Neka funkcija sada bude poznata. Na sl. 5.10
I
 vektori brzine pokretne tačke u momentima t i  t. Da biste dobili prirast vektora brzine
pomeriti vektor paralelno
do tačke M:

Prosečno ubrzanje tačke tokom vremenskog perioda  t naziva se omjer prirasta vektora brzine
na određeni vremenski period t:

dakle, ubrzanje tačke u trenutno vrijeme je jednako prvom izvodu s obzirom na vrijeme vektora brzine tačke ili drugom izvodu vektora radijusa s obzirom na vrijeme

. (5.11)

Ubrzanje tačke ovo je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine tokom vremena.

Napravimo hodograf brzine (slika 5.11). Po definiciji, hodograf brzine je kriva koja se crta na kraju vektora brzine kada se tačka kreće, ako je vektor brzine nacrtan iz iste tačke.

Određivanje brzine tačke pomoću koordinatnog metoda za određivanje njenog kretanja

Neka kretanje tačke bude specificirano metodom koordinata u Kartezijanski sistem koordinate

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radijus vektor tačke je jednak

.

Budući da su jedinični vektori
su konstantne, onda po definiciji

. (5.12)

Označimo projekcije vektora brzine na osu Oh, Oh I Oz kroz V x , V y , V z

(5.13)

Upoređujući jednakosti (5.12) i (5.13) dobijamo

(5.14)

U nastavku će se derivacija u odnosu na vrijeme označavati tačkom iznad, tj.

.

Modul brzine tačke određuje se formulom

. (5.15)

Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjera:

Određivanje ubrzanja tačke pomoću koordinatnog metoda za određivanje njenog kretanja

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je jednak

.

Po definiciji

Označimo projekcije vektora ubrzanja na osu Oh, Oh I Oz kroz A x , A y , A z U skladu s tim, širimo vektor brzine duž osi:

. (5.17)

Upoređujući jednakosti (5.16) i (5.17) dobijamo

Modul vektora tačke ubrzanja izračunava se slično kao i modul vektora brzine tačke:

, (5.19)

a smjer vektora ubrzanja je kosinus smjera:

Određivanje brzine i ubrzanja tačke koristeći prirodnu metodu određivanja njenog kretanja

Orty I lezi u oskulirajuća ravan, jedinični vektori I V normalan avion, jedinični vektori I - u ravnina za ispravljanje.

Dobijeni triedar se naziva prirodnim.

Neka je zadan zakon kretanja tačke s = s(t).

Radijus vektor bodova M u odnosu na bilo koju fiksnu tačku biće složena funkcija vremena
.

Iz diferencijalne geometrije poznate su formule Serre-Frenet, koje uspostavljaju veze između jediničnih vektora prirodnih osa i vektorske funkcije krive

gdje je  polumjer zakrivljenosti putanje.

Koristeći definiciju brzine i Serre-Frenet formulu, dobijamo:

. (5.20)

Označavanje projekcije brzine na tangentu a uzimajući u obzir da je vektor brzine usmjeren tangencijalno, imamo

. (5.21)

Upoređujući jednakosti (5.20) i (5.21), dobijamo formule za određivanje vektora brzine po veličini i pravcu

Magnituda pozitivna ako poenta M kreće se u pozitivnom smjeru referentnog luka s a negativan u suprotnom slučaju.

Koristeći definiciju ubrzanja i Serre-Frenet formulu, dobijamo:

Označimo projekciju ubrzanja tačke na tangenti , glavna normalna i binormalna
respektivno.

Tada je ubrzanje

Iz formula (5.23) i (5.24) slijedi da vektor ubrzanja uvijek leži u dodirnoj ravni i da se širi u smjerovima I :

(5.25)

Projekcija ubrzanja na tangentu
pozvao tangenta ili tangencijalno ubrzanje. Karakterizira promjenu brzine.

Projekcija ubrzanja na glavnu normalu
pozvao normalno ubrzanje.

