شرایط مرزی و اولیه یک معادله دیفرانسیل. I. شرایط مرزی از نوع اول. صحت تنظیم شرایط مرزی

همانطور که در مقدمه ذکر شد، معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم دارای تعداد بی نهایت جواب بسته به دو تابع دلخواه هستند. برای تعیین این توابع دلخواه، یا به عبارت دیگر، برای جداسازی راه حل خاصی که نیاز داریم، باید شرایط اضافی را بر تابع مورد نظر تحمیل کنیم. خواننده قبلاً هنگام حل معادلات دیفرانسیل معمولی با پدیده مشابهی روبرو شده است، زمانی که جداسازی یک راه حل مشترک از یک راه حل عمومی شامل فرآیند یافتن ثابت های دلخواه بر اساس شرایط اولیه داده شده است.

هنگام در نظر گرفتن مشکل نوسانات رشته، شرایط اضافی می تواند دو نوع باشد: اولیه و مرزی (یا مرزی).

شرایط اولیه نشان می دهد که رشته در لحظه شروع ارتعاش در چه وضعیتی بوده است. راحت تر است که فرض کنیم رشته در لحظه شروع به ارتعاش کرده است. موقعیت اولیه نقاط رشته با شرط داده می شود

و سرعت اولیه

توابع داده شده کجا هستند

نماد و به این معنی است که تابع برای یک مقدار دلخواه و برای، یعنی مشابه با . این شکل از ضبط به طور مداوم در آینده استفاده می شود. بنابراین، به عنوان مثال، و غیره

شرایط (1.13) و (1.14) مشابه شرایط اولیه در ساده ترین مسئله دینامیک هستند. نقطه مادی. وجود دارد برای تعیین قانون حرکت یک نقطه، علاوه بر معادله دیفرانسیل، باید موقعیت اولیه نقطه و سرعت اولیه آن را بدانید.

شرایط مرزی ویژگی متفاوتی دارند. آنها نشان می دهند که در تمام طول ارتعاش در انتهای رشته چه اتفاقی می افتد. در ساده‌ترین حالت، زمانی که انتهای رشته ثابت است (ابتدای رشته در مبدأ مختصات و انتهای آن در نقطه است، تابع از شرایط پیروی می‌کند.

خواننده هنگام مطالعه خمش تیری که بر روی دو تکیه گاه قرار دارد تحت تأثیر بار استاتیک دقیقاً با شرایط مشابهی در دوره مقاومت مصالح مواجه شد.

معنای فیزیکی این واقعیت که مشخصات شرایط اولیه و مرزی به طور کامل فرآیند را تعیین می کند را می توان به راحتی در مورد نوسانات آزاد رشته دنبال کرد.

به عنوان مثال، اجازه دهید یک رشته ثابت در انتها به نحوی به عقب کشیده شود، یعنی یک تابع - معادله شکل اولیه رشته - تنظیم شده است، و بدون سرعت اولیه آزاد می شود (این بدان معنی است که) واضح است که توسط این ماهیت بیشتر نوسانات به طور کامل مشخص می شود و ما با حل یک تابع منحصر به فرد را پیدا خواهیم کرد معادله همگنتحت شرایط مناسب شما می توانید به روش دیگری، یعنی با دادن سرعت اولیه مشخص به نقاط رشته، باعث لرزش رشته شوید. از نظر فیزیکی واضح است که در این صورت روند بعدی نوسانات به طور کامل مشخص خواهد شد. سرعت اولیه را می توان با ضربه زدن به سیم به نقاط سیم منتقل کرد (همانطور که در هنگام نواختن پیانو وجود دارد). اولین روش برای مهیج کردن یک سیم هنگام نواختن سازهای کنده شده (مثلاً گیتار) استفاده می شود.

اجازه دهید در نهایت مسئله ریاضی را فرموله کنیم که مطالعه ارتعاشات آزاد یک ریسمان متصل در هر دو سر به آن منتهی می شود.

