برو به خانه ترکیب خطی بردارها بیانی از شکل زیر است:

، جایی که اعداد حقیقی به نام ضرایب ترکیب خطی هستند.

تعیین استقلال خطی بردارها

اگر ترکیب خطی این بردارها λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An فقط برای مجموعه صفر برابر بردار صفر باشد، سیستمی از بردارهای A 1 , A 2 ,...A n مستقل خطی نامیده می شود. اعداد λ1، λ2،...، λn، یعنی سیستم معادلات: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ یک جواب صفر منحصر به فرد دارد.

تعیین وابستگی خطی بردارها
دو بردار صفحه به صورت خطی وابسته هستند اگر و فقط اگر هم خط باشند.

دو بردار اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند، خطی نامیده می شوند

قضیه وابستگی خطی بردارها

قضیه نمایش یک رشته به صورت ترکیب خطی از رشته های مستقل

هر ردیف از ماتریس A را می توان به صورت ترکیبی خطی از ردیف های مستقل ماتریس A نشان داد.

بگذارید ماتریس A دارای رتبه r باشد، سپس یک مینور از مرتبه r متفاوت از 0 وجود دارد، ردیف i و ستون j را به این مینور اضافه کنید.	یک 11	…	یک 12	یک 1r
a 1j	یک 21	…	یک 22	یک 2r
…	…	…	…	…
یک 2j	یک 41	…	یک 42	یک 4r
یک 4j	یک i1	…	یک i2	یک ir

یک ij
M r =

M r+1 =0; چون رتبه A=r (به عنوان مینور با مرتبه بالاتر از r این مینور را می توان در امتداد آخرین ستون گسترش داد).

[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0 /(همه چیز را بر M r تقسیم کنید و A ij را معرفی کنید

(-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j + λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j، که j=r+1 این برابری برای j=1 m نیز معتبر است. 81. قضیه نشان دادن ستون به صورت ترکیب خطی مستقل

ستون ها

قضیه رابطه بین رتبه یک ماتریس و تعداد سطر/ستون مستقل

بگذارید ماتریس A دارای رتبه r باشد، سپس یک مینور از مرتبه r متفاوت از 0 وجود دارد، ردیف i و ستون j را به این مینور اضافه کنید.	یک 11	…	یک 12
a 1j	یک 21	…	یک 22
…	…	…	…
رتبه ماتریس A برابر است با تعداد سطرها/ستون های مستقل آن. اجازه دهید ماتریس A (m*n) دارای رتبه r باشد	یک 21	…	یک 22

یک 2r

یک مینور از مرتبه r = 0 وجود دارد. (e 1….. e r) - مستقل خطی

اجازه دهید عکس آن وجود داشته باشد: e r = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

بیایید تحولات الکتریکی را انجام دهیم. بدون تغییر تعیین کننده این جزئی (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 - λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

بنابراین، ما آخرین ردیف متشکل از 0 را دریافت می کنیم، اما پس از آن M r = 0، فرض ما اشتباه است!

عوامل تعیین کننده

خواص عوامل تعیین کننده شماره 01. (انتقال)

تعیین کننده ماتریس جابجا شده با تعیین کننده ماتریس اصلی برابر است: .

اثبات. طبق تعریف،

هنگام انتقال یک ماتریس الففقط یک بازآرایی از شرایط در این مجموع رخ می دهد.

خواص عوامل تعیین کننده شماره 02. (بازآرایی سطرها یا ستون ها).

اگر هر دو سطر یا دو ستون در دترمینان دوباره مرتب شوند، دترمینان علامت خود را به عکس تغییر می دهد.

اثبات. طبق قضیه 1، هر جابجایی، برابری جایگشت را تغییر می دهد. در نتیجه، هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (ستون)، هر جمله از مجموع علامت خود را به علامت مقابل تغییر می دهد.

مطابق با این معیار مبادله، یک ترکیب خطی از حداقل و حداکثر سود برای هر راه حل تعیین می شود.  

گزینه دوم شامل تمرکز بر یک معیار است. می‌توان آن را به عنوان یکی از شاخص‌های استانداردی انتخاب کرد که تفسیر اقتصادی کاملاً قابل فهمی دارد (مثلاً یکی از نسبت‌های نقدینگی، نسبت پوشش بهره و غیره) یا این معیار در قالب برخی از شاخص‌های مصنوعی که تعمیم می‌دهد، ایجاد شود. معیارهای خاص برای این معیار تعمیم یافته، یک مقدار آستانه تعیین می شود که با آن مقدار واقعی معیار محاسبه شده برای وام گیرنده بالقوه مقایسه می شود. مشکل اصلی در اجرای این رویکرد در نحوه ساخت شاخص خلاصه نهفته است. اغلب، ترکیبی خطی از معیارهای خاص است که هر یک از آنها در یک شاخص کلی با یک ضریب وزنی خاص گنجانده شده است. این رویکرد بود که توسط E. Altman هنگام توسعه معیار Z برای پیش‌بینی ورشکستگی استفاده شد.  

سطر e به ترکیب خطی سطرهای e, e-..., em از ماتریس گفته می شود اگر  

مفهوم ترکیب خطی، وابستگی خطی و استقلال بردارهای e، e2. f em مشابه مفاهیم مربوط به ردیف های ماتریس e, e2,..., em (11.5) هستند.  

همانطور که در نشان داده شده است، برای مجموعه های مجاز محدود و محدب (2.14)، بردار x% 0 که محدودیت A xk bk را برآورده می کند، می تواند به عنوان یک ترکیب خطی محدب از مجموعه محدودی از نقاط انتهایی نشان داده شود.  

روش بهینه سازی برای محاسبه مقادیر محدود عناصر a و ترکیبات خطی آنها تا حد زیادی فاقد این معایب است.  

بدیهی است که نقطه (X1, d) که از ترکیب خطی (A/, d) و (L.", d") به دست می آید نیز راه حلی برای سیستم (4.43) ، (4.44) است.  

در این بخش قوانین محاسبه انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی چند متغیره که ترکیبی خطی از متغیرهای تصادفی همبسته است را در نظر خواهیم گرفت.  

بنابراین، برای یک ترکیب خطی از تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی به دست می آوریم  

بیایید موردی را در نظر بگیریم که سرمایه گذاری در چندین دارایی (پرتفوی) انجام می شود. پورتفولیو ترکیبی خطی از دارایی ها است که هر کدام بازده مورد انتظار و پراکندگی بازده خود را دارند.  

بر خلاف ترکیب خطی دلخواه متغیرهای تصادفی، وزن دارایی تابع یک قانون عادی سازی است  

پاراگراف قبلی نشان داد که وقتی ضریب همبستگی بین دارایی ها کمتر از 1 باشد، تنوع پرتفوی می تواند رابطه بین بازده مورد انتظار و ریسک مورد انتظار را بهبود بخشد. این به این دلیل است که بازده مورد انتظار پرتفوی ترکیبی خطی از بازده مورد انتظار دارایی های موجود در پرتفوی است و واریانس پرتفوی تابع درجه دوم r.s است. در سبد دارایی ها گنجانده شده است.  

