اعداد طبیعی، اعداد صحیح، گویا، غیر منطقی، جبری، ماورایی. عدد ماورایی گزیده ای که عدد ماورایی را توصیف می کند

ایلیا شچوروف

ریاضیدان ایلیا شووروف در مورد کسرهای اعشاری، ماورایی و غیرمنطقی بودن عدد پی.

چگونه "یک" به ساختن اولین شهرها و امپراتوری های بزرگ کمک کرد؟ چگونه به ذهن برجسته بشریت الهام بخشید؟ او چه نقشی در پیدایش پول داشت؟ چگونه "یک" با صفر با هم متحد شد تا حکومت کند دنیای مدرن? تاریخ این واحد به طور جدایی ناپذیر با تاریخ تمدن اروپا پیوند خورده است. تری جونز به یک سفر طنز می رود تا داستان شگفت انگیز عدد اول ما را جمع آوری کند. با استفاده از گرافیک کامپیوتری در این برنامه، واحد به اشکال مختلف زنده می شود. تاریخچه این واحد روشن می کند که اعداد مدرن از کجا آمده اند و چگونه اختراع صفر ما را از استفاده از اعداد رومی نجات داد.

ژاک سسیانو

ما اطلاعات کمی در مورد دیوفانتوس داریم. فکر کنم در اسکندریه زندگی می کرد. هیچ یک از ریاضیدانان یونانی قبل از قرن چهارم از او یاد نمی کنند، بنابراین او احتمالاً در اواسط قرن سوم زندگی می کرده است. مهمترین اثر دیوفانتوس، «حساب» (Ἀριθμητικά) در آغاز 13 «کتاب» (βιβλία) یعنی فصلها اتفاق افتاده است. امروز 10 مورد از آنها داریم، یعنی: 6 مورد در متن یونانی و 4 مورد دیگر در ترجمه عربی قرون وسطی که جای آنها در وسط کتابهای یونانی است: کتابهای I-III به یونانی، IV-VII به زبان عربی، VIII-X. به زبان یونانی . "حساب" دیوفانتوس اساساً مجموعه ای از مسائل است که در مجموع حدود 260 مسئله است. فقط وجود دارد دستورالعمل های کلیدر مقدمه کتاب و نظرات خصوصی در برخی مشکلات در صورت لزوم. «حساب» قبلاً ویژگی های یک رساله جبری را دارد. اولین استفاده های دیوفانتوس نشانه های مختلفبرای بیان مجهول و قوای آن، همچنین برخی از محاسبات. مانند تمام نمادهای جبری قرون وسطی، نمادگرایی آن از کلمات ریاضی می آید. سپس، دیوفانتوس چگونگی حل مسئله را به صورت جبری توضیح می دهد. اما مسائل دیوفانتوس به معنای معمول جبری نیستند، زیرا تقریباً همه آنها به حل یک معادله نامعین یا سیستم هایی از این معادلات خلاصه می شوند.

گئورگی شابات

برنامه دوره: تاریخ. اولین برآوردها مشکل قیاس پذیری محیط دایره با قطر آن. سری بی نهایت، محصولات و عبارات دیگر برای π. همگرایی و کیفیت آن عبارات حاوی π. دنباله هایی که به سرعت به π همگرا می شوند. روش های مدرنمحاسبات π، استفاده از کامپیوتر. در مورد غیرمنطقی بودن و ماورایی π و برخی اعداد دیگر. هیچ دانش قبلی برای درک دوره مورد نیاز نیست.

دانشمندان دانشگاه آکسفورد گفتند که اولین استفاده شناخته شده از عدد 0 برای نشان دادن عدم وجود ارزش مکانی (مانند عدد 101) را باید متن نسخه خطی بخشعلی هندی در نظر گرفت.

واسیلی پیسپانن

چه کسی در کودکی بازی "نام بزرگترین عدد" را انجام نداده است؟ تصور میلیون‌ها، تریلیون‌ها و سایر "-on"ها در ذهن شما دشوار است، اما ما سعی خواهیم کرد "ماستودون" را در ریاضیات - عدد گراهام - درک کنیم.

