Niz brojeva je niz koji se razmatra zajedno sa drugim nizom (naziva se i niz parcijalnih suma). Slični koncepti se koriste u matematičkoj i kompleksnoj analizi.

Iznos numeričke serije može se lako izračunati u Excelu pomoću funkcije SERIES.SUM. Pogledajmo primjer kako to funkcionira datu funkciju, a zatim nacrtajte graf funkcije. Naučićemo kako da u praksi primenimo brojevne nizove prilikom izračunavanja rasta kapitala. Ali prvo, malo teorije.

Zbroj niza brojeva

Brojevne serije se mogu posmatrati kao sistem aproksimacija brojeva. Da bi se to označilo, koristi se formula:

Ovo pokazuje početni niz brojeva serije i pravilo zbrajanja:

• ∑ - matematički predznak zbira;
• a i - opšti argument;
• i - varijabla, pravilo za promjenu svakog sljedećeg argumenta;
• ∞ je znak beskonačnosti, "granica" do koje se vrši sumiranje.

Zapis znači: sumirano cijeli brojevi od 1 do plus beskonačno. Pošto je i = 1, izračunavanje sume počinje od jedan. Ako bi ovdje postojao još jedan broj (na primjer, 2, 3), onda bismo počeli sa zbrajanjem od njega (od 2, 3).

U skladu sa varijablom i, niz se može napisati prošireno:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (do "plus beskonačnost").

Definicija zbira niza brojeva data je kroz "djelimične sume". U matematici se označavaju sa Sn. Zapišimo našu numeričku seriju u obliku parcijalnih suma:

S 2 \u003d a 1 + a 2

S 3 \u003d a 1 + a 2 + a 3

S 4 \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Zbir niza brojeva je granica parcijalnih suma S n . Ako je granica konačna, govori se o "konvergentnom" nizu. Beskonačno - o "divergentnom".

Prvo pronađite zbir niza brojeva:

Sada napravimo tablicu vrijednosti članova serije u Excelu:

Opšti prvi argument je uzet iz formule: i=3.

Sve sljedeće i vrijednosti se nalaze po formuli: =B4+$B$1. Stavljamo kursor u donji desni kut ćelije B5 i množimo formulu.

Nađimo vrijednosti. Učinimo ćeliju C4 aktivnom i unijeti formulu: \u003d SUM (2 * B4 + 1). Kopirajte ćeliju C4 u navedeni raspon.

Vrijednost zbira argumenata dobiva se pomoću funkcije: =SUM(C4:C11). Kombinacija prečice ALT + "+" (plus na tastaturi).

SERIES.SUM funkcija u Excelu

Za pronalaženje sume niza brojeva u Excelu koristi se matematička funkcija SERIES.SUM. Program koristi sljedeću formulu:

Argumenti funkcije:

• x je vrijednost varijable;
• n je stepen za prvi argument;
• m je korak za koji se stepen povećava za svaki sljedeći član;
• a su koeficijenti na odgovarajućim potencijama x.

Važni uslovi za rad funkcije:

• svi argumenti su obavezni (odnosno, svi moraju biti popunjeni);
• svi argumenti su NUMERIČKE vrijednosti;
• vektor koeficijenata ima fiksnu dužinu (ograničenje na "beskonačnost" neće raditi);
• broj "koeficijenata" = broj argumenata.

Izračunavanje zbira niza u Excelu

Ista funkcija SERIES.SUM radi sa nizom potenciranja (jedna od varijanti funkcionalnog niza). Za razliku od brojeva, njihovi argumenti su funkcije.

Funkcionalne serije se često koriste u finansijskoj i ekonomskoj sferi. Može se reći da je to njihova primijenjena oblast.

Na primjer, stavite u banku određeni iznos novca (a) na određeni period (n). Imamo godišnju isplatu od x posto. Za izračunavanje akumuliranog iznosa na kraju prvog perioda koristi se sljedeća formula:

S 1 \u003d a (1 + x).

Na kraju drugog i narednih perioda, oblik izraza je sljedeći:

S 2 \u003d a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2 itd.

Da biste pronašli ukupan iznos:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + ... + a (1 + x) n

Djelomične sume u Excelu mogu se pronaći pomoću funkcije BS().

Početni parametri za zadatak obuke:

Koristeći standardnu ​​matematičku funkciju, nalazimo akumulirani iznos na kraju terminskog iznosa. Da biste to učinili, u ćeliji D2 koristite formulu: =B2*POWER(1+B3;4)

Sada ćemo u ćeliji D3 riješiti isti problem koristeći ugrađenu Excel funkciju: =BS(B3;B1;;-B2)

Rezultati su isti kakvi bi trebali biti.

