شیب 2. معادله یک خط مستقیم با شیب. ببینید «زاویه مستقیم» در فرهنگ‌های دیگر چیست

اجازه دهید در صفحه ای که در آن یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی وجود دارد، یک خط مستقیم لاز نقطه M 0 موازی با بردار جهت عبور می کند الف (شکل 96).

اگر مستقیم لاز محور O عبور می کند X(در نقطه N)، سپس در یک زاویه خط مستقیم لبا محور O Xزاویه α را که لازم است محور O را بچرخانیم، درک خواهیم کرد Xحول نقطه N در جهت مخالف چرخش عقربه های ساعت، به طوری که محور O Xمنطبق با یک خط مستقیم ل. (این به زاویه کمتر از 180 درجه اشاره دارد.)

این زاویه نامیده می شود زاویه شیب مستقیم اگر مستقیم لموازی با محور O X، سپس زاویه میل صفر در نظر گرفته می شود (شکل 97).

مماس زاویه میل یک خط مستقیم نامیده می شود شیب یک خط مستقیم و معمولا با حرف مشخص می شود ک:

قهوهای مایل به زرد α = ک. (1)

اگر α = 0، پس ک= 0; این بدان معنی است که خط موازی با محور O است Xو شیب آن صفر است.

اگر α = 90 درجه، آنگاه ک= tan α معنی ندارد: این بدان معنی است که یک خط مستقیم عمود بر محور O X(یعنی موازی با محور O در) شیب ندارد.

شیب یک خط را می توان در صورتی محاسبه کرد که مختصات هر دو نقطه در این خط مشخص باشد. بگذارید دو نقطه روی یک خط داده شود: M 1 ( x 1 ; در 1) و M 2 ( x 2 ; در 2) و مثلاً 0 را بگذارید< α < 90°, а x 2 > x 1 , در 2 > در 1 (شکل 98).

سپس از مثلث قائم الزاویه M 1 PM 2 پیدا می کنیم

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

به طور مشابه ثابت شده است که فرمول (2) در مورد 90 درجه نیز صادق است< α < 180°.

فرمول (2) بی معنی می شود اگر x 2 - x 1 = 0، یعنی اگر مستقیم باشد لموازی با محور O در. برای چنین خطوط مستقیمی ضریب شیب وجود ندارد.

وظیفه 1.ضریب زاویه ای پریم که از نقاط عبور می کند را تعیین کنید

M 1 (3; -5) و M 2 (5; -7).

با جایگزینی مختصات نقاط M 1 و M 2 به فرمول (2)، به دست می آوریم

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) یا ک = -1

وظیفه 2.شیب خط مستقیمی که از نقاط M 1 (3; 5) و M 2 (3; -2) می گذرد را تعیین کنید.

چون x 2 - x 1 = 0، سپس تساوی (2) معنای خود را از دست می دهد. هیچ شیبی برای این خط مستقیم وجود ندارد. خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور O است در.

وظیفه 3.شیب خطی که از مبدا و نقطه M 1 می گذرد را تعیین کنید (3; -5)

در این حالت نقطه M 2 با مبدا منطبق است. با استفاده از فرمول (2) به دست می آوریم

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

بیایید معادله ای از یک خط مستقیم با ضریب زاویه ایجاد کنیم ک، از نقطه عبور می کند

M 1 ( x 1 ; در 1). طبق فرمول (2) ضریب زاویه ای یک خط مستقیم از مختصات دو نقطه آن به دست می آید. در مورد ما، نقطه M 1 داده شده است، و به عنوان نقطه دوم می توانیم هر نقطه M را در نظر بگیریم. X; در) خط مستقیم مورد نظر.

اگر نقطه M روی خط مستقیمی قرار داشته باشد که از نقطه M 1 می گذرد و ضریب زاویه ای دارد ک، سپس به موجب فرمول (2) داریم

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

اگر نقطه M روی یک خط قرار نگیرد، تساوی (3) برقرار نیست. در نتیجه، تساوی (3) معادله خطی است که از نقطه M 1 می گذرد ( x 1 ; در 1) با شیب ک; این معادله معمولاً به صورت نوشته می شود

y- y 1 = ک(x - x 1). (4)

اگر خط مستقیم محور O را قطع کند دردر یک نقطه (0; ب، سپس معادله (4) شکل می گیرد

در - ب = ک (X- 0),

y = kx + b. (5)

این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با شیب k و مختصات اولیه b.

