1 معادلات تعادل برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها. سیستم همگرای فضایی نیروها. شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها

قضیه. برای تعادل یک سیستم فضایی نیروها لازم و کافی است که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم برابر با صفر باشد. کفایت: در F o = 0 سیستم نیروهای همگرا اعمال شده در مرکز کاهش O معادل صفر است و در M o = 0 سیستم جفت نیرو معادل صفر است. در نتیجه، سیستم اصلی نیروها معادل صفر است.ضرورت:

بگذارید این سیستم نیروها معادل صفر باشد. پس از کاهش سیستم به دو نیرو، متذکر می شویم که سیستم نیروهای Q و P (شکل 4.4) باید معادل صفر باشد، بنابراین، این دو نیرو باید یک خط عمل مشترک داشته باشند و برابری Q = –P باید باشد. راضی اما این می تواند در صورتی باشد که خط عمل نیروی P از نقطه O عبور کند، یعنی اگر h = 0 باشد. این بدان معنی است که ممان اصلی صفر است (M o = 0).

چون Q+P=0، a Q=F o +P، سپس F o +P"+P=0، و بنابراین، F o = 0. شرایط لازم و کافی برابر است با سیستم فضایی نیروها در فرم: F o = 0، M o = 0 (4.15)، یا در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) +... + M Ox (F n) = 0, M Oy =åM Oy (F k) = M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM O z (F k)=M O z (F 1)+M oz (F 2)+.. . +M oz (F n)=0.(4.17)

که هنگام حل مسائل با 6 سطح، می توانید 6 مجهول پیدا کنید. نکته: یک جفت نیرو را نمی توان به نتیجه تقلیل داد.- حرکتی که در آن یک نقطه (جسم) به طور همزمان در چندین حرکت شرکت می کند (مثلاً مسافری که در امتداد واگن متحرک حرکت می کند). در این حالت، یک سیستم مختصات متحرک (Oxyz) معرفی می شود که یک حرکت داده شده را نسبت به سیستم مختصات ثابت (اصلی) (O 1 x 1 y 1 z 1) انجام می دهد. حرکت مطلقنام نقطه حرکت نسبت به یک سیستم مختصات ثابت حرکت نسبی– حرکت در رابطه با سیستم مختصات متحرک. (حرکت در اطراف کالسکه). حرکت قابل حمل– حرکت سیستم موبایل مختصات نسبت به یک ثابت (حرکت ماشین). قضیه جمع سرعت: , ; -orts (بردارهای واحد) سیستم مختصات متحرک، اورت حول محور آنی می چرخد، بنابراین سرعت انتهای آن و غیره، Þ: , ; - سرعت نسبی ; سرعت حمل: :
بنابراین، سرعت مطلق یک نقطه = مجموع هندسی سرعت قابل حمل (v e) و نسبی (v r) آن، ماژول: . و غیره اصطلاحات عبارتی که شتاب را تعیین می کند: 1) – شتاب قطب O; 2) 3) - شتاب نسبی نقطه. . 4) دریافت می کنیم: .: سه عبارت اول نشان دهنده شتاب یک نقطه در حرکت قابل حمل است: - شتاب قطب O. - شتاب چرخشی - شتاب شتاب دهنده، یعنی. قضیه جمع شتاب (قضیه کوریولیس) ، کجا هنگام جمع دو حرکت انتقالی، حرکت حاصل نیز انتقالی است و سرعت حرکت حاصل برابر با مجموع سرعت حرکت اجزا است. اضافه شدن چرخش تلویزیون اجسام حول محورهای متقاطع محور چرخشی که موقعیت آن در فضا در طول زمان تغییر می کند نامیده می شود. محور چرخش آنی بدن. بردار سرعت زاویه ای یک بردار لغزشی است که در امتداد محور چرخش آنی هدایت می شود. سرعت زاویه ای مطلق یک جسم = مجموع هندسی سرعت های چرخش اجزا - قانون متوازی الاضلاع سرعت های زاویه ای. . اگر جسمی به طور همزمان در چرخش های آنی حول چندین محور که در یک نقطه متقاطع هستند شرکت کند، آنگاه . در مورد حرکت کروی جسم صلب که یکی از نقاط آن در تمام طول حرکت بی حرکت می ماند، معادلات حرکت کروی را داریم: Y=f 1 (t); q=f 2 (t); j=f 3 (t). Y – زاویه تقدم، q – زاویه nutation، j – زاویه چرخش مناسب – زوایای اویلر. سرعت زاویه ای تقدیم، ang. سرعت nutation، قوس sk. چرخش خود , – مدول سرعت زاویه ای بدن حول محور آنی. از طریق پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات ثابت: - معادلات سینماتیک اویلر. اضافه کردن چرخش حول 2 محور موازی. 1) چرخش ها در یک جهت هدایت می شوند. w=w 2 +w 1، C مرکز آنی سرعت هاست و محور چرخش لحظه ای از آن می گذرد. , . 2) چرخش ها در جهات مختلف هدایت می شوند. ، w=w 2 -w 1 S – فوری مرکز sk. و فوری محور چرخش . هنگام چرخش حول محورهای ||ام، بردارهای سرعت زاویه ای مانند بردارهای نیروی موازی جمع می شوند. 3) یکی دو چرخش- چرخش‌ها حول محورهای ||-ام در جهات مختلف هدایت می‌شوند و سرعت‌های زاویه‌ای از نظر بزرگی برابر هستند (- یک جفت سرعت زاویه‌ای). در این حالت، v A = v B، حرکت حاصل از بدن حرکت انتقالی (یا انتقالی آنی) با سرعت v=w 1×AB است - لحظه ای از یک جفت سرعت زاویه ای (حرکت انتقالی پدال دوچرخه نسبتاً به قاب). فوری مرکز سرعت ها در بی نهایت است. اضافه کردن حرکات انتقالی و چرخشی. 1) سرعت حرکت انتقالی ^ به محور چرخش - حرکت صفحه موازی - چرخش آنی حول محور Рр با سرعت زاویه ای w=w. 2) حرکت پیچ– حرکت جسم از حرکت چرخشی حول محور Aa با زاویه sk تشکیل شده است. w و ترجمه با سرعت v||Aa. محور Aa محور پیچ است. اگر v و w در یک جهت باشند، پیچ سمت راست است، اگر در جهات مختلف باشد، آنگاه سمت چپ است. مسافت طی شده در طول یک دور توسط هر نقطه از بدن که روی محور پیچ قرار دارد را می گویند. پیچ پروانه - h. اگر v و w ثابت باشند، h= =const با گام ثابت، هر (×)M که روی محور پیچ قرار نگیرد، یک خط مارپیچ را توصیف می کند. به صورت مماس به مارپیچ هدایت می شود.

