علائم بخش پذیری اعداد- اینها قوانینی هستند که به شما امکان می دهند نسبتاً سریع و بدون تقسیم متوجه شوید که آیا این عدد بر یک عدد معین بدون باقی مانده بخش پذیر است یا خیر.
برخی از نشانه های تقسیم پذیریبسیار ساده، برخی پیچیده تر. در این صفحه هر دو نشانه تقسیم پذیری را خواهید یافت اعداد اولمانند 2، 3، 5، 7، 11 و علائم بخش پذیری اعداد مرکب، مانند 6 یا 12.
امید، این اطلاعاتبرای شما مفید خواهد بود.
یادگیری مبارک!

بخش پذیری بر 2 را تست کنید

این یکی از ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری است. به نظر می رسد: اگر نماد یک عدد طبیعی به یک رقم زوج ختم شود، آنگاه زوج است (بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است) و اگر نماد یک عدد طبیعی به یک رقم فرد ختم شود، این عدد فرد است. .
به عبارت دیگر، اگر آخرین رقم یک عدد باشد 2 , 4 , 6 , 8 یا 0 - عدد بر 2 بخش پذیر است، اگر نه، پس قابل بخش نیست
به عنوان مثال، اعداد: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 بر 2 بخش پذیر هستند زیرا زوج هستند.
اعداد: 23 5 , 137 , 2303
آنها بر 2 بخش پذیر نیستند زیرا فرد هستند.

بخش پذیری بر 3 را تست کنید

این علامت بخش پذیری قوانین کاملاً متفاوتی دارد: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 3 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 3 بخش پذیر نیست.
این بدان معناست که برای درک اینکه آیا یک عدد بر 3 بخش پذیر است یا خیر، فقط باید اعدادی که آن را تشکیل می دهند را با هم جمع کنید.
به نظر می رسد: 3987 و 141 بر 3 بخش پذیر هستند، زیرا در حالت اول 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - قابل تقسیم بر 3)، و در دومی 1+4+1= 6 (6:3=2 - همچنین قابل تقسیم بر 3).
اما اعداد: 235 و 566 بر 3 بخش پذیر نیستند، زیرا 2+3+5= 10 و 5+6+6= 17 (و می دانیم که نه 10 و نه 17 بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر نیستند).

بخش پذیری بر 4 را تست کنید

این نشانه تقسیم پذیری پیچیده تر خواهد بود. اگر 2 رقم آخر یک عدد یک عدد قابل بخش بر 4 یا 00 را تشکیل دهند، آن عدد بر 4 بخش پذیر است، در غیر این صورت عدد داده شده بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر نیست.
به عنوان مثال: 1 00 و 3 64 بر 4 بخش پذیر هستند زیرا در حالت اول عدد به پایان می رسد 00 ، و در دوم در 64 که به نوبه خود بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر است (64:4=16)
اعداد 3 57 و 8 86 بر 4 بخش پذیر نیستند زیرا هیچ کدام 57 هیچ کدام 86 بر 4 بخش پذیر نیستند، به این معنی که با این معیار تقسیم پذیری مطابقت ندارند.

تست بخش پذیری بر 5

و دوباره یک علامت نسبتاً ساده از بخش پذیری داریم: اگر نماد یک عدد طبیعی به عدد 0 یا 5 ختم شود، آنگاه این عدد بر 5 بخش پذیر است، اگر نماد یک عدد با رقم دیگری به پایان برسد عدد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر نیست.
این بدان معنی است که هر عددی که به رقم ختم می شود 0 و 5 مثلاً 1235 5 و 43 0 ، تحت قاعده قرار می گیرند و بر 5 تقسیم می شوند.
و مثلاً 1549 3 و 56 4 به عدد 5 یا 0 ختم نشوند، یعنی نمی توان آنها را بدون باقیمانده بر 5 تقسیم کرد.

بخش پذیری بر 6 را تست کنید

ما عدد مرکب 6 را داریم که حاصل ضرب اعداد 2 و 3 است. بنابراین علامت بخش پذیری بر 6 نیز مرکب است: برای اینکه یک عدد بر 6 بخش پذیر باشد باید با دو علامت مطابقت داشته باشد. بخش پذیری در همان زمان: علامت بخش پذیری بر 2 و علامت بخش پذیری بر 3. لطفاً توجه داشته باشید که عدد مرکب مانند 4 دارای علامت تقسیم پذیری فردی است، زیرا حاصل ضرب عدد 2 به خودی خود است. اما اجازه دهید به آزمون بخش پذیری بر 6 برگردیم.
اعداد 138 و 474 زوج هستند و دارای معیارهای بخش پذیری بر 3 (1+3+8=12، 12:3=4 و 4+7+4=15، 15:3=5) هستند که به معنی بخش پذیر بودن آنهاست. بر 6. اما 123 و 447 اگرچه بر 3 بخش پذیرند (1+2+3=6، 6:3=2 و 4+4+7=15، 15:3=5)، اما فرد هستند که یعنی با معیار بخش پذیری بر 2 مطابقت ندارند و بنابراین با معیار تقسیم پذیری بر 6 مطابقت ندارند.

