Izvođenje jednadžbe za male uzdužne vibracije elastične šipke. Longitudinalni talasi. Vibracije šipki promjenjivog poprečnog presjeka
MEHANIKA
UDK 531.01/534.112
UZDUŽNE VIBRACIJE PAKETA ŠIPKI
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Ruska Federacija e-mail: [email protected]; [email protected]
U pitanjima dinamike raketa na tečno gorivo, važnu ulogu igra problem stabilnosti kretanja rakete kada se javljaju uzdužne elastične oscilacije. Pojava takvih oscilacija može dovesti do uspostavljanja autooscilacija, koje, ako je raketa nestabilna u uzdužnom smjeru, mogu dovesti do njenog brzog uništenja. Formuliran je problem uzdužnih oscilacija paketne rakete kao proračunski model. Prihvaćeno je da je tečnost u raketnim rezervoarima „zamrznuta“, tj. vlastita kretanja tečnosti se ne uzimaju u obzir. Formuliran je zakon bilansa ukupne energije za problem koji se razmatra i data je njegova operatorska formulacija. Dat je numerički primjer za koji su određene frekvencije, te konstruirani i analizirani oblici prirodnih oscilacija.
Ključne riječi: longitudinalne vibracije, frekvencija i oblik vibracija, paket šipki, zakon o ukupnoj energiji, samoprilagođeni operator, spektar vibracija, POGO.
SISTEM UZDUŽNIH VIBRACIJA ŠIPKI A.M. Pavlov, AL. Temnov
Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Moskva, Ruska Federacija e-mail: [email protected]; [email protected]
U pitanjima dinamike raketa na tečno gorivo problem stabilnosti kretanja ove rakete ima važnu ulogu sa pojavom uzdužnih elastičnih vibracija. Pojava takve vrste vibracija može izazvati vlastite vibracije koje mogu uzrokovati brzo uništenje rakete u slučaju nestabilnosti rakete u uzdužnom smjeru. Problem uzdužnih vibracija rakete na tekuće gorivo na osnovu paketne šeme je formulisan korišćenjem paketnih štapova kao proračunskog modela. Pretpostavlja se da je tečnost u raketnim rezervoarima „zamrznuta“, tj. pravilna kretanja tečnosti nisu uključena. Za ovaj problem formulisan je princip očuvanja energije i dat je njegov operatorski stepen. Postoji numerički primjer za koji su određene frekvencije, izgrađeni i analizirani oblici Eigen vibracija.
Ključne riječi: longitudinalne vibracije, vlastiti modovi i frekvencije, model štapova, princip očuvanja energije, samopridruženi operator, spektar vibracija, POGO.
Uvod. Trenutno se u Rusiji i inostranstvu za lansiranje korisnog tereta u potrebnu orbitu često koriste lansirne rakete paketnog rasporeda sa identičnim bočnim blokovima ravnomerno raspoređenim oko centralnog bloka.
Proučavanje vibracija paketnih struktura nailazi na određene poteškoće povezane s dinamičkim djelovanjem bočnih i središnjih blokova. U slučaju simetrije rasporeda lansirne rakete, složena, prostorna interakcija blokova dizajna paketa može se podijeliti na konačan broj tipova vibracija, od kojih su jedna uzdužne vibracije središnjeg i bočnog bloka. U radu je detaljno obrađen matematički model uzdužnih vibracija takve konstrukcije u obliku paketa štapova tankih stijenki. Rice. 1. Shema central- Ovaj članak predstavlja teorijski štap i proračunske rezultate longitudinalnog
vibracije paketa šipki, dopunjujući studiju koju je sproveo A.A. Šteta.
Izjava o problemu. Razmotrimo druge uzdužne vibracije paketa štapova koji se sastoji od centralnog štapa dužine l0 i N bočnih šipki iste dužine j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, pričvršćenih u tački A (xA = l) (slika 1) sa centralnim opružnim elementima krutosti k.
Uvedemo fiksni referentni okvir OX i pretpostavimo da su krutost štapova EFj (x), distribuirana masa mj (x) i poremećaj q (x,t) ograničene funkcije koordinate x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Neka pri uzdužnim vibracijama nastaju pomaci Uj (x, t) u presjecima štapova sa koordinatom x, određenim jednadžbama mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) granični uslovi za odsustvo normalnih sila na krajevima štapova 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; uslovi jednakosti normalnih sila koje nastaju u štapovima, EF-3 = F x = l elastične sile opružnih elemenata FpPJ = k (š (ha) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; uslov jednakosti pomaka u tački xa centralnog štapa Shch (ha-o) = Shch (xa+o) i početni uslovi Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ u(x, 0) = u(x), gdje je u(x, 0) = "d^1(x, 0). Zakon ukupnog energetskog bilansa. Pomnožimo jednačinu (2) sa u(x,ξ), integrirajmo po dužini svakog štapa i zbrojimo rezultate koristeći granične uvjete (3) i uvjet podudaranja (4). Kao rezultat dobijamo (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ G „„ , f dp3\ , 1 ^ Gj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Uo I (x - -)(ne - Uj)2 dx = / ^ (x, £) oni y (x, £) (x, (6) gdje je 8 (x - ¡y) Diracova delta funkcija. U jednačini (6), prvi član u vitičastim zagradama predstavlja kinetičku energiju T (¿) sistema, drugi je potencijalnu energiju Pr (£), uzrokovanu deformacijom štapova, a treći je potencijalna energija Pk (£) opružnih elemenata, koji se u prisustvu elastičnih deformacija šipkama mogu zapisati u obliku Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. Jednačina (6) pokazuje da je promjena ukupne energije po jedinici vremena mehaničkog sistema koji se razmatra jednaka snazi spoljni uticaj. U odsustvu spoljašnjeg poremećaja q (x,t), dobijamo zakon održanja ukupne energije: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Kinematografija. Zakon o energetskoj ravnoteži pokazuje da se za bilo koje vrijeme t funkcije Uj (x, t) mogu smatrati elementima Hilbertovog prostora L2j(; m3 (x)), definiranim na dužini ¡i skalarnim proizvodom (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 i odgovarajuću normu. Uvedemo Hilbertov prostor H jednak ortogonalnoj sumi L2j, H = L20 F L21 F... F L2N, vektorsku funkciju U = (uo, Ui,..., uN)t i operator A koji djeluje u prostor H prema relaciji AU = dijagnoza (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" operatori definisani na skup B (A33) S N funkcija koje zadovoljavaju uslove (3) i (4). Originalni problem (1)-(5) zajedno sa početnim uslovima biće zapisan u obliku Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7) gdje je f (*) = (do (*),51 (*),..., Yam (¿))t. Lemma. 