خانه
سنگ
حل معادلات دیفرانسیل معمولی. روش پیکارد. نمونه هایی از حل مسئله در روش Maple Picard برای حل معادلات دیفرانسیل

حل معادلات دیفرانسیل معمولی. روش پیکارد. نمونه هایی از حل مسئله در روش Maple Picard برای حل معادلات دیفرانسیل

این یک روش حل تقریبی است که تعمیم روش تقریب های پی در پی است (به فصل V ، § 2 مراجعه کنید). مسئله کوشی را برای معادله مرتبه اول در نظر بگیرید

با یکپارچه سازی معادله دیفرانسیل ، این مشکل را با معادله انتگرال معادل نوع Volterra جایگزین می کنیم

با حل این معادله انتگرال با روش تقریب های پی در پی ، ما یک فرایند پیکارد تکراری را بدست می آوریم

(راه حل تقریبی ، بر خلاف راه حل دقیق ، با y نشان داده می شود). در هر بار تکرار این فرایند ، ادغام یا دقیقاً یا با روشهای عددی که در فصل چهارم توضیح داده شده است ، انجام می شود.

اجازه دهید همگرایی روش را اثبات کنیم ، با این فرض که در برخی از حوزه های محدود ، سمت راست مداوم بوده و نسبت به متغیر و شرایط لیپشیتز راضی است.

از آنجا که منطقه محدود است ، روابط راضی است اجازه دهید خطای راه حل تقریبی را با تفریق (8) از (9) و با استفاده از شرط لیپشیتز نشان دهیم ،

حل این رابطه عود و در نظر گرفتن اینکه پی در پی پیدا می کنیم

بنابراین برآورد خطا را دنبال می کند

مشاهده می شود که در ، یعنی ، محلول تقریبی به طور یکنواخت به محلول دقیق در کل منطقه همگرا می شود.

مثال. ما برای پیوند معادله (3) از روش پیکارد برای مسئله کوشی استفاده می کنیم که حل آن بر اساس توابع ابتدایی بیان نشده است.

در این مورد ، درجه چهارم (9) دقیقاً محاسبه می شود ، و ما به راحتی دریافت می کنیم

مشاهده می شود که At ، این تقریب ها به سرعت به هم نزدیک می شوند و محاسبه محلول را با دقت بالا امکان پذیر می سازد ،

این مثال نشان می دهد که اگر از انتگرال (9) بر حسب توابع ابتدایی محاسبه شود ، می توان از روش پیکارد استفاده کرد. اگر سمت راست معادله (7) پیچیده تر باشد ، به طوری که این انتگرال ها باید به صورت عددی یافت شوند ، روش پیکارد چندان مناسب نیست.

روش پیکارد را می توان به آسانی به سیستم معادلات با روش توصیف شده در بخش 2 تعمیم داد. با این حال ، در عمل ، هرچه ترتیب سیستم بیشتر باشد ، کمتر محاسبه دقیق انتگرال در (9) امکان پذیر است ، که محدودیت کاربرد روش در این مورد

بسیاری از روشهای تقریبی دیگر نیز وجود دارد. به عنوان مثال ، S.A. Chaplygin روشی را پیشنهاد کرد که تعمیم روش جبری نیوتن به مورد است معادلات دیفرانسیل... روش دیگری برای تعمیم روش نیوتن توسط L. V. Kantorovich در سال 1948 پیشنهاد شد. در هر دوی این روشها و همچنین در روش پیکارد ، تکرارها با استفاده از درجه چهارم انجام می شود. با این حال ، مربع در آنها بسیار بیشتر است نمای پیچیدهاز (9) ، و به ندرت در توابع ابتدایی استفاده می شود. بنابراین ، این روشها تقریباً هرگز استفاده نمی شوند.


هدف کار:درک دانش آموزان از استفاده از کنترل از راه دور در زمینه های مختلف ؛ برای القای توانایی حل مشکل کوشی برای DE در" = f(ایکس,y) در بخش [ آ, ب] برای یک شرط اولیه داده شده در 0 = f(ایکس 0) با روشهای پیکارد ، اویلر ، رانگه - کوتا ، آدامز ؛ مهارت های بررسی نتایج به دست آمده با کمک برنامه های کاربردی را توسعه دهید.

