Pronađimo kako se izračunavaju brzina i ubrzanje tačke ako je kretanje dato jednadžbama (3) ili (4). Pitanje određivanja putanje u ovom slučaju već je razmatrano u § 37.

Formule (8) i (10), koje određuju vrijednosti v i a, sadrže vremenske derivate vektora. U jednakostima koje sadrže izvode vektora, prijelaz na ovisnosti između projekcija vrši se pomoću sljedeće teoreme: projekcija derivacije vektora na osu fiksnu u datom referentnom sistemu jednaka je izvodu projekcije diferencijabilnog vektora na istu osu, tj.

1. Određivanje brzine tačke. Vektor brzine tačke Odavde, na osnovu formule (I), uzimajući u obzir da nalazimo:

gdje je tačka iznad slova simbol za razlikovanje u odnosu na vrijeme. Dakle, projekcije brzine tačke na koordinatne ose jednake su prvim derivacijama odgovarajućih koordinata tačke u odnosu na vreme.

Poznavajući projekcije brzine, pronaći ćemo njenu veličinu i smjer (tj. uglove koje vektor v formira sa koordinatnim osa) koristeći formule

2. Određivanje ubrzanja tačke. Vektor ubrzanja tačke Odavde, na osnovu formula (11), dobijamo:

tj. projekcije ubrzanja tačke na koordinatne ose jednake su prvim derivacijama projekcija brzine ili drugim derivacijama odgovarajućih koordinata tačke u odnosu na vreme. Veličina i smjer ubrzanja mogu se naći iz formula

gdje su uglovi formirani vektorom ubrzanja sa koordinatnim osa.

Dakle, ako je kretanje tačke dato u kartezijanskom pravougaone koordinate jednadžbi (3) ili (4), tada je brzina tačke određena formulama (12) i (13), a ubrzanje formulama (14) i (15). Štaviše, u slučaju kretanja u jednoj ravni, projekciju na osu treba odbaciti u svim formulama

Neka funkcija sada bude poznata. Na sl. 5.10
I
 vektori brzine pokretne tačke u momentima t i  t. Da biste dobili prirast vektora brzine
pomeriti vektor paralelno
do tačke M:

Prosečno ubrzanje tačke tokom vremenskog perioda  t naziva se omjer prirasta vektora brzine
na određeni vremenski period t:

dakle, ubrzanje tačke u trenutno vrijeme je jednako prvom izvodu s obzirom na vrijeme vektora brzine tačke ili drugom izvodu vektora radijusa s obzirom na vrijeme

. (5.11)

Ubrzanje tačke ovo je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine tokom vremena.

Napravimo hodograf brzine (slika 5.11). Po definiciji, hodograf brzine je kriva koja se crta na kraju vektora brzine kada se tačka kreće, ako je vektor brzine nacrtan iz iste tačke.

Određivanje brzine tačke pomoću koordinatnog metoda za određivanje njenog kretanja

Neka kretanje tačke bude specificirano metodom koordinata u Kartezijanski sistem koordinate

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radijus vektor tačke je jednak

.

Budući da su jedinični vektori
su konstantne, onda po definiciji

. (5.12)

Označimo projekcije vektora brzine na osu Oh, Oh I Oz kroz V x , V y , V z

(5.13)

Upoređujući jednakosti (5.12) i (5.13) dobijamo

(5.14)

U nastavku će se derivacija u odnosu na vrijeme označavati tačkom iznad, tj.

.

Modul brzine tačke određuje se formulom

. (5.15)

Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjera:

Određivanje ubrzanja tačke pomoću koordinatnog metoda za određivanje njenog kretanja

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je jednak

.

Po definiciji

Označimo projekcije vektora ubrzanja na osu Oh, Oh I Oz kroz A x , A y , A z U skladu s tim, širimo vektor brzine duž osi:

. (5.17)

Upoređujući jednakosti (5.16) i (5.17) dobijamo

Modul vektora tačke ubrzanja izračunava se slično kao i modul vektora brzine tačke:

, (5.19)

a smjer vektora ubrzanja je kosinus smjera:

Određivanje brzine i ubrzanja tačke koristeći prirodnu metodu određivanja njenog kretanja

Orty I lezi u oskulirajuća ravan, jedinični vektori I V normalan avion, jedinični vektori I - u ravnina za ispravljanje.

Dobijeni triedar se naziva prirodnim.

Neka je zadan zakon kretanja tačke s = s(t).

Radijus vektor bodova M u odnosu na bilo koju fiksnu tačku biće složena funkcija vremena
.