3) سرعت حرکت انتقالی یک زاویه دلخواه با محور چرخش ایجاد می کند، در این حالت می توان حرکت را متشکل از یک سری حرکات آنی پیچ حول محورهای پیچ در حال تغییر در نظر گرفت - حرکت آنی پیچ.

یک ثبت تحلیلی از شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها با یک سیستم شش معادله (5.3) نشان داده شده است.

از نقطه نظر مکانیکی، سه معادله اول عدم وجود انتقالی و سه معادله آخر - حرکت زاویه ای بدن را نشان می دهد. در مورد SSS، شرایط تعادل با سیستمی از سه معادله اول نشان داده می شود. در مورد سیستمی متشکل از نیروهای موازی، این سیستم از سه معادله نیز تشکیل خواهد شد: یک معادله از مجموع پیش بینی نیروها بر روی محور موازی که نیروهای سیستم به آن جهت گیری می کنند، و دو معادله گشتاورهای مربوط به محورهایی که با خطوط عمل نیروهای سیستم موازی نیستند.

مرکز ثقل بدن

مرکز ثقل جسم جامد نقطه ای است که خط عمل نیروهای ثقلی حاصل از ذرات یک جسم معین بدون توجه به موقعیت آن در فضا از آن عبور می کند.

مختصات مرکز ثقل، نقطه C (شکل 6.3) را می توان با استفاده از فرمول های زیر تعیین کرد:

واضح است که هرچه پارتیشن ریزتر باشد، محاسبه با استفاده از فرمول های (6.7)، (6.8) با دقت بیشتری انجام می شود. با این حال، پیچیدگی محاسبات می تواند بسیار زیاد باشد. در عمل مهندسی، از فرمول ها برای تعیین مرکز ثقل اجسام با شکل منظم استفاده می شود.

سینماتیک

سخنرانی 6.

سینماتیک شاخه ای از مکانیک است که به حرکت اجسام و

امتیاز بدون در نظر گرفتن نیروهای اعمال شده به آنها.

6.1. روش های تعیین حرکت نقطه حرکت اجسام یا نقاط را فقط می توان نسبت به برخی در نظر گرفتسیستم های مرجع -

اجازه دهید سه سیستم مرجع را که بیشتر در حل مسائل مورد استفاده قرار می‌گیرند و مربوط به آن‌ها، سه روش برای تعیین حرکت یک نقطه را در نظر می‌گیریم. ویژگی های آنها به موارد زیر منتهی می شود: الف) توصیف خود سیستم مرجع. ب) تعیین موقعیت یک نقطه در فضا. ج) معادلات حرکت یک نقطه را نشان می دهد. د) ایجاد فرمول هایی که با آن می توان ویژگی های سینماتیکی حرکت یک نقطه را یافت.

روش برداری

این روش، به عنوان یک قاعده، برای استخراج قضایا و سایر گزاره های نظری استفاده می شود. مزیت آن نسبت به سایر روش ها فشرده بودن ضبط است. در این روش از مرکز به عنوان سیستم مرجع استفاده می شود. در مورد با سه بردار واحد - من، ج، ک (شکل 8.1). موقعیت در فضای یک نقطه دلخواه م تعیین شده توسط بردار شعاع، r. بنابراین، معادله حرکت یک نقطه م یک تابع تک مقداری از بردار شعاع در مقابل زمان وجود خواهد داشت، تی :

با مقایسه دو تعریف اخیر، می توان نتیجه گرفت که مسیر یک نقطه، هودوگراف بردار شعاع آن نیز می باشد.

بیایید مفهوم را معرفی کنیم سرعت متوسط، میانگین V (شکل 8.1):

و سرعت واقعی (آنی)، V:

جهت V منطبق با مماس بر مسیر نقطه است (شکل 8.1).

شتاب یک نقطه یک کمیت برداری است که تغییر در سرعت یک نقطه را مشخص می کند:

راه طبیعی

رابطه بین اس و زمان، تی ، معادله حرکت یک نقطه در است راه طبیعیوظایف حرکتی:

سرعت نقطه هدایت شده در امتداد محور تی ، به این صورت تعریف می شود:

شتاب نقطه ای، الف، در هواپیما است nt و می تواند به اجزای زیر تجزیه شود:

معنای فیزیکیاین بسط به شرح زیر است: خط عمل مولفه مماس، یک تی ، منطبق با خط عمل بردار سرعت است، V ، و تغییر را فقط در ماژول سرعت منعکس می کند. جزء نرمال شتاب، و n ، تغییر جهت خط عمل بردار سرعت را مشخص می کند. مقادیر عددی آنها را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

کجا

- شعاع انحنای مسیر در یک نقطه معین.

روش مختصات

این روش اغلب برای حل مسائل استفاده می شود. سیستم مرجع یک سه محور متقابل عمود بر هم است x , y , z (شکل 8.3). موقعیت نقطه م با مختصات آن تعیین می شود x M , y M , z M .

معادلات حرکت یک نقطه توابع تک مقداری این مختصات از

و ماژول آن:

جهت بردار سرعت در فضا را می توان به صورت تحلیلی با استفاده از کسینوس های جهت تعیین کرد:

شتاب نقطه ای م می توان با پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات ایجاد کرد:

جهت بردار شتاب در فضا توسط کسینوس های جهت تعیین می شود.

شرایط لازم و کافی برای تعادل هر سیستمی از نیروها با برابری ها بیان می شود (به بند 13 مراجعه کنید). اما بردارهای R و فقط زمانی برابر هستند که نیروهای عامل طبق فرمول (49) و (50) شرایط را برآورده کنند:

بنابراین، برای تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی های همه نیروها بر روی هر یک از سه محور مختصات و مجموع گشتاورهای آنها نسبت به این محورها برابر با صفر باشد.

معادلات (51) به طور همزمان شرایط تعادل یک جسم صلب را تحت تأثیر هر سیستم فضایی نیرو بیان می کنند.

