تعیین گشتاورهای اینرسی در حین انتقال موازی محورها. تغییرات در گشتاورهای اینرسی در حین انتقال موازی محورها. مفاهیم اولیه در مورد پیچش پیچ خوردگی تیر گرد

اجازه دهید z با, سال– محورهای مرکزی مقاطع – ممان اینرسی مقطع نسبت به این محورها. اجازه دهید گشتاورهای اینرسی مقطع را نسبت به محورهای جدید تعیین کنیم z 1, در 1، موازی با محورهای مرکزی و جابجایی نسبت به آنها بر اساس فواصل الفو د. اجازه دهید dA- یک منطقه ابتدایی در مجاورت یک نقطه مبا مختصات yو zدر سیستم مختصات مرکزی از شکل 4.3 مشخص است که مختصات نقطه C در سیستم جدیدمختصات برابر خواهد بود، .

اجازه دهید گشتاور اینرسی مقطع را نسبت به محور y تعیین کنیم 1 :

شکل 4.3

z c

y c

z 1

y 1

د

الف

سی

بدیهی است که انتگرال اول می دهد، دومی - از آنجایی که سیستم مختصات اصلی مرکزی است، و سوم - سطح مقطع را نشان می دهد. الف.

بنابراین،

به همین ترتیب

تغییر ممان اینرسی مقطع هنگام چرخش محورها

بیایید رابطه بین گشتاورهای اینرسی در مورد محورها را پیدا کنیم y, zو گشتاورهای اینرسی در مورد محورها y 1, z 1، در یک زاویه چرخیده است الف. اجازه دهید جی> Jzو زاویه مثبت الفاز محور اندازه گیری می شود yخلاف جهت عقربه های ساعت مختصات نقطه را بگذارید مقبل از نوبت - y, z، پس از چرخش - y 1, z 1(شکل 4.4).

از شکل زیر است:

حال بیایید گشتاورهای اینرسی را در مورد محورها تعیین کنیم y 1و z 1:

برنج. 4.4

م

z

z 1

y 1

y

الف

y

y 1

z 1

z

. (4.13)

به همین ترتیب:

با اضافه کردن معادله های (4.13) و (4.14) ترم به ترم، به دست می آوریم:

آن ها مجموع گشتاورهای اینرسی نسبت به هر محور متقابل عمود بر هم ثابت می ماند و با چرخش سیستم مختصات تغییر نمی کند.

محورهای اصلی اینرسی و گشتاورهای اصلی اینرسی

با تغییر در زاویه چرخش محورها الفهر یک از مقادیر تغییر می کند، اما مجموع آنها بدون تغییر باقی می ماند. بنابراین، چنین معنایی وجود دارد

a = a 0، که در آن ممان اینرسی به مقادیر شدید می رسد، یعنی. یکی از آنها به حداکثر مقدار خود می رسد و دیگری به حداقل خود می رسد. برای یافتن ارزش الف 0 اولین مشتق (یا) را بگیرید و آن را با صفر برابر کنید:

اجازه دهید نشان دهیم که نسبت به محورهای حاصل، گشتاور گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر است. برای انجام این کار، سمت راست معادله (4.15) را با صفر برابر می کنیم: از کجا، i.e. همین فرمول را برای الف 0 .

محورهایی که ممان اینرسی گریز از مرکز در مورد آنها صفر است و گشتاورهای محوری اینرسی مقادیر شدیدی دارند، محورهای اصلی نامیده می شوند. اگر این محورها مرکزی نیز باشند، به آنها محورهای مرکزی اصلی می گویند. گشتاورهای اینرسی محوری در مورد محورهای اصلی را گشتاورهای اینرسی اصلی می گویند.

اجازه دهید محورهای اصلی را با علامت گذاری کنیم y 0و z 0. سپس

اگر مقطعی دارای یک محور تقارن باشد، این محور همیشه یکی از محورهای مرکزی اصلی اینرسی مقطع است.

اجازه دهید Ix، Iy، Ixy نیز شناخته شود. بیایید یک محور جدید x 1، y 1 به موازات محورهای xy رسم کنیم.

و لحظه اینرسی همان مقطع را نسبت به محورهای جدید تعیین می کنیم.