حل معادله دیفرانسیل جزئی خطی همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت لازم است.

دمای سطح بدن را در هر زمان تعیین می کند، یعنی

T s = T s (x، y، z، t) (2.15)

برنج. 2.4 - شرایط مرزی همدما.

مهم نیست که دمای داخل بدن چگونه تغییر می کند، دمای نقاط روی سطح از معادله (2.15) تبعیت می کند.

منحنی توزیع دما در بدن (شکل 2.4) در مرز بدنه دارای یک دستور مشخص است. تی اس ، که ممکن است در طول زمان تغییر کند. یک مورد خاص از یک شرط مرزی از نوع اول است همدماشرایط مرزی که در آن دمای سطح بدن در کل فرآیند انتقال حرارت ثابت می ماند:

Ts = Const.

برنج. 2.5 - شرایط نوع اول

برای تصور چنین حالتی از بدن، لازم است فرض کنیم که به طور متقارن با منبع گرمایی که در بدن عمل می کند، منبع گرمای ساختگی دیگری در خارج از آن وجود دارد که علامت منفی دارد (به اصطلاح هیت سینک). علاوه بر این، خواص این هیت سینک دقیقاً با خواص منبع حرارت واقعی مطابقت دارد و توزیع دما با همان عبارت ریاضی توصیف می شود. اثر کلی این منابع منجر به برقراری دمای ثابت در سطح بدن در مورد خاص می شود T = 0 8C ، در حالی که در داخل بدن دمای نقاط به طور مداوم تغییر می کند.

شرط مرزی نوع دوم

چگالی را تعریف می کند جریان گرمادر هر نقطه از سطح بدن در هر زمان، به عنوان مثال.

طبق قانون فوریه، چگالی شار حرارتی با گرادیان دما نسبت مستقیم دارد. بنابراین، میدان دما در مرز دارای یک گرادیان معین است (شکل b)، در ثابت های مورد خاص، زمانی که

یک مورد خاص از شرایط مرزی نوع دوم، شرایط مرزی آدیاباتیک است، زمانی که جریان گرما از سطح بدن صفر است (شکل 2.6)، یعنی.

برنج. 2.6 - شرایط مرزی نوع دوم

در محاسبات فنی، اغلب مواردی وجود دارد که جریان گرما از سطح یک جسم در مقایسه با جریان های داخل بدن کم است. سپس می توانیم این مرز را به عنوان آدیاباتیک بپذیریم. هنگام جوشکاری، چنین موردی را می توان با نمودار زیر نشان داد (شکل 2.7).

برنج. 2.7 - شرایط نوع دوم

در نقطه در مورد منبع گرما فعال است برای تحقق این شرط که مرز اجازه عبور گرما را نمی دهد، باید همان منبع را در خارج از بدن، به صورت متقارن با این منبع، در نقطه قرار داد. O 1 ، و جریان گرما از آن بر خلاف جریان منبع اصلی هدایت می شود. آنها یکدیگر را خنثی می کنند، یعنی مرز اجازه عبور گرما را نمی دهد. با این حال، اگر این جسم بی نهایت باشد، دمای لبه بدن دو برابر می شود. این روش جبران جریان گرما را روش انعکاس می نامند، زیرا در این مورد مرز غیرقابل نفوذ گرما را می توان به عنوان مرزی در نظر گرفت که جریان گرمایی حاصل از فلز را منعکس می کند.

شرط مرزی نوع سوم.

