ریشه n ام یک مجتمع پیچیده. قدرت با توان منطقی دلخواه

اعداد به صورت مثلثاتی

فرمول مویور

بگذارید z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) و z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط برای انجام عملیات ضرب، تقسیم، افزایش به یک عدد صحیح و استخراج ریشه درجه n مناسب است.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

هنگام ضرب دو عدد مختلطدر شکل مثلثاتی، ماژول های آنها ضرب شده و آرگومان های آنها اضافه می شود. هنگام تقسیمماژول های آنها تقسیم شده و آرگومان های آنها کم می شود.

نتیجه قاعده ضرب عدد مختلط، قاعده افزایش عدد مختلط به توان است.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

این نسبت نامیده می شود فرمول مویور

مثال 8.1 حاصلضرب و ضریب اعداد را بیابید:

و

راه حل

z 1 ∙z 2
∙

=

;

مثال 8.2 یک عدد را به صورت مثلثاتی بنویسید

∙
-i) 7.

راه حل

بیایید نشان دهیم
و z 2 =
- من

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = آرکتان
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 · 2 7§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلطتعریف. ریشه n
توان یک عدد مختلط z (نشان دهید) نامیده می شود
= 0.

عدد مختلط

w طوری که w n = z. اگر z = 0، پس

بگذارید z  0، z = r(cos + isin). اجازه دهید w =  (cos + sin) را نشان دهیم، سپس معادله w n = z را به شکل زیر می نویسیم.

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

بنابراین  n = r،

بنابراین wk =

در بین این مقادیر دقیقاً n عدد مختلف وجود دارد.
بنابراین k = 0، 1، 2، …، n – 1.

در صفحه مختلط، این نقاط رئوس یک n-گون منظم هستند که در یک دایره با شعاع محاط شده اند.

با مرکز در نقطه O (شکل 12).شکل 12
.

مثال 9.1

همه مقادیر را پیدا کنید

راه حل.
بیایید این عدد را به صورت مثلثاتی نشان دهیم. بیایید مدول و آرگومان آن را پیدا کنیم.

w k =
.

، که در آن k = 0، 1، 2، 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

در صفحه مختلط، این نقاط رئوس مربعی هستند که در دایره ای به شعاع محاط شده اند

با مرکز در مبدا (شکل 13).شکل 12
.

مثال 9.1

شکل 13 شکل 14

راه حل.
مثال 9.2

w k =
z = – 64 = 64 (cos +isin);
;

w 0 =
، که در آن k = 0، 1، 2، 3، 4، 5 است.

;
w 1 =
.

در صفحه مختلط، این نقاط رئوس یک شش ضلعی منتظم هستند که در دایره ای به شعاع 2 با مرکز در نقطه O (0؛ 0) محاط شده است - شکل 14.

§ 10 شکل نمایی یک عدد مختلط.

فرمول اویلر

بیایید نشان دهیم
= cos  + isin  و
= cos  - isin  . این روابط نامیده می شود .

فرمول های اویلر
تابع

دارای خواص معمول یک تابع نمایی است:

اجازه دهید عدد مختلط z به صورت مثلثاتی z = r(cos + isin) نوشته شود.

با استفاده از فرمول اویلر می توانیم بنویسیم:
.

z = r این مدخل نام داردفرم نمایی

عدد مختلط با استفاده از آن، قوانین ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه را به دست می آوریم.
اگر z 1 = r 1 ·
و z 2 = r 2 ·

?اون
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

، که در آن k = 0، 1، …، n – 1.مثال 10.1

یک عدد را به صورت جبری بنویسید
.

مثال 9.1

z =مثال 10.2

مثال 9.1

معادله z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 را حل کنید.
برای هر ضرایب مختلط، این معادله دارای دو ریشه z 1 و z 1 (احتمالاً منطبق) است. این ریشه ها را می توان با استفاده از همان فرمول موجود در حالت واقعی یافت. چون

دو مقدار را می گیرد که فقط در علامت متفاوت هستند، سپس این فرمول به نظر می رسد:
از آنجایی که -9 = 9 e  i، پس مقادیر

اعداد وجود خواهد داشت:
سپس
.

مثال 9.1

حل معادلات z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.
.

ریشه های مورد نیاز معادله مقادیر خواهند بود

راه حل.
برای z = –1، r = 1، arg(–1) =  داریم.

، k = 0، 1، 2.

تمرینات

ز)

د) 7 (cos0 + isin0).

11 اعداد را به صورت جبری و هندسی بنویسید:

12 عدد داده شده است
.

با ارائه آنها به صورت نمایی، پیدا کنید

13 با استفاده از شکل نمایی یک عدد مختلط، مراحل زیر را انجام دهید:
الف)

ب)
V)

د)با و § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط 2 .

عدد طبیعی عدد مختلطز تماس گرفت§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط– ریشهج عدد مختلط § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = ریشه.