روش پیکارد

مثال 5.1

: در ساعت= 0.1 با روش پیکارد با یک مرحله ساعت.

در گزارش ، ارائه دهید: پیشرفت کار ، برنامه - عملکرد ، خطا ، تصویر گرافیکی راه حل.

راه حل.

1. داده ها را وارد کنید (شکل 5.1)

آ= 1,7 b = 2,7

ساعت = 0,1

y 0 = 5,3 من = 0..n

شکل 5.1.تنظیم داده های اولیه

2. ما یک تابع تعریف می کنیم که مقادیر مشتق اول را با توجه به متغیر برمی گرداند در(شکل 5.2).

fاستخراج ( y) =

شکل 5.2.تابعی که مقدار اولین مشتق یک تابع را برمی گرداند

3. بیایید یک تابع بسازیم که محلول DE را با متد بر می گرداند

پیکارد اینجا: f -عملکرد اصلی ؛ f مشتق –

مشتق تابع نسبت به در; آ,ب- انتهای بخش ؛ ساعت- گام؛ در 0 –

مقدار اولیه متغیر در.

4. اجازه دهید راه حل DE را به روش پیکارد بیابیم (شکل 5.3).

fnPikan (fn ، fn مشتق ، a ، b ، h ، y0) =

برنج. 5.3تنظیم یک تابع که یک راه حل را به معادله دیفرانسیل بر می گرداند

به روش پیکارد (فایل fnPikar.mcd)

fnPikar (f ، f مشتق ، a ، b ، 0.1 ، y0) =

7.78457519486 10 -11
5,3
5,46340155616
5,62650688007
5,78947945853
5,95251650231
6,11584391144
6,27971330675
6,44440084325
6,61020759752
6,77746140952
6,94652015221

برنج. 5.4یافتن راه حل عددی DE با روش پیکارد

روش اویلر و تغییرات آن

مثال 5.2.

در(1.7) = 5.3 و مرحله ادغام ساعت= 0.1 با روش اویلر و روش اویلر بهبود یافته با مراحل ساعتو ساعت/2.

راه حل.

پیشرفت حل مسئله با روش اویلر در شکل نشان داده شده است. 5.5 - 5.7

a = 1.7 b = 2.7 y0 = 5.3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0.05

شکل 5.5.قطعه ای از کاربرگ Matthcad با راه حل

معادلات به روش اویلر با یک گام ساعتو ساعت/ 2 و گرافیکی

تجسم روش اولر

1. بیایید برنامه ای بسازیم که روش اولر را پیاده سازی کند (شکل.

شکل 5.6.لیست برنامه ها پیاده سازی روش اولر

2. راه حل DE را به روش اویلر بدست می آوریم (شکل 5.7.).

ES h = eyler (f، a، b، h، y0)

ES h2 = eyler (f، a، b ،، y0)

برنج. 5.7یافتن راه حل عددی DE با روش اویلر

توجه داشته باشید

تابعی که با روش بهبود یافته اویلر ، راه حل را به معادله دیفرانسیل باز می گرداند ، باید بطور مستقل کامپایل شود.

برنج. 5.8راه حل کنترل از راه دور با روش بهبود یافته

اویلر با مراحل ساعتو ساعت/2

5.3 روش Runge-Kutta

در عمل ، بیشتر از روش Runge-Kutta مرتبه چهارم استفاده می شود.

مثال 5.3.

حل مسئله کوشی برای DE در قطعه ای برای NE معین در(1.7) = 5.3 و مرحله ادغام ساعت= 0.1 توسط Runge - روش کوتا از مرتبه چهارم با یک مرحله ساعتو 2 ساعت.

در گزارش ، ارائه دهید: پیشرفت کار ، عملکرد برنامه ، خطا ، یک تصویر گرافیکی از راه حل و برآورد خطای تقریب.

راه حل.

1. داده های وظیفه را وارد کنید (شکل 5.9).

آ = 1,7 ب = 2,7

ساعت = 0,1

y 0 = 5,3

من= 0..n

شکل 5.9.تنظیم داده های اولیه

2. بیایید یک تابع بسازیم که حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با روش Runge - Kutta برمی گرداند. اینجا: fn – عملکرد از پیش تعیین شده; آ, ب- انتهای بخش ؛ ساعت- گام؛ y 0 مقدار اولیه تابع است.

