Nagib 2. Jednačina prave linije sa nagibom. Pogledajte šta je "Pravi ugao" u drugim rječnicima

Neka na ravni u kojoj postoji pravougaoni Dekartov koordinatni sistem, prava linija l prolazi kroz tačku M 0 paralelno sa vektorom pravca A (Sl. 96).

Ako je ravno l prelazi O osu X(u tački N), zatim pod uglom prave linije l sa O osom X shvatićemo ugao α za koji je potrebno rotirati O osu X oko tačke N u smjeru suprotnom od rotacije u smjeru kazaljke na satu, tako da osa O X poklopila sa pravom linijom l. (Ovo se odnosi na ugao manji od 180°.)

Ovaj ugao se zove ugao nagiba direktno. Ako je ravno l paralelno sa O osom X, tada se pretpostavlja da je ugao nagiba nula (slika 97).

Tangenta ugla nagiba prave se naziva nagib prave linije i obično se označava slovom k:

tan α = k. (1)

Ako je α = 0, onda k= 0; to znači da je prava paralelna sa O osom X a njen nagib je nula.

Ako je α = 90°, onda k= tan α nema smisla: to znači da je prava linija okomita na osu O X(tj. paralelno sa O osom at), nema nagib.

Nagib prave može se izračunati ako su poznate koordinate bilo koje dvije tačke na ovoj pravoj. Neka su date dvije tačke na pravoj: M 1 ( x 1 ; at 1) i M 2 ( x 2 ; at 2) i neka je, na primjer, 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , at 2 > at 1 (Sl. 98).

Onda od pravougaonog trougla M 1 PM 2 nalazimo

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Slično je dokazano da je formula (2) tačna i u slučaju 90°< α < 180°.

Formula (2) postaje besmislena ako x 2 - x 1 = 0, tj. ako je ravno l paralelno sa O osom at. Za takve prave linije ne postoji koeficijent nagiba.

Zadatak 1. Odrediti ugaoni koeficijent prim koji prolazi kroz tačke

M 1 (3; -5) i M 2 (5; -7).

Zamjenom koordinata tačaka M 1 i M 2 u formulu (2) dobijamo

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) ili k = -1

Zadatak 2. Odrediti nagib prave koja prolazi kroz tačke M 1 (3; 5) i M 2 (3; -2).

Jer x 2 - x 1 = 0, tada jednakost (2) gubi smisao. Za ovu pravu liniju nema nagiba. Prava linija M 1 M 2 je paralelna sa O osom at.

Zadatak 3. Odrediti nagib prave koja prolazi kroz ishodište i tačku M 1 (3; -5)

U ovom slučaju, tačka M 2 se poklapa sa ishodištem. Primjenom formule (2) dobijamo

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Napravimo jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom k, prolazeći kroz tačku

M 1 ( x 1 ; at 1). Prema formuli (2), ugaoni koeficijent prave linije nalazi se iz koordinata njene dvije tačke. U našem slučaju data je tačka M 1, a kao drugu tačku možemo uzeti bilo koju tačku M( X; at) željenu pravu liniju.

Ako tačka M leži na pravoj liniji koja prolazi kroz tačku M 1 i ima ugaoni koeficijent k, onda na osnovu formule (2) imamo

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Ako tačka M ne leži na pravoj, onda jednakost (3) ne vrijedi. Prema tome, jednakost (3) je jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ( x 1 ; at 1) sa nagibom k; ova jednačina se obično piše kao

y- y 1 = k(x - x 1). (4)

Ako prava linija siječe O osu at u nekom trenutku (0; b), tada jednačina (4) poprima oblik

at - b = k (X- 0),

y = kx + b. (5)

Ova jednačina se zove jednadžba prave linije sa nagibom k i početnom ordinatom b.

Zadatak 4. Odrediti ugao nagiba prave √3 x + 3at - 7 = 0.