ویکتور کلپسین

یک عدد واقعی را می توان با دقت مورد نظر توسط اعداد گویا تقریب زد. چنین تقریبی در مقایسه با پیچیدگی آن چقدر می تواند خوب باشد؟ برای مثال، با شکستن نماد اعشاری عدد x در رقم kthبعد از نقطه اعشار، تقریبی x≈a/10^k با خطای مرتبه 1/10^k به دست می آید. و به طور کلی با ثابت کردن مخرج q کسری تقریبی می‌توانیم تقریبی با خطای 1/q به دست آوریم. آیا امکان انجام بهتر وجود دارد؟ تقریب آشنا π≈22/7 خطای 1/1000 را می دهد - یعنی به وضوح بسیار بهتر از چیزی که انتظار می رود. چرا؟ آیا ما خوش شانس هستیم که π چنین تقریبی دارد؟ معلوم می شود که برای هر عدد غیر منطقی بی نهایت کسری p/q وجود دارد که آن را بهتر از 1/q^2 تقریب می کند. این همان چیزی است که قضیه دیریکله بیان می کند - و ما دوره را با اثبات کمی غیر متعارف آن شروع می کنیم.

در سال 1980، کتاب رکوردهای گینس ادعاهای گاردنر را تکرار کرد و باعث افزایش علاقه عمومی به این تعداد شد. عدد گراهام نسبت به سایر اعداد بزرگ شناخته شده مانند googol، googolplex و حتی بزرگتر از عدد Skewes و Moser عدد غیرقابل تصوری است. در واقع، کل جهان قابل مشاهده بسیار کوچکتر از آن است که نماد اعشاری معمولی عدد گراهام را شامل شود.

دیمیتری آنوسوف

سخنرانی ها توسط دیمیتری ویکتوروویچ آنوسوف، دکترای علوم فیزیک و ریاضی، پروفسور، آکادمیسین آکادمی علوم روسیه ارائه می شود. مدرسه تابستانی«ریاضیات مدرن»، دوبنا. 16-18 جولای 2002

پاسخ صحیح به این سوال غیرممکن است، زیرا سری اعدادحد بالایی ندارد بنابراین، به هر عددی فقط باید یک عدد اضافه کنید تا عدد بزرگتری بدست آورید. اگرچه اعداد خود نامتناهی هستند، اما اسامی مناسب زیادی ندارند، زیرا اکثر آنها به نام هایی که از اعداد کوچکتر تشکیل شده اند بسنده می کنند. واضح است که در مجموعه نهایی اعدادی که بشریت نام خود را به آنها داده است، باید تعدادی وجود داشته باشد بزرگترین عدد. اما چه نام دارد و چه معادلی دارد؟ بیایید سعی کنیم این را بفهمیم و در عین حال بفهمیم که ریاضیدانان چگونه اعداد بزرگی به دست آورده اند.

عدد ماورایی

عددی (واقعی یا خیالی) که هیچ کدام را راضی نمی کند معادله جبری(به معادله جبری مراجعه کنید) با ضرایب صحیح. بنابراین، اعداد اعداد در مقابل اعداد جبری قرار می گیرند (به عدد جبری مراجعه کنید). وجود T. ch برای اولین بار توسط J. Liouville (1844) ایجاد شد. نقطه شروع لیوویل قضیه او بود که طبق آن ترتیب تقریب کسری گویا با مخرج معین به یک عدد جبری غیرمنطقی معین نمی تواند به طور دلخواه زیاد باشد. یعنی اگر عدد جبری الفمعادله جبری تقلیل ناپذیر درجه را برآورده می کند nبا ضرایب صحیح، پس برای هر عدد گویا c فقط به α ). بنابراین، اگر برای یک عدد غیرمنطقی مفروض α می‌توان مجموعه بی‌نهایتی از تقریب‌های گویا را مشخص کرد که نابرابری داده‌شده را برای هیچ کدام برآورده نمی‌کند. باو n(برای همه تقریب ها یکسان است)، سپس α T. h است. مثالی از چنین عددی می دهد:

گواه دیگری مبنی بر وجود اعداد T توسط G. Cantor (1874) ارائه شد، و اشاره کرد که مجموعه تمام اعداد جبری قابل شمارش هستند (یعنی همه اعداد جبریممکن است شماره گذاری مجدد شود. به نظریه مجموعه ها مراجعه کنید)، در حالی که مجموعه تمام اعداد واقعی غیرقابل شمارش است.