دمای محیط و قانون تبادل حرارت بین سطح بدن و محیط را تعیین می کند. ساده‌ترین شکل شرط مرزی نوع سوم در صورتی به دست می‌آید که انتقال حرارت در مرز با معادله نیوتن مشخص شود، که بیان می‌کند چگالی شار حرارتی انتقال حرارت از طریق سطح مرزی به طور مستقیم با اختلاف دما بین سطح مرز و محیط

چگالی شار حرارتی که از سمت بدنه به سطح مرزی جریان دارد، طبق قانون فوریه، با گرادیان دما در سطح مرزی نسبت مستقیم دارد:

با معادل سازی جریان گرمایی که از بدن به جریان انتقال گرما می رسد، یک شرط مرزی از نوع سوم به دست می آوریم:

,

بیان می کند که گرادیان دما در سطح مرزی با اختلاف دمای سطح بدن و محیط نسبت مستقیم دارد. این شرط مستلزم آن است که مماس بر منحنی توزیع دما در نقطه مرزی از نقطه راهنما عبور کند در موردبا دمایی که در خارج از بدن در فاصله ای از سطح مرزی قرار دارد (شکل 2.8).

شکل 2.8 - شرایط مرزی از نوع 3

از شرط مرزی نوع 3 می توان به عنوان به دست آورد مورد خاصشرایط مرزی همدما اگر با ضریب انتقال حرارت بسیار زیاد یا ضریب هدایت حرارتی بسیار پایین رخ می دهد، پس:

و، یعنی دمای سطح بدن در کل فرآیند انتقال حرارت ثابت بوده و برابر با دمای محیط است.

یک معادله حرکت (1.116) برای توصیف ریاضی یک فرآیند فیزیکی کافی نیست. لازم است شرایط کافی برای یک تعریف روشن از فرآیند تدوین شود. هنگام در نظر گرفتن مشکل ارتعاش رشته، شرایط اضافی می تواند دو نوع باشد: اولیه و مرزی (لبه).

اجازه دهید شرایط اضافی را برای یک رشته با انتهای ثابت فرمول بندی کنیم. از آنجایی که انتهای رشته طول ثابت است، انحراف آنها در نقاط و باید برابر با صفر برای هر یک از موارد زیر باشد:

شرایط (1.119) نامیده می شود مرزیشرایط؛ آنها آنچه را که در انتهای رشته در طول فرآیند ارتعاش اتفاق می افتد نشان می دهند.

بدیهی است که فرآیند نوسان به چگونگی خارج شدن رشته از حالت تعادل بستگی دارد. راحت تر است که فرض کنیم رشته در زمان شروع به ارتعاش کرده است. در لحظه اولیه زمان، به تمام نقاط رشته مقداری جابجایی و سرعت داده می شود:

,

, ,

(1.120)

که در آن و توابع داده می شود.

شرایط (1.120) نامیده می شود اولیهشرایط

بنابراین، مسئله فیزیکی نوسانات رشته به مسئله ریاضی زیر کاهش یافته است: یافتن راه حلی برای معادله (1.116) (یا (1.117) یا (1.118)) که شرایط مرزی (1.119) و شرایط اولیه (1.19) را برآورده کند. 1.120). این مسئله یک مسئله مقدار مرزی مختلط نامیده می شود، زیرا شامل هر دو شرایط مرزی و اولیه است. ثابت شده است که تحت محدودیت های معینی که بر روی توابع اعمال می شود، مسئله مختلط راه حل منحصر به فردی دارد.

به نظر می رسد که علاوه بر مشکل نوسانات رشته، بسیاری از مشکلات فیزیکی دیگر را می توان به مسئله (1.116)، (1.119)، (1.120) کاهش داد: ارتعاشات طولیمیله الاستیک، ارتعاشات پیچشی شفت، ارتعاشات مایعات و گاز در لوله و غیره.

علاوه بر این شرایط مرزی(1.119) شرایط مرزی انواع دیگر امکان پذیر است. رایج ترین آنها موارد زیر است:

من , ;

II. , ;

III. , ,

که در آن، توابع شناخته شده، و، ثابت شناخته شده هستند.

شرایط مرزی داده شده را به ترتیب شرایط مرزی نوع اول، دوم و سوم می نامند. اگر انتهای جسم (رشته، میله، و غیره) طبق قانون معین حرکت کنند، شرایط I رخ می دهد. شرایط II - در صورتی که نیروهای مشخصی به انتهای آن اعمال شود. شرایط III - در مورد چسباندن الاستیک انتهای آن.