وظیفه 4.زاویه میل خط مستقیم √3 را پیدا کنید x + 3در - 7 = 0.

اجازه دهید این معادله را به شکل کاهش دهیم

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

از این رو، ک= قهوهای مایل به زرد α = - 1 / √ 3، از آنجا α = 150 درجه

وظیفه 5.برای خط مستقیمی که از نقطه P(3; -4) با ضریب زاویه ای می گذرد معادله بنویسید. ک = 2 / 5

جایگزین کردن ک = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 در معادله (4)، به دست می آوریم

در - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) یا 2 X - 5در - 26 = 0.

وظیفه 6.معادله ای برای خط مستقیمی بنویسید که از نقطه Q (3- 4) و جزء با جهت مثبت محور O عبور می کند. Xزاویه 30 درجه

اگر α = 30 درجه، پس ک= برنزه 30 درجه = √ 3/3. جایگزینی به معادله (4) مقادیر x 1 , y 1 و ک، دریافت می کنیم

در -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) یا √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.

در مختصات دکارتیهر خط با یک معادله درجه یک تعیین می شود و برعکس، هر معادله درجه اول یک خط را تعیین می کند.

معادله فرم

معادله کلی یک خط نامیده می شود.

زاویه تعیین شده مطابق شکل، زاویه تمایل خط مستقیم به محور Ox نامیده می شود. مماس زاویه میل خط مستقیم به محور Ox را ضریب زاویه ای خط مستقیم می گویند. معمولاً با حرف k نشان داده می شود:

معادله معادله یک خط مستقیم با شیب نامیده می شود. k ضریب زاویه ای است، b مقدار قطعه ای است که توسط خط مستقیم روی محور Oy قطع می شود و از مبدا شمارش می شود.

اگر یک خط مستقیم با معادله کلی داده شود

,

سپس ضریب زاویه ای آن با فرمول تعیین می شود

معادله معادله خط مستقیمی است که از نقطه (، ) می گذرد و دارای ضریب زاویه ای k است.

اگر یک خط مستقیم از نقاط (،)، (،) عبور کند، شیب آن با فرمول تعیین می شود

معادله

معادله خطی است که از دو نقطه (، ) و (، ) می گذرد.

اگر ضرایب زاویه ای دو خط مستقیم مشخص باشد، یکی از زوایای بین این خطوط مستقیم با فرمول تعیین می شود.

.

علامت توازی دو خط مستقیم برابری ضرایب زاویه ای آنها است:.

نشانه عمود بودن دو خط مستقیم نسبت یا است.

به عبارت دیگر، ضرایب زاویه ای خطوط عمود بر قدر مطلق معکوس و در علامت مخالف هستند.

4. معادله کلی یک خط

معادله

Ah+Bu+C=0

(کجا الف، ب، جمی تواند هر مقداری داشته باشد، تا زمانی که ضرایب الف، بهر دو صفر نبودند) نشان دهنده خط مستقیم. هر خط مستقیمی را می توان با معادله ای از این نوع نشان داد. به همین دلیل به او زنگ می زنند معادله کلی خط.

اگر الفX، سپس یک خط مستقیم را نشان می دهد، موازی با محور OX.

اگر در= 0، یعنی معادله شامل نمی شود در، سپس یک خط مستقیم را نشان می دهد، موازی با محور OY.

کوگلا دربرابر با صفر نیست، پس معادله کلی یک خط مستقیم می تواند باشد حل و فصل نسبت به دستوردر ، سپس به فرم تبدیل می شود

(کجا a=-A/B; b=-C/B).

به طور مشابه، زمانی که الفغیر صفر معادله کلیخط مستقیم را می توان نسبت به حل کرد X.

اگر با= 0، یعنی معادله کلی یک خط شامل یک جمله آزاد نیست، سپس خطی را نشان می دهد که از مبدا می گذرد.

