تقلیل سیستم فضایی نیروها به ساده ترین شکل آن. موارد خاص آوردن یک سیستم فضایی دلخواه نیروها به مرکز. آوردن به یک جفت

آوردن سیستمی از نیروها به مرکز

سوالات

سخنرانی 6

3. شرایط تعادل سیستم دلخواهقدرت

1. یک سیستم اختیاری از نیروها را در نظر بگیرید. بیایید یک نقطه دلخواه را انتخاب کنیم در موردبرای مرکز کاهش و با استفاده از قضیه در مورد انتقال موازینیروها، اجازه دهید تمام نیروهای سیستم را به یک نقطه معین منتقل کنیم، فراموش نکنید که هنگام انتقال هر نیرو، یک جفت نیرو را اضافه کنیم.

اجازه دهید سیستم حاصل از نیروهای همگرا را با یک نیروی برابر با بردار اصلی سیستم اصلی نیروها جایگزین کنیم. سیستم جفت نیرو تشکیل شده در حین انتقال با یک جفت با گشتاوری برابر با مجموع هندسی گشتاورهای همه جفت نیرو (یعنی مجموع هندسی گشتاورهای سیستم نیروی اولیه نسبت به مرکز) جایگزین می شود. در مورد).

این لحظه نامیده می شود گشتاور اصلی سیستم نیرو نسبت به مرکز O (شکل 1.30).

برنج. 1.30. آوردن سیستمی از نیروها به مرکز

بنابراین، هر سیستمی از نیروها را همیشه می توان تنها با دو عامل نیرو جایگزین کرد - بردار اصلی و گشتاور اصلی نسبت به مرکز کاهش دلخواه انتخاب شده است . بدیهی است که بردار اصلی سیستم نیرو به انتخاب مرکز کاهش بستگی ندارد (گفته می شود بردار اصلی نسبت به انتخاب مرکز کاهش ثابت است). همچنین بدیهی است که ممان اصلی این خاصیت را ندارد، بنابراین همیشه باید مشخص شود که ممان اصلی با توجه به کدام مرکز تعیین می شود.

2. آوردن سیستم نیروها به ساده ترین شکل

امکان ساده سازی بیشتر سیستم های نیروی دلخواه به مقدار بردار اصلی و ممان اصلی آنها و همچنین به انتخاب موفقیت آمیز مرکز کاهش بستگی دارد. در این صورت امکان پذیر است موارد زیر:

الف)، . در در این موردسیستم به یک جفت نیرو با یک لحظه کاهش می یابد که مقدار آن به انتخاب مرکز کاهش بستگی ندارد.

ب) ، . این سیستم به نتیجه ای برابر با . کاهش می یابد که خط عمل آن از مرکز می گذرد در مورد.

ج) و بر هم عمود هستند. این سیستم به نتیجه ای برابر کاهش می یابد اما از مرکز عبور نمی کند در مورد(شکل 1.31).

برنج. 1.31. آوردن یک سیستم از نیروها به یک نتیجه

همانطور که در شکل نشان داده شده است، اجازه دهید ممان اصلی را با یک جفت نیرو جایگزین کنیم. 1.31. تعریف کنیم آراز شرایطی که M 0 = R h. سپس، بر اساس اصل دوم استاتیک، اجازه دهید یک سیستم متعادل از دو نیرو اعمال شده در یک نقطه را رد کنیم. در مورد.

د) و موازی. سیستم توسط یک پیچ دینامیک با محوری که از مرکز می گذرد هدایت می شود در مورد(شکل 1.32).

برنج. 1.32. پیچ دینامیک

ه) و برابر با صفر نیستند و در عین حال بردار اصلی و ممان اصلی موازی و عمود بر هم نیستند. سیستم توسط یک پیچ پویا هدایت می شود، اما محور از مرکز عبور نمی کند در مورد(شکل 1.33).

برنج. 1.33. کلی ترین مورد کاهش یک سیستم نیروها

مورد I.

اگر بردار اصلی سیستم نیرو برابر با صفر و گشتاور اصلی آن نسبت به مرکز کاهش برابر با صفر باشد، نیروها متقابلاً متعادل می شوند.

مورد دوم

اگر بردار اصلی یک سیستم نیرو برابر با صفر باشد و گشتاور اصلی آن نسبت به مرکز کاهش برابر با صفر نباشد، نیروها به یک جفت نیرو تقلیل می‌یابند. ممان این جفت نیرو برابر است با ممان اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز کاهش.

در این حالت، گشتاورهای اصلی سیستم نیروها نسبت به تمام نقاط فضا از نظر هندسی برابر هستند.

مورد III.

اگر بردار اصلی سیستم نیروها برابر با صفر نباشد و گشتاور اصلی آن نسبت به مرکز شبح برابر با صفر باشد، نیروها به نتیجه ای کاهش می یابند که خط عمل آن از مرکز می گذرد. از روح

مورد IV. و .

اگر ممان اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز کاهش عمود بر بردار اصلی باشد، نیروها به نتیجه ای کاهش می یابند که خط عمل آن از مرکز کاهش عبور نمی کند (شکل 145). .

مورد V. و .

اگر ممان اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز کاهش عمود بر بردار اصلی نباشد، نیروها به دو نیروی عبوری یا به یک پیچ قدرت (دینام) کاهش می‌یابند. به ترکیب یک نیرو و یک جفت نیرو که صفحه آنها عمود بر نیرو است.

