برو به خانه عدد ماورایی

- یک عدد مختلط که جبری نباشد، یعنی ریشه هیچ چند جمله ای غیر صفر با ضرایب گویا نباشد.

وجود اعداد متعالی برای اولین بار توسط J. Liouville در سال 1844 مشخص شد. او همچنین اولین نمونه های این اعداد را ساخت. لیوویل مشاهده کرد که اعداد البریک را نمی توان «خیلی خوب» با اعداد گویا تقریب زد. یعنی قضیه لیوویل بیان می‌کند که اگر یک عدد جبری ریشه چند جمله‌ای درجه با ضرایب گویا باشد، برای هر عدد گویا نابرابری زیر برقرار است: جایی که ثابت فقط به از این بیانیه بر می آیدشواهد کافی

ماورایی: اگر عددی به گونه ای باشد که برای هر ثابت، مجموعه نامتناهی از اعداد گویا وجود داشته باشد که نابرابری ها را برآورده کند.

که ماورایی است. متعاقباً چنین اعدادی اعداد لیوویل نامیده شدند. نمونه ای از چنین عددی است

گواه دیگری بر وجود اعداد ماورایی توسط جی. کانتور در سال 1874 بر اساس نظریه مجموعه ای که او ایجاد کرد به دست آورد. کانتور ثابت کرد که مجموعه اعداد جبری قابل شمارش است و مجموعه اعداد حقیقی غیرقابل شمارش است که به این معنی است که مجموعه اعداد ماورایی غیرقابل شمارش است. با این حال، برخلاف برهان لیوویل، این استدلال‌ها به ما اجازه نمی‌دهند که حداقل یکی از این عددها را مثال بزنیم.

کار لیوویل منجر به ایجاد بخش کاملی از نظریه اعداد ماورایی شد - نظریه تقریب اعداد جبری توسط اعداد گویا یا به طور کلی اعداد جبری. قضیه لیوویل در آثار بسیاری از ریاضیدانان تقویت و تعمیم یافت. این امکان ساخت نمونه های جدیدی از اعداد ماورایی را فراهم کرد. بنابراین، K. Mahler نشان داد که اگر یک چند جمله‌ای غیر ثابت است که برای همه اعداد طبیعی مقادیر صحیح غیرمنفی می‌گیرد، پس برای هر عدد طبیعی، جایی که عددی در سیستم اعداد ریشه‌ای نوشته شده است، ماورایی است، اما شماره لیوویل نیست به عنوان مثال، با و نتیجه ظریف زیر را دریافت می کنیم: عدد

در سال 1873، سی. هرمیت با استفاده از ایده های دیگر، ماورایی عدد نپر (پایه لگاریتم طبیعی) را ثابت کرد:

با توسعه ایده های هرمیت، F. Lindemann در سال 1882 ماورایی اعداد را اثبات کرد و بدین ترتیب به مشکل باستانی مربع کردن دایره پایان داد: با استفاده از یک قطب نما و یک خط کش، ساخت مربعی با اندازه مساوی غیرممکن است (یعنی دارای مساحت یکسان) به یک دایره معین. به طور کلی تر، لیندمان نشان داد که برای هر عدد جبری، یک عدد ماورایی است. فرمول معادل: برای هر عدد جبری غیر از و، لگاریتم طبیعی آن یک عدد ماورایی است.

در سال 1900، در کنگره ریاضیدانان پاریس، دی هیلبرت، در میان 23 مسئله حل نشده در ریاضیات، به موارد زیر اشاره کرد که به شکلی خاص توسط ال. اویلر فرموله شده است:

اجازه دهید و اعداد جبری هستند و ماورایی؟ به ویژه، آیا اعداد ماورایی هستند؟ و

این مشکل را می توان به شکل زیر، نزدیک به فرمول اولیه اویلر، دوباره بیان کرد:

اجازه دهید و - اعداد جبری غیر از و علاوه بر این، نسبت لگاریتم های طبیعی آنها غیر منطقی آیا یک عدد وجود خواهد داشت ماورایی؟

اولین راه حل جزئی برای این مسئله در سال 1929 توسط A. O. Gelfond بدست آمد که به ویژه ماورایی عدد را اثبات کرد. در سال 1930، R. O. Kuzmin روش گلفوند را بهبود بخشید، به ویژه، او موفق شد تعالی یک عدد را ثابت کند. حل کامل مسئله اویلر-هیلبرت (به معنای مثبت) در سال 1934 به طور مستقل توسط A. O. Gelfond و T. Schneider به دست آمد.

A. Baker در سال 1966 قضایای Lindemann و Gelfond-Schneider را تعمیم داد و به ویژه اثبات کرد که ماورایی حاصل ضرب تعداد محدود دلخواه از اعداد شکل و با اعداد جبری تحت محدودیت های طبیعی است.

در سال 1996 Yu.V. نسترنکو استقلال جبری مقادیر سری آیزنشتاین و به ویژه اعداد و. این به معنای ماورایی هر عددی از شکل است که در آن یک تابع گویا غیر صفر با ضرایب جبری است. مثلاً مجموع سریال ماورایی خواهد بود

در 1929-1930 کی مالر در سلسله آثاری روش جدیدی را برای اثبات تعالی معانی پیشنهاد کرد توابع تحلیلیمعادلات تابعی از نوع خاصی را برآورده می کند (بعداً چنین توابعی را توابع مالر نامیدند).

روش های نظریه اعداد ماورایی در سایر شاخه های ریاضیات، به ویژه در نظریه معادلات دیوفانتین کاربرد پیدا کرده است.

که وقتی a = 1 به ما کمک می کند تا مجموع پیشرفت هندسی را تعیین کنیم. با فرض اثبات قضیه گاوس، فرض کنیم a = a 1 ریشه معادله (17) است، به طوری که

با کم کردن این عبارت از f(x) و مرتب کردن مجدد عبارت ها، هویت را بدست می آوریم

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1).

(21) اکنون با استفاده از فرمول (20)، می‌توانیم ضریب x − a 1 را از هر جمله جدا کرده و سپس آن را از پرانتز خارج کنیم، و درجه چند جمله‌ای باقی‌مانده در پرانتز یک کمتر می‌شود. با جمع بندی مجدد اصطلاحات، هویت را دریافت می کنیم

f(x) = (x-a1)g(x)،

که در آن g(x) چند جمله‌ای با درجه n - 1 است:

g(x) = xn-1 + bn-2 xn-2 + . . . + b1 x + b0 .

