صفحه اصلی
سنگ
عدد ماورایی در کلمات ساده. تعالی چیست یا چرا نمی توانیم خودمان را بشناسیم. ببینید «عدد ماورایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست

عدد ماورایی در کلمات ساده. تعالی چیست یا چرا نمی توانیم خودمان را بشناسیم. ببینید «عدد ماورایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست

عدد ماورایی

عددی (واقعی یا خیالی) که هیچ معادله جبری را برآورده نمی کند (به معادله جبری مراجعه کنید) با ضرایب صحیح. بنابراین، اعداد اعداد در مقابل اعداد جبری قرار می گیرند (به عدد جبری مراجعه کنید). وجود T. ch برای اولین بار توسط J. Liouville (1844) ایجاد شد. نقطه شروع لیوویل قضیه او بود که طبق آن ترتیب تقریب کسری گویا با مخرج معین به یک عدد جبری غیرمنطقی معین نمی تواند به طور دلخواه زیاد باشد. یعنی اگر عدد جبری الفمعادله جبری تقلیل ناپذیر درجه را برآورده می کند nبا ضرایب صحیح، پس برای هر عدد گویا c فقط به α ). بنابراین، اگر برای یک عدد غیرمنطقی مفروض α می‌توان مجموعه بی‌نهایتی از تقریب‌های گویا را مشخص کرد که نابرابری داده‌شده را برای هیچ کدام برآورده نمی‌کند. باو n(برای همه تقریب ها یکسان است)، سپس α T. h است. مثالی از چنین عددی می دهد:

گواه دیگری مبنی بر وجود اعداد توسط جی. کانتور (1874) ارائه شد، و اشاره کرد که مجموعه تمام اعداد جبری قابل شمارش هستند (یعنی همه اعداد جبری را می توان مجددا شماره گذاری کرد، به نظریه مجموعه ها مراجعه کنید)، در حالی که مجموعه همه اعداد واقعی قابل شمارش هستند. غیر قابل شمارش است

از این نتیجه می‌شود که مجموعه اعداد غیرقابل شمارش است، و علاوه بر این، اعداد بخش عمده‌ای از مجموعه همه اعداد را تشکیل می‌دهند. مهمترین وظیفه نظریه T. ch این است که بفهمد آیا T. chتوابع تحلیلی

، دارای خصوصیات حسابی و تحلیلی خاصی برای مقادیر جبری استدلال است. مسائلی از این دست از دشوارترین مسائل ریاضیات مدرن هستند. در سال 1873، سی. هرمیت ثابت کرد که عدد نپرو در سال 1882، ریاضیدان آلمانی F. Lindemann نتیجه کلی تری به دست آورد: اگر α یک عدد جبری باشد، پسα - نتیجه لیپدمان به طور قابل توجهی توسط ریاضیدان آلمانی K. Siegel (1930) تعمیم داده شد، که به عنوان مثال، برتری مقدار یک کلاس وسیع از توابع استوانه ای را برای مقادیر جبری استدلال ثابت کرد. در سال 1900، در كنگره رياضي پاريس، دي هيلبرت، در ميان 23 مسئله حل نشده رياضيات، به موارد زير اشاره كرد: يك عدد ماورايي است. α β ، کجا α و β - اعداد جبری و β - یک عدد غیر منطقی، و، به ویژه، عدد e π ماورایی است (مسئله ماورایی اعداد شکل α β اولین بار به صورت خصوصی توسط L. Euler، 1744 به صحنه رفت. یک راه حل کامل برای این مشکل (به معنای مثبت) تنها در سال 1934 توسط A. O. Gelfond u به دست آمد. از کشف گلفوند، به ویژه، چنین استنباط می شود که تمام لگاریتم های اعشاری اعداد طبیعی(یعنی "لگاریتم های جدولی") ماهیت حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند.

روشن: Gelfond A. O.، اعداد متعالی و جبری، M.، 1952.


بزرگ دایره المعارف شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «عدد ماورایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

    عددی که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده نمی کند. اعداد ماورایی عبارتند از: عدد??3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e=2.71828... و دیگران... بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفی

    - (از لاتین transcendere به پاس، فراتر) یک عدد واقعی یا مختلط است که جبری نیست، به عبارت دیگر عددی است که نمی تواند ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد. مطالب 1 خواص 2 ... ... ویکی پدیا

    عددی که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده نمی کند. اعداد ماورایی عبارتند از: عدد π = 3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e = 2.71828... و غیره فرهنگ لغت دایره المعارفی

    عددی که هیچ جبری را برآورده نمی کند. معادله با ضرایب صحیح از جمله: عدد PI = 3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e = 2.71828... و غیره علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

    عددی که ریشه هیچ چند جمله ای با ضرایب صحیح نباشد. دامنه تعریف چنین اعدادی، صفرهای اعداد حقیقی، مختلط و ریشه ای است. وجود و ساخت صریح قطعات واقعی توسط J. Liouville اثبات شد... ... دایره المعارف ریاضی

    معادله ای که جبری نیست. معمولاً اینها معادلاتی هستند که شامل توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، معکوس مثلثاتی هستند، به عنوان مثال: تعریف دقیق تر این است: یک معادله ماورایی یک معادله است ... ویکی پدیا

    عددی تقریباً برابر با 2.718 که اغلب در ریاضیات و علوم طبیعی. به عنوان مثال، هنگامی که یک ماده رادیواکتیو پس از زمان t تجزیه می شود، کسری برابر با e kt از مقدار اولیه ماده باقی می ماند که k یک عدد است،... ... دایره المعارف کولیر

    E یک ثابت ریاضی، پایه لگاریتم طبیعی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر (نباید با اعداد اویلر نوع اول اشتباه گرفت) یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین “e” مشخص می شود... ... ویکی پدیا

    E یک ثابت ریاضی، پایه لگاریتم طبیعی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر (نباید با اعداد اویلر نوع اول اشتباه گرفت) یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین “e” مشخص می شود... ... ویکی پدیا

  • هر عدد حقیقی ماورایی غیرمنطقی است، اما برعکس آن درست نیست. مثلا عدد \sqrt 2- غیر منطقی، اما نه ماورایی: ریشه چند جمله ای است x^2-2(و بنابراین جبری است).
  • ترتیب مجموعه اعداد متعالی واقعی با ترتیب مجموعه ir هم شکل است. اعداد گویا.
  • معیار غیرمنطقی بودن تقریباً هر عدد ماورایی 2 است.

