فرمول مشتق یک تابع که به طور ضمنی مشخص شده است. اثبات و نمونه هایی از کاربرد این فرمول. نمونه هایی از محاسبه مشتقات مرتبه اول، دوم و سوم.

مشتق مرتبه اول

اجازه دهید تابع به طور ضمنی با استفاده از معادله مشخص شود
(1) .
و اجازه دهید این معادله، برای مقداری، یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد.
.
اجازه دهید تابع یک تابع متمایز در نقطه، و باشد
(2) .

سپس، در این مقدار، یک مشتق وجود دارد که با فرمول تعیین می شود:

اثبات
.
برای اثبات آن، تابع را به عنوان یک تابع مختلط از متغیر در نظر بگیرید:
(3) :
.
بیایید قانون تمایز یک تابع مختلط را اعمال کنیم و مشتق را با توجه به یک متغیر از سمت چپ و راست معادله پیدا کنیم.
(4) ;
.

از آنجایی که مشتق یک ثابت صفر است و پس

فرمول ثابت شده است.

مشتقات مرتبه بالاتر
(4) .
بیایید معادله (4) را با استفاده از نمادهای مختلف بازنویسی کنیم:
;
.
در عین حال، و توابع پیچیده متغیر هستند:
(1) .

وابستگی با رابطه (1) تعیین می شود:
مشتق را با توجه به متغیری از سمت چپ و راست معادله (4) پیدا می کنیم.
;
.
با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:

.
با توجه به فرمول مشتق محصول:


.

با استفاده از فرمول جمع مشتق:
(5) .
از آنجایی که مشتق سمت راست معادله (4) برابر با صفر است، پس

با جایگزینی مشتق در اینجا، مقدار مشتق مرتبه دوم را به صورت ضمنی به دست می آوریم.
.
با تمایز معادله (5) به روشی مشابه، معادله ای حاوی مشتق مرتبه سوم به دست می آوریم:

در اینجا با جایگزینی مقادیر یافت شده مشتقات مرتبه اول و دوم، مقدار مشتق مرتبه سوم را پیدا می کنیم.

با ادامه تمایز، می توان مشتقی از هر مرتبه ای را یافت.

نمونه ها

مثال 1
مشتق مرتبه اول تابعی که به طور ضمنی با معادله داده شده است را بیابید: .

(P1)

حل با فرمول 2
(2) .

ما مشتق را با استفاده از فرمول (2) پیدا می کنیم:
.
بیایید همه متغیرها را به سمت چپ منتقل کنیم تا معادله شکل بگیرد.

از اینجا.
;
;
;
.

ما مشتق را با توجه به ثابت می یابیم.
;
;
;
.

ما مشتق را با توجه به متغیر با در نظر گرفتن متغیر ثابت پیدا می کنیم.
.

با استفاده از فرمول (2) متوجه می شویم:
.
صورت و مخرج را در:
.

راه حل راه دوم

بیایید این مثال را به روش دوم حل کنیم. برای انجام این کار، مشتق را با توجه به متغیر سمت چپ و راست معادله اصلی (A1) خواهیم یافت.

ما درخواست می کنیم:
.
ما فرمول کسری مشتق را اعمال می کنیم:
;
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:
.
اجازه دهید معادله اصلی (A1) را متمایز کنیم.
مشتق مرتبه اول تابعی که به طور ضمنی با معادله داده شده است را بیابید: ;
;
.
عبارت ها را ضرب و گروه بندی می کنیم.
;
.

بیایید (از معادله (A1)) را جایگزین کنیم:
.
ضرب در:
.

مثال 2

مشتق مرتبه دوم تابعی که به طور ضمنی داده شده را با استفاده از معادله بیابید:
(A2.1) .

ما معادله اصلی را با توجه به متغیر متمایز می کنیم، با توجه به اینکه تابعی از:
;
.
ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.
.

