سری اعداد دنباله ای است که همراه با دنباله دیگری در نظر گرفته می شود (به آن دنباله ای از مجموع جزئی نیز می گویند). مفاهیم مشابه در تحلیل های ریاضی و پیچیده استفاده می شود.

مقدار سری اعدادبا استفاده از تابع ROW.SUM به راحتی در اکسل قابل محاسبه است. بیایید به مثالی از نحوه عملکرد آن نگاه کنیم این تابعو سپس نموداری از توابع خواهیم ساخت. بیایید نحوه استفاده از سری اعداد را در عمل هنگام محاسبه رشد سرمایه بیاموزیم. اما ابتدا یک نظریه کوچک.

مجموع سری اعداد

سری اعداد را می توان سیستمی از تقریب اعداد در نظر گرفت. برای تعیین آن، از فرمول استفاده کنید:

در اینجا دنباله اولیه اعداد در سری و قانون جمع آمده است:

• ∑ - علامت ریاضی جمع.
• i - استدلال کلی.
• i یک متغیر است، قانونی برای تغییر هر آرگومان بعدی.
• ∞ علامت بی نهایت است، "حد" که تا آن جمع انجام می شود.

مدخل یعنی: خلاصه اعداد طبیعیاز 1 تا "به علاوه بی نهایت". از آنجایی که i = 1 است، محاسبه مجموع از یک شروع می شود. اگر عدد دیگری در اینجا وجود داشت (مثلاً 2، 3)، پس جمع کردن را از آن شروع می کردیم (از 2، 3).

مطابق با متغیر i، مجموعه را می توان به صورت بسط داده شده نوشت:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (تا "به علاوه بی نهایت").

تعریف مجموع یک سری اعداد از طریق "مجموع جزئی" ارائه شده است. در ریاضیات به آنها Sn می گویند. بیایید سری اعداد خود را به صورت مجموع جزئی بنویسیم:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

مجموع یک سری اعداد حد مجموع جزئی S n است. اگر حد محدود باشد، ما از یک سری "همگرا" صحبت می کنیم. بی نهایت - در مورد "واگرا".

ابتدا مجموع سری اعداد را پیدا می کنیم:

حال بیایید جدولی از مقادیر اعضای سری در اکسل بسازیم:

آرگومان اول کلی را از فرمول i=3 می گیریم.

همه مقادیر i زیر را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم: =B4+$B$1. مکان نما را در گوشه سمت راست پایین سلول B5 قرار دهید و فرمول را ضرب کنید.

بیایید ارزش ها را پیدا کنیم. سلول C4 را فعال کنید و فرمول را وارد کنید: =SUM(2*B4+1). سلول C4 را در محدوده مشخص شده کپی کنید.

مقدار مجموع آرگومان ها با استفاده از تابع: =SUM(C4:C11) به دست می آید. کلید میانبر ترکیبی ALT+"+" (به علاوه در صفحه کلید).

تابع ROW.SUM در اکسل

برای یافتن مجموع یک سری اعداد در اکسل، از تابع ریاضی SERIES.SUM استفاده کنید. این برنامه از فرمول زیر استفاده می کند:

آرگومان های تابع:

• x – مقدار متغیر؛
• n – درجه برای آرگومان اول؛
• m مرحله ای است که با آن درجه برای هر ترم بعدی افزایش می یابد.
• a ضرایبی برای توانهای مربوط به x هستند.

شرایط مهم برای کارکرد:

• همه آرگومان ها مورد نیاز است (یعنی همه باید پر شوند).
• همه آرگومان ها مقادیر NUMERIC هستند.
• بردار ضرایب طول ثابتی دارد (حد "بی نهایت" کار نخواهد کرد).
• تعداد "ضرایب" = تعداد آرگومان ها.

محاسبه مجموع یک سری در اکسل

همان تابع SERIES.SUM با سری های توان (یکی از انواع سری های تابعی) کار می کند. برخلاف آرگومان های عددی، آرگومان های آنها تابعی هستند.

سری های کاربردی اغلب در حوزه مالی و اقتصادی استفاده می شود. می توان گفت این حوزه کاربردی آنهاست.

مثلاً مقدار معینی پول (الف) را برای مدت معینی (ن) در بانک سپرده اند. ما یک پرداخت سالانه x درصد داریم. برای محاسبه مبلغ تعهدی در پایان دوره اول از فرمول استفاده می شود:

S 1 = a (1 + x).