X 1 = x-a; y 1 = y-b

من x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA =

Ix – 2b Sx + b 2 A.

اگر محور x از مرکز ثقل مقطع عبور کند، گشتاور ایستا Sx=0 است.

I x 1 = Ix + b 2 A

مشابه محور y 1 جدید، فرمول I y 1 = Iy + a 2 A را خواهیم داشت.

گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورهای جدید

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.

اگر محورهای xy از مرکز ثقل مقطع عبور کنند، Ix 1 y 1 = Ixy + abA

اگر مقطع متقارن باشد، حداقل یکی از محورهای مرکزی با محور تقارن منطبق است، سپس Ixy = 0، که به معنای Ix 1 y 1 = abA است.

تغییر ممان اینرسی هنگام چرخش محورها.

اجازه دهید گشتاورهای محوری اینرسی در مورد محورهای xy مشخص شود.

اگر چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت باشد، با چرخاندن سیستم قدیمی با زاویه (a > 0)، یک سیستم مختصات xy جدید به دست می‌آوریم.

بیایید بین مختصات قدیمی و جدید سایت ارتباط برقرار کنیم

y 1 =ab = ac – bc = ab-de

از مثلث acd:

ac/ad =cos α ac= ad*cos α

از مثلث oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

بیایید این مقادیر را با عبارت y جایگزین کنیم

y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α.

به همین ترتیب

x 1 = x cos α + y sin α.

بیایید گشتاور محوری اینرسی را نسبت به محور جدید x 1 محاسبه کنیم

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

به طور مشابه، Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

بیایید سمت چپ و راست عبارات حاصل را اضافه کنیم:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

مجموع گشتاورهای محوری اینرسی در طول چرخش تغییر نمی کند.

اجازه دهید گشتاور گریز از مرکز اینرسی را نسبت به محورهای جدید تعیین کنیم. بیایید مقادیر x 1 , y 1 را تصور کنیم.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

گشتاورهای اصلی و محورهای اصلی اینرسی.

لحظات اصلی اینرسیبه آنها مقادیر افراطی می گویند.

محورهایی که مقادیر افراطی در مورد آنها به دست آمده است، محورهای اصلی اینرسی نامیده می شوند. آنها همیشه بر هم عمود هستند.

گشتاور گریز از مرکز نسبت به محورهای اصلی همیشه برابر با 0 است. از آنجایی که مشخص است که یک محور تقارن در مقطع وجود دارد، ممان گریز از مرکز برابر با 0 است، به این معنی که محور تقارن، محور اصلی است. اگر اولین مشتق عبارت I x 1 را بگیریم، سپس آن را با "0" برابر کنیم، مقدار زاویه = مربوط به موقعیت محورهای اصلی اینرسی را به دست می آوریم.

tan2 α 0 = -

اگر α 0 > 0 باشد، برای یک موقعیت خاص از محورهای اصلی، محور قدیمی باید در خلاف جهت عقربه‌های ساعت چرخانده شود. یکی از محورهای اصلی حداکثر و دیگری حداقل است. در این حالت، محور حداکثر همیشه با آن محور تصادفی که گشتاور محوری اینرسی بزرگ‌تری دارد، با زاویه کوچک‌تری مطابقت دارد. مقادیر شدید گشتاور محوری اینرسی با فرمول تعیین می شود:

فصل 2. مفاهیم اساسی مقاومت مواد. اهداف و روش ها.

هنگام طراحی سازه های مختلف، لازم است مسائل مختلفی از جمله استحکام، صلبیت و پایداری حل شود.

قدرت- توانایی یک جسم معین برای تحمل بارهای مختلف بدون تخریب.

سختی– توانایی یک سازه در جذب بارها بدون تغییر شکل (تغییر مکان) زیاد. مقادیر اولیه تغییر شکل مجاز تنظیم شده است کدهای ساختمانو قوانین (SNIP).

پایداری

فشرده سازی یک میله انعطاف پذیر را در نظر بگیرید

اگر بار به تدریج افزایش یابد، میله ابتدا کوتاه می شود. هنگامی که نیروی F به یک مقدار بحرانی خاص می رسد، میله کمانش می کند. - کوتاه شدن مطلق

در این مورد، میله فرو نمی ریزد، اما به شدت شکل خود را تغییر می دهد. این پدیده از دست دادن ثبات نامیده می شود و منجر به تخریب می شود.