اگر توابع مشخص شده در سمت راست برابری ها برابر با صفر باشند، شرایط مرزی فراخوانی می شود. همگنبنابراین، شرایط مرزی (1.119) همگن هستند.

با ترکیب انواع مختلف فهرست شده از شرایط مرزی، شش نوع از ساده ترین مسائل مقدار مرزی را به دست می آوریم.

مسئله دیگری را می توان برای معادله (1.116) مطرح کرد. بگذارید تار به اندازه کافی بلند باشد و ما به ارتعاشات نقاط آن که به اندازه کافی از انتهای آن فاصله دارند و در مدت زمان کوتاهی علاقه مندیم. در این حالت، حالت در انتها تأثیر قابل توجهی نخواهد داشت و بنابراین در نظر گرفته نمی شود. رشته بی نهایت در نظر گرفته می شود. به جای مشکل کاملیک مسئله حدی با شرایط اولیه برای یک دامنه نامحدود ایجاد کنید: یک راه حل برای معادله (1.116) برای برای پیدا کنید، که شرایط اولیه را برآورده کند:

, .

منطقه مورد نظر به ترتیب.

معمولا یک معادله دیفرانسیل یک راه حل ندارد، بلکه یک خانواده کامل از آنها را دارد. شرایط اولیه و مرزی به شما این امکان را می دهد که یکی از آنها را انتخاب کنید که با یک فرآیند یا پدیده فیزیکی واقعی مطابقت دارد. در نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی، قضیه ای در مورد وجود و منحصر به فرد بودن راه حل یک مسئله با شرط اولیه (به اصطلاح مسئله کوشی) به اثبات رسیده است. برای معادلات دیفرانسیل جزئی، قضایایی در مورد وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌ها برای کلاس‌های معینی از مسائل مقدار اولیه و مرزی به دست می‌آید.

اصطلاحات

گاهی اوقات شرایط اولیه در مسائل غیر ثابت، مانند حل معادلات هذلولی یا سهمی، نیز شرایط مرزی در نظر گرفته می شود.

برای مسائل ثابت، شرایط مرزی به تقسیم بندی وجود دارد اصلیو طبیعی.

شرایط اصلی معمولاً به شکلی است که مرز منطقه است.

شرایط طبیعی همچنین مشتقات محلول را در امتداد نرمال تا مرز شامل می شود.

مثال

این معادله حرکت یک جسم را در میدان گرانش توصیف می کند. با هر تابع درجه دوم شکل، جایی که اعداد دلخواه هستند، ارضا می شود. برای شناسایی یک قانون حرکت خاص، لازم است مختصات اولیه بدن و سرعت آن، یعنی شرایط اولیه مشخص شود.

صحت تنظیم شرایط مرزی

وظایف فیزیک ریاضیواقعی را توصیف کنید فرآیندهای فیزیکیو بنابراین فرمولاسیون آنها باید الزامات طبیعی زیر را برآورده کند:

1. راه حل باید وجود داشته باشددر برخی از کلاس های توابع؛
2. راه حل باید باشد تنهادر برخی از کلاس های توابع؛
3. راه حل باید به طور مداوم به داده ها وابسته است(شرایط اولیه و مرزی، ترم آزاد، ضرایب و غیره).

نیاز به وابستگی مداوم راه حل با این واقعیت تعیین می شود که داده های فیزیکی، به عنوان یک قاعده، تقریباً از آزمایش تعیین می شوند، و بنابراین باید مطمئن بود که راه حل مسئله در چارچوب انتخاب شده است. مدل ریاضیبه طور قابل توجهی به خطای اندازه گیری بستگی نخواهد داشت. از نظر ریاضی، این شرط را می توان به عنوان مثال به این صورت نوشت (برای استقلال از عبارت آزاد):

اجازه دهید دو معادله دیفرانسیل داده شود: با عملگرهای دیفرانسیل یکسان و شرایط مرزی یکسان، سپس جواب آنها به طور پیوسته به جمله آزاد بستگی دارد اگر:

مجموعه ای از توابع که الزامات ذکر شده برای آنها برآورده شده است نامیده می شود کلاس صحت. تنظیم نادرست شرایط مرزی با مثال هادامارد به خوبی نشان داده شده است.