Karakterizira promjenu vektora brzine u smjeru.
.

Veličina vektora ubrzanja je jednaka I Ako

Veličina vektora ubrzanja je jednaka I istog predznaka, tada će se kretanje tačke ubrzati.

različitih znakova, tada će kretanje tačke biti sporo.

Trajektorija kretanja materijalne tačke kroz radijus vektor Pošto sam zaboravio ovaj dio matematike, u sjećanju su mi jednačine kretanja materijalna tačka oduvijek su bili predstavljeni korištenjem zavisnosti koja nam je svima poznata y(x) , i gledajući tekst problema, bio sam malo zatečen kada sam vidio vektore. Pokazalo se da postoji prikaz putanje materijalne tačke pomoću radijus vektor

— vektor koji specificira položaj tačke u prostoru u odnosu na neku unapred fiksiranu tačku, koja se naziva ishodište. Formula za putanju materijalne tačke, pored radijus vektora, opisana je na isti način orts — jedinični vektori i, j, k

Šta je zanimljivo u ovom primjeru? Putanja kretanja tačke data je sinusima i kosinusima, kako mislite da će graf izgledati u poznatom prikazu y(x)? “Vjerovatno nešto jezivo”, pomislili ste, ali nije sve tako komplikovano kako se čini! Pokušajmo konstruirati putanju materijalne točke y(x), ako se kreće prema gore predstavljenom zakonu:

Ovdje sam primijetio kvadrat kosinusa, ako u bilo kojem primjeru vidite kvadrat sinusa ili kosinusa, to znači da trebate primijeniti osnovni trigonometrijski identitet, što sam i uradio (druga formula) i transformirao koordinatnu formulu y, tako da umjesto sinusa u njega ubacite formulu promjene x:

Kao rezultat toga, strašni zakon kretanja tačke pokazao se običnim parabola, čije su grane usmjerene prema dolje. Nadam se da razumete približni algoritam za konstruisanje zavisnosti y(x) iz reprezentacije kretanja kroz vektor radijusa. Sada pređimo na naše glavno pitanje: kako pronaći vektor brzine i ubrzanja materijalne tačke, kao i njihove module.

Vektor brzine materijalne tačke

Svima je poznato da je brzina materijalne tačke količina puta koju tačka prijeđe u jedinici vremena, odnosno izvod formule za zakon kretanja. Da biste pronašli vektor brzine, morate uzeti derivaciju u odnosu na vrijeme. Hajde da pogledamo konkretan primjer pronalaženje vektora brzine.

Primjer pronalaženja vektora brzine

Imamo zakon kretanja materijalne tačke:

Sada morate uzeti izvod ovog polinoma, ako ste zaboravili kako se to radi, evo ga. Kao rezultat, vektor brzine će imati sljedeći oblik:

Ispostavilo se da je sve jednostavnije nego što ste mislili, sada pronađite vektor ubrzanja materijalne tačke koristeći isti zakon koji je gore prikazan.

Kako pronaći vektor ubrzanja materijalne tačke

Vektor ubrzanja tačke ovo je vektorska veličina koja karakteriše promenu tokom vremena u veličini i smeru brzine tačke. Da biste pronašli vektor ubrzanja materijalne tačke u našem primjeru, morate uzeti derivaciju, ali iz formule vektora brzine predstavljene malo iznad:

Modul vektora brzine tačke

Sada pronađimo veličinu vektora brzine materijalne tačke. Kao što znate iz 9. razreda, modul vektora je njegova dužina, u pravokutnim dekartovskim koordinatama jednaka kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata. A gdje možemo dobiti njegove koordinate iz vektora brzine koji smo dobili gore, pitate se? Vrlo je jednostavno:

Sada samo trebate zamijeniti vrijeme navedeno u problemu i dobiti određenu numeričku vrijednost.