Svedujmo ovu jednačinu na oblik

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

dakle, k= tan α = - 1 / √ 3, odakle je α = 150°

Zadatak 5. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku P(3; -4) sa ugaonim koeficijentom k = 2 / 5

Zamena k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 u jednačinu (4), dobijamo

at - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) ili 2 X - 5at - 26 = 0.

Zadatak 6. Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačku Q (-3; 4) i komponentu s pozitivnim smjerom O ose X ugao 30°.

Ako je α = 30°, onda k= tan 30° = √ 3 / 3 . Zamjena u jednačinu (4) vrijednosti x 1 , y 1 i k, dobijamo

at -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) ili √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.

IN Kartezijanske koordinate svaka prava je određena jednačinom prvog stepena i, obrnuto, svaka jednačina prvog stepena određuje pravu.

Jednačina oblika

naziva se opšta jednačina prave.

Ugao određen kao što je prikazano na slici naziva se ugao nagiba prave linije prema osi Ox. Tangens ugla nagiba prave na os Ox naziva se ugaoni koeficijent prave; obično se označava slovom k:

Jednačina se naziva jednačina prave sa nagibom; k je ugaoni koeficijent, b je vrijednost segmenta koji je odsječen pravom linijom na Oy osi, računajući od početka.

Ako je prava linija data općom jednadžbom

,

tada je njegov ugaoni koeficijent određen formulom

Jednačina je jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku (, ) i ima ugaoni koeficijent k.

Ako prava linija prolazi kroz tačke (, ), (, ), tada se njen nagib određuje formulom

Jednačina

je jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke (, ) i (, ).

Ako su poznati ugaoni koeficijenti dvije prave, tada je jedan od uglova između ovih pravih određen formulom

.

Znak paralelizma dvije prave je jednakost njihovih ugaonih koeficijenata:.

Znak okomitosti dvije prave je omjer, ili.

Drugim riječima, ugaoni koeficijenti okomitih linija su inverzni po apsolutnoj vrijednosti i suprotni po predznaku.

4. Opća jednačina prave

Jednačina

Ah+Bu+C=0

(Gdje A, B, C može imati bilo koje vrijednosti, sve dok su koeficijenti A, B nisu bile obe nule odjednom) predstavlja prava linija. Bilo koja prava linija može biti predstavljena jednadžbom ovog tipa. Zato ga zovu opšta jednačina prave.

Ako AX, tada predstavlja pravu liniju, paralelno sa OX osom.

Ako IN=0, odnosno jednačina ne sadrži at, tada predstavlja pravu liniju, paralelno sa OY osom.

Kogla IN nije jednako nuli, onda opšta jednačina prave može biti razlučiti u odnosu na ordinatuat , zatim se pretvara u formu

(Gdje a=-A/B; b=-C/B).

Slično, kada A ne-nula opšta jednačina prava linija se može riješiti u odnosu na X.

Ako WITH=0, odnosno, opšta jednačina prave ne sadrži slobodan član, tada predstavlja pravu koja prolazi kroz početak

5. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku sa datim nagibom

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednadžba definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.

6. jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:

Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

7. Jednačina prave u segmentima

Ako u opštoj jednadžbi linije , tada dijeljenjem (1) sa , dobivamo jednadžbu linije u segmentima

Gdje, . Prava linija siječe os u tački , os u tački .

8. Formula: Ugao između pravih na ravni

U Gol α između dvije prave date jednadžbama: y=k 1 x+b 1 (prvi red) i y=k 2 x+b 2 (druga ravna linija), može se izračunati pomoću formule (ugao se mjeri od 1. prave do 2. suprotno od kazaljke na satu ):

9. Relativni položaj dvije prave na ravni.

Pusti oboje sada jednačine prave se pišu u opštem obliku.

Teorema. Neka

– general jednačine dvije ravne linije koordinata Oxy avion. Onda

1) ako , onda ravno i poklapaju se;

2) ako , tada ravno i

paralelno;

3) ako , onda ravno presecati.

Dokaz. Stanje je ekvivalentno kolinearnosti normale vektori direktni podaci:

Stoga, ako , onda ravno presecati.

Ako , zatim , , i jednačina direktno ima oblik:

Or , tj. ravno match. Imajte na umu da je koeficijent proporcionalnosti, inače svi koeficijenti općenito jednačine bila bi jednaka nuli, što je nemoguće.

Ako ravno ne poklapaju se i ne seku, onda slučaj ostaje, tj. ravno paralelno.

Teorema je dokazana.

Slika prikazuje ugao nagiba prave linije i označava vrednost nagiba pri razne opcije položaj prave linije u odnosu na pravougaoni sistem koordinate

Pronalaženje nagiba prave linije sa poznatim uglom nagiba prema osi Ox ne predstavlja nikakve poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je podsjetiti se na definiciju kutnog koeficijenta i izračunati tangens kuta nagiba.

Primjer.

Nađite nagib prave ako je njen ugao nagiba prema osi apscise jednak .

Rješenje.

Prema stanju. Zatim, po definiciji nagiba prave linije, izračunavamo .

odgovor:

Zadatak pronalaženja ugla nagiba prave linije prema x-osi s poznatim nagibom je malo složeniji. Ovdje je potrebno uzeti u obzir znak nagiba. Kada je ugao nagiba prave linije oštar i nalazi se kao . Kada je ugao nagiba prave linije tup i može se odrediti formulom .

Primjer.

Odrediti ugao nagiba prave linije prema osi apscise ako je njen nagib jednak 3.

Rješenje.

Pošto je po uslovu ugaoni koeficijent pozitivan, ugao nagiba prave linije prema Ox osi je oštar. Izračunavamo ga pomoću formule.

odgovor:

Primjer.

Nagib prave linije je . Odrediti ugao nagiba prave linije prema Ox osi.

Rješenje.

Označimo k je ugaoni koeficijent prave linije, - ugao nagiba ove prave linije prema pozitivnom pravcu ose Ox. Jer , tada koristimo formulu da pronađemo ugao nagiba linije sledećeg oblika . U njega zamjenjujemo podatke iz uslova: .

odgovor:

Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom.

Jednačina prave linije sa nagibom ima oblik , gdje je k nagib prave, b je neki realan broj. Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom može se koristiti za definisanje bilo koje prave linije, ne paralelno sa osom Oy (za pravu liniju paralelnu s ordinatnom osom, nagib nije definiran).

Pogledajmo značenje izraza: "prava linija na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu data je jednadžbom sa ugaonim koeficijentom oblika "." To znači da je jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate bilo koje druge tačke na ravni. Dakle, ako se pri zamjeni koordinata tačke dobije tačna jednakost, tada ravna linija prolazi kroz ovu tačku. Inače, tačka ne leži na pravoj.

Primjer.

Prava linija je data jednadžbom sa nagibom. Da li i tačke pripadaju ovoj pravoj?

Rješenje.

Zamenimo koordinate tačke u originalnu jednadžbu prave linije sa nagibom: . Dobili smo tačnu jednakost, dakle, tačka M 1 leži na pravoj.

Prilikom zamjene koordinata tačke dobijamo netačnu jednakost: . Dakle, tačka M 2 ne leži na pravoj.

odgovor:

Dot M 1 pripada liniji, M 2 ne.

Treba napomenuti da kroz tačku prolazi prava linija koja je definisana jednadžbom prave linije sa ugaonim koeficijentom, jer kada njene koordinate zamenimo u jednačinu dobijamo tačnu jednakost: .

Dakle, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom definira na ravni ravnu liniju koja prolazi kroz tačku i formira ugao s pozitivnim smjerom x-ose, i .

Kao primjer, predočimo ravnu liniju definiranu jednadžbom prave linije s kutnim koeficijentom oblika . Ova linija prolazi kroz tačku i ima nagib radijana (60 stepeni) u pozitivnom smeru ose Ox. Njegov nagib je jednak .

Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku.

Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobićemo jednačinu prave linije sa datim nagibom k i koja prolazi kroz tačku .