بیایید معادله اصلی (A2.1) را متمایز کنیم:
;
.
از معادله اصلی (A2.1) نتیجه می شود که .
.
بیایید جایگزین کنیم:
;
پرانتزها را باز کنید و اعضا را گروه بندی کنید: .
(A2.2)
مشتق مرتبه اول را پیدا می کنیم: .

(A2.3)
;
;
;
.
برای یافتن مشتق مرتبه دوم، معادله (A2.2) را متمایز می کنیم.
.
ضرب در:

;
.
اجازه دهید عبارت را جایگزین مشتق مرتبه اول کنیم (A2.3):

از اینجا مشتق مرتبه دوم را پیدا می کنیم.

مثال 3
مشتق مرتبه سوم تابعی که به طور ضمنی با استفاده از معادله داده شده است را پیدا کنید: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
معادله اصلی را با توجه به متغیر متمایز می کنیم، با فرض اینکه تابعی از . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
اجازه دهید معادله (A3.2) را با توجه به متغیر متمایز کنیم. .

(A3.3)
;
;
;
;
;
اجازه دهید معادله (A3.3) را متمایز کنیم. .

(A3.4)
;
;
.

از معادلات (A3.2)، (A3.3) و (A3.4) مقادیر مشتقات را در .
مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است.

مشتق از یک تابع تعریف شده پارامتری در این مقاله ما به دو کار معمولی دیگر که اغلب در آنها یافت می شوند نگاه خواهیم کردتست ها توسطریاضیات بالاتر . برای تسلط بر مواد، باید بتوانید مشتقات را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کنید. یافتن مشتقات را به صورت عملی از ابتدا در دو درس پایه ومشتق تابع مختلط

. اگر مهارت های تمایز شما خوب است، پس بیایید برویم.

مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است

یا به طور خلاصه مشتق یک تابع ضمنی. تابع ضمنی چیست؟ بیایید ابتدا تعریف تابع یک متغیر را به یاد بیاوریم:تابع یک متغیر

قاعده ای است که طبق آن هر مقدار از متغیر مستقل با یک و تنها یک مقدار تابع مطابقت دارد. متغیر نامیده می شودمتغیر مستقل یا.
استدلال متغیر نامیده می شودمتغیر مستقل متغیر وابسته .

تابع تا اینجا توابع تعریف شده در را بررسی کردیمصریح

فرم. یعنی چی؟ بیایید با استفاده از مثال‌های خاص، یک گزارش جمع‌آوری کنیم.

تابع را در نظر بگیرید می بینیم که در سمت چپ یک "بازیکن" تنها داریم و در سمت راست -. یعنی تابع به صراحتاز طریق متغیر مستقل بیان می شود.

بیایید به یک تابع دیگر نگاه کنیم:

اینجاست که متغیرها با هم مخلوط می شوند. علاوه بر این به هیچ وجه غیر ممکن"Y" را فقط از طریق "X" بیان کنید. این روش ها چیست؟ انتقال عبارات از جزء به جزء با تغییر علامت، خارج کردن آنها از پرانتز، پرتاب عوامل بر اساس قاعده تناسب و ... تساوی را بازنویسی کنید و سعی کنید «ی» را به صراحت بیان کنید: . می توانید معادله را ساعت ها بچرخانید و بچرخانید، اما موفق نخواهید شد.

بگذارید شما را معرفی کنم: - مثال عملکرد ضمنی.

در جریان تحلیل ریاضی ثابت شد که تابع ضمنی وجود دارد(با این حال، نه همیشه)، یک نمودار دارد (درست مانند یک تابع "عادی"). تابع ضمنی دقیقاً یکسان است وجود داردمشتق اول، مشتق دوم و غیره همانطور که می گویند، تمام حقوق اقلیت های جنسی رعایت می شود.