از این نتیجه می‌شود که مجموعه اعداد غیرقابل شمارش است، و علاوه بر این، اعداد بخش عمده‌ای از مجموعه همه اعداد را تشکیل می‌دهند. مهمترین وظیفه نظریه T. ch این است که بفهمد آیا T. chتوابع تحلیلی

، دارای خصوصیات حسابی و تحلیلی خاصی برای مقادیر جبری استدلال است. مسائلی از این دست از دشوارترین مسائل ریاضیات مدرن هستند. در سال 1873، سی. هرمیت ثابت کرد که عدد نپرو در سال 1882، ریاضیدان آلمانی F. Lindemann نتیجه کلی تری به دست آورد: اگر α یک عدد جبری باشد، پسα - نتیجه لیپدمان به طور قابل توجهی توسط ریاضیدان آلمانی K. Siegel (1930) تعمیم داده شد، که به عنوان مثال، برتری مقدار یک کلاس وسیع از توابع استوانه ای را برای مقادیر جبری استدلال ثابت کرد. در سال 1900، در كنگره رياضي پاريس، دي هيلبرت، در ميان 23 مسئله حل نشده رياضيات، به موارد زير اشاره كرد: يك عدد ماورايي است. α β ، کجا α و β - اعداد جبری و β - یک عدد غیر منطقی، و به ویژه، عدد e π ماورایی است (مسئله ماورایی اعداد شکل α β اولین بار به صورت خصوصی توسط L. Euler، 1744 به صحنه رفت. یک راه حل کامل برای این مشکل (به معنای مثبت) تنها در سال 1934 توسط A. O. Gelfond u به دست آمد. از کشف گلفوند، به ویژه، چنین بر می آید که تمام لگاریتم های اعشاری اعداد طبیعی (یعنی "لگاریتم های جدولی") اعداد صحیح هستند.

روشن: Gelfond A. O.، اعداد متعالی و جبری، M.، 1952.

بزرگ دایره المعارف شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «عدد ماورایی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

عددی که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده نمی کند. اعداد ماورایی عبارتند از: عدد??3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e=2.71828... و دیگران... بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفی

- (از لاتین transcendere به بیش از، پیشی گرفتن) این واقعی است یا عدد مختلط، که جبری نیست، به عبارت دیگر عددی است که نمی تواند ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد. مطالب 1 خواص 2 ... ... ویکی پدیا

عددی که هیچ معادله جبری با ضرایب صحیح را برآورده نمی کند. اعداد ماورایی عبارتند از: عدد π = 3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e = 2.71828... و غیره فرهنگ لغت دایره المعارفی

عددی که هیچ جبری را برآورده نمی کند. معادله با ضرایب صحیح از جمله: عدد PI = 3.14159...; لگاریتم اعشاری هر عدد صحیحی که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. شماره e = 2.71828... و غیره علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

عددی که ریشه هیچ چند جمله ای با ضرایب صحیح نباشد. دامنه تعریف چنین اعدادی، صفرهای اعداد حقیقی، مختلط و ریشه ای است. وجود و ساخت صریح قطعات واقعی توسط J. Liouville اثبات شد... ... دایره المعارف ریاضی

معادله ای که جبری نیست. معمولاً اینها معادلاتی هستند که شامل توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، معکوس مثلثاتی هستند، به عنوان مثال: تعریف دقیق تر این است: یک معادله ماورایی یک معادله است ... ویکی پدیا

عددی تقریباً برابر با 2.718 که اغلب در ریاضیات و علوم طبیعی. به عنوان مثال، هنگامی که یک ماده رادیواکتیو پس از زمان t تجزیه می شود، کسری برابر با e kt از مقدار اولیه ماده باقی می ماند که k یک عدد است،... ... دایره المعارف کولیر