سوپرومات- اینها مبانی علوم استحکام، صلبیت و پایداری سازه های مهندسی هستند. مواد مقاومتی از روش های مکانیک نظری، فیزیک و ریاضیات استفاده می کنند. بر خلاف مکانیک نظری، مقاومت مقاومت تغییرات در اندازه و شکل اجسام را تحت تأثیر بار و دما در نظر می گیرد.

شکل 7.

,

,

,

کجا من x، من y - گشتاورهای محوری اینرسی نسبت به محورهای مرجع.

من xy- گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرجع.

من xc، من yc- گشتاورهای اینرسی محوری نسبت به محورهای مرکزی.

من xcyc- گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرکزی.

الف، ب- فاصله بین محورها

تعیین ممان اینرسی یک مقطع هنگام چرخش محورها

تمام مشخصات هندسی مقطع نسبت به محورهای مرکزی مشخص است x C,در سی(شکل 8). اجازه دهید گشتاورهای اینرسی را در مورد محورها تعیین کنیم x 1,در 1، نسبت به مرکزی با یک زاویه خاص چرخیده است الف.

شکل 8

,

کجا من x 1، من y 1 - گشتاورهای اینرسی محوری در مورد محورها x 1,در 1 ;

من x 1 و 1- گشتاور گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورها x 1,در 1 .

تعیین موقعیت محورهای مرکزی اصلی اینرسی

موقعیت محورهای مرکزی اصلی اینرسی با فرمول تعیین می شود:

,

کجا یک 0 - زاویه بین محورهای مرکزی و اصلی اینرسی.

تعیین ممان های اصلی اینرسی

ممان های اصلی اینرسی بخش با فرمول تعیین می شود:

ترتیب محاسبه یک بخش پیچیده

1) یک بخش پیچیده را به بخش های ساده تر تقسیم کنید اشکال هندسی [S 1, S 2,…;x 1, y 1; x 2, y 2, …]

2) محورهای دلخواه را انتخاب کنید XOY .

3) موقعیت مرکز ثقل مقطع را تعیین کنید [x c، y c].

4) محورهای مرکزی را رسم کنید X c OY ج.

5) گشتاورهای اینرسی را محاسبه کنید Ixc, من ج ، با استفاده از قضیه ترجمه موازی محورها.

6) ممان گریز از مرکز اینرسی را محاسبه کنید Ix c y c.

7) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید tg2a 0.

8) ممان های اصلی اینرسی را محاسبه کنید ایمکس, ایمین.

مثال 2

برای شکل نشان داده شده در شکل 13، نکات اصلی را مشخص کنید

اینرسی و موقعیت محورهای اصلی اینرسی.

1) بخش پیچیده را به اشکال هندسی ساده تقسیم می کنیم

S 1 = 2000 میلی متر 2، S 2 = 1200 میلی متر 2، S= 3200 میلی متر 2.

2) محورهای دلخواه XOY را انتخاب کنید.

3) موقعیت مرکز ثقل مقطع را تعیین کنید

x c = 25 میلی متر، y c= 35 میلی متر.

4) ترسیم محورهای مرکزی X c OY ج

5) گشتاورهای اینرسی را محاسبه کنید Ix c، Iy c

6) ممان گریز از مرکز اینرسی را محاسبه کنید Ix c y c

7) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید

اگر من x > من y و a 0 > 0 ، سپس زاویه یک 0 منحرف شده از محور X s خلاف جهت عقربه های ساعت

8) ممان های اصلی اینرسی را محاسبه کنید ایمکس, ایمین

مثال 3

برای شکل نشان داده شده در شکل. 8 موقعیت محورهای اصلی را تعیین کنید

شکل 8.

اینرسی و گشتاورهای اصلی اینرسی.