1. Ako su prva dva uslova (1) zadovoljena, tada je operator A u evolucionom problemu (7) neograničeni, samopridruženi, pozitivno određeni operator u prostoru H (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Operator A generiše energetski prostor HA sa normom jednakom dvostrukoj vrijednosti potencijalna energija vibracije paketa šipki 3\^I h)2 = 2P > 0. (8) IIIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx U^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Iz navedenih rezultata proizilazi da je energetska norma operatora A izražena formulom (8). Rješivost evolucijskog problema. Formulirajmo sljedeću teoremu. Teorema 1. Neka su uslovi ispunjeni U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H), onda problem (7) ima jedinstveno slabo rješenje U (t) na intervalu, definisanom formulom U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 u odsustvu spoljašnjih smetnji f (£), zakon održanja energije je zadovoljen 1 II A 1/2UI2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Prirodne vibracije paketa štapova. Pretpostavimo da na sistem štapova ne utiče polje spoljašnjih sila: f (t) = 0. U ovom slučaju, kretanje štapova će se zvati slobodnim. Slobodno kretanje štapova, ovisno o vremenu t prema zakonu exp (iwt), nazvat ćemo prirodne vibracije. Uzimajući U (x, t) = U (x) eiWÍ u jednačini (7), dobijamo spektralni problem za operator A: AU - AEU = 0, L = w2. (9) Svojstva operatora A nam omogućavaju da formulišemo teoremu o spektru i svojstvima sopstvenih funkcija. Teorema 2. Spektralni problem (9) o prirodnim vibracijama paketa štapova ima diskretni pozitivni spektar 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то i sistem svojstvenih funkcija (Uk (x))^=0, potpun i ortogonan u prostorima H i HA, a zadovoljene su sljedeće formule ortogonalnosti: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Proučavanje spektralnog problema u slučaju homogenog paketa štapova. Predstavljajući funkciju pomaka m- (x, £) u obliku m- (x, £) = m- (x), nakon odvajanja varijabli dobijamo spektralne probleme za svaki štap: ^Ou + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) koje zapisujemo u matričnom obliku 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Rješenje i analiza dobijenih rezultata. Označimo funkcije pomaka za središnji štap u presjeku kao u01, a u presjeku kao u02 (g). U ovom slučaju, za funkciju u02 pomičemo ishodište koordinata u tačku s koordinatom /. Za svaki štap predstavljamo rješenje jednadžbe (10) u obliku Da bismo pronašli nepoznate konstante u (11), koristimo granične uslove formulisane gore. Iz homogenih graničnih uslova moguće je odrediti neke konstante, i to: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Kao rezultat, ostaje pronaći N + 3 konstante: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Da bismo to učinili, rješavamo N + 3 jednadžbe za N + 3 nepoznate. Zapišimo rezultirajući sistem u matričnom obliku: (A) (C) = (0) . Ovdje (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t je vektor nepoznanica; (A) - karakteristična matrica, cos (A1) EF0 A sin (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 y 00 00 0 000Y a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ L= ^L] ; A--: 3 = 0. Da bismo pronašli netrivijalno rješenje, uzimamo konstantu C01 € M kao varijablu. Imamo dvije opcije: C01 = 0; C01 = 0. Neka je C01 = 0, tada je C03 = C04 = 0. U ovom slučaju, netrivijalno rješenje se može dobiti ako je 7 = 0 iz (12) kada je ispunjen dodatni uvjet £ s-1 = 0, (13) što se može dobiti iz treće jednačine sistema (12). Kao rezultat, dobijamo jednostavnu frekvencijsku jednačinu EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , koja se poklapa sa frekvencijskom jednadžbom za štap elastično fiksiran na jednom kraju, koji se može smatrati prvim parcijalnim sistemom. U ovom slučaju, sve moguće kombinacije kretanja bočnih šipki koje zadovoljavaju uvjet (13) mogu se uvjetno podijeliti u grupe koje odgovaraju različitim kombinacijama faza (u predmetnom slučaju faza je određena predznakom C.d). Ako pretpostavimo da su bočne šipke identične, onda imamo dvije mogućnosti: 1) Sd = 0, tada se broj takvih kombinacija n za različita N može izračunati pomoću formule n = N 2, gdje je funkcija dijeljenja bez ostatka; 2) bilo koja (ili bilo koja) od konstanti C- jednaka je 0, tada se broj mogućih kombinacija povećava i može se odrediti formulom £ [(N - m) div 2]. Neka je Coi = 0, tada je Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), gdje su in i y kompleksi uključeni u (12). Iz sistema (12) imamo i: C03 = C01 cos (Af); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), tj. sve konstante su izražene kroz C01. Jednačina frekvencije ima oblik EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 L Kao primjer, razmotrite sistem sa četiri bočne šipke. Pored gore opisane metode, za ovaj primjer možete napisati frekvencijsku jednačinu za cijeli sistem tako što ćete izračunati determinantu matrice A i izjednačiti je sa nulom. Pogledajmo to Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/o - /)) (EFoL sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Grafovi jednadžbi transcendentalnih frekvencija za gore razmatrane slučajeve prikazani su na Sl. 2. Kao početni podaci uzeti su: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /o = 33 m Vrijednosti prve tri frekvencije oscilacija razmatranog kola su date u nastavku: n................................................ i drago/s..................................