11.6. Ovisnost Na internetu niko ne zna da ste pas. Peter Steiner Hajde da uradimo jednostavan test: šta ćete učiniti ako vas mesec dana bace u zemlju u kojoj je internet loš? Na primjer, u Severna Koreja? Imate li plan šta da radite sa svim ovim vremenom, osim

Između različitih pojava i njihovih karakteristika potrebno je prije svega razlikovati 2 vrste veza: funkcionalnu (rigidno determinisanu) i statističku (stohastički determinisanu).

U skladu sa strogo determinističkom idejom funkcionisanja ekonomskih sistema, nužnost i pravilnost se jasno manifestuju u svakoj pojedinačnoj pojavi, odnosno svaka radnja izaziva strogo definisan rezultat; nasumični (unaprijed nepredviđeni) utjecaji se zanemaruju. Stoga, za dato početni uslovi stanje takvog sistema se može odrediti sa vjerovatnoćom jednakom 1. Tip takvog uzorka je funkcionalna veza.

Povezivanje funkcija at sa znakom X naziva se funkcionalnim ako je svaka moguća vrijednost nezavisne karakteristike X odgovara 1 ili nekoliko strogo definiranih vrijednosti zavisne karakteristike at. Definicija funkcionalnog odnosa može se lako generalizirati na slučaj mnogih osobina X 1 ,X 2 …X n .

Karakteristična karakteristika funkcionalnih veza je da je u svakom pojedinačnom slučaju poznata kompletna lista faktora koji određuju vrijednost zavisne (rezultirajuće) karakteristike, kao i tačan mehanizam njihovog utjecaja, izražen određenom jednačinom.

Funkcionalni odnos se može predstaviti jednadžbom:

y i =  (x i ) ,

Gdje y i- efektivan znak ( i = 1, … , n);

f(x i ) - poznata funkcija veze između rezultantnih i faktorskih karakteristika;

x i- faktor faktor.

U stvarnom društvenom životu, zbog nepotpunosti informacija u strogo određenom sistemu, može nastati neizvjesnost, zbog čega ovaj sistem po svojoj prirodi treba smatrati probabilističkim, dok odnos između znakova postaje stohastički.

Stahostična sprega je odnos između veličina u kojima je jedna od njih slučajna varijabla at, odgovara na promjene u drugoj količini X ili druge količine X 1 ,X 2 …X n(slučajno ili neslučajno) promjenom zakona raspodjele. To je zbog činjenice da je zavisna varijabla (rezultirajući atribut), pored nezavisnih koji se razmatraju, podložna utjecaju niza neuračunatih ili nekontroliranih (slučajnih) faktora, kao i nekih neizbježnih grešaka u mjerenje varijabli. Budući da su vrijednosti zavisne varijable podložne nasumičnom rasipanju, one se ne mogu predvidjeti s dovoljnom točnošću, već samo naznačene s određenom vjerovatnoćom.

Karakteristična karakteristika stohastičkih veza je da se manifestiraju u cijelom agregatu, a ne u svakoj od njegovih jedinica. Štaviše, nije poznata ni potpuna lista faktora koji određuju vrijednost efektivne karakteristike, niti tačan mehanizam njihovog funkcionisanja i interakcije sa efektivnom karakteristikom. Uvijek postoji utjecaj slučajnosti. Različite vrijednosti zavisne varijable koje se pojavljuju su realizacija slučajne varijable.

Stohastički model komunikacije može se u opštem obliku predstaviti jednadžbom:

ŷ i =  (x i ) +  i ,

Gdje ŷ i- izračunata vrijednost rezultantne karakteristike;

f(x i ) - dio rezultirajuće karakteristike, formiran pod utjecajem poznatih faktorskih karakteristika (jedne ili više) uzetih u obzir, koje su u stohastičkoj vezi sa karakteristikom;

 i- dio rezultantne karakteristike koji je nastao kao rezultat djelovanja nekontrolisanih ili neuračunatih faktora, kao i mjerenja karakteristika, što je neminovno praćeno nekim slučajnim greškama.

Na ispoljavanje stohastičkih odnosa utiče zakon velikih brojeva: samo u dovoljno velikom broju jedinica pojedinačne karakteristike će se izgladiti, slučajnost se međusobno poništavati, a zavisnost će se, ako ima značajnu snagu, pojaviti sasvim jasno.