5. معادله خط مستقیمی که از نقطه معینی با شیب معین می گذرد

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد الف(x 1 , y 1) در یک جهت معین، تعیین شده توسط شیب ک,

y - y 1 = ک(x - x 1). (1)

این معادله مدادی از خطوطی را تعریف می کند که از یک نقطه عبور می کنند الف(x 1 , y 1) که مرکز پرتو نامیده می شود.

6. معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد.

. معادله خطی که از دو نقطه می گذرد: الف(x 1 , y 1) و ب(x 2 , y 2) به این صورت نوشته شده است:

ضریب زاویه ای یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد با فرمول تعیین می شود

7. معادله یک خط در پاره ها

اگر در معادله کلی یک خط، با تقسیم (1) بر، معادله خط را به صورت پاره پاره به دست می آوریم.

کجا، . خط مستقیم محور را در نقطه قطع می کند و محور را در نقطه قطع می کند.

8. فرمول: زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه

U هدف α بین دو خط مستقیم که توسط معادلات داده می شود: y=k 1 x+b 1 (خط اول) و y=k 2 x+b 2 (خط مستقیم دوم) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد (زاویه از خط مستقیم 1 تا 2 اندازه گیری می شود. خلاف جهت عقربه های ساعت ):

9. موقعیت نسبی دو خط مستقیم در یک صفحه.

حالا هر دو را بگذارید معادلاتخطوط مستقیم به صورت کلی نوشته می شوند.

قضیه. اجازه دهید

- عمومی معادلاتدو خط مستقیم هماهنگ کردنهواپیمای اکسی سپس

1) اگر، پس مستقیمو همزمان؛

2) اگر ، سپس مستقیم و

موازی

3) اگر، پس مستقیمتقاطع

اثبات شرایط معادل هم خطی بودن نرمال است بردارهاداده های مستقیم:

بنابراین، اگر، پس مستقیمتقاطع

اگر ، سپس، و معادله مستقیمشکل می گیرد:

یا ، یعنی مستقیممطابقت دادن توجه داشته باشید که ضریب تناسب، در غیر این صورت تمام ضرایب کلی است معادلاتبرابر با صفر خواهد بود که غیرممکن است.

اگر مستقیممنطبق نشوند و قطع نشوند، پس قضیه باقی می ماند، i.e. مستقیمموازی

قضیه ثابت شده است.

شکل زاویه شیب خط مستقیم را نشان می دهد و مقدار شیب را نشان می دهد گزینه های مختلفمحل خط مستقیم نسبت به سیستم مستطیل شکلمختصات

یافتن شیب یک خط مستقیم با زاویه تمایل مشخص نسبت به محور Ox هیچ مشکلی ایجاد نمی کند. برای این کار کافی است تعریف ضریب زاویه ای را یادآوری کنیم و مماس زاویه میل را محاسبه کنیم.

مثال.

شیب خط مستقیم را در صورتی بیابید که زاویه میل آن نسبت به محور آبسیسا برابر باشد.

راه حل.

با توجه به شرایط. سپس با تعریف شیب یک خط مستقیم محاسبه می کنیم .

پاسخ:

کار پیدا کردن زاویه تمایل یک خط مستقیم به محور x با شیب مشخص کمی پیچیده تر است. در اینجا لازم است که علامت شیب را در نظر بگیریم. وقتی زاویه میل خط مستقیم تند باشد و به صورت . زمانی که زاویه میل خط مستقیم منفرد است و با فرمول قابل تعیین است .

مثال.

زاویه شیب خط مستقیم را به محور آبسیسا در صورتی که شیب آن برابر با 3 باشد مشخص کنید.

راه حل.

از آنجایی که طبق شرط ضریب زاویه ای مثبت است، زاویه تمایل خط مستقیم به محور Ox حاد است. با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم.

پاسخ:

مثال.

شیب خط مستقیم است. زاویه تمایل خط مستقیم به محور Ox را تعیین کنید.

راه حل.

بیایید نشان دهیم k ضریب زاویه ای خط مستقیم است، - زاویه تمایل این خط مستقیم به جهت مثبت محور Ox. چون ، سپس از فرمول برای یافتن زاویه میل خط شکل زیر استفاده می کنیم . داده های شرط را در آن جایگزین می کنیم: .