1) داده های اولیه اولیه را برای هر شکل یادداشت می کنیم

کانال

S 1 = 10.9 سانتی متر 2

من x = 20.4 سانتی متر 4

من y = 174 سانتی متر 4

y 0= 1.44 سانتی متر

ساعت= 10 سانتی متر

گوشه نابرابر

S 3 = 6.36 سانتی متر 2

من x = 41.6 سانتی متر 4

من y = 12.7 سانتی متر 4

من دقیقه = 7.58 سانتی متر 4

tga= 0,387

x 0= 1.13 سانتی متر

y 0= 2.6 سانتی متر

مستطیل

S 2 = 40 سانتی متر 2

سانتی متر 4

سانتی متر 4

2) بخش را به مقیاس بکشید

3) محورهای مختصات دلخواه را رسم کنید

4) مختصات مرکز ثقل مقطع را تعیین کنید

5) محورهای مرکزی را رسم کنید

6) گشتاورهای محوری اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی تعیین کنید

7) گشتاور گریز از مرکز اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی تعیین کنید

ممان اینرسی گریز از مرکز برای فولاد نورد زاویه ای نسبت به مرکز ثقل آن توسط یکی از فرمول های زیر تعیین می شود:

-4

علامت گشتاور گریز از مرکز اینرسی برای فولاد نورد زاویه ای مطابق شکل 1 تعیین می شود. 9، بنابراین من xy 3= -13.17 سانتی متر 4.

8) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید

a 0 = 21.84 درجه

9) ممان های اصلی اینرسی را تعیین کنید

وظیفه 4

برای طرح های داده شده (جدول 6) لازم است:

1) یک مقطع را به یک مقیاس دقیق بکشید.

2) موقعیت مرکز ثقل را تعیین کنید.

3) مقادیر گشتاورهای اینرسی محوری را نسبت به محورهای مرکزی بیابید.

4) مقدار گشتاور گریز از مرکز اینرسی را نسبت به محورهای مرکزی بیابید.

5) موقعیت محورهای اصلی اینرسی را تعیین کنید.

6) گشتاورهای اصلی اینرسی را بیابید.

داده های عددی را از جدول بگیرید. 6.

طرح های محاسبه برای مسئله شماره 4

جدول 6

داده های اولیه برای کار شماره 4

№	گوشه زاویه مساوی	گوشه نابرابر	من پرتو	کانال	مستطیل	طرح شماره
	30'5	50´32´4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100´63´6	ساعت 20	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140´90´10	22a	18 a	60'60
	100'10	160´100´12			60'40
	د	الف	ب	V	جی	د

دستورالعمل برای مسئله 5

خم شدن نوعی تغییر شکل است که در آن V.S.F در مقطع میله ظاهر می شود. - لحظه خم شدن

برای محاسبه تیر برای خمش باید مقدار حداکثر ممان خمشی را دانست مو موقعیت بخشی که در آن رخ می دهد. به همین ترتیب، شما باید حداکثر نیروی جانبی را بدانید س. برای این منظور نمودار لنگرهای خمشی و نیروهای برشی ساخته می شود. از روی نمودارها می توان به راحتی قضاوت کرد که حداکثر مقدار لحظه یا کجاست نیروی برشی. برای تعیین مقادیر مو ساز روش بخش استفاده کنید مدار نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید. 9. مجموع نیروهای روی محور را جمع آوری می کنیم Y، بر روی قسمت قطع شده تیرچه عمل می کند.

شکل 9.

نیروی عرضی برابر است با مجموع جبری تمام نیروهای وارد بر یک طرف مقطع.

اجازه دهید مجموع لنگرهای وارد بر قسمت بریده تیر نسبت به مقطع را جمع آوری کنیم.

لنگر خمشی برابر است با مجموع جبری تمام گشتاورهایی که بر روی قسمت بریده تیر نسبت به مرکز ثقل مقطع اثر می کنند.

برای اینکه بتوان از هر انتهای تیر محاسبات انجام داد، لازم است قانون علامت برای عوامل نیروی داخلی اتخاذ شود.

برای نیروی برشی س.

شکل 10.

اگر یک نیروی خارجی قسمت بریده شده تیر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند، آنگاه نیرو مثبت است اگر یک نیروی خارجی قسمت بریده شده تیر را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخاند، آنگاه نیرو منفی است.

