Koncept vektorskog prostora svojstava. Linearni vektorski prostor: definicija, svojstva. Vektorski linearni prostor

Neka je P polje. Elementi a, b, ... O R zvaćemo skalarima.

Definicija 1. Klasa V nazivaju se objekti (elementi) , , , ... proizvoljne prirode vektorski prostor iznad polja P, a elementi klase V se nazivaju vektori, ako je V zatvoren pod operacijom “+” i operacijom množenja skalarima iz P (tj. za bilo koji , OV +O V;"aO R aOV), a ispunjeni su sljedeći uslovi:

A 1: algebra - Abelova grupa;

A 2: za bilo koji a, bOR, za bilo koji OV, a(b)=(ab) je generalizovani asocijativni zakon;

A 3: za bilo koje a, bOR, za bilo koje OV, (a+b)= a+ b;

A 4: za bilo koje a iz P, za bilo koje , iz V, a(+) = a+a (generalizovani distributivni zakoni);

A 5: za bilo koji od V, 1 = je zadovoljeno, gdje je 1 jedinica polja P - svojstvo unitarnosti.

Elemente polja P nazvaćemo skalarima, a elemente skupa V vektorima.

Komentar. Množenje vektora skalarom nije binarna operacija na skupu V, jer je to preslikavanje P´V®V.

Pogledajmo primjere vektorskih prostora.

Primjer 1. Nulti (nul-dimenzionalni) vektorski prostor - prostor V 0 =() - koji se sastoji od jednog nultog vektora.

I za bilo koji aOR a=. Provjerimo zadovoljivost aksioma vektorskog prostora.

Imajte na umu da nulti vektorski prostor u suštini zavisi od polja P. Dakle, nul-dimenzionalni prostori iznad polja racionalni brojevi i preko polja realnih brojeva smatraju se različitim, iako se sastoje od jednog nul-vektora.

Primjer 2. Polje P je samo vektorski prostor nad poljem P. Neka je V=P. Provjerimo zadovoljivost aksioma vektorskog prostora. Kako je P polje, onda je P aditivna Abelova grupa i vrijedi A 1. Zbog zadovoljivosti množenja u P, A2 je zadovoljeno. Aksiomi A 3 i A 4 su zadovoljeni zbog izvodljivosti u P distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje. Pošto u polju P postoji jedinični element 1, svojstvo unitarnosti A 5 je zadovoljeno. Dakle, polje P je vektorski prostor iznad polja P.

Primjer 3. Aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.

Neka je P polje. Razmotrimo skup V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i O P, i=1,…, n). Uvedemo na skupu V operacije sabiranja vektora i množenja vektora skalarom prema sljedećim pravilima:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) O V, "aO P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elementi skupa V će biti pozvani n-dimenzionalni vektori. Za dva n-dimenzionalna vektora se kaže da su jednaka ako su im odgovarajuće komponente (koordinate) jednake. Pokažimo da je V vektorski prostor nad poljem P. Iz definicije operacija sabiranja vektora i množenja vektora skalarom slijedi da je V zatvoren prema ovim operacijama. Pošto se dodavanje elemenata iz V svodi na sabiranje elemenata polja P, a P je aditivna Abelova grupa, onda je V aditivna Abelova grupa. Štaviše, =, gde je 0 nula polja P, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Dakle, A 1 je zadovoljan. Pošto se množenje elementa iz V elementom iz P svodi na množenje elemenata polja P, onda:

A 2 je zadovoljeno zbog asocijativnosti množenja sa P;

A 3 i A 4 su zadovoljeni zbog distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje sa P;

A 5 je zadovoljeno, jer je 1 Î P neutralan element u odnosu na množenje sa P.

Definicija 2. Skup V= P n sa operacijama definisanim formulama (1) i (2) naziva se aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem P.

U članku o n-dimenzionalnim vektorima došli smo do koncepta linearnog prostora generiranog skupom n-dimenzionalnih vektora. Sada moramo razmotriti jednako važne koncepte, kao što su dimenzija i osnova vektorskog prostora. Oni su direktno povezani sa konceptom linearno nezavisnog sistema vektora, pa se dodatno preporučuje da se podsetite na osnove ove teme.

Hajde da uvedemo neke definicije.

Definicija 1

Dimenzija vektorskog prostora– broj koji odgovara maksimalnom broju linearno ne zavisni vektori u ovom prostoru.

Definicija 2

Vektorska prostorna osnova– skup linearno nezavisnih vektora, uređenih i jednakih po broju dimenziji prostora.

Razmotrimo određeni prostor od n -vektora. Njegova dimenzija je shodno tome jednaka n. Uzmimo sistem n-jediničnih vektora:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Koristimo ove vektore kao komponente matrice A: ona će biti jedinica dimenzija n sa n. Rang ove matrice je n. Dakle, vektorski sistem e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno nezavisna. U ovom slučaju, nemoguće je dodati jedan vektor sistemu a da se ne naruši njegova linearna nezavisnost.