کاهش به دو نیروی عبوری (شکل 147):

معادلات تعادل برای سیستم های مختلف نیرو

برای نیروهایی که خودسرانه در فضا قرار گرفته اند، دو شرط تعادل مطابقت دارد:

ماژول های لحظه اصلی و بردار اصلی برای سیستم نیروهای مورد نظر با فرمول تعیین می شوند:

شرایط فقط تحت شش معادله اصلی مربوط به تعادل نیروها که به طور دلخواه در فضا قرار دارند برآورده می شوند:

سه معادله اول را معادلات گشتاور نیروها نسبت به محورهای مختصات و سه معادله آخر را معادلات پیش بینی نیروها بر محورها می نامند.

اشکال معادلات تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها

برای نیروهایی که خودسرانه روی یک صفحه قرار می گیرند، دو شرط تعادل وجود دارد:

دو شرط برای تعادل نیروهایی که به طور دلخواه در یک صفحه قرار می گیرند را می توان به عنوان یک سیستم از سه معادله بیان کرد:

این معادلات را معادلات تعادل پایه یک سیستم هواپیمای نیروها می نامند. مرکز گشتاورها و جهت محورهای مختصات برای این سیستم معادلات را می توان به صورت دلخواه انتخاب کرد.

دو سیستم دیگر از سه معادله سیستم نیروها وجود دارد.

در همان زمان، در سیستم محور تونباید بر خطی که از نقاط A و B می گذرد عمود باشد.

از آنجایی که گشتاورهای اصلی سیستم نیروها نسبت به دو مرکز برابر با صفر است، سیستم نیروهای مورد نظر به یک جفت نیرو کاهش نمی یابد. پیش بینی حاصل بر روی هر محوری برابر است با مجموع برآمدگی نیروهای مؤلفه، یعنی. بنابراین، برآیند مفروض بنابراین، سیستم نیروها به یک جفت نیرو یا یک برآیند تقلیل نمی‌یابد، و بنابراین، متعادل است.

جایی که نقاط A، B، C روی یک خط قرار ندارند. در این حالت نیروها به یک جفت نیرو تقلیل نمی‌یابند، زیرا گشتاورهای اصلی نیروها نسبت به سه مرکز برابر با صفر است. نیروها به یک نتیجه تقلیل نمی‌یابند، زیرا اگر وجود داشته باشد، خط عمل آن نمی‌تواند از سه نقطه که روی یک خط مستقیم قرار ندارند عبور کند. بنابراین، سیستم نیروها به یک جفت نیرو یا یک نتیجه تقلیل نمی‌یابد، و بنابراین، متعادل است.

مرکز نیروهای موازی

هنگامی که دو نیروی موازی اضافه می شود، دو نیروی موازی به یک نیرو کاهش می یابد - نتیجه که خط عمل آن به موازات خطوط عمل نیروها هدایت می شود. حاصل در نقطه ای که خط مستقیم را تقسیم می کند، در فواصل معکوس متناسب با بزرگی نیروها اعمال می شود.

از آنجایی که نیرو را می توان در امتداد خط عمل آن منتقل کرد، نقطه اعمال حاصل مشخص نمی شود. اگر نیروها با همان زاویه بچرخند و نیروها دوباره اضافه شوند، جهت متفاوتی از خط عمل حاصل را به دست می آوریم. نقطه تلاقی این دو خط حاصل را می توان نقطه اعمال برآیند در نظر گرفت که وقتی همه نیروها به طور همزمان در یک زاویه می چرخند، موقعیت خود را تغییر نمی دهد. این نقطه را مرکز نیروهای موازی می نامند.

قضیه (در مورد انتقال موازی نیرو به هر نقطه).نیروی اعمال شده به ATT بدون تغییر در اثری که بر بدن اعمال می کند، می تواند به موازات خود به هر نقطه ای از ATT منتقل شود و یک جفت نیرو با گشتاور برابر با لحظه نیروی منتقل شده نسبت به نقطه اضافه شود. جایی که منتقل می شود.

اثباتاجازه دهید A.T.T.زور عمل می کند اف،در یک نقطه اعمال شود الفطبق اصل 2 استاتیک، در هر نقطه از بدن می توانیم یک سیستم متعادل از نیروها را اعمال کنیم F, F",برای مثال در یک نقطه در(شکل 4.1).

برنج. 4.1

اجازه دهید F" = F.سپس سیستم حاصل از سه نیرو را می توان سیستمی متشکل از نیرو در نظر گرفت اف"و یک جفت نیرو اضافه شده است F، Fبا لحظه تی = mB (F). ?

اجازه دهید دو قضیه دیگر را ارائه کنیم که می توانند در حل مسائل مفید باشند. اولی است اویلر - قضیه سوموف.

قضیه.یک سیستم فضایی دلخواه از نیروهایی که بر ATT عمل می کنند را می توان به دو نیرو تقلیل داد (تقاطع نیروها)، که یکی از آنها در نقطه A از TT به طور دلخواه انتخاب شده اعمال می شود.

دوم - قضیه وارینیون برای یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها،که یک مورد خاص از قضیه اویلر-سوموف است.