بخش پذیری بر 7 را تست کنید

این آزمون بخش پذیری پیچیده تر است: عددی بر 7 بخش پذیر است اگر حاصل تفریق دو برابر آخرین رقم از تعداد ده ها این عدد بر 7 یا برابر با 0 بخش پذیر باشد.
بسیار گیج کننده به نظر می رسد، اما در عمل ساده است. خودتان ببینید: شماره 95 9 بر 7 بخش پذیر است زیرا 95 -2*9=95-18=77، 77:7=11 (77 بدون باقیمانده بر 7 تقسیم می شود). علاوه بر این، اگر با تعداد به دست آمده در طول تبدیل مشکلاتی ایجاد شود (به دلیل اندازه آن، درک اینکه آیا بر 7 بخش پذیر است یا خیر دشوار است، پس این روش را می توان هر چند بار که لازم می دانید ادامه داد).
به عنوان مثال، 45 5 و 4580 1 دارای خاصیت بخش پذیری بر 7 است. در مورد اول، همه چیز بسیار ساده است: 45 -2*5=45-10=35، 35:7=5. در مورد دوم این کار را انجام می دهیم: 4580 -2*1=4580-2=4578. برای ما دشوار است که بفهمیم آیا 457 8 در 7، پس بیایید این روند را تکرار کنیم: 457 -2*8=457-16=441. و دوباره از تست بخش پذیری استفاده خواهیم کرد، زیرا هنوز یک عدد سه رقمی در مقابل خود داریم 44 1. بنابراین، 44 -2*1=44-2=42، 42:7=6، یعنی. 42 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر است، یعنی 45801 بر 7 بخش پذیر است.
در اینجا اعداد آمده است 11 1 و 34 5 بر 7 بخش پذیر نیست زیرا 11 -2*1=11-2=9 (9 بر 7 بخش پذیر نیست) و 34 -2*5=34-10=24 (24 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر نیست).

تست بخش پذیری بر 8

آزمون بخش پذیری بر 8 به این صورت است: اگر 3 رقم آخر عددی را تشکیل دهند که بر 8 بخش پذیر است یا 000 باشد، آن گاه عدد داده شده بر 8 بخش پذیر است.
اعداد 1 000 یا 1 088 تقسیم بر 8: اولی به پایان می رسد 000 ، دومی 88 :8=11 (بدون باقیمانده بر 8 بخش پذیر است).
و این هم اعداد 1 100 یا 4 757 بر 8 بخش پذیر نیستند زیرا اعداد 100 و 757 بدون باقی مانده بر 8 بخش پذیر نیستند.

تست بخش پذیری بر 9

این علامت بخش پذیری شبیه علامت بخش پذیری بر 3 است: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر نیست.
به عنوان مثال: 3987 و 144 بر 9 بخش پذیر هستند، زیرا در حالت اول 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - قابل تقسیم بر 9)، و در دومی 1+4+4= 9 (9:9=1 - همچنین قابل تقسیم بر 9).
اما اعداد: 235 و 141 بر 9 بخش پذیر نیستند، زیرا 2+3+5= 10 و 1+4+1= 6 (و می دانیم که نه 10 و نه 6 بدون باقی مانده بر 9 بخش پذیر نیستند).

علائم بخش پذیری بر 10، 100، 1000 و سایر واحدهای رقمی

من این نشانه‌های بخش‌پذیری را ترکیب کردم زیرا می‌توان آن‌ها را به همین شکل توصیف کرد: اگر تعداد صفرهای انتهای عدد بزرگ‌تر یا مساوی با تعداد صفرهای یک واحد رقمی معین باشد، بر یک واحد رقمی تقسیم می‌شود. .
به عبارت دیگر مثلاً اعداد زیر را داریم: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . که همه آنها بر 1 بخش پذیرند 0 ; 46400 و 867 000 بر 1 نیز بخش پذیرند 00 ; و تنها یکی از آنها 867 است 000 قابل تقسیم بر 1 000 .
هر اعدادی که دارای صفرهای کمتر از یک واحد رقمی باشند بر آن واحد رقمی بخش پذیر نیستند، مثلاً 600 30 و 7 93 غیر قابل تقسیم 1 00 .

تست بخش پذیری بر 11

برای اینکه بفهمید یک عدد بر 11 بخش پذیر است یا خیر، باید تفاوت مجموع ارقام زوج و فرد این عدد را بدست آورید. اگر این تفاوت برابر 0 باشد یا بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر باشد، خود عدد بدون باقی مانده بر 11 بخش پذیر است.
برای روشن تر شدن موضوع، پیشنهاد می کنم نمونه هایی را مشاهده کنید: 2 35 4 بر 11 بخش پذیر است زیرا ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 نیز بر 11 بخش پذیر است زیرا ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
اینجا 1 است 1 1 یا 4 35 4 بر 11 بخش پذیر نیست، زیرا در حالت اول (1+1) - 1 =1 و در دومی ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

تست بخش پذیری بر 12

عدد 12 مرکب است. علامت تقسیم پذیری آن، مطابقت با نشانه های تقسیم پذیری بر 3 و 4 است.
به عنوان مثال، 300 و 636 هر دو با علائم بخش پذیری بر 4 (2 رقم آخر صفر هستند یا بر 4 بخش پذیر هستند) و نشانه های بخش پذیری بر 3 (مجموع ارقام هر دو عدد اول و سوم قابل بخش است) مطابقت دارد. بر 3) اما در نهایت بدون باقیمانده بر 12 بخش پذیرند.
اما 200 یا 630 بر 12 بخش پذیر نیستند، زیرا در حالت اول عدد فقط با معیار بخش پذیری بر 4 و در حالت دوم فقط با معیار بخش پذیری بر 3 مطابقت دارد، اما نه هر دو معیار در یک زمان.

تست بخش پذیری بر 13

علامت بخش پذیری بر 13 این است که اگر تعداد ده ها عدد اضافه شده به واحدهای این عدد ضربدر 4 مضرب 13 یا مساوی 0 باشد، خود آن عدد بر 13 بخش پذیر است.
به عنوان مثال در نظر بگیریم 70 2. بنابراین، 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 بدون باقیمانده بر 13 بخش پذیر است) که به این معنی است 70 2 بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر است. مثال دیگر یک عدد است 114 4. 114 +4*4=130، 130:13=10. عدد 130 بدون باقیمانده بر 13 بخش پذیر است، یعنی عدد داده شده با معیار تقسیم پذیری بر 13 مطابقت دارد.
اگر اعداد را بگیریم 12 5 یا 21 2، سپس دریافت می کنیم 12 +4*5=32 و 21 به ترتیب +4*2=29 و نه 32 و نه 29 بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر نیستند، یعنی اعداد داده شده بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر نیستند.