Kako popuniti argumente BS() funkcije:

1. "Ponuda" - kamatna stopa pod kojim se vrši depozit. Pošto je format postotka postavljen u ćeliji B3, jednostavno smo naznačili vezu do ove ćelije u polju za argumente. Kada bi se naznačio broj, tada bi bio napisan njegov stoti dio (20/100).
2. "Nper" - broj perioda za otplatu kamata. U našem primjeru, 4 godine.
3. "Plt" - periodične uplate. U našem slučaju nisu. Stoga, polje za argument nije popunjeno.
4. "Ps" - "sadašnja vrijednost", iznos doprinosa. Pošto se na neko vrijeme rastajemo s ovim novcem, parametar označavamo znakom "-".

Dakle, BS funkcija nam je pomogla da pronađemo zbir funkcionalnog niza.

Excel ima i druge ugrađene funkcije za pronalaženje različitih parametara. Obično su to funkcije za rad sa investicionim projektima, vrijednosne papire i plaćanja amortizacije.

Iscrtavanje funkcija zbira niza brojeva

Napravimo graf funkcija koji odražava rast kapitala. Da bismo to uradili, moramo nacrtati funkciju koja je zbir konstruisanog niza. Kao primjer, uzmimo iste podatke o depozitu:

Prvi red prikazuje akumulirani iznos nakon jedne godine. U drugom - u dva. I tako dalje.

Napravimo još jednu kolonu u kojoj ćemo prikazati profit:

Kao što smo mislili - u traci formule.

Na osnovu dobijenih podataka konstruišemo graf funkcija.

Odaberimo 2 raspona: A5:A9 i C5:C9. Idite na karticu "Umetanje" - alat "Grafikoni". Odabir prvog grafikona:

Učinimo problem još "primijenjenim". U primjeru smo koristili složenu kamatu. Naplaćuju se na iznos obračunat u prethodnom periodu.

Uzmimo jednostavne kamate za poređenje. Jednostavna formula kamate u Excelu: =$B$2*(1+A6*B6)

Dodamo dobijene vrijednosti na grafikon "Rast kapitala".

Očigledno je kakve će zaključke donijeti investitor.

Matematička formula za parcijalni zbir funkcionalnog niza (sa jednostavnom kamatom): S n = a (1 + x * n), gdje je a početni iznos depozita, x kamata, n period.

Neka je zadan niz brojeva R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Izraz R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… se zove beskrajno blizu, ili jednostavno blizu, i brojevi R 1 , R 2 , R 3 ,… - članovi jednog broja. Istovremeno, oni znače da akumulacija sume niza počinje sa njegovim prvim članovima. Zove se zbir S n = delimična suma red: za n=1 - prvi delimični zbir, za n=2 - drugi delimični zbir, itd.

pozvao konvergentne serije, ako je redoslijed njegovog parcijalnog sume ima ograničenje, i divergentan- inače. Koncept sume niza može se proširiti i tada će neki divergentni nizovi imati i zbrojeve. Upravo produženo razumijevanje iznosi redće se koristiti u razvoju algoritama sa sledećom izjavom problema: akumulaciju sume treba vršiti sve dok sledeći član niza ne bude veći po apsolutnoj vrednosti od date vrednosti ε.

U opštem slučaju, svi ili deo članova niza mogu se dati izrazima u zavisnosti od broja članova niza i varijabli. Na primjer,

Tada se postavlja pitanje kako minimizirati količinu proračuna - izračunati vrijednost sljedećeg člana serije po opšta formula člana serije(u datom primjeru predstavljen je izrazom pod znakom sume), rekurzivnom formulom (njeno izvođenje je prikazano u nastavku) ili koristite rekurzivne formule samo za dijelove izraza člana serije (vidi dolje).

Izvođenje rekurzivne formule za izračunavanje člana niza

Neka je potrebno pronaći niz brojeva R 1 , R 2 , R 3 ,..., uzastopno ih računajući prema formulama

,
, …,

Da biste skratili proračune u ovom slučaju, zgodno je koristiti ponavljajuća formula vrsta
, omogućavajući izračunavanje vrijednosti R N za N>1, znajući vrijednost prethodnog člana serije R N-1 , gdje je
- izraz koji se može dobiti nakon pojednostavljenja odnosa izraza u formuli (3.1) za N prema izrazu za N-1:

Dakle, rekurzivna formula će poprimiti oblik
.