اگر علاوه بر نیروها، زن و شوهری نیز بر بدن که با لحظه آن مشخص شده است، عمل کند، شکل سه شرط اول (51) تغییر نمی کند (مجموع برآمدگی نیروهای زوج). در هر محوری برابر با صفر است) و سه شرط آخر به شکل زیر خواهد بود:

مورد نیروهای موازی. در حالتی که تمام نیروهای وارد بر جسم موازی یکدیگر باشند، می توانید محورهای مختصات را طوری انتخاب کنید که محور با نیروها موازی شود (شکل 96). سپس پیش بینی هر یک از نیروهای روی محور و گشتاورهای آنها نسبت به محور z برابر با صفر خواهد بود و سیستم (51) سه حالت تعادل را ایجاد می کند:

سپس برابری های باقی مانده به هویت های فرم تبدیل می شوند

در نتیجه، برای تعادل یک سیستم فضایی از نیروهای موازی، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی‌های همه نیروها بر محور موازی نیروها و مجموع گشتاورهای آنها نسبت به دو محور مختصات دیگر برابر باشد. صفر

حل مسئله. روش حل مسائل در اینجا مانند سیستم هواپیما باقی می ماند. پس از برقراری تعادل جسم (شیء) مورد نظر، لازم است تمام نیروهای خارجی وارد بر آن (هم اتصالات داده شده و هم واکنشی) را به تصویر بکشیم و شرایطی را برای تعادل این نیروها ترسیم کنیم. از معادلات به دست آمده مقادیر مورد نیاز تعیین می شود.

برای به دست آوردن سیستم های معادلات ساده تر، توصیه می شود محورها را طوری ترسیم کنید که نیروهای مجهول بیشتری را قطع کنند یا بر آنها عمود باشند (مگر اینکه این امر محاسبات پیش بینی ها و گشتاورهای نیروهای دیگر را بی جهت پیچیده کند).

یک عنصر جدید در تشکیل معادلات، محاسبه گشتاور نیروها در مورد محورهای مختصات است.

در مواردی که از نقاشی کلیبه سختی می توان دید که گشتاور نیروی معین نسبت به هر محوری چقدر است، توصیه می شود در یک رسم کمکی، پرتاب جسم مورد نظر (همراه با نیرو) بر روی صفحه عمود بر این محور را به تصویر بکشیم.

در مواردی که هنگام محاسبه لحظه، مشکلاتی در تعیین پرتاب نیرو به صفحه مربوطه یا بازوی این برجستگی ایجاد می شود، توصیه می شود نیرو را به دو جزء متقابل عمود بر هم تجزیه کنید (که یکی از آنها موازی با مقداری مختصات است. محور)، و سپس از قضیه Varignon استفاده کنید (به وظیفه 36 مراجعه کنید). علاوه بر این، می توانید با استفاده از فرمول (47)، مانند مسئله 37، گشتاورها را به صورت تحلیلی محاسبه کنید.

مسئله 39. روی صفحه مستطیلی با اضلاع a و b بار وجود دارد. مرکز ثقل دال همراه با بار در نقطه D با مختصات قرار دارد (شکل 97). یکی از کارگران دال را در گوشه A نگه می دارد. در چه نقاط B و E دو کارگر دیگر باید دال را نگه دارند تا نیروهای اعمال شده توسط هر یک از کسانی که دال را نگه می دارند برابر باشد.

راه حل. ما تعادل یک صفحه را در نظر می گیریم که جسمی آزاد است که تحت تأثیر چهار نیروی موازی در تعادل است که در آن P نیروی گرانش است. شرایط تعادل (53) را برای این نیروها با در نظر گرفتن صفحه افقی و ترسیم محورها همانطور که در شکل نشان داده شده است ترسیم می کنیم. 97. دریافت می کنیم:

با توجه به شرایط مسئله، باید وجود داشته باشد سپس از آخرین معادله با جایگزینی این مقدار P به دو معادله اول، در نهایت خواهیم یافت

این راه حل زمانی امکان پذیر است که چه زمانی و چه زمانی باشد، زمانی که نقطه D در مرکز صفحه باشد،

مسئله 40. روی یک محور افقی که در یاتاقان های A و B قرار دارد (شکل 98)، یک قرقره به شعاع سانتی متر و یک درام به شعاع عمود بر محور شفت نصب شده است. شفت توسط یک تسمه پیچیده شده در اطراف یک قرقره به چرخش هدایت می شود. در همان زمان، باری که به یک طناب بسته شده است، که روی درام پیچیده شده است، به طور یکنواخت بلند می شود. با بی توجهی به وزن شفت، درام و قرقره، در صورتی که مشخص شود دو برابر کشش شاخه رانده است، واکنش بلبرینگ A و B و کشش شاخه محرک تسمه را تعیین کنید. داده شده: سانتی متر، سانتی متر،

راه حل. در مسئله مورد بررسی، با چرخش یکنواخت شفت، نیروهای وارد بر آن شرایط تعادل (51) را برآورده می کند (این در § 136 ثابت خواهد شد). بیایید محورهای مختصات را ترسیم کنیم (شکل 98) و نیروهای وارد بر محور را به تصویر بکشیم: کشش F طناب، مدول برابر با P، کشش تسمه و اجزای واکنش های یاتاقان.

برای جمع آوری شرایط تعادل (51) ابتدا مقادیر پیش بینی تمام نیروها بر روی محورهای مختصات و گشتاورهای آنها نسبت به این محورها را محاسبه و وارد جدول می کنیم.

اکنون شرایط تعادل را ایجاد می کنیم (51). از آنجایی که دریافت می کنیم:

از معادلات (III) و (IV) بلافاصله با در نظر گرفتن اینکه

با جایگزینی مقادیر یافت شده به معادلات باقی مانده، متوجه می شویم؛

و در نهایت

مسئله 41. یک پوشش مستطیلی با وزنه ای که با عمود زاویه ایجاد می کند، در نقطه B توسط یک یاتاقان استوانه ای بر روی محور افقی AB و در نقطه A توسط یک یاتاقان با یک توقف ثابت می شود (شکل 99). درب توسط طناب DE در حالت تعادل نگه داشته می شود و توسط طنابی که روی بلوک O با وزنه ای در انتهای آن پرتاب می شود (خط KO موازی با AB) به عقب کشیده می شود. داده شده: کشش طناب DE و واکنش های یاتاقان های A و B را تعیین کنید.

راه حل. تعادل درب را در نظر بگیرید. بیایید محورهای مختصات را ترسیم کنیم که از نقطه B شروع می شود (در این حالت، نیروی T محورها را قطع می کند، که شکل معادلات گشتاور را ساده می کند).

سپس تمام نیروهای داده شده و واکنش های واکنشی را که روی پوشش اعمال می شود به تصویر می کشیم: نیروی گرانش P اعمال شده در مرکز ثقل C پوشش، نیروی Q برابر با بزرگی Q، واکنش T طناب و واکنش بلبرینگ های A و B (شکل 99؛ بردار M k در خطوط نقطه چین نشان داده شده است که به این کار مربوط نمی شود). برای ترسیم شرایط تعادل، یک زاویه معرفی می کنیم و محاسبه ممان برخی نیروها را در شکل کمکی توضیح داده ایم. 100، الف، ب.

