورده کند، یعنی. اگر مقادیر تابع مورد نیاز در سه ضلع آن داده شده باشد، باید در مستطیلی که با خطوط محدود شده است، راه حلی پیدا کرد.

بیایید یک شبکه مستطیل شکل بسازیم که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است

- در امتداد محور قدم بردارید اوه;

- در امتداد محور قدم بردارید از.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:

از مفهوم تفاوت های متناهی می توانیم بنویسیم

به طور مشابه

با در نظر گرفتن فرمول های (6)، (7) و نماد معرفی شده، معادله (1) را به شکل می نویسیم.

از اینجا فرمول محاسبه را دریافت می کنیم

از (8) چنین می شود که اگر سه مقدار k کلایه ی گرید:،،، سپس می توانید مقدار را در ( ک+ 1) لایه.

شرط اولیه (2) به شما امکان می دهد تمام مقادیر را در خط مستقیم پیدا کنید. شرایط مرزی (3)، (4) به ما امکان می دهد مقادیر را روی خطوط و . با استفاده از فرمول (8)، مقادیر را در تمام نقاط داخلی لایه بعدی پیدا می کنیم. برای ک= 1. مقادیر تابع مورد نظر در نقاط انتهایی مشخص می شود شرایط مرزی(3)، (4). با حرکت از یک لایه شبکه به لایه دیگر، مقادیر راه حل مورد نظر را در تمام گره های شبکه تعیین می کنیم.

;

مکانیک پیوسته

متوسط پیوسته همچنین ببینید:

پورتال:فیزیکمعادله انتشار نشان می دهدنمای خصوصی

معادله دیفرانسیل جزئی می تواند غیر ثابت و ثابت باشد. به معنای تفسیر در هنگام تصمیم گیریمعادلات انتشار ما در مورد یافتن وابستگی غلظت یک ماده (یا اجسام دیگر) به مختصات مکانی و زمان صحبت می کنیم و ضریبی داده می شود (در حالت کلی نیز بسته به مختصات مکانی و زمان) مشخص کننده نفوذپذیری محیط برای انتشار است. . هنگام تصمیم گیریمعادلات حرارتی

ما در مورد یافتن وابستگی دمای محیط به مختصات مکانی و زمان صحبت می کنیم و ظرفیت گرمایی و هدایت حرارتی محیط (همچنین در حالت کلی ناهمگن) ارائه شده است.

در اکثریت قریب به اتفاق موارد، این بلافاصله به این معنی است که معادلات انتشار و رسانایی حرارتی در منطقه قابل استفاده آنها از مناطقی که اثرات کوانتومی یا محدود بودن سرعت نور قابل توجه است، یعنی در حد طاقت فرسا، دور است. اکثر موارد، نه تنها در اشتقاق آنها، بلکه در اصل، محدود به قلمرو فیزیک کلاسیک نیوتنی است.

در مسائل انتشار یا هدایت حرارتی در مایعات و گازهای در حال حرکت، به جای معادله انتشار، از معادله انتقال استفاده می شود که معادله انتشار را تا جایی گسترش می دهد که غفلت از حرکت ماکروسکوپی غیرقابل قبول باشد.

نزدیکترین شکل رسمی و از بسیاری جهات اساسی، آنالوگ معادله انتشار، معادله شرودینگر است، که با معادله انتشار با واحد فرضی عامل در مقابل مشتق زمان تفاوت دارد. بسیاری از قضایای حل معادله شرودینگر و حتی برخی از انواع نمایش های رسمی راه حل های آن مستقیماً مشابه قضایای مربوطه در مورد معادله انتشار و حل های آن هستند، اما حل های آنها از نظر کیفی بسیار متفاوت است.

نمای کلی

معادله معمولاً به این صورت نوشته می شود:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , (\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))( \partial t))=\nabla \cdot (\big [)D(\varphi ,\mathbf (r))\ \nabla \varphi (\mathbf (r) ,t)(\big ])،)

جایی که φ( r, تی) چگالی ماده منتشر کننده در یک نقطه است rو در طول تیو D(φ, r) - ضریب انتشار تعمیم یافته برای چگالی φ در یک نقطه r; ∇ - عملگر قابل مشاهده. اگر ضریب انتشار به چگالی بستگی داشته باشد، معادله غیرخطی و در غیر این صورت خطی است.