قضیه.یک سیستم هواپیمای دلخواه از نیروها معادل سیستمی از دو نیرو است که در این صفحه قرار دارد.

? آوردن یک سیستم نیروها به یک قضیه مرکز (قضیه بنیادی استاتیک).عمل هر سیستم دلخواه نیرو بر روی ATT معادل عمل در نقطه دلخواه A از این بردار اصلی ATT است. 1 F این سیستم نیروها و یک جفت نیرو با ممان MA که برابر با ممان اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز کاهش A 2 است.

اثباتاجازه دهید A.T.T.یک سیستم اختیاری از نیروها عمل می کند F(_n.بیایید یک نقطه را خودسرانه انتخاب کنیم الفجسم به عنوان مرکز کاهش (شکل 4.2) و تمام نیروها را طبق قضیه انتقال موازی نیرو به این نقطه منتقل کنید.

برنج. 4.2.به قضیه بنیادی استاتیک: تقلیل به ساده ترین شکل یک سیستم اختیاری نیروها

با چنین انتقالی در نقطه الفدو گروه از بردارها اعمال خواهد شد:

1) بردارهای نیرو F(_n = Fx_nو 2) بردارهای ممان اضافه #و LO b,1 = m A (F\_„). SSS Fx"_nمی تواند با نتیجه جایگزین شود اف = ^Fj،و یک سیستم از جفت معادل یک جفت با یک لحظه است

m l = !

در مورد خاص مکان همه نیروها در یک صفحه - سیستم مسطح نیروها - سیستم نیروها به بردار اصلی و ممان اصلی اسکالر کاهش می یابد (از آنجایی که جهت بردار ممان اصلی مشخص است، عمود بر صفحه محل نیروها است).

قدرت اف،برابر با مجموع هندسی / برداری تمام نیروهای سیستم نامیده می شود بردار اصلیسیستم های نیروها

لحظه M A،برابر با مجموع هندسی/بردار گشتاورهای تمام نیروها نسبت به مرکز الف،تماس گرفت نکته اصلیسیستم های نیروها

بنابراین، عمل مکانیکی هر سیستم فضایی نیرو بر روی ATT با دو پارامتر تعمیم یافته مشخص می شود:

• 1 برای تعریف بردار اصلی و ممان اصلی یک سیستم نیروها، در ادامه این فصل ببینید.
• 2 در همان زمان افبه انتخاب مرکز بستگی ندارد L(به عبارت دیگر، بردار اصلی سیستم نیرو یک تغییر ناپذیر از سیستم نیرو است) و مقادیر M Aدر حالت کلی، به موقعیت مرکز کاهش بستگی دارد (به عبارت دیگر، لحظه اصلی سیستم نیروها تغییر ناپذیر سیستم نیروها نیست).

رامی: بردار اصلی و لحظه اصلی. تعیین این مقادیر را می توان با ساخت هندسی یا با محاسبات عددی با استفاده از فرمول های زیر انجام داد:

اگر نیاز به پیدا کردن زاویه دارید، کسینوس جهت بردارهای اصلی محاسبه می شود:

? موارد خاص کاهش سیستم های نیرو

این موارد به طور رسمی با برابری صفر مقادیر بردارهای اصلی سیستم نیرو همراه است.

من مورد.کاهش یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها:

• 1) F=در مورد، M L - 0 - سیستم نیروها در حالت تعادل است.
• 2) F-در مورد، M A F M A،
• 3) FFدر مورد، M A - 0 - سیستم نیروها به یک بردار اصلی کاهش می یابد (در مرکز کاهش اعمال می شود الف)که در این صورت نیروی حاصل است;
• 4) اف افدر مورد، M A F 0 - سیستم نیروها به یک نیرو کاهش می یابد - بردار اصلی سیستم نیروهای اعمال شده در نقطه در(شکل 4.3)، که در این مورد نیروی حاصل است.

برنج. 4.3.

در شکل فاصله 4.3 LW = د،که بازوی نیرو است، از شرط محاسبه می شود M A - Fد

مورد دومآوردن یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها:

• 1)F= در مورد، M A= 0 - سیستم نیروها در تعادل است.
• 2) F=در مورد، M Aاف 0 - سیستم نیروها با یک لحظه به یک جفت کاهش می یابد M A،که ارزش آن به انتخاب مرکز کاهش بستگی ندارد.
• 3) FFدر مورد، M A = 0 - سیستم نیروها به یک نتیجه کاهش می یابد اف
• 4) Gf اوه، M Aاف 0:
  • الف) اف الفM A -سیستم نیروها به یک نتیجه کاهش می یابد که در نقطه اعمال می شود دربه گونه ای که LW = د = M.J.F.(شکل 4.3 را ببینید).
  • ب) F M A -سیستم نیروها (شکل 4.4) در این مورد نامیده می شود پیچ دینامیک / قدرت،یا فقط دینامخط مستقیمی که بردار اصلی در امتداد آن هدایت می شود نامیده می شود محور پویایی یا محور مرکزی سیستم نیروها.

برنج. 4.4.