در شکل 100، و نما به صورت طرح ریزی شده بر روی صفحه از انتهای مثبت محور نشان داده می شود

این رسم به محاسبه گشتاورهای نیروهای P و T نسبت به محور کمک می کند. می توان دید که پیش بینی این نیروها بر روی صفحه (صفحه عمود بر) با خود نیروها و بازوی نیروی P نسبت به آن برابر است. نقطه B برابر است با؛ شانه نیروی T نسبت به این نقطه برابر است با

در شکل شکل 100، b نمایی را به صورت طرح ریزی شده بر روی صفحه از انتهای مثبت محور y نشان می دهد.

این رسم (همراه با شکل 100، a) به محاسبه گشتاورهای نیروهای P و نسبت به محور y کمک می کند. از آن می توان دریافت که پیش بینی این نیروها بر روی صفحه برابر با خود نیروها است و بازوی نیروی P نسبت به نقطه B برابر با بازوی نیروی Q نسبت به این نقطه برابر است با یا ، همانطور که از شکل مشاهده می شود. 100، الف.

با تدوين شرايط تعادل (51) با در نظر گرفتن توضيحات انجام شده و با فرض هم زمان به دست مي آيد:

(من)

با توجه به آنچه از معادلات (I)، (IV)، (V)، (VI) می‌یابیم:

با جایگزینی این مقادیر به معادلات (II) و (III)، به دست می‌آییم:

در نهایت،

مسئله 42. مسئله 41 را برای حالتی حل کنید که درب علاوه بر این توسط یک جفت واقع در صفحه خود با یک لحظه چرخش جفت جهت خلاف جهت عقربه‌های ساعت (هنگامی که به درپوش از بالا نگاه می‌کنید) عمل می‌کند.

راه حل. علاوه بر نیروهای وارد بر درپوش (نگاه کنید به شکل 99)، ما لحظه M جفت را به شکل بردار عمود بر درپوش و در هر نقطه اعمال می کنیم، به عنوان مثال در نقطه A. برآمدگی های آن بر روی درپوش اعمال می شود. محورهای مختصات: . سپس با ترکیب شرایط تعادل (52) متوجه می‌شویم که معادلات (I) - (IV) مانند مسئله قبلی باقی می‌مانند و دو معادله آخر به شکل زیر هستند:

توجه داشته باشید که همان نتیجه را می توان بدون ایجاد معادله به شکل (52) به دست آورد، اما با به تصویر کشیدن جفت با دو نیروی جهت دار، به عنوان مثال، در امتداد خطوط AB و KO (در این حالت، مدول نیروها خواهد بود. برابر) و سپس استفاده کنید شرایط عادیتعادل

با حل معادلات (I) - (IV)، (V)، (VI)، نتایجی مشابه آنچه در مسئله 41 به دست آمده است خواهیم یافت، با این تفاوت که همه فرمول ها به جای کمیت شامل می شوند. در نهایت می رسیم:

مسئله 43. میله افقی AB توسط یک لولا کروی شکل A به دیوار متصل می شود و توسط بادبندهای KE و CD که در شکل نشان داده شده است در موقعیتی عمود بر دیوار نگه داشته می شود. 101، الف. یک بار با وزنه از انتهای B میله معلق است. در صورتی که وزن میله نادیده گرفته شود، واکنش لولا A و کشش سیم های گای را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید تعادل میله را در نظر بگیریم. با نیروی P و واکنش ها به آن عمل می کنیم. برای یافتن برجستگی ها و لحظه های نیرو، اجازه دهید آن را به اجزاء تجزیه کنیم. سپس، بر اساس قضیه واریگنون، از آن زمان

محاسبه گشتاورهای نیروها نسبت به محور توسط یک نقشه کمکی توضیح داده شده است (شکل 101، b)، که نمایی را به صورت طرح ریزی بر روی یک صفحه نشان می دهد.

اجازه دهید یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها را در نظر بگیریم که بر روی یک جسم صلب عمل می کنند. اجازه دهید این سیستم نیروها را به یک مرکز معین بیاوریم و روی موردی تمرکز کنیم که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم نیروها برابر با صفر باشد، یعنی.

(1) چنین سیستمی از نیروها معادل صفر است، یعنی. متعادل بنابراین، مساوات (1) هستند شرایط کافیتعادل اما این شرایط نیز لازم است، یعنی. اگر سیستم نیروها در تعادل باشد، در واقع، اگر سیستم در تعادل بود، برابری های (1) نیز برآورده می شوند سپس این سیستم به نتیجه در مرکز کاهش پیوند زده می شود و هیچ تعادلی وجود نخواهد داشت. اگر اما Mo =**O، این سیستم به جفت پیوند زده می شود و هیچ تعادلی نیز وجود نخواهد داشت. بنابراین، ما ثابت کرده‌ایم که برای تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، لازم و کافی است که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم نسبت به مرکز کاهش دلخواه انتخاب شده برابر با صفر باشد. شرایط (1) به صورت بردار شرایط تعادل نامیده می شود. برای به دست آوردن یک شکل تحلیلی از شرایط تعادل که برای اهداف عملی راحت‌تر است، برابری‌ها (1) را روی محورها پیش‌بینی می‌کنیم. سیستم دکارتیمختصات در نتیجه دریافت می کنیم:

(2)شرایط تعادل برای سیستمی از نیروهای موازی در فضابرای تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی های همه نیروها بر روی محورهای مختصات x، y و z، و همچنین مجموع گشتاورهای همه نیروها نسبت به یکسان باشد. محورها، برابر با صفر، اجازه دهید یک سیستم فضایی از نیروهای موازی بر روی یک جسم صلب عمل کند. از آنجایی که انتخاب محورها دلخواه است، می توان یک سیستم مختصات را طوری انتخاب کرد که یکی از محورها موازی نیروها باشد و دو

دیگران عمود بر آنها هستند (شکل 1.38). با این انتخاب محورهای مختصات، پیش بینی هر یک از نیروهای روی محور x و y و گشتاورهای آنها نسبت به محور z همیشه برابر با صفر خواهد بود. این به این معنی است که

این برابری ها به طور یکسان برآورده می شوند، صرف نظر از اینکه آیا یک سیستم معین از نیروها در تعادل است یا خیر، یعنی. دیگر شرایط تعادل نیستند. بنابراین، شرایط تعادل زیر باقی خواهد ماند:

بنابراین، برای تعادل سیستمی از نیروهای موازی در فضا، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های همه نیروها بر محور موازی این نیروها برابر با صفر باشد و وعده های لحظه های آنها نسبت به هر یک از آنها دو محور مختصات عمود بر نیروها نیز برابر با صفر هستند.