اگر D- عملگر قطعی مثبت متقارن، معادله انتشار ناهمسانگرد را توصیف می کند:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] .

اگر D(\displaystyle (\frac (\partial \varphi (\mathbf (r) ,t))(\partial t))=\sum _(i=1)^(3)\sum _(j=1)^( 3)(\frac (\جزئی)(\جزئی x_(i)))\سمت چپ.)

ثابت، سپس معادله به یک معادله دیفرانسیل خطی کاهش می یابد:

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , (\displaystyle (\frac (\partial \phi (\mathbf (r) ,t))(\t جزئی))=D\ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t)

داستان مبدا

معادله ناپایدارناپایدار معادله انتشار به عنوان طبقه بندی می شودسهموی

معادله دیفرانسیل توزیع یک املاح را به دلیل انتشار یا توزیع مجدد دمای بدن در نتیجه هدایت حرارتی توصیف می کند.

در مورد فرآیند انتشار یک بعدی با ضریب انتشار (رسانایی گرمایی) D (\displaystyle D)معادله این است:

∂ ∂ t c (x، t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x، t) + f (x، t) .

(\displaystyle (\frac (\partial)(\partial t))c(x,\;t)=(\frac (\partial )(\partial x))D(\frac (\partial )(\partial x ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).) D (\displaystyle D)ثابت

شکل می گیرد:

کجا ∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c(x,\ ;t)=D(\frac (\جزئی ^(2))(\x^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t) c (x , t) (\displaystyle c(x,\;t)) غلظت ماده منتشر کننده است، a f (x , t) (\displaystyle f(x,\;t))

- تابعی که منابع ماده (گرما) را توصیف می کند.

کیس سه بعدی

در حالت سه بعدی، معادله به شکل زیر است:

کجا ∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial t))c( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; ت))∇ = (∂ x، ∂ y، ∂ z) (\displaystyle \nabla =(\جزئی _(x)،\;\جزئی _(y)،\;\جزئی _(z))) - اپراتور نابلا، و(،) (\displaystyle (\;,\;))

- محصول اسکالر می توان آن را به صورت هم نوشت

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , (\displaystyle \partial _(t)c=\mathbf (div) \,(D\,\mathbf (grad) \,c)+f,) D (\displaystyle D)ثابت

و به صورت ثابت

کجا ∂ ∂ t c (r → , t) = D Δc (r → , t) + f (r → , t) , (\displaystyle (\frac (\جزئی)(\جزئی t))c((\vec ( r))،\;t)=D\Delta c((\vec (r))،\;t)+f((\vec (r))،\;t)،)Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=(\frac (\جزئی ^(2))(\جزئی x ^(2)))+(\frac (\جزئی ^(2))(\جزئی ^(2)))+(\frac (\جزئی ^(2))(\جزئی z^(2))) )

- اپراتور لاپلاس. n

-مورد ابعادی N (\displaystyle n) -مورد بعدی - تعمیم مستقیم موارد فوق، فقط توسط عملگر nabla، گرادیان و واگرایی، و همچنین توسط عملگر لاپلاس که باید درک کنیم n (\displaystyle n)

-نسخه های بعدی عملگرهای مربوطه: ∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , (\displaystyle \nabla =(\جزئی _(1),\;\جزئی _(2),\;\ldots ,\;\جزئی _(n )))

Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . (\displaystyle \Delta =\nabla ^(2)=\جزئی _(1)^(2)+\جزئی _(2)^(2)+\ldots +\جزئی _(n)^(2).).

این در مورد دو بعدی نیز صدق می کند

n = 2 (\displaystyle n=2)

به طور معمول، معادله انتشار از یک معادله تجربی (یا به نحوی از نظر نظری مشتق شده) ناشی می شود که تناسب جریان ماده (یا انرژی گرمایی) را با تفاوت در غلظت (دما) مناطق جدا شده توسط یک لایه نازک از ماده مشخص می کند. نفوذپذیری که با ضریب انتشار (یا هدایت حرارتی) مشخص می شود:

Φ = - ϰ ∂ c ∂ x (\displaystyle \Phi =-\varkappa (\frac (\جزئی ج)(\x جزئی)))(مورد تک بعدی) j = − ϰ ∇ c (\displaystyle \mathbf (j) =-\varkappa \nabla c)(برای هر اندازه)

همراه با معادله پیوستگی که بقای ماده (یا انرژی) را بیان می کند:

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c)(\partial t))+(\frac (\partial \Phi)(\partial x))=0)(مورد تک بعدی) ∂ c ∂ t + d i v j = 0 (\displaystyle (\frac (\partial c)(\partial t))+\mathrm (div) \,\mathbf (j) =0)(برای هر اندازه)

در مورد معادله هدایت حرارتی نیز ظرفیت گرمایی (دما = چگالی انرژی / ظرفیت گرمایی ویژه) در نظر گرفته شود.