(ما علاقه ای به محاسبه ضرایب نشان داده شده با b در اینجا نداریم.) اجازه دهید همان استدلال را برای چند جمله ای g(x) اعمال کنیم. با قضیه گاوس، یک ریشه a2 از معادله g(x) = 0 وجود دارد، بنابراین

g(x) = (x - a2)h(x)،

که در آن h(x) یک چند جمله‌ای جدید با درجه n - 2 است. با تکرار این استدلال‌ها n - 1 بار (البته به کاربرد اصل استقرای ریاضی دلالت می‌کند)، در نهایت به بسط می‌رسیم.

از هویت (22) نه تنها به دست می آید که اعداد مختلط a1، a2،

An ریشه های معادله (17) هستند، اما همچنین معادله (17) ریشه دیگری ندارد. در واقع، اگر عدد y ریشه معادله (17) بود، از (22) به دنبال خواهد بود.

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

اما دیدیم (ص 115) حاصل ضرب اعداد مختلط برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که یکی از عوامل برابر با صفر باشد. بنابراین، یکی از فاکتورهای y − ar برابر با 0 است، یعنی y = ar، که همان چیزی است که باید ایجاد شود.

§ 6.

1. تعریف و سؤالات وجود. یک عدد جبری هر عدد x، واقعی یا خیالی است که برخی را برآورده می کند معادله جبریمهربان

130 سیستم عددی ریاضی چ. II

که در آن اعداد ai اعداد صحیح هستند. بنابراین، برای مثال، عدد 2 جبری است، زیرا معادله را برآورده می کند

x2 − 2 = 0.

به همین ترتیب، یک عدد جبری هر ریشه هر معادله ای با ضرایب صحیح سوم، چهارم، پنجم، هر درجه ای که دوست دارید و صرف نظر از اینکه با رادیکال بیان می شود یا نه، است. مفهوم عدد جبری تعمیم طبیعی مفهوم عدد گویا است که با حالت خاص n=1 مطابقت دارد.

هر عدد واقعی جبری نیست. این از قضیه زیر بیان شده توسط کانتور نتیجه می گیرد: مجموعه همه اعداد جبری قابل شمارش هستند. از آنجایی که مجموعه تمام اعداد حقیقی غیرقابل شمارش است، لزوماً باید اعداد حقیقی وجود داشته باشند که جبری نباشند.

اجازه دهید یکی از روش های محاسبه مجدد مجموعه ای از اعداد جبری را نشان دهیم. هر معادله شکل (1) با یک عدد صحیح مثبت همراه است

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n،

که برای اختصار آن را «ارتفاع» معادله می نامیم. برای هر مقدار ثابت n، فقط تعداد محدودی از معادلات شکل (1) با ارتفاع h وجود دارد. هر یک از این معادلات حداکثر n ریشه دارد. بنابراین، تنها تعداد محدودی از اعداد جبری می توانند توسط معادلات ارتفاع h تولید شوند. در نتیجه، تمام اعداد جبری را می توان به شکل یک دنباله مرتب کرد و ابتدا اعدادی را که توسط معادلات ارتفاع 1 ایجاد می شوند، سپس اعداد با ارتفاع 2 و غیره را فهرست کرد.

این اثبات که مجموعه اعداد جبری قابل شمارش هستند وجود اعداد حقیقی را ثابت می کند که جبری نیستند. چنین اعدادی ماورایی نامیده می شوند (از لاتین transcendere - عبور، فراتر). اویلر این نام را به آنها داد زیرا "از قدرت روش های جبری فراتر می روند".

اثبات کانتور مبنی بر وجود اعداد ماورایی سازنده نیست. از نظر تئوری، ساختن یک عدد ماورایی با استفاده از یک روش مورب که بر روی فهرستی خیالی از بسط های اعشاری همه اعداد جبری انجام می شود، امکان پذیر است. اما چنین رویه ای خالی از هر گونه است اهمیت عملیو منجر به عددی نمی شود که بسط آن به کسری اعشاری (یا برخی دیگر) در واقع قابل نوشتن باشد. جالب ترین مشکلات مرتبط با اعداد متعالی شامل اثبات این است که اعداد معین و خاص (این شامل اعداد p و e است که در مورد آنها به صفحات 319-322 مراجعه کنید) ماورایی هستند.

**2. قضیه لیوویل و ساخت اعداد ماورایی. اثبات وجود اعداد متعالی، حتی قبل از کانتور، توسط J. Liouville (1809-1862) ارائه شد. ساختن نمونه هایی از چنین اعدادی را ممکن می سازد. اثبات لیوویل دشوارتر از کانتور است، و این تعجب آور نیست، زیرا ساختن یک مثال، به طور کلی، دشوارتر از اثبات وجود است. هنگام ارائه برهان لیوویل در زیر، ما فقط خواننده آماده را در نظر داریم، اگرچه دانش ریاضیات ابتدایی برای درک اثبات کاملاً کافی است.

همانطور که لیوویل کشف کرد، اعداد جبری غیرمنطقی این ویژگی را دارند که نمی توان آنها را با اعداد گویا با درجه دقت بسیار بالایی تقریب زد، مگر اینکه مخرج کسرهای تقریبی بسیار بزرگ در نظر گرفته شود.

فرض کنید که عدد z یک معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده کند

اما معادله یکسان درجه پایین تر را برآورده نمی کند. سپس

آنها می گویند که x خود یک عدد جبری درجه n است. بنابراین، برای مثال،

عدد z = 2 یک عدد جبری درجه 2 است، زیرا معادله x2 - 2 = 0√ درجه 2 را برآورده می کند، اما معادله درجه اول را برآورده نمی کند. عدد z = 3 2 درجه 3 است، زیرا معادله x3 − 2 = 0 را برآورده می کند، اما معادله ای با درجه پایین تر را برآورده نمی کند (همانطور که در فصل III نشان خواهیم داد). عدد جبری درجه n > 1

نمی تواند منطقی باشد، زیرا عدد گویا z = p q راضی می کند

معادله qx - p = 0 درجه 1 را برآورده می کند عدد غیر منطقی z را می توان با هر درجه ای از دقت با استفاده از یک عدد گویا تقریب زد. این بدان معناست که همیشه می توانید دنباله ای از اعداد گویا را مشخص کنید

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

با مخرج های در حال رشد نامحدود، که خود را دارد

که

p r → z. qr

قضیه لیوویل می گوید: عدد جبری z با درجه n> 1 هر چه باشد، نمی توان آن را با منطقی سازی تقریب زد.