در پایان دوره دوم و پس از آن، شکل عبارات به شرح زیر است:

S 2 = a (1 + x) 2 ;

S 3 = a (1 + x) 2 و غیره.

برای یافتن کل:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

مجموع جزئی در اکسل را می توان با استفاده از تابع ()BS یافت.

پارامترهای اولیه برای کار آموزشی:

با استفاده از یک تابع ریاضی استاندارد، مقدار انباشته شده را در پایان ترم پیدا می کنیم. برای انجام این کار، در سلول D2 از فرمول استفاده می کنیم: =B2*DEGREE(1+B3;4)

اکنون در سلول D3 همان مشکل را با استفاده از تابع داخلی اکسل حل خواهیم کرد: =BS(B3;B1;;-B2)

نتایج همان است که باید باشد.

1. نحوه پر کردن آرگومان های تابع BS(): "مناقصه" -نرخ بهره
2. ، که سپرده تحت آن ثبت می شود. از آنجایی که فرمت درصد در سلول B3 تنظیم شده است، ما به سادگی پیوندی به این سلول در قسمت آرگومان مشخص کردیم. اگر عددی مشخص می شد، قسمت صدم آن (20/100) نوشته می شد.
3. "Nper" تعداد دوره های پرداخت بهره است. در مثال ما - 4 سال.
4. "Plt" - پرداخت های دوره ای. در مورد ما هیچ کدام وجود ندارد. بنابراین، فیلد استدلال را پر نمی کنیم.

"Ps" - "ارزش فعلی"، مقدار سپرده. از آنجایی که برای مدتی از این پول جدا می شویم، پارامتر را با علامت "-" نشان می دهیم.

اکسل دارای توابع داخلی دیگری برای یافتن پارامترهای مختلف است. معمولاً اینها توابعی برای کار با آنها هستند پروژه های سرمایه گذاری, اوراق بهادارو پرداخت های استهلاک

رسم توابع مجموع یک سری اعداد

بیایید یک نمودار تابعی بسازیم که رشد سرمایه را منعکس کند. برای این کار باید یک نمودار از یک تابع بسازیم که مجموع سری های ساخته شده باشد. به عنوان مثال، بیایید همان داده های سپرده را در نظر بگیریم:

خط اول مقدار انباشته شده را پس از یک سال نشان می دهد. در دوم - در دو. و غیره.

بیایید ستون دیگری ایجاد کنیم که در آن سود را منعکس کنیم:

همانطور که فکر می کردیم - در نوار فرمول.

بر اساس داده های به دست آمده، نموداری از توابع می سازیم.

بیایید 2 محدوده را انتخاب کنیم: A5:A9 و C5:C9. به تب "Insert" - ابزار "Diagrams" بروید. نمودار اول را انتخاب کنید:

بیایید مشکل را حتی بیشتر «کاربردی» کنیم. در مثال از بهره مرکب استفاده کردیم. آنها به مبلغ تعلق گرفته در دوره قبل تعلق می گیرند.

بیایید برای مقایسه، علاقه ساده را در نظر بگیریم. فرمول سود ساده در اکسل: =$B$2*(1+A6*B6)

بیایید مقادیر به دست آمده را به نمودار "رشد سرمایه" اضافه کنیم.

مشخص است که سرمایه گذار چه نتیجه ای خواهد گرفت.

فرمول ریاضی برای مجموع جزئی یک سری تابعی (با بهره ساده): S n = a (1 + x*n)، که در آن a مبلغ سپرده اولیه، x بهره، n دوره است.

اجازه دهید دنباله ای از اعداد R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… داده شود. عبارت R 1 + R 2 + R 3 +… + R n +… نامیده می شود ردیف بی پایان، یا فقط نزدیکو اعداد R 1، R 2، R 3،… - اعضای یک شماره. منظور در اینجا این است که انباشت مجموع یک سری از جمله های اول آن شروع می شود. جمع S n = نامیده می شود مقدار جزئی ردیف: برای n=1 – مجموع جزئی اول، برای n=2 – مجموع جزئی دوم و غیره.

تماس گرفت سری همگرا، اگر دنباله جزئی های آن باشد مقادیر محدودیت دارند و واگرا- در غیر این صورت مفهوم مجموع یک سری را می توان گسترش داد و سپس برخی از سری های واگرا نیز دارای مجموع خواهند بود. دقیقا تمدید شد درک مقادیر ردیفدر توسعه الگوریتم‌هایی با فرمول مسئله زیر استفاده می‌شود: انباشت جمع باید تا زمانی انجام شود که عضو بعدی سری در مقدار مطلق از مقدار داده شده ε بیشتر باشد.