همچنین ببینید

• شرایط مرزی نوع اول (مسئله دیریکله)، en:شرایط مرزی دیریکله
• شرایط مرزی نوع دوم (مسئله نیومن)، en:شرایط مرزی نویمان
• شرایط مرزی از نوع 3 (مسئله رابین)، en:شرایط مرزی رابین
• شرایط برای تماس حرارتی ایده آل، en: تماس حرارتی کامل

ادبیات

بنیاد ویکی مدیا

2010.

ببینید «شرایط اولیه و مرزی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

در نظریه معادلات دیفرانسیل، شرایط اولیه و مرزی اضافاتی به معادله دیفرانسیل اصلی (دیفرانسیل معمولی یا جزئی) هستند که رفتار آن را در زمان اولیه یا در مرز در نظر گرفته شده مشخص می کنند... ویکی پدیا مسئله نویمان در معادلات دیفرانسیلمشکل ارزش مرزی

با شرایط مرزی داده شده برای مشتق تابع مورد نظر در مرز منطقه، به اصطلاح شرایط مرزی نوع دوم. بر اساس نوع دامنه می توان مسائل نویمان را به دو ... ویکی پدیاشرایط مرزی

ببینید «شرایط اولیه و مرزی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

- شرایط فیزیکی رسمی در مرز منطقه تغییر شکل یا مدل ریاضی آنها، که همراه با سایر موارد، دستیابی به یک راه حل منحصر به فرد را برای مشکلات درمان فشار ممکن می کند. شرایط مرزی به دو دسته تقسیم می شوند...شرایط اولیه - توصیف وضعیت بدن قبل از تغییر شکل. معمولاً در لحظه اولیه مختصات اویلر نقاط xi0 سطح بدن، تنش، سرعت، چگالی، دما در هر نقطه M از بدن داده می شود. منطقه دیه فضا،......فرهنگ لغت دایره المعارفی

در متالورژی- نسبت معینی در هنگام نورد، اتصال زاویه چنگال و ضریب یا زاویه اصطکاک که در آن جذب اولیه فلز توسط رول ها و پر شدن منطقه تغییر شکل تضمین می شود. همچنین ببینید: شرایط کار ... فرهنگ لغت دایره المعارف متالورژی

شرایط- : همچنین رجوع کنید به: شرایط کار دیفرانسیل شرایط تعادل مشخصات فنی(TU) شرایط اولیه ... فرهنگ لغت دایره المعارف متالورژی

شرایط کار- مجموعه ای از ویژگی های بهداشتی و بهداشتی محیط خارجی(دما و رطوبت، گرد و غبار، سر و صدا و غیره) که در آن فرآیندهای تکنولوژیکی انجام می شود. در روسیه توسط نیروی کار تنظیم می شود... ... فرهنگ لغت دایره المعارف متالورژی

ببینید «شرایط اولیه و مرزی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

کتاب ها

• روش های عددی برای حل مسائل فیزیک ریاضی، سامارسکی A.A. در دروس سنتی روش های حل مسائل فیزیک ریاضی، مسائل مستقیم در نظر گرفته شده است. در این حالت راه حل از معادلات دیفرانسیل جزئی مشخص می شود که تکمیل ...