    • نمونه ها

    داستان

    مفهوم عدد متعالی برای اولین بار توسط جی لیوویل در سال 1844 مطرح شد، زمانی که او این قضیه را اثبات کرد که یک عدد جبری را نمی توان خیلی خوب با کسری گویا تقریب زد.

    |heading3= ابزارهای افزودنی
    سیستم های اعداد |heading4= سلسله مراتب اعداد |list4=

    -1,\;0,\;1,\;\ldots اعداد صحیح
    -1,\;1,\;\frac(1)(2),\;\;0(,)12,\frac(2)(3),\;\ldots اعداد گویا
    -1,\;1,\;\;0(,)12,\frac(1)(2),\;\pi,\;\sqrt(2),\;\ldots اعداد واقعی
    -1,\;\frac(1)(2),\;0(,)12,\;\pi,\;3i+2,\;e^(i\pi/3),\;\ldots اعداد مختلط
    1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac(1)(2)k,\;\dots کواترنیون ها 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac(\pi)(3)m,\;\ نقطه ها اعداد ماوراییبیکواترنیون شماره پرتو

    گزیده ای که عدد ماورایی را توصیف می کند

    – چطور می توانی سالم باشی... وقتی از نظر اخلاقی زجر می کشی؟ آیا در زمان ما که انسان احساساتی دارد، می توان آرام ماند؟ - گفت آنا پاولونا. -امیدوارم تمام شب با من هستی؟
    - در مورد تعطیلات فرستاده انگلیسی چطور؟ چهارشنبه است. شاهزاده گفت: "من باید خودم را آنجا نشان دهم." دخترم مرا خواهد برد و خواهد برد.
    - فکر می کردم تعطیلات فعلی لغو شده است. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "artifice commencent a devenir insipides. [اعتراف می کنم، همه این تعطیلات و آتش بازی ها غیر قابل تحمل می شوند.]
    شاهزاده، از روی عادت، مانند ساعت مضاعف، گفت: "اگر آنها می دانستند که شما این را می خواهید، تعطیلات لغو می شد."
    - نه من تورمنتز پاس. به همین دلیل است که باید تصمیم بگیریم؟ شما همه چیز را می دانید. [من را عذاب ندهید.
    - چطوری بهت بگم؟ - شاهزاده با لحن سرد و بی حوصله ای گفت. - Qu "a t on تصمیم؟ On a biryar que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres. [آنها چه تصمیمی گرفتند؟ تصمیم گرفتند که بناپارت کشتی هایش را سوزاند؛ و به نظر می رسد ما نیز ، آماده هستند تا ما را بسوزانند.] - شاهزاده واسیلی همیشه با تنبلی صحبت می کرد، مانند بازیگری که نقش یک نمایشنامه قدیمی را به زبان می آورد، برعکس، با وجود چهل سال زندگی اش، پر از انیمیشن و تکانه بود.
    علاقه‌مند بودن به موقعیت اجتماعی او تبدیل می‌شد و گاهی که حتی نمی‌خواست، برای فریب دادن انتظارات افرادی که او را می‌شناختند، علاقه‌مند می‌شد. لبخند مهار شده ای که دائماً بر چهره آنا پاولونا می زد ، اگرچه با ویژگی های کهنه او مطابقت نداشت ، مانند کودکان خراب ، آگاهی دائمی از کمبود عزیزش را بیان می کرد ، که او نمی خواهد ، نمی تواند و نمی تواند اصلاح کند. خودش
    در وسط گفتگو در مورد اقدامات سیاسی، آنا پاولونا داغ شد.
    - اوه، در مورد اتریش به من نگو! من چیزی نمی فهمم، شاید، اما اتریش هرگز جنگ را نخواسته و نمی خواهد. داره به ما خیانت میکنه روسیه به تنهایی باید ناجی اروپا باشد. نیکوکار ما دعوت بلند خود را می داند و به آن وفادار خواهد بود. این چیزی است که من به آن اعتقاد دارم. حاکم خوب و شگفت انگیز ما بیشترین نقش را در جهان دارد و آنقدر نیکوکار و نیکوکار است که خدا او را رها نمی کند و به ندای خود برای درهم شکستن هیدرای انقلاب که اکنون در شخص وحشتناک تر است عمل می کند. از این قاتل و شرور ما به تنهایی باید کفاره خون صالحان را بدهیم... از شما می پرسم به چه کسی تکیه کنیم؟... انگلیس با روحیه تجاری خود نمی تواند و نمی تواند تمام قد روح امپراتور اسکندر را درک کند. او از پاکسازی مالت خودداری کرد. او می‌خواهد ببیند و به دنبال فکر اساسی اعمال ما باشد. به نووسیلتسوف چه گفتند؟... هیچی. نفهمیدند، نمی توانند از خودگذشتگی امپراتور ما را که هیچ چیز برای خودش نمی خواهد و همه چیز را برای صلاح دنیا می خواهد بفهمند. و چه قولی دادند؟ هیچی. و آنچه که وعده داده بودند محقق نمی شود! پروس قبلاً اعلام کرده بود که بناپارت شکست ناپذیر است و تمام اروپا نمی تواند علیه او کاری انجام دهد ... و من یک کلمه هاردنبرگ یا گائوگویتز را باور نمی کنم. Cette fameuse neutralite prussienne، ce n"est qu"un piege. [این بی طرفی بدنام پروس فقط یک دام است.] من به خدای واحد و به سرنوشت والای امپراتور عزیزمان ایمان دارم. او اروپا را نجات خواهد داد!... - او ناگهان با لبخندی تمسخرآمیز از شور و شوقش ایستاد.