برای مخرج های به اندازه کافی بزرگ، نابرابری لزوما برقرار است

ما قصد داریم این قضیه را اثبات کنیم، اما ابتدا نشان خواهیم داد که چگونه می توان از آن برای ساخت اعداد ماورایی استفاده کرد. عدد را در نظر بگیرید

z = a1 10-1! + a2 · 10-2! + a3 · 10-3! + . . . + am · 10−m! + . . . = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . . . ،

که در آن ai اعداد دلخواه از 1 تا 9 را نشان می دهد (ساده ترین راه این است که همه ai را برابر با 1 قرار دهید)، و نماد n!، طبق معمول (به صفحه 36 مراجعه کنید)، نشان دهنده 1 · 2 · است. . . · n. یک ویژگی مشخصه بسط اعشاری چنین عددی این است که گروه های صفر به سرعت در حال افزایش طول در آن با ارقام جداگانه ای غیر از صفر متناوب می شوند. اجازه دهید کسر اعشاری نهایی را که در بسط به دست می‌آید را با zm نشان دهیم. فراگیر. سپس نابرابری را دریافت می کنیم

فرض کنید z یک عدد جبری درجه n باشد. سپس، با فرض در نابرابری لیوویل (3) p q = zm = 10 p m! ، باید داشته باشیم

|z − zm | > 10 (n+1)m!

برای مقادیر به اندازه کافی بزرگ متر. مقایسه آخرین نابرابری با نامساوی (4) به دست می آید

که به معنای (n + 1)m است! > (m + 1)! - 1 برای متر به اندازه کافی بزرگ. اما این برای مقادیر m بزرگتر از n درست نیست (اجازه دهید خواننده زحمت بکشد تا اثبات دقیق این جمله را ارائه دهد). ما به یک تناقض رسیده ایم. بنابراین، عدد z ماورایی است.

باقی مانده است که قضیه لیوویل را اثبات کنیم. فرض کنید z یک عدد جبری درجه n> 1 است که معادله (1) راضی کننده است، به طوری که

f(zm) = f(zm) - f(z) = a1 (zm - z) + a2 (zm 2 - z2) + . . . + an (zm n − zn ).

تقسیم هر دو طرف بر zm − z و استفاده از فرمول جبری

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1، u − v

دریافت می کنیم:

از آنجایی که zm به z تمایل دارد، پس برای m به اندازه کافی بزرگ، عدد گویا zm با z کمتر از یک متفاوت خواهد بود. بنابراین، برای m به اندازه کافی بزرگ، تخمین تقریبی زیر را می توان انجام داد:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M، (7)

علاوه بر این، عدد M در سمت راست ثابت است، زیرا z در طول اثبات تغییر نمی کند. اجازه دهید اکنون m را آنقدر بزرگ انتخاب کنیم که

کسر z m = p m دارای مخرج q m است بزرگتر از M بود. سپس qm

از آن زمان می توان ضریب (x-zm) را از چند جمله ای f(x) جدا کرد و بنابراین، z معادله ای با درجه کمتر از n را برآورده می کند. بنابراین، f(zm) 6 = 0. اما صورت‌دهنده سمت راست برابری (9) یک عدد صحیح است و بنابراین در قدر مطلق حداقل برابر با یک است. بنابراین، از مقایسه روابط (8) و (9) نتیجه می شود که

دقیقاً محتوای قضیه نشان داده شده است.

در طول چند دهه گذشته، تحقیقات در مورد امکان تقریب اعداد جبری توسط اعداد گویا بسیار پیشرفت کرده است. به عنوان مثال، ریاضیدان نروژی A. Thue (1863-1922) دریافت که در نابرابری لیوویل (3) توان n + 1 را می توان با یک توان کوچکتر n 2 + 1 جایگزین کرد.

K. L. Siegel نشان داد که می توان حتی کوچکتر (حتی کوچکتر

برای n بزرگتر) نشانگر 2 n است.

اعداد ماورایی همیشه موضوعی بوده که توجه ریاضیدانان را به خود جلب کرده است. اما تا همین اواخر، در میان اعدادی که به خودی خود جالب هستند، تعداد بسیار کمی شناخته شده بودند که شخصیت ماورایی آنها تثبیت شده بود. (از ماورایی عدد p که در فصل سوم مورد بحث قرار خواهد گرفت، نتیجه می‌شود که نمی‌توان دایره را با استفاده از خط‌کش و قطب‌نما ربع‌بندی کرد.) دیوید هیلبرت در سخنرانی خود در کنگره بین‌المللی ریاضیات پاریس در سال 1900 پیشنهاد کرد. سی ریاضی

مسائلی که امکان فرمول بندی ساده را فراهم می آورد، حتی برخی کاملاً ابتدایی و محبوب، که حتی یک مورد از آنها نه تنها حل نشد، بلکه حتی به نظر نمی رسید که قادر به حل شدن با استفاده از ریاضیات آن دوران باشد. این «مسائل هیلبرت» تأثیر محرک قوی در طول دوره بعدی توسعه ریاضیات داشت. تقریباً همه آنها به تدریج حل شدند و در بسیاری از موارد راه حل آنها با موفقیت های آشکار به معنای توسعه روش های عمومی تر و عمیق تر همراه بود. یکی از مشکلاتی که نسبتاً ناامیدکننده به نظر می رسید این بود

اثبات این عدد

ماورایی (یا حداقل غیرمنطقی) است. برای سه دهه حتی اشاره ای به چنین رویکردی از طرف هیچ کس به این موضوع که امیدی به موفقیت باز کند وجود نداشت. سرانجام، سیگل و مستقل از او، ریاضیدان جوان روسی A. Gelfond روشهای جدیدی را برای اثبات تعالی بسیاری کشف کردند.

اعدادی که در ریاضیات مهم هستند به ویژه تأسیس شد

ماورایی نه تنها عدد هیلبرت 2 2، بلکه کل کلاس نسبتاً گسترده اعداد به شکل ab، که در آن a یک عدد جبری متفاوت از 0 و 1 است، و b یک عدد جبری غیر منطقی است.

الحاقیه به فصل دوم

جبر مجموعه ها

1. نظریه عمومی. مفهوم کلاس یا مجموعه یا مجموعه ای از اشیاء یکی از اساسی ترین مفاهیم در ریاضیات است. یک مجموعه با خاصیت ("ویژگی") A تعریف می شود که هر شیء مورد نظر یا باید داشته باشد یا نداشته باشد. اجسامی که دارای خاصیت A هستند، مجموعه A را تشکیل می دهند. بنابراین، اگر اعداد صحیح را در نظر بگیریم و خاصیت A را "اول بودن" در نظر بگیریم، مجموعه مربوطه A از تمام اعداد اول 2، 3، 5، 7 تشکیل شده است. . . .

نظریه مجموعه های ریاضی از این واقعیت ناشی می شود که می توان مجموعه های جدیدی را با استفاده از عملیات معین از مجموعه ها تشکیل داد (همانطور که اعداد جدید از اعداد از طریق عملیات جمع و ضرب به دست می آیند). مطالعه عملیات روی مجموعه‌ها موضوع «جبر مجموعه‌ها» را تشکیل می‌دهد که شباهت زیادی با جبر عددی معمولی دارد، اگرچه از جهاتی با آن متفاوت است. این واقعیت که روش های جبری را می توان برای مطالعه اشیاء غیر عددی، مانند مجموعه ها به کار برد، توسط نشان داده شده است.

