Studija bilo koje fizički proces povezuje se sa uspostavljanjem odnosa između veličina koje karakterišu dati proces. Za složene procese, koji uključuju prijenos topline toplinskom provodljivošću, prilikom uspostavljanja odnosa između veličina, zgodno je koristiti metode matematičke fizike, koja razmatra pojavu procesa ne u cijelom prostoru koji se proučava, već u elementarnoj zapremini materije tokom beskonačno malog vremenskog perioda. Veza između količina uključenih u prijenos topline toplotnom provodljivošću uspostavlja se u ovom slučaju tzv. diferencijalna jednadžba toplotne provodljivosti. U granicama odabranog elementarnog volumena i beskonačno malog vremenskog perioda, postaje moguće zanemariti promjenu nekih veličina koje karakteriziraju proces.

Prilikom izvođenja diferencijalne jednadžbe toplotne provodljivosti uzimaju se sljedeće pretpostavke: fizičke veličine λ, sa str I ρ trajno; nema unutrašnjih izvora toplote; tijelo je homogeno i izotropno; Koristi se zakon održanja energije, koji ovaj slučaj se formuliše na sledeći način: razlika između količine toplote koja je ušla u elementarni paralelepiped zbog toplotne provodljivosti tokom vremena dτ i ostavljajući ga za isto vreme, troši se na promenu unutrašnje energije elementarne zapremine koja se razmatra. Kao rezultat, dolazimo do jednačine:

Količina se zove Laplace operater i obično je skraćeno kao 2 t(znak glasi “nabla”); veličina λ /cρ pozvao koeficijent toplotne difuzije i označeno slovom A. Uz naznačenu notaciju, diferencijalna jednadžba topline poprima oblik

Jednačina (1-10) se zove diferencijalna jednadžba toplotne provodljivosti, ili Fourierova jednačina, za trodimenzionalno nestabilno temperaturno polje u odsustvu unutrašnjih izvora toplote. To je glavna jednačina u proučavanju zagrijavanja i hlađenja tijela u procesu prijenosa topline toplinskom provodljivošću i uspostavlja vezu između vremenskih i prostornih promjena temperature u bilo kojoj tački polja.

Koeficijent toplinske difuzije A= λ/cρ je fizički parametar supstance i ima mjernu jedinicu m 2 / s. U nestacionarnim termičkim procesima vrijednost A karakterizira brzinu promjene temperature. Ako koeficijent toplotne provodljivosti karakteriše sposobnost tela da provode toplotu, onda koeficijent toplotne difuzivnosti A je mjera toplinskih inercijskih svojstava tijela. Iz jednačine (1-10) slijedi da se temperatura mijenja tokom vremena ∂t / ∂τ jer je bilo koja tačka tijela proporcionalna vrijednosti A Dakle, pod istim uslovima, temperatura tela koje ima veću toplotnu difuzivnost će brže rasti. Gasovi imaju male, a metali velike koeficijente toplotne difuzije.

Diferencijalna jednadžba toplotna provodljivost sa izvorima toplote unutar tela imaće oblik

Gdje q v- količina toplote koja se oslobađa po jedinici zapremine supstance u jedinici vremena, With- maseni toplotni kapacitet tela, ρ - gustina tela .

Diferencijalna jednadžba toplotne provodljivosti u cilindričnim koordinatama sa unutrašnjim izvorom toplote imaće oblik

Gdje r- radijus vektor u cilindričnom koordinatnom sistemu; φ - ugao.

Stranica 4

. (2.24)

Jednačina (2.24) se naziva diferencijalna toplotna jednačina (ili Fourierova diferencijalna jednačina) za trodimenzionalno nestalno temperaturno polje u odsustvu unutrašnjih izvora toplote. On je fundamentalan u proučavanju zagrevanja i hlađenja tela u procesu prenosa toplote toplotnom provodljivošću i uspostavlja vezu između vremenskih i prostornih promena temperature u bilo kojoj tački polja.

Otorinolaringološka laserska primjena lasera.

Toplotna difuzivnost je fizički parametar tvari i ima jedinicu m2/s. U nestacionarnim termičkim procesima, a karakterizira brzinu promjene temperature.