Poređenje opšte formule za član niza (3.1) i rekurzivne (3.2) pokazuje da rekurzivna formula u velikoj meri pojednostavljuje proračune. Primijenimo to za N=2, 3 i 4 znajući to
:

Metode za izračunavanje vrijednosti člana serije

Za izračunavanje vrijednosti člana serije, ovisno o njegovom tipu, može biti poželjno koristiti ili opću formulu člana serije, ili rekurzivnu formulu, ili mješoviti metod izračunavanja vrijednosti člana niza, kada se rekurentne formule koriste za jedan ili više dijelova člana serije, a zatim se njihove vrijednosti zamjenjuju u opću formulu člana serije. Na primjer, - za niz, lakše je izračunati vrijednost člana serije
prema svojoj opštoj formuli
(uporedi sa
- ponavljajuća formula); - za red
bolje je koristiti rekurzivnu formulu
; - za seriju treba primijeniti mješovitu metodu, računajući A N \u003d X 3N pomoću rekurzivne formule
, N=2, 3,… sa A 1 =1 i B N =N! - takođe po rekurzivnoj formuli
, N=2, 3,… na B 1 =1, a zatim - član serije
- prema opštoj formuli, koja će poprimiti oblik
.

Primjer 3.2.1 izvršavanje zadatka

Izračunajte sa tačnošću ε za 0 o  X  45 o

koristeći rekurzivnu formulu za izračunavanje člana niza:

,

tačnu vrijednost funkcije cos X,

apsolutne i relativne greške približne vrijednosti.

program Project1;

($APPTYPE KONZOLA)

K=Pi/180; //Faktor za pretvaranje iz stupnjeva u radijane

Eps: Prošireno=1E-8;

X: Prošireno=15;

R, S, Y, D: Prošireno;

($IFNDEF DBG) //Izjave se ne koriste za otklanjanje grešaka

Write("Unesite potrebnu preciznost: ");

Write("Unesite vrijednost ugla u stepenima: ");

D:=Sqr(K*X); // Pretvori X u radijane i kvadrat

//Postavi početne vrijednosti za varijable

//Petlja za izračunavanje članova niza i akumuliranje njihove sume.

//Izvrši dok je modul sljedećeg člana serije veći od Eps.

dok Abs(R)>Eps rade

ako je N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Izlaz rezultata proračuna:

WriteLn(N:14," = Broj dostignutih koraka",

"specificirana tačnost");

WriteLn(S:14:11," = Približna vrijednost funkcije");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Tačna vrijednost funkcije");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Apsolutna greška");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = relativna greška");

Problem sabiranja skupa pojmova riješen je u teoriji redova.

Gdje u 1, u 2, u 3 …., u n ... su članovi beskonačnog numeričkog niza, naziva se numeričke serije.

Brojevi u 1, u 2, u 3 …., u n ... se zovu članovi jednog broja, A u n je zajednički termin serije.

Zbir konačnog broja n prvih članova niza naziva se n-ti parcijalni zbir niza.

S n = u 1 + u 2 +… + u n

one. S 1 \u003d u 1; S2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Niz se naziva konvergentnim ako postoji konačan limit parcijalne sume S n for n, to je

Broj S naziva se zbir niza.

inače:

Tada se niz naziva divergentnim.

Referentne linije.

1. Geometrijske serije (geometrijska progresija)

Primjer.

2. Harmonični niz.

3. Generalizovani harmonijski niz.

Primjer.

.

Znaci konvergencije predznak pozitivnih nizova

Teorema 1. Neophodan kriterij za konvergenciju.

Pomoću ove funkcije možete postaviti divergenciju serije.

Primjer.

Dovoljni znakovi

Teorema 1. Znak poređenja serija.

Neka su date dvije pozitivne serije:

Štaviše, ako se niz (2) konvergira, onda i niz (1) konvergira.

Ako se serija (1) divergira, onda i serija (2) divergira.

Primjer. Ispitajte niz za konvergenciju:

Uporedite ovu seriju sa geometrijskom serijom:

Stoga, za poređenje, željeni niz konvergira.

Teorema 2. d'Alembertov test.

Primjer. Ispitajte niz za konvergenciju:

prema d'Alembertovom testu, niz konvergira.

Teorema 3. Cauchyjev radikalni test.

3) za , pitanje konvergencije ostaje otvoreno.

primjer: ispitati konvergenciju numeričkog niza:

Rješenje:

Dakle, niz konvergira u smislu Cauchyja.

Teorema 4. Cauchyjev integralni test.

Neka članovi serije

su pozitivne i ne rastu, odnosno vrijednosti su kontinuirane nerastuće funkcije f(x) at x= 1, 2, …, n.

Tada je za konvergenciju niza potrebno i dovoljno da nepravilan integral konvergira:

Primjer.

Rješenje:

Dakle, niz divergira jer se nepravilni integral divergira.

Varijabilni redovi. Koncept apsolutne i uslovne konvergencije naizmeničnog niza.

Red se zove naizmjenično, ako bilo koji od njegovih uvjeta može biti i pozitivan i negativan.

Razmotrite naizmjenične serije:

Teorema 1. Leibnizov test (dovoljan test).

Ako je naizmjenična serija

uslovi smanjenje apsolutne vrijednosti, tj.

tada red konvergira i njegov zbir ne prelazi prvi član, tj. S ≤ .

Primjer.

Rješenje:

Primenjujemo Leibnizov znak:

.

Dakle, niz konvergira u Lajbnicovom smislu.

Teorema 2. Dovoljan kriterij za konvergenciju naizmjeničnog niza.

Ako za naizmjenični niz konvergira niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova, tada se ovaj naizmjenični niz konvergira.

primjer: ispitati konvergenciju niza:

Rješenje:

iz apsolutnih vrijednosti članova originalnog niza konvergira kao generalizirani harmonijski niz na .

Stoga se originalni niz konvergira.

Ovaj znak je dovoljan, ali nije neophodan, odnosno postoje naizmjenični nizovi koji se konvergiraju, iako se nizovi sastavljeni od apsolutnih vrijednosti razilaze.

Definicija 1. apsolutno konvergentno, ako se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira.

Definicija 2. Naizmjenični niz se zove uslovno konvergentan, ako se sam niz konvergira, ali se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova razilazi.

Razlika između njih je u tome što se apsolutno konvergentni niz konvergira zbog činjenice da se njegovi članovi brzo smanjuju, a uvjetno konvergentni niz konvergira zbog činjenice da se pozitivni i negativni članovi međusobno poništavaju.

Primjer.

Rješenje:

Primenjujemo Leibnizov znak:

Dakle, niz konvergira u Lajbnicovom smislu. Ali niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova razilazi se kao harmoničan.

Dakle, originalni niz konvergira uslovno.

Zbroj reda

web stranica omogućava vam da pronađete zbroj serija online numerički niz. Pored pronalaženja zbira niza online numeričkih nizova, server je u onlineće nači djelomični zbir serije. Ovo je korisno za analitičke proračune kada zbroj serija online mora biti predstavljen i pronađen kao rješenje za granicu niza djelomične sume serije. U poređenju sa drugim sajtovima, web stranica ima neospornu prednost, jer vam omogućava da pronađete zbroj serija online ne samo brojčano već i funkcionalni raspon, što će nam omogućiti da odredimo područje konvergencije originala red koristeći najbolje poznate metode. Prema teoriji činovi, neophodan uslov za konvergenciju numeričkog niza je jednakost sa nulom granice zajedničkog člana numeričke serije jer varijabla teži beskonačnosti. Međutim, ovaj uslov nije dovoljan da odredi konvergenciju niza brojeva na mreži konvergencija serija online pronašao niz dovoljnih kriterijuma za konvergenciju ili divergenciju red. Najpoznatiji i najčešće korišteni od njih su znakovi D"Alemberta, Cauchyja, Raabea, poređenja numeričke serije, kao i integralni kriterijum konvergencije numeričke serije. Posebno mjesto među numeričke serije zauzimaju one u kojima se znakovi pojmova striktno izmjenjuju, a apsolutne vrijednosti numeričke serije monotono smanjiti. Ispada da za takve numeričke serije istovremeno je dovoljan neophodan kriterij za konvergenciju online serije, odnosno jednakost nule granice zajedničkog pojma numeričke serije jer varijabla teži beskonačnosti. Postoji mnogo različitih web stranica koje nude serveri izračunati sume serija online, kao i proširenja funkcija u red online u nekom trenutku iz domena ove funkcije. Ako proširimo funkciju na red online nije teško na ovim serverima, onda izračunajte funkcionalni zbir serija online, čiji je svaki član, za razliku od brojčanog red, nije broj, već funkcija, čini se praktično nemogućim zbog nedostatka potrebnih tehničkih resursa. Za www.site takav problem ne postoji.

