Ne brojite cijele brojeve. Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj. Kriteriji djeljivosti i metode grupisanja (2020). Pozitivni cijeli brojevi i negativni cijeli brojevi

U ovom članku ćemo definirati skup cijelih brojeva, razmotriti koji se cijeli brojevi nazivaju pozitivni, a koji negativni. Također ćemo pokazati kako se cijeli brojevi koriste za opisivanje promjena u određenim količinama. Počnimo s definicijom i primjerima cijelih brojeva.

Cijeli brojevi. Definicija, primjeri

Prvo, sjetimo se prirodnih brojeva ℕ. Samo ime sugerira da su to brojevi koji se prirodno koriste za brojanje od pamtivijeka. Da bismo pokrili koncept cijelih brojeva, moramo proširiti definiciju prirodnih brojeva.

Definicija 1. Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, njihove suprotnosti i broj nula.

Skup cijelih brojeva je označen slovom ℤ.

Skup prirodnih brojeva ℕ je podskup cijelih brojeva ℤ. Bilo koji prirodni broj je cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.

Iz definicije slijedi da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3 cijeli broj. . , broj 0, kao i brojevi - 1, - 2, - 3, . .

U skladu s tim, dat ćemo primjere. Brojevi 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 su cijeli brojevi.

Neka koordinatna linija bude nacrtana vodoravno i usmjerena udesno. Pogledajmo ga kako bismo vizualizirali lokaciju cijelih brojeva na liniji.

Porijeklo na koordinatnoj liniji odgovara broju 0, a tačke koje leže s obje strane nule odgovaraju pozitivnim i negativnim cijelim brojevima. Svaka tačka odgovara jednom cijelom broju.

Možete doći do bilo koje tačke na liniji čija je koordinata cijeli broj tako što ćete odvojiti određeni broj jediničnih segmenata od početka.

Pozitivni i negativni cijeli brojevi

Od svih cijelih brojeva, logično je razlikovati pozitivne i negativne cijele brojeve. Hajde da damo njihove definicije.

Definicija 2: Pozitivni cijeli brojevi

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom plus.

Na primjer, broj 7 je cijeli broj sa predznakom plus, odnosno pozitivan cijeli broj. Na koordinatnoj liniji ovaj broj leži desno od referentne tačke, koja se uzima kao broj 0. Drugi primjeri pozitivnih cijelih brojeva: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definicija 3: Negativni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom minus.

Primjeri negativnih cijelih brojeva: - 528, - 2568, - 1.

Broj 0 razdvaja pozitivne i negativne cijele brojeve i sam po sebi nije ni pozitivan ni negativan.

Svaki broj koji je suprotan pozitivnom cijelom broju je, po definiciji, negativan cijeli broj. Vrijedi i suprotno. Inverz bilo kojeg negativnog cijelog broja je pozitivan cijeli broj.

Moguće je dati i druge formulacije definicija negativnih i pozitivnih cijelih brojeva koristeći njihovo poređenje sa nulom.

Definicija 4. Pozitivni cijeli brojevi

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.

Definicija 5: Negativni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi manji od nule.

Prema tome, pozitivni brojevi leže desno od početka na koordinatnoj liniji, a negativni cijeli brojevi leže lijevo od nule.

Ranije smo rekli da su prirodni brojevi podskup celih brojeva. Hajde da razjasnimo ovu tačku. Skup prirodnih brojeva sastoji se od pozitivnih cijelih brojeva. Zauzvrat, skup negativnih cijelih brojeva je skup brojeva suprotnih prirodnim.

Važno!

Bilo koji prirodni broj se može nazvati cijelim brojem, ali bilo koji cijeli broj ne može se nazvati prirodnim brojem. Odgovarajući na pitanje da li su negativni brojevi prirodni brojevi, moramo hrabro reći – ne, nisu.

Nepozitivni i nenegativni cijeli brojevi

Hajde da damo neke definicije.

Definicija 6. Nenegativni cijeli brojevi

Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi i broj nula.

Definicija 7. Nepozitivni cijeli brojevi

Nepozitivni cijeli brojevi su negativni cijeli brojevi i broj nula.

Kao što vidite, broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Primjeri nenegativnih cijelih brojeva: 52, 128, 0.

Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva: - 52, - 128, 0.

Nenegativan broj je broj veći ili jednak nuli. Prema tome, nepozitivan cijeli broj je broj manji ili jednak nuli.