Korelacija postoji tamo gde se međusobno povezane pojave karakterišu samo slučajnim varijablama. Sa takvom vezom, prosječna vrijednost (matematičko očekivanje) slučajne varijable rezultirajuće karakteristike at prirodno se mijenja ovisno o promjenama u drugoj količini X ili druge slučajne varijable X 1 ,X 2 …X n. Korelacija se očituje ne u svakom pojedinačnom slučaju, već u cijeloj populaciji u cjelini. Samo sa dovoljno velikim brojem slučajeva za svaku vrijednost slučajne karakteristike Xće odgovarati distribuciji prosječnih vrijednosti slučajne karakteristike at. Prisustvo korelacija svojstveno je mnogim društvenim fenomenima.

Korelacija– koncept uži od stohastičke sprege. Ovo posljednje se može odraziti ne samo u promjeni prosječne vrijednosti, već iu varijaciji jedne karakteristike u zavisnosti od druge, odnosno bilo koje druge karakteristike varijacije. Dakle, korelaciona veza je poseban slučaj stohastičke veze.

Direktne i povratne veze. U zavisnosti od smjera djelovanja, funkcionalne i stohastičke veze mogu biti direktne i reverzne. S direktnom vezom, smjer promjene efektivne karakteristike poklapa se sa smjerom promjene faktorske karakteristike, odnosno s povećanjem faktorske karakteristike raste i efektivna karakteristika, i obrnuto, sa smanjenjem faktorske karakteristike. faktorska karakteristika, efektivna karakteristika se takođe smanjuje. Inače, postoje povratne veze između veličina koje se razmatraju. Na primjer, što je veća kvalifikacija (razred) radnika, to je viši nivo produktivnosti rada - direktna veza. I što je veća produktivnost rada, to je niži trošak po jedinici proizvodnje - povratna informacija.

Prave i krivolinijske veze. Prema analitičkom izrazu (oblici), veze mogu biti pravolinijske ili krivolinijske. U linearnom odnosu, s povećanjem vrijednosti faktorske karakteristike, dolazi do kontinuiranog povećanja (ili smanjenja) vrijednosti rezultirajuće karakteristike. Matematički, takav odnos je predstavljen pravolinijskom jednadžbom, a grafički pravom linijom. Otuda i njegov kraći naziv – linearna veza. Kod krivolinijskih odnosa, s povećanjem vrijednosti faktorske karakteristike, povećanje (ili smanjenje) rezultirajuće karakteristike se događa neravnomjerno, ili je smjer njene promjene obrnut. Geometrijski, takve veze su predstavljene zakrivljenim linijama (hiperbola, parabola, itd.).

Unifaktorni i multifaktorski odnosi. U zavisnosti od broja faktora koji deluju na efektivnu osobinu, odnosi se razlikuju: jednofaktorski (jedan faktor) i višefaktorski (dva ili više faktora). Jednofaktorski (jednostavni) odnosi se obično nazivaju upareni (pošto se razmatra par karakteristika). Na primjer, korelacija između profita i produktivnosti rada. U slučaju multifaktorske (višestruke) veze, podrazumijeva se da svi faktori djeluju složeno, odnosno istovremeno i u međusobnoj vezi. Na primjer, korelacija između produktivnosti rada i nivoa organizacije rada, automatizacije proizvodnje, kvalifikacija radnika, radnog iskustva, zastoja i drugih faktorskih karakteristika. Koristeći višestruku korelaciju, možete pokriti čitav kompleks faktorskih karakteristika i objektivno odražavati postojeće višestruke veze.

Stohastička empirijska zavisnost

Zavisnost između slučajnih varijabli naziva se stohastička zavisnost. Ona se manifestuje u promeni zakona distribucije jednog od njih (zavisne varijable) kada se drugi (argumenti) promene.

Grafički stohastička empirijska zavisnost, u koordinatnom sistemu zavisna varijabla - argumenti, je skup nasumično lociranih tačaka koji odražavaju opštu tendenciju ponašanja zavisne varijable kada se argumenti promene.

Stohastička empirijska ovisnost o jednom argumentu naziva se ovisnost o paru; Primjer parne sobe linearna zavisnost prikazano na sl. 1.()

Rice. 1.