تقسیم پذیری اعداد

همانطور که از مطالب فوق مشاهده می شود، می توان فرض کرد که به هر یک از اعداد طبیعیاگر عدد مضربی از چندین عدد مختلف باشد، می‌توانید علامت جداگانه تقسیم‌پذیری خود یا علامت ترکیبی را انتخاب کنید. اما همانطور که تمرین نشان می دهد، اساساً هر چه عدد بزرگتر باشد، علامت آن پیچیده تر است. ممکن است زمان صرف شده برای بررسی معیار تقسیم پذیری برابر یا بیشتر از خود تقسیم باشد. به همین دلیل است که ما معمولاً از ساده ترین علائم تقسیم پذیری استفاده می کنیم.

ریاضیات در کلاس ششم با مطالعه مفهوم تقسیم پذیری و نشانه های تقسیم پذیری آغاز می شود. آنها اغلب به معیارهای تقسیم پذیری با اعداد زیر محدود می شوند:

• روشن 2 : آخرین رقم باید 0، 2، 4، 6 یا 8 باشد.
• روشن 3 : مجموع ارقام عدد باید بر 3 بخش پذیر باشد.
• روشن 4 : عددی که از دو رقم آخر تشکیل می شود باید بر 4 بخش پذیر باشد.
• روشن 5 : آخرین رقم باید 0 یا 5 باشد.
• روشن 6 : عدد باید دارای علائم بخش پذیری بر 2 و 3 باشد.
• آزمون تقسیم پذیری برای 7 اغلب از دست رفته؛
• آنها همچنین به ندرت در مورد آزمون تقسیم بر 8 ، هر چند شبیه معیارهای بخش پذیری بر 2 و 4 است، برای اینکه عددی بر 8 بخش پذیر باشد لازم و کافی است که پایان سه رقمی بر 8 بخش پذیر باشد.
• آزمون تقسیم پذیری برای 9 همه می‌دانند: مجموع ارقام یک عدد باید بر 9 بخش‌پذیر باشد. اما در مقابل انواع ترفندها با خرماهایی که اعداد شناسان استفاده می‌کنند مصونیت ایجاد نمی‌کند.
• آزمون تقسیم پذیری برای 10 ، احتمالاً ساده ترین: عدد باید به صفر ختم شود.
• گاهی اوقات در مورد آزمون تقسیم پذیری توسط دانش آموزان کلاس ششم آموزش داده می شود 11 . باید ارقام عددی را که در مکان های زوج هستند جمع کنید و اعدادی که در مکان های فرد قرار دارند را از نتیجه کم کنید. اگر نتیجه بر 11 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 11 بخش پذیر است.

اجازه دهید اکنون به آزمون بخش پذیری بر 7 برگردیم. اگر در مورد آن صحبت می کنند، آن را با آزمون بخش پذیری بر 13 ترکیب می کنند و توصیه می کنند که از آن در این راه استفاده کنید.

یک عدد بگیریم ما آن را به بلوک های 3 رقمی تقسیم می کنیم (سمت چپ ترین بلوک می تواند شامل یک یا 2 رقم باشد) و به طور متناوب این بلوک ها را اضافه یا کم می کنیم.

اگر نتیجه بر 7، 13 (یا 11) بخش پذیر باشد، خود عدد بر 7، 13 (یا 11) بخش پذیر است.

این روش، مانند تعدادی از ترفندهای ریاضی، مبتنی بر این واقعیت است که 7x11x13 = 1001 است.

با استفاده از آزمون جهانی بخش‌پذیری، می‌توان الگوریتم‌های نسبتاً ساده‌ای برای تعیین اینکه آیا یک عدد بر 7 و سایر اعداد «مناسب» بخش‌پذیر است، ساخت.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 7
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 7 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را از عدد حذف کنید و این رقم را دو بار از نتیجه حاصل کم کنید. اگر نتیجه بر 7 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 7 بخش پذیر است.

مثال 1:
آیا عدد 238 بر 7 بخش پذیر است؟
23-8-8 = 7. پس عدد 238 بر 7 بخش پذیر است.
در واقع، 238 = 34x7

این عمل می تواند بارها و بارها انجام شود.
مثال 2:
آیا 65835 بر 7 بخش پذیر است؟
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 بر 7 بخش پذیر است (اگر ما متوجه این موضوع نشده بودیم، می توانستیم یک قدم دیگر برداریم: 6-3-3 = 0، و 0 قطعا بر 7 بخش پذیر است).

یعنی عدد 65835 بر 7 بخش پذیر است.

بر اساس معیار جهانی تقسیم پذیری، می توان معیارهای تقسیم پذیری بر 4 و 8 را بهبود بخشید.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 4
اگر نصف تعداد واحدها به اضافه تعداد ده ها یک عدد زوج باشد، این عدد بر 4 بخش پذیر است.

مثال 3
آیا عدد 52 بر 4 بخش پذیر است؟
5+2/2 = 6 عدد زوج است یعنی عدد بر 4 بخش پذیر است.

مثال 4
آیا عدد 134 بر 4 بخش پذیر است؟
3+4/2 = 5 عدد فرد است یعنی 134 بر 4 بخش پذیر نیست.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 8
اگر دو برابر تعداد صدها، تعداد ده ها و نصف تعداد واحدها را جمع کنید و نتیجه بر 4 بخش پذیر شود، خود عدد بر 8 بخش پذیر است.

مثال 5
آیا عدد 512 بر 8 بخش پذیر است؟
5*2+1+2/2 = 12 عدد بر 4 بخش پذیر است یعنی 512 بر 8 بخش پذیر است.