اشتراک بیشتری از ایده ها در ریاضیات مدرن ایجاد می کند. اخیراً مشخص شده است که جبر مجموعه‌ها نور جدیدی را بر بسیاری از حوزه‌های ریاضیات می‌افکند، به عنوان مثال، نظریه اندازه‌گیری و نظریه احتمال. همچنین در نظام مند کردن مفاهیم ریاضی و روشن کردن ارتباطات منطقی آنها مفید است.

در ادامه، مجموعه ثابت معینی از اشیاء را نشان خواهم داد که ماهیت آنها بی تفاوت است و می توانیم آن را مجموعه جهانی (یا جهان استدلال) بنامیم.

الف، ب، ج، . . . زیر مجموعه های I وجود خواهد داشت. اگر I مجموعه همه اعداد طبیعی باشد، مثلا A می تواند مجموعه همه اعداد زوج، B مجموعه همه اعداد فرد، C مجموعه همه اعداد اول و غیره را نشان دهد. اگر مجموعه تمام نقاط صفحه را نشان دهم، آنگاه A می تواند مجموعه ای از نقاط داخل یک دایره باشد، B می تواند مجموعه ای از نقاط داخل دایره دیگر باشد، و غیره. برای ما راحت است که خود I و همچنین یک "" را وارد کنیم. خالی» مجموعه ای که حاوی هیچ عنصری نیست. هدفی که توسط چنین بسط مصنوعی دنبال می شود حفظ این موقعیت است که برای هر ویژگی A با مجموعه خاصی از عناصر از I مطابقت دارد که این ویژگی را دارند. اگر A یک ویژگی معتبر جهانی باشد، که یک مثال از آن (در مورد اعداد) ویژگی برآوردن برابری جزئی x = x باشد، آنگاه زیرمجموعه مربوط به I خود I خواهد بود، زیرا هر عنصر دارای چنین ویژگی است. از سوی دیگر، اگر A نوعی ویژگی متناقض درونی باشد (مانند x 6 = x)، آنگاه زیرمجموعه مربوطه اصلاً حاوی هیچ عنصری نیست، "خالی" است و با نماد نشان داده می شود.

آنها می گویند که مجموعه A زیرمجموعه ای از مجموعه B است، به طور خلاصه، "A در B است" یا "B حاوی A است" اگر هیچ عنصری در مجموعه A وجود نداشته باشد که در مجموعه B نیز نباشد. رابطه با نماد مطابقت دارد

A B یا B A.

برای مثال، مجموعه A از همه اعداد صحیح بخش پذیر بر 10 زیرمجموعه ای از مجموعه B از همه اعداد صحیح بخش پذیر بر 5 است، زیرا هر عددی که بر 10 بخش پذیر است بر 5 نیز بخش پذیر است. رابطه A B رابطه B A را استثنا نمی کند. پس هم این و هم آن

این بدان معنی است که هر عنصر A نیز عنصری از B است و بالعکس، به طوری که مجموعه های A و B دقیقاً دارای عناصر مشابه هستند.

رابطه A B بین مجموعه ها از بسیاری جهات یادآور رابطه a 6 b بین اعداد است. به طور خاص، ما به موارد زیر توجه می کنیم

ویژگی های زیر این رابطه:

1) A A.

2) اگر A B و B A، A = B.

3) اگر A B و B C، پس A C.

به همین دلیل، رابطه A B را گاهی «رابطه نظم» می نامند. تفاوت اصلی بین رابطه مورد بررسی و رابطه a 6 b بین اعداد در این است که بین هر دو عدد داده شده (واقعی) a و b حداقل یکی از روابط a 6 b یا b 6 a الزاماً برآورده می شود، در حالی که برای رابطه B بین مجموعه ها یک عبارت مشابه نادرست است. به عنوان مثال، اگر A مجموعه ای متشکل از اعداد 1، 2، 3 باشد،

و B مجموعه ای است متشکل از اعداد 2، 3، 4،

پس نه رابطه A B برقرار است و نه رابطه B A به همین دلیل می گویند که زیر مجموعه های A، B، C، . . . مجموعه های I "تا حدی مرتب شده اند"، در حالی که اعداد واقعی a، b، c، . . .

یک مجموعه "کاملاً سفارش داده شده" را تشکیل دهید.

ضمناً توجه داشته باشید که از تعریف رابطه A B چنین برمی‌آید که، زیر مجموعه A از مجموعه I هر چه باشد،

خاصیت 4) ممکن است تا حدودی متناقض به نظر برسد، اما اگر در مورد آن فکر کنید، منطقاً دقیقاً با معنای دقیق تعریف علامت مطابقت دارد. در واقع رابطه A فقط نقض می شود

V اگر مجموعه خالی حاوی عنصری باشد که در A وجود نداشته باشد. اما از آنجایی که مجموعه خالی اصلاً حاوی هیچ عنصری نیست، مهم نیست A چیست، این نمی تواند باشد.

اکنون دو عمل بر روی مجموعه‌هایی تعریف می‌کنیم که به طور رسمی دارای ویژگی‌های جبری زیادی در جمع و ضرب اعداد هستند، اگرچه در محتوای درونی خود کاملاً با این عملیات حسابی متفاوت هستند. بگذارید A و B دو مجموعه باشند. منظور از اتحاد یا «جمع منطقی» A و B مجموعه‌ای است متشکل از آن عناصر موجود در A یا

V B (از جمله عناصر موجود در هر دو A و B). این مجموعه A + B نشان داده می شود. 1 منظور از "تقاطع" یا "محصول منطقی" A و B مجموعه ای متشکل از عناصری است که در هر دو A و B موجود است. این مجموعه AB نشان داده می شود.

از جمله ویژگی های جبری مهم عملیات A + B و AB موارد زیر را لیست می کنیم. خواننده می تواند اعتبار آنها را بر اساس تعریف خود عملیات بررسی کند:

تأیید همه این قوانین از ابتدایی ترین منطق است. برای مثال، قانون 10 بیان می کند که مجموعه عناصر موجود در A یا A دقیقاً مجموعه A است. قانون 12) بیان می کند که مجموعه عناصری که در A هستند و در عین حال در B یا C موجود هستند با مجموعه عناصری که یا به طور همزمان در A و B وجود دارند یا به طور همزمان در A و C وجود دارند منطبق است. . استدلال منطقی، که در اثبات این نوع قواعد استفاده می شود، اگر موافق باشیم مجموعه های A، B، C، را به تصویر بکشیم، به راحتی نشان داده می شوند. . . در قالب برخی از فیگورها در هواپیما و ما بسیار مراقب خواهیم بود که هیچ یک از احتمالات منطقی که در مورد حضور عناصر مشترک دو مجموعه یا برعکس، حضور در یک مجموعه از عناصر به وجود می آید را از دست ندهیم. در دیگری موجود نیست.