3. اجازه دهید راه حل DE مرتبه اول را با استفاده از توابع داخلی Mathcad بیابیم (شکل 5.10).

RK h = fnRungeKutta (f، a، b، h، y0)

RK 2h = fnRungeKutta (f، a، b، 2h، y0)

برنج. 5.10لیست عملکردی که عددی را برمی گرداند

راه حل DE با روش Runge - Kutta

روش آدامز

مثال 5.4.

حل مسئله کوشی برای DE در قطعه ای برای NE معین در(1.7) = 5.3 و مرحله ادغام ساعت= 0.1 با روش آدامز با یک مرحله ساعت.

در گزارش حاضر ، شمارش دستی ، برنامه - عملکرد ، خطا ، تصویر گرافیکی راه حل و برآورد خطای تقریب.

راه حل.

1. چهار عدد اول را با استفاده از فرمول Runge - Kutta پیدا کنید (شکل 5.11).

y i = fnRungeKutta (f، a، b، h، y0) i

برنج. 5.11محاسبه چهار مقدار اول راه حل عددی با استفاده از فرمول Runge - Kutta

2. بیایید یک تابع بسازیم که روش Adams را پیاده سازی می کند (شکل 2.10.3). اینجا آ, ب- انتهای بخش ؛ y 1 - مقدار اولیه تابع ؛ ساعت- گام.

برنج. 5.12تابعی که یک حل عددی را برمی گرداند

DE به روش آدامز

3. یک تصویر گرافیکی از محلول DE با روشهای مختلف در شکل نشان داده شده است. 5.13

برنج. 5.13تجسم راه حل DE با روشهای مختلف

سوالات مربوط به موضوع

1. حل مشکل کوشی برای DE درجه یک چیست؟

2. تفسیر گرافیکی حل عددی DE.

3. روشهای حل DE چگونه است ، بسته به

اشکال ارائه تصمیم؟

4. اصل اصل فشاری چیست

نقشه برداری؟

5. فرمول مکرر روش پیکارد.

6. اصل روش خط چند ضلعی اویلر چیست؟

7. کاربرد ، چه فرمولهایی به شما اجازه می دهد تا مقادیر را بدست آورید

از عملکرد مورد نظر با روش اولر؟

8. تفسیر گرافیکی روش اویلر و

روش اویلر را بهبود بخشید. تفاوت آنها در چیست؟

9. اصل روش Runge-Kutta چیست؟

10. نحوه تعیین تعداد ارقام صحیح در یک عدد ،

که به روش اویلر برای معادله دیفرانسیل راه حلی است ،

روش بهبود یافته اویلر ، پیکارد ، رانگه -

تخصیص برای کارهای آزمایشگاهی شماره 5

وظیفه 5.1

مشکل کوشی را برای DE حل کنید y’ = f(ایکس, y) در بخش [ آ, ب] برای NU داده شده در(آ) = باو مرحله ادغام ساعت(پارامترهای اولیه در جدول 2.10.1 آورده شده است):

1) روش اویلر و روش بهبود یافته اویلر با یک مرحله ساعتو ساعت/2;

2) روش Runge-Kutta با یک مرحله ساعتو 2 ساعت;

3) روش آدامز ؛

4) به روش پیکارد.

تصمیم باید شامل: دوره کار ، برنامه روش ، راه حل گرافیکیمعادلات و برآورد خطای تقریب در اعداد ، 5 رقم را بعد از اعشار بگذارید.