به طور کلی، تمام یا بخشی از اعضای یک سری را می توان با عباراتی که به تعداد اعضای سری و متغیرها بستگی دارد، مشخص کرد. به عنوان مثال،

سپس این سوال مطرح می شود که چگونه می توان مقدار محاسبات را به حداقل رساند - مقدار عضو بعدی سری را با توجه به محاسبه کنید. فرمول کلی برای عبارت سری(در مثال داده شده با یک عبارت زیر علامت جمع نشان داده شده است)، با استفاده از یک فرمول بازگشتی (خروجی آن در زیر ارائه شده است) یا با استفاده از فرمول های تکراری فقط برای بخش هایی از عبارت یک عضو سری (به زیر مراجعه کنید).

استخراج یک فرمول تکراری برای محاسبه یک جمله سری

فرض کنید باید یک سری از اعداد R 1، R 2، R 3، ... را پیدا کنید و به ترتیب آنها را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید.

,
, …,

برای کاهش محاسبات در این مورد، استفاده از آن راحت است عود کننده فرمولمهربان
، که به شما امکان می دهد با دانستن مقدار عضو قبلی سری R N-1، مقدار R N را برای N>1 محاسبه کنید، جایی که
- بیانی که پس از ساده کردن نسبت عبارت در فرمول (3.1) برای N به عبارت N-1 بدست می آید:

بنابراین، فرمول تکراری شکل می گیرد
.

از مقایسه فرمول کلی عبارت سری (3.1) و فرمول تکراری (3.2)، مشخص می شود که فرمول تکراری محاسبات را به طور قابل توجهی ساده می کند. بیایید آن را برای N=2، 3 و 4 اعمال کنیم، با دانستن این
:

روش های محاسبه مقدار یک عضو سری

برای محاسبه مقدار یک عضو سری، بسته به نوع آن، ممکن است ترجیح داده شود از یک فرمول کلی برای یک عضو سری یا یک فرمول تکرارشونده استفاده شود. روش ترکیبی برای محاسبه مقدار یک عضو سری، زمانی که فرمول های بازگشتی برای یک یا چند قسمت از یک عضو سری استفاده می شود و سپس مقادیر آنها به فرمول کلی عضو سری جایگزین می شود. به عنوان مثال، - برای یک سری ساده تر است که مقدار یک عضو سری را محاسبه کنید
با توجه به فرمول کلی آن
(مقایسه کنید با
- فرمول مکرر)؛ - برای یک ردیف
بهتر است از فرمول عود استفاده کنید
; - برای یک سری، یک روش ترکیبی باید استفاده شود، با محاسبه A N = X 3N با استفاده از فرمول مکرر
, N=2, 3,… با A 1 =1 و B N =N! - همچنین طبق فرمول مکرر
, N=2, 3,… با B 1 =1 و سپس – عضوی از سری
- طبق فرمول کلی که شکل خواهد گرفت
.

مثال 3.2.1 اجرای وظیفه

با دقت ε برای 0 o  X  45 o محاسبه کنید

با استفاده از فرمول عود برای محاسبه عبارت سری:

,

مقدار دقیق تابع cos X،

خطاهای مطلق و نسبی مقدار تقریبی.

برنامه پروژه 1;

($APPTYPE CONSOLE)

K=Pi/180; //ضریب تبدیل درجه به رادیان

Eps: Extended =1E-8;

X: تمدید شده = 15;

R, S, Y, D: Extended;

($IFNDEF DBG) //اپراتورها برای اشکال زدایی استفاده نمی شوند

Write("دقت لازم را وارد کنید:");

Write("مقدار زاویه را بر حسب درجه وارد کنید: ");

D:=Sqr(K*X); //X را به رادیان و مربع تبدیل کنید

//تخصیص مقادیر اولیه به متغیرها

//حلقه برای محاسبه شرایط یک سری و جمع آوری مجموع آنها.

//تا زمانی که مدول عضو بعدی سری از Eps بیشتر باشد اجرا کنید.

در حالی که Abs(R)>Eps انجام می دهد

اگر N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//نتایج محاسبه خروجی:

WriteLn(N:14"=تعداد مراحلی که به آن رسید"

"دقت مشخص شده")؛

WriteLn(S:14:11" = مقدار تابع تقریبی");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = مقدار دقیق تابع");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = خطای مطلق");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11،

" = خطای نسبی");

مشکل جمع کردن مجموعه ای از اصطلاحات در نظریه سری حل می شود.