پاسخ:

معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای.

معادله یک خط مستقیم با شیبشکل دارد، که در آن k شیب خط است، b مقداری واقعی است. معادله یک خط مستقیم با یک ضریب زاویه ای را می توان برای تعریف هر خط مستقیم استفاده کرد، نه موازی با محور Oy (برای یک خط مستقیم موازی با محور مختصات، شیب تعریف نشده است).

بیایید معنای عبارت را درک کنیم: "یک خط مستقیم روی صفحه در یک سیستم مختصات ثابت با معادله ای با ضریب زاویه ای به شکل "" داده می شود. این به این معنی است که معادله با مختصات هر نقطه از خط ارضا می شود و با مختصات هیچ نقطه دیگری از صفحه ارضا نمی شود. بنابراین، اگر هنگام جایگزینی مختصات یک نقطه، تساوی صحیح به دست آید، خط مستقیم از این نقطه عبور می کند. در غیر این صورت، نقطه روی خط نیست.

مثال.

خط مستقیم با یک معادله با شیب به دست می آید. آیا نقاط هم متعلق به این خط هستند؟

راه حل.

بیایید مختصات نقطه را با معادله اصلی خط مستقیم با شیب جایگزین کنیم: . ما برابری صحیح را به دست آورده ایم، بنابراین، نقطه M 1 روی خط قرار دارد.

وقتی مختصات یک نقطه را جایگزین می کنیم، یک برابری نادرست به دست می آوریم: . بنابراین، نقطه M 2 روی خط قرار نمی گیرد.

پاسخ:

نقطه M 1 متعلق به خط است، M 2 نیست.

لازم به ذکر است که یک خط مستقیم که با معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای تعریف می شود از نقطه عبور می کند ، زیرا وقتی مختصات آن را در معادله جایگزین می کنیم برابری صحیح را بدست می آوریم: .

بنابراین، معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه‌ای، خط مستقیمی را بر روی صفحه تعریف می‌کند که از نقطه‌ای عبور می‌کند و زاویه‌ای را با جهت مثبت محور x تشکیل می‌دهد و .

به عنوان مثال، اجازه دهید یک خط مستقیم را به تصویر بکشیم که با معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای شکل تعریف شده است. این خط از نقطه ای می گذرد و شیب دارد رادیان (60 درجه) به جهت مثبت محور Ox. شیب آن برابر است.

معادله یک خط مستقیم با شیب عبور از یک نقطه معین.

اکنون یک مشکل بسیار مهم را حل خواهیم کرد: معادله یک خط مستقیم با شیب معین k و عبور از نقطه را به دست خواهیم آورد.

از آنجایی که خط از نقطه عبور می کند، برابری درست است . ما عدد b را نمی دانیم. برای خلاص شدن از آن، سمت چپ و راست آخرین برابری را به ترتیب از سمت چپ و راست معادله خط مستقیم با ضریب شیب کم می کنیم. در این صورت می گیریم . این برابری است معادله یک خط مستقیم با شیب معین k که از نقطه معینی می گذرد.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

معادله خطی که از نقطه عبور می کند را بنویسید، شیب این خط 2- است.

راه حل.

از شرایطی که داریم . سپس معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای شکل می گیرد.

پاسخ:

مثال.

معادله یک خط مستقیم را بنویسید اگر معلوم شود از نقطه ای می گذرد و زاویه تمایل به جهت مثبت محور Ox برابر است.

راه حل.

ابتدا شیب خطی که به دنبال معادله آن هستیم را محاسبه می کنیم (این مشکل را در پاراگراف قبلی این مقاله حل کردیم). طبق تعریف . اکنون ما تمام داده ها را برای نوشتن معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه داریم:

پاسخ:

مثال.

معادله خطی با ضریب زاویه ای که از نقطه ای موازی با خط می گذرد را بنویسید.

راه حل.