برای لحظه خم شدن م.

شکل 11.

اگر تحت تأثیر یک نیروی خارجی، محور منحنی تیر به شکل یک کاسه مقعر درآید، به طوری که بارانی که از بالا می آید آن را پر از آب کند، در این صورت ممان خمشی مثبت است (شکل 11a). اگر تحت تأثیر یک نیروی خارجی، محور منحنی تیر به شکل یک کاسه محدب درآید، به طوری که بارانی که از بالا می آید آن را با آب پر نمی کند، در این صورت ممان خمشی منفی است (شکل 11b).

بین شدت بار توزیع شده q، نیروی برشی سو لحظه خم شدن م، در یک بخش خاص، وابستگی های دیفرانسیل زیر وجود دارد:

وابستگی های دیفرانسیل نشان داده شده در طول خمش امکان ایجاد برخی از ویژگی های نمودارهای نیروهای عرضی و گشتاورهای خمشی را فراهم می کند.

1) در مناطقی که بار توزیعی وجود ندارد، نمودار س توسط خطوط مستقیم موازی با محور نمودار، و نمودار محدود شده است م در حالت کلی، با خطوط مستقیم مایل (شکل 19).

2) در مناطقی که یک بار توزیع یکنواخت به تیر وارد می شود، نمودار س توسط خطوط مستقیم مایل و نمودار محدود شده است م - سهمی های درجه دوم (شکل 20). هنگام طرح ریزی م بر روی الیاف فشرده، تحدب سهمی در جهت مخالف عمل بار توزیع شده قرار دارد (شکل 21 a, b).

شکل 12.

شکل 13.

3) در آن بخش هایی که س= 0، مماس بر نمودار مموازی با محور نمودار (شکل 12، 13). گشتاور خمشی در چنین مقاطعی از پرتو از نظر بزرگی بسیار زیاد است ( حداکثر M,Mmin).

4) در مناطقی که س> 0, مافزایش می دهد، یعنی از چپ به راست مختصات مثبت نمودار مافزایش، منفی کاهش می یابد (شکل 12، 13). در آن مناطقی که س < 0, مکاهش می یابد (شکل 12، 13).

5) در بخشهایی که نیروهای متمرکز بر تیر اعمال می شود:

الف) روی نمودار سجهش هایی با بزرگی و در جهت نیروهای اعمال شده وجود خواهد داشت (شکل 12 و 13).

ب) روی نمودار مشکستگی وجود خواهد داشت (شکل 12، 13)، نوک شکستگی در مقابل عمل نیرو قرار دارد.

6) در قسمت هایی که لنگرهای متمرکز بر روی تیر اعمال می شود، روی نمودار مجهش هایی در بزرگی این لحظات روی نمودار وجود خواهد داشت سهیچ تغییری وجود نخواهد داشت (شکل 14).

شکل 14.

شکل 15.

7) اگر متمرکز

لحظه، پس در این بخش لنگر خمشی برابر با ممان خارجی است (بخش سیو بدر شکل 15).

8) نمودار سنموداری از مشتق طرح را نشان می دهد م. بنابراین دستورات سمتناسب با مماس زاویه میل مماس بر نمودار م(شکل 14).

ترتیب نقشه کشی سو م:

1) نمودار طراحی تیر (به شکل یک محور) ترسیم شده است که بارهای وارده بر آن را نشان می دهد.

2) تأثیر تکیه گاه ها روی تیر با واکنش های مربوطه جایگزین می شود. تعیین واکنش ها و جهت پذیرفته شده آنها نشان داده شده است.

3) معادلات تعادل برای تیر جمع آوری شده است که راه حل آن مقادیر واکنش های پشتیبانی را تعیین می کند.

4) تیر به مقاطعی تقسیم می شود که مرزهای آن نقاط اعمال نیروها و گشتاورهای متمرکز خارجی و همچنین نقاط شروع و پایان عمل یا تغییر ماهیت بارهای توزیع شده است.

5) عباراتی برای ممان های خمشی گردآوری شده است مو نیروهای برشی سبرای هر بخش از تیر نمودار محاسبه شروع و جهت اندازه گیری فاصله را برای هر بخش نشان می دهد.