تحت تأثیر چنین سیستم نیروها، بدن آزاد یک حرکت پیچی انجام می دهد. در کار تحلیلیمحور پویایی که از قطب می گذرد الف،دارای معادلات:

کجا - پارامتر پویاییداشتن ابعاد طول

در واقع، اجازه دهید M 0= ^Г(#;. x/s) - لحظه اصلی سیستم نیروها F iبا نتیجه F(X,U، Z)= نسبت به مرکز در موردو M A= ^(i، x/D - لحظه اصلی همان سیستم نیروها هنگامی که به مرکز آورده می شود الف(شکل 4.5، الف).از آنجایی که /*، = OA+ پس من M L = M 0 -OAX^F i= M 0 -OA X اف.شرط خطی برای بردار اصلی و لحظه اصلی برای یک نقطه الفبه صورت زیر نوشته شده است: pF = M A،کجا r- یک پارامتر پیچ که دارای بعد طول است. از کجا تهیه کنیم؟

و با معادل سازی ضرایب بردارهای واحد در سمت چپ و راست، معادله مورد نظر را برای محور مرکزی دینام بدست می آوریم.

برنج. 4.5،الفبرای استخراج معادله محور مرکزی پویایی

ج) اگر بردار اصلی و ممان اصلی بین خود زاویه φ ایجاد کنند که با صفر و l/2 متفاوت باشد، سیستم نیروها به پویایی تقلیل می یابد. F، M pکه محور آن از نقطه عبور می کند دربه گونه ای که AB=MJF(برنج 4.5 ، ب).

برنج. 4.5،بمکان دلخواه بردار اصلی سیستم نیرو و ممان اصلی

همانطور که می بینیم، عناصر پویایی بردار اصلی هستند افسیستم های نیرو و پویایی لحظه ای ام آر M Aبه جهت بردار اصلی، یعنی. = M A soBf.

از کجا تهیه کنیم؟

اصلی متغیرهای ثابت 1سیستم های نیرو بردار اصلی هستند ری لحظه پویایی،برابر با فرافکنی لحظه اصلی است M Aبه جهت بردار اصلی. برای وکتور افاین گفته آشکار است. برای لحظه پویایی می توان به این نکته اشاره کرد M A = M 1( + M ± ,کجا M A F= M l(F+ M L F,یا M A F = M p F.

از آنجایی که بردار /’ ثابت است، نتیجه می شود که تابش ممان اصلی بر روی جهت آن نیز ثابت است.

? شرایط تعادل

بر اساس ویژگی های هندسی، سیستم های نیرو به انواع زیر تقسیم می شوند:

• 1) سیستم نیروهای همگرا،آن ها نیروهایی که خطوط عمل آنها در یک نقطه قطع می شود.
• 2) خودسرانه سیستم مسطح نیروها،آن ها نیروهایی که خطوط عمل آنها در یک صفحه قرار دارد.
• 3)سیستم نیروی موازی- مسطح و فضایی، یعنی. نیروهایی که خطوط عمل آنها موازی است.
• 4) خودسرانه سیستم فضایی نیروها

اگر علاوه بر یک سیستم نیرو، یک سیستم گشتاور نیز بر L TT تأثیر بگذارد، آنگاه هر لحظه از این سیستم را می توان به عنوان یک جفت نیرو نشان داد و بنابراین، سیستم گشتاور را به یک سیستم نیرو تقلیل داد.

شرط اصلی برای تعادل استاتیکی(به صورت برداری):

برای تعادل L TT تحت عمل یک سیستم فضایی نیروها، لازم و کافی است که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم نیروها نسبت به هر مرکز کاهش برابر با صفر 1 باشد:

فرافکنی این دو معادلات برداریبر روی محورهای مختصات انتخاب شده CO،شش معادله اسکالر یا شکل تحلیلی شرایط تعادل:

بنابراین، برای اینکه ATT تحت عمل یک سیستم فضایی نیروها در تعادل باشد، لازم و کافی است که مجموع برجستگی های همه نیروها بر روی هر یک از سه محور مختصات و مجموع گشتاورهای همه نیروها نسبت به این محورها باشد. برابر با صفر هستند.

همین شرایط را می توان به شکل هندسی فرموله کرد:برای اینکه ATT تحت تأثیر سیستم فضایی نیروها در تعادل باشد، لازم و کافی است که چند ضلعی نیرو و چندضلعی ممان بسته باشند.

شرایط تعادل بیان شده در شکل تحلیلی (4.1a) اغلب نیز نامیده می شود معادلات تعادلاگر تعداد مجهولات از تعداد معادلات تعادلی بیشتر شود، مشکل اینجاست از نظر استاتیکی نامشخصهمانطور که می بینیم، در حالت کلی، مشکل تعادل بدن می تواند شش کمیت ناشناخته داشته باشد.