در اینجا منبع ماده (انرژی) در سمت راست حذف شده است، اما، البته، اگر جریان (خروج) ماده (انرژی) در مسئله وجود داشته باشد، به راحتی می توان آن را در آنجا قرار داد.
همچنین فرض بر این است که جریان یک ماده منتشر کننده (ناخالصی) تحت تأثیر هیچ نیروی خارجی از جمله جاذبه (ناخالصی غیرفعال) قرار نمی گیرد.

ب.

علاوه بر این، به طور طبیعی به عنوان یک حد پیوسته از یک معادله تفاوت مشابه به وجود می آید، که به نوبه خود هنگام در نظر گرفتن مشکل راه رفتن تصادفی روی یک شبکه گسسته (یک بعدی یا -مورد بعدی - تعمیم مستقیم موارد فوق، فقط توسط عملگر nabla، گرادیان و واگرایی، و همچنین توسط عملگر لاپلاس که باید درک کنیم-بعدی). (این ساده ترین مدل است؛ در مدل های پیاده روی تصادفی پیچیده تر، معادله انتشار نیز در حد پیوسته ایجاد می شود.) ساده ترین تفسیر تابع c (\displaystyle c)در این حالت، تعداد (یا غلظت) ذرات در یک نقطه معین (یا نزدیک آن) عمل می‌کند، به طوری که هر ذره مستقل از ذرات بدون حافظه (اینرسی) از گذشته خود (در حالت کمی پیچیده‌تر - با زمان-) حرکت می‌کند. حافظه محدود).

راه حل

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (- (x - x ') 2 4 D t) d x ' .

(\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)c_(f)(x-x",\;t)\ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\راست)\,dx".)

یادداشت های فیزیکی سرعت های پایینو مقیاس های ماکروسکوپی (نگاه کنید به بالا)، جای تعجب نیست که آنها راه حل اساسیدر فواصل دور خیلی واقع بینانه رفتار نمی کند و رسماً اجازه می دهد تا نفوذ بی نهایت در فضا در زمان محدودی گسترش یابد. لازم به ذکر است که بزرگی این اثر به سرعت با فاصله کاهش می یابد که معمولاً این اثر در اصل غیر قابل مشاهده است (مثلاً در مورد غلظت بسیار کمتر از واحد صحبت می کنیم).

با این حال، اگر در مورد موقعیت‌هایی صحبت می‌کنیم که می‌توان چنین غلظت‌های کوچکی را به صورت تجربی اندازه‌گیری کرد و این برای ما ضروری است، لازم است حداقل از یک معادله دیفرانسیل استفاده نکنیم، بلکه از یک معادله انتشار تفاضل استفاده کنیم و بهتر از آن، از جزئیات فیزیکی و میکروسکوپی دقیق‌تر استفاده کنیم. مدل های آماری به منظور دستیابی به درک مناسب تری از واقعیت در این موارد.

معادله ثابت

در موردی که وظیفه یافتن یک توزیع حالت پایدار چگالی یا دما است (به عنوان مثال، در موردی که توزیع منابع به زمان بستگی ندارد)، عبارت‌های مربوط به زمان معادله از حالت غیر حذف می‌شوند. -معادله ثابت سپس معلوم می شود معادله گرمای ثابت، متعلق به کلاس معادلات بیضی است. او نمای کلی:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . (\displaystyle -(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r))))=f((\vec (r))).) Δ c (r →) = − f (r →) D , (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=-(\frac (f((\vec (r))))(D) ))

Δ c (r →) = 0. (\displaystyle \Delta c((\vec (r)))=0.)

بیان مشکلات ارزش مرزی مشکل باشرایط اولیه

(مسئله کوشی) بر روی توزیع دما در یک خط مستقیم بی نهایت

اگر فرآیند هدایت حرارتی را در یک میله بسیار طولانی در نظر بگیریم، برای مدت کوتاهی عملاً هیچ تأثیری دما در مرزها وجود ندارد و دما در ناحیه مورد نظر فقط به توزیع دمای اولیه بستگی دارد. و ارضای شرط< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty u (x , t 0) = φ (x) (-∞

، تابع داده شده کجاست.