6) با استفاده از عبارات به دست آمده، مختصات نمودارها برای تعدادی از مقاطع تیر به مقدار کافی برای نمایش این نمودارها محاسبه می شود.

7) مقاطعی تعیین می شوند که در آنها نیروهای عرضی برابر با صفر است و بنابراین در آنها لنگرها عمل می کنند. حداکثریا Mminبرای یک بخش معین از پرتو؛ مقادیر این لحظات محاسبه می شود.

8) نمودارها با استفاده از مقادیر ارتین به دست آمده ساخته می شوند.

9) نمودارهای ساخته شده با مقایسه آنها با یکدیگر بررسی می شوند.

نمودار عوامل نیروی داخلی در حین خمش به منظور تعیین مقطع خطرناک ساخته شده است. پس از یافتن بخش خطرناک، تیر برای استحکام محاسبه می شود. در حالت کلی خمش عرضی، زمانی که یک لنگر خمشی و نیروی عرضی در مقاطع یک میله اعمال می شود، تنش های عادی و مماسی در مقطع تیر ایجاد می شود. بنابراین، منطقی است که دو شرط قدرت را در نظر بگیریم:

الف) با توجه به ولتاژهای معمولی

ب) توسط تنش های مماسی

از آنجایی که عامل مخرب اصلی تیرها تنش های معمولی است، ابعاد مقطع تیر با شکل پذیرفته شده از شرایط مقاومت برای تنش های معمولی تعیین می شود:

سپس بررسی می شود که آیا مقطع تیر انتخاب شده شرایط مقاومت برای تنش های برشی را برآورده می کند یا خیر.

با این حال، این رویکرد برای محاسبه تیرها هنوز مقاومت تیر را مشخص نمی کند. در بسیاری از موارد، نقاطی در مقاطع تیر وجود دارد که تنش های نرمال و برشی بزرگ به طور همزمان در آنها اعمال می شود. در چنین مواردی، بررسی مقاومت تیر با استفاده از تنش های اصلی ضروری می شود. تئوری های سوم و چهارم استحکام بیشتر برای چنین آزمایش هایی کاربرد دارند:

, .

مثال 1

نمودارهای نیروی برشی بسازید سو لحظه خم شدن مبرای تیر نشان داده شده در شکل. 16 اگر: F 1= 3 کیلو نیوتن، F 2= 1.5 کیلو نیوتن، م = 5.1 kN∙m، q = = 2 کیلو نیوتن بر متر، الف = 2 متر، ب = 1 متر، با = 3 متر

شکل 16.

1) واکنش های حمایتی را تعیین کنید.

;

;

معاینه:

واکنش ها به درستی پیدا شده است

2) تیر را به چند قسمت تقسیم می کنیم سی.ای.,پس از میلاد,DE,E.K.,K.B..

3) مقادیر را تعیین کنید سو مدر هر سایت

SA

, ; , .

پس از میلاد

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , .

بیایید حداکثر لحظه خمشی در ناحیه را پیدا کنیم K.B..

بیایید معادله را برابر کنیم سدر این ناحیه صفر شده و مختصات را بیان کنید z حداکثر ، که در آن س= 0، و لحظه دارای حداکثر مقدار است. بعد جایگزین می کنیم z حداکثر معادله لحظه ای را در این بخش وارد کنید و پیدا کنید حداکثر.

EK

, .

4) ما نمودارها را می سازیم (شکل 16)

مثال 2

برای تیر نشان داده شده در شکل. 16 تعیین ابعاد یک گرد مستطیل شکل ( h/b = 2) و بخش I. استحکام تیر I را با تنش های اصلی بررسی کنید، اگر [s]= 150 مگاپاسکال، [t]= 150 مگاپاسکال

1) لحظه مقاومت مورد نیاز را از شرایط مقاومت تعیین کنید

2) ابعاد مقطع دایره ای را تعیین کنید

3) ابعاد مقطع مستطیلی را تعیین کنید

4) ما I-beam شماره 10 را با توجه به مجموعه انتخاب می کنیم (GOST 8239-89)