Modul vektora ubrzanja

Kao što ste shvatili iz gore napisanog (i od 9. razreda), pronalaženje modula vektora ubrzanja odvija se na isti način kao i modula vektora brzine: uzimamo kvadratni korijen zbira kvadrata vektorskih koordinata , jednostavno je! Pa evo primjera za vas, naravno:

Kao što vidite, ubrzanje materijalne tačke prema gore datom zakonu ne zavisi od vremena i ima konstantnu veličinu i pravac.

Više primjera rješenja za problem nalaženja vektora brzine i ubrzanja

I ovdje možete pronaći primjere rješenja drugih problema iz fizike. A za one koji baš i ne razumiju kako pronaći vektor brzine i ubrzanja, evo još par primjera iz mreže bez ikakvih suvišnih objašnjenja, nadam se da će vam pomoći.

Ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u komentarima.

Mehaničkim kretanjem se naziva promjena tokom vremena položaja tačaka i tijela u prostoru u odnosu na bilo koje glavno tijelo za koje je vezan referentni sistem. Kinematika proučava mehaničko kretanje tačaka i tijela, bez obzira na sile koje uzrokuju ta kretanja. Svako kretanje, kao i mirovanje, je relativno i zavisi od izbora referentnog sistema.

Putanja tačke je neprekidna linija opisana pokretnom tačkom. Ako je putanja prava linija, tada se kretanje tačke naziva pravolinijsko, a ako je kriva, onda se zove krivolinijsko. Ako je putanja ravna, tada se kretanje tačke naziva ravno.

Kretanje tačke ili tijela smatra se datim ili poznatim ako je za svaki trenutak vremena (t) moguće naznačiti položaj tačke ili tijela u odnosu na odabrani koordinatni sistem.

Položaj tačke u prostoru određen je zadatkom:

a) putanje tačke;

b) početak O 1 očitavanja udaljenosti duž putanje (slika 11): s = O 1 M - krivolinijska koordinata tačke M;

c) smjer pozitivnog broja udaljenosti s;

d) jednadžba ili zakon kretanja tačke duž putanje: S = s(t)

Tačkasta brzina. Ako tačka pređe jednake udaljenosti u jednakim vremenskim periodima, tada se njeno kretanje naziva ravnomerno. Brzina ravnomjernog kretanja mjeri se odnosom putanje z koju je prešla tačka tokom određenog vremenskog perioda i vrijednosti ovog vremenskog perioda: v = s/1. Ako tačka putuje nejednakim putanjama u jednakim vremenskim periodima, tada se njeno kretanje naziva neravnomernim. Brzina je u ovom slučaju također promjenjiva i funkcija je vremena: v = v(t). Razmotrimo tačku A koja se kreće duž date putanje prema određenom zakonu s = s(t) (slika 12):

Tokom vremenskog perioda t t A se pomerio u poziciju A 1 duž luka AA. Ako je vremenski period Δt mali, tada se luk AA 1 može zamijeniti tetivom i pronaći, kao prvu aproksimaciju, prosječnu brzinu tačke v cp = Ds/Dt. Prosječna brzina je usmjerena duž tetive od tačke A do tačke A1.

Prava brzina tačke je usmerena tangencijalno na putanju, a njena algebarska vrednost određena je prvim izvodom putanje u odnosu na vreme:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Dimenzija tačke brzine: (v) = dužina/vrijeme, na primjer, m/s. Ako se tačka kreće prema povećanju krivolinijske koordinate s, onda je ds > 0, i prema tome v > 0, inače ds< 0 и v < 0.

Ubrzanje tačke. Promjena brzine po jedinici vremena određena je ubrzanjem. Razmotrimo kretanje tačke A duž krivolinijske putanje u vremenu Δt od položaja A do položaja A 1 . U položaju A tačka je imala brzinu v, a u poziciji A 1 - brzinu v 1 (slika 13). one. brzina tačke se promijenila u veličini i smjeru. Geometrijsku razliku brzina Δv nalazimo konstruisanjem vektora v 1 iz tačke A.