اولین مسئله مقدار مرزی برای یک میله نیمه بی نهایت

اگر قسمتی از میله که ما را مورد توجه قرار می دهد در نزدیکی یک انتها قرار داشته باشد و به طور قابل توجهی از طرف دیگر جدا شود، به یک مسئله ارزش مرزی می رسیم که در آن تأثیر تنها یکی از شرایط مرزی در نظر گرفته می شود. برای معادله گرما در منطقه راه حل پیدا کنید− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) و t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))

، احراز شرایط< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

کجا φ (x) (\displaystyle \varphi (x))− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) μ (t) (\displaystyle \mu (t))- توابع مشخص شده

مشکل مقدار مرزی بدون شرایط اولیه

اگر لحظه زمانی که ما را مورد توجه قرار می دهد به اندازه کافی از لحظه اولیه فاصله داشته باشد، پس منطقی است که از شرایط اولیه غفلت کنیم، زیرا تأثیر آنها بر روند با گذشت زمان ضعیف می شود. بنابراین، به مسئله ای می رسیم که در آن شرایط مرزی مشخص شده است و هیچ شرایط اولیه وجود ندارد.

اگر قسمتی از میله که ما را مورد توجه قرار می دهد در نزدیکی یک انتها قرار داشته باشد و به طور قابل توجهی از طرف دیگر جدا شود، به یک مسئله ارزش مرزی می رسیم که در آن تأثیر تنها یکی از شرایط مرزی در نظر گرفته می شود. 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l)− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) − ∞ < t {\displaystyle -\infty t ⩾ t 0 (\displaystyle t\geqslant t_(0))

( u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , (\displaystyle \left\((\begin(array)(l)u(0,\;t )=\mu _(1)(t)،\\u(l،\;t)=\mu _(2)(t)،\پایان(آرایه))\راست.)

که در آن و توابع داده می شود.

مشکلات مقدار مرزی برای یک میله محدود

مسئله مقدار مرزی زیر را در نظر بگیرید:

u t = a 2 u x x + f (x، t)، 0< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0- معادله هدایت حرارتی

اگر f (x، t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0)، سپس چنین معادله ای نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگن.

u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l (\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l)- شرایط اولیه در زمان t = 0 (\displaystyle t=0)، دما در نقطه x (\displaystyle x)توسط تابع داده می شود φ (x) (\displaystyle \varphi (x)). u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , ) 0 ⩽ t ⩽ T (\displaystyle \ چپ.(\begin(array)(l)u(0 ,\;t)=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\end(آرایه))\راست\)\quad 0 \leqslant t\leqslant T)- شرایط مرزی توابع μ 1 (t) (\displaystyle \mu _(1)(t))− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) μ 2 (t) (\displaystyle \mu _(2)(t))مقدار دما را در نقاط مرزی 0 تنظیم کنید و l (\displaystyle l)در هر زمان t (\displaystyle t).

بسته به نوع شرایط مرزی، مسائل مربوط به معادله گرما را می توان به سه نوع تقسیم کرد. حالت کلی را در نظر بگیرید ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1، \;2))).

α 1 u x (0، t) + β 1 u (0، t) = μ 1 (t)، α 2 u x (l، t) + β 2 u (l، t) = μ 2 (t).

اگر (\displaystyle (\begin(array)(l)\alpha _(1)u_(x)(0,\;t)+\beta _(1)u(0,\;t)=\mu _(1 )(t)،\\\alpha _(2)u_(x)(l,\;t)+\beta _(2)u(l,\;t)=\mu _(2)(t). \end(آرایه)))α i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)) ، سپس چنین شرطی نامیده می شودشرایط نوع اول ، اگر - β i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2))نوع دوم ، و اگر− ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty ) α i (\displaystyle \alpha _(i))β i (\displaystyle \بتا _(i)) با صفر، سپس شرط متفاوت است. از اینجا ما مسائلی را برای معادله هدایت گرما بدست می آوریم - مسائل مرزی اول، دوم و سوم.

