30. فرمول گرین. شرایط استقلال انتگرال منحنیاز مسیر ادغام

فرمول گرین: اگر C مرز بسته دامنه D باشد و توابع P(x,y) و Q(x,y) همراه با مشتقات جزئی مرتبه اول خود در دامنه بسته D (شامل مرز) پیوسته باشند. از C)، سپس فرمول گرین معتبر است:، و بای پس اطراف کانتور C انتخاب می شود تا ناحیه D در سمت چپ باقی بماند.

از سخنرانی ها: اجازه دهید توابع P(x,y) و Q(x,y) داده شوند که در دامنه D به همراه مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته هستند. انتگرال بر روی مرز (L)، به طور کامل در منطقه D و شامل تمام نقاط در منطقه D: . جهت مثبت کانتور زمانی است که قسمت محدود کانتور به سمت چپ باشد.

شرط استقلال یک انتگرال منحنی از نوع دوم از مسیر انتگرال گیری. شرط لازم و کافی برای این واقعیت است که انتگرال منحنی از نوع اول که نقاط M1 و M2 را به هم متصل می کند به مسیر ادغام بستگی ندارد، بلکه فقط به نقطه شروع و پایان بستگی دارد، برابری است:.

.

31. انتگرال های سطحی نوع اول و دوم، خواص اساسی و محاسبه آنها.

- مشخص کردن سطح

اجازه دهید S را بر روی صفحه xy طرح ریزی کنیم و ناحیه D را به دست آوریم. منطقه D را با شبکه ای از خطوط به قطعاتی به نام Di تقسیم می کنیم. از هر نقطه از هر خط خطوطی موازی با z رسم می کنیم، سپس S به Si تقسیم می شود. بیایید یک جمع انتگرالی بسازیم: . اجازه دهید حداکثر قطر Di را به صفر هدایت کنیم، به دست می آوریم:

این یک انتگرال سطحی از نوع اول است

به این ترتیب یک انتگرال سطحی از نوع اول محاسبه می شود.

تعریف به طور خلاصه اگر حد محدودی از مجموع انتگرال وجود داشته باشد، مستقل از روش تقسیم S به بخش های ابتدایی Si و انتخاب نقاط، آنگاه انتگرال سطحی از نوع اول نامیده می شود.

هنگام حرکت از متغیرهای x و y به u و v:

پ یک انتگرال سطحی تمام خصوصیات یک انتگرال معمولی را دارد. سوالات بالا را ببینید.

تعریف انتگرال سطحی نوع دوم، خواص اساسی و محاسبه آن. ارتباط با انتگرال از نوع اول.

اجازه دهید یک سطح S داده شود که با یک خط L محدود شده است (شکل 3.10). اجازه دهید مقداری کانتور L روی سطح S بگیریم که هیچ نقطه مشترکی با مرز L ندارد. در نقطه M از کانتور L می‌توانیم دو حالت عادی را به سطح S برگردانیم. اجازه دهید یکی از این جهت‌ها را انتخاب کنیم. نقطه M را در امتداد کانتور L با جهت عادی انتخاب شده ترسیم می کنیم.

اگر نقطه M با همان جهت عادی (و نه برعکس) به موقعیت اولیه خود بازگردد، سطح S دو طرفه نامیده می شود.

ما فقط سطوح دو طرفه را در نظر خواهیم گرفت. سطح دو طرفه هر سطح صاف با معادله است.

فرض کنید S یک سطح باز دو طرفه باشد که توسط یک خط L محدود شده است که هیچ نقطه خودتقاطعی ندارد. بیایید سمت خاصی از سطح را انتخاب کنیم. جهت مثبت عبور از کانتور L را طوری می نامیم که در هنگام حرکت در امتداد سمت انتخاب شده سطح، خود سطح به سمت چپ باقی می ماند. سطح دو طرفه با جهت مثبت برای عبور خطوط ایجاد شده بر روی آن به این ترتیب سطح جهت دار نامیده می شود. بیایید به ساخت یک انتگرال سطحی از نوع دوم برویم. بیایید یک سطح دو طرفه S در فضا بگیریم، متشکل از تعداد متناهی قطعه، که هر یک از آنها با معادله ای از شکل به دست می آیند یا یک سطح استوانه ای با ژنراتورها هستند.موازی با محور