    علاوه بر تقسیم اعداد واقعی به گویا و غیر منطقی، تقسیم دیگری از آنها وجود دارد - به جبری و ماورایی.

    اگر یک عدد واقعی معادله ای از فرم را برآورده کند

    با ضرایب صحیح می گوییم این عدد جبری است. عدد حقیقی که هیچ معادله ای از این نوع را برآورده نمی کند، ماورایی نامیده می شود. ( اعداد مختلطدقیقاً به یک شکل به جبری و ماورایی تقسیم می شوند، اما در ادامه فقط به اعداد واقعی علاقه مند خواهیم بود.)

    به راحتی می توان فهمید که هر عدد گویا جبری است. به عنوان مثال، 5/7 معادله ای از نوع مورد نیاز را برآورده می کند. به طور کلی، هر عدد گویا معادله را برآورده می کند و بنابراین جبری است.

    از آنجایی که هر عدد گویا جبری است، پس هر عدد غیر جبری غیرمنطقی است (به روش 12 از جدول "روش های بیان: اگر A، سپس B" در صفحه 40 نشان داده شده است مراجعه کنید)، یا به شکل راحت تر برای ما: هر عدد ماورایی غیر منطقی است. این تقسیم به صورت شماتیک در شکل 1 نشان داده شده است. 15.

    در این شکل اعداد به عنوان نمونه هایی از اعداد جبری ظاهر می شوند. آنها در واقع جبری هستند، زیرا به ترتیب معادلات جبری زیر را برآورده می کنند:

    از سوی دیگر اعداد به عنوان نمونه هایی از اعداد ماورایی ذکر شده اند. (عدد برابر با 3.14159 ... نسبت محیط یک دایره به طول قطر آن است.) ما نمی توانیم در اینجا اثباتی بر ماورایی این اعداد ارائه دهیم، زیرا آنها مبتنی بر استفاده از روش های بسیار عمیق تر از آن هستند. کسانی که استفاده می کنیم ماورایی اعداد در سال 1882 ایجاد شد، اما ماورایی اعداد نتیجه ای بسیار دیرتر است - فقط در سال 1934 ثابت شد. ریاضیدان بزرگ دیوید هیلبرت زمانی که لیست معروف بیست و سه مسئله خود را اعلام کرد عدد به عنوان مثال مورد استفاده قرار گرفت. در سال 1900 توسط او به عنوان مهمترین مسائل حل نشده ریاضی در نظر گرفته شد. به طور خاص، مشکل هفتم هیلبرت این بود که بفهمد یک عدد جبری است یا ماورایی، اگر معلوم شود که اعداد جبری هستند. (موارد عقلی مستثنی شدند، زیرا در این موارد اثبات جبری بودن عدد بسیار آسان است.) در سال 1934، A. O. Gelfond و T. Schneider مستقل از او ثابت کردند که عدد ماورایی است. ماوراء عدد البته یک مورد خاص از این نتیجه کلی است.

    ماورایی عدد نیز از این نتیجه حاصل می شود. در واقع، اجازه دهید با، و 10 را با a نشان دهیم. به موجب تعریف لگاریتم اعشاری

    اگر عدد جبری و غیرمنطقی بود، طبق قضیه گلفوند- اشنایدر، عدد باید متعالی باشد. چون اینطور نیست، یا عقلی است یا متعالی. اما در بالا نشان دادیم که عدد غیرمنطقی است. بنابراین ماورایی است.

    به طور کلی، از قضیه Gelfond-Schneider چنین برمی‌آید که همه اعدادی که گویا هستند، ماورایی یا گویا هستند. بر اساس آنچه در بند 3 گفته شد (همچنین به تمرین 4 در صفحه 97 مراجعه کنید)، این بدان معنی است که این عدد برای همه معقولات مثبت استعلایی است، به استثنای موارد زیر:

    نباید فراموش کنیم که تمام لگاریتم های مورد بحث در این کتاب اعشاری هستند، یعنی در پایه 10 گرفته شده اند.

    بنابراین، همه اعداد، که در آن هر عدد صحیحی بین 1 و 1000 است، به استثنای ماورایی. از سوی دیگر، مقادیر توابع مثلثاتی مانند عدد که در ابتدای این فصل غیرمنطقی بودن آنها ثابت شد، جبری هستند. نتیجه کلی مربوط به اینجا برای هر عدد گویا به صورت زیر فرموله می شود

    در این بخش باز هم از پادشاهی زیبا و دنج اعداد صحیح که در آن قدم زدیم (تقریباً گفتم سرگردان بودیم) در حین مطالعه تئوری مقایسه ها را ترک خواهیم کرد. اگر تاریخ پیدایش و توسعه دانش بشری در مورد اعداد را دنبال کنیم، یک واقعیت نسبتاً متناقض پدیدار خواهد شد - بشریت تقریباً در تمام تاریخ چند صد ساله خود در عمل از بخش بسیار کوچکی از کل مجموعه اعداد استفاده کرده و از نزدیک مطالعه کرده است. زندگی در طبیعت برای مدت طولانی، مردم از وجود اکثریت قریب به اتفاق اعداد واقعی که دارای خواص شگفت انگیز و اسرارآمیز هستند و اکنون ماورایی نامیده می شوند، کاملاً بی اطلاع بودند. خودتان قضاوت کنید (من مراحل تقریبی توسعه مفهوم عدد واقعی را فهرست می کنم):

    1) یک انتزاع ریاضی مبتکرانه از یک عدد طبیعی که از اعماق هزاران سال می آید.