و در این درس یاد خواهیم گرفت که چگونه مشتق یک تابع را که به طور ضمنی تعریف شده است پیدا کنیم. آنقدرها هم سخت نیست! همه قوانین تمایز، جدول مشتقات توابع ابتداییمعتبر باقی بماند. تفاوت در یک لحظه عجیب و غریب است که در حال حاضر به آن نگاه خواهیم کرد.

بله، و من خبر خوب را به شما خواهم گفت - وظایف مورد بحث در زیر طبق یک الگوریتم نسبتاً دقیق و واضح بدون سنگ در مقابل سه مسیر انجام می شود.

مثال 1

1) در مرحله اول، سکته ها را به هر دو قسمت متصل می کنیم:

2) از قواعد خطی بودن مشتق (دو قانون اول درس) استفاده می کنیم چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه هایی از راه حل ها):

3) تمایز مستقیم.
نحوه تمایز کاملاً مشخص است. در جایی که "بازی" در زیر سکته مغزی وجود دارد چه باید کرد؟

- فقط تا سرحد رسوایی، مشتق یک تابع با مشتق آن برابر است: .

چگونه متمایز کنیم
اینجا داریم تابع پیچیده. چرا؟ به نظر می رسد که در زیر سینوس فقط یک حرف "Y" وجود دارد. اما واقعیت این است که فقط یک حرف "y" وجود دارد - خود یک تابع است(به تعریف در ابتدای درس مراجعه کنید). بنابراین، سینوس یک تابع خارجی و یک تابع درونی است. ما از قانون برای متمایز کردن یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

ما محصول را طبق قانون معمول متمایز می کنیم :

لطفا توجه داشته باشید که - همچنین یک تابع پیچیده است، هر "بازی با زنگ و سوت" یک عملکرد پیچیده است:

خود راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:


اگر براکت وجود دارد، آنها را گسترش دهید:

4) در سمت چپ عباراتی را جمع آوری می کنیم که حاوی "Y" با علامت اول هستند. بقیه موارد را به سمت راست حرکت دهید:

5) در سمت چپ مشتق را از پرانتز خارج می کنیم:

6) و طبق قاعده تناسب، این براکت ها را در مخرج سمت راست می اندازیم:

مشتق آن پیدا شده است. آماده است.

جالب است بدانید که هر تابعی را می توان به طور ضمنی بازنویسی کرد. به عنوان مثال، تابع می توان اینگونه بازنویسی کرد: . و با استفاده از الگوریتمی که قبلاً در مورد آن صحبت شد، آن را متمایز کنید. در واقع، عبارات "عملکرد ضمنی" و "عملکرد ضمنی" در یک تفاوت معنایی متفاوت هستند. عبارت "عملکرد مشخص شده ضمنی" کلی تر و صحیح تر است. - این تابع به طور ضمنی مشخص شده است، اما در اینجا می توانید "بازی" را بیان کنید و عملکرد را به صراحت ارائه دهید. کلمات "عملکرد ضمنی" بیشتر به معنای عملکرد ضمنی "کلاسیک" هستند، زمانی که "بازی" قابل بیان نباشد.

همچنین باید توجه داشت که یک "معادله ضمنی" می تواند به طور ضمنی دو یا حتی چند تابع را به طور همزمان مشخص کند، برای مثال، معادله یک دایره به طور ضمنی توابعی را تعریف می کند، اما در چارچوب این مقاله، ما تمایز خاصی بین اصطلاحات و تفاوت های ظریف ایجاد نخواهد کرد، این فقط اطلاعاتی برای توسعه کلی بود.

راه حل دوم

توجه!فقط در صورتی می توانید با روش دوم آشنا شوید که با اطمینان بتوانید پیدا کنید مشتقات جزئی. مبتدیان برای مطالعه تجزیه و تحلیل ریاضیو قوری لطفا این نکته را نخوانید و بگذرید، در غیر این صورت سر شما کاملاً آشفته خواهد شد.

بیایید مشتق تابع ضمنی را با استفاده از روش دوم پیدا کنیم.

همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

و تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید:

سپس مشتق ما را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد
بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

راه حل دوم به شما امکان می دهد یک بررسی انجام دهید. اما توصیه نمی شود که آنها نسخه نهایی تکلیف را بنویسند، زیرا مشتقات جزئی بعداً تسلط پیدا می کنند و دانش آموزی که مبحث "مشتق تابع یک متغیر" را مطالعه می کند هنوز نباید مشتقات جزئی را بداند.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

سکته مغزی را به هر دو قسمت اضافه کنید:

ما از قوانین خطی استفاده می کنیم:

یافتن مشتقات:

باز کردن تمام پرانتزها:

همه عبارت ها را با به سمت چپ و بقیه به سمت راست منتقل می کنیم:

پاسخ نهایی:

مثال 3

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس.

ایجاد کسری پس از تمایز غیر معمول نیست. در چنین مواردی، شما باید از شر کسری خلاص شوید. بیایید به دو مثال دیگر نگاه کنیم.

مثال 4

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

ما هر دو قسمت را زیر strokes قرار می دهیم و از قانون خطی استفاده می کنیم:

با استفاده از قانون تمایز یک تابع پیچیده، متمایز کنید و قاعده افتراق ضرایب :

گسترش براکت ها:

اکنون باید از شر کسری خلاص شویم. این را می توان بعدا انجام داد، اما منطقی تر است که آن را بلافاصله انجام دهید. مخرج کسری شامل . ضرب کنید در . در جزئیات، به شکل زیر خواهد بود:

گاهی اوقات پس از تمایز 2-3 کسر ظاهر می شود. برای مثال، اگر کسر دیگری داشتیم، عملیات باید تکرار شود - ضرب هر ترم هر قسمتدر

در سمت چپ آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم:

پاسخ نهایی:

مثال 5

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. تنها نکته این است که قبل از خلاص شدن از شر کسر، ابتدا باید از ساختار سه طبقه خود کسر خلاص شوید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مشتق از یک تابع تعریف شده پارامتری

بیایید استرس نداشته باشیم، همه چیز در این پاراگراف نیز بسیار ساده است. شما می توانید فرمول کلی یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری را بنویسید، اما برای روشن شدن آن، بلافاصله می نویسم مثال ملموس. در فرم پارامتری، تابع با دو معادله به دست می آید: . اغلب معادلات نه در زیر پرانتزها، بلکه به صورت متوالی نوشته می شوند: , .

متغیر را پارامتر می نامندو می تواند مقادیری از "منهای بی نهایت" تا "بعلاوه بی نهایت" بگیرد. به عنوان مثال، مقدار را در نظر بگیرید و آن را در هر دو معادله جایگزین کنید: . یا به زبان انسانی: "اگر x برابر با چهار باشد، y برابر با یک است." می توانید یک نقطه را در صفحه مختصات علامت گذاری کنید و این نقطه با مقدار پارامتر مطابقت دارد. به طور مشابه، شما می توانید یک نقطه برای هر مقدار از پارامتر "te" پیدا کنید. در مورد یک تابع "منظم"، برای سرخپوستان آمریکایی یک تابع پارامتریک تعریف شده، همه حقوق نیز رعایت می شود: می توانید یک نمودار بسازید، مشتقات را پیدا کنید و غیره. به هر حال، اگر شما نیاز به رسم نمودار یک تابع مشخص شده به صورت پارامتری دارید، می توانید از برنامه من استفاده کنید.

در ساده ترین موارد، می توان تابع را به طور صریح نشان داد. اجازه دهید پارامتر را بیان کنیم: – از معادله اول و آن را جایگزین معادله دوم می کنیم: . نتیجه یک تابع مکعب معمولی است.