فرض کنید R(x,y,z) یک تابع تعریف شده و پیوسته روی سطح S باشد. با استفاده از شبکه ای از خطوط، S را به طور دلخواه به n بخش "بنیادی" ΔS1، ΔS2، ...، ΔSi، ...، تقسیم می کنیم. ΔSn که هیچ نقطه داخلی مشترکی ندارند. در هر بخش ΔSi به طور دلخواه یک نقطه Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) انتخاب می کنیم. فرض کنید (ΔSi)xy مساحت برجستگی بخش ΔSi بر روی صفحه مختصات Oxy باشد که با علامت "+" گرفته می شود، اگر نرمال به سطح S در نقطه Mi(xi,yi,zi) باشد. i=1,...,n) با محور Oz یک زاویه تند است و با علامت “–” اگر این زاویه منفرد باشد. بیایید مجموع انتگرال تابع R(x,y,z) را روی سطح S در متغیرهای x,y بسازیم: . فرض کنید λ بزرگترین قطرهای ΔSi باشد (i = 1، ...، n).

اگر حد محدودی وجود داشته باشد که به روش تقسیم سطح S به بخشهای «بنیادی» ΔSi و انتخاب نقاط بستگی نداشته باشد، آن را انتگرال سطح روی سمت انتخابی سطح S تابع R می نامند. (x,y,z) در امتداد مختصات x,y (یا انتگرال سطحی نوع دوم) و نشان داده می شود .

به طور مشابه، می‌توانید انتگرال‌های سطحی را بر روی مختصات x، z یا y، z در امتداد سمت مربوطه سطح بسازید، یعنی. و .

اگر همه این انتگرال ها وجود داشته باشند، می توانیم یک انتگرال "عمومی" را در سمت انتخاب شده از سطح معرفی کنیم: .

یک انتگرال سطحی از نوع دوم دارای خواص معمول یک انتگرال است. ما فقط توجه می کنیم که هر انتگرال سطحی از نوع دوم علامت آن را با تغییر سمت سطح تغییر می دهد.

رابطه بین انتگرال های سطحی نوع اول و دوم.

اجازه دهید سطح S با معادله تعریف شود: z = f(x,y) و f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) توابع پیوسته در بسته هستند دامنه τ (برآمدگی های سطح S به صفحه مختصات Oxy)، و تابع R(x,y,z) روی سطح S پیوسته است. نرمال به سطح S، دارای کسینوس جهت cos α، cos β، cos است. γ، به سمت بالای سطح S انتخاب می شود. سپس .

برای حالت کلی داریم:

=

یک انتگرال منحنی از نوع دوم را در نظر بگیرید، جایی که L- نقاط اتصال منحنی مو ن. اجازه دهید توابع P(x، y)و Q(x، y)در برخی حوزه ها مشتقات جزئی پیوسته دارند دی، که شامل کل منحنی است L. اجازه دهید شرایطی را تعیین کنیم که تحت آن انتگرال منحنی مورد بررسی به شکل منحنی بستگی ندارد. L، اما فقط در محل نقاط مو ن.

بیایید دو منحنی دلخواه رسم کنیم MPNو MQN، در منطقه خوابیده است دیو نقاط اتصال مو ن(شکل 1).

م نبرنج. 1. پ

بیایید فرض کنیم که، یعنی

بعد کجا L- یک کانتور بسته که از منحنی ها تشکیل شده است MPNو N.Q.M.(از این رو، می توان آن را خودسرانه در نظر گرفت). بنابراین، شرط استقلال یک انتگرال منحنی از نوع 2 از مسیر انتگرال گیری معادل با شرطی است که چنین انتگرالی بر روی هر کانتور بسته برابر با صفر باشد.

قضیه 1.اجازه دهید در تمام نقاط برخی از منطقه دیتوابع پیوسته هستند P(x، y)و Q(x، y)و مشتقات جزئی آنها و . سپس، به منظور هر کانتور بسته L، در منطقه خوابیده است دی، شرط برقرار شد

لازم و کافی است که = در تمام نقاط منطقه دی.

اثبات .

1) کفایت: شرط = برآورده شود. یک حلقه بسته دلخواه را در نظر بگیرید Lدر منطقه دی، محدود کردن منطقه اسو فرمول گرین را برای آن بنویسید:

پس کفایت ثابت شده است.