Izrazi "ne-pozitivan broj" i "ne-negativan broj" koriste se radi sažetosti. Na primjer, umjesto da kažete da je broj a cijeli broj koji je veći ili jednak nuli, možete reći: a nije negativan cijeli broj.

Korištenje cijelih brojeva za opisivanje promjena u količinama

Za šta se koriste cijeli brojevi? Prije svega, uz njihovu pomoć prikladno je opisati i odrediti promjene u količini bilo kojeg objekta. Dajemo primjer.

Neka se određeni broj radilica čuva u skladištu. Ako se u skladište donese još 500 radilica, njihov broj će se povećati. Broj 500 precizno izražava promjenu (povećanje) broja dijelova. Ako se tada iz skladišta uzme 200 dijelova, tada će ovaj broj karakterizirati i promjenu broja radilica. Ovaj put, naniže.

Ako se ništa ne uzima iz skladišta i ništa se ne isporučuje, tada će broj 0 označavati da broj dijelova ostaje nepromijenjen.

Očigledna pogodnost korištenja cijelih brojeva, za razliku od prirodnih brojeva, je da njihov predznak jasno ukazuje na smjer promjene vrijednosti (povećanje ili smanjenje).

Smanjenje temperature za 30 stepeni može se okarakterisati negativnim celim brojem - 30, a povećanje za 2 stepena - pozitivnim celim brojem 2.

Dajemo još jedan primjer korištenja cijelih brojeva. Ovaj put, zamislimo da nekome moramo dati 5 novčića. Tada možemo reći da imamo - 5 novčića. Broj 5 opisuje veličinu duga, a znak minus označava da moramo dati novčiće.

Ako dugujemo 2 novčića jednoj osobi, a 3 drugoj osobi, onda se ukupan dug (5 novčića) može izračunati pomoću pravila zbrajanja negativnih brojeva:

2 + (- 3) = - 5

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prirodni brojevi su brojevi sa kojima je sve počelo. A danas su to prvi brojevi s kojima se čovjek susreće u životu, kada u djetinjstvu nauči da broji na prste ili štapiće.

definicija: Prirodni brojevi su brojevi koji se koriste za brojanje objekata (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Broj 0 nije prirodan. Ima svoju zasebnu istoriju u istoriji matematike i pojavio se mnogo kasnije od prirodnih brojeva.]

Skup svih prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5, ...) označava se slovom N.

Integers

Nakon što smo naučili da brojimo, sljedeća stvar koju radimo je da učimo izvoditi aritmetičke operacije nad brojevima. Obično se prvo uči sabiranje i oduzimanje (pomoću štapića za brojanje).

Sa sabiranjem je sve jasno: zbrajanjem bilo koja dva prirodna broja, rezultat će uvijek biti isti prirodni broj. Ali u oduzimanju otkrivamo da ne možemo oduzeti veće od manjeg tako da je rezultat prirodan broj. (3 − 5 = šta?) Ovdje dolazi do izražaja ideja o negativnim brojevima. (Negativni brojevi više nisu prirodni brojevi)

U fazi pojave negativnih brojeva (i pojavili su se kasnije od razlomaka) bilo je i njihovih protivnika, koji su ih smatrali glupostima. (Tri objekta se mogu prikazati na prstima, deset se može prikazati, hiljadu objekata se može predstaviti analogijom. A šta je „minus tri vrećice”? - U to vrijeme brojevi su se već koristili sami, odvojeno od određenih objekti, čiji broj oni označavaju, još su bili u glavama ljudi mnogo bližih ovim specifičnim temama nego danas.) Ali, kao i prigovori, glavni argument u korist negativnih brojeva došao je iz prakse: negativni brojevi su omogućili zgodno brojati dugove. 3 − 5 = −2 - Imao sam 3 novčića, potrošio sam 5. To znači da ne samo da sam ostao bez novčića, već sam nekome ostao dužan 2 novčića. Ako vratim jedan, dug će se promijeniti −2+1=−1, ali može biti predstavljen i negativnim brojem.

Kao rezultat toga, negativni brojevi su se pojavili u matematici, a sada imamo beskonačan broj prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, ...) i isti broj njihovih suprotnosti (−1, −2, − 3, −4 , ...). Dodajmo im još 0 I skup svih ovih brojeva nazvat ćemo cijelim.

definicija: Prirodni brojevi, njihove suprotnosti i nula čine skup cijelih brojeva. Označava se slovom Z.