در موارد "شدید" تر، این ترفند کار نمی کند. اما مهم نیست، زیرا یک فرمول برای یافتن مشتق یک تابع پارامتری وجود دارد:

ما مشتق "بازی با توجه به متغیر te" را پیدا می کنیم:

تمام قوانین تمایز و جدول مشتقات، طبیعتاً برای حرف معتبر است، بنابراین، هیچ چیز جدیدی در روند یافتن مشتقات وجود ندارد. فقط به صورت ذهنی تمام "X" های جدول را با حرف "Te" جایگزین کنید.

مشتق x را با توجه به متغیر te می‌یابیم:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که مشتقات یافت شده را در فرمول خود جایگزین کنیم:

آماده است. مشتق مانند خود تابع نیز به پارامتر بستگی دارد.

در مورد علامت گذاری، به جای نوشتن آن در فرمول، می توان آن را به سادگی بدون زیرنویس نوشت، زیرا این یک مشتق "عادی" "با توجه به X" است. اما در ادبیات همیشه یک گزینه وجود دارد، بنابراین من از استاندارد عدول نمی کنم.

مثال 6

ما از فرمول استفاده می کنیم

در در این مورد:

بدین ترتیب:

ویژگی خاص یافتن مشتق تابع پارامتری این است که در هر مرحله ساده کردن نتیجه تا حد امکان مفید است. بنابراین، در مثال مورد بررسی، وقتی آن را پیدا کردم، پرانتزهای زیر ریشه را باز کردم (اگرچه ممکن است این کار را نکرده باشم). شانس خوبی وجود دارد که هنگام جایگزینی در فرمول، بسیاری از چیزها به خوبی کاهش یابد. اگرچه، البته، نمونه هایی با پاسخ های ناشیانه وجود دارد.

مثال 7

مشتق تابعی را که به صورت پارامتری مشخص شده است بیابید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

در مقاله ساده ترین مشکلات معمولی با مشتقاتما به مثال هایی نگاه کردیم که در آنها باید مشتق دوم یک تابع را پیدا کنیم. برای یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری، می توانید مشتق دوم را نیز پیدا کنید و با استفاده از فرمول زیر پیدا می شود: . کاملاً بدیهی است که برای یافتن مشتق دوم، ابتدا باید مشتق اول را پیدا کنید.

مثال 8

مشتق اول و دوم تابعی که به صورت پارامتری داده شده را پیدا کنید

ابتدا بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم.
ما از فرمول استفاده می کنیم

در این مورد:

یک تابع Z= f(x; y) ضمنی نامیده می شود اگر با معادله F(x,y,z)=0 حل نشده نسبت به Z داده شود. اجازه دهید مشتقات جزئی تابع Z را که به طور ضمنی داده شده است، پیدا کنیم. برای انجام این کار، با جایگزینی تابع f(x;y) در معادله به جای Z، هویت F(x,y, f(x,y))=0 را بدست می آوریم. مشتقات جزئی یک تابع به طور یکسان برابر با صفر نسبت به x و y نیز برابر با صفر هستند.

F(x,y, f (x,y)) =
= 0 (ثابت در نظر گرفته می شود)

F(x,y, f (x,y)) =
= 0 (x ثابت در نظر گرفته می شود)

کجا
و

مثال: مشتقات جزئی تابع Z که با معادله داده شده است را بیابید
.

در اینجا F(x,y,z)=
;
;
;
. با توجه به فرمول های بالا داریم:

و

1. مشتق جهت دار

اجازه دهید یک تابع از دو متغیر Z= f(x; y) در یک همسایگی مشخص از نقطه M (x,y) داده شود. جهت تعریف شده توسط بردار واحد را در نظر بگیرید
، کجا
(تصویر را ببینید).

روی خط مستقیمی که در این جهت از نقطه M می گذرد، نقطه M 1 را می گیریم (
) به طوری که طول
قطعهMM 1 برابر است با
. افزایش تابع f(M) با رابطه، که در آن تعیین می شود
با روابط مرتبط است. حد نسبت در
مشتق تابع نامیده خواهد شد
در نقطه
در جهت و تعیین شود .