ساده ترین دستگاه تشخیص الگوی متعلق به کلاس شبکه های مورد بررسی، یک نورون واحد است که بردار ویژگی ورودی را بسته به ترکیب خطی متغیرهای ورودی به یک پاسخ اسکالر تبدیل می کند.  

از آنجایی که تابع تفکیک کننده تنها به ترکیب خطی ورودی ها بستگی دارد، نورون یک تشخیص دهنده خطی است. در برخی از ساده‌ترین موقعیت‌ها، یک تشخیص‌دهنده خطی بهترین حالت ممکن است، یعنی در موردی که احتمال بردارهای ورودی متعلق به کلاس k توسط توزیع‌های گاوسی داده می‌شود.  

به‌طور دقیق‌تر، خروجی‌های شبکه Oya ترکیب‌های خطی اولین مولفه‌های اصلی Ш هستند. برای به دست آوردن دقیقاً خود مؤلفه‌های اصلی، کافی است جمع کل خروجی‌ها را در قاعده Oya جایگزین کنیم.  

بردارهای b علاوه بر این، به اصطلاح پایه حداقل را تشکیل می دهند. یعنی، این حداقل تعداد بردارهایی است که با استفاده از یک ترکیب خطی می توان تمام بردارهای حفظ شده را نشان داد.  

روش سیستماتیک زیر قادر است به طور مکرر مهمترین ویژگی ها را شناسایی کند، که ترکیبات خطی متغیرهای ورودی X = W X هستند (یک زیر مجموعه از ورودی ها مورد خاصی از یک ترکیب خطی است، یعنی به طور رسمی می توان پیدا کرد. بهترین راه حلاز آنچه با انتخاب مهم ترین ترکیب ورودی ها در دسترس است).  

این روش امکان شناسایی آموزنده ترین عوامل (ترکیب خطی ویژگی های اولیه Xi - به اصطلاح اجزای اصلی Zi) را فراهم می کند و با حذف عوامل بی اهمیت، ارتباط بین آنها را در قالب مدل های ساده برقرار می کند. این مدل‌ها و همچنین ویژگی‌های آماری، تفسیر وابستگی‌های Xi و درجه آن‌ها را تا برخی شاخص‌ها، به عنوان مثال، بهره‌وری، قابلیت اطمینان و غیره تسهیل می‌کنند و همچنین امکان تحلیل و پیش‌بینی وضعیت تأسیسات صنعتی مورد مطالعه را فراهم می‌کنند.  

در طول تجزیه و تحلیل، موارد زیر برای توصیف جنبه های مختلف وضعیت مالی استفاده می شود. شاخص های مطلق و نسبت های مالی که شاخص های نسبی وضعیت مالی هستند. دومی در قالب نسبت های شاخص های مطلق وضعیت مالی یا ترکیب خطی آنها محاسبه می شود. طبق طبقه بندی یکی از بنیانگذاران علم ترازنامه، N.A. Blatov، شاخص های نسبی وضعیت مالی به ضرایب توزیع تقسیم می شوند و در مواردی استفاده می شود که لازم است تعیین شود کدام قسمت از این یا آن مورد استفاده قرار می گیرد.

بردارها

بردارهابه نام اشیاء ریاضی ( الف, ب, ج، ...)، که اجرای دو عملیات جبری برای آن تعریف شده است:

جمع دو بردار a+b=c

· ضرب بردار در عدد a = b.

مهمترین ویژگی این عملیات این است که همیشه بردارهایی از همان نوع بردارهای اصلی را ایجاد می کنند. بنابراین، با داشتن چند مجموعه اولیه از بردارها، می توانیم به تدریج آن را گسترش دهیم، یعنی. با اعمال عملیات جمع و ضرب در یک عدد در بردارهای موجود، بردارهای جدید بیشتری به دست آورید. در پایان به مجموعه ای از بردارها می رسیم که دیگر گسترش نمی یابند. معلوم می شود که تحت عملیات نشان داده شده بسته است. چنین مجموعه ای از بردارها نامیده می شود فضای برداری.

اگر عملیات فوق نیاز به اضافی داشته باشد شرایط خطی :

الف( a+b)= الف a+الف ب

(الف + ب) a =الف a+ب ب

سپس فضای حاصل فراخوانی می شود خطی فضا (LP) یا بردار خطی فضا (HDL). LCS می تواند همراه با گروه های تقارن، به عنوان نمونه دیگری از ساختارهای ریاضی، که مجموعه های بسته ای از اشیاء از همان نوع هستند و به روشی خاص (با استفاده از عملیات جبری) مرتب شده اند، باشد.

ترکیبات خطی

با داشتن عملیات جمع بردارها و ضرب آنها در اعداد، می توان ساختار پیچیده تری مانند:

الف a+ب b+ g c + ..... = x

که نامیده می شود ترکیب خطی بردارهای (LK). الف، ب، ج، . . .با ضرایب a,b,g, . . . به ترتیب.

مفهوم LC به ما اجازه می دهد تا چندین فرمول بندی کنیم قوانین کلی:

· هر LC از هر بردار برخی از LP نیز بردار همان LP است.

· هر بردار از برخی LP را می توان به شکل LCهای چندین بردار از یک LP نشان داد.

· در هر LP مجموعه ای از بردارهای انتخاب شده وجود دارد که نامیده می شود مجموعه پایه (یا فقط اساس ، که همه، بدون استثنا، بردارهای این LP را می توان به صورت ترکیب خطی این بردارهای پایه انتخاب شده نشان داد. یک شرط مهم بر بردارهایی که به عنوان بردارهای پایه انتخاب شده اند تحمیل می شود: آنها باید باشند مستقل خطیبین خودشان (نباید از طریق یکدیگر بیان شوند، به عنوان مثال: x≠a× y).

این قوانین امکان معرفی را فراهم می کند راه خاصتوضیحات هر دارویی بیایید یک مجموعه پایه را انتخاب کنیم و همه بردارهایی را که به آنها علاقه مندیم بر اساس این مبنا گسترش دهیم (یعنی آنها را در قالب بردارهای پایه LC ارائه دهیم). سپس هر بردار را می توان به طور منحصر به فرد با مجموعه ای از ضرایب LC مربوط به یک بردار مشخص مشخص کرد. چنین ضرایبی نامیده می شود مختصات بردار (با توجه به یک مبنای معین). ما تأکید می کنیم که مختصات یک بردار اعداد معمولی هستند، و نمایش مختصات یک بردار اجازه می دهد که آن را تنها با استفاده از مجموعه ای از اعداد، بدون توجه به ویژگی های خاص توصیف شود. معنای فیزیکی، که در مفهوم بردار قرار می دهیم.

در نظر بگیریم مثال ملموس. فرض کنید مجموعه ای از مخلوط های مختلف از دو خالص داریم مواد شیمیایی: آب و الکل. در میان تمام مخلوط های ممکن، ما دو مورد خاص را برجسته می کنیم:

1) مخلوط S 1حاوی 100% آب و 0% الکل.