بدیهی است که زوایای تمایل خطوط موازی با محور Ox منطبق است (در صورت لزوم به مقاله موازی خطوط مراجعه کنید) بنابراین ضرایب زاویه ای خطوط موازی برابر است. سپس شیب خط مستقیم که معادله آن را باید بدست آوریم برابر با 2 است زیرا شیب خط مستقیم برابر با 2 است. اکنون می توانیم معادله مورد نیاز یک خط مستقیم با شیب ایجاد کنیم:

پاسخ:

انتقال از معادله یک خط با ضریب زاویه به انواع دیگر معادله یک خط و بالعکس.

با وجود همه آشنایی، معادله خط مستقیم با ضریب زاویه ای همیشه برای حل مسائل مناسب نیست. در برخی موارد، وقتی معادله یک خط به شکل دیگری ارائه شود، حل مسائل آسانتر است. به عنوان مثال، معادله یک خط مستقیم با یک ضریب زاویه ای به شما اجازه نمی دهد که بلافاصله مختصات بردار هدایت کننده خط مستقیم یا مختصات بردار معمولی خط مستقیم را بنویسید. بنابراین، باید یاد بگیرید که از معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه به انواع دیگر معادلات این خط مستقیم بروید.

از معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای به راحتی می توان معادله متعارف یک خط مستقیم را در یک صفحه با فرم به دست آورد. . برای این کار عبارت b را از سمت راست معادله با علامت مخالف به سمت چپ منتقل می کنیم سپس دو طرف تساوی حاصل را بر شیب k تقسیم می کنیم: . این اعمال ما را از معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای به سمت معادله متعارفمستقیم.

مثال.

معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه را به دست آورید به شکل متعارف

راه حل.

بیایید تبدیل های لازم را انجام دهیم: .

پاسخ:

مثال.

یک خط مستقیم با معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای به دست می آید. آیا بردار بردار عادی این خط است؟

راه حل.

برای حل این مشکل، از معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه به معادله کلی این خط مستقیم حرکت می کنیم: . می دانیم که ضرایب متغیرهای x و y در معادله کلی یک خط مختصات متناظر بردار نرمال این خط است، یعنی بردار نرمال خط. . بدیهی است که بردار هم خط با بردار است، زیرا رابطه معتبر است (در صورت لزوم، مقاله را ببینید). بنابراین، بردار اصلی نیز یک بردار خط معمولی است و بنابراین یک بردار معمولی و خط اصلی است.

پاسخ:

بله همینطور است.

و اکنون ما مشکل معکوس را حل خواهیم کرد - مشکل کاهش معادله یک خط مستقیم در یک صفحه به معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه.

از معادله خط مستقیم کلی فرم ، که در آن خیلی راحت می توان به معادله ای با ضریب شیب رفت. برای این کار باید معادله کلی خط را با توجه به y حل کنید. در این صورت به دست می آوریم. تساوی حاصل معادله ای از یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای برابر است.

در فصل قبل نشان داده شد که با انتخاب یک سیستم مختصات خاص در هواپیما می توانیم خواص هندسیکه نقاط خط مورد نظر را مشخص می کند، به صورت تحلیلی با یک معادله بین مختصات فعلی بیان می شود. بنابراین معادله خط را بدست می آوریم. این فصل به معادلات خط مستقیم نگاه می کند.

برای ایجاد یک معادله برای یک خط مستقیم در مختصات دکارتی، باید به نحوی شرایطی را تنظیم کنید که موقعیت آن را نسبت به محورهای مختصات تعیین می کند.

ابتدا مفهوم ضریب زاویه ای یک خط را معرفی می کنیم که یکی از کمیت های مشخص کننده موقعیت یک خط در یک صفحه است.

بیایید زاویه تمایل خط مستقیم به محور Ox را زاویه ای بنامیم که محور Ox باید با آن بچرخد تا با خط داده شده منطبق شود (یا موازی با آن باشد). طبق معمول، زاویه را با در نظر گرفتن علامت در نظر می گیریم (علامت با جهت چرخش تعیین می شود: خلاف جهت عقربه های ساعت یا در جهت عقربه های ساعت). از آنجایی که چرخش اضافی محور Ox در یک زاویه 180 درجه، دوباره آن را با خط مستقیم تراز می کند، زاویه تمایل خط مستقیم به محور را نمی توان به طور واضح انتخاب کرد (در یک جمله، مضربی از ).