Za razliku od uobičajene funkcionalne zavisnosti, u kojoj promjene vrijednosti argumenta (ili nekoliko argumenata) odgovaraju promjeni determinističke zavisne varijable, u stohastičkoj ovisnosti dolazi do promjene statističke distribucije slučajne zavisne varijable, posebno , matematičko očekivanje.

Problem matematičkog modeliranja (aproksimacije).

Konstrukcija stohastičke zavisnosti se drugačije naziva matematičko modeliranje(aproksimacija) ili aproksimacija i sastoji se u pronalaženju njenog matematičkog izraza (formule).

Empirijski utvrđena formula (funkcija), koja odražava ne uvijek poznat, ali objektivno postojeći istinit odnos i odgovara osnovnom, stabilnom, ponavljajućem odnosu između objekata, pojava ili njihovih svojstava, smatra se matematičkim modelom.

Stabilan odnos stvari i njihova istinska zavisnost. bez obzira da li je modeliran ili ne, on postoji objektivno, ima matematički izraz i smatra se zakonom ili njegovom posljedicom.

Ako je poznat odgovarajući zakon ili posljedica iz njega, onda ih je prirodno smatrati željenom analitičkom ovisnošću. Na primjer, empirijska ovisnost jačine struje I u naponskom kolu U i otpornost na opterećenje R proizilazi iz Ohmovog zakona:

Nažalost, prava zavisnost varijabli u velikoj većini slučajeva je a priori nepoznata, pa postoji potreba da se ona detektuje na osnovu opštih razmatranja i teorijskih koncepata, odnosno konstruisanja matematičkog modela obrasca o kome je reč. Uzima se u obzir da date varijable i njihovi priraštaji na pozadini slučajnih fluktuacija odražavaju matematička svojstvaželjenu pravu zavisnost (ponašanje tangenta, ekstrema, korijena, asimptota, itd.)

Aproksimirajuća funkcija koja je odabrana na ovaj ili onaj način izglađuje (prosječuje) slučajne fluktuacije u početnim empirijskim vrijednostima zavisne varijable i, potiskujući na taj način slučajnu komponentu, aproksimacija je regularnoj komponenti i, prema tome, željena prava zavisnost.

Matematički model empirijske zavisnosti ima teorijski i praktični značaj:

· omogućava vam da utvrdite adekvatnost eksperimentalnih podataka jednom ili drugom poznatom zakonu i identifikujete nove obrasce;

· rješava za zavisnu varijablu problem interpolacije unutar zadanog intervala vrijednosti argumenata i predviđanja (ekstrapolacije) izvan intervala.

Međutim, uprkos velikom teorijskom interesu pronalaženja matematičke formule za zavisnost veličina, u praksi je često dovoljno samo utvrditi postoji li veza između njih i kolika je njena snaga.

Zadatak korelacione analize

Metoda za proučavanje odnosa između promjenjivih veličina je analiza korelacije.

Ključni koncept korelacione analize koji opisuje odnos između varijabli je korelacija (od engleskog korelacija - koordinacija, veza, odnos, odnos, međuzavisnost).

Korelaciona analiza se koristi za otkrivanje stohastičke zavisnosti i procenu njene jačine (značajnosti) na osnovu veličine koeficijenata korelacije i korelacionog odnosa.

Ako se pronađe odnos između varijabli, onda se kaže da je korelacija prisutna ili da su varijable u korelaciji.

Indikatori bliskosti veze (koeficijent korelacije, odnos korelacije) po modulu variraju od 0 (u odsustvu veze) do 1 (u slučaju degeneracije stohastičke zavisnosti u funkcionalnu).

Stohastički odnos se smatra značajnom (stvarnom) ako je apsolutna procjena koeficijenta korelacije (korelacijski odnos) značajna, odnosno 2-3 veća od standardne devijacije procjene koeficijenta.

Imajte na umu da se u nekim slučajevima može pronaći veza između pojava koje nisu u očiglednoj uzročno-posljedičnoj vezi.

Na primjer, za neka ruralna područja utvrđena je direktna stohastička veza između broja roda koje se gnijezde i rođene djece. Proljetni broj roda omogućava predviđanje koliko će djece biti rođeno ove godine, ali ovisnost, naravno, ne dokazuje dobro poznato vjerovanje, već se objašnjava paralelnim procesima:

· rođenju djece obično prethodi formiranje i osnivanje novih porodica seoske kuće i salaši;

· širenje mogućnosti gniježđenja privlači ptice i povećava njihov broj.