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Rice. 2. Grafovi transcendentalnih frekvencijskih jednadžbi za Coi = 0 (i) i Coi = 0 (2) Predstavimo modove vibracija koji odgovaraju dobijenim rešenjima (u opštem slučaju, modovi vibracija nisu normalizovani). Oblici vibracija koji odgovaraju prvoj, drugoj, trećoj, četvrtoj, 13 i 14 frekvenciji prikazani su na Sl. 3. Na prvoj frekvenciji vibracije, bočne šipke vibriraju istog oblika, ali u parovima u antifazi Fig.3. Oblici vibracije bočne (1) i centralne (2) šipke odgovaraju prvom V = 3,20 Hz (a), drugom V = 5,02 Hz (b), trećem V = 10,11 Hz (c), četvrtom V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) i 14. V = 50,88 Hz (f) frekvencije (Sl. 3, a), sa drugim, centralni štap osciluje, a bočni osciliraju u istom obliku u fazi (Sl. 3, b). Treba napomenuti da se razmatraju prva i druga frekvencija oscilovanja sistem šipki odgovaraju vibracijama sistema koji se sastoji od čvrstih tijela. Kada sistem oscilira sa trećom prirodnom frekvencijom, prvi put se pojavljuju čvorovi (slika 3c). Treća i naredne frekvencije (slika 3d) odgovaraju elastičnim vibracijama sistema. Sa povećanjem frekvencije vibracija, povezanim sa smanjenjem utjecaja elastičnih elemenata, frekvencije i oblici vibracija imaju tendenciju da budu parcijalni (sl. 3, e, f). Krive funkcija čije su točke presjeka sa osom apscisa rješenja transcendentalnih jednačina prikazane su na sl. 4. Prema slici, prirodne frekvencije oscilacija sistema nalaze se u blizini parcijalnih frekvencija. Kao što je gore navedeno, sa povećanjem frekvencije, povećava se konvergencija prirodnih frekvencija s parcijalnim. Kao rezultat toga, frekvencije na kojima cijeli sistem oscilira se uslovno dijele u dvije grupe: one bliske parcijalnim frekvencijama bočne šipke i frekvencije bliske parcijalnim frekvencijama centralne šipke. Zaključci. Razmatra se problem uzdužnih vibracija paketa šipki. Svojstva isporučene problem graničnih vrijednosti i spektar njegovih sopstvenih vrednosti. Predloženo je rješenje spektralnog problema za proizvoljan broj homogenih bočnih šipki. Za numerički primjer, nalaze se vrijednosti prvih frekvencija oscilacija i konstruiraju se odgovarajući oblici. Također su otkrivena i neka karakteristična svojstva konstruiranih modova vibracija. Rice. 4. Krive funkcija čije su točke presjeka sa osom apscisa rješenja transcendentalnih jednačina, za CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) poklapaju se s prvim parcijalnim sistemom (bočni štap pričvršćen za elastičnu element u tački x = I) i drugi parcijalni sistem (5) (centralna šipka pričvršćena na četiri elastična elementa u tački A) LITERATURA 1. Kolesnikov K.S. Dinamika raketa. M.: Mašinstvo, 2003. 520 str. 2. Balističke rakete i lansirne rakete / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin i dr. M.: Drfa, 2004. 511 str. 3. Rabinovich B.I. Uvod u dinamiku raketa lansirnih letelica. M.: Mašinstvo, 1974. 396 str. 4. Studija parametara o POGO stabilnosti tekućih raketa / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol. 48. Is. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Metode za analizu uzdužnih vibracija lansirnih vozila na tekući pogon // Cosmonautics and Rocket Science. 1995. br. 5. str. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Osobine matematičkog modela tečne rakete šaržnog rasporeda kao upravljačkog objekta // Odabrani problemi čvrstoće savremenog mašinstva. 2008. str. 43-55. 7. Dokuchaev L.V. Poboljšanje metoda za proučavanje dinamike paketnog lansirnog vozila, uzimajući u obzir njihovu simetriju // Cosmonautics and Rocket Science. 2005. br. 2. str. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Razvoj približnih analitičkih metoda za proračun prirodnih i prisilnih vibracija elastične školjke sa tečnošću: dis. ... Dr. Tech. Sci. M., 2005. 220 str. 9. Crane S.G. Linearne diferencijalne jednadžbe u Banahovim prostorima. M.: Nauka, 1967. 464 str. 10. Kopachevsky I.D. Operatorske metode matematička fizika. Simferopolj: DOO "Forma", 2008. 140 str. Kolesnikov K.S. Dinamika raket. Moskva, Mašinostroenie Publ., 2003. 520 str. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ur. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Moskva, Drofa Publ., 2003. 511 str. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositelej kosmičeskih aparata. Moskva, Mašinostroenie Publ., 1974. 396 str. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Studija parametara o stabilnosti POGO rakete na tekuće gorivo. J. Svemirske letjelice i rakete, 2011, vol. 48, br. 3, str. 537-541. Balakirev Yu.G. Metode analize uzdužnih vibracija raketa-nosača sa motorom na tečno gorivo. Kosm. i raketostr. , 1995, br. 5, str. 50-58 (na ruskom). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 str. (citirano str. 4355). Dokuchaev L.V. Unapređenje metoda za proučavanje dinamike klasterskih lansirnih vozila s obzirom na njihovu simetriju. Kosm. i raketostr. , 2005, br. 2, str. 112-121 (na ruskom). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizennyh analiticheskih metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennyh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tehn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moskva, Nauka Publ., 1967. 464 str. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 str. Članak je urednici primio 28.04.2014 Arsenij Mihajlovič Pavlov - student Odsjeka za svemirske letjelice i lansirna vozila na Moskovskom državnom tehničkom univerzitetu. N.E. Bauman. Specijalizovan je u oblasti raketne i svemirske tehnologije. MSTU im. N.E. Baumash, Ruska Federacija, 105005, Moskva, 2. Baumanskaja, 5. Pavlov A.M. - student odsjeka "Svemirske letjelice i lansirna vozila" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta Bauman. Specijalista u oblasti raketno-kosmičke tehnologije. Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Baumanskaya 2-ya ul. 5, Moskva, 105005 Ruska Federacija. Temnov Aleksandar Nikolajevič - Dr. fizike i matematike nauka, vanredni profesor na Katedri za svemirske letelice i lansirna vozila Moskovskog državnog tehničkog univerziteta. N.E. Bauman. Autor stariji od 20 godina naučni radovi u oblasti mehanike fluida i gasa i raketne i svemirske tehnologije. MSTU im. N.E. Baumash, Ruska Federacija, 105005, Moskva, 2. Baumanskaja, 5. Temnov A.N. - Cand. Sci. (fizi.-mate.), vanr. profesor na odsjeku "Svemirske letjelice i lansirna vozila" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta Bauman. Autor više od 20 publikacija iz oblasti mehanike fluida i gasa i raketno-kosmičke tehnologije. Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Baumanskaya 2-ya ul. 5, Moskva, 105005 Ruska Federacija. U ovom dijelu ćemo razmotriti problem uzdužnih vibracija homogenog štapa. Štap je tijelo cilindričnog (posebno prizmatičnog) oblika, za rastezanje ili sabijanje na koje se mora primijeniti određena sila. Pretpostavićemo da sve sile deluju duž ose štapa i da se svaki od poprečnih preseka štapa (slika 23) kreće translaciono samo duž ose štapa. Obično je ova pretpostavka opravdana ako su poprečne dimenzije štapa male u odnosu na njegovu dužinu, a sile koje djeluju duž ose štapa su relativno male. U praksi se uzdužne vibracije najčešće javljaju kada se štap prvo lagano rastegne ili, obrnuto, stisne, a zatim prepusti sam sebi. U tom slučaju u njemu nastaju slobodne uzdužne vibracije. Izvedemo jednačine za ove oscilacije. Usmjerimo osu apscise duž ose štapa (slika 23); u stanju mirovanja, krajevi štapa imaju apscise, respektivno. - njegova apscisa miruje. Pomicanje ovog odsjeka u bilo kojem trenutku t će biti okarakterisano funkcijom da bismo pronašli koju moramo kreirati diferencijalnu jednačinu. Nađimo najprije relativno izduženje presjeka ograničenog presjecima. Ako apscisa presjeka miruje, tada je pomak ovog presjeka u trenutku t, s točnošću infinitezimala višeg reda, jednak. Dakle, relativno izduženje štapa u presjeku sa apscisom u trenutku t je jednako Pod pretpostavkom da su sile koje uzrokuju ovo izduživanje pokorava Hookeovom zakonu, naći ćemo veličinu sile zatezanja T koja djeluje na presjek: gdje je površina poprečnog presjeka štapa, a modul elastičnosti (Youngov modul) materijala štapa. Formula (5.2) treba da bude dobro poznata čitaocu iz kursa o čvrstoći materijala. Prema tome, sila koja djeluje na presjek je jednaka Budući da sile zamjenjuju djelovanje odbačenih dijelova štapa, njihova rezultirajuća sila jednaka je razlici Brojanje odabranog dijela štapa materijalna tačka sa masom gdje - nasipna gustinaštap, i primjenom drugog Newtonovog zakona na njega kreiramo jednačinu Skraćenjem i uvođenjem oznake dobijamo diferencijalnu jednadžbu slobodnih uzdužnih vibracija štapa Ako dodatno pretpostavimo da se na štap primjenjuje vanjska sila izračunata po jedinici volumena i koja djeluje duž ose štapa, tada će se desnoj strani relacije (5 3) dodati član i jednačina (5.4) će uzeti formu što se tačno poklapa sa jednačinom prinudnih oscilacija strune. Pređimo sada na utvrđivanje početnih i graničnih uslova problema i razmotrimo praktično najzanimljiviji slučaj, kada je jedan kraj štapa fiksiran, a drugi slobodan. Na slobodnom kraju, granični uvjet će imati drugačiji oblik. Kako na ovom kraju nema vanjskih sila, sila T koja djeluje u presjeku mora biti jednaka nuli, tj. Oscilacije nastaju jer je u početnom trenutku štap bio deformiran (istegnut ili sabijen) i određene početne brzine su prenesene na vrhove štapa. Stoga moramo znati pomake poprečnih presjeka štapa u ovom trenutku kao i početne brzine tačaka štapa Dakle, problem slobodnih uzdužnih vibracija štapa fiksiranog na jednom kraju, nastalih zbog početne kompresije ili napetosti, doveo nas je do jednačine sa početnim uslovima i granični uslovi To je posljednji uvjet koji, s matematičke tačke gledišta, razlikuje problem koji se razmatra od problema oscilacija žice pričvršćene na oba kraja. Riješit ćemo problem postavljen Fourierovom metodom, odnosno pronaći parcijalna rješenja jednadžbe koja zadovoljavaju granične uslove (5.8) u obliku Pošto je dalji tok rešenja sličan onom već opisanom u § 3, ograničićemo se samo na kratka uputstva. Diferenciranjem funkcije, zamjenom rezultirajućih izraza u (5.6) i odvajanjem varijabli, dobijamo (Prepuštamo čitaocu da samostalno utvrdi da, zbog graničnih uslova, konstanta na desnoj strani ne može biti pozitivan broj ili nula.) Opšte rješenje jednačina ima oblik Zbog uslova nametnutih na funkciju koju ćemo imati Rješenja koja nisu identično jednaka nuli dobiće se samo ako je ispunjen uslov, tj. za , gdje k može poprimiti vrijednosti Dakle, sopstvene vrijednosti problema su brojevi Svaki ima svoju funkciju Kao što već znamo, množenjem bilo koje od svojstvenih funkcija sa proizvoljnom konstantom, dobićemo rješenje jednadžbe sa postavljenim graničnim uvjetima. Lako je provjeriti da davanjem broja k negativnih vrijednosti nećemo dobiti nove vlastite funkcije (na primjer, at će rezultirati funkcijom koja se razlikuje od svojstvene funkcije) samo u znaku), Dokažimo prvo da su svojstvene funkcije (5.11) ortogonalne u intervalu . Zaista, kada Ako onda Ortogonalnost svojstvenih funkcija je moguće dokazati i na drugi način, ne oslanjajući se na njihove eksplicitne izraze, već koristeći samo diferencijalna jednadžba i regionalna usuvija. Neka su i dvije različite svojstvene vrijednosti, i biti odgovarajuće svojstvene funkcije. Po definiciji, ove funkcije zadovoljavaju jednačine i granični uslovi. Pomnožimo prvu jednačinu drugom sa i oduzmimo jednu od druge. Štap je tijelo čija jedna dimenzija, nazvana uzdužna, znatno premašuje njegove dimenzije u ravni koja je okomita na uzdužni smjer, tj. poprečne dimenzije. Glavno svojstvo štapa je otpornost na uzdužnu kompresiju (napon) i savijanje. Ovo svojstvo u osnovi razlikuje štap od strune, koja se ne rasteže i ne opire savijanju. Ako je gustina materijala štapa ista na svim njegovim tačkama, onda se štap naziva homogenim. Tipično, proširena tijela omeđena zatvorenom petljom smatraju se šipkama. cilindrična površina. U ovom slučaju, površina poprečnog presjeka ostaje konstantna. Proučavat ćemo ponašanje upravo takvog jednoličnog štapa dužine l, pod pretpostavkom da je podložan samo kompresiji ili napetosti, poštujući Hookeov zakon. Prilikom proučavanja malih uzdužnih deformacija štapa, tzv hipoteza ravnih presjeka. Leži u činjenici da poprečni presjeci, krećući se pod pritiskom ili napetosti duž šipke, ostaju ravni i paralelni jedan s drugim. Usmjerimo osu x duž uzdužne ose štapa (slika 19) i pretpostavićemo da su u početnom trenutku krajevi štapa u tačkama x=0 I x=l. Uzmimo proizvoljan dio štapa s koordinatom x. Označimo sa u(x,t) pomjeranje ove dionice u trenutku t, zatim pomak presjeka s koordinatom
u istom trenutku će biti jednaka Zatim relativno izduženje štapa u presjeku x biće jednaki Sila otpora ovom izduženju prema Hookeovom zakonu će biti jednaka Gdje E– modul elastičnosti materijala štapa (Youngov modul), i S – površina poprečnog presjeka. Na granicama dijela šipke s dužinom dx sile deluju na njega Tx I T x + dx, usmjerena duž ose x. Rezultanta ovih sila će biti jednaka a ubrzanje presjeka štapa koji se razmatra je jednako , tada će jednadžba gibanja ovog presjeka štapa imati oblik: Gdje ρ –