Ubrzanje tačke je vektor “, koji je jednak prvom izvodu vektora brzine tačke u odnosu na vrijeme:

Pronađeni vektor ubrzanja a može se razložiti na dvije međusobno okomite komponente, ali tangentne i normalne na putanju kretanja. Tangencijalno ubrzanje a 1 poklapa se u smjeru sa brzinom pri ubrzanom kretanju ili je suprotno njemu za vrijeme zamijenjenog kretanja. Karakterizira promjenu brzine i jednak je derivatu brzine u odnosu na vrijeme

Vektor normalnog ubrzanja a usmjeren je duž normale (okomite) na krivulju prema udubljenosti putanje, a njegov modul jednak je omjeru kvadrata brzine tačke i polumjera krivine putanje na tačka u pitanju.

Normalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine duž
smjer.

Ukupna vrijednost ubrzanja: , m/s 2

Vrste kretanja tačke u zavisnosti od ubrzanja.

Ujednačeno linearno kretanje(kretanje po inerciji) karakterizira činjenica da je brzina kretanja konstantna, a polumjer zakrivljenosti putanje jednak beskonačnosti.

To jest, r = ¥, v = const, tada ; i stoga . Dakle, kada se tačka kreće po inerciji, njeno ubrzanje je nula.

Pravolinijsko neravnomjerno kretanje. Polumjer zakrivljenosti putanje je r = ¥, a n = 0, dakle a = a t i a = a t = dv/dt.

Ubrzanje je veličina koja karakterizira brzinu promjene brzine.

Na primjer, kada se automobil kreće, on povećava brzinu, odnosno kreće se brže. U početku je njegova brzina nula. Kada se jednom kreće, automobil postepeno ubrzava do određene brzine. Ako se na putu upali crveno svjetlo na semaforu, auto će stati. Ali to neće prestati odmah, već s vremenom. Odnosno, njegova brzina će se smanjiti na nulu - automobil će se kretati polako dok se potpuno ne zaustavi. Međutim, u fizici ne postoji termin „usporavanje“. Ako se tijelo kreće, usporavajući svoju brzinu, onda će to biti i ubrzanje tijela, samo sa znakom minus (kao što se sjećate, brzina je vektorska veličina).

> je omjer promjene brzine i vremenskog perioda tokom kojeg se ta promjena dogodila. Prosečno ubrzanje se može odrediti formulom:

Rice. 1.8. Prosečno ubrzanje. U SI jedinica za ubrzanje– je 1 metar u sekundi u sekundi (ili metar u sekundi na kvadrat), tj

Metar u sekundi na kvadrat jednak je ubrzanju pravolinijske tačke u kojoj se brzina ove tačke povećava za 1 m/s u jednoj sekundi. Drugim riječima, ubrzanje određuje koliko se brzina tijela mijenja u jednoj sekundi. Na primjer, ako je ubrzanje 5 m/s2, to znači da se brzina tijela povećava za 5 m/s svake sekunde.

Trenutačno ubrzanje tijela (materijalna tačka) u datom trenutku je fizička veličina jednaka granici kojoj teži prosječno ubrzanje dok vremenski interval teži nuli. Drugim riječima, ovo je ubrzanje koje tijelo razvija u vrlo kratkom vremenskom periodu:

Kod ubrzanog linearnog kretanja brzina tijela raste u apsolutnoj vrijednosti, tj

V 2 > v 1

a smjer vektora ubrzanja poklapa se sa vektorom brzine

Ako se brzina tijela smanji u apsolutnoj vrijednosti, tj

V 2< v 1

tada je smjer vektora ubrzanja suprotan smjeru vektora brzine, drugim riječima, in u ovom slučaju se dešava usporavanje, u ovom slučaju će ubrzanje biti negativno (i< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Rice. 1.9. Trenutno ubrzanje.