=

اگر تابع Z در نقطه قابل تمایز باشد
، سپس افزایش آن در این نقطه با در نظر گرفتن روابط برای
را می توان به شکل زیر نوشت.

تقسیم هر دو قسمت بر

و عبور از حد در
فرمولی برای مشتق تابع Z= f(x; y) در جهت به دست می آوریم:

1. گرادیان

تابعی از سه متغیر را در نظر بگیرید
قابل تمایز در یک نقطه
.

گرادیان این تابع
در نقطه M برداری است که مختصات آن به ترتیب برابر با مشتقات جزئی است
در این نقطه برای نشان دادن یک گرادیان، از نماد استفاده کنید
.
=
.

گرادیان جهت سریعترین رشد تابع را در یک نقطه مشخص نشان می دهد.

از آنجایی که بردار واحد مختصات دارد (
)، سپس مشتق جهتی برای حالت تابعی از سه متغیر به شکل، i.e. فرمول حاصل ضرب اسکالر بردارها را دارد و
. بیایید آخرین فرمول را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

، کجا - زاویه بین بردار و
. از آنجایی که
، سپس نتیجه می شود که مشتق تابع در جهت حداکثر مقدار را در می گیرد = 0، یعنی زمانی که جهت بردارها و
مطابقت دادن در عین حال
یعنی در واقع گرادیان یک تابع جهت و بزرگی حداکثر نرخ افزایش این تابع را در یک نقطه مشخص می کند.

1. حداکثر یک تابع از دو متغیر

مفاهیم max، min، extremum یک تابع از دو متغیر مشابه مفاهیم مربوط به یک تابع از یک متغیر است. اجازه دهید تابع Z= f(x; y) در برخی حوزه های D و غیره تعریف شود
متعلق به این منطقه است. نقطه M
نقطه حداکثر تابع Z= f(x; y) نامیده می شود اگر چنین همسایگی δ از نقطه وجود داشته باشد.
، که برای هر نقطه از این محله نابرابری است
. نقطه min به روشی مشابه تعیین می شود، فقط علامت نابرابری تغییر می کند
. مقدار تابع در نقطه max(min) حداکثر (حداقل) نامیده می شود. ماکزیمم و مینیمم یک تابع را Extrema می گویند.

1. شرایط لازم و کافی برای یک افراط

قضیه:(شرایط لازم برای افراط). اگر در نقطه M
تابع متمایز Z= f(x; y) یک انتها دارد، سپس مشتقات جزئی آن در این نقطه برابر با صفر هستند:
,
.

اثبات:با ثابت کردن یکی از متغیرهای x یا y، Z = f(x; y) را به تابعی از یک متغیر تبدیل می‌کنیم که برای مادون آن باید شرایط فوق برقرار باشد. برابری های هندسی
و
به این معنی که در نقطه انتهایی تابع Z= f(x; y)، صفحه مماس به سطح که تابع f(x,y)=Z را نشان می‌دهد موازی با صفحه OXY است، زیرا معادله صفحه مماس Z = Z 0 است. نقطه ای که در آن مشتقات جزئی مرتبه اول تابع Z = f (x; y) برابر با صفر هستند، یعنی.
,
، نقطه ثابت تابع نامیده می شوند. یک تابع می تواند در نقاطی که حداقل یکی از مشتقات جزئی وجود ندارد، یک اکسترموم داشته باشد. برای مثالZ=|-
| حداکثر در نقطه O(0,0) است، اما هیچ مشتقی در این نقطه ندارد.