نصیحت!برای به دست آوردن ساده ترین معادلات تعادل (که هر کدام حاوی حداقل تعداد مجهول است) می توانید محورهای مختصات را عمود بر بیشترین تعداد نیروهای مجهول رسم کنید و نقاطی را در تقاطع خطوط عمل به عنوان مرکز کاهش انتخاب کنید. بزرگترین عددنیروهای ناشناخته

• ? موارد خاص شرایط تعادل
• 1. سیستم نیروهای همگرا با مرکز نیروها در یک نقطه الفشرط تعادل برای آن به صورت برداری به یک معادله کاهش می یابد

1a. سیستم فضایی نیروهای همگرا. معادلات تعادل برای چنین سیستمی در شکل تحلیلی به شکل زیر خواهد بود:

16. سیستم هواپیمای نیروهای همگرا. معادلات تعادل برای چنین سیستمی به صورت تحلیلی، با فرض قرار گرفتن نیروها در صفحه موازی با صفحه اوه،شکل خواهد گرفت:

2. سیستم هواپیمای نیروها با نیروهای مستقر در هواپیما اوهو:

برای اطمینان ایستا در این مورد، تعداد مجهولات نباید بیش از سه باشد. همین معادلات را می‌توان به شکل‌های تحلیلی معادل دیگر ارائه داد:

خط کجاست خورشیدعمود بر محور نیست اوه

شکل دیگری از شرایط تعادل:

کجا الف، ب، جروی یک خط مستقیم دراز نکشید و متعلق به هواپیما باشید اوه

3. سیستم های نیروی موازی:

برای. سیستم های موازی نیروها در فضا، با در نظر گرفتن قرار گرفتن آنها به موازات محور اوهسپس، از شش معادله (4.1a)، اولین، سوم و ششم یکسان خواهند شد (صرف نظر از اینکه سیستم داده شده از نیروها در تعادل است یا خیر):

36. سیستم های موازی نیروها روی یک هواپیما، با در نظر گرفتن قرار گرفتن آنها در یک صفحه اوهوموازی با محور اوه:

یا به شکل دیگری:

4. برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، شرایط تعادل قبلاً در این فصل نشان داده شده است - این شرط اصلی برای تعادل استاتیک است (4.1).

مثال 1 ( آوردن سیستم نیروها به ساده ترین شکل).بردار اصلی را تعیین کنید R*و نکته اصلی M 0سیستم نیروهای داده شده R x، R 2، R 2، R 4نسبت به مرکز در موردو مشخص کنید که این سیستم به چه ساده ترین شکل می تواند کاهش یابد. ابعاد متوازی الاضلاع (شکل 4.6)، و همچنین ماژول ها و جهت نیروها در جدول نشان داده شده است.

هنگام تکمیل کار باید موارد زیر را انجام دهید:

• 1) یک سیستم معین از نیروها را با ساختن یک متوازی الاضلاع به مقیاس، نشان دادن زاویه به تصویر بکشید. xOyدر نقاشی برابر با 135 درجه؛ کاهش ابعاد محوری اوهبرابر 1:2 بگیرید.
• 2) با انتخاب یک سیستم از محورهای مختصات، ماژول و جهت بردار اصلی یک سیستم معین نیرو را از پیش بینی آن بر روی محورهای مختصات تعیین کنید و به تصویر بکشید. R*روی نقاشی؛

برنج. 4.6. مثال 1: متوازی الاضلاع اصلی

• 3) لحظه اصلی یک سیستم معین از نیروها را نسبت به مرکز محاسبه کنید در موردبا توجه به پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات و تصویر M 0روی نقاشی؛
• 4) کوچکترین گشتاور اصلی یک سیستم معین از نیروها را محاسبه کنید.
• 5) بر اساس نتایج محاسبات بردار اصلی و کوچکترین ممان اصلی M*مشخص کنید که سیستم نیروها به چه ساده‌ترین شکل کاهش یافته است. در این صورت باید موارد زیر را انجام دهید:
  • الف) اگر یک سیستم معین از نیروها به یک جفت نیرو کاهش یابد، با اعمال آن بر نقطه، ممان این جفت را نشان دهید. در مورد
• 6) اگر یک سیستم معین از نیروها به نتیجه کاهش یابد، سپس معادلات خط عمل حاصل را بیابید، نقاط تقاطع صفحات مختصات را با این خط تعیین کنید و آن را در نقشه به تصویر بکشید.
• ج) اگر یک سیستم معین از نیروها به یک داین (پیچ قدرت) کاهش یابد، سپس معادلات محور مرکزی را پیدا کنید، نقاط تلاقی صفحات مختصات را با این محور مشخص کنید و /?* و M* را در نقشه به تصویر بکشید. .

راه حل. 1. تعیین بردار اصلی یک سیستم معین از نیروها.سیستم نیروی مشخص شده در شکل نشان داده شده است. 4.7.

برنج. 4.7. به عنوان مثال 1: سیستم اعمال شده از نیروها که ما در ابتدا تعیین می کنیم

در این مورد، cos a = 0.6 و sin a = 0.8.

پیش بینی بردار اصلی روی محورهای مختصات:

ماژول بردار اصلی کسینوس جهت:

مطابق با داده های اولیه، به دست می آوریم X= 10.6 نیوتن، Y= 10.0 نیوتن؛ Z= -12.8 N; R* = 19.4 نیوتن; cos (R, i) = 0.547، cos (R, j) = 0.515، cos (R, k) == -0,660.

بردار اصلی در شکل نشان داده شده است. 4.8.

برنج. 4.8.

2. تعیین ممان اصلی یک سیستم معین از نیروها نسبت به مرکز O.

ممان های اصلی یک سیستم معین از نیروها نسبت به محورهای مختصات:

ماژول هایلایت:

کسینوس جهت:

در نتیجه محاسبات داریم: M x= -200 نیوتن سانتی متر؛ م= 384 نیوتن سانتی متر؛ م،= -200 نیوتن سانتی متر؛ cos (M 0, i) = -0.419; cos (M 0 ,j)= 0.805; cos (M 0 , K) - - -0,419.