Iz diferencijalne geometrije poznate su formule Serre-Frenet, koje uspostavljaju veze između jediničnih vektora prirodnih osa i vektorske funkcije krive

gdje je  polumjer zakrivljenosti putanje.

Koristeći definiciju brzine i Serre-Frenet formulu, dobijamo:

. (5.20)

Označavanje projekcije brzine na tangentu a uzimajući u obzir da je vektor brzine usmjeren tangencijalno, imamo

. (5.21)

Upoređujući jednakosti (5.20) i (5.21), dobijamo formule za određivanje vektora brzine po veličini i pravcu

Magnituda pozitivna ako poenta M kreće se u pozitivnom smjeru referentnog luka s a negativan u suprotnom slučaju.

Koristeći definiciju ubrzanja i Serre-Frenet formulu, dobijamo:

Označimo projekciju ubrzanja tačke na tangenti , glavna normalna i binormalna
respektivno.

Tada je ubrzanje

Iz formula (5.23) i (5.24) slijedi da vektor ubrzanja uvijek leži u dodirnoj ravni i da se širi u smjerovima I :

(5.25)

Projekcija ubrzanja na tangentu
pozvao tangenta ili tangencijalno ubrzanje. Karakterizira promjenu brzine.

Projekcija ubrzanja na glavnu normalu
pozvao normalno ubrzanje.

Karakterizira promjenu vektora brzine u smjeru.
.

Veličina vektora ubrzanja je jednaka I Ako

Veličina vektora ubrzanja je jednaka I istog predznaka, tada će se kretanje tačke ubrzati.

različitih znakova, tada će kretanje tačke biti sporo. Date su osnovne formule kinematike materijalna tačka

Sadržaj Vidi također:

Primjer rješavanja problema (koordinatna metoda određivanja kretanja tačke)

Osnovne formule za kinematiku materijalne tačke

Predstavimo osnovne formule kinematike materijalne tačke. Nakon čega ćemo dati njihov zaključak i prikaz teorije.
,
Radijus vektor materijalne tačke M u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz:

gdje su jedinični vektori (orti) u smjeru osa x, y, z.
;
.
.
Brzina tačke:
.

Jedinični vektor u smjeru tangente na putanju točke:
;
;
;
; ;

tačka ubrzanja:
;
;
.

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje:
;
;
.

Normalno ubrzanje:
.

Jedinični vektor usmjeren na centar zakrivljenosti putanje točke (duž glavne normale):

Radijus vektor i putanja tačke Razmotrimo kretanje materijalne tačke M. Odaberimo fiksni pravougaoni koordinatni sistem Oxyz sa centrom u nekoj fiksnoj tački O.

Tada je pozicija tačke M jednoznačno određena njenim koordinatama
,
(x, y, z)

.
(1)
Ove koordinate su komponente radijus vektora materijalne tačke.

Radijus vektor tačke M je vektor povučen iz početka fiksnog koordinatnog sistema O do tačke M.

Ako se tačka kreće u ravni, tada se ose i koordinatni sistemi mogu odabrati tako da leže u ovoj ravni. Tada je putanja određena s dvije jednačine

U nekim slučajevima, vrijeme se može eliminirati iz ovih jednačina. Tada će jednačina putanje imati:
,
zavisnost forme

gdje je neka funkcija. Ova zavisnost sadrži samo varijable i . Ne sadrži parametar.

Brzina materijalne tačke je derivacija njenog vektora radijusa u odnosu na vreme.

Prema definiciji brzine i definiciji derivacije:
,
U mehanici se derivacije u odnosu na vrijeme označavaju tačkom iznad simbola. Zamijenimo ovdje izraz za vektor radijusa:

,
gdje smo jasno naznačili zavisnost koordinata od vremena. dobijamo:
,
,

Gdje
.

- projekcije brzine na koordinatne ose. Dobivaju se diferenciranjem komponenti radijus vektora s obzirom na vrijeme
.
Dakle
.

Modul brzine:

Tangenta na stazu Sa matematičke tačke gledišta, sistem jednačina (1) se može posmatrati kao jednačina linije (krive) definisane parametarskim jednačinama. Vrijeme, u ovom razmatranju, igra ulogu parametra. Sa kursa matematička analiza
.
poznato je da vektor smjera za tangentu na ovu krivu ima sljedeće komponente: Ali ovo su komponente vektora brzine tačke. To je.

brzina materijalne tačke je usmerena tangencijalno na putanju
Sve ovo se može direktno demonstrirati. Neka u trenutku vremena tačka bude u poziciji sa radijus vektorom (vidi sliku). I u trenutku vremena - u poziciji sa radijus vektorom.
;
;
.
Nacrtajmo pravu liniju kroz tačke.