2) ضرورت: فرض کنید که شرط در هر نقطه از منطقه برقرار است دی، اما حداقل یک نقطه در این منطقه وجود دارد که در آن - ≠ 0. برای مثال، در نقطه P(x 0 , y 0)- > 0. از آنجایی که یک تابع پیوسته در سمت چپ نابرابری وجود دارد، در برخی از ناحیه های کوچک، مثبت و بزرگتر از مقدار δ > 0 خواهد بود. D`حاوی یک نقطه آر. از این رو،

از اینجا با استفاده از فرمول گرین به این نتیجه میرسیم که کجا L`- کانتور منطقه را محدود می کند D`. این نتیجه با شرط تناقض دارد. بنابراین، = در تمام نقاط منطقه دی، چیزی بود که باید ثابت می شد.

تبصره 1 . به طور مشابه برای فضای سه بعدیمی توان ثابت کرد که لازم است و شرایط کافیاستقلال انتگرال منحنی

از مسیر ادغام عبارتند از:

تبصره 2. اگر شرایط (28/1.18) برآورده شود، بیان Pdx + Qdy + Rdzدیفرانسیل کل یک تابع است و. این به ما امکان می دهد تا محاسبه انتگرال منحنی را برای تعیین تفاوت بین مقادیر کاهش دهیم. ودر نقاط پایانی و ابتدایی کانتور ادغام، از آن زمان

در این مورد، تابع ورا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

کجا ( x 0 , y 0 , z 0)- نقطه از منطقه دی، یک سی- ثابت دلخواه در واقع، تأیید اینکه مشتقات جزئی تابع آسان است و، با فرمول (28/1.19)، برابر هستند P، Qو آر.

نوع دوم از مسیر ادغام

یک انتگرال منحنی از نوع دوم را در نظر بگیرید، جایی که L منحنی اتصال نقاط M و N است. اجازه دهید توابع P(x, y) و Q(x, y) مشتقات جزئی پیوسته ای در برخی از حوزه های D داشته باشند که در آن منحنی L وجود دارد. اجازه دهید شرایطی را تعیین کنیم که تحت آن انتگرال منحنی مورد بررسی به شکل منحنی L بستگی ندارد، بلکه فقط به محل نقاط M و N بستگی دارد.

بیایید دو منحنی دلخواه MSN و MTN را رسم کنیم که در ناحیه D قرار دارند و نقاط M و N را به هم متصل می کنند (شکل 14).

فرض کنیم که، یعنی،

که در آن L یک حلقه بسته است که از منحنی های MSN و NTM تشکیل شده است (از این رو، می توان آن را دلخواه در نظر گرفت). بنابراین، شرط استقلال یک انتگرال منحنی از نوع 2 از مسیر انتگرال گیری معادل با شرطی است که چنین انتگرالی بر روی هر کانتور بسته برابر با صفر باشد.

قضیه 5 (قضیه گرین). اجازه دهید توابع P(x, y) و Q(x, y) و مشتقات جزئی آنها در تمام نقاط برخی از دامنه D پیوسته باشند. سپس، برای اینکه هر کانتور بسته L که در دامنه D قرار دارد شرایط را برآورده کند

لازم و کافی است که = در تمام نقاط منطقه D.

اثبات

1) کفایت: شرط = برآورده شود. اجازه دهید یک کانتور بسته دلخواه L را در ناحیه D در نظر بگیریم که ناحیه S را محدود می کند و فرمول گرین را برای آن بنویسیم:

پس کفایت ثابت شده است.

2) ضرورت: فرض کنید شرط در هر نقطه از منطقه D برقرار است، اما حداقل یک نقطه از این منطقه وجود دارد که در آن -؟ 0. مثلاً در نقطه P(x0, y0) داریم: - > 0. از آنجایی که سمت چپ نابرابری دارای تابع پیوسته است، آیا مثبت و بزرگتر از مقداری خواهد بود؟ > 0 در یک منطقه کوچک D` حاوی نقطه P. در نتیجه،

از اینجا، با استفاده از فرمول گرین، آن را به دست می آوریم

که در آن L، کانتور محدود کننده منطقه D` است. این نتیجه با شرط تناقض دارد. در نتیجه، = در تمام نقاط منطقه D، چیزی است که باید ثابت شود.

نکته 1. به همین ترتیب، برای فضای سه بعدی نیز می توان ثابت کرد که شرایط لازم و کافی برای استقلال انتگرال منحنی وجود دارد.

از مسیر ادغام عبارتند از:

نکته 2. اگر شرایط (52) برآورده شود، عبارت Pdx + Qdy + Rdz دیفرانسیل کل تابع u است. این به ما امکان می دهد تا محاسبه یک انتگرال منحنی را برای تعیین تفاوت بین مقادیر در هر دو نقطه نهایی و اولیه کانتور ادغام کاهش دهیم.