نکته اصلی در شکل نشان داده شده است. 4.8.

3. محاسبه کوچکترین گشتاور اصلی یک سیستم معین از نیروها:

با استفاده از این فرمول دریافت می کنیم: LG = 221 N cm.

4. از آنجایی که R* Ф 0 و L/* * 0، سپس سیستم داده شده از نیروها به یک دینا (پیچ قدرت) کاهش می یابد.

معادله محور مرکزی:

از این سه معادله، تنها دو معادله مستقل هستند. با جایگزینی مقادیر عددی یافت شده مقادیر به دو تا از این معادله ها، متوجه می شویم:

مقادیر مختصات نقاط تقاطع محور مرکزی صفحات مختصات که با استفاده از این معادلات تعیین می شود، در جدول آورده شده است.

	مختصات، سانتی متر

محور مرکزی سیستم در شکل نشان داده شده است. 4.8.

توجه داشته باشید. اگر نیروها به یک نتیجه کاهش یابد، به عنوان مثال. R* f 0 و م"= 0، سپس معادلات خط عمل حاصل:

کجا X، Y، Z -پیش بینی نیروی حاصل بر روی محورهای مختصات. M x، M y، M. -گشتاورهای اصلی یک سیستم معین از نیروها نسبت به محورهای مختصات. از این سه معادله، تنها دو معادله مستقل هستند.

• نامتغیر کمیتی است که به انتخاب سیستم مختصات بستگی ندارد و بنابراین تحت تبدیل های مختلف سیستم مختصات ثابت می ماند. در این حالت، این مقادیر برای انتخاب های مختلف مرکز کاهش ثابت می ماند.
• این شرایط برای تعادل ATT در صورتی که در لحظه اولیه زمان در چارچوب مرجع اینرسی انتخاب شده در حالت سکون بوده کافی خواهد بود. به طور معمول، در عمل مهندسی، CO متصل به زمین به عنوان چنین سیستمی انتخاب می شود.

بیایید چند مورد خاص از قضیه قبل را در نظر بگیریم.

1. اگر برای یک سیستم معین، R = 0، M 0 = 0، آنگاه در حالت تعادل است.

2. اگر برای یک سیستم معین از نیروها R = 0، M 0  0، آنگاه با یک گشتاور M 0 = m 0 (F i) به یک جفت کاهش می یابد. در این مورد، مقدار M 0 به انتخاب مرکز O بستگی ندارد.

3. اگر برای یک سیستم معین R 0 را مجبور کند، آنگاه به یک نتیجه کاهش می یابد، و اگر R 0 و M 0 = 0، آنگاه سیستم با یک نیرو جایگزین می شود، یعنی. R حاصل از مرکز O عبور می کند. اگر R  0 و M 0  0 باشد، آنگاه سیستم با یک نیرویی که از نقطه مشخصی C عبور می کند، جایگزین می شود و OC = d(OCR) و d = |M 0 |/R.

بنابراین، یک سیستم مسطح از نیروها، اگر در تعادل نباشد، یا به یک نتیجه کاهش می‌یابد (وقتی R 0) یا به یک جفت (وقتی R = 0).

مثال 2. نیروهای اعمال شده به دیسک:

(شکل 3.16) این سیستم نیروها را به ساده ترین شکل خود می آورد.

راه حل: سیستم مختصات Oxy را انتخاب کنید. بیایید نقطه O را به عنوان بردار اصلی R انتخاب کنیم:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; برنج. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. بنابراین R = 0.

لحظه اصلی سیستم M 0:

M 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0، که در آن a شعاع دیسک است.

پاسخ: R = 0; M 0 = 0; بدن در تعادل است

سیستم نیروهای F 1, F 2, F 3 را که در شکل نشان داده شده است به ساده ترین شکل خود بیاورید (شکل 3.17). نیروهای F 1 و F 2 به اضلاع مخالف و نیروی F 3 در امتداد مورب مستطیل ABCD هدایت می شود که ضلع AD آن برابر با a است. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

راه حل: محورهای مختصات را همانطور که در شکل نشان داده شده است هدایت کنید. بیایید پیش بینی همه نیروها روی محورهای مختصات را تعیین کنیم:

قدر بردار اصلی R برابر است با:
;
.

کسینوس جهت خواهد بود:
;
.

از این رو: (x,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

در مورد اجازه دهید گشتاور اصلی سیستم نیروها را نسبت به مرکز کاهش A تعیین کنیم. سپس

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

با توجه به اینکه m A (F 1) = m A (F 3) = 0، از آنجایی که جهت نیروها از نقطه A می گذرد، پس

m A = m A (F 2) = F * a.

بنابراین، سیستم نیروها به یک نیروی R و یک جفت نیرو با یک گشتاور m A جهت خلاف جهت عقربه های ساعت کاهش می یابد (شکل 3.18).

پاسخ: R = 2F; (x,^R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F * a.

سوالاتی برای خودکنترلی

لحظه نیرو در مورد مرکز چقدر است؟

چند نیرو چیست؟

آوردن یک سیستم هواپیمای دلخواه از نیروها به یک مرکز معین؟

جمع نیروهای موازی؟

ادبیات: , , .