خواننده بدون شک توجه خود را به این واقعیت جلب کرد که قوانین 6، 7، 8، 9) و 12) از نظر خارجی با قوانین جابجایی، انجمنی و توزیعی معروف جبر معمولی یکسان هستند. نتیجه می شود که تمام قواعد جبر معمولی که از این قوانین ناشی می شود در جبر مجموعه نیز معتبر است. در مقابل، قوانین 10)، 11) و 13) در جبر معمولی مشابهی ندارند و به جبر مجموعه ساختار ساده تری می دهند. به عنوان مثال، فرمول دو جمله ای در جبر مجموعه ای به ساده ترین برابری کاهش می یابد

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B،

که از قانون 11 ناشی می شود). قوانین 14، 15) و 17) می گوید که ویژگی های مجموعه ها و I در رابطه با عملیات اتحاد و تقاطع مجموعه ها بسیار شبیه به خواص اعداد 0 و 1 در رابطه با عملیات اعمال عددی جمع و ضرب اما قانون 16) در جبر عددی مشابهی ندارد.

باقی مانده است که یک عملیات دیگر در جبر مجموعه تعریف کنیم. بگذارید A زیرمجموعه ای از مجموعه جهانی I باشد. سپس مکمل A ​​در I به عنوان مجموعه ای از تمام عناصر I که در A موجود نیستند درک می شود. برای این مجموعه علامت A0 را معرفی می کنیم. بنابراین، اگر I مجموعه همه اعداد طبیعی باشد و A مجموعه همه اعداد اول باشد، A0 مجموعه ای است که از همه تشکیل شده است. اعداد مرکبو عدد 1. عملیات انتقال از A به A0 که در جبر معمولی مشابهی برای آن وجود ندارد دارای ویژگی های زیر است:

23) A 00 = A.

24) نسبت A B معادل نسبت B است 0 A0 .

25) (A + B) 0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0.

باز هم بررسی این ویژگی ها را به خواننده واگذار می کنیم.

قوانین 1)-26) اساس جبر مجموعه هستند. آنها دارای ویژگی قابل توجه "دوگانگی" به معنای زیر هستند:

اگر در یکی از قوانین 1)–26) مربوطه را جایگزین کنیم

(در هر یک از وقوع آنها)، سپس نتیجه دوباره یکی از همان قوانین است. به عنوان مثال، قانون 6) وارد قانون 7)، 12) به 13، 17) به 16) و غیره می شود. نتیجه این است که هر قضیه ای که می تواند از قوانین 1)-26 استخراج شود با قضیه دیگری مطابقت دارد، "دوگانه" آن. قضیه ای که از اولی با استفاده از جایگشت های مشخص شده نمادها به دست می آید. در واقع، از زمان اثبات

چ. جبر دوم مجموعه 139

قضیه اول شامل کاربرد سازگار(در مراحل مختلف استدلال مداوم) برخی از قوانین 1-26)، سپس اعمال قوانین "دوگانه" در مراحل مربوطه، اثبات قضیه "دوگانه" را تشکیل می دهد. (برای «دوگانگی» مشابه در هندسه، به فصل چهارم مراجعه کنید.)

2. کاربرد در منطق ریاضی. تأیید قوانین جبر مجموعه بر اساس تجزیه و تحلیل معنای منطقی رابطه A B و عملیات A + B، AB و A0 بود. اکنون می‌توانیم این روند را معکوس کنیم و قوانین 1)-26) را به‌عنوان پایه‌ای برای «جبر منطق» در نظر بگیریم. بیایید دقیق تر باشیم: آن بخش از منطق که به مجموعه ها مربوط می شود، یا، که اساساً یکسان است، ویژگی های اشیاء مورد بررسی، می تواند به یک سیستم جبری رسمی بر اساس قوانین 1)-26 تقلیل یابد. منطقی "جهان متعارف" مجموعه I را تعریف می کند. هر ویژگی A یک مجموعه A را تعریف می کند که شامل آن اشیاء در I است که این ویژگی را دارند. قوانین برای ترجمه اصطلاحات منطقی معمولی به زبان مجموعه ها مشخص است

از نظر جبر مجموعه ای، قیاس "باربارا" به این معناست که "اگر هر A یک B باشد و هر B یک C باشد، پس هر A یک C است" شکل ساده را به خود می گیرد:

3) اگر A B و B C، پس A C.

به همین ترتیب، «قانون تضاد» که بیان می‌کند که «یک شی نمی‌تواند همزمان دارای خاصیت باشد یا نداشته باشد» به صورت زیر نوشته می‌شود:

20) AA 0 = ،

الف "قانون وسط منتفی" که می گوید "یک شی باید دارای خاصیت باشد یا نداشته باشد" نوشته شده است:

19) A + A 0 = I.

بنابراین، آن بخش از منطق که بر حسب نمادهای +، · و 0 قابل بیان است، می تواند به عنوان یک سیستم جبری رسمی، تابع قوانین 1)-26 در نظر گرفته شود. بر اساس تلفیقی از تحلیل منطقی ریاضیات و تجزیه و تحلیل ریاضیمنطق، یک رشته جدید ایجاد شد - منطق ریاضی، که در حال حاضر در حال توسعه سریع است.

از دیدگاه بدیهی، این واقعیت قابل توجه که گزاره های 1)-26، همراه با سایر قضایای جبر مجموعه، به طور منطقی از سه برابری زیر قابل استنباط است، شایسته توجه است:

27) A + B = B + A،

(A + B) + C = A + (B + C)،

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

نتیجه می شود که جبر مجموعه ها را می توان به عنوان یک نظریه قیاسی صرف، مانند هندسه اقلیدسی، بر اساس این سه شرط، که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، ساخت. اگر این بدیهیات پذیرفته شوند، عملیات AB و رابطه A B بر حسب A + B و A0 تعریف می شوند:

یک نمونه کاملاً متفاوت از یک سیستم ریاضی که در آن تمام قوانین رسمی جبر مجموعه ای برآورده می شود توسط سیستمی متشکل از هشت عدد 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30 ارائه می شود: در اینجا a + b نشان می دهد. ، با توجه به

تعریف، کوچکترین مضرب مشترک a و b، ab بزرگترین مقسوم علیه a و b، a b عبارت "b تقسیم بر a" و a0 عدد 30 a است. سو-

وجود چنین نمونه هایی منجر به مطالعه سیستم های جبری عمومی شد که قوانین 27 را برآورده می کند. چنین سیستم‌هایی به نام جورج بول (۱۸۱۵–۱۸۶۴)، ریاضی‌دان و منطق‌دان انگلیسی که کتابش با عنوان «تحقیق قوانین فکر» در سال ۱۸۵۴ منتشر شد، «جبرهای بولی» نامیده می‌شوند.