2) مخلوط S 2حاوی 0% آب و 100% الکل.

واضح است که یک مخلوط دلخواه را می توان به عنوان LC این دو مخلوط اساسی نشان داد:

اس = n 1 * S 1 + n 2 * S 2

و آن را به طور کامل فقط با دو عدد مختصات مشخص کنید: n 1 و n 2. به عبارت دیگر، با توجه به یک مجموعه پایه، می توانیم معادل یک مخلوط شیمیایی دلخواه و مجموعه ای از اعداد را تعیین کنیم:

اس~ {n 1 , n 2 }.

اکنون کافی است کلمه شیمیایی بتن «مخلوط» را با عبارت ریاضی انتزاعی «بردار» جایگزین کنیم تا یک مدل HDL به دست آوریم که مخلوط های زیادی از دو ماده را توصیف می کند.

مفهوم برداری

تعریف 1.برداریک قطعه جهت دار (یا همان چیزی است که یک جفت نقطه مرتب شده) نامیده می شود.

تعیین شده: (نقطه A ابتدای بردار است)، نقطه B انتهای بردار است) یا با یک حرف -.

تعریف 2.طول برداری (مدول)فاصله بین ابتدا و انتهای بردار است. طول بردار با یا نشان داده می شود.

تعریف 3.بردار صفربرداري ناميده مي شود كه ابتدا و پايان آن با هم منطبق باشد. تعیین کنید:

تعریف 4.بردار واحدبرداری است که طول آن برابر با یک است.

بردار واحدی که جهت یک بردار معین را دارد، بردار واحد بردار نامیده می شود و با نماد نشان داده می شود.

تعریف 5.بردارها نامیده می شوند خطی،اگر روی یک خط مستقیم یا روی خطوط مستقیم موازی قرار گیرند. بردار تهی به صورت هم خط با هر بردار در نظر گرفته می شود.

تعریف 6.بردارها نامیده می شوند برابر، اگر خطی باشند، طول و جهت یکسانی دارند.

عملیات خطی روی بردارها

تعریف 7.عملیات خطی روی بردارهاجمع بردارها و ضرب بردار در عدد نامیده می شوند.

تعریف 8.مجموع دو برداربردار است که از ابتدای بردار به انتهای بردار می رود، مشروط بر اینکه بردار به انتهای بردار متصل باشد (قاعده مثلث). در مورد بردارهای غیر خطی، به جای قانون مثلث، می توان از قانون متوازی الاضلاع استفاده کرد: اگر بردارها از یک مبدأ مشترک کنار گذاشته شوند و متوازی الاضلاع بر روی آنها ساخته شود، مجموع بردار بردار منطبق است. با قطر این متوازی الاضلاع از یک مبدأ مشترک.

تعریف 9.تفاوت دو برداربردار نامیده می شود که با اضافه شدن به بردار، بردار را تشکیل می دهد. اگر دو بردار از یک مبدأ مشترک کنار گذاشته شوند، آنگاه تفاوت آنها برداری است که از انتهای بردار ("کاهش") تا انتهای بردار ("کاهش") پیش می رود.

تعریف 10.دو بردار خطی با طول مساوی که در جهت مخالف هستند نامیده می شوند مقابلبردار مقابل بردار مشخص می شود.

حاصل ضرب یک بردار و یک عدد با α نشان داده می شود.

برخی از ویژگی های عملیات خطی

7) ;

قضیه 1.(درباره بردارهای خطی).اگر u دو بردار خطی باشند، و بردار غیر صفر باشد، یک عدد منحصر به فرد x وجود دارد که = x

به طور خاص، یک بردار غیر صفر و آن با تساوی: =· به هم متصل می شوند.

ویژگی های فرمول بندی شده عملیات خطی امکان تبدیل عبارات متشکل از بردارها را طبق قوانین معمول جبر ممکن می کند: می توانید پرانتزها را باز کنید، اصطلاحات مشابه را بیاورید، برخی از عبارت ها را با علامت مخالف به قسمت دیگری از برابری منتقل کنید و غیره.

مثال 1.

اثبات برابری ها:

و بفهمید معنی هندسی آنها چیست.

راه حل.الف) در سمت چپ تساوی، پرانتزها را باز کنید، عبارت های مشابه را اضافه کنید و در سمت راست یک بردار بگیرید. اجازه دهید این برابری را به صورت هندسی توضیح دهیم. بگذارید دو بردار داده شود، آنها را از مبدا مشترک کنار بگذارید و به متوازی الاضلاع و قطرهای آن نگاه کنید، به دست می آوریم:

§2 ترکیب خطی بردارها

بر اساس بردار در هواپیما و در فضا.

تعریف 1.ترکیب خطی بردارها،به مجموع حاصلضرب این بردارها با اعداد،،:++ می گویند.

تعریف 2.مبنای برداریدر یک صفحه معین به هر جفت بردار غیر خطی در آن صفحه گفته می شود.

بردار اولین بردار پایه و بردار دوم نامیده می شود.

قضیه زیر درست است.

قضیه 1.اگر اساس ,– مبنای برداری در یک صفحه، سپس هر بردار این صفحه را می توان به شکلی منحصر به فرد، به صورت ترکیب خطی از بردارهای پایه نشان داد: = x + y.

تعریف 3.(*) برابری (*) نامیده می شود و اعداد x و y –مختصات بردار در پایه، (یا). نسبت به پایه،

اگر از قبل مشخص است که در مورد چه مبنایی صحبت می کنیم، به طور خلاصه بنویسید: = (x,y). از تعریف مختصات یک بردار نسبت به مبنا به دست می آید که بردارهای مساوی به ترتیب دارای مختصات مساوی هستند. دو یا چند بردار در فضا نامیده می شوندهمسطح،

تعریف 4.مبنای برداریاگر موازی با یک صفحه باشند یا در این صفحه قرار بگیرند. , ,.

در فضا هر سه بردار نامیده می شود

بردار را بردار پایه اول، دوم و سوم می نامند. نظر دهید. 1.

.

سه بردار = ()، = () و = () اساس فضا را تشکیل می دهند اگر تعیین کننده متشکل از مختصات آنها غیر صفر باشد:

2. اصول اساسی تئوری تعیین کننده ها و روش های محاسبه آنها در ماژول 1 "جبر خطی" بحث شده است.قضیه 2. , اجازه دهید , ، یک مبنای برداری در فضا است. سپس هر بردار در فضا را می توان، و به روشی منحصر به فرد، به عنوان ترکیبی خطی از بردارهای پایه نشان داد

و:

تعریف 5. X+y+z. (**)برابری (**) نامیده می شود , ,.