Pošto prava prolazi kroz tačku, jednakost je tačna . Ne znamo broj b. Da bismo ga se riješili, oduzimamo lijevu i desnu stranu posljednje jednakosti od lijeve i desne strane jednadžbe prave linije s koeficijentom nagiba, respektivno. U ovom slučaju dobijamo . Ova jednakost je jednačina prave linije sa datim nagibom k, koja prolazi kroz datu tačku.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku, nagib ove prave je -2.

Rješenje.

Iz stanja koje imamo . Tada će jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom dobiti oblik .

odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu prave ako je poznato da ona prolazi kroz tačku i da je kut nagiba u pozitivnom smjeru ose Ox jednak .

Rješenje.

Prvo, izračunajmo nagib prave čiju jednačinu tražimo (ovaj problem smo riješili u prethodnom pasusu ovog članka). Po definiciji . Sada imamo sve podatke da zapišemo jednadžbu prave linije sa ugaonim koeficijentom:

odgovor:

Primjer.

Napišite jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom.

Rješenje.

Očigledno je da se uglovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox poklapaju (ako je potrebno, pogledajte članak Paralelnost linija), stoga su ugaoni koeficijenti paralelnih linija jednaki. Tada je nagib prave linije, čiju jednačinu treba da dobijemo, jednak 2, jer je nagib prave jednak 2. Sada možemo kreirati traženu jednadžbu ravne linije sa nagibom:

odgovor:

Prelazak sa jednadžbe prave sa ugaonim koeficijentom na druge tipove jednadžbe prave i obrnuto.

Unatoč svim poznatim, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom nije uvijek zgodna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim slučajevima, probleme je lakše riješiti kada se jednačina prave predstavi u drugačijem obliku. Na primjer, jednadžba ravne linije s kutnim koeficijentom ne dopušta vam da odmah zapišete koordinate usmjeravajućeg vektora ravne linije ili koordinate vektora normale prave linije. Zbog toga bi trebalo da naučite da pređete sa jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom na druge vrste jednačina ove prave.

Iz jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom lako je dobiti kanonsku jednačinu prave linije na ravni oblika . Da bismo to učinili, pomjerimo pojam b s desne strane jednačine na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti nagibom k: . Ove akcije nas vode od jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom do kanonska jednačina direktno.

Primjer.

Dajte jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom kanonskom obliku.

Rješenje.

Izvršimo potrebne transformacije: .

odgovor:

Primjer.

Prava linija je data jednadžbom prave linije sa ugaonim koeficijentom. Da li je vektor normalan vektor ove prave?

Rješenje.

Da bismo riješili ovaj problem, prijeđimo sa jednadžbe prave linije sa ugaonim koeficijentom na opštu jednadžbu ove prave: . Znamo da su koeficijenti varijabli x i y u opštoj jednačini prave odgovarajuće koordinate vektora normale ove prave, odnosno vektor normale prave . Očigledno je da je vektor kolinearan vektoru, pošto je relacija važeća (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, originalni vektor je također normalan vektor linije , i stoga je normalni vektor i originalna linija.

odgovor:

Da, jeste.

A sada ćemo riješiti inverzni problem - problem svođenja jednadžbe prave linije na ravni na jednadžbu ravne linije sa ugaonim koeficijentom.

Iz opće pravolinijske jednačine oblika , u kojem je vrlo lako prijeći na jednadžbu sa koeficijentom nagiba. Da biste to učinili, morate riješiti opštu jednadžbu prave u odnosu na y. U ovom slučaju dobijamo . Rezultirajuća jednakost je jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom jednakim .

U prethodnom poglavlju je pokazano da izborom određenog koordinatnog sistema na ravni možemo geometrijska svojstva, koji karakteriše tačke razmatrane linije, analitički se izražava jednačinom između trenutnih koordinata. Tako dobijamo jednačinu prave. Ovo poglavlje će se baviti pravolinijskim jednadžbama.

Da biste kreirali jednadžbu za pravu liniju u Dekartovim koordinatama, morate nekako postaviti uslove koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne ose.