3. یکی از کاربردهای نظریه احتمال. مجموعه جبر دارد نزدیک ترین رابطهبه تئوری احتمالات و به ما اجازه می دهد تا به آن با دید جدیدی نگاه کنیم. بیایید ساده‌ترین مثال را در نظر بگیریم: آزمایشی را با تعداد محدودی از نتایج ممکن تصور کنید، که همگی «به یک اندازه ممکن» تصور می‌شوند. برای مثال، یک آزمایش ممکن است شامل کشیدن یک کارت به صورت تصادفی از یک عرشه کامل به خوبی در هم ریخته باشد. اگر مجموعه تمام نتایج یک آزمایش را با I نشان دهیم و A نشانگر زیرمجموعه ای از I باشد، احتمال اینکه نتیجه آزمایش به زیر مجموعه A تعلق داشته باشد به عنوان نسبت تعریف می شود.

p(A) = تعداد عناصر A . تعداد عناصر I

اگر موافقت کنیم که تعداد عناصر مجموعه A را با n(A) نشان دهیم، آخرین برابری را می توان به شکل

ایده های جبر مجموعه ها هنگام محاسبه احتمالات در مواقع ضروری آشکار می شود، با دانستن احتمالات برخی از مجموعه ها، محاسبه احتمالات برخی دیگر. برای مثال، با دانستن احتمالات p(A)، p(B) و p(AB)، می توانید احتمال p(A + B) را محاسبه کنید:

اثبات این موضوع کار سختی نخواهد بود. ما داریم

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB)،

از آنجایی که عناصر موجود همزمان در A و B، یعنی عناصر AB، هنگام محاسبه مجموع n(A) + n(B) دو بار شمرده می شوند، بنابراین، برای محاسبه باید n(AB) را از این جمع کم کرد. n (A + B) به درستی تولید شد. سپس با تقسیم دو طرف تساوی بر n(I) رابطه (2) بدست می آید.

اگر در مورد سه مجموعه A، B، C از I صحبت کنیم، فرمول جالب تری به دست می آید. با استفاده از رابطه (2)، داریم

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) - p[(A + B)C].

قانون (12) از پاراگراف قبل (A + B)C = AC + BC را به ما می دهد. از این نتیجه می شود:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) - p(ABC).

با جایگزینی مقدار p[(A + B)C] و مقدار p(A + B) گرفته شده از (2) به رابطه به دست آمده قبلی، به فرمول مورد نیاز می رسیم:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(AC) - p(BC) + p(ABC). (3)

به عنوان مثال، آزمایش زیر را در نظر بگیرید. سه عدد 1، 2، 3 به هر ترتیبی نوشته می شوند. احتمال اینکه حداقل یکی از ارقام در محل صحیح (از نظر شماره گذاری) قرار گیرد چقدر است؟ اجازه دهید A مجموعه ای از جایگشت ها باشد که در آن عدد 1 در رتبه اول قرار دارد، B مجموعه جایگشت هایی باشد که عدد 2 در رتبه دوم قرار دارد، C مجموعه جایگشت هایی باشد که در آن عدد 3 در رتبه سوم قرار دارد. باید p(A + B + C) را محاسبه کنیم. واضح است که

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

در واقع، اگر هر رقمی در جای مناسب باشد، دو امکان وجود دارد که دو رقم باقیمانده را دوباره مرتب کنیم. تعداد کل 3 · 2 · 1 = 6 جایگشت ممکن سه رقمی. بعد،

ورزش کنید. فرمول مناسب برای p(A + B + C + D) را استخراج کنید و آن را در آزمایشی که شامل 4 رقم است اعمال کنید. احتمال مربوطه 5 8 = 0.6250 است.

فرمول کلی برای ترکیب n مجموعه است

ترکیبات حاوی یک، دو، سه، . . . , (n − 1) حروف از A1 , A2 , . . .

یک این فرمول را می توان با استقراء ریاضی ایجاد کرد - به همان روشی که فرمول (3) از فرمول (2) مشتق شد.

از فرمول (4) می توان نتیجه گرفت که اگر n رقم 1، 2، 3، . . . ، n به هر ترتیبی نوشته می شود، پس احتمال اینکه حداقل یکی از ارقام در جای درست قرار گیرد برابر است با

و آخرین جمله بسته به زوج یا فرد بودن n با علامت + یا - قبل از آن قرار می گیرد. به طور خاص، برای n = 5 این احتمال برابر است با

p5 = 1 − 2! + 3! - 4! + 5! = 30 = 0.6333. . .

در فصل هشتم خواهیم دید که با نزدیک شدن n به بی نهایت، عبارت

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! + 4! - . . . ± n!

به حد 1 e میل می کند که مقدار آن به پنج رقم اعشار می رسد.

برابر با 0.36788 است. از آنجایی که از فرمول (5) مشخص است که pn = 1 - Sn، نتیجه می شود که به صورت n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0.63212.

عدد ماورایی

عددی (واقعی یا خیالی) که هیچ معادله جبری را برآورده نمی کند. معادله جبری) با ضرایب صحیح. بنابراین، اعداد اعداد در مقابل اعداد جبری قرار می‌گیرند (نگاه کنید به. عدد جبری). وجود T.h برای اولین بار توسط J. لیوویل(1844). نقطه شروع لیوویل قضیه او بود که طبق آن ترتیب تقریب کسری گویا با مخرج معین به یک عدد جبری غیرمنطقی معین نمی تواند به طور دلخواه زیاد باشد. یعنی اگر عدد جبری الفمعادله جبری تقلیل ناپذیر درجه را برآورده می کند nبا ضرایب صحیح، پس برای هر عدد گویا c فقط به α ). بنابراین، اگر برای یک عدد غیرمنطقی مفروض α می‌توان مجموعه بی‌نهایتی از تقریب‌های گویا را مشخص کرد که نابرابری داده‌شده را برای هیچ کدام برآورده نمی‌کند. باو n(برای همه تقریب ها یکسان است)، سپس α T. h است. مثالی از چنین عددی می دهد:

مدرک دیگری مبنی بر وجود T. ch توسط G. کانتور(1874)، با توجه به اینکه مجموعه همه اعداد جبری قابل شمارش هستند (یعنی همه اعداد جبری را می توان مجددا شماره گذاری کرد؛ رجوع کنید به تئوری مجموعه ها، در حالی که مجموعه تمام اعداد واقعی غیرقابل شمارش است.