Takva korelacija između karakteristika naziva se lažna (imaginarna) korelacija, iako može imati praktični značaj.

Neka je potrebno proučiti zavisnost i obje veličine se mjere u istim eksperimentima. Da bi se to postiglo, provodi se niz eksperimenata na različita značenja pokušavajući da ostale eksperimentalne uslove održe nepromijenjenima.

Mjerenje svake veličine sadrži slučajne greške (ovdje nećemo razmatrati sistematske greške); stoga su ove vrijednosti nasumične.

Prirodni odnos slučajnih varijabli naziva se stohastičkim. Razmotrićemo dva problema:

a) utvrditi da li postoji (sa određenom vjerovatnoćom) zavisnost od ili da li vrijednost ne zavisi od;

b) ako zavisnost postoji, opišite je kvantitativno.

Prvi zadatak se zove analiza varijanse, a ako se razmatra funkcija mnogih varijabli, onda multivarijantna analiza varijanse. Drugi zadatak se zove regresiona analiza. Ako su slučajne greške velike, onda mogu prikriti željenu ovisnost i možda je neće biti lako identificirati.

Dakle, dovoljno je kao parametar uzeti u obzir slučajnu varijablu ovisno o njoj. Matematičko očekivanje ove vrijednosti zavisi od toga da li je ta zavisnost željena i naziva se regresijskim zakonom.

Analiza varijanse. Hajde da izvršimo mali niz merenja za svaku vrednost i odredimo Razmotrimo dva načina obrade ovih podataka, što nam omogućava da istražimo postoji li značajna (tj. sa prihvaćenom verovatnoćom poverenja) zavisnost z od

U prvoj metodi, standardi uzorkovanja jednog mjerenja izračunavaju se za svaku seriju posebno i za cijeli skup mjerenja:

gdje je ukupan broj mjerenja, i

su prosječne vrijednosti za svaku seriju i za cijeli skup mjerenja.

Uporedimo varijansu skupa mjerenja sa varijansom pojedinačnih serija. Ako se pokaže da je na odabranom nivou pouzdanosti moguće izračunati za sve i, tada postoji zavisnost z od.

Ako nema pouzdanog viška, tada se ovisnost ne može detektirati (s obzirom na točnost eksperimenta i usvojenu metodu obrade).

Odstupanja se porede korišćenjem Fišerovog testa (30). Budući da je standard s određen ukupnim brojem mjerenja N, koji je obično prilično velik, gotovo uvijek možete koristiti Fisherove koeficijente date u tabeli 25.

Druga metoda analize je upoređivanje prosjeka različitih vrijednosti jedni s drugima. Vrijednosti su nasumične i nezavisne, a njihovi vlastiti standardi uzorkovanja su jednaki

Stoga se upoređuju prema šemi nezavisnih mjerenja opisanoj u paragrafu 3. Ako su razlike značajne, odnosno prelaze interval povjerenja, tada je utvrđena činjenica zavisnosti od; ako su razlike između sva 2 beznačajne, ovisnost se ne može otkriti.

Multivarijantna analiza ima neke karakteristike. Preporučljivo je izmjeriti vrijednost u čvorovima pravokutne mreže tako da je prikladnije proučavati ovisnost o jednom argumentu, fiksirajući drugi argument. Izvođenje serije mjerenja na svakom čvoru višedimenzionalne mreže je previše radno intenzivno. Dovoljno je izvršiti seriju mjerenja na nekoliko tačaka mreže da bi se procijenila disperzija jednog mjerenja; u drugim čvorovima možemo se ograničiti na pojedinačna mjerenja. Analiza varijanse se vrši prema prvoj metodi.

Napomena 1. Ako postoji mnogo mjerenja, onda u obje metode pojedinačna mjerenja ili serije mogu, sa primjetnom vjerovatnoćom, prilično jako odstupiti od svog matematičkog očekivanja. Ovo se mora uzeti u obzir pri odabiru vjerovatnoće pouzdanosti dovoljno blizu 1 (kao što je učinjeno pri postavljanju granica koje razdvajaju dozvoljene slučajne greške od grubih).