Iz jednačine (2.24) slijedi da je promjena temperature tokom vremena za bilo koju tačku na tijelu proporcionalna vrijednosti a. Dakle, pod istim uslovima, temperatura tela koje ima veću toplotnu difuziju raste brže.

, (2.25)

gdje je qV specifična snaga izvora, odnosno količina topline koja se oslobađa po jedinici volumena tvari u jedinici vremena.

Ova jednačina je upisana Kartezijanske koordinate. U drugim koordinatama Laplaceov operator ima drugačiji oblik, pa se i oblik jednačine mijenja. Na primjer, u cilindrične koordinate Diferencijalna jednačina za toplotnu provodljivost sa unutrašnjim izvorom toplote je:

, (2.26)

gdje je r radijus vektor u cilindričnom koordinatnom sistemu;

Polarni ugao.

2.5 Granični uslovi

Rezultirajuća Fourierova diferencijalna jednadžba opisuje fenomene prijenosa topline toplotnom provodljivošću u samom opšti pogled. Da bi se to primenilo na konkretan slučaj, potrebno je poznavati raspodelu temperature u telu ili početne uslove. Osim toga, trebali biste znati:

· geometrijski oblik i dimenzije karoserije,

fizički parametri životne sredine i tela,

· granični uslovi, karakterizirajući raspodjelu temperatura na površini tijela, odnosno interakciju tijela koje se proučava sa okolinom.

Sve ove posebne karakteristike, zajedno sa diferencijalnom jednadžbom, daju puni opis specifični proces provođenja toplote i nazivaju se uslovi jedinstvenosti ili granični uslovi.

Obično su početni uvjeti raspodjele temperature specificirani za trenutak vremena t = 0.

Granični uslovi se mogu specificirati na tri načina.

Granični uslov prve vrste određen je distribucijom temperature na površini tijela za bilo koji trenutak u vremenu.

Granični uslov druge vrste određen je površinskom gustinom toplotnog fluksa u svakoj tački na površini tijela za bilo koji trenutak u vremenu.

Granični uslov treće vrste je dat temperaturom okoline koja okružuje telo i zakonom prenosa toplote između površine tela i okoline.

Rješavanje diferencijalne jednadžbe toplinske provodljivosti pod datim uvjetima jednoznačnosti omogućava određivanje temperaturnog polja u cijelom volumenu tijela za bilo koji trenutak ili pronalaženje funkcije .

2.6 Toplotna provodljivost kroz kuglični zid

Uzimajući u obzir terminologiju opisanu u odjeljcima 2.1 - 2.5, zadatak je ovoga rad na kursu može se formulisati ovako. Kroz sferni zid je usmjeren konstantan tok topline, a izvor topline je unutrašnja sfera polumjera R1. Snaga izvora P je konstantna. Sredina između graničnih sfera je izotropna, pa je njena toplotna provodljivost c funkcija jedne varijable - udaljenosti od centra sfera (radijusa) r. Prema uslovima problema . Kao rezultat toga, temperatura medija je i u ovom slučaju funkcija jedne varijable - radijusa r: T = T(r), a izotermne površine su koncentrične sfere. Dakle, željeno temperaturno polje je stacionarno i jednodimenzionalno, a granični uslovi su uslovi prve vrste: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Iz jednodimenzionalnosti temperaturnog polja proizilazi da su gustina toplotnog toka j, kao i toplotna provodljivost i temperatura, u ovom slučaju funkcije jedne varijable - poluprečnika r. Nepoznate funkcije j(r) i T(r) mogu se odrediti na jedan od dva načina: ili rješavanjem Fourierove diferencijalne jednadžbe (2.25) ili korištenjem Fourierovog zakona (2.11). U ovom radu odabrana je druga metoda. Fourierov zakon za proučavano jednodimenzionalno sferno simetrično temperaturno polje ima oblik: 1 4

1. Diferencijalna jednačina toplotne provodljivosti bez unutrašnjih izvora toplote ( = 0) :

2. Diferencijalna jednačina toplotne provodljivosti bez unutrašnjih izvora toplote u cilindričnim koordinatama.

U cilindričnim koordinatama, u kojima gdje r– radijus vektor, – polarni ugao, jednačina će izgledati ovako

Uslovi jedinstvenosti za procese provođenja toplote. Diferencijalna jednačina toplotne provodljivosti ne opisuje jednu, već čitavu klasu fenomena toplotne provodljivosti. Da bi se dobio analitički opis određenog procesa, potrebno je naznačiti njegove posebne karakteristike, koje zajedno sa diferencijalnom jednadžbom daju potpunu matematički opis specifični proces provođenja toplote i nazivaju se uslovi jedinstvenosti ili granični uslovi.