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

Državna obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"MATI" - RUSKI DRŽAVNI TEHNOLOŠKI UNIVERZITET IM. K.E. TSIOLKOVSKY

Katedra za modeliranje sistema i informacione tehnologije

Brojne serije

Metodička uputstva za praktične vježbe

u disciplini "Viša matematika"

Kompajleri: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Kornienko L.I.

Moskva 2005. uvod

Metodičko uputstvo namenjeno je studentima dnevnog i večernjeg odseka fakulteta br. 14, specijalnosti 071000, 130200, 220200.

1. Osnovni pojmovi

Neka u 1 , u 2 , u 3 , …, u n, …  beskonačan numerički niz. Izraz
pozvao beskrajna brojevna linija, brojevi u 1 , u 2 , u 3 , …, u n- članovi serije;
naziva se zajedničkim pojmom serije. Serija se često piše u skraćenom (presavijenom) obliku:

Zbroj prvog nčlanovi niza brojeva su označeni sa i nazovi n -ti delimični zbir serije:

Red se zove konvergirajući ako n-ti delimični zbir uz neograničeno povećanje n teži krajnjoj granici, tj. Ako
Broj pozvao zbir serije.

Ako n-ti djelimični zbir serije u
ne teži konačnoj granici, tada se niz naziva divergentan.

Primjer 1 Nađi zbir niza
.

Rješenje. Imamo
. jer:

,

dakle,

Jer
, tada red konvergira i njegov zbir je jednak
.

2. Osnovne teoreme o brojevnim nizovima

Teorema 1. Ako se niz konvergira
tada se niz konvergira dobijeni iz date serije odbacivanjem prve
članovi (ovaj zadnji red se zove
-m ostatak originalnog reda). Obrnuto, od konvergencije
Ostatak niza implicira konvergenciju ovog niza.

Teorema 2. Ako se niz konvergira
a njegov zbir je broj , tada se niz konvergira
gdje je zbir posljednjeg reda jednak
.

Teorema 3. Ako se redovi konvergiraju

imajući sume S i Q, redom, tada red konvergira, a zbir posljednjeg niza jednak je
.

Teorema 4 (Neophodan kriterijum za konvergenciju niza). Ako je red
konvergira, onda
, tj. at
granica zajedničkog člana konvergentnog niza jednaka je nuli.

Posljedica 1. Ako
, tada se serija razilazi.

Posljedica 2. Ako
, tada je nemoguće odrediti konvergenciju ili divergenciju niza koristeći potreban kriterij za konvergenciju. Niz može biti konvergentan ili divergentan.

Primjer 2 Istražite konvergenciju niza:

Rješenje. Pronalaženje zajedničkog pojma serije
. jer:

one.
, tada red divergira (neophodan uslov konvergencije nije zadovoljen).

3. Kriterijumi za konvergenciju redova sa pozitivnim članovima

3.1. Znakovi poređenja

Kriterijumi poređenja zasnivaju se na poređenju konvergencije date serije sa nizom čija je konvergencija ili divergencija poznata. Za poređenje se koriste sljedeći redovi.

Red
sastavljena od članova bilo koje opadajuće geometrijske progresije, konvergentna je i ima zbir

Red
sastavljena od članova rastuće geometrijske progresije, je divergentna.

Red
je divergentan.

Red
se zove Dirichletov niz. Za >1, Dirichletov red konvergira, za <1- расходится.

Sa =1 red
naziva se harmoničnim. Harmonski niz se razilazi.

Teorema. Prvi znak poređenja. Neka su data dva niza sa pozitivnim članovima:

(2)

štaviše, svaki član serije (1) ne prelazi odgovarajući član serije (2), tj.
(n= 1, 2, 3, …). Tada ako se niz (2) konvergira, onda i niz (1) također konvergira; ako se serija (1) divergira, onda i serija (2) divergira.

Komentar. Ovaj kriterij ostaje važeći ako je nejednakost
se ne izvodi za sve , ali samo počevši od nekog broja n= N, tj. za sve n N.

Primjer 3 Istražite konvergenciju niza

Rješenje.Članovi date serije su manji od odgovarajućih članova serije
sastavljena od članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Pošto ovaj niz konvergira, konvergira i dati niz.

Teorema. Drugi znak poređenja (ograničavajući oblik znaka poređenja). Ako postoji konačna granica koja nije nula
, zatim oba reda I konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.

Primjer 4 Istražite konvergenciju niza

Rješenje. Uporedite seriju sa harmonijskom serijom
Pronađite granicu omjera uobičajenih članova niza:

Kako se harmonijski niz divergira, divergira se i dati niz.