سخنرانی 4. شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیما دلخواه نیروها

شکل اصلی شرایط تعادل.برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی های همه نیروها در هر یک از دو محور مختصات و مجموع گشتاورهای آنها نسبت به هر مرکز واقع در صفحه عمل نیروها برابر با صفر هستند:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

شکل دوم شرایط تعادل:برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای همه این نیروها نسبت به هر دو مرکز A و B و مجموع برآمدگی آنها بر محور Ox عمود بر خط AB نباشد. برابر با صفر هستند:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

شکل سوم شرایط تعادل (معادله سه لحظه ای):برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع تمام این نیروها نسبت به هر سه مرکز A، B، C، که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، برابر با صفر باشد:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

پ مثال 1. تعیین واکنش های تعبیه شده یک تیر کنسول تحت تأثیر یک بار توزیع شده یکنواخت، یک نیروی متمرکز و دو جفت نیرو (شکل 4.1). شدت بار = 3*10 4 نیوتن بر متر؛ F = 4 * 10 4 H; m 1 = 2 * 10 4 H * m; m 2 = 3 * 10 4 H * m. BN = 3m; NC = 3 متر؛ CA = 4 متر.

آر راه حل:

با توجه به اصل رهایی از اتصالات، ما اتصالات را با واکنش های مربوطه جایگزین می کنیم. هنگامی که یک تعبیه صلب در دیوار رخ می دهد، یک نیروی واکنش R A با جهت نامعلوم و یک گشتاور نامعلوم m A بوجود می آید (شکل 4.2). بیایید بار توزیع شده را با نیروی متمرکز Q معادل اعمال شده در نقطه K (VK = 1.5 متر) جایگزین کنیم. اجازه دهید سیستم مختصات VCU را انتخاب کنیم و شرایط تعادل تیر را به شکل اصلی ترسیم کنیم:

پیش بینی نیروها بر روی محور X: - Fcos45 0 - R Ax = 0 (1)

پیش بینی نیروها روی محور Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

مجموع لحظات: m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

نیروی F را در نقطه C به دو جزء عمود بر یکدیگر F” و F’ تجزیه می کنیم. نیروی F’ لحظه ای نسبت به نقطه A ایجاد نمی کند، زیرا خط عمل نیرو از نقطه A می گذرد. ​​مدول نیرو F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

با جایگزینی مقادیر عددی به معادلات (1)، (2) و (3)، به دست می‌آییم:

در یک سیستم معین از سه معادله، سه مجهول وجود دارد، بنابراین سیستم یک راه حل دارد و فقط یک راه حل منحصر به فرد.

4*10 4 *0.7 = R Ax R Ax = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 m A = - 86.8*10 4 H*m

جواب: R Ax = 2.8*10 4 H; R Ay = 11.8 * 10 4 H; m A = - 86.8*10 4 H*m.

مثال 2. واکنش تکیه گاه های A، B، C و لولای D تیر مرکب را تعیین کنید (شکل 4.3).

q = 1.75 * 10 4 نیوتن بر متر؛ F = 6 * 10 4 H;

P = 5 * 10 4 H.

راه حل: بر اساس اصل رهایی از اتصالات، اتصالات را با واکنش های مربوطه جایگزین می کنیم.

آر بار توزیع شده را با نیروی متمرکز Q = q*KA که در نقطه M اعمال می شود جایگزین می کنیم (AM = 2m). تعداد نیروهای واکنش ناشناخته: R Ax، R Ay، R B، R C و دو جفت مولفه نیروی واکنش در لولا D.

بیایید به طور جداگانه به واکنش های لولا D نگاه کنیم. برای انجام این کار، تیرهای AD و DE را جداگانه در نظر بگیرید (شکل 4.5a، 4.5b). طبق قانون سوم نیوتن در لولا D، سیستمی از نیروهای R Dx و R Dy بر روی تیر KD و سیستم مخالف نیروها بر روی تیر DE اعمال می شود: R' Dx و R' Dy و قدر نیروها به صورت جفت مساوی هستند، یعنی. R Dx = R Dx و R Dy = R Dy. ایننیروهای داخلی

پرتو مرکب، بنابراین تعداد نیروهای واکنش ناشناخته شش است. برای تعیین آنها، ایجاد شش معادله مستقل از حالت های تعادل ضروری است. گزینه های زیر برای ترکیب معادلات حالت امکان پذیر است.

ما شرایط تعادل را برای کل سازه (3 معادله) و برای یک عنصر جداگانه از این ساختار ترسیم می کنیم: تیر KD یا تیر DE.

هنگام تدوین معادلات تعادل برای کل سازه، نیروهای داخلی در نظر گرفته نمی شوند، زیرا پس از جمع، یکدیگر را خنثی می کنند.