اصل حداکثر

اجازه دهید عملکرد در فضا باشد D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times,\;D\in \mathbb (R) ^(n))، معادله گرمای همگن را برآورده می کند ∂ u ∂ t − a 2 Δu = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0)، و D (\displaystyle D)- مساحت محدود اصل حداکثر بیان می کند که تابع u (x , t) (\displaystyle u(x,\;t))می تواند مقادیر شدید را چه در لحظه اولیه زمان و چه در مرز منطقه بگیرد D (\displaystyle D).

یادداشت ها

هدایت حرارتی- این یکی از انواع انتقال حرارت است. انتقال حرارت را می توان با استفاده از مکانیسم های مختلفی انجام داد.

همه اجسام امواج الکترومغناطیسی ساطع می کنند. در دمای اتاق عمدتاً اشعه مادون قرمز است. این اتفاقی است که می افتد انتقال حرارت تابشی.

در حضور میدان گرانش، مکانیسم دیگری از انتقال حرارت در سیالات می تواند باشد همرفت. اگر گرما به ظرف حاوی مایع یا گاز از طریق کف وارد شود، ابتدا قسمت های پایینی ماده گرم می شود، چگالی آنها کاهش می یابد، شناور می شوند و بخشی از گرمای حاصل را به لایه های بالایی منتقل می کنند.

با هدایت حرارتی، انتقال انرژی در نتیجه انتقال مستقیم انرژی از ذرات (مولکول‌ها، اتم‌ها، الکترون‌ها) با انرژی بالاتر به ذرات با انرژی کمتر اتفاق می‌افتد.

دوره ما انتقال گرما توسط رسانش را بررسی خواهد کرد.

اجازه دهید ابتدا حالت یک بعدی را در نظر بگیریم، زمانی که دما فقط به یک مختصات بستگی دارد X. اجازه دهید دو رسانه با یک پارتیشن مسطح با ضخامت از هم جدا شوند ل(شکل 23.1). دمای رسانه تی 1 و تی 2 ثابت نگه داشته می شوند. می توان به طور تجربی تعیین کرد که مقدار گرما س، از طریق بخشی از پارتیشن با یک ناحیه منتقل می شود اسدر زمان تیبرابر است

, (23.1)

که در آن ضریب تناسب k به مواد دیوار بستگی دارد.

در تی 1 > تی 2 گرما در جهت محور مثبت منتقل می شود X، در تی 1 < تی 2- منفی جهت انتشار گرما را می توان در نظر گرفت اگر در رابطه (23.1) جایگزین ( تی 1 - تی 2)/لدر (- dT/dx). در حالت تک بعدی، مشتق dT/dxمعادله انتشار گرادیان دما. به یاد بیاورید که گرادیان برداری است که جهت آن با جهت سریعترین افزایش در تابع مختصات اسکالر منطبق است (در مورد ما تی، و ماژول برابر است با نسبت افزایش تابع در یک جابجایی کوچک در این جهت به فاصله ای که این افزایش در آن رخ داده است.

برای اینکه معادلات توصیف کننده انتقال گرما شکل کلی و جهانی تری داشته باشند، در نظر می گیریم چگالی شار حرارتی j - مقدار گرمای منتقل شده از طریق واحد سطح در واحد زمان

سپس رابطه (23.1) را می توان به شکل نوشت

در اینجا علامت منفی نشان دهنده این واقعیت است که جهت جریان گرما مخالف جهت گرادیان دما (جهت افزایش آن) است. بنابراین، چگالی شار حرارتی یک کمیت برداری است. بردار چگالی شار حرارتی به سمت کاهش دما هدایت می شود.

اگر دمای محیط به هر سه مختصات بستگی داشته باشد، رابطه (23.3) شکل می گیرد

کجا ، - گرادیان دما ( ه 1 ,ه 2 ,ه 3 - بردارهای واحدی از محورهای مختصات).

روابط (23.3) و (23.4) قانون اساسی هدایت حرارتی (قانون فوریه) را نشان می دهد: چگالی شار حرارتی متناسب با گرادیان دما است.ضریب تناسب k نامیده می شود ضریب هدایت حرارتی(یا به سادگی هدایت حرارتی). چون بعد چگالی شار حرارتی [ j] = J/(m2 s)، و گرادیان دما [ dT/dx] = K/m، سپس بعد ضریب هدایت حرارتی [k] = J/(m×s×K).