E یک ثابت ریاضی، پایه لگاریتم طبیعی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر (نباید با اعداد اویلر نوع اول اشتباه گرفت) یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین “e” مشخص می شود... ... ویکی پدیا

E یک ثابت ریاضی، پایه لگاریتم طبیعی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر (نباید با اعداد اویلر نوع اول اشتباه گرفت) یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین “e” مشخص می شود... ... ویکی پدیا

کلمه "استعلایی" معمولاً با مراقبه متعالی و باطنی گرایی های مختلف همراه است. اما برای استفاده صحیح از آن، حداقل باید آن را از اصطلاح «استعلایی» متمایز کنید، و حداکثر نقش آن را در آثار کانت و دیگر فیلسوفان به خاطر بسپارید.

این مفهوم از لاتین transcendens - "فراتر از"، "برتر شدن"، "فراتر رفتن" آمده است. به طور کلی، چیزی را نشان می دهد که اساساً برای دانش تجربی غیرقابل دسترسی است یا مبتنی بر تجربه نیست. پیش نیازهای این اصطلاح در فلسفه نوافلاطونی به وجود آمد - بنیانگذار جنبش، فلوطین، آموزه یگانه را ایجاد کرد - اصل اولی همه خیر، که نه با تلاش فکر و نه با کمک حس قابل درک نیست. تجربه فیلسوف توضیح می دهد: «یگانه موجود نیست، بلکه والد آن است».

اصطلاح «استعلایی» به‌طور کامل در فلسفه امانوئل کانت آشکار شد، جایی که برای توصیف آنهایی که مستقل از آگاهی وجود دارند و بر حواس ما عمل می‌کنند، استفاده شد، در حالی که اساساً چه در عمل و چه در تئوری ناشناخته باقی می‌مانند. نقطه مقابل تعالی این است: یا به معنای غیرقابلیت است، یا پیوند درونی هر کیفیتی از یک شیء با خود شی، یا قابل شناخت بودن شیء بر روی. تجربه شخصی. به عنوان مثال، اگر فرض کنیم که جهان بر اساس برنامه ای بالاتر ایجاد شده است، خود این طرح برای ما متعالی است - ما فقط می توانیم فرضیه هایی در مورد آن بسازیم. اما اگر این طرح در واقعیت وجود داشته باشد، پیامدهای آن برای ما نهفته است و خود را در آن نشان می دهد قوانین فیزیکیو شرایطی که در آن قرار داریم. بنابراین در برخی مفاهیم کلامی خداوند متعالی است و خارج از وجودی است که آفریده است.

برخی از چیزها در خود هنوز برای دانش پیشینی قابل دسترسی هستند: برای مثال، مکان و زمان، ایده های خدا، خوبی و زیبایی، مقوله های منطقی. به عبارت دیگر، اشیاء ماورایی، به‌طور مجازی، «به‌طور پیش‌فرض» در ذهن ما هستند

مفهوم ماورایی در ریاضیات نیز وجود دارد: عدد ماورایی عددی است که نمی توان آن را با استفاده از جبر محاسبه کرد یا به صورت جبری بیان کرد (یعنی نمی تواند ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد که با صفر یکسان نیست). برای مثال، اعداد π و e از جمله این موارد هستند.

مفهومی نزدیک به «استعلایی»، اما از نظر معنایی متفاوت، «استعلایی» است. در ابتدا به سادگی حوزه مقوله های ذهنی انتزاعی را نشان می داد و بعداً توسط کانت توسعه یافت و در دام خودش افتاد: معلوم شد که ساختن یک سیستم فلسفی فقط بر اساس داده های تجربی غیرممکن است و او هیچ یک را تشخیص نمی دهد. منابع تجربی دیگر غیر از تجربیات فیلسوف برای بیرون آمدن باید اعتراف می کرد که برخی از چیزها در خود هنوز برای دانش پیشینی قابل دسترسی هستند: برای مثال، مکان و زمان، ایده های خدا، خوبی و زیبایی، مقوله های منطقی. یعنی، اشیاء ماورایی، به بیان مجازی، «به طور پیش‌فرض» در ذهن ما از قبل نصب شده‌اند - در حالی که اطلاعات مربوط به آنها به خودی خود وجود دارد و از تجربه ما ناشی نمی‌شود.