17، قضیه هم ارزی دو جفت نیرو در فضا.

آوردن یک نیرو به یک مرکز معین (روش پوینسو) - یک نیرو را می توان به موازات خود به هر نقطه ای از صفحه منتقل کرد اگر جفت نیرو مناسب را اضافه کنید که ممان آن برابر است با ممان این نیرو نسبت به نقطه مورد نظر اجازه دهید به سیستم در نقطه A دو نیرو را اضافه کنیم که از نظر قدر با یکدیگر و به بزرگی نیروی داده شده، در امتداد یک خط مستقیم در جهت مخالف و موازی با نیروی داده شده هدایت می شوند: حالت سینماتیکی تغییر نکرده است ( اصل دلبستگی). نیروی اصلی و یکی از نیروهای اضافه شده در جهت مخالف یک جفت نیرو را تشکیل می دهند. ممان این جفت از نظر عددی برابر با ممان نیروی اولیه نسبت به مرکز کاهش است. در بسیاری از موارد، نمایش یک جفت نیرو با یک فلش کمانی راحت است. آوردن یک سیستم دلخواه هواپیما از نیروها به یک مرکز داده شده - یک نقطه دلخواه در صفحه را انتخاب می کنیم و هر یک از نیروها را با استفاده از روش Poinsot به این نقطه منتقل می کنیم. به جای سیستم دلخواه اولیه، یک سیستم همگرا از نیروها و یک سیستم جفت به دست می آوریم. سیستم همگرا نیروها به یک نیروی منفرد اعمال شده در مرکز کاهش کاهش می یابد که قبلاً برآیند نامیده می شد، اما اکنون این نیرو جایگزین سیستم اصلی نیروها نمی شود، زیرا پس از کاهش یک سیستم جفت بوجود آمده است. یک سیستم از جفت ها به یک جفت تقلیل می یابد (قضیه جمع زوج ها) که گشتاور آن برابر است با مجموع جبری گشتاورهای نیروهای اصلی نسبت به مرکز کاهش. به طور کلی، تخت سیستم دلخواهنیروها به یک نیرو به نام بردار اصلی و به یک جفت با گشتاور برابر با ممان اصلی تمام نیروهای سیستم نسبت به مرکز کاهش کاهش می یابد: - بردار اصلی، - ممان اصلی. الف- الف- شرط تعادل یک سیستم دلخواه مسطح نیروها، معکوس شدن همزمان بردار اصلی و ممان اصلی سیستم به صفر است: معادلات تعادل (شکل I) در قالب یک سیستم سه معادله از شرایط تعادل به دست می آید. استفاده از عبارات برای پیش بینی بردار اصلی: دو شکل دیگر از معادلات تعادل وجود دارد (شکل II و III)

17.

27-28 وابستگی بین لحظات اصلی نیروها نسبت به دو مرکز کاهش دلخواه. متغیرهای سیستم نیرو

بگذارید این سیستم فضایی به مرکز O آورده شود، یعنی.

کجا ممان اصلی با جهت بردار اصلی یک زاویه a مشخص را تشکیل می دهد (شکل 1.32)

اجازه دهید اکنون یک مرکز کاهش O1 جدید بگیریم و همه نیروها را به این مرکز بیاوریم. در نتیجه، دوباره یک بردار اصلی برابر با بردار اصلی R به دست می‌آوریم و یک گشتاور اصلی جدید با فرمول تعیین می‌شود که در آن pk بردار شعاع نقطه اعمال نیروی Fk است که از مرکز کاهش O1 جدید ترسیم شده است. شکل 1.32 را ببینید). اجازه دهید بین لحظه های Mo و Mo1 ارتباط برقرار کنیم از شکل 1.32 مشخص است که (3) با جایگزینی (3) به برابری (2) ، (4) را به دست می آوریم و پرانتزهای سمت راست برابری را باز می کنیم (4). ) و قرار دادن عامل مشترک O1O در خارج از علامت جمع، داریم

(- پیش بینی گشتاور اصلی نسبت به نقطه O بر روی محورهای مختصات).

آوردن نیرو به یک مرکز معین.

برای آوردن نیروی اعمال شده در هر نقطه از جسم جامد به مرکز معین، لازم است:

1) نیروی موازی با خودش را بدون تغییر مدول نیرو به یک مرکز معین منتقل کنید.

2) در یک مرکز معین، یک جفت نیرو اعمال کنید که ممان برداری آن برابر با ممان برداری نیروی منتقل شده نسبت به مرکز جدید است. به این جفت نیرو، جفت الحاقی می گویند.

عمل یک نیرو بر روی یک جسم صلب وقتی که به موازات خود به نقطه دیگری از جسم صلب منتقل شود، اگر چند نیرو به آن اضافه شود، تغییر نمی کند.

34. برای یک سیستم صفحه ای از نیروهای موازی، می توان دو معادله تعادلی را ترسیم کرد، اگر نیروها موازی با محور Y باشند، معادلات تعادل شکل می گیرند.

معادله دوم را می توان برای هر نقطه ای ساخت.

35 برای تعادل یک جسم کاملاً آزاد که یک سیستم اختیاری فضایی از نیروها بر روی آن تأثیر می گذارد، لازم و کافی است که معادلات شش گانه تعادل برآورده شوند. اگر جسمی در یک نقطه ثابت باشد، سه درجه آزادی دارد. چنین جسمی نمی تواند به صورت انتقالی حرکت کند، بلکه فقط می تواند حول هر محوری، یعنی حول محورهای مختصات بچرخد. برای اینکه چنین جسمی در حالت تعادل قرار گیرد، لازم است که نچرخد و برای این کار کافی است معادلات سه لحظه ای برابر با صفر باشند.

بنابراین، برای اینکه یک جسم کاملاً صلب با یک نقطه ثابت، که یک سیستم فضایی اختیاری نیروها بر روی آن عمل می‌کند، در تعادل باشد، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای تمام نیروها نسبت به سه محور متقابل عمود بر هم برابر باشد. صفر

سه معادله دیگر برای تعیین اجزای واکنش لولا در نقطه اتصال Nx، Ny، Nz استفاده می شود.