Uslovi jedinstvenosti uključuju:

Geometrijski uslovi koji karakterišu oblik i veličinu tijela u kojem se odvija proces;

Karakteristični fizički uslovi fizička svojstva okolina i tijelo;

Privremeni ili početni uslovi koji karakterišu distribuciju temperature u telu u početnom trenutku vremena;

Granični uslovi koji karakterišu uslove interakcije između tela koje se razmatra i okoline.

Granični uslovi se mogu specificirati na nekoliko načina.

Granični uslovi prve vrste određuju raspodjelu temperature na površini tijela za svaki trenutak vremena:

Granični uslovi druge vrste određuju vrijednosti protoka topline za svaku tačku na površini tijela iu bilo kojem trenutku:

Granični uslovi treće vrste određeni su temperaturom okoline i zakonom razmene toplote između tela i okoline, koji se koristi kao zakon prenosa toplote (Newton-Richmannova jednačina):

Prema ovom zakonu, gustina toplotnog toka na površini

tijelo je proporcionalno temperaturnoj razlici između površine zida i okoline. Koeficijent proporcionalnosti u ovoj jednačini naziva se koeficijent prijenosa topline i označava se a, [W/(m 2 ×K)]. Karakterizira intenzitet razmjene topline između površine tijela i okoline.

S druge strane, ista gustina toplotnog fluksa može se naći iz jednačine:

gdje indeks “c” označava da je temperaturni gradijent izračunat na površini tijela. Dobijamo analitički izraz za granične uslove treće vrste:

Granični uslovi četvrte vrste razmatraju slučaj kada su dva ili više tijela u bliskom kontaktu jedno s drugim. U tom slučaju, toplotni tok koji prolazi kroz površinu jednog tijela će proći i kroz površinu drugog tijela (nema gubitaka topline na mjestu dodira).

Predavanje 2. Sekcija 2. Toplotna provodljivost u stacionarnom režimu

Širenje toplote toplotnom provodljivošću u ravnim i cilindričnim zidovima u stacionarnom režimu (granični uslovi prve vrste)

Homogeni jednoslojni ravni zid. Razmotrimo širenje toplote toplotnom provodljivošću u homogenom jednoslojnom ravnom zidu debljine 8 sa neograničenom širinom i dužinom.

Axis X usmjerite ga okomito na zid (slika 7.4). Duž obje zidne površine kao u smjeru osi y, i u pravcu ose G Zahvaljujući ravnomjernom dovodu i odvođenju topline, temperature su ravnomjerno raspoređene.

Budući da zid u pravcu ovih osa ima beskonačno velike veličine, zatim odgovarajući temperaturni gradijenti F/yu = (k/(k= = 0, te stoga nema utjecaja na proces toplinske provodljivosti krajnjih površina zida. Pod ovim uslovima koji pojednostavljuju problem, stacionarno temperaturno polje je funkcija samo koordinata X, one. razmatra se jednodimenzionalni problem. U odnosu na ovaj slučaj, diferencijalna jednadžba toplotne provodljivosti će imati oblik (at d^dh = 0)

Dati su granični uslovi prve vrste:

Rice. 7.4.

Nađimo jednačinu nulte temperature i odredimo protok toplote F koji prolazi kroz dio zida s površinom A(na sl. 1L zid nije označen jer se nalazi u ravni okomitoj na ravan crteža). Prva integracija daje

one. temperaturni gradijent je konstantan u cijeloj debljini zida.

Nakon druge integracije dobijamo traženu jednačinu temperaturnog polja

Gdje A I b - stalne integracije.

Dakle, promjena temperature duž debljine zida slijedi linearni zakon, a izotermne površine su ravnine paralelne s plohama zida.