بسط بردار بر اساس اساس،

تعریف 6.،، و اعداد x، y، z مختصات (مولفه‌های) بردار در پایه هستند. , اگر از قبل مشخص است که در مورد چه مبنایی صحبت می کنیم، به طور خلاصه بنویسید: = (x,y,z). اساس، تماس گرفت , متعارف،

اگر بردارها

، دوتایی عمود بر هم و دارای طول واحد هستند. در این مورد، نماد،، اتخاذ می شود.اقدامات بر روی بردارها مشخص شده توسط مختصات آنها. , قضیه 3.

بگذارید یک مبنای برداری در صفحه انتخاب شود و نسبت به آن، بردارها با مختصات آنها داده می شود: = ()، = ().

سپس =()،=(

) یعنی هنگام جمع یا تفریق بردارها، مختصات آنها با همان نام اضافه یا تفریق می شود؛ = (·;)، i.e. وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات آن در آن عدد ضرب می شود.شرط همخطی بودن دو بردار

قضیه 4.

مثال 1.اجازه دهید بردارهای = (1;2;-1) ,= (3;2;1)، = (1;0;1) در برخی از پایه های برداری داده شوند , ، مختصات ترکیب خطی 2+3-4 را پیدا کنید.

راه حل.اجازه دهید نماد ترکیب خطی = 2+3+(-4) را معرفی کنیم.

ضرایب ترکیب خطی =2،=3،=-4. بیایید این برابری برداری را به صورت مختصات = (x,y,z)= بنویسیم:

2

بدیهی است که هر مختصات یک ترکیب خطی از بردارها برابر است با همان ترکیب خطی مختصات همنام، یعنی.

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7،

y = 2·2+3·2+(-4)·0=10،

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

مختصات برداری در پایه , ، خواهد بود:

پاسخ:= {7,10,-3}.

سیستم مختصات دکارتی عمومی (affine).

تعریف 7.بگذارید O یک نقطه ثابت باشد که ما آن را صدا می کنیم شروع

اگر M یک نقطه دلخواه باشد، آن بردار فراخوانی می شود بردار شعاعنقطه M نسبت به ابتدا، به طور خلاصه بردار شعاع نقطه M.

مختصات دکارتی (affine) روی یک خط

بگذارید مقداری خط مستقیم در فضا داده شود ل. اجازه دهید مبدا O را برای قرار گرفتن در این خط انتخاب کنیم. علاوه بر این، ما در خط مستقیم انتخاب می کنیم ل بردار غیر صفر که ما آن را پایه می نامیم.

تعریف 8.بگذارید نقطه M روی یک خط قرار بگیرد. از آنجایی که بردارها خطی هستند، پس = x، که در آن x یک عدد مشخص است. بیا با این شماره تماس بگیریم هماهنگ کردننقاط M روی یک خط مستقیم

مبدأ O دارای مختصات مثبت یا منفی است، بسته به اینکه جهت بردارها منطبق یا مخالف باشند. خط مستقیمی که مختصات روی آن قرار دارند، محور مختصات یا محور OX نامیده می شود.

معرفی مختصات در یک خط با یک عدد x مطابقت دارد و بالعکس، یک نقطه M وجود دارد که این عدد یک مختصات برای آن است.

مختصات دکارتی (affine) در هواپیما.

اجازه دهید دو بردار غیر خطی و در صفحه O را انتخاب کنیم و پایه خاصی را تشکیل دهیم. بدیهی است که طول بردارها می تواند متفاوت باشد.

تعریف 9.مجموعه ای از (0;;) نقطه O و مبنای بردار , تماس گرفت سیستم دکارتی (آفین).در یک هواپیما

دو خط که به ترتیب از O و موازی بردارها عبور می کنند , محورهای مختصات نامیده می شوند. اولی معمولاً محور آبسیسا نامیده می شود و Ox تعیین می شود، دومی محور مختصات است و Oy تعیین می شود.

ما همیشه آنها را به صورت خوابیده بر روی محورهای مختصات مربوطه به تصویر خواهیم کشید.

تعریف 10.مختصات نقطه M در صفحه نسبت به سیستم مختصات دکارتی (آفین) (0;;) مختصات بردار شعاع آن در امتداد پایه نامیده می شود:

X+y، سپس اعداد x و y مختصات M نسبت به دستگاه مختصات دکارتی (affine) خواهند بود (0;;). مختصات x نامیده می شود آبسیسانقطه M مختصات y- ترتیبنقاط M.

بنابراین، اگر یک سیستم مختصات، (0;;) در صفحه انتخاب شود، هر نقطه M از صفحه مطابق با یک نقطه M در صفحه است: این نقطه انتهای بردار است.

معرفی یک سیستم مختصات زیربنای روش هندسه تحلیلی است که ماهیت آن این است که بتوانیم هر مسئله هندسی را به مسائل حساب یا جبر تقلیل دهیم.

تعریف 11.مختصات برداریدر صفحه نسبت به سیستم مختصات دکارتی (0;;) مختصات این بردار در پایه نامیده می شود.

برای پیدا کردن مختصات بردار، باید آن را بر اساس اساس گسترش دهید:

X+y، کجا ضرایب x,yو مختصات بردار نسبت به خواهد بود سیستم دکارتی {0;;}.

سیستم مختصات دکارتی (آفین) در فضا.

بگذارید نقطه مشخصی O (شروع) در فضا ثابت شود و مبنای برداری انتخاب شود

تعریف 12.مجموعه (0;;;) نامیده می شود سیستم مختصات دکارتیدر فضا

تعریف 13.سه خط که به ترتیب از O و موازی بردارها عبور می کنند , ،، تماس گرفت محورهای مختصاتو به ترتیب Oz، Oy، Oz را نشان می دهند. ما همیشه بردارها را نشان خواهیم داد , ، روی محورهای مربوطه دراز کشیده است.

تعریف 14.مختصات نقطه M در فضای نسبت به دستگاه مختصات دکارتی (0;;;) را مختصات بردار شعاع آن در این سیستم می گویند.

به عبارت دیگر مختصات نقطه M به ترتیب سه عدد x، y، z، ابسیسا و مختصات نقطه M هستند. مختصات سوم z کاربرد نقطه M نامیده می شود.

معرفی یک سیستم مختصات دکارتی در فضا به ما این امکان را می دهد که یک مطابقت یک به یک بین نقاط M فضا و سه گانه مرتب شده از اعداد x، y، z برقرار کنیم.

تعریف 15.مختصات برداریدر فضای نسبت به سیستم مختصات دکارتی (0;;;)، مختصات این بردار در پایه;;

مثال 2.

با توجه به سه راس متوالی متوازی الاضلاع A(-2;1),B(1;3),C(4;0). مختصات چهارم آن D را بیابید. دستگاه مختصات افین است.

راه حل.

بردارها برابر هستند، یعنی مختصات آنها برابر است (ضرایب ترکیب خطی):

= (3;2)، =(4-x;-y); . بنابراین، D(1;-2).

پاسخ: D(1;-2).

وابستگی خطی مفهوم مبنا

تعریف 16.بردارها نامیده می شوند وابسته به خط،اگر اعداد وجود دارد،

این تعریف از وابستگی خطی بردارها معادل این است: بردارها به صورت خطی وابسته هستند اگر یکی از آنها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد (یا بر سایرین بسط داد).