مثال 6
آیا عدد 1984 بر 8 بخش پذیر است؟
9*2+8+4/2 = 28، عدد بر 4 بخش پذیر است، یعنی 1984 بر 8 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 12- این اتحاد نشانه های تقسیم پذیری بر 3 و 4 است. برای هر n که حاصلضرب همزمان p و q باشد، همین عمل می شود. برای اینکه یک عدد بر n بخش پذیر باشد (که برابر با حاصل ضرب pq,actih است، به طوری که gcd(p,q)=1) باید بر هر دو p و q بخش پذیر باشد.

با این حال، مراقب باشید! برای اینکه معیار تقسیم پذیری مرکب عمل کند، ضرایب یک عدد باید هم اول باشند. اگر عددی بر 2 و 4 بخش پذیر باشد نمی توانید بگویید که بر 8 بخش پذیر است.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 13
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 13 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را از عدد حذف کرده و چهار بار به نتیجه حاصل اضافه کنید. اگر نتیجه بر 13 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 13 بخش پذیر است.

مثال 7
آیا 65835 بر 8 بخش پذیر است؟
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

عدد 43 بر 13 بخش پذیر نیست، یعنی عدد 65835 بر 13 بخش پذیر نیست.

مثال 8
آیا 715 بر 13 بخش پذیر است؟
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 بر 13 بخش پذیر است، یعنی عدد 715 بر 13 بخش پذیر است.

علائم بخش پذیری بر 14، 15، 18، 20، 21، 24، 26، 28و سایر اعداد مرکب که توان های اعداد اول نیستند مشابه آزمون های بخش پذیری بر 12 هستند.

• برای 14: برای 2 و برای 7;
• برای 15: برای 3 و برای 5.
• برای 18: در 2 و 9;
• برای 21: در 3 و 7;
• برای 20: با 4 و 5 (یا به عبارت دیگر، رقم آخر باید صفر باشد و رقم ماقبل آخر باید زوج باشد).
• برای 24: برای 3 و برای 8;
• برای 26: در 2 و 13;
• برای 28: برای 4 و برای 7.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 16.
به جای بررسی اینکه آیا پایان 4 رقمی یک عدد بر 16 بخش پذیر است یا خیر، می توانید رقم یکان را با 10 برابر رقم ده ها، رقم چهار رقمی صدها و
در هشت برابر رقم هزاران ضرب کنید و بررسی کنید که آیا نتیجه بر 16 بخش پذیر است یا خیر.

مثال 9
آیا عدد 1984 بر 16 بخش پذیر است؟
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 بر 16 بخش پذیر نیست، یعنی 1984 بر 16 بخش پذیر نیست.

مثال 10
آیا عدد 1526 بر 16 بخش پذیر است؟
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 بر 16 بخش پذیر نیست، یعنی 1526 بر 16 بخش پذیر نیست.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 17.
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 17 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را از عدد حذف کنید و این رقم را پنج بار از نتیجه حاصل کم کنید. اگر نتیجه بر 13 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 13 بخش پذیر است.

مثال 11
آیا عدد 59772 بر 17 بخش پذیر است؟
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 بر 17 بخش پذیر است، یعنی عدد 59772 بر 17 بخش پذیر است.

مثال 12
آیا عدد 4913 بر 17 بخش پذیر است؟
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 بر 17 بخش پذیر است، یعنی عدد 4913 بر 17 بخش پذیر است.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 19.
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 19 بخش پذیر است، باید دو برابر آخرین رقم را به عدد باقی مانده پس از حذف آخرین رقم اضافه کنید.

مثال 13
آیا عدد 9044 بر 19 بخش پذیر است؟
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 بر 19 بخش پذیر است، یعنی عدد 9044 بر 19 بخش پذیر است.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 23.
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 23 بخش پذیر است، باید آخرین رقم را که 7 برابر افزایش یافته است، به عدد باقی مانده پس از حذف آخرین رقم اضافه کنید.

مثال 14
آیا عدد 208012 بر 23 بخش پذیر است؟
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
در واقع، شما می توانید متوجه شوید که 253 23 است،

قانون

بخش پذیری بر 7 را تست کنید

برای تعیین اینکه آیا یک عدد بر \(\displaystyle 7\ بخش پذیر است یا خیر)، باید:

1. شماره اصلی را بدون آخرین رقم بردارید.

2. به عدد بدست آمده در مرحله اول، آخرین رقم عدد اصلی را ضرب در \(\displaystyle 5\) اضافه کنید.

یک عدد بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر است اگر و فقط در صورتی که مجموع به دست آمده در مرحله دوم بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر باشد.

توضیح

تست بخش پذیری بر 7 برای اعداد چهار رقمی

برای یک عدد چهار رقمی، آزمون بخش پذیری بر \(\displaystyle 7\) را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

یک رنگ(قرمز)Y)(\رنگ(سبز)Z)\).

2. \(\displaystyle (\color(آبی)X)(\color(قرمز)Y)(\color(سبز)Z)+5\cdot(\color(آبی)W)\).

عدد \(\displaystyle (\color(آبی)X)(\color(قرمز)Y)(\color(سبز)Z)(\color(آبی)W)\) بر \(\displaystyle 7\) بخش‌پذیر است. فقط زمانی که عدد \(\displaystyle (\color(آبی)X)(\color(قرمز)Y)(\color(سبز)Z)+5\cdot(\color(آبی)W)\) بر \ (\displaystyle 7\).

شماره \(\displaystyle 2367\) داده شده است. اجازه دهید محاسبات را مطابق با قاعده توصیف شده در بالا انجام دهیم.

\(\displaystyle (\color(آبی)2)(\color(قرمز)3)(\color(سبز)6)(\color(آبی)7) \رنگ راست (\color(آبی)2)(\color( قرمز)3)(\رنگ(سبز)6)\).