Po definiciji, tangenta je prava linija kojoj prava linija teži kao .
.
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:
Tada se vektor usmjerava duž prave linije.

Kada se teži, prava linija teži tangenti, a vektor teži brzini tačke u trenutku: Budući da je vektor usmjeren duž prave linije, a prava linija na , vektor brzine je usmjeren duž tangente.:
.
To jest, vektor brzine materijalne tačke je usmjeren duž tangente na putanju.
Hajde da se predstavimo
.

vektor smjera tangente jedinične dužine
.

Pokažimo da je dužina ovog vektora jednaka jedan. Zaista, pošto

Tada se vektor brzine tačke može predstaviti kao:
;
;
;
.
Ubrzanje materijalne tačke
.

Ubrzanje materijalne tačke je derivacija njene brzine u odnosu na vrijeme.

Sada razmotrite pitanje smjera vektora ubrzanja u odnosu na putanju. Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu:
.
Razlikujemo ga s obzirom na vrijeme koristeći pravilo diferencijacije proizvoda:
.

Vektor je usmjeren tangencijalno na putanju. U kom smjeru je usmjerena njegova vremenska derivacija?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, koristimo činjenicu da je dužina vektora konstantna i jednaka jedinici. Tada je kvadrat njegove dužine također jednak jedan:
.
Ovdje i ispod, dva vektora u zagradama označavaju skalarni proizvod vektora. Razlikujemo posljednju jednačinu s obzirom na vrijeme:
;
;
.
Pošto je skalarni proizvod vektora i jednak nuli, ovi vektori su okomiti jedan na drugi. Pošto je vektor usmjeren tangentno na putanju, vektor je okomit na tangentu.

Prva komponenta naziva se tangencijalno ili tangencijalno ubrzanje:
.
Druga komponenta se zove normalno ubrzanje:
.
Tada je ukupno ubrzanje:
(2) .
Ova formula predstavlja dekompoziciju ubrzanja na dvije međusobno okomite komponente - tangentu na putanju i okomitu na tangentu.

Od tada
(3) .

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje

Pomnožimo obje strane jednačine (2) skalarno na:
.
Jer onda .
;
.
Onda
.
Ovdje stavljamo:

Iz ovoga možemo vidjeti da je tangencijalno ubrzanje jednako projekciji ukupnog ubrzanja na smjer tangente na putanju ili, što je isto, na smjer brzine tačke.

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje materijalne tačke je projekcija njenog ukupnog ubrzanja na smjer tangente na putanju (ili na smjer brzine).

Koristimo simbol da označimo tangencijalni vektor ubrzanja usmjeren duž tangente na putanju. Tada je skalarna veličina jednaka projekciji ukupnog ubrzanja na smjer tangente. Može biti i pozitivno i negativno.
.

Zamjenom imamo:
.
Stavimo to u formulu:
.
onda: To jest, tangencijalno ubrzanje je jednako vremenskom izvodu apsolutne brzine tačke. dakle, tangencijalno ubrzanje dovodi do promjene apsolutne vrijednosti brzine tačke

. Kako se brzina povećava, tangencijalno ubrzanje je pozitivno (ili usmjereno duž brzine). Kako se brzina smanjuje, tangencijalno ubrzanje je negativno (ili u suprotnom smjeru od brzine).

Razmotrimo jedinični vektor tangentu na putanju.
.

Postavimo njegovo porijeklo na početak koordinatnog sistema. Tada će kraj vektora biti na sferi jediničnog polumjera. Kada se materijalna tačka pomera, kraj vektora će se kretati duž ove sfere. To jest, rotirati će se oko svog početka. Neka je trenutna ugaona brzina rotacije vektora u trenutku vremena. Tada je njegova derivacija brzina kretanja kraja vektora. Usmjeren je okomito na vektor. Primijenimo formulu za rotaciono kretanje. Vektorski modul:
.
Sada razmotrite poziciju tačke za dva bliska momenta u vremenu. Neka je tačka na poziciji u trenutku vremena i na poziciji u trenutku vremena.

Neka su i jedinični vektori usmjereni tangencijalno na putanju u ovim tačkama. Kroz točke i crtamo ravnine okomite na vektore i .
.
Neka biti prava linija formirana presjekom ovih ravnina. Iz tačke spuštamo okomicu na pravu liniju.