Regresiona analiza. Neka analiza varijanse pokaže da je zavisnost z od. Kako to kvantificirati?

Da bismo to učinili, aproksimiramo željenu ovisnost nekom funkcijom. Metodom pronalazimo optimalne vrijednosti parametara najmanjih kvadrata rješavanje problema

gdje su mjerne težine, odabrane obrnuto proporcionalno kvadratu greške mjerenja u datoj tački (tj. ). Ovaj problem je analiziran u poglavlju II, § 2. Ovdje ćemo se zadržati samo na onim karakteristikama koje su uzrokovane prisustvom velikih slučajnih grešaka.

Tip se bira ili iz teorijskih razmatranja o prirodi zavisnosti ili formalno, poređenjem grafa sa grafovima poznatih funkcija. Ako je formula odabrana iz teorijskih razmatranja i ispravno (sa teorijske točke gledišta) prenosi asimptotiku, tada obično omogućava ne samo dobro aproksimaciju skupa eksperimentalnih podataka, već i ekstrapolaciju pronađene ovisnosti na druge raspone vrijednosti. Formalno odabrana funkcija može na zadovoljavajući način opisati eksperiment, ali je rijetko prikladna za ekstrapolaciju.

Najlakše je riješiti problem (34) ako se radi o algebarskom polinomu. Međutim, takav formalni izbor funkcije rijetko se pokaže zadovoljavajućim. Tipično, dobre formule nelinearno zavise od parametara (transcendentalna regresija). Najpogodnije je konstruisati transcendentalnu regresiju odabirom takve zamene varijabli tako da zavisnost bude skoro linearna (videti Poglavlje II, § 1, paragraf 8). Tada ga je lako aproksimirati algebarskim polinomom: .

Izravnavanje varijabli traži se korištenjem teorijskih razmatranja i uzimajući u obzir asimptotiku. Nadalje ćemo pretpostaviti da je takva promjena već napravljena.

Napomena 2. Prilikom prelaska na nove varijable, problem metode najmanjih kvadrata (34) poprima oblik

gdje su nove težine povezane s originalnim odnosima

Stoga, čak i da su u originalnoj formulaciji (34) sva mjerenja imala istu točnost, ponderi za nivelmanske varijable neće biti isti.

Korelaciona analiza. Potrebno je provjeriti da li je zamjena varijabli zaista bila nivelirajuća, odnosno da li je zavisnost bliska linearnoj. Ovo se može uraditi izračunavanjem koeficijenta korelacije para

Lako je pokazati da je relacija uvijek zadovoljena

Ako je ovisnost strogo linearna (i ne sadrži slučajne greške), onda ili ovisno o predznaku nagiba prave linije. Što je manja, to zavisnost manje liči na linearnu. Stoga, ako je , a broj mjerenja N dovoljno velik, tada su varijable nivelmana odabrane na zadovoljavajući način.

Takvi zaključci o prirodi zavisnosti zasnovani na koeficijentima korelacije nazivaju se korelacionom analizom.

Korelaciona analiza ne zahteva niz merenja koje treba preduzeti u svakoj tački. Dovoljno je izvršiti jedno mjerenje u svakoj tački, ali zatim uzeti više tačaka na krivulji koja se proučava, što se često radi u fizičkim eksperimentima.

Napomena 3. Postoje kriterijumi blizine koji vam omogućavaju da naznačite da li je zavisnost praktično linearna. Ne zadržavamo se na njima, budući da će izbor stepena aproksimirajućeg polinoma biti razmatran u nastavku.

Napomena 4. Omjer ukazuje na odsustvo linearne zavisnosti, ali ne znači i na odsustvo bilo kakve zavisnosti. Dakle, ako na segmentu - onda

Optimalni polinom stepena a. Zamijenimo aproksimirajući polinom stepena u problem (35):

Tada optimalne vrijednosti parametara zadovoljavaju sistem linearne jednačine (2.43):

i nije ih teško pronaći. Ali kako odabrati stepen polinoma?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na originalne varijable i izračunajmo varijansu aproksimacijske formule sa pronađenim koeficijentima. Nepristrasna procjena ove varijanse je

Očigledno, kako se stepen polinoma povećava, disperzija (40) će se smanjiti: što se više koeficijenata uzme, to se eksperimentalne tačke mogu preciznije aproksimirati.