    نبوغ این انتزاع شگفت انگیز است و اهمیت آن برای توسعه بشریت، شاید حتی از اختراع چرخ نیز فراتر رود. ما آنقدر به آن عادت کرده ایم که دیگر این برجسته ترین دستاورد ذهن بشر را تحسین نمی کنیم. با این حال، سعی کنید برای صحت بیشتر، خود را نه به عنوان یک دانش آموز ریاضی، بلکه تصور کنید. انسان بدوییا مثلاً یک دانشجوی فیلولوژی، دقیقاً وجه اشتراک سه کلبه، سه گاو نر، سه موز و سه اسکنر اولتراسوند را فرموله کنید (ما در اینجا به وجه اشتراک سه همراه نوشیدنی توجه نمی کنیم). توضیح دادن به دیگری غیر از ریاضیات که عدد طبیعی «سه» چیست، کاری تقریباً ناامیدکننده است، اما در حال حاضر یک کودک انسان پنج ساله این انتزاع را در درون خود احساس می کند و می تواند هوشمندانه با آن عمل کند و در عوض از مادرش سه آب نبات می خواهد. از دو.

    2) کسری، یعنی. اعداد گویا مثبت

    کسری ها به طور طبیعی هنگام حل مشکلات مربوط به تقسیم اموال، اندازه گیری قطعات زمین، محاسبه زمان و غیره بوجود می آیند. در یونان باستاناعداد گویا به طور کلی نمادی از هماهنگی جهان پیرامون و جلوه ای از اصل الهی بودند و همه بخش ها تا مدتی متناسب تلقی می شدند، یعنی. نسبت طول آنها باید به عنوان یک عدد گویا بیان می شد، در غیر این صورت یک لوله خواهد بود (و خدایان نمی توانند این اجازه را بدهند).

    3) اعداد منفی و صفر (بر اساس برخی منابع علمی

    اعداد منفی در ابتدا به عنوان بدهی در محاسبات مالی و مبادله ای تعبیر شد، اما بعد معلوم شد که بدون اعداد منفیو در سایر زمینه های فعالیت انسانی هیچ راه گریزی وجود ندارد (کسی که باور نمی کند باید در زمستان به دماسنج بیرون از پنجره نگاه کند). به نظر من عدد صفر در ابتدا نه به عنوان نماد فضای خالی و عدم وجود هر مقدار، بلکه به عنوان نمادی از برابری و کامل بودن روند تسویه حساب عمل می کرد (به همان اندازه که به همسایه خود بدهکار بودید، به آن پس دادید. او، و اکنون صفر است، یعنی حیف است).

    4) اعداد جبری غیر منطقی

    اعداد غیرمنطقی در مکتب فیثاغورث زمانی کشف شدند که می خواستند قطر مربع را با ضلع آن اندازه بگیرند، اما آنها این کشف را در یک راز وحشتناک نگه داشتند - مهم نیست که چقدر دردسر ایجاد می کند! فقط پایدارترین و ثابت‌شده‌ترین دانش‌آموزان به این کشف راه یافتند و از آن به عنوان پدیده‌ای مشمئزکننده تعبیر شد که هماهنگی جهان را نقض می‌کند. اما نیاز و جنگ بشریت را مجبور کرد تصمیم گیری را بیاموزد معادلات جبرینه تنها درجه یک با ضرایب صحیح. پس از گالیله، پرتابه ها به صورت سهمی شروع به پرواز کردند، پس از کپلر، سیارات به صورت بیضی پرواز کردند، مکانیک و بالستیک به علوم دقیق تبدیل شدند و همه جا نیاز به حل و حل معادلاتی بود که ریشه آنها اعداد غیر منطقی بود. بنابراین، باید با وجود ریشه‌های غیرمنطقی معادلات جبری کنار می‌آمدیم، هر چقدر هم که منزجر کننده به نظر برسند. علاوه بر این، روش‌هایی برای حل معادلات مکعبی و معادلات درجه چهارم، کشف شده در قرن شانزدهم توسط ریاضی‌دانان ایتالیایی Scipione del Ferro، Niccolo Tartaglia (تارتالیا نام مستعاری به معنای لکنت‌کننده است، نام واقعی او را نمی‌دانم)، لودویک فراری و رافائل. بومبلی منجر به اختراع اعداد پیچیده کاملاً "ماوراء طبیعی" شد که فقط در قرن نوزدهم به رسمیت شناخته شدند. غیرعقلانی های جبری از قرن شانزدهم به طور محکم در عمل بشری تثبیت شده است.

    در این تاریخ توسعه مفهوم عدد، جایی برای اعداد ماورایی، یعنی. اعدادی که ریشه هیچ معادله جبری با ضرایب گویا یا معادل (پس از تقلیل به مخرج مشترک) نیستند. درست است، حتی یونانیان باستان عدد قابل توجه p را می دانستند، که، همانطور که بعدا مشخص شد، ماورایی است، اما آنها آن را فقط به عنوان نسبت محیط دایره به قطر آن می دانستند. مسئله ماهیت واقعی این عدد برای کسی جالب نبود تا زمانی که مردم مشکل یونان باستان مربع کردن یک دایره را حل نکردند و خود عدد p به نحوی اسرارآمیز در بخش‌های مختلف ریاضیات و علوم طبیعی ظاهر شد.

    تنها در سال 1844 لیوویل اولین نمونه تاریخی یک عدد ماورایی را ساخت و دنیای ریاضی از وجود چنین اعدادی شگفت زده شد. تنها در قرن نوزدهم، گئورگ کانتور باهوش، با استفاده از مفهوم قدرت یک مجموعه، فهمید که اکثریت قاطع اعداد ماورایی روی خط اعداد وجود دارد. تنها در پاراگراف پنجم این کتاب کوچک در نهایت به آن خواهیم پرداخت اعداد ماوراییتوجه شما

    نقطه 24. اندازه گیری و دسته بندی در یک خط.