به طور کلی، درجه حرارت در نقاط مختلف یک ماده به طور غیریکنواخت گرم شده در طول زمان تغییر می کند. اجازه دهید حالت یک بعدی را در نظر بگیریم که دما فقط به یک مختصات فضایی بستگی دارد Xو زمان تی، و ما دریافت می کنیم معادله گرما- معادله دیفرانسیل برآورده شده توسط تابع تی = تی(x,تی).

اجازه دهید به طور ذهنی در محیط یک عنصر حجم کوچک را به شکل یک استوانه یا منشور انتخاب کنیم که ژنراتورهای آن موازی با محور هستند. X، و پایه ها عمود هستند (شکل 23.2). منطقه پایه اس، و ارتفاع dx. جرم این حجم dm= r Sdxو ظرفیت گرمایی آن c×dmجایی که r چگالی ماده است، با- ظرفیت گرمایی ویژه در مدت زمان کوتاهی اجازه دهید dtدما در این حجم تغییر کرده است dT. برای انجام این کار، ماده موجود در حجم باید مقداری گرما برابر حاصلضرب ظرفیت گرمایی خود و تغییر دما دریافت کند: . از سوی دیگر، د سمی تواند حجم را فقط از طریق پایه سیلندر وارد کند: (چگالی شار حرارتی jمی تواند مثبت و منفی باشد). معادل سازی عبارات برای d س، دریافت می کنیم

با جایگزینی نسبت های افزایشی کوچک با مشتقات مربوطه، به رابطه می رسیم

. (23.5)

اجازه دهید عبارت (23.3) را برای چگالی شار حرارتی با فرمول (23.5) جایگزین کنیم.

. (23.6)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله گرما. اگر محیط همگن باشد و رسانایی حرارتی k به دما بستگی نداشته باشد، معادله شکل می گیرد.

, (23.7)

جایی که ثابت نامیده می شود ضریب انتشار حرارتیمحیط زیست

معادلات (23.6) - (23.8) با تعداد نامتناهی از توابع برآورده می شوند. تی = تی(x,تی).

برای جداسازی یک راه حل منحصر به فرد برای معادله هدایت گرما، لازم است شرایط اولیه و مرزی به معادله اضافه شود.

شرط اولیه تعیین توزیع دما در محیط است تی(X 0) در لحظه اولیه زمان تی = 0.

شرایط مرزی ممکن است بسته به رژیم دمایی در مرزها متفاوت باشد. اغلب اوقات، موقعیت‌هایی رخ می‌دهند که دما یا چگالی شار حرارتی در مرزها به عنوان تابعی از زمان مشخص می‌شود.

در برخی موارد ممکن است منابع گرمایی در محیط وجود داشته باشد. گرما می تواند در نتیجه عبور جریان الکتریکی، واکنش های شیمیایی یا هسته ای آزاد شود. وجود منابع گرمایی را می توان با معرفی چگالی انرژی حجمی در نظر گرفت q(x,y,z) برابر با مقدار گرمای آزاد شده توسط منابع در واحد حجم محیط در واحد زمان. در این صورت عبارت در سمت راست معادله (23.5) ظاهر می شود. q:

فرمول‌هایی برای محاسبه میدان دما و جریان گرما در مسائل خاص هدایت حرارتی ثابت و غیر ثابت بر اساس یک توصیف ریاضی (مدل ریاضی) فرآیند به‌دست می‌آیند. اساس مدل معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی است که با استفاده از قانون اول ترمودینامیک برای اجسامی که کار نمی کنند و قانون هدایت حرارتی فوریه به دست می آید. معادله دیفرانسیل یک فرآیند فیزیکی معمولاً تحت مفروضات خاصی استخراج می شود که فرآیند را ساده می کند. بنابراین، معادله به دست آمده یک کلاس از فرآیندها را فقط در مفروضات پذیرفته شده توصیف می کند. هر کار خاص با شرایط مربوط به عدم ابهام توصیف می شود. بنابراین، توصیف ریاضی فرآیند هدایت گرما شامل معادله دیفرانسیل رسانش گرما و شرایط منحصر به فرد است.

اجازه دهید استخراج معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی را تحت مفروضات زیر در نظر بگیریم:

الف) بدن همگن و ناهمسانگرد است.
ب) ضریب هدایت حرارتی به دما بستگی دارد.
ج) تغییر شکل حجم مورد بررسی مرتبط با تغییر دما در مقایسه با خود حجم بسیار کم است.
د) در داخل بدن منابع گرمای داخلی به طور مساوی توزیع شده است q v = f(x، y، z، t) = const;
ه) هیچ حرکتی از ذرات درشت بدن نسبت به یکدیگر وجود ندارد (همرفت).