Bilo koja dva cijela broja mogu se oduzeti jedan od drugog ili dodati da se formira cijeli broj.

Ideja sabiranja cijelih brojeva već pretpostavlja mogućnost množenja, kao jednostavno više brz način izvođenje dodavanja. Ako imamo 7 vreća od po 6 kilograma, možemo dodati 6+6+6+6+6+6+6 (dodajte 6 trenutnom ukupnom broju sedam puta), ili se jednostavno možemo sjetiti da će takva operacija uvijek rezultirati 42. Baš kao što se dodaje šest sedmica, 7+7+7+7+7+7 će također uvijek dati 42.

Rezultati operacije sabiranja siguran brojeve sa sobom siguran ispisuje se broj puta za sve parove brojeva od 2 do 9 i sastavlja se tablica množenja. Za množenje cijelih brojeva veći od 9, izmišljeno je pravilo množenja stupaca. (Što se također odnosi na decimalne razlomke i o čemu će biti riječi u jednom od sljedećih članaka.) Kada se množe bilo koja dva cijela broja jedan s drugim, rezultat će uvijek biti cijeli broj.

Racionalni brojevi

Sada podjela. Kao što je oduzimanje inverzna operacija sabiranja, dolazimo do ideje dijeljenja kao inverzne operacije množenja.

Kada smo imali 7 vreća od 6 kilograma, množenjem smo lako izračunali da je ukupna težina sadržaja vreća bila 42 kilograma. Zamislimo da smo sav sadržaj svih vreća izlili u jednu zajedničku gomilu tešku 42 kilograma. A onda su se predomislili i hteli da ponovo rasporede sadržaj u 7 kesa. Koliko će kilograma završiti u jednoj vreći ako je ravnomjerno rasporedimo? – Očigledno, 6.

Šta ako želimo 42 kilograma rasporediti u 6 vreća? Ovdje ćemo misliti da bi se istih ukupno 42 kilograma moglo dobiti ako bismo 6 vreća od 7 kilograma izlili na gomilu. A to znači da kada podijelimo 42 kilograma u 6 vreća jednako, dobijemo 7 kilograma u jednoj vreći.

Šta ako podijelite 42 kilograma jednako u 3 vreće? I ovdje također počinjemo birati broj koji bi, kada se pomnoži sa 3, dao 42. Za “tabelarne” vrijednosti, kao u slučaju 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, vršimo dijeljenje operacija jednostavnim prizivanjem tablice množenja. Za složenije slučajeve koristi se podjela na stupce, o čemu će biti riječi u jednom od sljedećih članaka. U slučaju 3 i 42, možete "odabrati" da zapamtite da je 3 · 14 = 42. To znači 42:3 = 14. Svaka vreća će sadržavati 14 kilograma.

Pokušajmo sada podijeliti 42 kilograma jednako u 5 vreća. 42:5=?
Primjećujemo da je 5 · 8 = 40 (malo), a 5 · 9 = 45 (mnogo). Odnosno, nećemo dobiti 42 kilograma iz 5 vreća, niti 8 kilograma u vreći, niti 9 kilograma. Istovremeno, jasno je da nas u stvarnosti ništa ne sprječava da bilo koju količinu (žitarice, na primjer) podijelimo na 5 jednakih dijelova.

Operacija međusobnog dijeljenja cijelih brojeva ne rezultira nužno cijelim brojem. Tako smo došli do koncepta razlomaka. 42:5 = 42/5 = 8 cijelih 2/5 (ako se računa u običnim razlomcima) ili 42:5 = 8,4 (ako se računa u decimalnim razlomcima).

Obični i decimalni razlomci

Možemo reći da je bilo koji obični razlomak m/n (m je bilo koji cijeli broj, n bilo koji prirodan broj) jednostavno poseban oblik pisanja rezultata dijeljenja broja m brojem n. (m se naziva brojilac razlomka, n je imenilac) Rezultat dijeljenja, na primjer, broja 25 brojem 5 može se zapisati i kao običan razlomak 25/5. Ali to nije neophodno, jer se rezultat dijeljenja 25 sa 5 može jednostavno napisati kao cijeli broj 5. (I 25/5 = 5). Ali rezultat dijeljenja broja 25 brojem 3 više se ne može predstaviti kao cijeli broj, pa se ovdje javlja potreba da se koristi razlomak, 25:3 = 25/3. (Možete razlikovati cijeli dio 25/3 = 8 cijelih 1/3. O običnim razlomcima i operacijama s običnim razlomcima detaljnije ćemo govoriti u sljedećim člancima.)