W X= 39.7 سانتی متر 3، S X * = 23 سانتی متر 3، من X = 198 سانتی متر 4، ساعت = 100 میلی متر، ب = 55 میلی متر، د = 4.5 میلی متر، تی = 7.2 میلی متر

برای بررسی مقاومت تیر بر اساس تنش های اصلی، لازم است نمودارهایی از تنش های معمولی و مماسی در یک مقطع خطرناک ساخته شود. از آنجایی که بزرگی تنش های اصلی به تنش های معمولی و مماسی بستگی دارد، آزمایش مقاومت باید در مقطعی از تیر انجام شود که مو سبه اندازه کافی بزرگ روی یک ساپورت در(شکل 16) نیروی برشی سدارای حداکثر مقدار است، اما در اینجا م= 0. بنابراین قسمت پشتیبانی را خطرناک می دانیم الف، که در آن ممان خمشی حداکثر و نیروی برشی نسبتاً زیاد است.

تنش های معمولی که در طول ارتفاع مقطع تغییر می کنند، از قانون خطی تبعیت می کنند:

کجا y- مختصات نقطه مقطع (شکل 24).

در در= 0، s = 0;

در ymax ,

قانون تغییرات تنش های برشی با قانون تغییرات ممان استاتیکی ناحیه تعیین می شود که به نوبه خود در امتداد ارتفاع مقطع طبق قانون سهمی تغییر می کند. پس از محاسبه مقدار نقاط مشخصه مقطع، نمودار تنش های مماسی را می سازیم. هنگام محاسبه مقادیر t، از علامت گذاری برای ابعاد بخش استفاده می کنیم که در شکل 1. 17.

شرط استحکام برای لایه 3-3 برآورده شده است.

وظیفه 5

برای طرح های تیر داده شده (جدول 12)، نمودارهای نیروی عرضی بسازید سو لحظه خم شدن م. سطح مقطع را برای نمودار a) دور انتخاب کنید [s]= 10 مگاپاسکال؛ ب) I-beam [s]= 150 مگاپاسکال

داده های عددی را از جدول بگیرید. 7.

جدول 7

داده های اولیه برای مشکل شماره 6

№

a, m

q 1 = q 3، kN/m

q 2، kN/m

F 1، kN

F 2، kN

F 3، kN

M 1، kN∙m

M 2، kN∙m

M 3، kN∙m

طرح شماره

0,8

1,2

ادامه جدول 12

اگر محورها مرکزی باشند، محورهای لحظه ای به شکل زیر خواهند بود:

15.وابستگی بین ممان اینرسی هنگام چرخش محورها:

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

اگر انتقال از سیستم مختصات قدیمی به سیستم جدید در خلاف جهت عقربه‌های ساعت اتفاق بیفتد، زاویه a>0. J y 1 + J x 1 = J y + J x

مقادیر شدید (حداکثر و حداقل) گشتاورهای اینرسی نامیده می شود لحظات اصلی اینرسی. محورهایی که گشتاورهای اینرسی محوری در مورد آنها دارای مقادیر شدید هستند نامیده می شوند محورهای اصلی اینرسی. محورهای اصلی اینرسی بر یکدیگر عمود هستند. گشتاورهای اینرسی گریز از مرکز در مورد محورهای اصلی = 0، یعنی. محورهای اصلی اینرسی - محورهایی که لنگر گریز از مرکز اینرسی = 0 در مورد آنها. زاویه تعیین کننده موقعیت محورهای اصلی: ، اگر a 0 >0 Þ محورها در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخند. محور ماکزیمم همیشه با محوری که ممان اینرسی بیشتر است زاویه کمتری ایجاد می کند. محورهای اصلی که از مرکز ثقل عبور می کنند نامیده می شوند محورهای مرکزی اصلی اینرسی. لحظات اینرسی در مورد این محورها:

J max + J min = J x + J y . ممان گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورهای مرکزی اصلی اینرسی برابر با 0 است. اگر ممان اینرسی اصلی مشخص باشد، فرمول های انتقال به محورهای چرخانده شده عبارتند از:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

هدف نهایی محاسبه ویژگی های هندسیبخش تعیین گشتاورهای مرکزی اصلی اینرسی و موقعیت محورهای مرکزی اصلی اینرسی است. شعاع اینرسی - ; J x =F×i x 2، J y =F×i y 2.