37. جسمی که دو نقطه ثابت دارد یک درجه آزادی دارد. فقط می تواند حول محوری که از این دو نقطه ثابت می گذرد بچرخد اگر جسم حول این محور نچرخد. بنابراین، برای تعادل کافی است که مجموع گشتاورهای تمام نیروهای وارد بر جسم نسبت به محوری که از دو نقطه ثابت می گذرد برابر با صفر باشد: ∑Mxx(Fi)=0

38/ سیستم اجسام عبارت است از چند جسم که به نحوی به یکدیگر متصل هستند. نیروهای وارد بر بدنه سیستم به خارجی و داخلی تقسیم می شوند. نیروهای داخلی نیروهای برهمکنش بین اجسام یک سیستم و نیروهای خارجی به نیروهایی گفته می شود که اجسامی که در آن گنجانده نشده اند بر روی اجسام یک سیستم معین اثر می کنند.

اگر سیستمی از اجسام در حالت تعادل باشد، تعادل هر جسم را جداگانه در نظر می گیریم. نیروهای داخلیفعل و انفعالات بین بدن ها اگر یک سیستم دلخواه مسطح داده شود ناجسام، سپس برای این سیستم می توان معادلات تعادل 3N را ایجاد کرد. هنگام حل مسائل مربوط به تعادل یک سیستم اجسام، می توان تعادل سیستم اجسام را به عنوان یک کل و برای هر ترکیبی از اجسام در نظر گرفت. هنگام در نظر گرفتن تعادل سیستم به عنوان یک کل، نیروهای داخلی تعامل بین اجسام بر اساس اصل تساوی نیروهای کنش و واکنش در نظر گرفته نمی شوند. بنابراین، 2 نوع برای یافتن تعادل سیستم اجسام وجود دارد...1sp ابتدا کل ساختار را در نظر می گیریم و سپس هر جسمی را از این سیستم جدا می کنیم و در نظر می گیریم. تعادل در آن وجود دارد. 2sp ما سیستم را به اجسام جداگانه و ترکیب معادله تعادل برای هر جسم تقسیم می کنیم.

قابل تعریف استاتیکی سیستم ها سیستم هایی هستند درکه در آن تعداد کمیت های مجهول از تعداد معادلات تعادل مستقل برای یک سیستم معین از نیروها تجاوز نمی کند.

از نظر استاتیکی تعریف نشده است سیستم‌ها سیستم‌هایی هستند که در آنها تعداد کمیت‌های مجهول از تعداد معادلات تعادل مستقل برای یک سیستم معین از نیروها بیشتر است. Kct=R-Y که R تعداد واکنش‌ها است. Y-تعداد معادلات مستقل

41. پس از خروج جسم از وضعیت تعادل، نیروی اصطکاک ایستا کاهش می یابد و در حین حرکت به آن نیروی اصطکاک لغزشی می گویند، یعنی ضریب اصطکاک لغزشی کمی کمتر از ضریب اصطکاک استاتیکی است. در محاسبات فنی، این ضرایب برابر فرض می شوند. بابا افزایش سرعت حرکت، ضریب اصطکاک لغزشی برای اکثر مواد کاهش می یابد. ضریب اصطکاک لغزشی به صورت تجربی تعیین می شود.

نیروی اصطکاک لغزشی برخلاف حرکت احتمالی بدنه هدایت می شود.

نیروی اصطکاک به سطح سطوح در تماس بستگی ندارد.

حداکثر نیروی اصطکاک متناسب با فشار معمولی است. فشار معمولی به عنوان فشار کل در کل منطقه تماس سطوح مالشی درک می شود: Fmax=fN

43. در حضور اصطکاک، واکنش کل یک سطح ناهموار با زاویه معینی از حالت عادی به سطح منحرف می شود.<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

مماس زاویه اصطکاک برابر با ضریب اصطکاک است.

مخروط اصطکاک مخروطی است که با واکنش کل R در جهت واکنش عادی توصیف می شود. اگر ضریب اصطکاک f در همه جهات یکسان باشد، مخروط اصطکاک دایره ای خواهد بود.

برای تعادل جسم روی سطح ناهموار، لازم و کافی است که حاصل نیروهای فعال در داخل مخروط اصطکاک باشد یا از امتداد ژنراتیکس مخروط عبور کند.

30. مدول بردار اصلی Ro=√Rx^2+Ry^2 که در آن Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (برآمدگی Rx،Ry بردار اصلی بر روی محورهای مختصات مربوطه)

زوایای تشکیل شده توسط بردار اصلی با محور مختصات متناظر Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

مدول ممان اصلی نسبت به مرکز کاهش انتخاب شده O Mo√Mox^2+Moy^2 که در آن Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Mox- پیش بینی های لحظه اصلی نسبت به نقطه O در محورهای مختصات)

زوایای تشکیل شده توسط گشتاور اصلی با محورهای مختصات مربوطه Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

اگر Ro = 0 Mo = 0 نباشد، سیستم نیروها را می توان با یک نیرو جایگزین کرد

Ro=0 Mo not=0 سیستم نیروها با یک جفت نیرو جایگزین می شود

Rone=0 Mo نه=0 اما Ro عمود بر Mo با نیرویی که از مرکز کاهش عبور نمی کند جایگزین می شود.

31. سیستم مسطح نیروها. تمام نیروهای این سیستم در یک صفحه قرار دارند. به عنوان مثال، اجازه دهید این صفحه XAY باشد، جایی که A یک مرکز کاهش دلخواه است. نیروهای این سیستم بر روی محور AZ پرتاب نمی شوند و گشتاورهایی نسبت به محورهای AX و AY ایجاد نمی کنند، زیرا در صفحه XAY قرار دارند (بخش 13). در این مورد برابری

با در نظر گرفتن این موضوع، شرایط تعادل را برای یک سیستم هواپیمای نیروها به دست می آوریم:

بنابراین، برای تعادل یک جسم صلب تحت تأثیر سیستم هواپیمای نیروها، لازم و کافی است که دو مجموع برآمدگی نیروها بر روی محورهای مختصات و مجموع گشتاورهای جبری همه نیروها نسبت به هر نقطه. در هواپیما برابر با صفر باشد.

39. نیروهایی که در تمام نقاط عمل می کنند توزیع شده نامیده می شوند حجم داده شدهیا قسمت معینی از یک سطح یا خط. راس محدود استنیروها با شدت مشخص می شوند q،یعنی به زور به دلیلدر واحد حجم، سطح یا طول خط. نیروهای توزیع شده معمولاً با نیروهای متمرکز جایگزین می شوند.

اگر نیروهای توزیع شده در یک صفحه در یک خط مستقیم عمل کنند، آنگاه با یک نیروی متمرکز به شرح زیر جایگزین می شوند.