نقاط ثابت و نقاطی که حداقل یک مشتق جزئی در آنها وجود ندارد نامیده می شوند نقاط بحرانیدر نقاط بحرانی، تابع ممکن است اکسترموم داشته باشد یا نداشته باشد. تساوی مشتقات جزئی به صفر شرط لازم اما کافی برای وجود افراط است. به عنوان مثال، زمانی که Z=xy، نقطه O(0,0) بحرانی است. با این حال، تابع Z=xy در آن اکسترومومی ندارد. (زیرا در ربع I و III Z> 0 و در ربع II و IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

قضیه: (شرط کافی برای افراط). اجازه دهید در یک نقطه ثابت
و در یک همسایگی خاص تابع f(x; y) مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه 2 را شامل می شود. بیایید در نقطه محاسبه کنیم
ارزش ها
,
و
. بیایید نشان دهیم

در صورت
، افراطی در نقطه
ممکن است باشد یا نباشد. تحقیقات بیشتری مورد نیاز است.

یا به طور خلاصه - مشتق یک تابع ضمنی. تابع ضمنی چیست؟ از آنجایی که دروس من کاربردی است، سعی می کنم از تعاریف و قضایا پرهیز کنم، اما در اینجا مناسب است. به هر حال یک تابع چیست؟

تابع متغیر تک قاعده ای است که بیان می کند برای هر مقدار از متغیر مستقل یک و تنها یک مقدار از تابع وجود دارد.

قاعده ای است که طبق آن هر مقدار از متغیر مستقل با یک و تنها یک مقدار تابع مطابقت دارد. متغیر نامیده می شودمتغیر مستقل یا.
متغیر نامیده می شود متغیر نامیده می شودمتغیر مستقل متغیر وابسته.

به طور کلی، حرف "Y" در این مورد تابع است.

تابع تا اینجا توابع تعریف شده در را بررسی کردیمصریح

فرم. یعنی چی؟ بیایید با استفاده از مثال‌های خاص، یک گزارش جمع‌آوری کنیم.

می بینیم که در سمت چپ یک "Y" (عملکرد) تنها داریم و در سمت راست - می بینیم که در سمت چپ یک "بازیکن" تنها داریم و در سمت راست -. یعنی تابع به صراحتاز طریق متغیر مستقل بیان می شود.

بیایید به یک تابع دیگر نگاه کنیم:

اینجاست که متغیرها با هم مخلوط می شوند. علاوه بر این به هیچ وجه غیر ممکن"Y" را فقط از طریق "X" بیان کنید. این روش ها چیست؟ انتقال عبارات از جزء به جزء با تغییر علامت، خارج کردن آنها از پرانتز، پرتاب عوامل بر اساس قاعده تناسب و ... تساوی را بازنویسی کنید و سعی کنید «ی» را به صراحت بیان کنید: . می توانید معادله را ساعت ها بچرخانید و بچرخانید، اما موفق نخواهید شد.

بگذارید شما را معرفی کنم: - مثال عملکرد ضمنی.

در جریان تحلیل ریاضی ثابت شد که تابع ضمنی وجود دارد(با این حال، نه همیشه)، یک نمودار دارد (درست مانند یک تابع "عادی"). تابع ضمنی دقیقاً یکسان است وجود داردمشتق اول، مشتق دوم و غیره همانطور که می گویند، تمام حقوق اقلیت های جنسی رعایت می شود.

و در این درس می آموزیم که چگونه مشتق یک تابع تعریف شده به طور ضمنی را پیدا کنیم. آنقدرها هم سخت نیست! تمام قوانین تمایز و جدول مشتقات توابع ابتدایی به قوت خود باقی می مانند. تفاوت در یک لحظه عجیب و غریب است که در حال حاضر به آن نگاه خواهیم کرد.

بله، و من خبر خوب را به شما خواهم گفت - وظایف مورد بحث در زیر طبق یک الگوریتم نسبتاً دقیق و واضح بدون سنگ در مقابل سه مسیر انجام می شود.

مثال 1

1) در مرحله اول، سکته ها را به هر دو قسمت متصل می کنیم:

2) از قواعد خطی بودن مشتق (دو قانون اول درس) استفاده می کنیم چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه هایی از راه حل ها):

3) تمایز مستقیم.
نحوه تمایز کاملاً واضح است. در جایی که "بازی" در زیر سکته مغزی وجود دارد چه باید کرد؟

فقط تا سرحد رسوایی مشتق یک تابع با مشتق آن برابر است: .