از این نتیجه می‌شود که مجموعه اعداد غیرقابل شمارش است، و علاوه بر این، اعداد بخش عمده‌ای از مجموعه همه اعداد را تشکیل می‌دهند. مهمترین وظیفه تئوری اعداد مطلق این است که تعیین کند آیا مقادیر توابع تحلیلی که دارای خصوصیات حسابی و تحلیلی خاصی برای مقادیر جبری استدلال هستند اعداد واقعی هستند یا خیر. مسائلی از این دست از دشوارترین مسائل ریاضیات مدرن هستند. در سال 1873 ش.هرمیت ثابت کرد که

شماره نپروو در سال 1882، ریاضیدان آلمانی F. Lindemann نتیجه کلی تری به دست آورد: اگر α یک عدد جبری باشد، پسα - نتیجه لیپدمان به طور قابل توجهی توسط ریاضیدان آلمانی K. Siegel (1930) تعمیم داده شد، که به عنوان مثال، برتری مقدار یک کلاس وسیع از توابع استوانه ای را برای مقادیر جبری استدلال ثابت کرد. در سال 1900، در كنگره رياضي پاريس، دي هيلبرت، در ميان 23 مسئله حل نشده رياضيات، به موارد زير اشاره كرد: يك عدد ماورايي است. α β ، کجا α و β - اعداد جبری و β - یک عدد غیر منطقی، و، به ویژه، عدد e π ماورایی است (مسئله ماورایی اعداد شکل α β اولین بار به صورت خصوصی توسط L. اویلر om، 1744). یک راه حل کامل برای این مشکل (به معنای مثبت) تنها در سال 1934 توسط A.O. گلفوندتو از کشف گلفوند، به ویژه، چنین بر می آید که تمام لگاریتم های اعشاری اعداد طبیعی (یعنی "لگاریتم های جدولی") اعداد صحیح هستند.

روشن: Gelfond A. O.، اعداد متعالی و جبری، M.، 1952.

بزرگ دایره المعارف شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «عدد ماورایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

عددی که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده نمی کند. اعداد ماورایی عبارتند از: عدد??3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e=2.71828... و دیگران... بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفی

- (از لاتین transcendere به پاس، فراتر) یک عدد واقعی یا مختلط است که جبری نیست، به عبارت دیگر عددی است که نمی تواند ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد. مطالب 1 خواص 2 ... ... ویکی پدیا

عددی که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده نمی کند. اعداد ماورایی عبارتند از: عدد π = 3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e = 2.71828... و غیره فرهنگ لغت دایره المعارفی

عددی که هیچ جبری را برآورده نمی کند. معادله با ضرایب صحیح از جمله: عدد PI = 3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e = 2.71828... و غیره علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

عددی که ریشه هیچ چند جمله ای با ضرایب صحیح نباشد. دامنه تعریف چنین اعدادی، صفرهای اعداد حقیقی، مختلط و ریشه ای است. وجود و ساخت صریح قطعات واقعی توسط J. Liouville اثبات شد... ... دایره المعارف ریاضی

معادله ای که جبری نیست. معمولاً اینها معادلاتی هستند که شامل توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، معکوس مثلثاتی هستند، به عنوان مثال: تعریف دقیق تر این است: یک معادله ماورایی یک معادله است ... ویکی پدیا

عددی تقریباً برابر با 2.718 که اغلب در ریاضیات و علوم طبیعی. به عنوان مثال، هنگامی که یک ماده رادیواکتیو پس از زمان t تجزیه می شود، کسری برابر با e kt از مقدار اولیه ماده باقی می ماند که k یک عدد است،... ... دایره المعارف کولیر

E یک ثابت ریاضی، پایه لگاریتم طبیعی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر (نباید با اعداد اویلر نوع اول اشتباه گرفت) یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین “e” مشخص می شود... ... ویکی پدیا

E یک ثابت ریاضی، پایه لگاریتم طبیعی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر (نباید با اعداد اویلر نوع اول اشتباه گرفت) یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین “e” مشخص می شود... ... ویکی پدیا

4.2. اعداد جبری و ماورایی

گاهی اوقات اعداد حقیقی به جبری و ماورایی نیز تقسیم می شوند.

اعداد جبری اعدادی هستند که ریشه چندجمله ای های جبری با ضرایب صحیح هستند، مثلاً 4، . همه اعداد دیگر (غیر جبری) ماورایی در نظر گرفته می شوند. از آنجایی که هر عدد گویا p/q ریشه چند جمله ای متناظر درجه اول با ضرایب صحیح qx -p است، پس همه اعداد ماورایی غیرمنطقی هستند.

برجسته کنیم ویژگی های مشخصهاعداد در نظر گرفته شده (طبیعی، گویا، واقعی): آنها فقط یک ویژگی را مدل می کنند - کمیت. آنها یک بعدی هستند و همه با نقاطی در یک خط مستقیم به نام محور مختصات نشان داده می شوند.

5. اعداد مختلط

5.1. اعداد خیالی

حتی عجیب تر از اعداد غیرمنطقی، اعداد ماهیت جدیدی بودند که توسط دانشمند ایتالیایی کاردانو در سال 1545 کشف شد. او نشان داد که سیستم معادلاتی که در مجموعه اعداد حقیقی هیچ جوابی نداشته باشد، جواب هایی به شکل، . شما فقط باید موافقت کنید که روی چنین عباراتی طبق قوانین جبر معمولی عمل کنید و فرض کنید که · = -.

کاردانو چنین مقادیری را «کاملاً منفی» و حتی «از لحاظ سوفسطایی منفی» نامید، آنها را بی فایده دانست و سعی کرد از آنها استفاده نکند.

برای مدت طولانی، این اعداد غیرممکن، ناموجود و خیالی تلقی می شدند. دکارت آنها را خیالی، لایب نیتس نامید - "فریبنده ای از دنیای ایده ها، موجودی که بین هستی و نیستی قرار دارد."

در واقع، با کمک چنین اعدادی نمی توان نتیجه اندازه گیری هر کمیت یا تغییر در هر کمیت را بیان کرد.

در محور مختصات جایی برای اعداد خیالی وجود نداشت. با این حال، دانشمندان متوجه شدند که اگر یک عدد واقعی b را در قسمت مثبت محور مختصات بگیریم و آن را در ضرب کنیم، یک عدد فرضی b به دست می‌آوریم که در کجا قرار دارد. اما اگر این عدد را دوباره ضرب کنیم، -b یعنی عدد اصلی اما در قسمت منفی محور مختصات بدست می آید. بنابراین با دو ضرب عدد b را از مثبت به منفی پرتاب کردیم و دقیقاً در وسط این پرتاب عدد خیالی بود. اینگونه است که ما در نقاطی از محور مختصات فرضی عمود بر وسط محور مختصات واقعی، جایی برای اعداد فرضی پیدا کردیم. نقاط صفحه بین محورهای فرضی و واقعی نشان دهنده اعداد یافت شده توسط کاردانو هستند که در نمای کلی a + b·i شامل اعداد حقیقی a و اعداد خیالی b·i در یک مختلط (ترکیب) است، بنابراین آنها را اعداد مختلط می نامند.