کجا تو 1, تو 2, تو 3 …., تو n...-اعضای یک دنباله اعداد نامتناهی نامیده می شود سری اعداد.

اعداد تو 1, تو 2, تو 3 …., تون... تماس گرفت اعضای یک شماره، A تو n عبارت رایج این سری است.

به مجموع یک عدد محدود n از جمله های اول یک سری، nامین مجموع جزئی سری می گویند.

S n = تو 1 + تو 2 +… + تو n

آن ها S 1 = u 1 ; S 2 = تو 1 + تو 2

S n = تو 1 + تو 2 +…+ تو n

اگر حد محدودی از مجموع جزئی S n برای یک سری همگرا باشد n، یعنی

شماره اسمجموع سری نامیده می شود.

در غیر این صورت:

سپس سری واگرا نامیده می شود.

سری مرجع.

1. سری هندسی (پیشرفت هندسی)

مثال.

2. سری هارمونیک.

3. سری هارمونیک تعمیم یافته.

مثال.

.

نشانه های همگرایی سری های مثبت

قضیه 1. علامت ضروری همگرایی.

با استفاده از این ویژگی می توانید واگرایی یک سری را تعیین کنید.

مثال.

نشانه های کافی

قضیه 1. نشانه مقایسه سری.

بگذارید دو سری با علامت مثبت داده شود:

علاوه بر این، اگر سری (2) همگرا شود، سری (1) نیز همگرا می شود.

اگر سری (1) واگرا شود، سری (2) نیز واگرا می شود.

مثال.سری ها را برای همگرایی بررسی کنید:

بیایید این سری را با سری هندسی مقایسه کنیم:

بنابراین، در مقایسه، سری های مورد نیاز همگرا می شوند.

قضیه 2. آزمون دالامبر.

مثال.سری ها را برای همگرایی بررسی کنید:

طبق آزمون دالامبر، این مجموعه به هم نزدیک می‌شود.

قضیه 3. آزمون کوشی رادیکال.

3) مسئله همگرایی باز باقی می ماند.

مثال:سری اعداد را برای همگرایی بررسی کنید:

راه حل:

بنابراین، سری همگرا کوشی است.

قضیه 4. آزمون انتگرال کوشی.

اجازه دهید اعضای سریال

مثبت هستند و افزایش نمی یابند، یعنی مقادیر یک تابع بدون افزایش پیوسته هستند f(x) در x= 1, 2, …, n.

سپس برای همگرایی سری لازم و کافی است که انتگرال نامناسب همگرا شود:

مثال.

راه حل:

در نتیجه، سری واگرا می شود، زیرا انتگرال نامناسب واگرا می شود.

سریال متناوب مفهوم همگرایی مطلق و شرطی یک سری متناوب.

سریال نام دارد علامت متناوب، اگر هر یک از اعضای آن می تواند مثبت و منفی باشد.

سری متناوب را در نظر بگیرید:

قضیه 1. آزمون لایب نیتس (آزمون کافی).

اگر علامت ردیف متناوب

عبارات در مقدار مطلق کاهش می یابد، یعنی

سپس سری همگرا می شود و مجموع آن از جمله اول تجاوز نمی کند اس ≤ .

مثال.

راه حل:

بیایید تست لایب نیتس را اعمال کنیم:

.

بنابراین، سری همگرای لایب نیتس است.

قضیه 2. معیار کافی برای همگرایی یک سری متناوب.

اگر برای یک سری متناوب یک سری متشکل از مقادیر مطلق عبارت های آن همگرا شود، این سری متناوب همگرا می شود.

مثال:سری ها را برای همگرایی بررسی کنید:

راه حل:

از مقادیر مطلق عبارات سری اصلی به عنوان یک سری هارمونیک تعمیم یافته برای .

بنابراین، سری اصلی همگرا می شود.

این ویژگی کافی است، اما ضروری نیست، یعنی سری های متناوب وجود دارد که همگرا می شوند، اگرچه سری های متشکل از مقادیر مطلق واگرا می شوند.

تعریف 1. کاملا همگرا،اگر یک سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای آن همگرا شود.

تعریف 2.یک سری متناوب نامیده می شود مشروط همگرا،اگر سری به خودی خود همگرا شود، اما مجموعه ای که از مقادیر مطلق اعضای آن تشکیل شده است، واگرا می شود.