در بدنه ای با ویژگی های پذیرفته شده، حجم ابتدایی را به شکل موازی با لبه ها انتخاب می کنیم. dx، dy، dz،قطعاً در یک سیستم مختصات متعامد جهت گیری شده است (شکل 14.1). مطابق با قانون اول ترمودینامیک برای اجسامی که کار نمی کنند، تغییر در انرژی داخلی است dUمواد در حجم اختصاص داده شده در طول زمان dxبرابر با مقدار گرمای ارائه شده است

برنج. 14.1.

به دلیل هدایت حرارتی به حجم تبدیل می شود dQx، و گرمای آزاد شده توسط منابع داخلی dQ 2"

از ترمودینامیک مشخص شده است که تغییر در انرژی داخلی یک ماده در حجم dV در زمان dx برابر است

کجا dG = ص dV- جرم ماده؛ p - چگالی؛ با - ظرفیت گرمایی جرم ویژه (برای سیالات تراکم پذیر c = c v (ظرفیت حرارتی ایزوکوریک)).

مقدار انرژی آزاد شده توسط منابع داخلی است

کجا q v - چگالی حجمی منابع حرارتی داخلی، W/m 3.

جریان گرمایی وارد شده به حجم را با توجه به جهت محورهای مختصات به سه جزء تقسیم می کنیم: از طریق چهره های مخالف گرما وجود خواهد داشت

بر این اساس از نظر مقدار حذف شود تفاوت بین مقدار گرمای عرضه شده و گرمای حذف شده معادل تغییر انرژی داخلی ناشی از هدایت حرارتی است. dQ v بیایید این مقدار را به عنوان مجموع مولفه ها در امتداد محورهای مختصات تصور کنیم:

سپس در جهت محور x داریم

از آنجایی که -

چگالی جریان گرما در گوان های مخالف.

تابع q x+dxدر بازه در نظر گرفته شده پیوسته است dxو می توان آن را در یک سری تیلور گسترش داد:

با محدود کردن خود به دو ترم اول سری و جایگزینی با (14.6)، به دست می آوریم

به روشی مشابه دریافت می کنیم:

پس از جایگزینی (14.8)-(14.10) به (14.4) داریم

با جایگزینی (14.2)، (14.3) و (14.11) به (14.1)، یک معادله دیفرانسیل برای انتقال حرارت توسط هدایت حرارتی، با در نظر گرفتن منابع داخلی به دست می آوریم:

طبق قانون هدایت حرارتی فوریه، ما عباراتی را برای پیش بینی ها روی محورهای مختصات چگالی شار حرارتی می نویسیم:

کجا X x، X y، X z- ضرایب هدایت حرارتی در جهت محورهای مختصات (جسم ناهمسانگرد).

با جایگزینی این عبارات به (14.12)، دریافت می کنیم

معادله (14.13) معادله دیفرانسیل هدایت حرارتی اجسام ناهمسانگرد با خواص فیزیکی مستقل از دما نامیده می شود.

اگر قبول کنیم X = const، و جسم همسانگرد است، معادله هدایت گرما شکل می گیرد

اینجا الف = X/(متوسط)، m 2 /s، - ضریب انتشار حرارتی،

که یک پارامتر فیزیکی از یک ماده است که میزان تغییر دما در طی فرآیندهای گرمایش یا سرمایش را مشخص می کند. اجسام ساخته شده از ماده ای با ضریب نفوذ حرارتی بالا، همه چیزهای دیگر برابر هستند، سریعتر گرم و سرد می شوند.

در یک سیستم مختصات استوانه‌ای، معادله حرارتی دیفرانسیل برای یک جسم همسانگرد با خواص فیزیکی ثابت شکل دارد.

کجا g، z،Ф - به ترتیب مختصات شعاعی، محوری و زاویه ای.

معادلات (14.13)، (14.14) و (14.15) فرآیند هدایت حرارتی را به کلی ترین شکل توصیف می کنند. وظایف خاص متفاوت است شرایط عدم ابهام، یعنی شرح ویژگی های فرآیند مورد بررسی

شرایط عدم ابهام بر اساس مفاهیم فیزیکی هدایت حرارتی، ما می توانیم عوامل موثر بر فرآیند را شناسایی کنیم: خواص فیزیکی ماده. اندازه و شکل بدن؛ توزیع دمای اولیه؛ شرایط تبادل حرارت در سطح (مرز) بدن. بنابراین، شرایط منحصر به فرد به فیزیکی، هندسی، اولیه و مرزی (لبه) تقسیم می شود.