gustina materijala štapa. Ako su ova gustina i Youngov modul konstantni, tada možemo unijeti količinu kroz i dijeljenjem obje strane jednačine sa Sdx, konačno dobiti jednadžba uzdužnih vibracija štapa u nedostatku spoljnih sila Ova jednačina ima isti oblik kao jednadžba za poprečne vibracije strune i metode rješenja za njega su isti, međutim, koeficijent a Ove jednačine predstavljaju različite veličine. U jednačini niza, količina a 2 predstavlja razlomak čiji je brojilac konstantna sila zatezanja strune - T, a u nazivniku linearna gustina ρ
, a u jednadžbi nizova brojnici sadrže Youngov modul i nazivnik – volumetrijski gustina materijala štapa ρ
. Dakle fizičko značenje količine a u ovim jednačinama je drugačija. Ako je za strunu ovaj koeficijent brzina prostiranja malog poprečnog pomaka, onda je za štap brzina prostiranja malog uzdužnog istezanja ili kompresije i naziva se brzina zvuka, budući da će se pri toj brzini male uzdužne vibracije, koje predstavljaju zvuk, širiti duž štapa. Za jednačinu (68) postavljamo početni uslovi, koji određuju pomak i brzinu pomaka bilo kojeg dijela štapa u početnom trenutku: Za ograničenu šipku, uslovi za pričvršćivanje ili primjenu sile na njenim krajevima navedeni su u obliku graničnih uslova 1., 2. i 3. vrste. Granični uslovi prve vrste određuju uzdužni pomak na krajevima štapa: Ako su krajevi štapa fiksirani nepomično, tada pod uslovima (6) U graničnim uvjetima druge vrste, elastične sile su specificirane na krajevima štapa, koje su rezultat deformacije prema Hookeovom zakonu ovisno o vremenu. Prema formuli (66), ove sile su do konstantnog faktora jednake derivatu u x, dakle, na krajevima su ovi derivati specificirani kao funkcije vremena: Ako je jedan kraj štapa slobodan, onda na ovom kraju u x = 0. Granični uslovi treće vrste mogu se predstaviti kao uslovi pod kojima je opruga pričvršćena na svaki kraj štapa, čiji se drugi kraj kreće duž ose prema datom zakonu vremena θ
(t), kao što je prikazano na sl. 20. Ovi uslovi se mogu napisati na sljedeći način Gdje k 1 i k 2 – krutost opruge. Ako na štap po osi djeluje i vanjska sila str(x,t), izračunato po jedinici zapremine, onda umesto jednačine (50) treba napisati ne homogena jednačina Koja, nakon dijeljenja sa, poprima oblik Gdje Komentar. Treba napomenuti da su i struna i štap modeli stvarnih tijela, koja u stvarnosti mogu pokazivati i svojstva strune i štapa, u zavisnosti od uslova u kojima se nalaze. Osim toga, rezultirajuće jednadžbe ne uzimaju u obzir sile otpora okoline i sile unutrašnjeg trenja, zbog čega ove jednadžbe opisuju neprigušene oscilacije. Da bi se uzeo u obzir efekat prigušenja, u najjednostavnijem slučaju koristi se disipativna sila, proporcionalna brzini i usmjerena u smjeru suprotnom kretanju, tj. brzina. Kao rezultat, jednačina (73) poprima oblik DEFINICIJA Longitudinalni talas– radi se o talasu pri čijem se širenju čestice medija pomeraju u pravcu prostiranja talasa (slika 1, a). Uzrok longitudinalnog vala je kompresija/ekstenzija, tj. otpornost medija na promjene njegove zapremine. U tekućinama ili plinovima takva deformacija je praćena razrjeđivanjem ili zbijanjem čestica medija. Uzdužni valovi mogu se širiti u bilo kojem mediju - čvrstom, tekućem i plinovitom. Primjeri longitudinalnih valova su valovi u elastičnoj šipki ili zvučni valovi u plinovima. DEFINICIJA Transverzalni talas– to je talas, pri čijem se širenju čestice medija pomeraju u pravcu okomitom na prostiranje talasa (slika 1, b). Uzrok poprečnog vala je posmična deformacija jednog sloja medija u odnosu na drugi. Kada se poprečni talas širi kroz medij, formiraju se grebeni i udubine. Tečnosti i gasovi, za razliku od čvrstih tela, nemaju elastičnost u odnosu na smicanje slojeva, tj. ne opiru se promjeni oblika. Stoga se poprečni valovi mogu širiti samo u čvrstim tijelima. Primjeri poprečnih valova su valovi koji putuju duž istegnutog užeta ili uzice. Talasi na površini tekućine nisu ni uzdužni ni poprečni. Ako bacite plovak na površinu vode, možete vidjeti da se kreće, njišući se na valovima, kružno. Dakle, val na površini tekućine ima i poprečnu i uzdužnu komponentu. Na površini tekućine mogu se pojaviti i valovi posebnog tipa - tzv površinski talasi. Nastaju kao rezultat djelovanja i sile površinske napetosti. PRIMJER 1 Nacrtajmo površinu talasa u blizini plovka nakon određenog vremenskog perioda, uzimajući u obzir da je za to vreme plovak potonuo, pošto je u tom trenutku bio usmeren naniže. Nastavljajući liniju desno i lijevo, pokazujemo položaj vala u trenutku . Upoređujući položaj vala u početnom trenutku vremena (puna linija) i u trenutku vremena (isprekidana linija), zaključujemo da se val širi ulijevo. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (štampano) doi: http://dx.doi UDK 517.956.3 PROBLEM O UZDUŽNIM VIBRACIJAMA ELASTIČNO FIKSIRNE OPTERENE ŠIPKE A. B. Beilin Samara State tehnički univerzitet, Rusija, 443100, Samara, ul. Molodogvardejskaja, 244. Anotacija Razmatraju se jednodimenzionalne uzdužne vibracije debele kratke šipke pričvršćene na krajevima pomoću koncentriranih masa i opruga. Kao matematički model koristi se početni granični problem s dinamičkim graničnim uvjetima za hiperboličku jednadžbu četvrtog reda. Izbor ovog konkretnog modela je zbog potrebe da se uzmu u obzir efekti deformacije štapa u poprečnom pravcu, čije zanemarivanje, kako pokazuje Rayleigh, dovodi do greške, što potvrđuje i savremeni nelokalni koncept proučavanje vibracija čvrstih tijela. Dokazuje se postojanje sistema sopstvenih funkcija problema koji se proučava, ortogonalnog na opterećenje i dobija se njihov prikaz. Utvrđena svojstva svojstvenih funkcija omogućila su primjenu metode razdvajanja varijabli i dokazivanje postojanja jedinstvenog rješenja postavljenog problema. Ključne riječi: dinamički granični uvjeti, longitudinalne vibracije, ortogonalnost s opterećenjem, Rayleighov model. Uvod. U svakom radnom mehaničkom sistemu javljaju se oscilatorni procesi, koji mogu nastati iz različitih razloga. Oscilatorni procesi mogu biti posljedica karakteristike dizajna sistemima ili preraspodjelom opterećenja između različitih elemenata strukture koja normalno radi. Prisutnost izvora oscilatornih procesa u mehanizmu može otežati dijagnosticiranje njegovog stanja i čak dovesti do poremećaja njegovog načina rada, au nekim slučajevima i do uništenja. Različiti problemi s preciznošću i performansama mehanički sistemi kao rezultat vibracija nekih njihovih elemenata, u praksi se često rješavaju eksperimentalno. U isto vrijeme, oscilatorni procesi mogu biti vrlo korisni, na primjer, za obradu materijala, montažu i demontažu spojeva. Ultrazvučne vibracije omogućavaju ne samo intenziviranje procesa rezanja (bušenje, glodanje, brušenje, itd.) materijala visoke tvrdoće (čelici koji sadrže volfram, čelici od titan-karbida itd.), © 2016 Samara State Technical University. Predložak citata Beilin A. B. Problem uzdužnih vibracija elastično učvršćene opterećene šipke // Vestn. Sebe. stanje tech. un-ta. Ser. Phys.