Da bismo odredili proizvoljne integracione konstante, koristimo granične uslove:

Jer? > ? ST2, zatim projekcija gradijenta na osu X negativan kao

ovo je bilo za očekivati ​​za odabrani smjer ose, koji se poklapa sa smjerom vektora površinske gustine toplotnog toka.

Zamjenom vrijednosti konstanti u (7.24) dobijamo konačni izraz za temperaturu nula

Linija a-b na sl. 7.4, tzv temperaturna kriva, pokazuje promjenu temperature u zavisnosti od debljine zida.

Poznavajući temperaturni gradijent, moguće je, koristeći Fourierovu jednačinu (7.10), pronaći količinu toplote 8() koja prolazi tokom vremena t kroz element površine ??4 okomito na osu T.

i za površinu od A

Formula (7.28) za toplotni tok i površinsku gustinu toplotnog toka poprimiće oblik

Razmotrimo širenje toplote toplotnom provodljivošću u višeslojnom ravnom zidu koji se sastoji od nekoliko (na primer, tri) slojeva koji su čvrsto jedan uz drugog (vidi sliku 7.5).

Rice. 7.5.

Očigledno, u slučaju stacionarnog temperaturnog polja, toplotni tok prolazi kroz površine iste površine A, biće isti za sve slojeve. Stoga se jednadžba (7.29) može koristiti za svaki od slojeva.

Za prvi sloj

za drugi i treći sloj

Gdje X 2, A 3 - toplotna provodljivost slojeva; 8 1? 8 2, 8 3 - debljina sloja.

Da li se temperature na vanjskim granicama troslojnog zida smatraju poznatim? St1 i? ST4. Jesu li temperature uspostavljene duž ravnina razdvajanja između slojeva? ST2 I? ST-ovi koji se smatraju nepoznatim. Rješavamo jednadžbe (7.31)-(7.33) s obzirom na temperaturne razlike:

a zatim ih zbrajati pojam po član i tako eliminirati nepoznate međutemperature:

Generalizujući (7.36) za zid y-sloja, dobijamo

Odrediti međutemperature? ST2, ? STZ na ravninama presjeka slojeva koristimo formule (7.34):

Konačno, generalizirajući derivaciju na zid i-sloja, dobijamo formulu za temperaturu na granici i-og i (r + 1)-og sloja:

Ponekad se koristi koncept ekvivalentne toplotne provodljivosti R eq. Za površinsku gustinu toplotnog toka koja prolazi kroz ravan višeslojni zid,

gdje je ukupna debljina svih slojeva višeslojnog zida. Upoređujući izraze (7.37) i (7.40), zaključujemo da

Na sl. Na slici 7.5 prikazan je grafik promjena temperature duž debljine višeslojnog zida u obliku isprekidane linije. Unutar sloja, kao što je gore dokazano, promjena temperature slijedi linearni zakon. Tangens ugla nagiba cp, temperaturna ravna linija prema horizontali

one. jednaki apsolutna vrijednost temperaturni gradijent ^1"ac1 Dakle, prema nagibu pravih linija ab, bc i sa

dakle,

one. temperaturni gradijenti za pojedinačne slojeve višeslojnog ravnog zida obrnuto su proporcionalni toplotnoj provodljivosti ovih slojeva.

To znači da su za postizanje velikih temperaturnih gradijenata (što je potrebno, na primjer, kod izolacije parnih cjevovoda, itd.), potrebni materijali s niskim vrijednostima toplinske vodljivosti.

Homogeni jednoslojni cilindrični zid. Nađimo temperaturno polje za stacionarni način toplotne provodljivosti i površinska gustina protok toplote za homogeni jednoslojni cilindrični zid (slika 7.6). Za rješavanje problema koristimo diferencijalnu jednadžbu provođenja topline u cilindričnim koordinatama.

Os 2 će biti usmjerena duž ose cijevi. Pretpostavimo da je dužina cijevi u odnosu na promjer beskonačno velika. U ovom slučaju možemo zanemariti utjecaj krajeva cijevi na raspodjelu temperature duž ose 2. Pretpostavimo da je, zbog ravnomjernog dovoda i odvođenja topline, temperatura na unutrašnjoj površini svuda jednaka? ST1, a na vanjskoj površini - ? ST2 (granični uslovi prve vrste). Sa ovim pojednostavljenjima (k/ = 0, a zbog simetrije temperaturnog polja u odnosu na bilo koji prečnik?/?/?Ar = 0. Izotermne površine u ovom slučaju će biti površine cilindara, koaksijalne s osi cijevi. , problem se svodi na određivanje jednodimenzionalnog temperaturnog polja = / (d), gdje? G- strujni radijus cilindričnog zida.

Rice. 7.6.

Diferencijalna toplotna jednačina (7.19) pod uslovom dt/d t = 0 će poprimiti oblik

Hajde da uvedemo novu varijablu

koji je temperaturni gradijent (grad?).

Zamjena varijable I u (7.43), dobijamo diferencijalnu jednačinu prvog reda sa odvojivim varijablama

ili

Integrisanje, dobijamo

Za cilindrični zid, temperaturni gradijent je varijabilna vrijednost koja se povećava sa smanjenjem radijusa G. Zbog toga je temperaturni gradijent na unutrašnjoj površini veći nego na vanjskoj površini.

Zamjena vrijednosti I od (7.44) do (7.45), dobijamo I

Gdje an b- stalne integracije.

Prema tome, kriva raspodjele temperature preko debljine stijenke je logaritamska kriva (kriva a-b na sl. 7.6).

Hajde da definišemo konstante A I b, uključeno u jednačinu temperaturnog polja, na osnovu graničnih uslova prve vrste. Označimo unutrašnji radijus površine g x, vanjski - g 2. Označavamo odgovarajuće prečnike (1 l I (1 2 . Tada imamo sistem jednačina

Rješavajući ovaj sistem jednačina, dobijamo

Jednačina temperature nula će poprimiti oblik Temperaturni gradijent je određen formulom (7.45):

Jer? ST1 > ? ST2, i r, r 2, onda je projekcija grad? na radijus vektoru ima negativnu vrijednost.

Ovo posljednje pokazuje da je u ovom slučaju tok topline usmjeren od centra prema periferiji.

Odrediti protok toplote koji prolazi kroz područje cilindrična površina dužina b, upotrijebimo jednačinu

Iz (7.46) proizilazi da protok toplote koji prolazi kroz cilindričnu površinu zavisi od odnosa spoljašnjeg i unutrašnjeg radijusa r 2 / g x(ili prečnika s1 2 / (1 {), a ne na debljinu zida.

Površinska gustina toplotnog toka za cilindričnu površinu može se naći povezivanjem toplotnog toka F sa površinom unutrašnje površine A VP ili na vanjsku površinu A np. U proračunima se ponekad koristi linearna gustina toplotnog fluksa:

Iz (7.47)-(7.49) slijedi

Višeslojni cilindrični zid. Razmotrimo distribuciju toplote prema toplotnoj provodljivosti u troslojnom cilindričnom zidu (cevi) dužine A (slika 7.7) unutrašnjeg prečnika c1 x i spoljni prečnik (1 l. Srednji prečnici pojedinačnih slojeva - s1 2 i X 2, X 3.

Rice. 7.7.

Da li se temperature smatraju poznatim? ST) unutrašnja i temperatura? ST4 vanjska površina. Treba li odrediti protok topline F i temperaturu? ST2 I? STz na granicama slojeva. Sastavimo za svaki sloj jednačinu oblika (7.46):

Rješavajući (7.51)-(7.53) za temperaturne razlike, a zatim zbrajajući član po član, dobijamo

Iz (7.54) imamo izračunati izraz za određivanje toplotnog toka za troslojni zid:

Uopštimo formulu (7.55) na zid cijevi u-sloja:
Gdje i- serijski broj sloja.

Iz (7.51)-(7.53) nalazimo izraz za određivanje temperature na granicama međuslojeva:

Temperatura? Art. +) na granici? (G+ 1)-ti sloj se može odrediti pomoću slične formule

U literaturi su data rješenja diferencijalne jednadžbe topline za šuplju kuglu pod graničnim uvjetima prve vrste, kao i rješenja za sva razmatrana tijela u graničnim uvjetima treće vrste. Mi ne razmatramo ove probleme. Pitanja stacionarne toplotne provodljivosti u štapovima (rebrima) konstantnog i promenljivog poprečnog preseka, kao i pitanja nestacionarne toplotne provodljivosti, takođe su ostala van okvira našeg predmeta.