    در این پاراگراف من برخی از اطلاعات اولیه از تجزیه و تحلیل ریاضی لازم برای درک ارائه بیشتر ارائه خواهم کرد. در ریاضیات، شکل‌های متفاوتی از مفهوم «کوچک بودن» یک مجموعه ابداع شده است. ما به دو مورد از آنها نیاز خواهیم داشت - مجموعه های اندازه گیری صفر و مجموعه های دسته اول Baire. هر دوی این مفاهیم بر مفهوم شمارش پذیری یک مجموعه تکیه دارند. مشخص است که مجموعه اعداد گویا قابل شمارش هستند (| س|= A 0)، و هر مجموعه نامتناهی حاوی یک زیر مجموعه قابل شمارش است، یعنی. مجموعه‌های قابل شمارش «کوچک‌ترین» مجموعه‌های بی‌نهایت هستند. بین هر مجموعه قابل شمارش و مجموعه اعداد طبیعی نیک نقشه برداری دوطرفه وجود دارد، یعنی. عناصر هر مجموعه قابل شمارش را می توان مجددا شماره گذاری کرد، یا به عبارت دیگر، هر مجموعه قابل شمارش را می توان در یک دنباله مرتب کرد. هیچ فاصله ای روی خط یک مجموعه قابل شمارش نیست. این به وضوح از قضیه زیر ناشی می شود.

    قضیه 1 (کانتور).برای هر دنباله ای ( a n) اعداد واقعی و برای هر بازه منیک نکته وجود دارد rدر مورد منبه گونه ای که ص № a nبرای هر کسی nدر مورد ن .

    اثباتفرآیند. یک قطعه (دقیقا یک قطعه، همراه با انتهای آن) می گیریم. من 1 م منبه گونه ای که الف 1 پ من 1. از یک بخش من 1 یک بخش بگیرید من 2 م من 1 طوری که الف 2 پ من 2 و غیره ادامه روند، از بخش من n -1یک بخش بگیرید من n M من n-1 طوری که الف n P من n در نتیجه این فرآیند، دنباله ای از بخش های تودرتو به دست می آوریم من 1 من 2 J...J منن... تقاطع
    که همانطور که از دوره اول می دانیم خالی نیستند، یعنی. حاوی نکته ای است
    . بدیهی است که p# a nجلوی همه n O ن .

    فکر نمی‌کنم خوانندگان قبلاً با این برهان زیبا مواجه نشده باشند (اگرچه در تمرین خود با دانش‌آموزان بسیار مبهم مواجه شده‌ام)، فقط ایده این اثبات بعداً در اثبات قضیه بایر و بنابراین یادآوری آن از قبل مفید است.

    تعریف.بسیاری الفمحکم در فاصله من، اگر با هر زیر بازه از یک تقاطع غیر خالی داشته باشد من. بسیاری الفسفت اگر در داخل تنگ باشد آر. بسیاری الفاگر در هر بازه‌ای روی خط واقعی متراکم نباشد، هیچ جا متراکم نیست. هر بازه در خط شامل یک زیر بازه است که به طور کامل در مکمل قرار دارد الف .

    درک این تعداد بسیار آسان است الفهیچ جا متراکم نیست اگر و فقط اگر مکمل آن باشد یک ўشامل یک مجموعه باز متراکم است. درک این تعداد بسیار آسان است الفهیچ جا تنگ نیست اگر و فقط اگر بسته شود
    هیچ نقطه داخلی ندارد.

    هیچ جا مجموعه های متراکم روی یک خط به طور شهودی کوچک نیستند به این معنا که پر از سوراخ هستند و نقاط چنین مجموعه ای به ندرت روی یک خط قرار می گیرند. اجازه دهید برخی از ویژگی های مجموعه های متراکم هیچ جا را به صورت یک قضیه فرمول بندی کنیم.

    قضیه 2. 1) هر زیر مجموعه ای از یک مجموعه متراکم هیچ جا متراکم نیست.

    2) اتحاد دو (یا هر عدد متناهی) هیچ جا متراکم نیست.

    3) بسته شدن یک مجموعه متراکم هیچ جا متراکم نیست.

    اثبات 1) بدیهی است.

    2) اگر الف 1 و الف 2 هیچ جا متراکم نیستند، سپس برای هر بازه منفواصل زمانی وجود خواهد داشت من 1 M ( من \ الف 1) و من 2 M ( من 1 \ الف 2). یعنی من 2 م من \(الف 1 من الف 2) که به این معنی است الف 1 من الف 2 هیچ جا تنگ نیست.

    3) بدیهی است که هر بازه باز موجود در یک ў، همچنین در
    .

    بنابراین، کلاس مجموعه های متراکم هیچ جا تحت عملیات گرفتن زیر مجموعه ها، عملیات بسته شدن و اتحادیه های محدود بسته می شود. یک اتحاد قابل شمارش از مجموعه های متراکم هیچ جا، به طور کلی، نباید مجموعه ای متراکم در هیچ جا باشد. نمونه ای از این مجموعه اعداد گویا است که در همه جا متراکم است، اما یک اتحاد قابل شمارش از نقاط منفرد است که هر یک از آنها یک عنصر منفرد را تشکیل می دهند که در هیچ جا متراکم نیست. آر .

    تعریف.مجموعه ای که می تواند به عنوان یک اتحادیه محدود یا قابل شمارش از مجموعه های متراکم هیچ جا نمایش داده شود، مجموعه ای از دسته اول نامیده می شود (به گفته بائر). مجموعه ای را که نمی توان به این شکل نشان داد مجموعه دسته دوم نامیده می شود.

    قضیه 3. 1) مکمل هر مجموعه ای از دسته اول روی خط متراکم است.

    2) بدون فاصله در آرمجموعه ای از دسته اول نیست.

    3) محل تلاقی هر دنباله ای از مجموعه های باز متراکم یک مجموعه متراکم است.