-math. Sciences, 2016. T. 20, br. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Podaci o autoru Aleksandar Borisovič Beilin (dr, vanredni profesor; [email protected]), vanredni profesor, katedra. automatizovani sistemi mašina i alata. ali u nekim slučajevima može postati jedina moguća metoda za obradu krhkih materijala (germanijum, silicijum, staklo itd.). Element uređaja (talasovod) koji prenosi ultrazvučne vibracije od izvora (vibratora) do alata naziva se koncentrator i može imati različite oblike: cilindrični, konusni, stepenasti, eksponencijalni itd. Njegova svrha je da prenese vibracije potrebne amplitude na instrument. Dakle, posljedice nastanka oscilatornih procesa mogu biti različite, kao i razlozi koji ih uzrokuju, pa se prirodno nameće potreba za teorijskim proučavanjem oscilatornih procesa. Matematički model širenja talasa u relativno dugim i tankim čvrstim šipkama, koji se zasniva na talasnoj jednačini drugog reda, dobro je proučen i odavno je postao klasičan. Međutim, kako je pokazao Rayleigh, ovaj model ne odgovara u potpunosti proučavanju vibracija debelog, kratkog štapa, dok se mnogi detalji stvarnih mehanizama mogu tumačiti kao kratki i debeli štapovi. U tom slučaju treba uzeti u obzir i deformaciju štapa u poprečnom smjeru. Matematički model uzdužnih vibracija debelog kratkog štapa, koji uzima u obzir efekte poprečnog kretanja štapa, naziva se Rayleigh štap i temelji se na hiperboličnoj jednadžbi četvrtog reda. ^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1) čiji koeficijenti imaju fizičko značenje: d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x), gdje je A(x) površina poprečnog presjeka, p(x) je gustina mase štapa, E(x) je Youngov modul, V(x) je Poissonov omjer, 1P(x) je polarni moment inercije , u(x,b) - uzdužni pomaci koje treba odrediti. Rayleighove ideje našle su svoju potvrdu i razvoj u savremena dela posvećena vibracionim procesima, kao i teoriji plastičnosti. U preglednom članku potvrđuju se nedostaci klasičnih modela koji opisuju stanje i ponašanje čvrstih tijela pod opterećenjem, u kojima se tijelo a priori smatra idealnim kontinuumom. Sadašnji nivo razvoja prirodnih nauka zahteva izgradnju novih modela koji adekvatno opisuju procese koji se proučavaju, a matematičke metode razvijene u poslednjih nekoliko decenija daju tu mogućnost. Na tom putu, u poslednjoj četvrtini prošlog veka, novi pristup proučavanju mnogih fizički procesi, uključujući i one gore navedene, zasnovane na konceptu nelokalnosti (pogledajte članak i spisak referenci u njemu). Jedna od klasa nelokalnih modela koje su identificirali autori naziva se “slabo nelokalni”. Matematički modeli, koji pripada ovoj klasi, može se realizovati uvođenjem derivata visokog reda u jednačinu koja opisuje određeni proces, a koji omogućavaju da se u određenoj aproksimaciji uzme u obzir interakcija unutrašnjih elemenata predmeta proučavanja. Stoga je Rayleighov model i danas relevantan. 1. Izjava o problemu. Neka krajevi štapa x = 0, x = I budu pričvršćeni za fiksnu podlogu uz pomoć koncentrisanih masa L\, M2 i opruga, čije su krutosti K\ i K2. Pretpostavit ćemo da je štap tijelo koje se rotira oko ose 0x i da u početnom trenutku vremena miruje u ravnotežnom položaju. Tada dolazimo do sljedećeg problema početne granične vrijednosti. Zadatak. Pronađite u području Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) i granični uslovi a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. () Članak ispituje neke posebne slučajeve problema (1)-(2) i daje primjere u kojima koeficijenti jednadžbe imaju eksplicitan oblik i M\ = M2 = 0. Članak dokazuje jedinstvenu slabu rješivost problema u općem slučaj. Uvjeti (2) određeni su načinom učvršćivanja štapa: njegovi krajevi su pričvršćeni za fiksne baze pomoću nekih uređaja mase M\, M2 i opruga krutosti K1, K2. Prisustvo masa i uzimanje u obzir poprečnih pomaka dovodi do uslova oblika (2), koji sadrže derivate u odnosu na vrijeme. Granični uslovi koji uključuju vremenske derivate nazivaju se dinamički. Mogu nastati u različitim situacijama, od kojih su najjednostavnije opisane u udžbeniku, a mnogo složenije u monografiji. 2. Proučavanje prirodnih vibracija štapa. Razmotrimo homogenu jednačinu koja odgovara jednačini (1). Pošto koeficijenti zavise samo od x, možemo odvojiti varijable tako što ćemo napisati u(x,r) = X(x)T(r). Dobijamo dvije jednačine: t""(g) + \2t(g) = 0, ((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3) Jednačina (3) je praćena graničnim uslovima (a(0) - \2ʺ̱(0))H"(0) - (K1 - \2M1)H(0) = 0, (a(1) - \2ʺ̱(1))H"(1) + (K2 - \2M2)H(I) = 0. (4) Tako smo došli do Šturm-Liuvilovog problema, koji se od klasičnog razlikuje po tome što je spektralni parametar A uključen u koeficijent najvećeg izvoda jednačine, kao i u granične uslove. Ova okolnost nam ne dozvoljava da se pozovemo na rezultate poznate iz literature, pa nam je neposredni cilj proučavanje problema (3), (4). Da bismo uspješno implementirali metodu razdvajanja varijabli, potrebne su nam informacije o postojanju i lokaciji svojstvenih vrijednosti, o kvalitativnom svojstva svojstvenih funkcija: da li imaju svojstvo ortogonalnosti? Pokažimo da je A2 > 0. Pretpostavimo da to nije slučaj. Neka je X(x) vlastita funkcija problema (3), (4), koja odgovara vrijednosti A = 0. Pomnožite (3) sa