چگونه متمایز کنیم

اینجا داریم تابع پیچیده. چرا؟ به نظر می رسد که در زیر سینوس فقط یک حرف "Y" وجود دارد. اما واقعیت این است که فقط یک حرف "y" وجود دارد - خود یک تابع است(به تعریف در ابتدای درس مراجعه کنید). بنابراین، سینوس یک تابع خارجی و یک تابع درونی است. ما از قانون برای متمایز کردن یک تابع پیچیده استفاده می کنیم:

ما محصول را طبق قانون معمول متمایز می کنیم:

لطفا توجه داشته باشید که - همچنین یک تابع پیچیده است، هر "بازی با زنگ و سوت" یک عملکرد پیچیده است:

خود راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:

اگر براکت وجود دارد، آنها را گسترش دهید:

4) در سمت چپ ما عباراتی را که حاوی "Y" با علامت اول هستند جمع آوری می کنیم. بقیه موارد را به سمت راست حرکت دهید:

5) در سمت چپ مشتق را از پرانتز خارج می کنیم:

6) و طبق قاعده تناسب، این براکت ها را در مخرج سمت راست می اندازیم:

مشتق آن پیدا شده است. آماده است.

جالب است بدانید که هر تابعی را می توان به طور ضمنی بازنویسی کرد. به عنوان مثال، تابع را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: . و با استفاده از الگوریتمی که قبلاً در مورد آن صحبت شد، آن را متمایز کنید. در واقع، عبارات "عملکرد ضمنی" و "عملکرد ضمنی" در یک تفاوت معنایی متفاوت هستند. عبارت "عملکرد مشخص شده به صورت ضمنی" کلی تر و صحیح تر است - این تابع به صورت ضمنی مشخص شده است، اما در اینجا می توانید "بازی" را بیان کرده و عملکرد را به طور صریح نشان دهید. عبارت "عملکرد ضمنی" به تابع ضمنی "کلاسیک" اشاره دارد که "y" قابل بیان نباشد.

راه حل دوم

توجه!فقط در صورتی می توانید با روش دوم آشنا شوید که بدانید چگونه مشتقات جزئی را با اطمینان پیدا کنید. مبتدیان و مبتدیان در مطالعه آنالیز ریاضی لطفا این نکته را نخوانید و از دست ندهید وگرنه سرتان کلافه می شود.

بیایید مشتق تابع ضمنی را با استفاده از روش دوم پیدا کنیم.

همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

و تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید:

سپس مشتق ما را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد

بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

بدین ترتیب:

راه حل دوم به شما امکان می دهد یک بررسی انجام دهید. اما توصیه نمی شود که آنها نسخه نهایی تکلیف را بنویسند، زیرا مشتقات جزئی بعداً تسلط پیدا می کنند و دانش آموزی که مبحث "مشتق تابع یک متغیر" را مطالعه می کند هنوز نباید مشتقات جزئی را بداند.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

سکته مغزی را به هر دو قسمت اضافه کنید:

ما از قوانین خطی استفاده می کنیم:

یافتن مشتقات:

باز کردن تمام پرانتزها:

ما همه اصطلاحات را به سمت چپ منتقل می کنیم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم:

در سمت چپ آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم:

پاسخ نهایی:

مثال 3

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس.

ایجاد کسری پس از تمایز غیر معمول نیست. در چنین مواردی، شما باید از شر کسری خلاص شوید. بیایید به دو مثال دیگر نگاه کنیم: هر عبارت از هر بخش

مثال 5

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تنها نکته این است که قبل از خلاص شدن از شر کسر، ابتدا باید از ساختار سه طبقه خود کسر خلاص شوید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.