اگر تساوی (***) در تنها حالتی که امکان پذیر باشد، بردارها وابسته خطی نامیده می شوند

مفهوم وابستگی خطی نقش زیادی در جبر خطی دارد. در جبر برداری، وابستگی خطی معنای هندسی ساده ای دارد.

هر دو بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند و برعکس، دو بردار غیر خطی مستقل هستند.

سه بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند و برعکس، سه بردار غیرهمسطح به صورت خطی مستقل هستند.

هر چهار بردار به صورت خطی وابسته هستند.

تعریف 17.سه بردار مستقل خطی نامیده می شوند اساس فضا،آن ها هر بردار را می توان به عنوان برخی نشان داد.

تعریف 18.دو بردار مستقل خطی که در یک صفحه قرار دارند نامیده می شوند اساس هواپیما،آن ها هر بردار نهفته در این صفحه را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارها نشان داد.

وظایف برای تصمیم مستقل.

بردارها در این مبنا مختصات را پیدا می کنند.

وابستگی خطیو استقلال خطی بردارها.
اساس بردارها. سیستم مختصات افین

یک گاری با شکلات در سالن وجود دارد و هر بازدید کننده امروز یک زوج شیرین دریافت می کند - هندسه تحلیلی با جبر خطی. این مقاله به طور همزمان دو بخش را پوشش خواهد داد. ریاضیات بالاتر، و خواهیم دید که چگونه آنها در یک بسته بندی کنار می آیند. استراحت کن، توئیکس بخور! ... لعنتی، چه چیز مزخرفی. هر چند باشه، گل نمیزنم، اما در نهایت، شما باید نگرش مثبتی نسبت به مطالعه داشته باشید.

وابستگی خطی بردارها, استقلال بردار خطی, اساس بردارهاو اصطلاحات دیگر نه تنها تفسیر هندسی دارند، بلکه بیش از همه معنای جبری دارند. خود مفهوم "بردار" از دیدگاه جبر خطی همیشه بردار "معمولی" نیست که بتوانیم آن را در یک صفحه یا در فضا به تصویر بکشیم. برای اثبات نیازی به جستجوی دور ندارید، سعی کنید بردار فضای پنج بعدی را ترسیم کنید . یا بردار آب و هوا که همین الان به Gismeteo رفتم: دما و فشار اتمسفر. مثال، البته، از نقطه نظر ویژگی های فضای برداری نادرست است، اما، با این وجود، هیچ کس رسمی کردن این پارامترها را به عنوان یک بردار ممنوع نمی کند. نفس پاییزی...

نه، من قصد ندارم شما را با تئوری، خطی، بار کنم فضاهای برداری، وظیفه این است که درک کنندتعاریف و قضایا اصطلاحات جدید (وابستگی خطی، استقلال، ترکیب خطی، مبنا و ...) برای همه بردارها از نظر جبری اعمال می شود، اما مثال های هندسی آورده می شود. بنابراین، همه چیز ساده، در دسترس و روشن است. علاوه بر مسائل هندسه تحلیلی، برخی از مسائل جبر معمولی را نیز در نظر خواهیم گرفت. برای تسلط بر مطالب، توصیه می شود با دروس آشنا شوید وکتور برای آدمکو چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

وابستگی و استقلال خطی بردارهای صفحه.
اساس صفحه و سیستم مختصات افین

بیایید صفحه میز کامپیوتر شما را در نظر بگیریم (فقط یک میز، میز کنار تخت، کف، سقف، هر چیزی که دوست دارید). وظیفه شامل اقدامات زیر خواهد بود:

1) پایه هواپیما را انتخاب کنید. به طور کلی، یک میز دارای طول و عرض است، بنابراین شهودی است که دو بردار برای ساختن پایه مورد نیاز است. واضح است که یک بردار کافی نیست، سه بردار زیاد است.

2) بر اساس مبنای انتخاب شده تنظیم سیستم مختصات(شبکه مختصات) برای اختصاص مختصات به تمام اشیاء روی جدول.

تعجب نکنید، در ابتدا توضیحات روی انگشتان خواهد بود. علاوه بر این، در مورد شما. لطفا قرار دهید انگشت اشاره چپروی لبه میز به طوری که به مانیتور نگاه کند. این یک بردار خواهد بود. اکنون قرار دهید انگشت کوچک راستروی لبه میز به همین ترتیب - به طوری که به صفحه نمایشگر هدایت شود. این یک بردار خواهد بود. لبخند بزنید، عالی به نظر می رسید! در مورد بردارها چه می توانیم بگوییم؟ بردارهای داده خطی، که به معنی خطیاز طریق یکدیگر بیان می شود:
، خوب یا برعکس: ، جایی که عددی با صفر متفاوت است.

می توانید تصویری از این عمل را در کلاس مشاهده کنید. وکتور برای آدمک، جایی که قانون ضرب بردار در عدد را توضیح دادم.

آیا انگشتان شما اساس میز کامپیوتر را تعیین می کنند؟ بدیهی است که نه. بردارهای خطی به سمت جلو و عقب حرکت می کنند به تنهاییجهت، و یک هواپیما طول و عرض دارد.

چنین بردارهایی نامیده می شوند وابسته به خط.

مرجع: کلمات "خطی"، "خطی" بیانگر این واقعیت است که در معادلات ریاضی، عبارات شامل مربع، مکعب، قدرت های دیگر، لگاریتم، سینوس و غیره نیستند. فقط عبارات و وابستگی های خطی (درجه 1) وجود دارد.

دو بردار صفحه وابسته به خطاگر و فقط در صورتی که هم خط باشند.

انگشتان خود را روی میز روی میز قرار دهید تا زاویه ای غیر از 0 یا 180 درجه بین آنها وجود داشته باشد. دو بردار صفحهخطی نهاگر و فقط اگر هم خطی نباشند وابسته هستند. بنابراین، اساس به دست می آید. نیازی به خجالت نیست که مبنا با بردارهای غیر عمود با طول های مختلف "کج" شده است. به زودی خواهیم دید که نه تنها زاویه 90 درجه برای ساخت آن مناسب است و نه تنها بردارهای واحد با طول مساوی.

هربردار هواپیما تنها راهبر اساس این اساس گسترش می یابد:
، اعداد واقعی کجا هستند. اعداد نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا

همچنین گفته می شود که برداربه عنوان ارائه شده است ترکیب خطیبردارهای پایه. یعنی بیان نامیده می شود تجزیه برداریبر اساسیا ترکیب خطیبردارهای پایه

برای مثال، می‌توان گفت که بردار در امتداد یک پایه متعارف صفحه تجزیه می‌شود، یا می‌توان گفت که به صورت ترکیبی خطی از بردارها نشان داده می‌شود.