    اثباتسه ویژگی فرموله شده در قضیه اساساً معادل هستند. اولی را ثابت کنیم. اجازه دهید

    - نمایش یک مجموعه الفدسته اول به شکل یک اتحاد قابل شمارش از مجموعه های متراکم هیچ جا، من- فاصله دلخواه در مرحله بعد فرآیندی است که در اثبات قضیه کانتور وجود دارد. بیایید یک بخش را انتخاب کنیم (یعنی یک قطعه، همراه با انتهای آن) من 1 M ( من \ الف 1). این را می توان انجام داد زیرا، علاوه بر مجموعه هیچ جا متراکم الف 1 در داخل فاصله منهمیشه یک زیر بازه کامل وجود دارد و به نوبه خود شامل یک بخش کامل در درون خود است. بیایید یک بخش را انتخاب کنیم من 2 M ( من 1 \ الف 2). بیایید یک بخش را انتخاب کنیم من 3 M ( من 2 \ الف 3) و غیره تقاطع قطعات تو در تو
    خالی نیست، از این رو متمم است من \ الفخالی نیست، به این معنی که مکمل یک ўتنگ

    گزاره دوم قضیه مستقیماً از اولی پیروی می کند، گزاره سوم نیز از اولی پیروی می کند، اگر فقط تلاش کنید و به سمت مکمل های یک دنباله از مجموعه های باز متراکم بروید.

    تعریف.کلاسی از مجموعه‌ها که شامل تمام اتحادیه‌های ممکن محدود یا قابل شمارش اعضایش و هر زیرمجموعه‌ای از اعضای آن است، ایده‌آل s نامیده می‌شود.

    بدیهی است که کلاس همه مجموعه‌های قابل شمارش یک ایده‌آل s است. پس از اندکی تفکر، به راحتی می توان فهمید که کلاس تمام مجموعه های دسته اول روی خط نیز یک s-ideal است. مثال جالب دیگری از s -ideal توسط کلاس مجموعه های به اصطلاح تهی (یا مجموعه های اندازه گیری صفر) ارائه شده است.

    تعریف.بسیاری الفم آرمجموعه ای از اندازه گیری صفر نامیده می شود (مجموعه صفر) اگر الفنمی توان بیش از مجموعه ای از بازه های قابل شمارش را پوشش داد، که طول کل آنها کمتر از هر عدد از پیش تعیین شده ای است > 0، یعنی. برای هر e > 0 چنین دنباله ای از فواصل وجود دارد من n، چی
    و e Ѕ I n Ѕ< e .

    مفهوم مجموعه پوچ رسمی‌سازی دیگری از مفهوم شهودی «کوچک بودن» یک مجموعه است: مجموعه‌های پوچ مجموعه‌هایی هستند که طول آن‌ها کوچک است. واضح است که یک نقطه منفرد یک مجموعه تهی است و هر زیر مجموعه ای از یک مجموعه تهی خود یک مجموعه تهی است. بنابراین، این واقعیت که مجموعه‌های تهی یک ایده‌آل s را تشکیل می‌دهند، از قضیه زیر ناشی می‌شود.

    قضیه 4 (لبگ).هر اتحادیه قابل شمارش مجموعه های تهی یک مجموعه تهی است.

    اثباتاجازه دهید یک آی- مجموعه های پوچ، من= 1، 2، ... . سپس برای همه مندنباله ای از فواصل وجود دارد من ij ( j=1، 2، ...) به طوری که
    و
    . مجموعه ای از تمام فواصل منپوشش های ij الفو مجموع طول آنها کمتر از e است، زیرا
    . یعنی الف- مجموعه تهی

    هیچ بازه یا قطعه ای یک مجموعه تهی نیست، زیرا منصفانه

    قضیه 5 (هاینه-بورل).اگر دنباله ای متناهی یا نامتناهی از فواصل من nفاصله را پوشش می دهد من، آن

    اس اس من n Ѕ і Ѕ من Ѕ .

    من در اینجا دلیلی برای این قضیه شهودی بدیهی ارائه نمی کنم، زیرا می توان آن را در هر درس کم و بیش جدی در تحلیل ریاضی یافت.

    از قضیه هاینه-بورل چنین برمی‌آید که ایده‌آل s مجموعه‌های تهی، مانند s-ایده‌آل‌های بیش از مجموعه‌های قابل شمارش و مجموعه‌های دسته اول، شامل بازه‌ها و بخش‌ها نیست. وجه اشتراک این سه ایده آل این است که همه مجموعه های محدود و قابل شمارش را شامل می شوند. علاوه بر این، مجموعه های غیرقابل شمارش دسته اول اندازه گیری صفر وجود دارد. آشناترین نمونه از چنین مجموعه ای مجموعه کامل (*) Cantor است ج M، متشکل از اعدادی که نماد سه تایی آنها یک را ندارد. فرآیند ساخت مجموعه کامل کانتور را به خاطر بسپارید: بخش به سه قسمت مساوی تقسیم می شود و بازه باز میانی به بیرون پرتاب می شود. هر یک از دو سوم باقیمانده قطعه مجدداً به سه قسمت مساوی تقسیم می شود و فواصل باز وسط به بیرون پرتاب می شوند و غیره. بدیهی است که مجموعه باقی مانده پس از این فرآیند هیچ جا متراکم نیست، یعنی. دسته اول به راحتی می توان محاسبه کرد که طول کل قسمت های میانی دور ریخته شده برابر با یک است، یعنی. بااندازه صفر دارد معلوم است که باغیرقابل شمارش، زیرا به طور غیرقابل شمارش بسیاری از دنباله های بی نهایت متشکل از صفر و دو (هر عنصر بابا کسری سه تایی نشان داده می شود که در آن بعد از نقطه اعشار دقیقاً دنباله ای از صفر و دو وجود دارد).

    پیشنهاد می‌کنم خوانندگان خودشان بررسی کنند که مجموعه‌هایی از دسته اول وجود دارند که مجموعه‌های تهی نیستند، و مجموعه‌های تهی هستند که مجموعه‌های دسته اول نیستند (اما اگر برایتان مشکل است که مثال‌های مرتبط بیاورید، ناامید نشوید، فقط این نکته را به قضیه 6 بخوانید).

    بنابراین، تصویر روابط بین سه ایده آل مورد بررسی به شرح زیر است:


    بنابراین، ما دو مفهوم از مجموعه های کوچک را معرفی کرده ایم. هیچ چیز متناقضی وجود ندارد که مجموعه‌ای که به یک معنا کوچک است، به معنای دیگر بزرگ باشد. قضیه زیر این ایده را به خوبی نشان می دهد و نشان می دهد که در برخی موارد، مفاهیم کوچکی که ما معرفی کردیم ممکن است کاملاً متضاد باشند.