تفاوت آنها در این است که یک سری کاملاً همگرا به دلیل این واقعیت است که عبارات آن به سرعت کاهش می یابد و یک سری مشروط همگرا به دلیل این واقعیت است که عبارت های مثبت و منفی یکدیگر را خنثی می کنند.

مثال.

راه حل:

بیایید تست لایب نیتس را اعمال کنیم:

بنابراین، سری همگرای لایب نیتس است. اما یک سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای آن، مانند یک هارمونیک، واگرا می شود.

این بدان معنی است که سری اصلی به صورت مشروط همگرا می شوند.

مجموع سریال ها

وب سایتبه شما امکان می دهد پیدا کنید مجموع سریال های آنلایندنباله اعداد سرور علاوه بر یافتن مجموع یک سری دنباله اعداد آنلاین، در آن قرار دارد آنلاینپیدا خواهد کرد مجموع جزئی سریال. این برای محاسبات تحلیلی مفید است مجموع سریال های آنلاینباید به عنوان راه حلی برای حد توالی نمایش داده شود و پیدا شود مبالغ جزئی سریال. در مقایسه با سایت های دیگر وب سایتیک مزیت غیرقابل انکار دارد، زیرا به شما امکان می دهد پیدا کنید مجموع سریال های آنلایننه تنها عددی، بلکه محدوده عملکردی، که به ما امکان می دهد منطقه همگرایی اصلی را تعیین کنیم ردیفبا استفاده از شناخته شده ترین روش ها طبق نظریه ردیف ها، شرط لازم برای همگرایی یک دنباله عددی این است که حد جمله مشترک برابر با صفر باشد. سری اعدادهمانطور که متغیر به سمت بی نهایت میل می کند. با این حال، این شرط برای تعیین همگرایی یک سری اعداد آنلاین کافی نیست.. برای تعیین همگرایی سری آنلایننشانه های کافی مختلف از همگرایی یا واگرایی یافت شده است ردیف. معروف ترین و پرکاربردترین آنها علائم دالامبر، کوشی، رابه، مقایسه است. سری اعدادو همچنین علامت جدایی ناپذیر همگرایی سری اعداد. جایگاه ویژه در میان سری اعدادمواردی را که در آنها نشانه های اصطلاحات به شدت متناوب هستند و مقادیر مطلق را اشغال کنند سری اعدادیکنواخت کاهش می یابد. معلوم می شود که برای چنین سری اعدادعلامت لازم همگرایی سریال آنلاین در عین حال کافی است، یعنی برابری حد عبارت کلی به صفر سری اعدادهمانطور که متغیر به سمت بی نهایت میل می کند. سایت های مختلفی وجود دارد که ارائه می دهند سرورهابرای محاسبه مبالغ سریال های آنلاینو همچنین بسط توابع در ردیفآنلاین در نقطه ای از دامنه تعریف این تابع. اگر تابع را به سریال آنلاینبه خصوص در این سرورها دشوار نیست، سپس محاسبه مجموع سری های کاربردی آنلاین، که هر یک از اعضای آن بر خلاف عددی ردیف، یک عدد نیست، بلکه یک تابع است، به دلیل کمبود منابع فنی لازم تقریبا غیر ممکن به نظر می رسد. برای www.siteچنین مشکلی وجود ندارد

آژانس فدرال برای آموزش

موسسه آموزشی دولتی

آموزش عالی حرفه ای

"MATI" - دانشگاه فنی دولتی روسیه به نام K.E. تسیولکوفسکی

گروه "مدل سازی سیستم و فناوری اطلاعات"

سری شماره

دستورالعمل تمرینات عملی

در رشته "ریاضیات عالی"

گردآوری شده توسط: اگورووا یو.بی.

مامونوف I.M.

کورنینکو L.I.

مقدمه مسکو 2005

این دستورالعمل برای دانشجویان تمام وقت و عصر دانشکده شماره 14 تخصص 071000 130200 220200 در نظر گرفته شده است.

1. مفاهیم اساسی

اجازه دهید تو 1 , تو 2 , تو 3 , …, تو n, … یک دنباله اعداد نامتناهی است. بیان
تماس گرفت سری اعداد بی نهایت، اعداد تو 1 , تو 2 , تو 3 , …, تو n- اعضای سریال؛
اصطلاح رایج سری نامیده می شود. یک سری اغلب به صورت خلاصه شده (جمع شده) نوشته می شود:

مجموع اولی nاعضای یک سری اعداد با نشان داده می شوند و تماس بگیرید n هفتمین مجموع جزئی سری:

سریال نام دارد همگرااگر آن را n-i مقدار جزئی با افزایش نامحدود nبه حد نهایی میل می کند، یعنی. اگر
شماره تماس گرفت مجموع سریال.

اگر n-امین مجموع جزئی سری در
به یک حد محدود تمایل ندارد، سپس سری فراخوانی می شود واگرا.

مثال 1.مجموع سری را پیدا کنید
.

راه حل.ما داریم
. زیرا:

,

از این رو،

چون
، سپس سری همگرا می شود و مجموع آن برابر است با
.

2. قضایای اساسی در مورد سری اعداد

قضیه 1.اگر سری همگرا شود
سپس سری همگرا می شوند از یک سری مشخص با دور انداختن سری اول به دست می آید
اعضا (این ردیف آخر نامیده می شود
-امین باقی مانده از سری اصلی). و بالعکس، از همگرایی
باقی مانده امین سری دلالت بر همگرایی این سری دارد.

قضیه 2.اگر سری همگرا شود
و مجموع آن عدد است ، سپس سری همگرا می شوند
و مجموع ردیف آخر برابر است با
.

قضیه 3.اگر سری ها همگرا شوند

با داشتن مجموع S و Q به ترتیب، آنگاه سری همگرا می شود و مجموع آخرین سری برابر است با
.

قضیه 4 (نشانه ضروری همگرایی سری). اگر ردیف
پس همگرا می شود
، یعنی در
حد جمله مشترک یک سری همگرا صفر است.

نتیجه 1.اگر
، سپس سریال از هم جدا می شود.

نتیجه 2.اگر
، پس نمی توان همگرایی یا واگرایی یک سری را با استفاده از معیار همگرایی لازم تعیین کرد. یک سری می تواند همگرا یا واگرا باشد.

مثال 2.بررسی همگرایی سری:

راه حل.پیدا کردن اصطلاح رایج سری
. زیرا:

آن ها
، سپس سری واگرا می شود (شرط لازم برای همگرایی برآورده نمی شود).

3. تست های همگرایی سری ها با عبارت های مثبت

3.1. نشانه های مقایسه

معیارهای مقایسه مبتنی بر مقایسه همگرایی یک سری معین با سری هایی است که همگرایی یا واگرایی آن مشخص است. سری های ذکر شده در زیر برای مقایسه استفاده می شوند.

ردیف
متشکل از عبارات هر پیشروی هندسی نزولی، همگرا و دارای مجموع است

ردیف
متشکل از شرایط یک پیشرفت هندسی فزاینده، واگرا است.

ردیف
واگرا است.

ردیف
سریال دیریکله نامیده می شود. برای >1 سری دیریکله همگرا می شود، برای <1- расходится.

وقتی =1 ردیف
هارمونیک نامیده می شود. سری هارمونیک واگرا می شود.

قضیه. اولین نشانه مقایسهبگذارید دو سری با عبارات مثبت داده شود:

(2)

علاوه بر این، هر عضو سری (1) از عضو متناظر سری (2) تجاوز نمی کند، یعنی.
(n= 1، 2، 3، ...). سپس اگر سری (2) همگرا شود، سری (1) نیز همگرا می شود. اگر سری (1) واگرا شود، سری (2) نیز واگرا می شود.

نظر دهید.این معیار در صورت نابرابری معتبر باقی می ماند
برای همه کار نمی کند ، اما فقط از یک عدد مشخص شروع می شود n= ن، یعنی برای همه n ن.

مثال 3.همگرایی سریال را بررسی کنید

راه حل.اعضای یک سری معین کوچکتر از اعضای متناظر مجموعه هستند
متشکل از اصطلاحات یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش. از آنجایی که این سری همگرا می شود، سری داده شده نیز همگرا می شود.

قضیه. علامت دوم مقایسه (شکل محدود کننده علامت مقایسه).اگر حد محدود و غیر صفر وجود داشته باشد
، سپس هر دو ردیف و به طور همزمان همگرا یا واگرا شوند.

مثال 4.همگرایی سریال را بررسی کنید

راه حل.بیایید سریال را با سری هارمونیک مقایسه کنیم
اجازه دهید حد نسبت عبارات رایج سری را پیدا کنیم:

از آنجایی که سری هارمونیک واگرا می شود، سری داده شده نیز واگرا می شود.