Kada se krećete po zakrivljenoj stazi, ne mijenja se samo modul brzine, već i njegov smjer. U ovom slučaju, vektor ubrzanja je predstavljen kao dvije komponente (pogledajte sljedeći odjeljak).

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje– ovo je komponenta vektora ubrzanja usmjerena duž tangente na putanju u datoj tački putanje kretanja. Tangencijalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine po modulu tokom krivolinijskog kretanja.

Rice. 1.10. Tangencijalno ubrzanje.

Smjer tangencijalnog vektora ubrzanja (vidi sliku 1.10) poklapa se sa smjerom linearne brzine ili mu je suprotan. Odnosno, tangencijalni vektor ubrzanja leži na istoj osi sa tangentnom kružnicom, koja je putanja tijela.

Normalno ubrzanje

Normalno ubrzanje je komponenta vektora ubrzanja usmjerena duž normale na putanju kretanja u datoj tački na putanji tijela. Odnosno, vektor normalnog ubrzanja je okomit na linearnu brzinu kretanja (vidi sliku 1.10). Normalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine u smjeru i označava se slovom. Vektor normalnog ubrzanja je usmjeren duž radijusa zakrivljenosti putanje.

Puno ubrzanje

Puno ubrzanje pri krivolinijskom kretanju sastoji se od tangencijalnog i normalnog ubrzanja uzduž i određuje se formulom:

(prema Pitagorinoj teoremi za pravougaoni pravougaonik).

Uvedimo jedinični vektor τ povezan s pokretnom tačkom A i usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru povećanja koordinata luka (slika 1.6). Očigledno je da je τ varijabilni vektor: zavisi od l. Vektor brzine v tačke A usmjeren je tangencijalno na putanju, pa se može predstaviti na sljedeći način

gdje je v τ =dl/dt projekcija vektora v na smjer vektora τ, a v τ je algebarska veličina. Pored toga, |v τ |=|v|=v.

Ubrzanje tačke

Razlikujemo (1.22) s obzirom na vrijeme

(1.23)

Hajde da transformišemo poslednji član ovog izraza

(1.24)

Odredimo inkrement vektora τ za dl (slika 1.7).

Kao što se može videti sa sl. 1,7, ugao , odakle , i na .

Uvođenjem jediničnog vektora n normale na putanju u tački 1, usmjerenog prema centru zakrivljenosti, zapisujemo posljednju jednakost u vektorskom obliku

Zamijenimo (1.23) u (1.24), a rezultirajući izraz u (1.22). Kao rezultat ćemo pronaći

(1.26)

Ovdje se zove prvi pojam tangencijalni a τ , drugi - normalno a n.

dakle, puno ubrzanje tačka se može predstaviti kao geometrijski zbir tangencijalnog i normalnog ubrzanja.

Modul ubrzanja pune tačke

(1.27)

Usmjeren je prema konkavnosti putanje pod kutom α prema vektoru brzine, i .

Ako je ugao α oštar, onda je tanα>0, dakle, dv/dt>0, pošto je v 2 /R>0 uvijek.

U ovom slučaju, veličina brzine se vremenom povećava - kretanje se naziva ubrzano(Sl. 1.8).

U slučaju kada se brzina vremenom smanji po veličini, kretanje se naziva sporo(Sl. 1.9).

Ako je ugao α=90°, tanα=∞, odnosno dv/dt=0. U ovom slučaju, brzina se ne mijenja po veličini tijekom vremena, a ukupno ubrzanje će biti jednako centripetalnom

(1.28)

Konkretno, ukupno ubrzanje ravnomjernog rotacionog kretanja (R=const, v=const) je centripetalno ubrzanje, jednako vrijednosti a n =v 2 /R i usmjereno cijelo vrijeme prema centru.

U linearnom kretanju, naprotiv, ukupno ubrzanje tijela jednako je tangencijalnom. U ovom slučaju, a n =0, pošto se pravolinijska putanja može smatrati krugom beskonačno velikog radijusa, i sa R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .