حجم یک هرم منظم. هرم حجم V یک هرم مثلثی منظم

چندوجهی که قاعده آن مثلثی منتظم است و وجوه باقیمانده با مثلث متساوی الساقین نشان داده می شود. هرم مثلثیبه چنین هرمی چهار وجهی نیز گفته می شود.

یک هرم منظم دارای ویژگی های بسیاری است که از شکل های تشکیل دهنده آن به دست می آید:

• همه ضلع های پایه با یکدیگر برابر هستند زیرا با یک مثلث منظم نشان داده شده است.
• تمام لبه های هرم نیز با یکدیگر برابر هستند.
• چون هر صورت شکل می گیرد مثلث متساوی الساقینکه در آن لبه ها مساوی و پایه ها مساوی باشند، می توان گفت مساحت هر وجه یکسان است.
• همه زوایای دو وجهی در قاعده برابر هستند.

به عنوان مجموع مساحت های پایه و اسکن جانبی محاسبه می شود. همچنین می توان آن را با محاسبه مساحت یکی از وجوه جانبی و پایه پیدا کرد. فرمول حجم یک هرم مثلثی نیز از خواص مثلث هایی که از آن تشکیل شده است به دست آمده است:

مساحت پایه از فرمول محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه حجم یک هرم مثلثی را در نظر بگیریم.

اجازه دهید به ما یک هرم مثلثی داده شود. ضلع پایه a = 2 سانتی متر و ارتفاع آن h = 2√3 است. حجم چند وجهی داده شده را بیابید.
ابتدا بیایید مساحت پایه را پیدا کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید داده های شناخته شده را در فرمول بالا جایگزین کنیم:

اکنون از مقدار یافت شده برای محاسبه حجم هرم مثلثی استفاده می کنیم:

همچنین می توانید از فرمول کوتاه شده برای محاسبه مساحت یک هرم مثلثی استفاده کنید. سطح پایه و ارتفاع را ترکیب می کند و فرمول به عنوان یک سوم حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع هرم خوانده می شود:

هنگام استفاده از این فرمول، رعایت دقیق محاسبات و کاهش ها مهم است. یک اشتباه کوچک می تواند منجر به نتیجه نادرست شود. به طور کلی، یافتن حجم یک هرم مثلثی منظم بسیار ساده است.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم ایمیلو غیره

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم، طبق قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های سازمان های دولتی در فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

مشخصه اصلی هر شکل هندسیدر فضا حجم آن است. در این مقاله به این خواهیم پرداخت که یک هرم با یک مثلث در پایه چیست و همچنین نحوه یافتن حجم یک هرم مثلثی - منظم کامل و کوتاه را نشان خواهیم داد.

این چیست - یک هرم مثلثی؟

همه نام قدیمی ها را شنیده اند اهرام مصربا این حال، آنها چهار گوش منظم هستند، نه مثلثی. بیایید نحوه بدست آوردن یک هرم مثلثی را توضیح دهیم.

بیایید یک مثلث دلخواه را در نظر بگیریم و تمام رئوس آن را با یک نقطه واحد که در خارج از صفحه این مثلث قرار دارد وصل کنیم. شکل حاصل را هرم مثلثی می نامند. در شکل زیر نشان داده شده است.

همانطور که می بینید شکل مورد نظر از چهار مثلث تشکیل شده است که در کل با هم متفاوت هستند. هر مثلث اضلاع هرم یا صورت آن است. این هرم اغلب چهار وجهی نامیده می شود، یعنی یک شکل سه بعدی چهار وجهی.

علاوه بر اضلاع، هرم دارای لبه ها (6 عدد) و رئوس (از 4 عدد) نیز می باشد.

با پایه مثلثی

شکلی که با استفاده از مثلث دلخواه و نقطه ای در فضا به دست می آید در حالت کلی یک هرم مایل نامنظم خواهد بود. حال تصور کنید که مثلث اصلی دارای اضلاع یکسان است و نقطه ای در فضا دقیقاً بالای مرکز هندسی آن در فاصله h از صفحه مثلث قرار دارد. هرم ساخته شده با استفاده از این داده های اولیه صحیح خواهد بود.

بدیهی است که تعداد لبه‌ها، اضلاع و رئوس هرم مثلثی منتظم با هرم ساخته شده از یک مثلث دلخواه برابر خواهد بود.

با این حال، رقم صحیح مقداری دارد ویژگی های متمایز:

• ارتفاع آن که از راس کشیده شده است دقیقاً پایه را در مرکز هندسی (نقطه تقاطع میانه ها) قطع می کند.
• سطح جانبی چنین هرمی از سه مثلث یکسان تشکیل شده است که متساوی الساقین یا متساوی الاضلاع هستند.

یک هرم مثلثی منظم نه تنها یک شی هندسی صرفا نظری است. برخی از ساختارها در طبیعت شکل خود را دارند، برای مثال شبکه کریستالی الماس، که در آن یک اتم کربن با پیوندهای کووالانسی به چهار اتم مشابه متصل است، یا یک مولکول متان، که در آن رئوس هرم توسط اتم های هیدروژن تشکیل می شود.

هرم مثلثی

شما می توانید حجم مطلقاً هر هرمی را با یک n-gon دلخواه در پایه با استفاده از عبارت زیر تعیین کنید:

در اینجا نماد S o مساحت پایه را نشان می دهد، h ارتفاع شکل کشیده شده به پایه مشخص شده از بالای هرم است.

از آنجایی که مساحت یک مثلث دلخواه برابر با نصف حاصلضرب طول ضلع آن a است و حرف h a بر روی این ضلع افتاده است، فرمول حجم یک هرم مثلثی را می توان به شکل زیر نوشت:

V = 1/6 × a × h a × h

برای نوع عمومیتعیین قد کار آسانی نیست. برای حل آن، ساده ترین راه استفاده از فرمول فاصله بین یک نقطه (راس) و یک صفحه (پایه مثلثی) است که با معادله نشان داده شده است. نمای کلی.

برای صحیح، ظاهر خاصی دارد. مساحت قاعده (مثلث متساوی الاضلاع) برای آن برابر است با:

با جایگزین کردن آن به عبارت کلی برای V، دریافت می کنیم:

V = √3/12 × a 2 × h

یک مورد خاص وضعیتی است که تمام اضلاع یک چهار وجهی مثلث های متساوی الاضلاع یکسان هستند. در این مورد، حجم آن را می توان تنها بر اساس آگاهی از پارامتر لبه آن تعیین کرد. عبارت مربوطه به نظر می رسد:

هرم کوتاه شده

اگر قسمت بالایی حاوی رأس از یک هرم مثلثی منظم بریده شود، یک شکل کوتاه به دست می آید. بر خلاف پایه اصلی، از دو قاعده مثلثی متساوی الاضلاع و سه ذوزنقه متساوی الساقین تشکیل شده است.

عکس زیر نشان می دهد که یک هرم مثلثی ناقص منظم از کاغذ چگونه به نظر می رسد.

برای تعیین حجم یک هرم مثلثی کوتاه، باید سه ویژگی خطی آن را بدانید: هر یک از اضلاع پایه ها و ارتفاع شکل، برابر با فاصله بین پایه های بالا و پایین. فرمول مربوط به حجم به صورت زیر نوشته می شود:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

در اینجا h ارتفاع شکل است، A و a به ترتیب طول اضلاع مثلث متساوی الاضلاع بزرگ (پایین) و کوچک (بالا) هستند.

راه حل مشکل

برای اینکه اطلاعات مقاله برای خواننده واضح تر شود، با یک مثال واضح نحوه استفاده از برخی از فرمول های نوشته شده را نشان خواهیم داد.

بگذارید حجم هرم مثلثی 15 سانتی متر مکعب باشد. معلوم است که رقم صحیح است. اگر معلوم شود که ارتفاع هرم 4 سانتی متر است، لازم است آپوتم a b لبه جانبی را پیدا کنیم.

از آنجایی که حجم و ارتفاع شکل مشخص است، می توانید از فرمول مناسب برای محاسبه طول ضلع پایه آن استفاده کنید. ما داریم:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 سانتی متر

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √ (16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 سانتی متر

طول محاسبه‌شده نقطه‌ای از شکل بزرگ‌تر از ارتفاع آن است که برای هر نوع هرم صادق است.

در اینجا به نمونه های مرتبط با مفهوم حجم نگاه می کنیم. برای حل چنین کارهایی باید فرمول حجم یک هرم را بدانید:

اس

h - ارتفاع هرم

پایه می تواند هر چند ضلعی باشد. اما در اکثر مشکلات در آزمون یکپارچه دولتی، این شرایط معمولاً مربوط به هرم های معمولی است. یکی از خواص آن را یادآوری کنم:

راس هرم منظمبه مرکز پایه آن پیش بینی شده است

به برآمدگی اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم نگاه کنید (TOP VIEW):

می توانید در وبلاگ، جایی که مشکلات مربوط به یافتن حجم یک هرم مورد بحث قرار گرفت.بیایید وظایف را در نظر بگیریم:

27087. حجم یک هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 1 و ارتفاع آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

بیایید مساحت پایه هرم را پیدا کنیم، این یک مثلث منظم است. بیایید از فرمول استفاده کنیم - مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها، به این معنی:

پاسخ: 0.25

27088. ارتفاع هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 2 و حجم آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

مفاهیمی مانند ارتفاع هرم و ویژگی های پایه آن با فرمول حجمی مرتبط هستند:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما خود حجم را می دانیم، می توانیم مساحت پایه را پیدا کنیم، زیرا اضلاع مثلث را که پایه است، می شناسیم. با دانستن مقادیر مشخص شده، به راحتی می توانیم ارتفاع را پیدا کنیم.

برای پیدا کردن مساحت پایه، از فرمول استفاده می کنیم - مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها است، به این معنی:

بنابراین، با جایگزین کردن این مقادیر در فرمول حجم، می توانیم ارتفاع هرم را محاسبه کنیم:

ارتفاع سه است.

جواب: 3

27109. در هرم چهار گوش منتظم، ارتفاع 6 و لبه کناری آن 10 است. حجم آن را بیابید.

حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما ارتفاع را می دانیم. شما باید مساحت پایه را پیدا کنید. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که بالای یک هرم منظم به مرکز پایه آن کشیده شده است. قاعده هرم چهار گوش منظم مربع است. ما می توانیم مورب آن را پیدا کنیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید (که با رنگ آبی مشخص شده است):

پاره ای که مرکز مربع را به نقطه B متصل می کند، پایه ای است که برابر با نصف قطر مربع است. ما می توانیم این پا را با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کنیم:

این به معنای BD = 16 است. بیایید مساحت مربع را با استفاده از فرمول مساحت یک چهارضلعی محاسبه کنیم:

از این رو:

بنابراین، حجم هرم برابر است با:

جواب: 256

27178. در یک هرم چهار گوش منتظم ارتفاع 12 و حجم آن 200 است. لبه کناری این هرم را پیدا کنید.

ارتفاع هرم و حجم آن مشخص است، یعنی می توانیم مساحت مربع را که قاعده است، پیدا کنیم. با دانستن مساحت یک مربع، می توانیم قطر آن را پیدا کنیم. در مرحله بعد، با در نظر گرفتن مثلث قائم الزاویه با استفاده از قضیه فیثاغورث، لبه کناری را محاسبه می کنیم:

بیایید مساحت مربع (پایه هرم) را پیدا کنیم:

بیایید قطر مربع را محاسبه کنیم. از آنجایی که مساحت آن 50 است، ضلع برابر با ریشه پنجاه خواهد بود و طبق قضیه فیثاغورث:

نقطه O BD مورب را به نصف تقسیم می کند، که به معنای ساق مثلث قائم الزاویه OB = 5 است.

بنابراین، می توانیم محاسبه کنیم که لبه کناری هرم برابر است با:

جواب: 13

245353. حجم هرم نشان داده شده در شکل را بیابید. قاعده آن چند ضلعی است که اضلاع مجاور آن عمود هستند و یکی از یال های کناری آن عمود بر صفحه قاعده و برابر با 3 است.

همانطور که بارها گفته شد، حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

لبه کناری عمود بر قاعده برابر با سه است، یعنی ارتفاع هرم سه است. قاعده هرم چند ضلعی است که مساحت آن برابر است با:

بدین ترتیب:

جواب: 27

27086. قاعده هرم مستطیلی است با اضلاع 3 و 4 حجم آن 16 است ارتفاع این هرم را بیابید.

هرم یک چندوجهی است که در قاعده آن یک چندضلعی قرار دارد. همه وجوه به نوبه خود مثلث هایی را تشکیل می دهند که در یک راس همگرا می شوند. اهرام مثلثی، چهار گوش و غیره هستند. برای اینکه مشخص کنید کدام هرم در مقابل شما قرار دارد، کافی است تعداد زوایای قاعده آن را بشمارید. تعریف "ارتفاع هرم" اغلب در مسائل هندسه در برنامه درسی مدرسه یافت می شود. در این مقاله سعی می کنیم در نظر بگیریم راه های مختلفمکان او

بخش هایی از هرم

هر هرم از عناصر زیر تشکیل شده است:

• وجوه جانبی که سه گوشه دارند و در راس همگرا هستند.
• آپوتم نشان دهنده ارتفاعی است که از راس آن پایین می آید.
• بالای هرم نقطه ای است که دنده های جانبی را به هم متصل می کند ، اما در صفحه پایه قرار ندارد.
• پایه یک چند ضلعی است که راس روی آن قرار ندارد.
• ارتفاع هرم قطعه ای است که بالای هرم را قطع می کند و با قاعده آن زاویه قائمه تشکیل می دهد.

چگونه می توان ارتفاع یک هرم را در صورتی که حجم آن مشخص باشد، پیدا کرد

از طریق فرمول V = (S*h)/3 (در فرمول V حجم است، S مساحت قاعده، h ارتفاع هرم است) در می یابیم که h = (3*V)/ اس. برای تجمیع مواد، بیایید بلافاصله مشکل را حل کنیم. پایه مثلثی 50 سانتی متر مربع است در حالی که حجم آن 125 سانتی متر مکعب است. ارتفاع هرم مثلثی ناشناخته است، این همان چیزی است که ما باید پیدا کنیم. همه چیز در اینجا ساده است: ما داده ها را در فرمول خود وارد می کنیم. h = (3*125)/50 = 7.5 سانتی متر بدست می آوریم.

اگر طول قطر و لبه های آن مشخص باشد چگونه ارتفاع هرم را پیدا کنیم؟

همانطور که به یاد داریم، ارتفاع هرم با قاعده آن یک زاویه قائمه تشکیل می دهد. این بدان معنی است که ارتفاع، لبه و نیمی از قطر با هم تشکیل می دهند، البته بسیاری از قضیه فیثاغورث را به یاد دارند. با دانستن دو بعد، یافتن کمیت سوم دشوار نخواهد بود. اجازه دهید قضیه معروف a² = b² + c² را به یاد بیاوریم، که در آن a فرضیه و در مورد ما لبه هرم است. ب - پایه اول یا نیمه مورب و ج - به ترتیب پایه دوم یا ارتفاع هرم. از این فرمول c² = a² - b².

اکنون مشکل: در یک هرم معمولی قطر آن 20 سانتی متر است، زمانی که طول لبه 30 سانتی متر است، باید ارتفاع را پیدا کنید. ما حل می کنیم: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. بنابراین c = √ 500 = حدود 22.4.

چگونه ارتفاع یک هرم کوتاه را پیدا کنیم؟

این یک چند ضلعی است که مقطعی موازی با قاعده آن دارد. ارتفاع هرم ناقص قسمتی است که دو پایه آن را به هم متصل می کند. اگر طول قطرهای هر دو قاعده و همچنین لبه هرم مشخص باشد، ارتفاع را می توان برای یک هرم منظم پیدا کرد. فرض کنید مورب پایه بزرگتر d1 باشد، در حالی که قطر پایه کوچکتر d2 است و یال دارای طول l است. برای یافتن ارتفاع، می توانید ارتفاعات را از دو نقطه مقابل بالای نمودار تا پایه آن پایین بیاورید. می بینیم که دوتا داریم مثلث قائم الزاویه، باقی مانده است که طول پاهای آنها را پیدا کنیم. برای انجام این کار، قطر کوچکتر را از قطر بزرگتر کم کنید و بر 2 تقسیم کنید. بنابراین یک پا را خواهیم یافت: a = (d1-d2)/2. پس از آن، طبق قضیه فیثاغورث، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که پای دوم را که ارتفاع هرم است، پیدا کنیم.

حالا بیایید در عمل به کل این موضوع نگاه کنیم. ما وظیفه ای در پیش داریم. هرم ناقص دارای یک مربع در پایه است، طول مورب پایه بزرگتر 10 سانتی متر است، در حالی که هرم کوچکتر 6 سانتی متر است و لبه آن 4 سانتی متر است. ابتدا یک پا را می یابیم: a = (10-6)/2 = 2 سانتی متر یک پا برابر است با 2 سانتی متر، و ضخامت آن 4 سانتی متر است. 4 = 12، یعنی h = √12 = حدود 3.5 سانتی متر.