چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را به روشی غیرمعمول پیدا کنیم. نحوه یافتن مساحت مثلث قائم الزاویه به روشی غیرعادی مساحت توسط هیپوتنوز و پا

در درس هندسه در دبیرستانبه همه ما در مورد مثلث گفته شده است. با این حال، به عنوان بخشی از برنامه درسی مدرسه، ما فقط بیشترین دریافت را داریم دانش لازمو متداول ترین و استانداردترین روش های محاسبه را بیاموزید. آیا راه های غیرمعمولی برای یافتن این مقدار وجود دارد؟

به عنوان مقدمه، به یاد بیاوریم که کدام مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته می شود و همچنین مفهوم مساحت را نشان می دهد.

مثلث قائم الزاویه یک شکل هندسی بسته است که یکی از زوایای آن برابر با 90 0 است. مفاهیم انتگرال در تعریف پاها و هیپوتونوس هستند. پاها به معنای دو ضلع است که در نقطه اتصال یک زاویه قائمه تشکیل می دهند. هیپوتنوز ضلعی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد. یک مثلث قائم الزاویه می تواند متساوی الساقین باشد (اندازه دو ضلع آن یکسان خواهد بود)، اما هرگز متساوی الاضلاع نخواهد بود (طول همه ضلع ها یکسان خواهد بود). ما در مورد تعاریف ارتفاع، میانه، بردارها و سایر اصطلاحات ریاضی به تفصیل بحث نمی کنیم. یافتن آنها در کتاب های مرجع آسان است.

مساحت مثلث قائم الزاویه. بر خلاف مستطیل ها، قانون در مورد

کار طرفین در تعیین مصداق ندارد. اگر به صورت خشک صحبت کنیم، مساحت یک مثلث به عنوان خاصیت این شکل برای اشغال بخشی از هواپیما که با عدد بیان می شود درک می شود. درک آن بسیار دشوار است، شما موافق خواهید بود. بیایید سعی نکنیم عمیقاً به این تعریف بپردازیم. بیایید به موضوع اصلی برویم - نحوه پیدا کردن منطقه مثلث قائم الزاویه? ما خود محاسبات را انجام نمی دهیم، فقط فرمول ها را نشان می دهیم. برای انجام این کار، بیایید نماد را تعریف کنیم: A، B، C - اضلاع مثلث، پاها - AB، BC. زاویه ACB مستقیم است. S مساحت مثلث است، h n n ارتفاع مثلث است، جایی که nn ضلعی است که در آن پایین آمده است.

روش 1. چگونه می توان مساحت یک مثلث قائم الزاویه را در صورتی که اندازه پاهای آن مشخص باشد، پیدا کرد.

روش 2. مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را پیدا کنید

روش 3. محاسبه مساحت با استفاده از مستطیل

مثلث قائمه را به یک مربع کامل می کنیم (اگر مثلث باشد

متساوی الساقین) یا مستطیل. یک چهار ضلعی ساده بدست می آوریم که از 2 مثلث قائم الزاویه یکسان تشکیل شده است. در این صورت مساحت یکی از آنها برابر با نصف مساحت شکل حاصل خواهد بود. S یک مستطیل از حاصل ضرب اضلاع محاسبه می شود. بیایید این مقدار را M نشان دهیم. مقدار مساحت مورد نظر برابر با نصف M خواهد بود.

روش 4. "شلوار فیثاغورثی." قضیه معروف فیثاغورث

همه ما فرمول آن را به یاد داریم: "مجموع مربع های پاها ...". اما همه نمی توانند

بگو، برخی از "شلوارها" چه ربطی به آن دارند؟ واقعیت این است که فیثاغورث در ابتدا رابطه بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را مطالعه کرد. او با شناسایی الگوهایی در نسبت اضلاع مربع ها، توانست فرمولی را استخراج کند که برای همه ما شناخته شده است. در مواردی که اندازه یکی از اضلاع مشخص نیست می توان از آن استفاده کرد.

روش 5. چگونه با استفاده از فرمول هرون مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم

این نیز یک روش نسبتاً ساده برای محاسبه است. این فرمول شامل بیان مساحت یک مثلث از طریق مقادیر عددی اضلاع آن است. برای محاسبات، باید اندازه تمام اضلاع مثلث را بدانید.

S = (p-AC)*(p-BC)، که در آن p = (AB+BC+AC)*0.5

علاوه بر موارد فوق، راه های زیادی برای یافتن اندازه چنین شکل مرموز مانند یک مثلث وجود دارد. از جمله: محاسبه به روش دایره محاطی یا محاطی، محاسبه با استفاده از مختصات رئوس، استفاده از بردارها، قدر مطلق، سینوس ها، مماس ها.

مثلث یک شکل هندسی مسطح با یک زاویه برابر 90 درجه است. علاوه بر این، در هندسه اغلب لازم است مساحت چنین شکلی محاسبه شود. ما به شما خواهیم گفت که چگونه این کار را بیشتر انجام دهید.

ساده ترین فرمول برای تعیین مساحت مثلث قائم الزاویه

داده های اولیه، که در آن: a و b اضلاع مثلثی هستند که از آن می آیند زاویه راست.

یعنی مساحت برابر نصف حاصلضرب دو ضلعی است که از زاویه راست امتداد می یابند. البته از فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث منظم استفاده می شود، اما برای تعیین مقدار باید طول سه ضلع را بدانید. بر این اساس، شما باید هیپوتانوس را محاسبه کنید، و این زمان اضافی است.