2. محاسبه کنید:

\(\displaystyle (\color(آبی)2)(\color(قرمز)3)(\color(سبز)6)+5 \cdot (\color(آبی)7) = 271\).

عدد \(\displaystyle 2367\) بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر است اگر و فقط اگر عدد \(\displaystyle 271\) بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر باشد.

بیایید بررسی کنیم که آیا عدد سه رقمی \(\displaystyle 271\, (=(\color(blue)X)(\color(red)Y)(\color(green)Z))\ بر \(\displaystyle) بخش پذیر است یا خیر 7\)). سپس \(\displaystyle (\color(آبی)X=2)، (\color(قرمز)Y=7)، (\color(سبز)Z=1)\).

1. آخرین رقم شماره اصلی را کنار می گذاریم:

\(\displaystyle (\color(آبی)2)(\color(قرمز)7)(\color(سبز)1) \rightarrow (\color(آبی)2)(\color(قرمز)7)\).

2. محاسبه کنید:

\(\displaystyle (\color(آبی)2)(\color(قرمز)7)+5 \cdot (\color(سبز)1) = 32\).

عدد \(\displaystyle 271\) بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر است اگر و فقط اگر عدد \(\displaystyle 32\) بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر باشد.

از آنجایی که \(\displaystyle 32\) بر \(\displaystyle 7\ بخش پذیر نیست، پس \(\displaystyle 271\) نیز به اشتراک نمی گذاردبه \(\displaystyle 7\).

از آنجایی که \(\displaystyle 271\) بر \(\displaystyle 7\) تقسیم نمی شود، پس \(\displaystyle 2367\) نیز به اشتراک نمی گذاردبه \(\displaystyle 7\).

پاسخ: خیر، بر \(\displaystyle 7\) بخش پذیر نیست.

عدد بر 2 بخش پذیر استاگر و فقط اگر آخرین رقم آن بر 2 بخش پذیر باشد، یعنی زوج باشد.

به عنوان مثال:
2، 8، 16، 24، 66، 150 - قابل تقسیم بر 2 از آنجایی که آخرین رقم این اعداد زوج است.
3، 7، 19، 35، 77، 453 - قابل تقسیم بر 2 ، زیرا آخرین رقم این اعداد فرد است.

بخش پذیری بر 3 را تست کنید

عدد بر 3 بخش پذیر استاگر و فقط اگر مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال:
471 - قابل تقسیم بر 3 4+7+1=12 و عدد 12 بر 3 بخش پذیر است.
532 - بر قابل تقسیم نیست 3 ، زیرا 5+3+2=10 است و عدد 10 بر 3 بخش پذیر نیست.

بخش پذیری بر 4 را تست کنید

عدد بر 4 بخش پذیر استاگر و فقط اگر دو رقم آخر آن عددی را تشکیل دهند که بر 4 بخش پذیر باشد. یک عدد دو رقمی بر 4 بخش پذیر استاگر و فقط اگر دو برابر تعداد ده ها اضافه شده به تعداد واحدها بر 4 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال:
4576 - قابل تقسیم بر 4 از آنجایی که عدد 76 (7·2+6=20) بر 4 بخش پذیر است.
9634 - قابل تقسیم بر نیست 4 ، زیرا عدد 34 (3·2+4=10) بر 4 بخش پذیر نیست.

تست بخش پذیری بر 5

عدد بر 5 بخش پذیر استوقتی رقم آخر بر 5 بخش پذیر باشد، یعنی. اگر 0 یا 5 باشد.

به عنوان مثال:
375, 5680, 233575 - تقسیم بر 5 ، زیرا آخرین رقم آنها 0 یا 5 است.
9634، 452، 389753 - قابل تقسیم بر 5 ، زیرا آخرین رقم آنها 0 یا 5 نیست.

بخش پذیری بر 6 را تست کنید

عدد بر 6 بخش پذیر استاگر و فقط اگر بر 2 و 3 بخش پذیر باشد، یعنی زوج باشد و مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال:
462، 3456، 24642 ​​- قابل تقسیم بر 6 از آنجایی که همزمان بر 2 و 3 بخش پذیرند.
6 از آنجایی که 861 بر 2 بخش پذیر نیست، 3458 بر 3 بخش پذیر نیست، 34681 بر 2 بخش پذیر نیست.

بخش پذیری بر 7 را تست کنید

عدد بر 7 بخش پذیر است، اگر تفاوت بین رقم ده ها و دو رقم یک بر 7 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال:

شماره 296492
آخرین رقم "2" را می گیریم، آن را دو برابر می کنیم، 4 می گیریم. 29649-4=29645 را کم می کنیم. نمی دانیم که بر 7 بخش پذیر است یا نه. پس بیایید دوباره بررسی کنیم.
آخرین رقم "5" را می گیریم، آن را دو برابر می کنیم، 10 می گیریم. 2964-10=2954 را تفریق می کنیم. نمی دانیم که بر 7 بخش پذیر است یا نه. پس بیایید دوباره بررسی کنیم.
آخرین رقم "4" را می گیریم، آن را دو برابر می کنیم، 8 می گیریم. 295-8=287 را کم می کنیم. نمی دانیم که بر 7 بخش پذیر است یا نه. پس بیایید دوباره بررسی کنیم.
آخرین رقم "7" را می گیریم، آن را دو برابر می کنیم، 14 می گیریم. 28-14=14 را کم می کنیم. عدد 14 بر 7 بخش پذیر است، یعنی عدد اصلی بر 7 بخش پذیر است

تست بخش پذیری بر 8

عدد بر بخش بخش پذیر است 8 اگر و فقط اگر عددی که با سه رقم آخرش تشکیل شده بر 8 بخش پذیر باشد. یک عدد سه رقمی بر 8 بخش پذیر است اگر و فقط اگر تعداد واحدهایی که به دو برابر تعداد ده ها و چهار برابر شدن تعداد صدها اضافه شود بر 8 بخش پذیر باشد. 8.