جدول 5.1.گزینه هایی برای تکمیل وظایف کار مستقل

№ f ( ایکس, y) [آ, ب] y 0 ساعت
3NS 2 + 0,1هو در(0) = 0,2 0,1
0,185(ایکس 2 + cos (0.7 ایکس)) + 1,843y در(0,2) = 0,25 0,1
در(1,6) = 4,6 0,1
در(0,2) = 1,1 0,1
در(1,4) = 2,5 0,1
در(1,7) = 5,3 0,1
در(2,6) = 3,5 0,2
در(2) = 2,3 0,1
1.6 + 0.5y 2 در(0) = 0,3 0,1
در(1,8) = 2,6 0,1
در(2,1) = 2,5 0,1
ه 2ایکس + 0,25y 2 در(0) = 2,6 0,05
[- 2; -1] در(-2) = 3 0,1
0.133 ( x 2+ گناه (2 ایکس)) + 0,872y در(0,2) = 0,25 0,1
گناه ( ایکس + y) +1,5 در(1,5) = 4,5 0,1
در(0,4) = 0,8 0,1
2,5ایکس+ cos ( y + 0,6) در(1) = 1,5 0,2
cos (1.5 y +ایکس) 2 + 1,4 در(1) = 1,5 0,1
در(1,5) = 2,1 0,05
cos y + 3ایکس در(0) = 1,3 0,1
cos (1.5 ایکس – y 2) – 1,3 [-1; 1] در(-1) = 0,2 0,2
در(1,6) = 4,6 0,1
ه -(y – 1) + 2ایکس در(0) = 0,3 0,05
1 + 2yگناه ایکس – y 2 در(1) = 0 0,1
در(0) = 0 0,1
0,166(ایکس 2 + گناه (1،1 ایکس)) + 0,883y در(0,2) = 0,25 0,1
در(1,7) = 5,6 0,1
در(1,4) = 2,5 0,1
در(0,6) = 0,8 0,1
در(1) = 5,9 0,1
1 + 0,8yگناه ایکس - 2y 2 در(0) = 0 0,1
در(0,5) = 1,8 0,1
در(1,2) = 1,8 0,1
گناه 1 + 2.2 ایکس + 1,5y 2 در(0) = 0 0,1
در(0) = 0 0,1
در(0) = 0 0,1
در(0) = 0 0,1
0,2ایکس 2 + y 2 در(0) = 0,8 0,1
ایکس 2 + y در(0) = 0,4 0,1
xy + 0,1y 2 در(0) = 0,5 0,1

ادبیات

ادبیات اصلی:

الکسف G.V. ، Voronenko B.A. ، Lukin N.I. روش های ریاضی در

مهندسی غذا: راهنمای مطالعه - SPb.: "Lan" ، 2012. - 212 ص.

الکسف G.V. روشهای ریاضی در مهندسی: کتاب درسی-روش. کمک هزینه - SPb.: NRU ITMO ؛ IHiBT. 2012 .-- 39 ص

الکسف G.V. ، Kholyavin I.I. مدل سازی و بهینه سازی اقتصادی و ریاضی عددی: آموزشبرای دانشگاهها ، GIEFPT ، 2011 ، 211 ص.

ماکاروف E.G. Mathcad: دوره آموزشی. - SPb.: پیتر ، 2009.- 384 ص.

ادبیات اضافی :

پورشنف S.V. ، بلنکووا I.V. روشهای عددی بر اساس Mathcad -

SPb.: BHV-Petersburg ، 2005.-464 ص.

Agapev B.D.، Belov V.N.، Kesamanly F.P.، Kozlovsky V.V.، Markov S.I. پردازش داده های تجربی: کتاب درسی. دستی / SPbSTU. SPb.، 2001.

گورلووا G.V. نظریه احتمالات و آمار ریاضی در مثالها و مسائل با استفاده از Excel. - م.: ققنوس ، 2005.- 476 ص.

Adler Yu.P. ، Markova E.V. ، Granovsky Yu.V. برنامه ریزی یک آزمایش در جستجوی شرایط مطلوب.-مسکو: ناوکا ، 1976

V.I. Asaturyan نظریه برنامه ریزی آزمایش.-م.: رادیو و ارتباطات ، 1983

برودسکی V.Z. مقدمه ای بر برنامه ریزی فاکتوریل یک آزمایش.-م .: ناوکا ، 1976

دمیدنکو E.Z. رگرسیون خطی و غیر خطی.-م.: امور مالی و آمار ، 1981

Krasovsky G.I. ، Filaretov G.F. برنامه ریزی یک آزمایش.-مینسک: BSU ، 1982

مارکووا E.V. ، Lisenkov A.N. طرح های ترکیبی در مشکلات آزمایش چند عاملی.-مسکو: ناوکا ، 1979

Frolkis V.A. بهینه سازی خطی و غیر خطی.-SPb. 2001.306 ص.