این چهارمین سطح تعمیم اعداد بود.

تکنیک عملیات روی اعداد خیالی به تدریج توسعه یافت. در اواخر قرن هفدهم و هفدهم، یک نظریه کلی در مورد ریشه های قدرت های نهم، ابتدا از منفی و سپس از هر اعداد مختلط، بر اساس فرمول زیر از ریاضیدان انگلیسی A. Moivre ساخته شد:

با استفاده از این فرمول، می توان فرمول هایی برای کسینوس و سینوس کمان های متعدد نیز استخراج کرد.

لئونارد اویلر در سال 1748 یک فرمول قابل توجه به دست آورد:

که تابع نمایی را با تابع مثلثاتی به هم مرتبط می کند. با استفاده از فرمول اویلر، می توان عدد e را به هر یک افزایش داد مدرک جامع. برای مثال جالب است که ... می توانید sin و cos اعداد مختلط را پیدا کنید، لگاریتم این اعداد را محاسبه کنید و غیره.

برای مدت طولانی، حتی ریاضیدانان اعداد مختلط را مرموز می دانستند و از آنها فقط برای دستکاری های ریاضی استفاده می کردند. بنابراین، برنولی ریاضیدان سوئیسی از اعداد مختلط برای حل انتگرال ها استفاده کرد. کمی بعد با کمک اعداد خیالی یاد گرفتند که راه حل های خطی را بیان کنند معادلات دیفرانسیلبا ضرایب ثابت چنین معادلاتی برای مثال در نظریه نوسانات یافت می شود نقطه مادیدر یک محیط مقاوم

گروه های جبریماتریس ها

سیستم های بسته جبری

بیایید با مفهوم عملیات جبری شروع کنیم. فرض کنید A یک جبر جهانی با مجموعه‌ای از عملیات جبری U باشد. برای هر عدد طبیعی n، عملیات n-ary u نقشه برداری از An به A است...

قدرت اعداد اول

اعداد اول متقابل اعداد طبیعی یا کاملی هستند که تعداد واحدهای یکسانی آنها بزرگتر از 1 نیست، یا در غیر این صورت به نظر می رسد بیشترین تعداد واحدهای آنها بزرگتر از 1 باشد. بنابراین، 2 و 3 -- به صورت بسیار ساده و 2 و 4 نیستند (تقسیم بر 2)...

نمودارها و توابع آنها

بیایید عملیات اساسی جبری روی توابع و نمودارهای آنها را در نظر بگیریم، مانند جمع و تفریق (y = f(x) ±g(x))، ضرب (y = f(x) g(x))، تقسیم (y = f( x) / g(x)). هنگام ساخت این نوع نمودار، باید در نظر بگیرید ...

اعداد مختلط: گذشته و حال آنها

ریاضیات در قرون وسطی

شرط لازمکاربرد روش نیش چنگ در سیستم معادلات، معرفی اعداد منفی بود. به عنوان مثال، هنگام حل یک سیستم، یک جدول به دست می آوریم. مرحله بعد: کم کردن عناصر ستون سوم از سمت راست از عناصر ستون اول...

عدد شناسی

فیثاغورث اعداد را نه تنها جانشین های انتزاعی برای چیزهای واقعی، بلکه موجودات زنده ای را که ویژگی های فضا، انرژی یا ارتعاش صدا را منعکس می کنند، در نظر گرفت. علم اصلی اعداد، حساب...

عدد شناسی

افسانه ها می گویند که اعداد هارمونیک، که نسبت آنها باعث ایجاد موسیقی کره ها می شود، توسط فیثاغورث کشف شد. فلاماریون این افسانه را اینگونه بازگو می کند: «می گویند هنگام عبور از کنار یک فورج، صدای چکش را شنید...

کاربرد عملیفرمول های مربعی با وزن چبیشف-هرمیت

اجازه دهید یک تابع وزن یکنواخت در کل محور مشخص شود.

(1.1) با تمایز متوالی این تابع، در می یابیم (1.2) به راحتی می توان با استقرا ثابت کرد که مرتبه n مشتق تابع (1.1) حاصلضرب این تابع با چند جمله ای درجه n است...

بیایید یک عدد نامعتبر جدید معرفی کنیم که مربع آن -1 است. این عدد را با علامت I نشان می دهیم و آن را واحد خیالی می نامیم. بنابراین، (2.1) سپس. (2.2) 1. شکل جبری یک عدد مختلط اگر، عدد (2.3) را یک عدد مختلط ...

دنباله های عددی به طور مکرر تعریف شده

هنگام حل بسیاری از مسائل، اغلب باید با دنباله هایی که به طور مکرر داده می شوند سر و کار داشته باشید، اما بر خلاف دنباله فیبوناچی، همیشه نمی توان وظیفه تحلیلی آن را به دست آورد.

معادلات ماورایی با پارامترها و روش های حل آنها

معادله ماورایی معادله ای است حاوی توابع ماورایی (غیر منطقی، لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی و معکوس مثلثاتی) یک مجهول (متغیر)، برای مثال معادله ...

خیلی وقت پیش، مردم وقتی به خود کمک می کردند تا با سنگریزه بشمارند، به ارقام صحیحی که می توان از سنگریزه درست کرد توجه می کردند. شما به سادگی می توانید سنگریزه ها را در یک ردیف قرار دهید: یک، دو، سه. اگر آنها را در دو ردیف قرار دهید تا مستطیل شوند ...

معادله ماورایی معادله ای است حاوی توابع ماورایی (غیر منطقی، لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی و معکوس مثلثاتی) یک مجهول (متغیر)، برای مثال معادله ...

گاهی اوقات اعداد کامل را یک مورد خاص از اعداد دوستانه در نظر می گیرند: هر عدد کاملی با خودش دوست است. فیلسوف و ریاضیدان معروف نیکوماخوس گراس می نویسد: «اعداد کامل زیبا هستند.

ویژگی های فراکتالی فرآیندهای اجتماعی

فراکتال های هندسیارقام ثابت هستند این رویکرد تا زمانی که نیازی به بررسی آن نباشد کاملا قابل قبول است پدیده های طبیعیمانند آب در حال سقوط، چرخش های متلاطم دود...