مفهوم مرتبط دیگری نیز وجود دارد - تعالی. در معنای وسیع کلمه، به معنای انتقال مرز بین دو ناحیه ناهمگون است، به ویژه انتقال از کره این جهان به حوزه ماورایی، ماورایی. برای سادگی، مثالی از داستان های علمی تخیلی می زنیم: دنیای موازیبرای فرد معمولی- یک پدیده ماورایی اما وقتی قهرمان خود را در این دنیای موازی می بیند یا به نحوی قادر به درک آن است، این امر متعالی است. یا مثال پیچیده تر از فلسفه وجودی: ژان پل سارتر معتقد بود که انسان متعالی است زیرا او از هر تجربه شخصی ممکن فراتر می رود: ما می توانیم خود و جهان اطرافمان را از زوایای مختلف مطالعه کنیم، اما هرگز حتی به شناخت کامل نخواهیم رسید. خودمان اما در عین حال، شخص توانایی تعالی دارد: او از هر چیزی فراتر می رود و به آن معنا می بخشد. تعالی یک عنصر مهم در دین است: به انسان کمک می کند تا خود را از ماهیت مادی خود رها کند و چیزی فراتر از آن را لمس کند.

از فلسفه، مفهوم استعلایی به روانشناسی مهاجرت کرد: کارل یونگ، روانشناس سوئیسی، مفهوم "عملکرد متعالی" را معرفی کرد - این عملکردی است که خودآگاه و ناخودآگاه را متحد می کند. به طور خاص، یک روانکاو می تواند یک عملکرد متعالی انجام دهد - او به بیمار کمک می کند تا تصاویر ناخودآگاه (مثلاً رویاها) را تجزیه و تحلیل کند و آنها را با فرآیندهای آگاهانه در روان خود پیوند دهد.

چگونه صحبت کنیم

نادرست "من برای یک کلاس مراقبه ماورایی ثبت نام کردم." درست است - "استعلایی".

درست "وقتی وارد معبدی می شوم، احساس ادغام شدن با چیزی ماورایی را تجربه می کنم."

به درستی "هنر از اشیای آشنا از دنیای مادی فراتر می رود و آنها را با معنایی بالاتر پر می کند."

عدد ماورایی- یک عدد مختلط که جبری نباشد، یعنی ریشه هیچ چند جمله ای غیر صفر با ضرایب گویا نباشد.

وجود اعداد متعالی برای اولین بار توسط J. Liouville در سال 1844 مشخص شد. او همچنین اولین نمونه های این اعداد را ساخت. لیوویل مشاهده کرد که اعداد البریک را نمی توان «خیلی خوب» با اعداد گویا تقریب زد. یعنی قضیه لیوویل بیان می‌کند که اگر یک عدد جبری ریشه چند جمله‌ای درجه با ضرایب گویا باشد، برای هر عدد گویا نابرابری زیر برقرار است:

جایی که ثابت فقط به از این بیانیه بر می آید شواهد کافیماورایی: اگر عددی به گونه ای باشد که برای هر ثابت، مجموعه نامتناهی از اعداد گویا وجود داشته باشد که نابرابری ها را برآورده کند.

که ماورایی است. متعاقباً چنین اعدادی اعداد لیوویل نامیده شدند. نمونه ای از چنین عددی است

گواه دیگری بر وجود اعداد ماورایی توسط جی. کانتور در سال 1874 بر اساس نظریه مجموعه ای که او ایجاد کرد به دست آورد. کانتور ثابت کرد که مجموعه اعداد جبری قابل شمارش است و مجموعه اعداد حقیقی غیرقابل شمارش است که به این معنی است که مجموعه اعداد ماورایی غیرقابل شمارش است. با این حال، برخلاف برهان لیوویل، این استدلال‌ها به ما اجازه نمی‌دهند که حداقل یکی از این عددها را مثال بزنیم.