Pitanje 23 Koja je specifična toplota fuzije leda?

Specifična toplota fuzije se nalazi po formuli:

gdje je Q količina topline potrebna da se otopi tijelo mase m.

pri skrućivanju tvari oslobađaju istu količinu topline koja je bila potrebna za njihovo topljenje. Molekuli, gubeći energiju, formiraju kristale, nesposobni da se odupru privlačenju drugih molekula. I opet, tjelesna temperatura se neće smanjivati ​​dok se cijelo tijelo ne očvrsne i dok se ne oslobodi sva energija koja je utrošena na njegovo topljenje. Odnosno, specifična toplota fuzije pokazuje koliko energije treba utrošiti da bi se rastopilo tijelo mase m i koliko će se energije osloboditi kada se ovo tijelo očvrsne.

Na primjer, specifična toplina fuzije vode u čvrstom stanju, odnosno specifična toplina fuzije leda je 3,4*10^5 J/kg

Specifična toplota fuzije leda je 3,4 puta 10 na 5. stepen džula/kg

Specifična toplota fuzije označena je grčkim slovom λ (lambda), a mjerna jedinica je 1 J/kg

Pitanje 24 Označimo L1 kao specifičnu toplotu isparavanja, a L2 kao specifičnu toplotu fuzije. Šta više?

Kako tijelo dobija energiju tokom isparavanja, to možemo zaključiti unutrašnja energija tijelo u gasovitom stanju veća je od unutrašnje energije tijela iste mase u tečnom stanju. Stoga, tokom kondenzacije, para oslobađa količinu energije koja je bila potrebna za njeno stvaranje

Specifična toplota isparavanja– fizička veličina koja pokazuje količinu topline koja je potrebna da se 1 kg tvari pretvori u paru bez promjene njene temperature. Kvote « r

Specifična toplota fuzije– fizička veličina koja pokazuje količinu topline koja je potrebna za pretvaranje 1 kg tvari u tekućinu bez promjene njene temperature. Kvote « λ „Za razne supstance, po pravilu su različiti. One se mjere empirijski i unose u posebne tabele

Specifična toplota isparavanja je veća

Pitanje 25: Diferencijalna toplotna jednačina za dvodimenzionalno nestabilno temperaturno polje u Dekartovim koordinatama?

x i = x, y, z – Dekartov koordinatni sistem;

Ako temperatura ostane konstantna duž jedne od koordinata, onda se matematički ovaj uvjet zapisuje (na primjer, za z koordinatu) na sljedeći način: dT/dz=0.

U ovom slučaju, polje se naziva dvodimenzionalno i piše se:

za nestacionarni mod T=T(x, y, t);

za stacionarni mod T=T(x, y).

Jednačine dvodimenzionalnog temperaturnog polja za mod

nestacionarni:

Pitanje 26: diferencijalna toplotna jednačina za nestacionarno temperaturno polje u cilindričnim koordinatama?

x i = r, φ, z – cilindrični koordinatni sistem;

Temperaturno polje je skup temperaturnih vrijednosti u svim tačkama date računske domene i tokom vremena.

Temperaturno polje se mjeri u stepenima Celzijusa i Kelvina i označava se na isti način kao u TTD: , gdje su x i koordinate tačke u prostoru u kojoj se nalazi temperatura, u metrima [m]; τ – vrijeme procesa izmjene topline u sekundama, [s]. To. temperaturno polje karakteriše broj koordinata i njegovo ponašanje tokom vremena.

U termičkim proračunima koriste se sljedeći koordinatni sistemi:

x i = r, φ, z – cilindrični koordinatni sistem;

Temperaturno polje, koje mijenja se tokom vremena, zvao nestacionarni temperaturno polje. I obrnuto, temperaturno polje, koje ne mijenja se tokom vremena, zvao stacionarni temperaturno polje.

cilindrični koordinate (r – polumjer; φ – polarni ugao; z – primjena), diferencijalna jednadžba toplotne provodljivosti ima oblik

,