Prvo ćemo uvesti pojam ugaonog koeficijenta prave, koji je jedna od veličina koje karakterišu položaj prave na ravni.

Nazovimo ugao nagiba prave prema osi Ox ugao za koji treba zarotirati os Ox tako da se poklopi sa datom linijom (ili je paralelna s njom). Kao i obično, ugao ćemo uzeti u obzir uzimajući u obzir znak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija ose Ox kroz ugao od 180° ponovo poravnati nju sa pravom linijom, ugao nagiba prave linije prema osi ne može se izabrati jednoznačno (u okviru člana, višekratnik ).

Tangens ovog ugla je određen jedinstveno (jer se promenom ugla ne menja njegova tangenta).

Tangens ugla nagiba prave linije prema osi Ox naziva se ugaoni koeficijent prave linije.

Ugaoni koeficijent karakterizira smjer prave linije (ovdje ne razlikujemo dva međusobno suprotna smjera prave linije). Ako je nagib prave nula, tada je prava paralelna sa x-osi. Sa pozitivnim ugaonim koeficijentom, ugao nagiba prave linije prema Ox osi će biti oštar (ovde razmatramo najmanju pozitivnu vrednost ugla nagiba) (Sl. 39); Štaviše, što je veći ugaoni koeficijent, veći je ugao njegovog nagiba prema Ox osi. Ako je kutni koeficijent negativan, tada će ugao nagiba prave linije prema osi Ox biti tup (slika 40). Imajte na umu da prava linija okomita na osu Ox nema ugaoni koeficijent (tangenta ugla ne postoji).

Zadaci o pronalaženju derivacije tangente uključeni su u Jedinstveni državni ispit iz matematike i tamo se nalaze svake godine. Istovremeno, statistika poslednjih godina pokazuje da takvi zadaci izazivaju određene poteškoće diplomcima. Stoga, ako student očekuje da će dobiti pristojne rezultate nakon položenog Jedinstvenog državnog ispita, onda bi svakako trebao naučiti kako se nositi s problemima iz odjeljka „Koeficijent kuta tangente kao vrijednost derivacije u tački tangente“, pripremili stručnjaci obrazovnog portala Školkovo. Shvativši algoritam za njihovo rješavanje, student će moći uspješno savladati sertifikacijski test.

Highlights

Početak rada s rješenjem Problemi na objedinjenom državnom ispitu na ovu temu, potrebno je podsjetiti se na osnovnu definiciju: derivacija funkcije u tački jednaka je nagibu tangente na graf funkcije u ovoj tački. Ovo je ono geometrijsko značenje derivat.

Postoji još jedna važna definicija koju treba osvježiti. Zvuči ovako: kutni koeficijent jednak je tangentu kuta nagiba tangente na os apscise.

Šta drugo važne tačke Vrijedi spomenuti u ovoj temi? Prilikom rješavanja zadataka o pronalaženju derivacije u Jedinstvenom državnom ispitu, potrebno je zapamtiti da ugao koji formira tangenta može biti manji od, veći od 90 stepeni ili jednak nuli.

Kako se pripremiti za ispit?

Da biste osigurali da vam se zadaci na Jedinstvenom državnom ispitu na temu „Ugaoni koeficijent tangente kao vrijednost derivacije u tački tangente“ daju prilično lako, koristite informacije iz ovog odjeljka na obrazovnom portalu Školkovo kada priprema za završni test. Ovdje ćete pronaći neophodan teorijski materijal, prikupljen i jasno predstavljen od strane naših stručnjaka, a moći ćete i vježbati izvođenje vježbi.

Za svaki zadatak, na primjer, zadatke na temu “Ugaoni koeficijent tangente kao tangenta ugla nagiba” zapisali smo tačan odgovor i algoritam rješenja. Istovremeno, učenici mogu izvoditi vježbe različitih nivoa težine na mreži. Ako je potrebno, zadatak se može sačuvati u odeljku „Omiljeni“ tako da kasnije možete razgovarati o njegovom rešenju sa nastavnikom.