    قضیه 6.خط اعداد را می توان به دو مجموعه مکمل تقسیم کرد الفو دربنابراین الفمجموعه ای از دسته اول وجود دارد و دراندازه صفر دارد

    اثباتاجازه دهید الف 1 , الف 2 ,…, الف n ,… – مجموعه اعداد گویا (یا هر زیر مجموعه متراکم قابل شمارش دیگری در همه جا آر). اجازه دهید من ij– فاصله باز به طول 1/2 i+j با مرکز در نقطه یک من. بیایید مجموعه ها را در نظر بگیریم:

    , j =1,2,...;

    ; الف = آر \ ب = ب ў .

    بدیهی است که برای هر e > 0، می توانیم انتخاب کنیم jبه طوری که 1/2 j< e . Тогда

    ,

    از این رو، در- مجموعه تهی

    بعد،
    - زیر مجموعه باز متراکم آرچون این ترکیبی از یک دنباله از فواصل باز است و شامل تمام نقاط منطقی است. این بدان معنی است که مکمل آن است جی جیبنابراین در هیچ جا متراکم نیست
    – مجموعه ای از دسته اول.

    آیا این یک نتیجه شگفت انگیز نیست! از قضیه اثبات شده نتیجه می شود که هر زیرمجموعه خط، به نظر می رسد، می تواند به عنوان اتحادیه ای از مجموعه صفر و مجموعه ای از دسته اول نمایش داده شود. در پاراگراف بعدی به یک پارتیشن خاص نگاه خواهیم کرد آربه دو زیر مجموعه، که یکی از آنها اعداد لیوویل استعلایی است - صفر را اندازه می گیرد، اما طبق نظر بایر از دسته دوم است. عجله کنید به نقطه بعدی!

    مشکلات

    1. یک مثال از دو مجموعه در همه جا متراکم بیاورید که محل تقاطع آنها همه جا متراکم نیست. یک مثال از یک مجموعه متراکم در همه جا که مکمل آن نیز در همه جا متراکم است، بیاورید.

    2. آیا مجموعه ای غیرقابل شمارش از اندازه گیری صفر وجود دارد که در بازه متراکم باشد؟

    5. اجازه دهید مجموعه Eدارای اندازه صفر در قطعه است. آیا بسته شدن آن مجموعه ای از اندازه گیری صفر است؟

    6. اجازه دهید مجموعه Eدر هیچ جا متراکم نیست و اندازه آن صفر است. آیا بسته شدن آن مجموعه ای از اندازه گیری صفر است؟

    7. آیا در همه جا دو مجموعه متراکم غیرقابل شمارش در خطی وجود دارد که تقاطع آنها خالی است؟

    8. مجموعه ای کامل و بدون متراکم از اندازه گیری غیر صفر را روی بخش بسازید.

    9. اجازه دهید س> 0، A N آر. می گویند زیاد است الفصفر دارد ساگر برای هر e > 0 دنباله ای از فواصل وجود داشته باشد، هاسدورف بعدی اندازه گیری می کند من nبه گونه ای که:
    و ½ من n Ѕ < e при всех n. ثابت کنید که خانواده همه مجموعه ها صفر است س-بعدی اندازه گیری هاسدورف یک s -ideal را تشکیل می دهد. در س=1 با کلاس مجموعه های تهی و برای 0 منطبق است< س <1 является его собственным подклассом.

    10. اجازه دهید دنباله fn (x) از توابع پیوسته به صورت نقطه ای به تابع همگرا می شود f (x) در بخش . ثابت کنید که مجموعه نقاط ناپیوستگی تابع f (x) در این بخش مجموعه ای از دسته اول است. **)
    N.S. اخبار فرهنگی

    ورود جدید در هرمتیج

    هنرمند والنتین سرو. "دختری با هلو"

    نویسنده با حساسیت حال و هوای مدل را به تصویر کشیده و به طرز ماهرانه ای منتقل کرده است - یک دقیقه در مورد چیزی غم انگیز فکر می کند: هنوز همان پیشخوان وجود دارد، همان ترازو، شما همیشه آن هلوهای لعنتی را می فروشید، و سال ها می گذرند، و هیچ کس به دستش نمی رسد. متاهل و هنوز دختره...

    ایوان کرامسکوی "ناشناس."

    پس‌زمینه بوم و خود ترکیب سوژه با رنگ‌هایی غم‌انگیز و شدید ارائه شده است. و با ناهماهنگی شدید - ناشناخته مایل به قرمزی جیغ که روح را آشفته می کند xدر معادله 0.48 C x + 456,67 = 8974.

    هنرمند فراموش شده دربار "پرتره یک بانوی عالی رتبه"

    کوه های قفقاز در سمت راست قلعه تامارا است، در سمت چپ یک بانوی زنده ایستاده است، اما آنچه می خورد و چه کسی او را تا این حد بلند کرده است، ناشناخته است.

    مجسمه ساز موخینا. «کارگر و کشاورز دسته جمعی».

    مواد - پنیر فتا.

    هنرمند سالیری. "موتسارت در پیانو."

    هنر به اصطلاح "آماده" ("هنر اشیاء آماده")، زمانی که هنرمند یک شی معمولی را از متن خارج می کند و آن را به یک واقعیت هنری تبدیل می کند. این ترکیب از 2 بطری تشکیل شده است - "Mozart"، در جلوی آن - "Royal".

    هنرمند Vermeer. "دختری آبی پوش"

    تصویری عجیب و غریب. شخصیت های آن به روش اشعه ایکس ارائه شده است. واقعا دختره واقعا آبی

    واسیلی کاندینسکی ” ترکیب N 456642695244962 ” .

    همانطور که می دانید، ایده خلق نقاشی های انتزاعی زمانی به ذهن هنرمند خطور کرد که به پارچه ای که برس هایش را روی آن پاک می کرد نگاه می کرد. پارچه ای که پاهایش را روی آن پاک کرد، او را متقاعد کرد که در راه درستی است. این اثر تصویر دیگری از راگ های معروف است.