معادلات شرایط تعادل برای کل سازه:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

معادلات شرایط تعادل برای عنصر DE:

R’ Dy، + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC – P*DE = 0
به این ترتیب شش معادله مستقل با شش مجهول جمع آوری می شود، بنابراین سیستم معادلات یک راه حل دارد و فقط یک راه حل منحصر به فرد. با حل سیستم معادلات، نیروهای واکنش مجهول را مشخص می کنیم.
استاتیک بدنه صلب:

سیستم فضایی نیروها

7.1 نیروها به رئوس مکعب در جهت لبه ها اعمال می شود، همانطور که در شکل نشان داده شده است. مدول های نیرو F1، F2، F3، F4، F5 و F6 باید چه شرایطی را داشته باشند تا در حالت تعادل باشند؟
راه حل

7.2 سه نیروی P با قدر مساوی بر روی سه یال متقاطع و غیر موازی یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل عمل می کنند.
راه حل

7.3 چهار نیروی با قدر مساوی بر چهار راس A، H، B و D مکعب اعمال می شود: P1=P2=P3=P4=P، با نیروی P1 در امتداد AC، P2 در امتداد HF، P3 در امتداد BE و P4 در امتداد. DG. این سیستم را به ساده ترین شکل خود بیاورید.
راه حل

7.4 نیروهای زیر به یک چهار وجهی منظم ABCD که لبه های آن برابر با a است اعمال می شود: F1 در امتداد لبه AB، F2 در امتداد لبه CD و F3 در نقطه E در وسط یال BD. بزرگی نیروهای F1 و F2 دلخواه هستند و پیش بینی های نیروی F3 روی محورهای x، y و z برابر با +F25√3/6 است. -F2/2; -F2√(2/3). آیا این سیستم نیروها به یک نتیجه کاهش می یابد؟ اگر داده شد، مختصات x و z نقطه تقاطع خط عمل حاصل با صفحه Oxz را پیدا کنید.
راه حل

7.5 به رئوس یک مکعب که طول لبه های آن 5 سانتی متر است، شش نیروی با قدر مساوی، هر کدام 2 N اعمال می شود، همانطور که در شکل نشان داده شده است. این سیستم را به ساده ترین شکل خود بیاورید.
راه حل

7.6 سیستم نیروها: P1=8 N، هدایت شده در امتداد Oz، و P2=12 N، به موازات Oy، همانطور که در شکل نشان داده شده است، که در آن OA = 1.3 متر، به شکل متعارف تبدیل می شود و مقدار بردار اصلی را تعیین می کند. V از همه این نیروها و بزرگی گشتاور اصلی آنها M نسبت به نقطه دلخواه گرفته شده در محور مارپیچ مرکزی. زوایای α، β و γ ساخته شده توسط محور مارپیچ مرکزی با محورهای مختصات، و همچنین مختصات x و y نقطه برخورد آن با صفحه Oxy را بیابید.
راه حل

7.7 سه نیروی P1، P2 و P3 در صفحات مختصات قرار دارند و موازی با محورهای مختصات هستند، اما می توانند در هر دو جهت هدایت شوند. نقاط کاربرد A، B و C آنها در فواصل معین a، b و c از مبدا قرار دارند. بزرگی این نیروها باید چه شرطی را برآورده کند تا به یک نتیجه کاهش یابد؟ بزرگی این نیروها باید چه شرایطی را برآورده کند تا یک محور مارپیچ مرکزی از مبدأ مختصات عبور کند؟
راه حل

7.8 یک چهار ضلعی منظم ABCD با یال های برابر با a تحت یک نیروی F1 در امتداد لبه AB و نیروی F2 در امتداد لبه CD قرار می گیرد. مختصات x و y نقطه تقاطع محور مارپیچ مرکزی با صفحه Oxy را بیابید.
راه حل

7.9 دوازده نیروی P، مساوی از نظر بزرگی، در امتداد لبه های یک مکعب برابر با a، همانطور که در شکل نشان داده شده است، عمل می کنند. این سیستم نیروها را به شکل متعارف برسانید و مختصات x و y نقطه تقاطع محور مارپیچ مرکزی را با صفحه Oxy تعیین کنید.
راه حل

7.10 در امتداد لبه های یک متوازی الاضلاع مستطیلی، به ترتیب برابر با 10 متر، 4 متر و 5 متر، شش نیرو در شکل وجود دارد: P1=4 N، P2=6 N، P3=3 N، P4=2 N، P5=6 N، P6=8 N. این سیستم نیروها را به شکل متعارف برسانید و مختصات x و y نقطه تقاطع محور مارپیچ مرکزی را با صفحه Oxy تعیین کنید.
راه حل

7.11 نیروهای حاصله P=8000 kN و F=5200 kN فشار آب بر روی سد در صفحه عمودی میانی عمود بر وجوه مربوطه در فاصله H=4 متر و h=2.4 متر از پایه اعمال می شود. نیروی وزنی G1=12000 کیلونیوتن قسمت مستطیل شکل سد در مرکز آن و نیروی وزنی G2=6000 کیلونیوتن قسمت مثلثی در فاصله یک سوم طول پایه تحتانی مثلث اعمال می شود. بخش از لبه عمودی این بخش. عرض سد در قاعده b=10 متر، در بالا a=5 متر است. tan α=5/12. برآیند نیروهای واکنش توزیع شده خاکی که سد روی آن نصب شده است را تعیین کنید.
راه حل

7.12 وزن دکل رادیویی با پایه بتنی G=140 کیلونیوتن. نیروی کشش آنتن F=20 کیلو نیوتن و نیروی فشار باد حاصل P=50 کیلونیوتن به دکل اعمال می شود. هر دو نیرو افقی هستند و در صفحات عمود بر یکدیگر قرار دارند. H=15 m، h=6 m واکنش حاصل از خاکی که پایه دکل در آن گذاشته شده است را مشخص کنید.