به عنوان مثال:

952 بر 8 بخش پذیر است زیرا 9*4+5*2+2=48 بر 8 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 9

عدد بر 9 بخش پذیر استاگر و فقط اگر مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال:
468، 4788، 69759 - تقسیم بر 9 از آنجایی که مجموع ارقام آنها بر 9 بخش پذیر است (4+6+8=18، 4+7+8+8=27، 6+9+7+5+9=36);
861، 3458، 34681 - قابل تقسیم بر 9 از آنجایی که مجموع ارقام آنها بر 9 بخش پذیر نیست (8+6+1=15، 3+4+5+8=20، 3+4+6+8+1=22).

تست بخش پذیری بر 10

عدد بر 10 بخش پذیر استاگر و فقط اگر به صفر ختم شود.

به عنوان مثال:
460, 24000, 1245464570 - تقسیم بر 10 از آنجایی که آخرین رقم این اعداد صفر است.
234, 25048, 1230000003 - غیر قابل تقسیم بر 10 از آنجایی که آخرین رقم این اعداد صفر نیست.

تست بخش پذیری بر 11

علامت 1: عدد بر بخش پذیر است 11 اگر و فقط اگر مدول تفاضل بین مجموع ارقامی که موقعیت های فرد را اشغال می کنند و مجموع ارقامی که موقعیت های زوج را اشغال می کنند بر 11 بخش پذیر باشد.

برای مثال 9163627 بر 11 بخش پذیر است زیرا بر 11 بخش پذیر است.

مثال دیگر این است که 99077 بر 11 بخش پذیر است زیرا بر 11 بخش پذیر است.

علامت 2: عدد بر 11 بخش پذیر استاگر و فقط اگر مجموع اعدادی که گروه های دو رقمی را تشکیل می دهند (که با یک شروع می شوند) بر 11 بخش پذیر باشد.

برای مثال، 103785 بر 11 بخش پذیر است، زیرا 11 بر 11 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 13

علامت 1: عدد بر بخش پذیر است 13 زمانی که مجموع تعداد ده ها و چهار برابر تعداد یک ها بر 13 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 845 بر 13 بخش پذیر است، زیرا 13 بر 13 بخش پذیر است

علامت 2: عدد بر 13 بخش پذیر است،وقتی تفاوت بین تعداد ده ها و نه برابر تعداد یک ها بر 13 تقسیم شود.

به عنوان مثال، 845 بر 13 بخش پذیر است، زیرا 13 قابل بخش است

تست بخش پذیری بر 17

عدد بر بخش بخش پذیر است 17 وقتی مدول اختلاف بین تعداد ده ها و پنج برابر تعداد یک ها بر 17 تقسیم شود.

عدد بر 17 بخش پذیر استوقتی مدول مجموع تعداد ده ها و عدد دوازده ضرب در تعداد یک ها بر 17 تقسیم شود.

برای مثال 221 بر 17 بخش پذیر است زیرا بر 17 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 19

عدد بر بخش بخش پذیر است 19 اگر و فقط اگر تعداد ده ها که به دو برابر تعداد واحدها اضافه می شود بر 19 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 646 بر 19 بخش پذیر است، زیرا 19 نیز بر 19 بخش پذیر است

تست بخش پذیری بر 20

عدد بر بخش بخش پذیر است 20 اگر و فقط اگر عددی که با دو رقم آخر تشکیل شده است بر 20 بخش پذیر باشد.

عبارت دیگر: عدد بر 20 بخش پذیر استاگر و فقط اگر آخرین رقم عدد 0 باشد و رقم دوم تا آخر زوج باشد.

تست بخش پذیری بر 23

علامت 1: عدد بر بخش پذیر است 23 اگر و فقط اگر تعداد صدها که به سه برابر شدن عددی که با دو رقم آخر اضافه می شود بر 23 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، 28842 بر 23 بخش پذیر است، زیرا 23 بر 23 بخش پذیر است

علامت 2: عدد بر بخش پذیر است 23 اگر و فقط اگر تعداد دهها اضافه شده به هفت برابر تعداد یکها بر 23 بخش پذیر باشد. مثلاً 391 بر 23 بخش پذیر است زیرا بر 23 بخش پذیر است.

علامت 3: عدد بر بخش پذیر است 23 اگر و فقط اگر تعداد صدها اضافه شده به هفت برابر تعداد ده ها و سه برابر تعداد واحدها بر 23 بخش پذیر باشد.

مثلاً 391 بر 23 بخش پذیر است زیرا بر 23 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 25 را تست کنید

عدد بر بخش بخش پذیر است 25 اگر و فقط اگر دو رقم آخر آن عددی را تشکیل دهند که بر 25 بخش پذیر باشد.

بخش پذیری بر 27 را تست کنید

عدد بر بخش بخش پذیر است 27 اگر و فقط اگر مجموع اعدادی که گروه های سه رقمی را تشکیل می دهند (که با یک شروع می شوند) بر 27 بخش پذیر باشد.

بخش پذیری بر 29 را تست کنید

عدد بر بخش بخش پذیر است 29 اگر و فقط اگر تعداد ده ها که به سه برابر تعداد یک ها اضافه می شود بر 29 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال 261 بر 29 بخش پذیر است زیرا بر 29 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 30

عدد بر 30 بخش پذیر استاگر و فقط اگر به صفر ختم شود و مجموع همه ارقام بر 3 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال: 510 بر 30 بخش پذیر است، اما 678 نیست.

بخش پذیری بر 31 را تست کنید

عدد بر بخش بخش پذیر است 31 اگر و فقط اگر مدول اختلاف بین تعداد ده ها و سه برابر تعداد واحدها بر 31 بخش پذیر باشد. مثلاً 217 بر 31 بخش پذیر است زیرا بر 31 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 37 را تست کنید

علامت 1: عدد بر بخش پذیر است 37 اگر و فقط اگر، هنگام تقسیم یک عدد به گروه های سه رقمی (شروع با یک)، مجموع این گروه ها مضربی از 37 باشد.