در این مورد، تابع و را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

که در آن (x0، y0، z0) یک نقطه از منطقه D است، و C یک ثابت دلخواه است. در واقع، به راحتی می توان تأیید کرد که مشتقات جزئی تابع و با فرمول (53) برابر با P، Q و R هستند.

مثال 10.

انتگرال خط از نوع دوم را محاسبه کنید

در امتداد منحنی دلخواه نقاط اتصال (1، 1، 1) و (2، 3، 4).

اجازه دهید مطمئن شویم که شرایط (52) برآورده شده است:

بنابراین، تابع وجود دارد. اجازه دهید آن را با استفاده از فرمول (53)، با قرار دادن x0 = y0 = z0 = 0 پیدا کنیم. سپس

بنابراین، تابع تا یک مدت ثابت دلخواه تعیین می شود. بیایید C = 0 و سپس u = xyz را در نظر بگیریم. از این رو،

از مسیر ادغام.

یک انتگرال منحنی از نوع دوم را در نظر بگیرید، جایی که L- نقاط اتصال منحنی مو ن. اجازه دهید توابع P(x، y)و Q(x، y)در برخی حوزه ها مشتقات جزئی پیوسته دارند دی، که شامل کل منحنی است L. اجازه دهید شرایطی را تعیین کنیم که تحت آن انتگرال منحنی مورد بررسی به شکل منحنی بستگی ندارد. L، اما فقط در محل نقاط مو ن.

بیایید دو منحنی دلخواه رسم کنیم MPNو MQN، در منطقه خوابیده است دیو نقاط اتصال مو ن(شکل 1).

س

م نبرنج. 1.

بیایید این را فرض کنیم ، یعنی

بعد کجا L- یک کانتور بسته که از منحنی ها تشکیل شده است MPNو N.Q.M.(از این رو، می توان آن را خودسرانه در نظر گرفت). بنابراین، شرط استقلال یک انتگرال منحنی از نوع 2 از مسیر انتگرال گیری معادل با شرطی است که چنین انتگرالی بر روی هر کانتور بسته برابر با صفر باشد.

بلیط شماره 34.انتگرال سطحی از نوع اول (بر روی مساحت سطح کاربردها (جرم سطح مواد، مختصات مرکز ثقل، گشتاورها، سطح یک سطح منحنی).

یک سطح باز را در نظر بگیرید اس، با کانتور محدود شده است Lو آن را با چند منحنی به قطعات تقسیم کنید S 1, S 2,…, S n. بیایید در هر قسمت یک نقطه را انتخاب کنیم M iو این قسمت را روی صفحه مماس به سطحی که از این نقطه می گذرد بتابانید. ما در طرح ریزی یک شکل صاف با مساحت بدست می آوریم T i. اجازه دهید ρ بزرگترین فاصله بین دو نقطه در هر قسمت از سطح را بنامیم اس.

تعریف 12.1.بیا زنگ بزنیم منطقه اسسطوححد مجموع مساحت T iدر

انتگرال سطحی از نوع اول.

سطحی را در نظر بگیرید اس، با کانتور محدود شده است L، و آن را به قطعات تقسیم کنید S 1, S 2,…, S p(مساحت هر قسمت را نیز مشخص می کنیم S p). اجازه دهید مقدار تابع در هر نقطه از این سطح مشخص شود f (x، y، z).بیایید در هر قسمت انتخاب کنیم اس آینقطه M i (x i، y i، z i)و جمع انتگرال را بسازید

. (12.2)

تعریف 12.2.اگر حد محدودی برای مجموع انتگرال (12.2) وجود داشته باشد، مستقل از روش تقسیم سطح به قطعات و انتخاب نقاط. M i، سپس نامیده می شود انتگرال سطحی از نوع اول از تابع f(M) = f(x، y، z)در سطح اس و تعیین شده است

نظر دهید. یک انتگرال سطحی از نوع اول دارای ویژگی های معمول انتگرال ها است (خطی بودن، جمع انتگرال های یک تابع معین بر روی بخش های جداگانه سطح مورد نظر و غیره).

هندسی و معنای فیزیکیانتگرال سطحی از نوع 1.

اگر انتگرال f (M)≡ 1، سپس از تعریف 12.2 نتیجه می شود که برابر با مساحت سطح مورد نظر است. اس.