فرمول بندی کنیم تعریف پایهبه طور رسمی: اساس هواپیمابه یک جفت بردار مستقل خطی (غیر خطی) می گویند، ، در حالی که هربردار صفحه ترکیبی خطی از بردارهای پایه است.

نکته اساسی در تعریف این واقعیت است که بردارها گرفته شده اند به ترتیب خاصی. پایه ها - این دو پایه کاملا متفاوت هستند! همانطور که می گویند، شما نمی توانید انگشت کوچک دست چپ خود را به جای انگشت کوچک دست راست خود قرار دهید.

ما اساس را مشخص کرده‌ایم، اما تنظیم یک شبکه مختصات و اختصاص مختصات به هر آیتم روی میز کامپیوتر شما کافی نیست. چرا کافی نیست؟ بردارها آزاد هستند و در کل صفحه سرگردان هستند. پس چگونه مختصات را به آن نقاط کوچک کثیف روی میز به جا مانده از یک آخر هفته وحشی اختصاص دهید؟ یک نقطه شروع مورد نیاز است. و چنین نقطه عطفی یک نقطه آشنا برای همه است - منشاء مختصات. بیایید سیستم مختصات را درک کنیم:

من با سیستم "مدرسه" شروع می کنم. در حال حاضر در درس مقدماتی وکتور برای آدمکمن برخی از تفاوت‌ها را بین سیستم مختصات مستطیلی و پایه متعارف برجسته کردم. این هم تصویر استاندارد:

وقتی صحبت می کنند سیستم مختصات مستطیلی، سپس اغلب آنها به معنای مبدا، محورهای مختصات و مقیاس در امتداد محورها هستند. سعی کنید «سیستم مختصات مستطیلی» را در یک موتور جستجو تایپ کنید، و خواهید دید که بسیاری از منابع به شما در مورد محورهای مختصات آشنا از کلاس پنجم تا ششم و نحوه رسم نقاط در هواپیما به شما می گویند.

از طرفی به نظر می رسد که سیستم مستطیل شکلمختصات را می توان به طور کامل از طریق یک مبنای متعارف تعیین کرد. و این تقریباً درست است. جمله بندی به شرح زیر است:

منشاء، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات صفحه مستطیلی دکارتی . یعنی سیستم مختصات مستطیلی قطعابا یک نقطه و دو بردار متعامد واحد تعریف می شود. به همین دلیل است که نقشه ای را که در بالا ارائه کردم مشاهده می کنید - در مسائل هندسی، هم بردارها و هم محورهای مختصات اغلب (اما نه همیشه) ترسیم می شوند.

من فکر می کنم همه می دانند که استفاده از یک نقطه (منشا) و یک مبنای متعارف هر نقطه در هواپیما و هر بردار در هواپیمامختصات را می توان اختصاص داد. به بیان تصویری، "همه چیز در یک هواپیما را می توان شماره گذاری کرد."

آیا باید بردارهای مختصات واحد باشند؟ نه، آنها می توانند یک طول غیر صفر دلخواه داشته باشند. یک نقطه و دو بردار متعامد با طول غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید:

چنین مبنایی نامیده می شود قائم. مبدأ مختصات با بردارها توسط یک شبکه مختصات تعریف می شود و هر نقطه از صفحه، هر بردار مختصات خود را بر اساس یک مبنای مشخص دارد. به عنوان مثال، یا. ناراحتی آشکار این است که بردارهای مختصات در حالت کلیطول های متفاوتی غیر از وحدت دارند. اگر طول ها برابر با واحد باشند، مبنای متعارف معمولی به دست می آید.

! توجه داشته باشید : در پایه متعامد و همچنین در زیر در پایه های افین صفحه و فضا واحدهایی در امتداد محورها در نظر گرفته می شود. مشروط. به عنوان مثال، یک واحد در امتداد محور x شامل 4 سانتی متر است، یک واحد در امتداد محور دارای 2 سانتی متر است.

و سوال دوم که در واقع قبلا پاسخ داده شده این است که آیا زاویه بین بردارهای پایه باید برابر با 90 درجه باشد؟ نه! همانطور که در تعریف آمده است، بردارهای پایه باید باشند فقط غیر خطی. بر این اساس، زاویه می تواند هر چیزی به جز 0 و 180 درجه باشد.

یک نقطه در هواپیما به نام منشاء، و غیر خطیبردارها، ، مجموعه سیستم مختصات هواپیمای وابسته :

گاهی اوقات چنین سیستم مختصاتی نامیده می شود موربسیستم به عنوان مثال، نقاشی نقاط و بردارها را نشان می دهد:

همانطور که می دانید، سیستم مختصات افین حتی کمتر راحت است، فرمول های طول بردارها و بخش ها، که در قسمت دوم درس بحث کردیم، در آن کار نمی کنند. وکتور برای آدمک، بسیاری از فرمول های خوشمزه مربوط به حاصل ضرب اسکالر بردارها. اما قوانین جمع بردارها و ضرب یک بردار در عدد، فرمول های تقسیم بخش از این نظر و همچنین برخی از انواع مسائل دیگر که به زودی در نظر خواهیم گرفت معتبر هستند.

و نتیجه این است که راحت ترین حالت ویژه یک سیستم مختصات آفیین، سیستم مستطیلی دکارتی است. به همین دلیل است که شما اغلب باید او را ببینید، عزیز من. ... با این حال، همه چیز در این زندگی نسبی است - موقعیت های زیادی وجود دارد که در آنها یک زاویه مایل (یا یک زاویه دیگر، برای مثال، قطبی) سیستم مختصات و انسان نماها ممکن است چنین سیستم هایی را دوست داشته باشند =)

بیایید به بخش عملی آن برویم. تمام اشکالات این درس هم برای سیستم مختصات مستطیلی و هم برای حالت افین کلی معتبر است. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

چگونه می توان هم خطی بردارهای صفحه را تعیین کرد؟

چیز معمولی به منظور دو بردار صفحه خطی بودند، لازم و کافی است که مختصات متناظر آنها متناسب باشداساساً، این یک تفصیل مختص به مختصات از رابطه آشکار است.

مثال 1

الف) بررسی کنید که آیا بردارها خطی هستند یا خیر .
ب) آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند؟ ?

راه حل:
الف) اجازه دهید دریابیم که آیا برای بردارها وجود دارد یا خیر ضریب تناسب، به طوری که برابری ها برآورده شوند:

من مطمئناً در مورد نسخه "foppish" اعمال این قانون به شما خواهم گفت که در عمل بسیار خوب عمل می کند. ایده این است که فوراً نسبت را بسازید و ببینید درست است یا خیر:

بیایید نسبتی از نسبت مختصات مربوط به بردارها ایجاد کنیم:

کوتاه کنیم:
، بنابراین مختصات مربوطه متناسب هستند، بنابراین

این رابطه می تواند برعکس باشد.