کوریتسکی B.Ya. جستجو کردن راه حل های بهینهبا استفاده از Excel 7.0.-SPb.: BHV ، 1997،384s

نرم افزارو منابع اینترنتی:

http://www.open-mechanics.com/journals - فرآیندها و دستگاههای تولید غذا

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - مکانیک سیالات و گاز ، هیدرولیک و ماشینهای هیدرولیک

http://elibrary.ru/defaultx.asp - کتابخانه الکترونیکی علمی "Elibrary"

معرفی

1. کار آزمایشگاهی شماره 1: نظریه محاسبات تقریبی

1.1 خطاهای مطلق و نسبی

1.2 گرد کردن دقت اعداد

1.3 خطاهای عملیات محاسباتی

1.4 خطاهای عملکردهای ابتدایی

1.5 راه مرزها

1.6 مشکل معکوس نظریه خطاها

1.7 سوالات مربوط به موضوع

1.8 وظایف برای کارهای آزمایشگاهی شماره 1

2. کار آزمایشگاهی شماره 2: روشهای حل عددی

معادلات مقیاس پذیر

1.1 روش آکورد

1.2 روش مماس

1.3 روش تکرار ساده

1.4 سوالات مربوط به موضوع

1.5 وظایف برای کارهای آزمایشگاهی شماره 2

3. کار آزمایشگاهی شماره 3: روش های عددی برای حل سیستم ها

معادلات غیر خطی

3.1 روش نیوتن

3.2 سوالات مربوط به موضوع

3.3 تخصیص برای کارهای آزمایشگاهی شماره 3

4. آزمایشگاه شماره 4: ادغام عددی

4.1 روش مستطیل ها

4.2 روش سیمپسون

4.3 روش ذوزنقه

4 .4 روش مونت کارلو

4.5 سوالات مربوط به موضوع

4.6 تخصیص برای کارهای آزمایشگاهی شماره 4

5. کار آزمایشگاهی شماره 5: حل معادلات دیفرانسیل معمولی

5.1 روش پیکارد

5.2 روش اویلر و تغییرات آن

5.3 روش Runge-Kutta

  • شماره بلیط 5.3 مدل گسترده ای از شیء کنترل ویژگیهای گروههای متغیرها. تصمیم مدیریت از دیدگاه مدل مشکل متغیرهای "خروجی" و راه های حل آن

    • این روش نماینده کلاس روشهای تقریبی است

    ایده این روش بسیار ساده است و به یک روش متوالی خلاصه می شود.

    تقریبی برای حل معادله انتگرال ، که به آن

    معادله دیفرانسیل اصلی داده شده است.

    بگذارید مشکل کوشی مطرح شود

    ,

    اجازه دهید معادله نوشته شده را ادغام کنیم

    . (5.2)

    روش تقریبهای پی در پی روش پیکارد طبق طرح زیر پیاده سازی شده است

    , (5.3)

    مثال ... معادله پیکارد را حل کنید

    ,

    راه حل این معادله بر اساس توابع ابتدایی بیان نشده است.

    ,

    مشاهده می شود که در ، سری به سرعت همگرا می شود. اگر می توان از انتگرال ها به صورت تحلیلی استفاده کرد ، این روش مناسب است.

    اجازه دهید همگرایی روش پیکارد را اثبات کنیم. اجازه دهید در برخی محدود

    از حوزه ، سمت راست پیوسته است و علاوه بر این ، با توجه به متغیر ، شرایط Lipschitz را برآورده می کند ، به عنوان مثال

    جایی که ثابت است

    به دلیل محدودیت دامنه ، نابرابری ها

    با کسر فرمول (5.2) از (5.3) ، ماژول های راست و چپ را بدست می آوریم

    ,

    .

    در نهایت ، با استفاده از شرط تداوم Lipschitz ، به دست می آوریم

    , (5.4)

    خطای راه حل تقریبی کجاست

    یک کاربرد ثابت از فرمول (5.4) در زنجیره روابط زیر را با در نظر گرفتن این واقعیت ارائه می دهد

    ,

    ,

    .

    زیرا ، پس ما داریم

    .

    با جایگزینی فرمول استرلینگ ، در نهایت برآوردی از خطای محلول تقریبی بدست می آوریم

    . (5.5)

    از (5.4) بر می آید که در ، مدول خطا ، یعنی

    محلول تقریبی به طور یکنواخت به محلول دقیق همگرا می شود.