. (12.4)

استفاده از انتگرال سطحی از نوع 1.

1. مساحت یک سطح منحنی که معادله آن است z = f(x, y)، را می توان به شکل زیر یافت:

(14.21)

(Ω - طرح ریزی اسبه هواپیمای O xy).

2. جرم سطحی

(14.22)

3. لحظات:

گشتاورهای ساکن سطح نسبت به صفحات مختصات O xy، O xz، O yz;

لحظه های اینرسی سطح نسبت به محورهای مختصات؛

گشتاورهای اینرسی سطح نسبت به صفحات مختصات؛

- (14.26)

ممان اینرسی سطح نسبت به مبدا.

4. مختصات مرکز جرم سطح:

. (14.27)

شماره بلیط 35. محاسبه انتگرال سطح از نوع اول (تقلیل آن به مضرب).

اجازه دهید خودمان را به این مورد محدود کنیم که سطح اسبه صراحت، یعنی با معادله ای از شکل، داده می شود z = φ(x, y). علاوه بر این، از تعریف مساحت سطح چنین بر می آید که

S i =، جایی که Δ σi –منطقه طرح ریزی اس آیبه هواپیمای O xy، A γ i- زاویه بین محور O zو نرمال به سطح اسدر نقطه M i. معلوم است که

,

کجا ( x i، y i، z i) -مختصات نقطه M i. بنابراین،

با جایگزینی این عبارت به فرمول (12.2)، آن را به دست می آوریم

,

جایی که جمع سمت راست بر روی ناحیه Ω صفحه O انجام می شود xy، که برآمدگی بر روی این صفحه سطح است اس(شکل 1).

S: z=φ(x,y)

ΔσiΩ

در همان زمان، در سمت راست، یک مجموع انتگرال برای تابعی از دو متغیر بر روی یک منطقه مسطح به دست می آید، که در حد در یک انتگرال دوگانه به دست می آید، بنابراین، فرمولی به دست آمده است که به فرد اجازه می دهد محاسبه را کاهش دهد یک انتگرال سطحی از نوع اول برای محاسبه انتگرال دوگانه:

نظر دهید. اجازه دهید یک بار دیگر روشن کنیم که در سمت چپ فرمول (12.5) وجود دارد سطحیکپارچه، و در سمت راست - دو برابر کردن.

شماره بلیط 36.انتگرال سطحی از نوع دوم. جریان میدان برداری. رابطه بین انتگرال های سطحی نوع اول و دوم.

جریان میدان برداری.

فیلد برداری را در نظر بگیرید الف (M)، در حوزه فضایی تعریف شده است جی،سطح صاف جهت دار اس جیو رشته نرمال واحد n (M)در سمت انتخاب شده از سطح اس.

تعریف 13.3.انتگرال سطحی از نوع 1

, (13.1)

کجا یک حاصل ضرب اسکالر بردارهای مربوطه است و یک صفحه- طرح ریزی برداری الف به جهت عادی نامیده می شود جریان میدان برداری A(M)از طریق سمت انتخاب شده از سطح اس .

نکته 1. اگر طرف دیگر سطح را انتخاب کنید، علامت معمولی و در نتیجه شار تغییر می کند.

نکته 2. اگر بردار الف سرعت جریان سیال را در یک نقطه معین مشخص می کند، سپس انتگرال (13.1) میزان جریان سیال در واحد زمان را در سطح تعیین می کند. اسدر جهت مثبت (از این رو اصطلاح رایج "جریان").

اجازه دهید یک فیلد برداری مسطح داده شود. در ادامه فرض می کنیم که توابع P و Q به همراه مشتقاتشان در برخی از ناحیه O از صفحه پیوسته هستند.

اجازه دهید دو نقطه دلخواه را در منطقه G در نظر بگیریم. این نقاط را می توان با خطوط مختلفی که در منطقه قرار دارد به هم متصل کرد که در آن مقادیر انتگرال منحنی به طور کلی متفاوت است.

بنابراین، برای مثال، انتگرال منحنی را در نظر بگیرید

و دو نقطه بیایید این انتگرال را اولاً در امتداد خط مستقیم اتصال نقاط A و B و ثانیاً در امتداد قوس سهمی که همین نقاط را به هم وصل می کند محاسبه کنیم. با اعمال قوانین برای محاسبه انتگرال منحنی، متوجه می شویم

الف) در امتداد بخش

ب) در امتداد کمان سهمی:

بنابراین، می بینیم که مقادیر انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی دارد، یعنی به نوع خط اتصال نقاط A و B بستگی دارد. در مقابل، همانطور که به راحتی قابل بررسی است، انتگرال منحنی در امتداد همان خطوطی که نقاط را به هم وصل می کنند، مقدار یکسانی برابر با .