علامت 2: عدد بر 37 بخش پذیر استاگر و فقط اگر مدول سه برابر تعداد صدها به چهار برابر تعداد دهها منهای تعداد واحدهای ضرب در هفت بر 37 بخش پذیر باشد.

علامت 3: عدد بر 37 بخش پذیر استاگر و فقط اگر مدول مجموع تعداد صدها با تعداد یکها ضرب در ده منهای تعداد دهها ضرب در 11 بر 37 بخش پذیر باشد.

به عنوان مثال، عدد 481 بر 37 بخش پذیر است، زیرا عدد 37 بر 37 بخش پذیر است

بخش پذیری بر 41 را تست کنید

علامت 1: عدد بر بخش پذیر است 41 اگر و فقط اگر مدول اختلاف بین تعداد ده ها و چهار برابر تعداد یک ها بر 41 بخش پذیر باشد.

مثلاً 369 بر 41 بخش پذیر است زیرا بر 41 بخش پذیر است.

علامت 2:برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 41 بخش پذیر است یا خیر، باید آن را از راست به چپ به یال های 5 رقمی تقسیم کرد. سپس در هر صورت، رقم اول سمت راست را در 1 ضرب کنید، رقم دوم را در 10، رقم سوم را در 18، چهارم را در 16، پنجم را در 37 ضرب کنید و همه حاصل را جمع کنید. اگر نتیجه بر 41 بخش پذیر باشد، آنگاه و تنها در این صورت خود عدد بر 41 بخش پذیر خواهد بود.

تست بخش پذیری بر 50

عدد بر بخش بخش پذیر است 50 اگر و فقط در صورتی که عددی که با دو رقم اعشاری کمتر تشکیل شده است بر 50 بخش پذیر باشد.

بخش پذیری بر 59 را تست کنید

عدد بر بخش بخش پذیر است 59 اگر و فقط اگر تعداد ده ها اضافه شده به تعداد یک ها ضرب در 6 بر 59 بخش پذیر باشد. برای مثال، 767 بر 59 بخش پذیر است، زیرا 59 بر 59 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 79 را تست کنید

عدد بر بخش بخش پذیر است 79 اگر و فقط اگر تعداد ده ها اضافه شده به تعداد واحدهای ضرب شده در 8 بر 79 بخش پذیر باشد. برای مثال، 711 بر 79 بخش پذیر است، زیرا 79 بر 79 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 99

عدد بر بخش بخش پذیر است 99 اگر و فقط اگر مجموع اعدادی که گروه های دو رقمی را تشکیل می دهند (که با یک شروع می شوند) بر 99 بخش پذیر باشد. برای مثال 12573 بر 99 بخش پذیر است زیرا 99 بر 99 بخش پذیر است

تست بخش پذیری بر 101

عدد بر 101 بخش پذیر استاگر و فقط اگر مدول مجموع جبری اعدادی که گروه‌های فرد دو رقمی را تشکیل می‌دهند (که با یک شروع می‌شوند) که با علامت «+» گرفته می‌شوند و اعداد زوج با علامت «-» بر 101 بخش‌پذیر باشد.

به عنوان مثال، 590547 بر 101 بخش پذیر است زیرا 101 بر 101 بخش پذیر است.

معلم TRIZ سرگئی ولادیمیرویچ افرموف در مورد اختراع خود از یک معیار جدید برای تقسیم بر 7 صحبت می کند که برای استفاده در مدرسه مناسب است.

در حالی که در یک مدرسه مقدماتی کار می کردم، وارد دفتر کلاس ششم شدم و پوستری را روی دیوار دیدم «نشانه های تقسیم پذیری اعداد». برای اعداد 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9 علائم تقسیم پذیری وجود داشت، اما برای عدد 7 چنین علامتی وجود نداشت. از معلم ریاضی پرسیدم:

- چرا هیچ نشانه ای از تقسیم بر هفت وجود ندارد؟

آنها به من گفتند که وجود دارد، اما بسیار پیچیده است. من در اینترنت پرس و جو کردم. سه نشانه پیدا کردم.

علامت 1 : عدد بر بخش پذیر است اگر و فقط اگر سه برابر شود، تعداد ده ها اضافه شده به تعداد یک ها بر 7 بخش پذیر است. برای مثال، 154 بر 7 بخش پذیر است، زیرا 15*3+4=49 بر 7 بخش پذیر است.

مثال دیگر این است که عدد 1001 بر 7 بخش پذیر است، زیرا 100*3+1=301، 30*3+1=91، 9*3+1=28، 2*3+8=14 بر 7 بخش پذیرند.

علامت 2 . یک عدد بر 7 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که مدول مجموع جبری اعدادی که گروه های فرد سه رقمی (که با یک شروع می شوند) که با علامت "+" گرفته می شوند و اعداد زوج با علامت "-" تشکیل می دهند بر بخش پذیر باشد. 7. برای مثال، 138689257 بر 7 بخش پذیر است، زیرا 7 بر 257+138-689|=294 بخش پذیر است.

علامت 3 . یک عدد بر 7 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که نتیجه دو برابر کم کردن آخرین رقم از آن عدد بدون آخرین رقم بر 7 بخش پذیر باشد (مثلاً 259 بر 7 بخش پذیر است، زیرا 25 - (2 9) = 7 قابل بخش است. توسط 7).