شرایط اولیه

برای اینکه بتوانیم تغییرات دما را در نقاطی از بدن در یک جهت یا جهت در لحظات بعدی بشماریم، باید حالت اولیه حرارتی اولیه برای هر نقطه از بدن مشخص شود. به عبارت دیگر، یک تابع مختصات پیوسته یا ناپیوسته T0 (x, y, z) باید مشخص شود که به طور کامل وضعیت دما را در تمام نقاط بدن در زمان اولیه t = 0 و تابع مورد نظر T (x, y) را توصیف کند. , z, t) که راه حلی برای معادله دیفرانسیل (1.8) است، باید شرط اولیه را برآورده کند.

T (x، y، z، 0i=o = T0 (x، y، z). (1.11)

شرایط مرزی

یک جسم رسانای گرما می تواند در معرض شرایط مختلف تأثیر حرارتی خارجی از طریق سطح خود قرار گیرد. بنابراین، از بین تمام راه حل های معادله دیفرانسیل (1.8)، باید راه حلی را انتخاب کنید که شرایط داده شده در سطح S را برآورده کند، یعنی این شرایط مرزی خاص. اشکال زیر برای مشخصات ریاضی شرایط مرزی استفاده می شود.

1. درجه حرارت در هر نقطه از سطح بدن می تواند در طول زمان بر اساس یک قانون خاص تغییر کند، یعنی دمای سطح بدن یک تابع پیوسته (یا ناپیوسته) از مختصات و زمان Ts (x، y، z، i). در این حالت تابع مورد نظر T (x, y, z, t) که حل معادله (8/1) است باید شرط مرزی را برآورده کند.

T (x، y، z، 0 Is = Ts (x، y، z، i). (1.12)

در ساده ترین موارد، دمای سطح بدن 7 (x, y, z, t) می تواند باشد. تابع دوره ایزمان یا می تواند ثابت باشد.

2. جریان گرما از طریق سطح جسم به عنوان تابع پیوسته (یا ناپیوسته) مختصات نقاط سطح و زمان qs (x، y، z، I) شناخته می شود. سپس تابع T (x، y، z، I) باید شرط مرزی را برآورده کند:

X درجه T (x، y، z، 0U = Qs (*. Y> z> 0- (1 -13)

3. دمای محیط Ta و قانون تبادل حرارت بین محیط و سطح بدن آورده شده است که برای سادگی از قانون نیوتن استفاده شده است. مطابق با این قانون، مقدار گرمای dQ منتشر شده است

در طول زمان dt عنصر سطح dS با دما

Ts (x، y، z، t) به محیط با فرمول تعیین می شود

dQ = k (Ts - Ta) dS dt، (1.14)

که در آن k ضریب انتقال حرارت بر حسب cal/cm2 - sec-°C است. از طرفی مطابق فرمول (1.6) همان مقدار گرما از داخل به عنصر سطحی وارد می شود و با تساوی تعیین می شود.

dQ = - x (grad7")s dS dt. (1.15)

با معادل سازی (1.14) و (1.15)، به این نتیجه می رسیم که تابع مورد نظر T (x، y، z، t) باید شرط مرزی را برآورده کند.

(gradnr)s = -±-(Ts-Ta). (1.16)

همانطور که در بالا ذکر شد، هنگام اتصال دو بخش از یک سازه در هنگام نصب، شرایط جوشکاری سخت ترین است. جوشکاری کل مقطع به طور همزمان کاملا غیرممکن است و بنابراین پس از اجرای بخشی از درزها...

اگر تغییر شکل‌های کلی سازه‌های جوش‌کاری شده تا حد زیادی تحت‌تاثیر توالی اعمال درزهای منفرد باشد، تغییر شکل‌ها و تغییر شکل‌های موضعی خارج از صفحه ورق‌های در حال جوش به‌طور قابل‌توجهی تحت تأثیر روش ساخت هر درز قرار می‌گیرند. ...

همانطور که در بالا ذکر شد، هنگام جوشکاری مقاطع و سازه های مرکب پیچیده، ماهیت تغییر شکل های حاصل به ترتیب اعمال درزها بستگی دارد. بنابراین یکی از ابزارهای اصلی مبارزه با تغییر شکل در ساخت سازه های جوشی ...