یک بار توزیع یکنواخت با شدت q با نیروی متمرکز Q =qL که در وسط مقطع اعمال می شود جایگزین می شود. یک بار توزیع یکنواخت به نیروهایی اطلاق می شود که در ناحیه معینی از بدن دارای قدر و جهت یکسان هستند.

اگر نیروهای توزیع شده به صورت خطی تغییر کنند

(در امتداد مثلث)، سپس نیروی متمرکز Q = qmaxL/2- در مرکز ثقل مثلث، واقع در فاصله - از قاعده آن ……………… اعمال می شود.

44. اصطکاک غلتشی مقاومت در برابر حرکت است که هنگام غلتش اجسام بر روی یکدیگر ایجاد می شود. به عنوان مثال، بین عناصر یاطاقان نورد، بین لاستیک چرخ ماشین و سطح جاده ظاهر می شود. به عنوان یک قاعده، ارزش اصطکاک غلتشی بسیار کمتر از ارزش اصطکاک لغزشی است و بنابراین نورد یک نوع حرکت رایج در فناوری است.

اصطکاک غلتشی در فصل مشترک دو جسم رخ می دهد و بنابراین به عنوان یک نوع اصطکاک خارجی طبقه بندی می شود.

45. اصطکاک چرخشی. فرض کنید یک توپ سنگین روی یک صفحه افقی قرار دارد، مرکز توپ را با O و نقطه تماس توپ با هواپیما را با C نشان می دهیم. به چرخش توپ به دور خط مستقیم CO، چرخش می گویند. تجربه نشان می دهد که اگر لحظه زوجی که باید باعث چرخش توپ شود خیلی کم باشد، توپ نمی چرخد. نتیجه این است که عمل جفت محرک توسط یک جفت دیگر فلج می شود که اصطکاک چرخشی به وجود آنها بستگی دارد.

یکی از روش‌های محاسبه گشتاور اصطکاکی یک یاتاقان غلتکی این است که گشتاور اصطکاکی را به گشتاورهای به اصطلاح مستقل از بار M0 و گشتاور وابسته به بار M1 تقسیم می‌کنیم که سپس با هم جمع می‌شوند تا گشتاور کل را بدست آورند:

46دو نیروی موازی که در یک جهت هدایت می شوند به یک نیرو کاهش می یابد - نیروی حاصل در نقطه ای اعمال می شود که یک خط مستقیم را به فواصل معکوس متناسب با بزرگی نیروها تقسیم می کند. با اضافه کردن مداوم نیروهای موازی به صورت جفت، به یک نیرو نیز می رسیم - نتیجه R: از آنجایی که نیرو می تواند در امتداد خط عمل خود منتقل شود، نقطه اعمال نیرو (نتیجه) اساساً تعریف نشده است. اگر همه نیروها به یک زاویه بچرخند و نیروها دوباره اضافه شوند، جهت متفاوتی از خط عمل حاصل را به دست می آوریم. نقطه تلاقی این دو خط عمل برآیندها را می توان نقطه اعمال برآیند در نظر گرفت که با چرخش همزمان همه نیروها در یک زاویه، موقعیت خود را تغییر نمی دهد. این نقطه را مرکز نیروهای موازی می نامند. مرکز نیروهای موازی نقطه اعمال برآیند است که وقتی همه نیروها به طور همزمان در یک زاویه بچرخند، موقعیت خود را تغییر نمی دهد.

47بردار شعاع نقطه برداري است كه ابتداي آن با مبدا سيستم مختصات و انتهاي آن با نقطه داده شده منطبق است.

بنابراین، یکی از ویژگی های بردار شعاع که آن را از همه بردارهای دیگر متمایز می کند این است که مبدا آن همیشه در نقطه مبدا قرار دارد (شکل 17).

مرکز نیروهای موازی، نقطه ای که خط عمل سیستم حاصل از نیروهای موازی Fk برای هر چرخش همه این نیروها در نزدیکی نقاط اعمالشان در یک جهت و در یک زاویه از آن عبور می کند. مختصات مرکز نیروهای موازی با فرمول های زیر تعیین می شود:

که در آن xk، yk، zk مختصات نقاط اعمال نیرو هستند.

48مرکز ثقلیک جسم صلب - نقطه ای که همیشه با این جسم مرتبط است، که از طریق آن خط عمل نیروهای گرانش حاصل از ذرات بدن در هر موقعیتی از بدن در فضا عبور می کند. در این مورد، میدان گرانش همگن در نظر گرفته می شود، یعنی. نیروهای گرانش ذرات بدن با یکدیگر موازی هستند و در هر چرخش جسم ثابت می مانند. مختصات مرکز ثقل:

; ; ، که در آن Р=åр k, x k,y k,z k – مختصات نقاط اعمال نیروهای گرانش р k. مرکز ثقل یک نقطه هندسی است و می تواند خارج از بدن (به عنوان مثال، یک حلقه) قرار گیرد. مرکز ثقل یک شکل صاف:

DF k - منطقه ابتدایی، F - مساحت شکل. اگر منطقه را نتوان به چند قسمت محدود تقسیم کرد، پس . اگر جسم همگن دارای یک محور تقارن باشد، مرکز ثقل جسم روی این محور قرار دارد.

49 حل مسائل برای تعیین موقعیت (مختصات) مرکز ثقل یک صفحه همگن، سیستمی از اجسام واقع در یک صفحه یا فضا به ترسیم معادلات و درج بیشتر داده های عددی شناخته شده در آن و محاسبه نتیجه ختم می شود:

آن ها لازم است سیستم را به اجزاء تقسیم کرد و موقعیت مرکز ثقل این عناصر را پیدا کرد. بسته به نوع سیستم ارائه شده، جرم اجزا را محاسبه کنید، آن را از طریق چگالی خاص - خطی، حجمی یا سطحی بیان کنید. در پایان راه حل، چگالی مخصوص کاهش می یابد، بنابراین از وارد کردن آن خجالت نکشید (به عنوان یک قاعده، داده نمی شود، اما متن مشکل نشان می دهد که صفحه، میله و دال همگن هستند) . از ویژگی های این کار، باید به دو چیز توجه کرد: 1) تعیین مرکز ثقل یک جزء مستطیلی، مربع شکل یا میله، دایره دشوار نیست - مرکز ثقل چنین ارقامی در مرکز است.

50. بخش دایره ای: ; مثلث. تقسیم مثلث به خطوط نازک،

به موازات هر یک از اضلاع آن تعیین می کند که از مرکز

گرانش هر خط در مرکز هندسی آن قرار دارد (در مرکز

تقارن)، سپس مرکز ثقل مثلث در محل تقاطع آن قرار دارد

میانه نقطه تقاطع میانه ها آنها را به نسبت (2:1) تقسیم می کند.