مماس این زاویه به طور منحصر به فرد تعیین می شود (زیرا تغییر زاویه مماس آن را تغییر نمی دهد).

مماس زاویه میل خط مستقیم به محور Ox را ضریب زاویه ای خط مستقیم می گویند.

ضریب زاویه ای جهت خط مستقیم را مشخص می کند (در اینجا بین دو جهت متقابل خط مستقیم تمایز قائل نمی شویم). اگر شیب یک خط صفر باشد، آن خط موازی با محور x است. با ضریب زاویه ای مثبت، زاویه شیب خط مستقیم به محور Ox حاد خواهد بود (در اینجا کوچکترین مقدار مثبت زاویه شیب را در نظر می گیریم) (شکل 39). علاوه بر این، هر چه ضریب زاویه ای بیشتر باشد، زاویه تمایل آن به محور Ox بیشتر می شود. اگر ضریب زاویه ای منفی باشد، آنگاه زاویه تمایل خط مستقیم به محور Ox مات خواهد بود (شکل 40). توجه داشته باشید که یک خط مستقیم عمود بر محور Ox ضریب زاویه ای ندارد (مماس زاویه وجود ندارد).

مسائل مربوط به یافتن مشتق مماس در امتحان دولتی واحد در ریاضیات گنجانده شده است و هر سال در آنجا یافت می شود. در عین حال آمار سال های اخیرنشان می دهد که چنین وظایفی مشکلات خاصی را برای فارغ التحصیلان ایجاد می کند. بنابراین، اگر دانش آموزی انتظار دارد پس از قبولی در آزمون یکپارچه دولتی نمرات مناسبی کسب کند، قطعاً باید نحوه کنار آمدن با مشکلات را از بخش "ضریب زاویه مماس به عنوان مقدار مشتق در نقطه مماس" یاد بگیرد. تهیه شده توسط متخصصان پورتال آموزشی Shkolkovo. دانش آموز با درک الگوریتم حل آنها می تواند با موفقیت بر آزمون گواهینامه غلبه کند.

نکات برجسته

شروع با یک راه حل مشکلات آزمون دولتی یکپارچهدر مورد این موضوع، لازم است تعریف اساسی را یادآوری کنیم: مشتق یک تابع در یک نقطه برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع در این نقطه. این چیزی است معنی هندسیمشتق

تعریف مهم دیگری وجود دارد که باید تجدید شود. به نظر می رسد: ضریب زاویه ای برابر است با مماس زاویه تمایل مماس به محور آبسیسا.

چه چیز دیگری نکات مهمارزش ذکر در این تاپیک را دارد؟ هنگام حل مسائل مربوط به یافتن مشتق در آزمون یکپارچه ایالت، لازم است به یاد داشته باشید که زاویه تشکیل شده توسط مماس می تواند کمتر از 90 درجه یا برابر با صفر باشد.

چگونه برای امتحان آماده شویم؟

برای اطمینان از اینکه وظایف در آزمون یکپارچه ایالت با موضوع "ضریب زاویه ای مماس به عنوان مقدار مشتق در نقطه مماس" به راحتی به شما داده می شود، هنگام آماده شدن برای آزمون نهایی، از اطلاعات مربوط به این استفاده کنید. بخش در پورتال آموزشی Shkolkovo. در اینجا شما مطالب نظری لازم را که توسط متخصصان ما جمع آوری و به وضوح ارائه شده است، پیدا خواهید کرد و همچنین می توانید تمرینات را تمرین کنید.

برای هر کار، به عنوان مثال، مسائل مربوط به موضوع "ضریب زاویه ای مماس به عنوان مماس زاویه میل"، پاسخ صحیح و الگوریتم حل را یادداشت کردیم. همزمان، دانش‌آموزان می‌توانند تمرین‌هایی با سطوح دشواری مختلف را به صورت آنلاین انجام دهند. در صورت لزوم، می توانید کار را در بخش "موارد دلخواه" ذخیره کنید تا بعداً بتوانید راه حل آن را با معلم در میان بگذارید.