Dobra stvar kod običnih razlomaka je da da biste predstavili rezultat dijeljenja bilo koja dva cijela broja kao takav razlomak, samo trebate upisati dividendu u brojnik razlomka, a djelitelj u nazivnik. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Zatim, ako je moguće, smanjite razlomak i/ili istaknite cijeli dio (ove radnje sa običnim razlomcima će se detaljno raspravljati u sljedećim člancima). Problem je u tome što izvođenje aritmetičkih operacija (sabiranja, oduzimanja) s običnim razlomcima više nije tako zgodno kao s cijelim brojevima.

Za praktičnost pisanja (u jednom redu) i za praktičnost izračunavanja (sa mogućnošću izračunavanja u koloni, kao za obične cijele brojeve), osim običnih razlomaka, izmišljeni su i decimalni razlomci. Decimalni razlomak je posebno napisan običan razlomak sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. Na primjer, obični razlomak 7/10 je isti kao decimalni razlomak 0,7. (8/100 = 0,08; 2 cijela 3/10 = 2,3; 7 cijelih 1/1000 = 7, 001). Zaseban članak će biti posvećen pretvaranju običnih razlomaka u decimale i obrnuto. Operacije s decimalnim razlomcima - ostali članci.

Bilo koji cijeli broj se može predstaviti kao običan razlomak sa nazivnikom 1. (5=5/1; −765=−765/1).

definicija: Svi brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak nazivaju se racionalnim brojevima. Skup racionalnih brojeva je označen slovom Q.

Prilikom dijeljenja bilo koja dva cijela broja jedan s drugim (osim kada se dijeli sa 0), rezultat će uvijek biti racionalan broj. Za obične razlomke postoje pravila za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje koja vam omogućavaju da izvršite odgovarajuću operaciju s bilo koja dva razlomka i kao rezultat dobijete racionalni broj (razlomak ili cijeli broj).

Skup racionalnih brojeva je prvi od skupova koje smo razmatrali u kojima možete sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti (osim dijeljenja s 0), nikada ne prelazeći granice ovog skupa (to jest, uvijek dobijajući racionalno broj kao rezultat).

Čini se da ne postoje drugi brojevi, svi brojevi su racionalni. Ali ni to nije istina.

Realni brojevi

Postoje brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak m/n (gdje je m cijeli broj, n je prirodan broj).

Koji su to brojevi? Još nismo razmatrali operaciju eksponencijalnosti. Na primjer, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Kao što je množenje pogodniji oblik pisanja i izračunavanja sabiranja, tako je i eksponencijacija oblik pisanja množenja istog broja određeni broj puta.

Ali sada pogledajmo inverznu operaciju podizanja na stepen - vađenje korijena. Kvadratni korijen od 16 je broj koji kada se na kvadrat daje 16, odnosno broj 4. Kvadratni korijen od 9 je 3. Ali kvadratni korijen od 5 ili 2, na primjer, ne može se predstaviti racionalni broj. (Dokaz ove tvrdnje, drugi primjeri iracionalnih brojeva i njihova istorija mogu se naći, na primjer, na Wikipediji)

U GIA u 9. razredu postoji zadatak da se utvrdi da li je broj koji sadrži korijen u svojoj notaciji racionalan ili iracionalan. Zadatak je pokušati pretvoriti ovaj broj u oblik koji ne sadrži korijen (koristeći svojstva korijena). Ako se ne možete riješiti korijena, onda je broj iracionalan.

Još jedan primjer iracionalnog broja je broj π, poznat svima iz geometrije i trigonometrije.

definicija: Racionalni i iracionalni brojevi zajedno se nazivaju realnim (ili realnim) brojevima. Skup svih realnih brojeva je označen slovom R.

U realnim brojevima, za razliku od racionalnih brojeva, možemo izraziti udaljenost između bilo koje dvije tačke na pravoj ili ravni.
Ako nacrtate pravu liniju i odaberete dvije proizvoljne tačke na njoj ili odaberete dvije proizvoljne tačke na ravni, može se ispostaviti da se tačna udaljenost između ovih tačaka ne može izraziti kao racionalan broj. (Primjer: hipotenuza pravougaonog trougla sa kracima 1 i 1, prema Pitagorinoj teoremi, bit će jednak korijenu dva - to jest, iracionalnom broju. Ovo također uključuje tačnu dužinu dijagonale ćelije u bilježnici (dužina dijagonale bilo kojeg savršenog kvadrata s cijelim stranicama).)
A u skupu realnih brojeva, sve udaljenosti na pravoj, u ravni ili u prostoru mogu se izraziti odgovarajućim realnim brojem.

cijeli brojevi - Ovo prirodni brojevi, kao i njihovi suprotni brojevi i nula.