    هنرمند مین زدراو.

    پوستر "مرد جوانی که به باسیل تیفوس نگاه می کند، 10000000000 بار بزرگ شده است"

    نقاشی مدودف "سه مخروط".

    فدوتوف "صبحانه یک اشراف".

    بوم. روغن. نان.

    شماره تماس گرفته می شود جبری، اگر ریشه چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد

    a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(یعنی ریشه معادله a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0، کجا a n, یک n-1, ..., یک 1, یک 0--- اعداد صحیح، n 1, a n 0).

    مجموعه اعداد جبری را با حرف نشان می دهیم .

    به راحتی می توان فهمید که هر عدد گویا جبری است. در واقع، ریشه معادله qx-p=0با ضرایب صحیح a 1 = qو a 0 =-p. بنابراین، .

    با این حال، همه اعداد جبری گویا نیستند: به عنوان مثال، عدد ریشه معادله است. x 2 -2=0بنابراین، یک عدد جبری است.

    برای مدت طولانی، یک سوال مهم برای ریاضیات حل نشده باقی ماند: آیا اعداد حقیقی غیر جبری وجود دارند؟ ? تنها در سال 1844 بود که لیویل برای اولین بار مثالی از یک عدد ماورایی (یعنی غیر جبری) ارائه کرد.

    ساختن این عدد و اثبات ماورایی آن بسیار مشکل است. با استفاده از ملاحظاتی در مورد هم ارزی و عدم هم ارزی مجموعه اعداد، می توان قضیه وجود اعداد ماورایی را بسیار ساده تر اثبات کرد.

    یعنی ثابت خواهیم کرد که مجموعه اعداد جبری قابل شمارش هستند. سپس، از آنجایی که مجموعه تمام اعداد حقیقی غیرقابل شمارش است، وجود اعداد غیر جبری را ثابت خواهیم کرد.

    بیایید یک مکاتبه یک به یک بین ایجاد کنیم و برخی از زیر مجموعه ها . این به این معنی خواهد بود - محدود یا قابل شمارش اما از آنجایی که ، آن بی نهایت و در نتیجه قابل شمارش

    بگذارید یک عدد جبری باشد. بیایید همه چند جمله ای ها را با ضرایب صحیح در نظر بگیریم که ریشه آنها . پحداقل درجه (یعنی ریشه هیچ چند جمله ای با ضرایب صحیح درجه کمتر نخواهد بود).

    به عنوان مثال، برای یک عدد گویا، چنین چند جمله ای دارای درجه 1 و برای عددی دارای درجه 2 است.

    بیایید تمام ضرایب چند جمله ای را تقسیم کنیم پتوسط بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها ما یک چند جمله ای به دست می آوریم که ضرایب آن متقابلاً اول هستند (بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها 1 است). در نهایت اگر ضریب پیشرو a nمنفی است، تمام ضرایب چند جمله ای را در ضرب کنید -1 .

    چند جمله ای حاصل (یعنی چند جمله ای با ضرایب صحیح که ریشه آن عددی است که دارای حداقل درجه ممکن، ضرایب هم اول و یک ضریب پیشرو مثبت است) چند جمله ای حداقلی عدد نامیده می شود.

    می توان ثابت کرد که چنین چندجمله ای به طور منحصر به فرد تعیین می شود: هر عدد جبری دقیقاً یک چند جمله ای حداقل دارد.

    تعداد ریشه های واقعی یک چند جمله ای از درجه آن بیشتر نیست. این بدان معنی است که ما می توانیم (مثلاً به ترتیب صعودی) تمام ریشه های چنین چند جمله ای را شماره گذاری کنیم.

    اکنون هر عدد جبری به طور کامل با چند جمله‌ای حداقل آن (یعنی مجموعه ضرایب آن) و عددی که این چند جمله‌ای را از سایر ریشه‌ها متمایز می‌کند، تعیین می‌شود: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).


    بنابراین، برای هر عدد جبری یک مجموعه متناهی از اعداد صحیح را مرتبط کرده‌ایم، و از این مجموعه می‌توان آن را به‌صورت منحصربه‌فرد بازسازی کرد (یعنی مجموعه‌های مختلف با اعداد مختلف مطابقت دارند).

    اجازه دهید همه اعداد اول را به ترتیب صعودی شماره گذاری کنیم (به راحتی می توان نشان داد که تعداد آنها بی نهایت است). یک دنباله بی نهایت می گیریم (pk): p 1 = 2,p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7، ... حال مجموعه ای از اعداد صحیح (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)امکان تطبیق کار وجود دارد

    (این عدد مثبت و منطقی است، اما همیشه طبیعی نیست، زیرا در بین اعداد است یک 0, یک 1, ..., یک n-1، ممکن است منفی باشد). توجه داشته باشید که این عدد یک کسر غیرقابل تقلیل است، زیرا عوامل اول موجود در بسط صورت و مخرج متفاوت است. همچنین توجه داشته باشید که دو کسر تقلیل ناپذیر با صورت و مخرج مثبت مساوی هستند اگر و فقط اگر هر دو صورت آنها مساوی و مخرج آنها مساوی باشند.

    حالا بیایید نگاشت انتها به انتها را در نظر بگیریم:

    (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

    از آنجایی که ما مجموعه های مختلف اعداد صحیح را به اعداد جبری مختلف و اعداد گویا متفاوت به مجموعه های مختلف نسبت داده ایم، بنابراین یک تناظر یک به یک بین مجموعه برقرار کرده ایم. و برخی از زیر مجموعه ها . بنابراین مجموعه اعداد جبری قابل شمارش است.

    از آنجایی که مجموعه اعداد حقیقی غیرقابل شمارش است، وجود اعداد غیر جبری را ثابت کرده ایم.

    با این حال، قضیه وجود نشان نمی دهد که چگونه می توان جبری بودن یک عدد معین را تعیین کرد. و این سوال گاهی برای ریاضیات بسیار مهم است.

    بخش ها