بیایید تقسیم پذیری یک عدد را بررسی کنیم 86 576 (هشتاد و شش هزار و پانصد و هفتاد و شش). در این شماره 8 657 (هشت هزار و ششصد و پنجاه و هفت) ده و 6 (شش) واحد بیایید شروع به بررسی تقسیم پذیری این عدد بر کنیم 7 (هفت):

8657 - 6 x 2 = 8657 - 12 = 8645

دوباره تقسیم پذیری بر را بررسی می کنیم 7 (هفت)، اکنون شماره ای که قبلاً دریافت کرده ایم 8 645 (هشت هزار و ششصد و چهل و پنج). اکنون داریم 864 (هشت و شصت و چهار) ده و 5 (پنج) واحد:

864 - 5 x 2 = 864 - 10 = 854

ما دوباره اقدامات خود را برای شماره تکرار می کنیم 854 (هشتصد و پنجاه و چهار) که در آن 85 (هشتاد و پنج) ده و 4 (چهار) واحد:

85 - 4 x 2 = 85 - 8 = 77

در اصل، در حال حاضر با چشم غیر مسلح قابل مشاهده است که شماره 77 (هفتاد و هفت) تقسیم بر 7 (هفت) و نتیجه این است 11 (یازده). ما قبلاً نتیجه مشابهی را در بالا در نظر گرفته ایم.

همانطور که می بینید، علائم واقعا پیچیده هستند. استفاده از آنها در ذهن شما دشوار است زیرا مقدار زیادیعملیات ساده ترین علامت سوم است، اما دو عمل نیز وجود دارد، اول ضرب و سپس تفریق، و برای اعداد بالای 700 باید چندین چرخه را انجام دهید.

تعیین تکلیف:

"تقسیم بر 7 را با عملیات ریاضی کمتر پیدا کنید."

من از ابزار TRIZ - IFR (نتیجه نهایی ایده آل) استفاده کردم.

خود عدد باید منبعی برای محاسبه فراهم کند.

و این منبع پیدا شد. اگر به جدول ضرب برای 7 نگاه کنید، محصولات آن دارای یک ویژگی متمایز هستند - رقم نهایی تکرار نمی شود: 0، 7، 14، 21، 28، 35، 42، 49، 56، 63، 70. در نگاه اول ، این کار را پیچیده می کند، زیرا .To. عددی که با هر انتهایی بررسی می شود می تواند بر 7 بخش پذیر باشد. اما طبق قانون TRIZ: "هرکس دخالت کند کمک می کند."ما باید از این دارایی به نفع خود استفاده کنیم.

با نگاهی به آخرین رقم در عدد مورد آزمایش، ما قبلاً یک نشانه از پاسخ را می دانیم - این عدد از جدول ضرب است که این نکته را می دهد. به عنوان مثال، اگر عدد مورد آزمایش 154 باشد، اگر بر 7 بخش پذیر باشد، آخرین رقم در پاسخ باید 2 باشد (7x2=14) و اگر عدد 259 باشد، رقم آخر پاسخ باید باشد. 7 (7x7=49).

در اینجا منبعی است که شما نیاز دارید - این جدول ضرب در 7 است - 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

ما فرض می کنیم که آن را در حافظه داریم. اکنون از عملکرد سومین (ساده ترین) ویژگی استفاده می کنیم - تفریقما یک آزمون جدید برای بخش پذیری بر 7 به دست می آوریم.

یک عدد زمانی بر 7 بخش پذیر است که نتیجه تفریق اولین رقم یک محصول شناخته شده از آن عدد بدون آخرین رقم بر 7 بخش پذیر باشد.

و حالا به زبان ساده.

- ما به عددی که بررسی می شود نگاه می کنیم، به عنوان مثال، 259 از قبل شناخته شده است.

- به 9 ختم می شود. منبع را از جدول ضرب می گیریم 49 . رقم اول آن است 4.

- بیایید این عدد را از 25 کم کنیم. 25 – 4 = 21

— پاسخ 21 است. بنابراین عدد بر 7 بخش پذیر است. اینگونه است: 259: 7 = 37. آخرین رقم 7 است، همانطور که انتظار داشتیم.

چند نمونه دیگر. آیا 756 بر 7 بخش پذیر است؟

به 6 ختم می شود. منبع 56 است. از 75 - 5 = 70 کم کنید. عدد بر 756 تقسیم می شود: 7 = 108

شماره 392. به 2 ختم می شود. منبع – 42. تفریق 39 -4 = 35. تقسیم 392: 7 = 56.

شماره 571. به 1 ختم می شود. منبع – 21. تفریق 57 – 2 = 55. غیر قابل تقسیم.

شماره 574. به 4 ختم می شود. منبع - 14. تفریق 57 - 1 = 56. تقسیم 574: 7 = 82

در این ویژگی، یک عملیات ریاضی - ضرب را حذف کردیم.

اضافه شدن

برای اعدادی که بیشتر از 700 مورد آزمایش قرار می‌گیرند، برای جلوگیری از تکرار چرخه‌ها، مانند علامت 3، از مضرب‌های هفت برای زیرمجموعه استفاده کنید.

به عنوان مثال عدد 973 را در نظر بگیرید. به 3 ختم می شود. منبع 63 است. 97 را تفریق کنید - 6 = 91. می توانید به چرخه دوم بروید یا می توانید نه 6، بلکه 76 را کم کنید. 97 - 76 = 21. تقسیم می کند. .

اضافات بر اساس سیستم اعداد هفت انجام می شود: 70، 140، 210 و غیره. بسته به تعداد مورد بررسی

1. این علامت را می توان به صورت ذهنی و بدون مشکل زیاد برای اعداد تا 1000 استفاده کرد، به شما کمک می کند تا مضرب های تقسیم را پیدا کنید.

2. همکاران، برای حل مشکلات خود از TRIZ استفاده کنید! این باعث صرفه جویی در زمان می شود. با در نظر گرفتن جستجوی آنالوگ ها در اینترنت، 3 ساعت طول کشید تا این نشانه تقسیم پذیری را پیدا کنم.

اگر این علامت برای کسی مفید باشد خوشحال خواهم شد.