، اگر § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط– بیایید تمام مقادیر ریشه را پیدا کنیم د)اوه قدرت یک عدد مختلط ریشه=| ریشه|·(. اجازه دهید cos ریشه+ ارگ· من cosگناهبا) عدد مختلط = | عدد مختلطالف|·(با cos عدد مختلط + ارگ· من cos عدد مختلط) سیستم عامل عدد مختلط، کجا § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط- بیایید تمام مقادیر ریشه را پیدا کنیم د)ریشه = ریشه = | ریشه|·(. اجازه دهید cos ریشه+ ارگ· من cos. سپس باید باشدبا)
. به دنبال آن است § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط· cos عدد مختلط = cosو
cos عدد مختلط =
(با=0,1,…) ک عدد مختلط =
(. اجازه دهید
+ ارگ· من
), (با=0,1,…) . از این رو،
, (با=0,1,…) . به راحتی می توان فهمید که هر یک از مقادیر
,(با = 0,1,…, § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط-1) با یکی از مقادیر مربوطه متفاوت است توسط چندگانه 2π (با = 0,1,…, § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط-1) .

. به همین دلیل،

مثال..

بیایید ریشه (-1) را محاسبه کنیم. |-1| = 1, ، بدیهی است (-1) = π

ارگ. اجازه دهید π + ارگ· من π )

, -1 = 1·(

= ارگ

(k = 0، 1).

قدرت با توان منطقی دلخواه د)بیایید یک عدد مختلط دلخواه را در نظر بگیریم § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط. اگر د) § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = | ریشه| § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط پس عدد طبیعی|·(با · (باnArgارگ· من · (با. سپس باید باشد s + § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = 0 ((6). این فرمول در مورد نیز صادق است)
اوه قدرت یک عدد مختلط § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط < 0 s≠0 § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط عدد مختلطبا و s ≠ 0

د) § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط =
، سپسد)(cos nArgد)) = ، سپسد)+i·sin nArgد)) + i·sin nArg § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط.

. بنابراین، فرمول (6) برای هر یک معتبر است سیستم عامل بیایید یک عدد گویا بگیریم q عدد طبیعی و r

کامل است سپس زیر ریشه درجهعدد را خواهیم فهمید
.

ما آن را دریافت می کنیم ,

(با = 0, 1, …, بیایید یک عدد گویا بگیریم-1). این ارزش ها بیایید یک عدد گویا بگیریمقطعات، اگر کسر قابل کاهش نباشد.

سخنرانی شماره 3 حد دنباله ای از اعداد مختلط

یک تابع با ارزش پیچیده از یک آرگومان طبیعی نامیده می شود دنباله ای از اعداد مختلطو تعیین شده است (با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) یا د) 1 ، با 2 ، ...، با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط . د) § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = a § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط + ب § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط · ارگ (§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = 1,2, ...) اعداد مختلط

د) 1 ، با 2 , … - اعضای دنباله. با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط - عضو مشترک

عدد طبیعی د) = الف+ ب· ارگز حد دنباله ای از اعداد مختلط (ریشه § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) سیستم عامل د) § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = a § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط + ب § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط · ارگ (§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = 1, 2, …) ، جایی که برای هر

که جلوی همه § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط > ننابرابری برقرار است
. دنباله ای با حد محدود نامیده می شود همگرادنباله

قضیه.

به منظور دنباله ای از اعداد مختلط (با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) (با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = a § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط + ب § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط · ارگ) به عددی با = الف+ ب· ارگ، برای برقراری تساوی لازم و کافی استلیم الف § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = الف, لیم ب § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = ب.

اثبات

ما این قضیه را بر اساس نابرابری مضاعف آشکار زیر اثبات خواهیم کرد

، کجا عدد مختلط = x + y· ارگ (2)

ضرورت.اجازه دهید لیم(با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) = s. اجازه دهید نشان دهیم که برابری ها درست هستند لیم الف § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = الفبا لیم ب § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط = ب (3).

بدیهی است (4)

چون
، وقتی § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط → ∞ ، سپس از سمت چپ نابرابری (4) نتیجه می شود که
. به دنبال آن است
، وقتی § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط → ∞ . بنابراین برابری های (3) برآورده می شوند. نیاز ثابت شده است.

کفایت.اکنون برابری های (3) برآورده شوند. از تساوی (3) چنین بر می آید که
. به دنبال آن است
، وقتی § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط → ∞ بنابراین به دلیل سمت راست نابرابری (4) خواهد بود
، وقتی § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط→∞ ، یعنی لیم(با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط )=ج. کفایت ثابت شده است.

بنابراین، مسئله همگرایی دنباله ای از اعداد مختلط معادل همگرایی دو دنباله اعداد حقیقی است، بنابراین تمام خصوصیات اساسی حدود دنباله های اعداد حقیقی برای دنباله های اعداد مختلط اعمال می شود.

به عنوان مثال، برای دنباله های اعداد مختلط، معیار کوشی معتبر است: به منظور دنباله ای از اعداد مختلط (با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) همگرا می شود، لازم و کافی است که برای هر

، که برای هر§ 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط, متر > ننابرابری برقرار است
.

قضیه.

اجازه دهید دنباله ای از اعداد مختلط (با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) و (z § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) به ترتیب به c و همگرا می شوندz، پس برابری ها صادق هستندلیم(با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط z § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) = ریشه z, لیم(با § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط · z § 9 استخراج ریشه یک عدد مختلط ) = ریشه· z. اگر به یقین معلوم باشد کهzبرابر 0 نیست، پس برابری درست است
.