اگر J x و J y ممان های اصلی اینرسی باشند، آنگاه i x و i y - شعاع های اصلی چرخش. بیضی ساخته شده بر روی شعاع اصلی اینرسی مانند روی نیم محورها نامیده می شود بیضی اینرسی. با استفاده از بیضی اینرسی، می توانید به صورت گرافیکی شعاع اینرسی i x 1 را برای هر محور x 1 بیابید. برای این کار باید یک مماس بر روی بیضی موازی با محور x1 رسم کنید و فاصله این محور تا مماس را اندازه بگیرید. با دانستن شعاع اینرسی، می توانید ممان اینرسی مقطع را نسبت به محور x 1 پیدا کنید: . برای مقاطع با بیش از دو محور تقارن (به عنوان مثال: دایره، مربع، حلقه و غیره)، گشتاورهای محوری اینرسی در مورد تمام محورهای مرکزی برابر است، J xy = 0، بیضی اینرسی به دایره اینرسی تبدیل می شود. .

اغلب هنگام تصمیم گیری مشکلات عملیلازم است ممان اینرسی مقطع نسبت به محورهایی که در صفحه آن جهت گیری متفاوت دارند، تعیین شود. در این مورد، استفاده از مقادیر شناخته شده از لحظه های اینرسی کل بخش (یا اجزای سازنده آن) نسبت به محورهای دیگر، ارائه شده در ادبیات فنی، کتاب ها و جداول مرجع ویژه و همچنین محاسبه شده راحت است. با استفاده از فرمول های موجود بنابراین، برقراری روابط بین گشتاورهای اینرسی همان مقطع نسبت به محورهای مختلف بسیار مهم است.

در کلی‌ترین حالت، انتقال از هر سیستم مختصاتی قدیمی به هر سیستم مختصاتی جدید را می‌توان به عنوان دو تبدیل متوالی سیستم مختصات قدیمی در نظر گرفت:

1) با انتقال موازی محورهای مختصات به موقعیت جدید و

2) با چرخاندن آنها نسبت به مبدا جدید. بیایید اولین مورد از این تبدیل ها را در نظر بگیریم، یعنی ترجمه موازی محورهای مختصات.

فرض کنید ممان اینرسی یک بخش معین نسبت به محورهای قدیمی (شکل 18.5) شناخته شده است.

بیایید یک سیستم مختصات جدید در نظر بگیریم که محورهای آن موازی با محورهای قبلی است. بگذارید a و b مختصات یک نقطه (یعنی مبدا جدید) را در آن نشان دهیم سیستم قدیمیمختصات

بیایید یک سایت ابتدایی را در نظر بگیریم مختصات آن در سیستم مختصات قدیمی برابر با y و . در سیستم جدید آنها برابر هستند

اجازه دهید این مقادیر مختصات را در بیان گشتاور محوری اینرسی نسبت به محور جایگزین کنیم.

در عبارت حاصل، ممان اینرسی، ممان استاتیک مقطع نسبت به محور، برابر با مساحت F مقطع است.

از این رو،

اگر محور z از مرکز ثقل مقطع عبور کند، گشتاور ساکن و

از فرمول (25.5) مشخص می شود که گشتاور اینرسی در مورد هر محوری که از مرکز ثقل عبور نمی کند، بیشتر از ممان اینرسی در مورد محوری است که از مرکز ثقل عبور می کند، به مقداری که همیشه مثبت است. بنابراین، از تمام ممان های اینرسی نسبت به محورهای موازیگشتاور محوری اینرسی دارد کوچکترین ارزشنسبت به محوری که از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

ممان اینرسی حول محور [بر اساس قیاس با فرمول (24.5)]

در حالت خاصی که محور y از مرکز ثقل مقطع عبور می کند

فرمول های (25.5) و (27.5) به طور گسترده ای در محاسبه گشتاورهای محوری اینرسی مقاطع پیچیده (کامپوزیت) استفاده می شوند.

حال اجازه دهید مقادیر را با عبارت ممان گریز از مرکز اینرسی نسبت به محورها جایگزین کنیم.