مثال‌های تحلیل‌شده نشان می‌دهند که انتگرال‌های منحنی محاسبه‌شده در مسیرهای مختلف که دو نقطه داده شده را به هم متصل می‌کنند، در برخی موارد با یکدیگر متفاوت هستند و در موارد دیگر مقدار یکسانی را به خود می‌گیرند.

فرض کنید A و B دو نقطه دلخواه از یک منطقه G باشند. منحنی های مختلفی را در منطقه G و نقاط اتصال A و B را در نظر بگیرید.

اگر انتگرال خط در امتداد هر یک از این مسیرها مقدار یکسانی داشته باشد، گفته می شود که مستقل از مسیر ادغام است.

دو قضیه بعدی شرایطی را ارائه می دهند که تحت آن انتگرال خط مستقل از مسیر انتگرال گیری است.

قضیه 1. برای اینکه یک انتگرال منحنی در برخی از حوزه G مستقل از مسیر انتگرال باشد، لازم و کافی است که انتگرال روی هر کانتور بسته ای که در این حوزه قرار دارد برابر با صفر باشد.

اثبات کفایت.

اجازه دهید انتگرال روی هر کانتور بسته ترسیم شده در ناحیه G برابر با صفر باشد. اجازه دهید نشان دهیم که این انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد. در واقع، اجازه دهید A و B دو نقطه متعلق به منطقه G باشند. اجازه دهید این نقاط را با دو منحنی متفاوت و دلخواه انتخاب شده در منطقه G به هم وصل کنیم (شکل 257).

اجازه دهید نشان دهیم که کمان ها یک کانتور بسته را تشکیل می دهند

چون . اما طبق شرط، مانند یک انتگرال حلقه بسته است.

بنابراین، یا بنابراین، انتگرال خط به مسیر ادغام بستگی ندارد.

ضرورت. بگذارید انتگرال منحنی در حوزه G مستقل از مسیر انتگرال گیری باشد. اجازه دهید نشان دهیم که انتگرال روی هر کانتور بسته ای که در این ناحیه قرار دارد برابر با صفر است. در واقع، اجازه دهید یک کانتور بسته دلخواه را در ناحیه G در نظر بگیریم و دو نقطه دلخواه A و B را روی آن در نظر بگیریم (شکل 257 را ببینید). سپس

زیرا طبق شرط . بنابراین، انتگرال روی هر کانتور بسته L که در ناحیه G قرار دارد برابر با صفر است.

قضیه زیر شرایطی را برای استفاده عملی فراهم می کند که تحت آن انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

قضیه 2.

برای اینکه یک انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در یک دامنه ساده متصل باشد، لازم و کافی است که شرط در هر نقطه از این دامنه برقرار باشد.

اثبات کفایت. اجازه دهید در دامنه نشان دهیم که انتگرال منحنی بر روی هر کانتور بسته L که در دامنه G قرار دارد برابر با صفر است. اجازه دهید یک ناحیه a را در نظر بگیریم که با یک کانتور L محدود شده است. به دلیل ماهیت ساده متصل منطقه G، منطقه a کاملاً به این ناحیه تعلق دارد. بر اساس فرمول Ostrogradsky-Green، به ویژه، در سایت بنابراین و بنابراین، . بنابراین، انتگرال بر روی هر کانتور بسته L در منطقه G برابر با صفر است. بر اساس قضیه 1، نتیجه می گیریم که انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

ضرورت. اجازه دهید انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در یک حوزه Q باشد. اجازه دهید نشان دهیم که در تمام نقاط حوزه

اجازه دهید برعکس را فرض کنیم، یعنی در نقطه ای از منطقه اجازه دهید، برای قطعیت، . با توجه به فرض تداوم مشتقات جزئی، تفاوت خواهد بود عملکرد پیوسته. در نتیجه، در اطراف یک نقطه، می توان یک دایره a (که در ناحیه G قرار دارد) را توصیف کرد، که در همه نقاط آن، مانند نقطه، تفاوت مثبت خواهد بود. اجازه دهید فرمول Ostrogradsky-Green را روی دایره اعمال کنیم.