X(x) i integrirajte rezultirajuću jednakost u intervalu (0,1). Integracija po dijelovima i primjena graničnih uvjeta (4), poslije elementarne transformacije dobijamo 1(0) - L2ʺ̱(0))(a(1) - L2ʺ̱(1)) I (dX2 + bX"2)yx+ N\X 2(0) + M2X 2(1) I aX"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo Imajte na umu da su iz fizičkog značenja funkcija a(x), b(x), d(x) pozitivne, Kr, Mg nisu negativne. Ali onda iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, dakle, X(x) = 0, što je u suprotnosti s učinjenom pretpostavkom. Posljedično, pretpostavka da je nula je svojstvena vrijednost problema (3), (4) je netačna. Reprezentacija rješenja jednačine (3) ovisi o predznaku izraza a(x) - - A2b(x). Pokažimo da je a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0.1). Popravimo x e (0,1) proizvoljno i pronađimo vrijednosti funkcija a(x), b(x), d(x) u ovoj tački. Zapišimo jednačinu (3) u obliku X"(x) + VX (x) = 0, (5) gde smo odredili na odabranoj fiksnoj tački, a uslove (4) upisujemo u formu H"(0) - aH (0) = 0, H"(1) + vH (I) = 0, (6) gdje je a, b lako izračunati. Kao što je poznato, klasični Sturm-Liouville problem (5), (6) ima prebrojiv skup vlastitih funkcija za V > 0, iz kojih, budući da je x proizvoljan, slijedi tražena nejednakost. Vlastite funkcije problema (3), (4) imaju svojstvo ortogonalnosti sa opterećenjem izraženim relacijom I (dHt(h)Hp(h) + BH"t(h)H"p(h))<х+ ■)о M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7) koji se može dobiti na standardni način (vidi, na primjer,), čija je implementacija u slučaju problema koji se razmatra povezana s elementarnim, ali mukotrpnim proračunima. Predstavimo ukratko njegovu derivaciju, izostavljajući argument funkcije Xr(x) kako bismo izbjegli glomaznost. Neka su Am, An različite vlastite vrijednosti, Xm, Xn odgovarajuće vlastite funkcije problema (3), (4). Onda ((a - L2tb)X"t)" + L2tdHt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdHp = 0. Pomnožimo prvu od ovih jednačina sa Xn, a drugu sa Xm, i oduzmimo drugu od prve. Nakon elementarnih transformacija dobijamo jednakost (Lt - Lp)YHtHp = (aHtHP)" - LP(BHtH"p)" - (aH"tHp)" + Lt(BHtHp)", koje integriramo preko intervala (0,1). Kao rezultat, uzimajući u obzir (4) i smanjivši za (Lm - Ln), dobijamo relaciju (7). Dokazane tvrdnje o svojstvima svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija Sturm-Liouville problema (3), (4) omogućavaju nam korištenje metode razdvajanja varijabli za pronalaženje rješenja za problem. 3. Rješivost problema. Označimo C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)). Teorema 1. Neka je a, b e C1, d e C. Tada postoji najviše jedno rješenje u e C^t) za problem (1), (2). Dokaz. Pretpostavimo da postoje dva različita rješenja problema (1), (2), u1(x,z) i u2(x,z). Tada je, zbog linearnosti problema, njihova razlika u = u1 - u2 rješenje homogenog problema koji odgovara (1), (2). Pokažimo da je njegovo rješenje trivijalno. Zapazimo prvo da su, iz fizičkog značenja koeficijenata jednačine i graničnih uslova, funkcije a, b, d pozitivne svuda u Qm, a M^, K^ nisu negativne. Množenjem jednakosti (1) sa u i integracijom preko područja Qt, gdje je t e i proizvoljan, nakon jednostavnih transformacija dobijamo / (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0, iz čega, zbog proizvoljnosti m, odmah slijedi valjanost teoreme. □ Dokazaćemo postojanje rješenja za slučaj konstantnih koeficijenata. Teorema 2. Neka<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, ima po komadima kontinuirani izvod trećeg reda u (0.1), φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 i ima po komadu kontinuirani izvod drugog reda u (0.1) , f e C(C^m), tada rješenje problema (1), (2) postoji i može se dobiti kao zbir niza vlastitih funkcija. Dokaz. Kao i obično, tražit ćemo rješenje problema u obliku sume gdje je prvi član rješenje problema postavljenog za homogenu jednačinu koja odgovara (1), drugi je rješenje jednačine (1), koje zadovoljava nulte početne i granične uslove. Iskoristimo rezultate istraživanja obavljenog u prethodnom pasusu i zapišemo opšte rješenje jednačine (3): X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx. \¡ a - A2b \¡ a - A2b Primjenom graničnih uslova (4) dolazimo do sistema jednačina za Cj! (a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0, (-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+ Izjednačavajući njegovu determinantu sa nulom, dobijamo spektralnu jednačinu ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Hajde da saznamo da li ova transcendentna jednadžba ima rješenje. Da biste to učinili, razmotrite funkcije na njegovoj lijevoj i desnoj strani i ispitajte njihovo ponašanje. Ne ograničavajući previše uopštenost, recimo Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, što će malo pojednostaviti potrebne proračune. Jednačina (8) ima oblik x I q, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" Označimo i napišite spektralnu jednačinu u novoj notaciji! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql Analiza funkcija lijeve i desne strane posljednje jednadžbe nam omogućava da konstatujemo da postoji prebrojiv skup njenih korijena i, prema tome, prebrojiv skup vlastitih funkcija Sturm-Liouvilleovog problema (3), (4), koji se, uzimajući u obzir relaciju dobijenu iz sistema u odnosu na c3, može ispisati v / l l I q K - x2pm. l i q Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Pređimo sada na pronalaženje rješenja koje također zadovoljava početne uslove. Sada možemo lako pronaći rješenje problema za homogenu jednačinu u obliku niza u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), čiji se koeficijenti mogu naći iz početnih podataka, koristeći svojstvo ortogonalnosti funkcija Xn(x), čija se norma može dobiti iz relacije (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo Proces nalaženja funkcije v(x,t) je također u suštini standardan, ali ipak napominjemo da tražeći rješenje u tradicionalnom obliku v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), dobijamo dve jednačine. Doista, uzimajući u obzir vrstu vlastitih funkcija, razjasnimo strukturu niza u obliku kojih tražimo rješenje: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~ sin X^HAarx). (9) v JXnVa - xnb^q V a - xn " Da bismo zadovoljili nulte početne uslove y(x, 0) = y^x, 0) = 0, zahtijevamo da je Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. Proširivanje f( x,r) u Fourierov red u terminima sopstvenih funkcija Xn(x), nalazimo koeficijente ¡n(b) i dn(b). Zamjenom (9) u jednačinu (1), napisanu s obzirom na y(x, b), nakon niza transformacija dobijamo jednadžbe za pronalaženje Yn(b) i Wn(b): yts® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Uzimajući u obzir početne uslove Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0, dolazimo do Cauchyjevih problema za svaku od funkcija Vn(b) i Wn( b), čija je jedinstvena rješivost zagarantovana uslovima teoreme. Svojstva početnih podataka formulisanih u teoremi ne ostavljaju sumnju u konvergenciju svih nizova koji su nastali tokom našeg istraživanja, a samim tim i o postojanju rešenja postavljenog problema. □ Zaključak. Dokazuje se postojanje sistema sopstvenih funkcija problema koji se proučava, ortogonalnog na opterećenje i dobija se njihov prikaz. Utvrđena svojstva svojstvenih funkcija omogućila su dokazivanje postojanja jedinstvenog rješenja postavljenog problema. Napominjemo da se rezultati dobijeni u članku mogu koristiti kako za daljnje teorijske studije problema s dinamičkim graničnim uvjetima, tako i u praktične svrhe, odnosno za proračun uzdužnih vibracija širokog spektra tehničkih objekata. Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 BIBLIOGRAFSKI LIST 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultrazvučna obrada i montaža. Samara: Izdavačka kuća Samara Book, 1995. 191 str. 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Ultrazvučna dimenzionalna obrada materijala. Barnaul: Altajski tehnički univerzitet nazvan po. I.I. Polzunova, 1997. 120 str. 3. Kumabe D. Vibraciono sečenje. M.: Mašinstvo, 1985. 424 str. 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Jednačine matematičke fizike. M.: Nauka, 2004. 798 str. 5. Strett J.V. Teorija zvuka. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 str. 6. Rao J. S. Napredna teorija vibracija: nelinearne vibracije i jednodimenzionalne strukture. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 str. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu Teorija slobodnih i prisilnih vibracija čvrstog štapa na osnovu Rayleigh modela // DAN, 2007. T. 417, br. str. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nelokalne integralne formulacije plastičnosti i oštećenja: pregled napretka // J. Eng. Meh., 2002. vol.128, br. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beilin A. B., Pulkina L. S. Problem uzdužnih vibracija štapa s dinamičkim graničnim uvjetima // Vestn. SamSU. Prirodne nauke ser., 2014. br. 3(114). str. 9-19. 10. Korpusov M. O. Destrukcija u neklasičnim talasnim jednačinama. M.: URSS, 2010. 237 str. Primljeno kod urednika 10.II.2016.; u konačnoj verziji - 18/V/2016; prihvaćeno za objavljivanje - 27/V/2016. Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki 2016, vol. 20, br. 2, str. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 PROBLEM O UZDUŽNIM VIBRACIJAMA ŠIPKE SA ELASTIČNIM FIKSIRANJEM Samarski državni tehnički univerzitet, Molodogvardejskaja 244, Samara, 443100, Ruska Federacija. U ovom radu proučavamo uzdužne vibracije u debeloj kratkoj šipki koja je fiksirana točkastim silama i oprugama. Za matematički model razmatramo granični problem sa dinamičkim graničnim uslovima za parcijalnu diferencijalnu jednačinu četvrtog reda. Izbor ovog modela zavisi od potrebe da se uzme u obzir rezultat poprečnog naprezanja. Rayleigh je pokazao da zanemarivanje poprečne deformacije dovodi do greške. Ovo potvrđuje savremena nelokalna teorija vibracija. Dokazujemo postojanje ortogonalnih svojstvenih funkcija opterećenja i izvodimo njihovu reprezentaciju. Utvrđena svojstva svojstvenih funkcija omogućavaju korištenje metode razdvajanja varijabli i pronalaženje jedinstvenog rješenja problema. Ključne riječi: dinamički granični uvjeti, longitudinalne vibracije, opterećena ortogonalnost, Rayleighov model. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 str. (na ruskom) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 str. (na ruskom) 3. Kumabe J. Vibraciono rezanje. Tokio, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979. (na japanskom). 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskva, Nauka, 2004, 798 str. (na engleskom) 5. Strutt J. W. Theory of sound, vol. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 str. 6. Rao J. S. Napredna teorija vibracija: nelinearne vibracije i jednodimenzionalne strukture. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 str. Beylin A.B. Problem uzdužne vibracije šipke sa elastičnim fiksiranjem, Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, knj. 20, br. 2, str. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (na ruskom) Detalji o autoru: Alexander B. Beylin (kand. techn. sci.; [email protected]), vanredni profesor, ods. automatizacije alatnih mašina i sistema alata. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teorija slobodnih i prinudnih vibracija krute šipke po Rejlijevom modelu, Dokl. Phys., 2007, vol.52, br. 11, str. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Nelokalne integralne formulacije plastičnosti i oštećenja: Pregled napretka, J. Eng. Meh., 2002, vol. 128, br. 11, str. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Promlem o uzdužnim vibracijama štapa sa dinamičkim graničnim uslovima, Vestnik SamGU. Estestvenno-Naučnaâ Ser., 2014, br. 3(114), str. 919 (na ruskom). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassičeskih volnovykh uravneniiakh. Moskva, URSS, 2010, 237 str. (na engleskom) Primljeno 10/II/2016; primljeno u revidiranom obliku 18/V/2016;
(5.2)
,
, (67)
(68)
. U ovom slučaju, kao iu problemu oscilovanja stegnute žice, primjenjujemo metodu razdvajanja varijabli.
, (72)
,
, (73)
. Jednačina (73) je jednačina prisilnih uzdužnih vibracija štapa, koja se rješava analogno jednadžbi prisilnih vibracija strune.
(74)Transverzalni talasi
Primjeri rješavanja problema
Vježbajte
Odredite smjer širenja poprečnog vala ako plovak u nekom trenutku ima smjer brzine prikazan na slici.
Rješenje
Hajde da napravimo crtež. 