کار لیوویل منجر به ایجاد بخش کاملی از نظریه اعداد ماورایی شد - نظریه تقریب اعداد جبری توسط اعداد گویا یا به طور کلی اعداد جبری. قضیه لیوویل در آثار بسیاری از ریاضیدانان تقویت و تعمیم یافت. این امکان ساخت نمونه های جدیدی از اعداد ماورایی را فراهم کرد. بنابراین، K. Mahler نشان داد که اگر یک چند جمله‌ای غیر ثابت است که برای همه اعداد طبیعی مقادیر صحیح غیرمنفی می‌گیرد، پس برای هر عدد طبیعی، جایی که عددی در سیستم اعداد ریشه‌ای نوشته شده است، ماورایی است، اما شماره لیوویل نیست به عنوان مثال، با و نتیجه ظریف زیر را دریافت می کنیم: عدد

ماورایی، اما نه یک عدد لیوویل.

در سال 1873، سی. هرمیت با استفاده از ایده های دیگر، ماورایی عدد نپر (پایه لگاریتم طبیعی) را ثابت کرد:

با توسعه ایده های هرمیت، F. Lindemann در سال 1882 ماورایی اعداد را اثبات کرد و بدین ترتیب به مشکل باستانی مربع کردن دایره پایان داد: با استفاده از یک قطب نما و یک خط کش، ساخت مربعی با اندازه مساوی غیرممکن است (یعنی دارای مساحت یکسان) به یک دایره معین. به طور کلی تر، لیندمان نشان داد که برای هر عدد جبری، یک عدد ماورایی است. فرمول معادل: برای هر عدد جبری غیر از و، لگاریتم طبیعی آن یک عدد ماورایی است.

در سال 1900، در کنگره ریاضیدانان پاریس، دی هیلبرت، در میان 23 مسئله حل نشده در ریاضیات، به موارد زیر اشاره کرد که به شکلی خاص توسط ال. اویلر فرموله شده است:

اجازه دهید و اعداد جبری هستند و ماورایی؟ به ویژه، آیا اعداد ماورایی هستند؟ و

این مشکل را می توان به شکل زیر، نزدیک به فرمول اولیه اویلر، دوباره بیان کرد:

اجازه دهید و - اعداد جبری غیر از و علاوه بر این، نسبت لگاریتم های طبیعی آنها غیر منطقی آیا یک عدد وجود خواهد داشت ماورایی؟

اولین راه حل جزئی برای این مسئله در سال 1929 توسط A. O. Gelfond بدست آمد که به ویژه ماورایی عدد را اثبات کرد. در سال 1930، R. O. Kuzmin روش گلفوند را بهبود بخشید، به ویژه، او موفق شد تعالی یک عدد را ثابت کند. حل کامل مسئله اویلر-هیلبرت (به معنای مثبت) در سال 1934 به طور مستقل توسط A. O. Gelfond و T. Schneider به دست آمد.

A. Baker در سال 1966 قضایای Lindemann و Gelfond-Schneider را تعمیم داد و به ویژه اثبات کرد که ماورایی حاصل ضرب تعداد محدود دلخواه از اعداد شکل و با اعداد جبری تحت محدودیت های طبیعی است.

در سال 1996 Yu.V. نسترنکو استقلال جبری مقادیر سری آیزنشتاین و به ویژه اعداد و. این به معنای ماورایی هر عددی از شکل است که در آن یک تابع گویا غیر صفر با ضرایب جبری است. مثلاً مجموع سریال ماورایی خواهد بود

در 1929-1930 K. Mahler، در یک سری از کارها، روش جدیدی را برای اثبات ماورایی مقادیر توابع تحلیلی که معادلات تابعی از نوع خاصی را برآورده می کند، پیشنهاد کرد (بعداً چنین توابعی را توابع مالر نامیدند).

روش های نظریه اعداد ماورایی در سایر شاخه های ریاضیات، به ویژه در نظریه معادلات دیوفانتین کاربرد پیدا کرده است.