برای خودآزمایی، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که بردارهای خطی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. در در این موردبرابری ها وجود دارد . اعتبار آنها را می توان به راحتی از طریق عملیات ابتدایی با بردارها تأیید کرد:

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) مبنایی را تشکیل می دهند. ما بردارها را برای همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

از معادله اول نتیجه می شود که , از معادله دوم نتیجه می شود که یعنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، مختصات متناظر بردارها متناسب نیستند.

نتیجه گیری: بردارها به صورت خطی مستقل هستند و پایه را تشکیل می دهند.

نسخه ساده شده راه حل به این صورت است:

بیایید از مختصات مربوطه بردارها نسبتی درست کنیم :
، به این معنی که این بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

به طور معمول، این گزینه توسط بررسی کنندگان رد نمی شود، اما در مواردی که برخی از مختصات برابر با صفر هستند، مشکل ایجاد می شود. مثل این: . یا مثل این: . یا مثل این: . چگونه می توان از طریق نسبت در اینجا کار کرد؟ (در واقع، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). به همین دلیل است که من راه حل ساده شده را "فروغ" نامیدم.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

یک مثال خلاقانه کوچک برای راه حل خودتان:

مثال 2

بردارها در چه مقدار پارامتر هستند آیا آنها خطی خواهند بود؟

در حل نمونه، پارامتر از طریق نسبت پیدا می شود.

یک روش جبری ظریف برای بررسی بردارها برای همخطی بودن وجود دارد.

برای دو بردار صفحات معادل هستند اظهارات زیر :

2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها خطی نیستند.

+ 5) تعیین کننده متشکل از مختصات این بردارها غیر صفر است.

به ترتیب، عبارات مقابل زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی وابسته هستند.
2) بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند.
3) بردارها خطی هستند.
4) بردارها را می توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
+ 5) دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر است.

من واقعاً، واقعاً به آن امیدوارم در حال حاضرشما قبلاً تمام اصطلاحات و عباراتی را که با آنها برخورد می کنید درک کرده اید.

بیایید نگاهی دقیق تر به نکته جدید، پنجم بیندازیم: دو بردار صفحه خطی هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد.: البته برای اعمال این ویژگی باید بتوانید تعیین کننده ها را پیدا کنید.

بیا تصمیم بگیریممثال 1 به روش دوم:

الف) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردارها را محاسبه کنیم :
یعنی این بردارها هم خط هستند.

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) مبنایی را تشکیل می دهند. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم :
، به این معنی که بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

این بسیار فشرده تر و زیباتر از یک راه حل با نسبت به نظر می رسد.

با کمک مواد در نظر گرفته شده، می توان نه تنها همخطی بردارها را تعیین کرد، بلکه موازی بودن قطعات و خطوط مستقیم را نیز اثبات کرد. بیایید چند مشکل با اشکال هندسی خاص را در نظر بگیریم.

مثال 3

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات: نیازی به ایجاد نقشه در مسئله نیست، زیرا راه حل صرفاً تحلیلی خواهد بود. بیایید تعریف متوازی الاضلاع را به خاطر بسپاریم:
متوازی الاضلاع چهار ضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند نامیده می شود.

بنابراین لازم است ثابت شود:
1) موازی بودن اضلاع مقابل و;
2) موازی بودن اضلاع مقابل و.

ما ثابت می کنیم:

1) بردارها را بیابید:

2) بردارها را بیابید:

نتیجه همان بردار است ("بر اساس مدرسه" - بردارهای برابر). خطی بودن کاملاً واضح است، اما بهتر است تصمیم را به وضوح و با ترتیب، رسمی کنیم. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:
، به این معنی که این بردارها خطی هستند و .

نتیجه گیری: اضلاع مقابل یک چهار ضلعی به صورت جفت موازی هستند، یعنی طبق تعریف متوازی الاضلاع است. Q.E.D.

ارقام خوب و متفاوت تر:

مثال 4

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی ذوزنقه است.

برای فرمول دقیق تر اثبات، البته بهتر است تعریف ذوزنقه را بدست آوریم، اما کافی است به سادگی به یاد بیاوریم که چگونه به نظر می رسد.

این وظیفه ای است که شما باید خودتان آن را حل کنید. راه حل کامل در پایان درس.

و اکنون زمان آن است که به آرامی از هواپیما به فضا حرکت کنیم:

چگونه می توان همخطی بردارهای فضایی را تعیین کرد؟

قانون بسیار شبیه است. برای اینکه دو بردار فضایی به صورت هم خط باشند، کافی و ضروری است که مختصات متناظر آنها متناسب باشد..

مثال 5

دریابید که آیا بردارهای فضایی زیر هم خط هستند:

الف)؛
ب)
V)

راه حل:
الف) بررسی کنیم که آیا ضریب تناسب برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.

"ساده شده" با بررسی نسبت رسمی می شود. در این مورد:
- مختصات مربوطه متناسب نیستند، به این معنی که بردارها هم خط نیستند.

پاسخ:بردارها خطی نیستند.

ب-ج) نکاتی برای تصمیم گیری مستقل است. از دو طریق آن را امتحان کنید.

روشی برای بررسی بردارهای فضایی برای همخطی بودن از طریق یک تعیین کننده مرتبه سوم وجود دارد که این روش در مقاله پوشش داده شده است حاصلضرب برداری بردارها.

همانند حالت صفحه، از ابزارهای در نظر گرفته شده می توان برای مطالعه موازی قطعات فضایی و خطوط مستقیم استفاده کرد.

به بخش دوم خوش آمدید:

وابستگی و استقلال خطی بردارها در فضای سه بعدی.
مبانی فضایی و سیستم مختصات وابسته

بسیاری از الگوهایی که در هواپیما بررسی کردیم برای فضا نیز معتبر خواهند بود. من سعی کردم نکات تئوری را به حداقل برسانم، زیرا سهم شیر از اطلاعات قبلاً جویده شده است. با این حال، توصیه می کنم که قسمت مقدمه را با دقت مطالعه کنید، زیرا اصطلاحات و مفاهیم جدیدی ظاهر می شوند.

اکنون به جای صفحه میز کامپیوتر، فضای سه بعدی را بررسی می کنیم. ابتدا بیایید پایه آن را ایجاد کنیم. یک نفر الان در داخل خانه است، یک نفر بیرون است، اما به هر حال ما نمی توانیم از سه بعد: عرض، طول و ارتفاع فرار کنیم. بنابراین، برای ساخت یک پایه، سه بردار فضایی مورد نیاز خواهد بود. یک یا دو بردار کافی نیست، چهارمی اضافی است.

و دوباره روی انگشتانمان گرم می شویم. لطفا دست خود را بالا ببرید و در جهات مختلف باز کنید انگشت شست، اشاره و وسط. اینها بردار خواهند بود، آنها به جهات مختلف نگاه می کنند، آنها دارند طول های مختلفو زوایای مختلفی بین آنها وجود دارد. تبریک می گوییم، اساس فضای سه بعدی آماده است! به هر حال، نیازی به نشان دادن این به معلمان نیست، هر چقدر هم که انگشتان خود را بچرخانید، اما از تعاریف فراری نیست =)

در ادامه یک سوال مهم را مطرح می کنیم: آیا هر سه بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند؟? لطفا سه انگشت خود را محکم روی میز کامپیوتر فشار دهید. چه اتفاقی افتاد؟ سه بردار در یک صفحه قرار دارند و تقریباً یکی از ابعاد - ارتفاع را از دست داده ایم. چنین بردارهایی هستند همسطحو کاملاً بدیهی است که اساس فضای سه بعدی ایجاد نشده است.