Ako su pozicije tačaka dovoljno bliske, onda se kretanje tačke može smatrati rotacijom duž kružnice poluprečnika oko ose, koja će biti trenutna os rotacije materijalne tačke. Budući da su vektori i okomiti na ravnine i , Tada je kut između ovih ravnina

Ako su pozicije tačaka dovoljno bliske, onda se kretanje tačke može smatrati rotacijom duž kružnice poluprečnika oko ose, koja će biti trenutna os rotacije materijalne tačke. Budući da su vektori i okomiti na ravnine i , Tada je kut između ovih ravnina

jednaka uglu
između vektora i .
;
.
Tada je trenutna brzina rotacije tačke oko ose jednaka trenutnoj brzini rotacije vektora:
.

Ovdje je udaljenost između točaka i . (2) Tako smo pronašli modul vremenske derivacije vektora:
(4) .
Kao što smo ranije naveli, vektor je okomit na vektor. (3) Iz gornjeg obrazloženja jasno je da je usmjeren prema trenutnom centru zakrivljenosti putanje. Ovaj pravac se naziva glavna normala.
.

Pomnožimo obje strane jednačine (2) skalarno na:
(2) .
.
Jer onda .
;
.
Normalno ubrzanje

usmjerena duž vektora.

Kako smo saznali, ovaj vektor je usmjeren okomito na tangentu, prema trenutnom centru zakrivljenosti putanje.
.
Odnosno, normalno ubrzanje uzrokuje promjenu smjera brzine točke, a povezano je s radijusom zakrivljenosti putanje.

Odavde možete pronaći radijus zakrivljenosti putanje:
.

I u zaključku, napominjemo da je formula (4) može se prepisati na sljedeći način:
.
Ovdje smo primijenili formulu za unakrsni proizvod tri vektora:
,
koje su uokvirili
.

pa smo dobili:
;
.
Izjednačimo module lijevog i desnog dijela:
.
Ali vektori su također međusobno okomiti. Zato
.
Onda
.
Ovo je dobro poznata formula iz diferencijalne geometrije za zakrivljenost krive.

Uvedimo jedinični vektor τ povezan s pokretnom tačkom A i usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru povećanja koordinata luka (slika 1.6). Očigledno je da je τ varijabilni vektor: zavisi od l. Vektor brzine v tačke A usmjeren je tangencijalno na putanju, pa se može predstaviti na sljedeći način

gdje je v τ =dl/dt projekcija vektora v na smjer vektora τ, a v τ je algebarska veličina. Pored toga, |v τ |=|v|=v.

Ubrzanje tačke

Razlikujemo (1.22) s obzirom na vrijeme

(1.23)

Hajde da transformišemo poslednji član ovog izraza

(1.24)

Odredimo inkrement vektora τ za dl (slika 1.7).

Kao što se može videti sa sl. 1,7, ugao , odakle , i na .

Uvođenjem jediničnog vektora n normale na putanju u tački 1, usmjerenog prema centru zakrivljenosti, zapisujemo posljednju jednakost u vektorskom obliku

Zamijenimo (1.23) u (1.24), a rezultirajući izraz u (1.22). Kao rezultat ćemo pronaći

(1.26)

Ovdje se zove prvi pojam tangencijalni a τ , drugi - normalno a n.

Dakle, ukupno ubrzanje a tačke može se predstaviti kao geometrijski zbir tangencijalnog i normalnog ubrzanja.

Modul ubrzanja pune tačke

(1.27)

Usmjeren je prema konkavnosti putanje pod kutom α prema vektoru brzine, i .

Ako je ugao α oštar, onda je tanα>0, dakle, dv/dt>0, pošto je v 2 /R>0 uvijek.

IN u ovom slučaju veličina brzine raste tokom vremena - kretanje se naziva ubrzano(Sl. 1.8).

U slučaju kada se brzina vremenom smanji po veličini, kretanje se naziva sporo(Sl. 1.9).

Ako je ugao α=90°, tanα=∞, odnosno dv/dt=0. U ovom slučaju, brzina se ne mijenja po veličini tijekom vremena, a ukupno ubrzanje će biti jednako centripetalnom

(1.28)

Konkretno, ukupno ubrzanje ravnomjernog rotacionog kretanja (R=const, v=const) je centripetalno ubrzanje, jednako vrijednosti a n =v 2 /R i usmjereno cijelo vrijeme prema centru.

U linearnom kretanju, naprotiv, ukupno ubrzanje tijela jednako je tangencijalnom. U ovom slučaju, a n =0, pošto se pravolinijska putanja može smatrati krugom beskonačno velikog radijusa, i sa R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .

Trajektorija kretanja materijalne tačke kroz radijus vektor

Pošto sam pomalo zaboravio ovaj dio matematike, u mom sjećanju, jednačine kretanja materijalne tačke su uvijek bile predstavljene korištenjem zavisnosti koja nam je svima poznata y(x), i gledajući tekst problema, bio sam malo zatečen kada sam vidio vektore. Pokazalo se da postoji prikaz putanje materijalne tačke pomoću radijus vektor— vektor koji specificira položaj tačke u prostoru u odnosu na neku unapred fiksiranu tačku, koja se naziva ishodište.

Formula za putanju materijalne tačke, pored radijus vektora, opisana je na isti način orts— jedinični vektori i, j, k u našem slučaju, poklapa se sa osama koordinatnog sistema. I na kraju, razmotrimo primjer jednadžbe za putanju materijalne točke (u dvodimenzionalnom prostoru):

Šta je zanimljivo u ovom primjeru? Putanja kretanja tačke data je sinusima i kosinusima, kako mislite da će graf izgledati u poznatom prikazu y(x)? “Vjerovatno nešto jezivo”, pomislili ste, ali nije sve tako komplikovano kako se čini! Pokušajmo konstruirati putanju materijalne točke y(x), ako se kreće prema gore predstavljenom zakonu:

Ovdje sam primijetio kvadrat kosinusa, ako u bilo kojem primjeru vidite kvadrat sinusa ili kosinusa, to znači da trebate primijeniti osnovni trigonometrijski identitet, što sam i uradio (druga formula) i transformirao koordinatnu formulu y, tako da umjesto sinusa u njega ubacite formulu promjene x:

Kao rezultat toga, strašni zakon kretanja tačke pokazao se običnim parabola, čije su grane usmjerene prema dolje. Nadam se da razumete približni algoritam za konstruisanje zavisnosti y(x) iz reprezentacije kretanja kroz vektor radijusa. Sada pređimo na naše glavno pitanje: kako pronaći vektor brzine i ubrzanja materijalne tačke, kao i njihove module.

Vektor brzine materijalne tačke

Svima je poznato da je brzina materijalne tačke količina puta koju tačka prijeđe u jedinici vremena, odnosno izvod formule za zakon kretanja. Da biste pronašli vektor brzine, morate uzeti derivaciju u odnosu na vrijeme. Hajde da pogledamo konkretan primjer pronalaženje vektora brzine.

Primjer pronalaženja vektora brzine

Imamo zakon kretanja materijalne tačke:

Sada morate uzeti izvod ovog polinoma, ako ste zaboravili kako se to radi, evo ga. Kao rezultat, vektor brzine će imati sljedeći oblik:

Ispostavilo se da je sve jednostavnije nego što ste mislili, sada pronađite vektor ubrzanja materijalne tačke koristeći isti zakon koji je gore prikazan.

Kako pronaći vektor ubrzanja materijalne tačke

Vektor ubrzanja tačke ovo je vektorska veličina koja karakteriše promenu tokom vremena u veličini i smeru brzine tačke. Da biste pronašli vektor ubrzanja materijalne tačke u našem primjeru, morate uzeti derivaciju, ali iz formule vektora brzine predstavljene malo iznad:

Modul vektora brzine tačke

Sada pronađimo veličinu vektora brzine materijalne tačke. Kao što znate iz 9. razreda, modul vektora je njegova dužina, u pravokutnim dekartovskim koordinatama jednaka kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata. A gdje možemo dobiti njegove koordinate iz vektora brzine koji smo dobili gore, pitate se? Vrlo je jednostavno:

Sada samo trebate zamijeniti vrijeme navedeno u problemu i dobiti određenu numeričku vrijednost.

Modul vektora ubrzanja

Kao što ste shvatili iz gore napisanog (i od 9. razreda), pronalaženje modula vektora ubrzanja odvija se na isti način kao i modula vektora brzine: uzimamo kvadratni korijen zbira kvadrata vektorskih koordinata , jednostavno je! Pa evo primjera za vas, naravno:

Kao što vidite, ubrzanje materijalne tačke prema gore datom zakonu ne zavisi od vremena i ima konstantnu veličinu i pravac.

Više primjera rješenja za problem nalaženja vektora brzine i ubrzanja

I ovdje možete pronaći primjere rješenja drugih problema iz fizike. A za one koji baš i ne razumiju kako pronaći vektor brzine i ubrzanja, evo još par primjera iz mreže bez ikakvih suvišnih objašnjenja, nadam se da će vam pomoći.

Ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u komentarima.