شرایط فیزیکیپارامترهای فیزیکی ماده مشخص شده است X, S, r و توزیع منابع داخلی.

شرایط هندسیشکل و ابعاد خطی بدنه ای که فرآیند در آن انجام می شود مشخص شده است.

شرایط اولیهتوزیع دما در بدن در لحظه اولیه زمان مشخص شده است تی= /(x، y، z) در m = 0. شرایط اولیه هنگام در نظر گرفتن فرآیندهای غیر ثابت مهم هستند.

بسته به ماهیت تبادل حرارت در مرز بدن، شرایط مرزی (لبه) به چهار نوع تقسیم می شود.

شرایط مرزی از نوع اول.توزیع دما را روی سطح تنظیم می کند tnدر طول فرآیند

در یک مورد خاص، دمای سطح می تواند ثابت بماند (/n = const).

شرایط مرزی نوع اول رخ می دهد، به عنوان مثال، در هنگام گرمایش تماسی در فرآیندهای چسباندن تخته سه لا، فشار دادن تخته های نئوپان و تخته های فیبر و غیره.

شرایط مرزی نوع دوم.توزیع مقادیر چگالی شار حرارتی بر روی سطح بدن در طول فرآیند مشخص شده است

در یک مورد خاص، شار گرما روی سطح می تواند ثابت بماند (

شرایط مرزی از نوع سوممربوط به انتقال حرارت همرفتی روی سطح است. در این شرایط، دمای مایعی که بدنه در آن قرار دارد، باید تنظیم شود، Г l = /(t)، و ضریب انتقال حرارت oc. در حالت کلی، ضریب انتقال حرارت یک مقدار متغیر است، بنابراین قانون تغییر آن a =/(t) باید مشخص شود. یک مورد خاص ممکن است: / f = const; a = ثابت

شرایط مرزی از نوع چهارمشرایط تبادل حرارت بین اجسام با ضرایب هدایت حرارتی متفاوت را در طول تماس ایده‌آل، زمانی که گرما توسط هدایت حرارتی منتقل می‌شود و جریان گرما در طرف مقابل سطح تماس برابر است، مشخص کنید:

مفروضات فیزیکی پذیرفته شده، معادله حاصل از این مفروضات، و شرایط منحصر به فرد بودن، یک توصیف تحلیلی (مدل ریاضی) از فرآیندهای هدایت گرما را تشکیل می دهند. موفقیت استفاده از مدل به دست آمده برای حل یک مشکل خاص به این بستگی دارد که مفروضات پذیرفته شده و شرایط عدم ابهام چقدر با شرایط واقعی مناسب هستند.

معادلات (14.14) و (14.15) را می توان به سادگی به صورت تحلیلی برای یک رژیم حرارتی ثابت یک بعدی حل کرد. راه حل ها در زیر مورد بحث قرار می گیرند. روش های عددی تقریبی برای فرآیندهای ثابت دو بعدی و سه بعدی استفاده می شود.

برای حل معادلات (14.13) - (14.15) در شرایط حرارتی ناپایدار، تعدادی از روش‌ها استفاده می‌شود که به تفصیل در مقالات تخصصی مورد بحث قرار گرفته‌اند. روش های تحلیلی دقیق و تقریبی، روش های عددی و ... شناخته شده است.

حل عددی معادله گرما عمدتاً با روش تفاضل محدود انجام می شود. انتخاب یک یا روش دیگر راه حل بستگی به شرایط مشکل دارد. در نتیجه حل با روش های تحلیلی، فرمول هایی به دست می آید که برای حل طیفی از مسائل مهندسی در شرایط مناسب قابل استفاده است. روش های عددی به دست آوردن میدان دما را ممکن می سازد t=f(x, y, z,ر) به صورت مجموعه ای از مقادیر گسسته دما در نقاط مختلف در زمان های ثابت برای یک کار خاص. بنابراین، استفاده از روش های تحلیلی ارجح است، اما این همیشه برای مسائل چند بعدی و شرایط مرزی پیچیده امکان پذیر نیست.

بخش ها