لازم به ذکر است که بردارهای همسطح مجبور نیستند در یک صفحه قرار بگیرند، آنها می توانند در صفحات موازی باشند (فقط این کار را با انگشتان خود انجام ندهید، فقط سالوادور دالی این کار را انجام داد =)).

تعریف: بردارها نامیده می شوند همسطح، اگر صفحه ای وجود داشته باشد که با آن موازی باشند. منطقی است که در اینجا اضافه کنیم که اگر چنین صفحه ای وجود نداشته باشد، بردارها همسطح نخواهند بود.

سه بردار همسطح همیشه به صورت خطی وابسته هستند، یعنی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. برای سادگی، بیایید دوباره تصور کنیم که آنها در یک هواپیما قرار دارند. اولا، بردارها نه تنها همسطح هستند، بلکه می توانند هم خط باشند، سپس هر بردار را می توان از طریق هر بردار بیان کرد. در حالت دوم، اگر برای مثال، بردارها هم خط نباشند، بردار سوم از طریق آنها به روشی منحصر به فرد بیان می شود: (و چرا به راحتی می توان از مطالب بخش قبل حدس زد).

عکس آن نیز صادق است: سه بردار غیرهمسطح همیشه به صورت خطی مستقل هستند، یعنی به هیچ وجه از طریق یکدیگر بیان نمی شوند. و بدیهی است که تنها چنین بردارهایی می توانند اساس فضای سه بعدی را تشکیل دهند.

تعریف: اساس فضای سه بعدیسه بردار مستقل خطی (غیر همسطح) نامیده می شود، به ترتیب خاصی گرفته شده استو هر بردار فضا تنها راهبر اساس یک مبنای معین تجزیه می شود، جایی که مختصات بردار در این پایه است

به شما یادآوری می کنم که می توانیم بگوییم که بردار به صورت نمایش داده می شود ترکیب خطیبردارهای پایه

مفهوم یک سیستم مختصات دقیقاً به همان شکلی که برای حالت صفحه معرفی شده است و هر سه بردار مستقل خطی کافی است.

منشاء، و غیر همسطحبردارها، به ترتیب خاصی گرفته شده است، مجموعه سیستم مختصات افین فضای سه بعدی :

البته، شبکه مختصات "مورب" و ناخوشایند است، اما، با این وجود، سیستم مختصات ساخته شده به ما اجازه می دهد قطعامختصات هر بردار و مختصات هر نقطه در فضا را تعیین کنید. مشابه یک هواپیما، برخی از فرمول هایی که قبلاً ذکر کردم در سیستم مختصات نزدیک فضا کار نمی کنند.

همانطور که همه حدس می زنند، آشناترین و راحت ترین مورد خاص یک سیستم مختصات افین است سیستم مختصات فضایی مستطیلی:

نقطه ای در فضا به نام منشاء، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات فضایی مستطیلی دکارتی . عکس آشنا:

قبل از حرکت به سمت کارهای عملی، اجازه دهید دوباره اطلاعات را سیستماتیک کنیم:

برای سه بردار فضایی عبارات زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی مستقل هستند.
2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها همسطح نیستند.
4) بردارها را نمی توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
5) تعیین کننده، متشکل از مختصات این بردارها، با صفر متفاوت است.

به نظر من جملات مخالف قابل درک است.

وابستگی/استقلال خطی بردارهای فضا به طور سنتی با استفاده از یک تعیین کننده بررسی می شود (نقطه 5). باقی مانده است وظایف عملییک کاراکتر جبری مشخص خواهد داشت. وقت آن است که چوب هندسی را آویزان کنید و چوب بیسبال جبر خطی را به کار بگیرید:

سه بردار فضاهمسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد: .

من می خواهم توجه شما را به یک نکته ظریف فنی کوچک جلب کنم: مختصات بردارها را می توان نه تنها در ستون ها، بلکه در ردیف ها نیز نوشت (مقدار تعیین کننده از این تغییر نخواهد کرد - به ویژگی های تعیین کننده ها مراجعه کنید). اما در ستون ها بسیار بهتر است، زیرا برای حل برخی از مشکلات عملی مفیدتر است.

برای آن دسته از خوانندگانی که روش‌های محاسبه عوامل تعیین‌کننده را کمی فراموش کرده‌اند، یا شاید اصلاً درک کمی از آنها دارند، یکی از قدیمی‌ترین درس‌های خود را توصیه می‌کنم: چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مثال 6

بررسی کنید که آیا بردارهای زیر اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند:

راه حل: در واقع کل راه حل به محاسبه دترمینان می رسد.

الف) بیایید تعیین کننده را که از مختصات بردار تشکیل شده است محاسبه کنیم (تعیین کننده در خط اول نشان داده شده است):

، به این معنی که بردارها مستقل خطی هستند (همسطح نیستند) و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

پاسخ دهید: این بردارها اساس را تشکیل می دهند

ب) این نقطه ای برای تصمیم گیری مستقل است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همچنین وظایف خلاقانه وجود دارد:

مثال 7

در چه مقدار از پارامتر بردارها همسطح خواهند بود؟

راه حل: بردارها همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر باشد:

در اصل، شما باید یک معادله را با یک تعیین کننده حل کنید. ما مانند بادبادک‌ها روی ژربواها روی صفرها می‌چرخیم - بهتر است تعیین‌کننده را در خط دوم باز کنیم و فوراً از شر معایب خلاص شویم:

ما ساده سازی های بیشتری انجام می دهیم و ماده را به ساده ترین معادله خطی کاهش می دهیم:

پاسخ دهید: در

برای انجام این کار، بررسی اینجا آسان است، باید مقدار حاصل را با تعیین کننده اصلی جایگزین کنید و مطمئن شوید که ، دوباره آن را باز می کند.

در پایان، یک مسئله معمولی دیگر را در نظر خواهیم گرفت که بیشتر ماهیت جبری دارد و به طور سنتی در یک دوره جبر خطی گنجانده شده است. آنقدر رایج است که سزاوار موضوع خاص خود است:

ثابت کنید که 3 بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند
و مختصات بردار 4 را در این مبنا پیدا کنید

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها در فضای سه بعدی یک پایه تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل: ابتدا به شرط بپردازیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده شده است، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. اینکه این مبنا چیست برای ما جالب نیست. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً با حل مثال 6 منطبق است، باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل هستند یا خیر.

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم است : مختصات برداری لزومایادداشت کنید به ستون هاتعیین کننده، نه در رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.