    5.2.2 روشهای Runge-Kutta

    این روشها عددی هستند.

    در عمل ، از روشهای Runge-Kutta استفاده می شود که پس از

    انبوهی از طرحها (روشها) با ترتیبهای مختلف دقت. اکثر

    طرح ها (روش ها) از مرتبه دوم و چهارم استفاده می شود. آنها و ما

    زیر را در نظر بگیرید

    ابتدا برخی مفاهیم و تعاریف را معرفی می کنیم. مش روشن است

    یک بخش مجموعه ای ثابت از نقاط این بخش است.

    تابع تعریف شده در این نقاط ، تابع شبکه نامیده می شود.

    مختصات نقاط شرایط را برآورده می کند

    نقاط گره های شبکه هستند. بسیاری از نقاط با یک شبکه یکنواخت ترسیم می شوند.

    , ,

    مرحله شبکه کجاست

    هنگام حل معادلات دیفرانسیل با روش تقریبی ، مسئله اصلی همگرایی است. همانطور که در روشهای تفاوت استفاده می شود ، مفهوم همگرایی at به طور سنتی بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. ما مقادیر تابع شبکه را نشان می دهیم ، مقادیر حل دقیق معادله دیفرانسیل (5.1) در گره - (مقادیر تقریبی هستند). همگرایی به معنی موارد زیر است. ما یک نقطه را ثابت می کنیم و مجموعه ای از شبکه ها را به گونه ای می سازیم که (که در آن). سپس روش عددی در نظر گرفته می شود که در نقطه ای همگرایی دارد

    در ،. اگر این روش در هر نقطه همگرا شود ، روی یک قطعه همگرا می شود. گفته می شود که در صورتی که بتوان عددی به این شکل پیدا کرد ، از روش نظم بیستم برخوردار است در

    اجازه دهید بیشتر مفهوم خطای باقیمانده یا تقریب یک معادله تفاوت را جایگزین یک معادله دیفرانسیل معین با حل معادله اصلی کنیم ، یعنی. باقی مانده نتیجه جایگزینی حل دقیق معادله (5.1) به معادله تفاوت است. به عنوان مثال ، (5.1) را می توان با ساده ترین معادله تفاوت زیر جایگزین کرد

    , .

    سپس باقی مانده با عبارت زیر تعیین می شود

    .

    به طور کلی ، راه حل تقریبی با همخوانی ندارد ؛ بنابراین ، نقطه باقیمانده برابر صفر نیست. تعریف زیر ارائه شده است: روش عددی معادله دیفرانسیل اصلی را در صورت تقریبی تقریبی می کند و در صورت .

    ثابت شده است که ترتیب دقت روش عددی برای حل معادله دیفرانسیل با ترتیب تقریب تحت مفروضات نسبتاً کلی مطابقت دارد.

    اکنون به تجزیه و تحلیل طرح های Runge-Kutta می پردازیم. اجازه دهید ابتدا به

    طرح های مرتبه دوم دقت

    با استفاده از فرمول تیلور ، معادله دیفرانسیل را حل کنید

    (5.1) را می توان به صورت زیر نشان داد

    , (5.6)

    جایی که نشان داده شده است ، ,.

    توجه داشته باشید که طبق (5.1) ,.

    مشتق به شرح زیر است

    ,

    جایی که هنوز مقادیر ناشناخته ای وجود دارد. بگذار باشد

    اجازه دهید مقدار تقریبی محلول را در گره شماره گذاری شده نشان دهیم (این راه حل است که پس از محدود کردن سری به شرایط با ترتیب بالاتر از دوم بدست می آید).

    پارامترهای وارد شده در اینجا منوط به تعریف هستند.

    با گسترش سمت راست در یک سری Taylor و کاهش شرایط مشابه ، دریافت می کنیم

    همواره

    شرط انتخاب پارامترها و اجازه دهید نزدیکی عبارت را تعیین کنیم

    (5.7) به سری (5.6) ، سپس

    , ,.

    یک پارامتر رایگان باقی می ماند. بگذار آن وقت باشد

    , ,

    و در نهایت از (5.7) ، با در نظر گرفتن روابط پیدا شده برای و

    رابطه (5.8) یک خانواده یک پارامتری از دو فرمول Runge-Kutta را توصیف می کند.