بخش دایره ای (شکل 54). مرکز ثقل روی محور قرار دارد

تقارن با تقسیم یک بخش دایره ای به مثلث های ابتدایی

قوس تشکیل شده توسط مراکز ثقل مثلث ها را تعیین کنید. شعاع

قوس برابر با 2/3 شعاع بخش است. بنابراین، مختصات مرکز

گرانش بخش دایره ای تعیین می شود

عبارت xC = گناه α.

51 نیمکره. مرکز ثقل روی محور تقارن با فاصله قرار دارد

3/8 از پایه.

هرم (مخروط) (شکل 55).

مرکز ثقل روی خط قرار دارد

اتصال راس به مرکز

گرانش پایه در فاصله ¾ از

قوس دایره مرکز ثقل روی محور تقارن قرار دارد و دارد

مختصات xC = sin α ; уС = 0.

سینماتیک

1سینماتیک، شاخه ای از مکانیک نظری، حرکت اجسام مادی را بدون علاقه به دلایلی که باعث ایجاد یا تغییر این حرکت می شود، مطالعه می کند. برای آن فقط اعتبار فیزیکی و دقت ریاضی در چارچوب مدل های پذیرفته شده مهم است. مشکلات سینماتیکتنظیم حرکت یک نقطه مادی (سیستم) به معنای ارائه راهی برای تعیین موقعیت یک نقطه (همه نقاط تشکیل دهنده یک سیستم) در هر لحظه از زمان است.
وظایف سینماتیک توسعه روش هایی برای تعیین حرکت یک نقطه (سیستم) و روش هایی برای تعیین سرعت، شتاب یک نقطه و سایر کمیت های سینماتیکی نقاطی است که یک سیستم مکانیکی را تشکیل می دهند. مسیر نقطه ای

مشخص کردن حرکت یک نقطه به معنای مشخص کردن موقعیت آن در هر لحظه از زمان است. همانطور که قبلا ذکر شد، این موقعیت باید در برخی از سیستم مختصات تعیین شود. با این حال، برای این کار همیشه لازم نیست مختصات خود را مشخص کنید. می توانید از مقادیری استفاده کنید که به نوعی با آنها مرتبط است. در زیر سه روش اصلی برای تعیین حرکت یک نقطه وجود دارد.

1. راه طبیعی. این روش در صورتی استفاده می شود که مسیر حرکت نقطه مشخص باشد. خط سیر مجموعه ای از نقاط در فضا است که یک ذره متحرک ماده از آنها عبور می کند. این خطی است که او در فضا می کشد. با روش طبیعی، باید تنظیم کنید (شکل 1):

الف) مسیر حرکت (نسبت به هر سیستم مختصاتی)؛

ب) یک نقطه دلخواه روی آن، صفر، که از آن فاصله S تا ذره متحرک در طول مسیر اندازه گیری می شود.

ج) جهت مثبت مرجع S (زمانی که نقطه M در جهت مخالف جابجا شود، S منفی است).

د) شروع زمان t;

ه) تابع S(t) که قانون حرکت**) نقطه نامیده می شود.

2. روش مختصات. این جهانی ترین و جامع ترین راه برای توصیف حرکت است. این وظیفه را بر عهده می گیرد:

الف) سیستم های مختصات (نه لزوما دکارتی) q1, q2, q3.

ب) شروع زمان t;

ج) قانون حرکت یک نقطه، یعنی. توابع q1(t)، q2(t)، q3(t).

وقتی در مورد مختصات یک نقطه صحبت می کنیم، همیشه منظور ما مختصات دکارتی آن (مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد) است.

3. روش برداری. موقعیت یک نقطه در فضا را نیز می توان با بردار شعاع ترسیم شده از یک مبدأ معین به یک نقطه مشخص تعیین کرد (شکل 2). در این مورد، برای توصیف حرکت باید تنظیم کنید:

الف) مبدا بردار شعاع r.

ب) شروع زمان t;

ج) قانون حرکت نقطه r(t).

از آنجایی که تعیین یک کمیت برداری r معادل تعیین سه پیش بینی x، y، z آن بر روی محورهای مختصات است، به راحتی می توان از روش برداری به مختصات یک حرکت کرد. اگر بردارهای واحد i، j، k (i = j = k = 1) را به ترتیب در امتداد محورهای x، y و z معرفی کنیم (شکل 2)، پس بدیهی است که قانون حرکت را می توان به شکل نمایش داد. *)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)

مزیت فرم برداری ثبت نسبت به فرم مختصات فشردگی (به جای سه کمیت که یکی با یک کمیت عمل می کند) و اغلب وضوح بیشتر است.

مثال. یک حلقه کوچک M روی یک نیم دایره سیم ثابت قرار می گیرد که میله مستقیم دیگری AB از آن عبور می کند (شکل 3) که به طور یکنواخت حول نقطه A می چرخد ​​(= t، جایی که = const). قوانین حرکت حلقه M را در امتداد میله AB و نسبت به نیم دایره پیدا کنید.

برای حل قسمت اول مسئله، از روش مختصات استفاده می کنیم، محور x سیستم دکارتی را در امتداد میله هدایت می کنیم و مبدا آن را در نقطه A انتخاب می کنیم. )

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt،

که در آن R شعاع نیم دایره است. قانون حرکت حاصل را یک نوسان هارمونیک می نامند (این نوسان بدیهی است فقط تا لحظه ای که حلقه به نقطه A برسد ادامه خواهد داشت).

قسمت دوم مسئله را با استفاده از روش طبیعی حل می کنیم. اجازه دهید جهت مثبت شمارش فاصله در امتداد مسیر (نیم دایره AC) در خلاف جهت عقربه‌های ساعت (شکل 3) و صفر منطبق بر نقطه C را انتخاب کنیم. سپس طول قوس SM به عنوان تابعی از زمان قانون حرکت را به دست می‌دهد. نقطه م

S(t) = R2 = 2Rt،

آن ها حلقه به طور یکنواخت در اطراف دایره ای به شعاع R با سرعت زاویه ای 2 حرکت می کند. همانطور که از معاینه مشخص است،

صفر شمارش زمان در هر دو مورد مطابق با لحظه ای بود که حلقه در نقطه C قرار داشت.

2.روش برداری برای تعیین حرکت یک نقطه

سرعت نقطه به صورت مماس بر مسیر هدایت می شود (شکل 2.1)و طبق (1.2) با استفاده از فرمول محاسبه می شود