با استفاده از فرمول هرون مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید

این یک فرمول شناخته شده و اصلی است، اما برای این کار باید با استفاده از قضیه فیثاغورث، هیپوتانوس را در دو پایه محاسبه کنید.

در این فرمول: a, b, c اضلاع مثلث و p نیمه محیط است.

مساحت مثلث قائم الزاویه را با استفاده از فرضیه و زاویه پیدا کنید

اگر در مشکل شما هیچ یک از پاها شناخته شده نیست، بیشتر استفاده کنید به روشی سادهشما نمی توانید. برای تعیین مقدار باید طول پاها را محاسبه کنید. این کار را می توان به سادگی با استفاده از هیپوتانوس و کسینوس زاویه مجاور انجام داد.

b=c×cos(α)

هنگامی که طول یکی از پاها را دانستید، با استفاده از قضیه فیثاغورث می توانید ضلع دوم را که از زاویه راست خارج می شود محاسبه کنید.

b 2 =c 2 -a 2

در این فرمول، c و a به ترتیب هیپوتونوس و پا هستند. اکنون می توانید مساحت را با استفاده از فرمول اول محاسبه کنید. به همین ترتیب، می توانید یکی از پایه ها را با توجه به دوم و زاویه محاسبه کنید. در این صورت یکی از اضلاع مورد نیاز برابر با حاصل ضرب ساق و مماس زاویه خواهد بود. روش های دیگری نیز برای محاسبه مساحت وجود دارد، اما با دانستن قضایا و قواعد اولیه می توانید مقدار مورد نظر را به راحتی پیدا کنید.

اگر هیچ یک از ضلع های مثلث را ندارید، بلکه فقط میانه و یکی از زاویه ها را دارید، می توانید طول اضلاع را محاسبه کنید. برای این کار از خواص میانه استفاده کنید تا یک مثلث قائم الزاویه را به دو قسمت تقسیم کنید. بر این اساس، اگر از زاویه حاد خارج شود، می تواند به عنوان هیپوتونوس عمل کند. از قضیه فیثاغورث استفاده کنید و طول اضلاع مثلثی را که از زاویه قائم امتداد می یابند تعیین کنید.

همانطور که می بینید، با دانستن فرمول های پایه و قضیه فیثاغورث، می توانید مساحت یک مثلث قائم الزاویه را محاسبه کنید که تنها یکی از زوایا و طول یکی از اضلاع را دارد.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یکی از زوایای آن 90 درجه باشد. مساحت آن را می توان در صورتی یافت که دو طرف آن مشخص باشد. البته می‌توانید مسیر طولانی را انتخاب کنید - هیپوتانوس را پیدا کنید و مساحت را با استفاده از . به همین دلیل است که فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه به شکل زیر است:

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف حاصلضرب پاها است.

مثالی از محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه.
یک مثلث قائم الزاویه با پاها داده شده است الف= 8 سانتی متر، ب= 6 سانتی متر
ما مساحت را محاسبه می کنیم:
مساحت: 24 سانتی متر مربع

قضیه فیثاغورث برای مثلث قائم الزاویه نیز صدق می کند. – مجموع مجذور دو پایه برابر با مجذور هیپوتانوس است.
فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به همان روشی که برای مثلث قائم الزاویه منظم محاسبه می شود.

مثالی از محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین:
با توجه به یک مثلث با پاها الف= 4 سانتی متر، ب= 4 سانتی متر مساحت را محاسبه کنید:
مساحت را محاسبه کنید: = 8 سانتی متر مربع

فرمول مساحت یک مثلث قائم الزاویه بر اساس هیپوتنوز را می توان در صورتی که یک پا در شرایط داده شود استفاده کرد. از قضیه فیثاغورث طول پای مجهول را پیدا می کنیم. به عنوان مثال، با توجه به هیپوتانوز جو پا الف، پا ببرابر خواهد بود با:
در مرحله بعد، مساحت را با استفاده از فرمول معمول محاسبه می کنیم. مثالی از محاسبه فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه بر اساس هیپوتانوس با آنچه در بالا توضیح داده شد یکسان است.

در نظر بگیریم کار جالب، که به تثبیت دانش فرمول های حل مثلث کمک می کند.
وظیفه: مساحت مثلث قائم الزاویه 180 متر مربع است. ببینید، ساق کوچکتر مثلث را اگر 31 سانتی متر کمتر از دومی باشد، پیدا کنید.
راه حل: بیایید پاها را مشخص کنیم الفو ب. حالا بیایید داده ها را با فرمول مساحت جایگزین کنیم: همچنین می دانیم که یک پا کوچکتر از دیگری است الف – ب= 31 سانتی متر
از شرط اول آن را به دست می آوریم
جایگزین کنیم این شرایطبه معادله دوم:

از آنجایی که اضلاع را پیدا کردیم، علامت منفی را حذف می کنیم.
معلوم می شود که پا الف= 40 سانتی متر، الف ب= 9 سانتی متر

فرمول مساحتبرای تعیین مساحت یک شکل، که یک تابع با ارزش واقعی است که بر روی کلاس خاصی از شکل های صفحه اقلیدسی تعریف شده و 4 شرط را برآورده می کند، ضروری است:

1. مثبت - مساحت نمی تواند کمتر از صفر باشد.
2. عادی سازی - یک مربع با واحد جانبی دارای مساحت 1 است.
3. همخوانی - ارقام متجانس دارای مساحت مساوی هستند.
4. افزایشی - مساحت اتحاد 2 شکل بدون نقاط مشترک داخلی برابر است با مجموع مساحت این ارقام.