    در ادبیات تخصصی ثابت شده است که اگر پیوسته باشد و به مشتقات دوم خود متصل باشد ، راه حل تقریبی طرح (5.8) به طور یکنواخت به محلول دقیق با خطا همگرا می شود. ، یعنی طرح (5.8) دارای مرتبه دوم دقت است.

    در محاسبات ، از فرمول (5.8) برای مقادیر پارامتر استفاده می شود ،.

    از (5.8) مشتق می شویم

    کاربرد فرمول (5.9) به دنباله مراحل زیر کاهش می یابد:

    1. مقدار عملکرد به طور تقریبی محاسبه می شود (طبق طرح خط شکسته)

    2. تعیین شیب منحنی انتگرال در نقطه ()

    3. مقدار متوسط ​​مشتق تابع را در مرحله پیدا کنید

    4. مقدار تابع در گره () -th محاسبه می شود

    این طرح دارای نام خاصی "پیش بینی کننده - اصلاح کننده" است.

    طبق (5.8) ، به دست می آوریم

    مشکل از طریق مراحل زیر حل می شود:

    1. مقدار تابع در نیم گره محاسبه می شود

    .

    2. مقدار مشتق را در گره تعیین کنید

    .

    3. مقدار تابع را در گره () -th پیدا کنید

    علاوه بر طرح های دو دوره ای که در بالا در نظر گرفته شد ، طرح های Runge-Kutta از درجه چهارم دقت در تمرین محاسبات گسترده است. در زیر فرمول های مربوطه بدون مشتق آورده شده است

    (5.10)

    طرح هایی با تعداد زیادی از اعضا عملاً استفاده نمی شوند. پنج-

    فرمول های اصطلاحی مرتبه چهارم دقت را ارائه می دهند ، فرمول های شش مدت مرتبه ششم دارند ، اما فرم آنها بسیار پیچیده است.

    خطاهای طرح های Runge-Kutta با حداکثر تعیین می شود

    مقادیر مشتقات مربوطه

    برآورد خطا برای مورد خاص حق آسان است

    بخشهایی از معادله دیفرانسیل

    .

    در این حالت ، راه حل معادله را می توان به درجه چهار و کاهش داد

    همه طرحهای حل اختلاف به فرمولهای انتگرال عددی تبدیل می شوند

    جیره بندی. به عنوان مثال ، طرح (5.9) شکل می گیرد

    ,

    یعنی دارای فرمول ذوزنقه ای است و طرح (5.10) به طرح تبدیل می شود

    که فرمول سیمپسون با یک گام است.

    برآوردهای خطای عمده برای فرمول ذوزنقه و سیمپسون شناخته شده است (بخش 3.2 را ببینید). از (3.4) و (3.5) مشاهده می شود که دقت طرح های Runge-Kutta بسیار زیاد است.

    انتخاب یکی از طرحهای فوق برای حل یک مشکل خاص

    دادن با ملاحظات زیر تعیین می شود. اگر تابع در

    سمت راست معادله پیوسته و محدود است و همچنین پیوسته و

    مشتقات چهارم آن محدود است ، سپس بهترین نتیجه به دست می آید -

    با استفاده از طرح (5.10). در صورتی که تابع

    مشتقات ذکر شده در بالا ، محدود کننده (چهارم) را ندارد

    طرح (5.10) را نمی توان به دست آورد ، و به نظر می رسد که مصلحت است

    استفاده از طرح های ساده تر

    علاوه بر طرح های Runge-Kutta ، روش های چند مرحله ای نیز کاربردی هستند که می توان آنها را با سیستم معادلات زیر شرح داد.

    جایی که ، و ضرایب عددی هستند ، ,.

    طبق این معادله ، محاسبه با شروع می شود. در این مورد ، رابطه فرم را بدست می آوریم

    آن ها برای شروع شمارش ، باید مقادیر اولیه داشته باشید. این مقادیر باید با روش دیگری محاسبه شوند ، به عنوان مثال ، روش Runge-Kutta.

    در بین روشهای چند مرحله ای ، متداول ترین روش آدامز است که طرح پیاده سازی آن از (5.11) برای و برای :

    .

    وقتی ، روش آدامز صریح ، اما ضمنی است.

    بخش ها