Integers— proširenje skupa prirodnih brojeva N, koji se dobija dodavanjem N 0 i negativni brojevi poput − n. Skup cijelih brojeva označava Z.

Sum , razlika I rad od cijelih brojeva daju opet cijele brojeve, tj. cijeli brojevi čine prsten s obzirom na operacije sabiranja i množenja.

Cijeli brojevi na brojevnoj pravoj:

Koliko cijelih brojeva? Koliko cijelih brojeva? Ne postoji najveći i najmanji cijeli broj. Ova serija je beskonačna. Najveći i najmanji cijeli broj ne postoje.

Nazivaju se i prirodni brojevi pozitivno cijeli brojevi, tj. izraz "prirodni broj" i "pozitivan cijeli broj" su ista stvar.

Ni jedno ni drugo razlomci ili decimale nisu cijeli brojevi. Ali postoje razlomci s cijelim brojevima.

Primjeri cijelih brojeva: -8, 111, 0, 1285642, -20051 i tako dalje.

Govoreći jednostavnim jezikom, cijeli brojevi su (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - niz cijelih brojeva. To jest, oni čiji je razlomak (()) jednak nuli. Nemaju dionice.

Prirodni brojevi su pozitivni cijeli brojevi. cijeli brojevi, primjeri: (1,2,3,4...+ ∞).

Operacije nad cijelim brojevima.

1. Zbir cijelih brojeva.

Da biste dodali dva cijela broja sa istim predznacima, potrebno je sabrati moduli ove brojeve i stavite završni znak ispred iznosa.

primjer:

(+2) + (+5) = +7.

2. Oduzimanje cijelih brojeva.

Za dodavanje dva cijela broja sa različiti znakovi, potrebno je od modula broja koji je veći oduzeti modul broja koji je manji i prije odgovora staviti znak većeg broja po modulu.

primjer:

(-2) + (+5) = +3.

3. Množenje cijelih brojeva.

Da biste pomnožili dva cijela broja, morate pomnožiti module ovih brojeva i staviti znak plus (+) ispred proizvoda ako su originalni brojevi bili istog predznaka, i znak minus (-) ako su različiti.

primjer:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Kada se pomnoži više brojeva, predznak proizvoda će biti pozitivan ako je broj nepozitivnih faktora paran, a negativan ako je broj nepozitivnih faktora neparan.

primjer:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 nepozitivna faktora).

4. Dijeljenje cijelih brojeva.

Da biste podijelili cijele brojeve, morate podijeliti modul jednog sa modulom drugog i staviti znak “+” ispred rezultata ako su predznaci brojeva isti, i znak minus ako su različiti.

primjer:

(-12) : (+6) = -2.

Svojstva cijelih brojeva.

Z nije zatvoren pod dijeljenjem 2 cijela broja ( na primjer 1/2). Donja tabela prikazuje neka osnovna svojstva sabiranja i množenja za bilo koji cijeli broj a, b I c.

Nekretnina	dodatak	množenje
izolacija	a + b- cela	a × b- cela
asocijativnost	a + (b + c) = (a + b) + c	a × ( b × c) = (a × b) × c
komutativnost	a + b = b + a	a × b = b × a
postojanje neutralni element	a + 0 = a	a × 1 = a
postojanje suprotni element	a + (−a) = 0	a ≠ ± 1 ⇒ 1/a nije cijeli broj
distributivnost množenje relativno dodatak	a × ( b + c) = (a × b) + (a × c)

Iz tabele to možemo zaključiti Z je komutativni prsten sa jedinstvom pod sabiranjem i množenjem.

Standardna podjela ne postoji na skupu cijelih brojeva, ali postoji tzv podjela sa ostatkom: za sve cijele brojeve a I b, b≠0, postoji jedan skup cijelih brojeva q I r, sta a = bq + r I 0≤r<|b| , Gdje |b|— apsolutna vrijednost (modul) broja b. Evo a- djeljiv, b- razdjelnik, q- privatni, r- ostatak.