Pošto je broj vektora u sistemu n, onda je dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora n, a jedinični vektori su e (1), e (2), . . . , e (n) su osnova specificiranog prostora.

Iz rezultirajuće definicije možemo zaključiti: bilo koji sistem n-dimenzionalnih vektora u kojem je broj vektora manji od n nije baza prostora.

Ako zamijenimo prvi i drugi vektor, dobićemo sistem vektora e (2) , e (1) , . . . , e (n) . To će također biti osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Kreirajmo matricu uzimajući vektore rezultirajućeg sistema kao njegove redove. Matrica se može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prva dva reda, njen rang će biti n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) je linearno nezavisna i osnova je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Preuređivanjem drugih vektora u originalnom sistemu dobijamo drugu osnovu.

Možemo uzeti linearno nezavisan sistem vektora koji nisu jedinični, a on će takođe predstavljati osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Definicija 3

Vektorski prostor sa dimenzijom n ima onoliko baza koliko ima linearno nezavisnih sistema n-dimenzionalnih vektora broja n.

Ravan je dvodimenzionalni prostor - njena osnova će biti bilo koja dva nekolinearna vektora. Osnova trodimenzionalnog prostora će biti bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Razmotrimo primjenu ove teorije na konkretnim primjerima.

Primjer 1

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Potrebno je utvrditi da li su navedeni vektori osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora.

Rješenje

Da bismo riješili problem, proučavamo dati sistem vektora za linearnu zavisnost. Kreirajmo matricu u kojoj su redovi koordinate vektora. Odredimo rang matrice.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Prema tome, vektori specificirani uslovom problema su linearno nezavisni, a njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova vektorskog prostora.

odgovor: naznačeni vektori su osnova vektorskog prostora.

Primjer 2

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Potrebno je utvrditi da li navedeni sistem vektora može biti osnova trodimenzionalnog prostora.

Rješenje

Sistem vektora specificiran u iskazu problema je linearno zavisan, jer maksimalni broj linearno nezavisnih vektora je 3. Dakle, navedeni sistem vektora ne može poslužiti kao osnova za trodimenzionalni vektorski prostor. Ali vrijedi napomenuti da je podsistem originalnog sistema a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) osnova.

odgovor: naznačeni sistem vektora nije osnova.

Primjer 3

Početni podaci: vektori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Mogu li oni biti osnova četverodimenzionalnog prostora?

Rješenje

Kreirajmo matricu koristeći koordinate datih vektora kao redove

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Koristeći Gaussovu metodu, određujemo rang matrice:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Shodno tome, sistem datih vektora je linearno nezavisan i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova četvorodimenzionalnog vektorskog prostora.

odgovor: dati vektori su osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer 4

Početni podaci: vektori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Da li oni čine osnovu prostora dimenzije 4?

Rješenje

Originalni sistem vektora je linearno nezavisan, ali broj vektora u njemu nije dovoljan da postane osnova četvorodimenzionalnog prostora.

odgovor: ne, nemaju.

Dekompozicija vektora u bazu

Pretpostavimo da su proizvoljni vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Dodajmo im određeni n-dimenzionalni vektor x →: rezultujući sistem vektora će postati linearno zavisan. Svojstva linearne zavisnosti govore da se barem jedan od vektora takvog sistema može linearno izraziti kroz ostale. Reformulišući ovu tvrdnju, možemo reći da se barem jedan od vektora linearno zavisnog sistema može proširiti na preostale vektore.

Tako smo došli do formulacije najvažnije teoreme:

Definicija 4

Svaki vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora može se jedinstveno razložiti u bazu.

Dokazi 1

Dokažimo ovu teoremu:

postavimo osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Učinimo sistem linearno zavisnim dodavanjem n-dimenzionalnog vektora x → na njega. Ovaj vektor se može linearno izraziti u terminima originalnih vektora e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , gdje je x 1 , x 2 , . . . , x n - neki brojevi.

Sada dokazujemo da je takva dekompozicija jedinstvena. Pretpostavimo da to nije slučaj i postoji još jedna slična dekompozicija:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , gdje je x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - neki brojevi.

Oduzmimo od lijeve i desne strane ove jednakosti, redom, lijevu i desnu stranu jednakosti x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . dobijamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem baznih vektora e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno nezavisna; po definiciji linearne nezavisnosti sistema vektora, gornja jednakost je moguća samo kada su svi koeficijenti (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) će biti jednako nuli. Od čega će biti pravedno: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . I ovo dokazuje jedinu opciju za dekomponovanje vektora u bazu.

U ovom slučaju, koeficijenti x 1, x 2, . . . , x n nazivaju se koordinate vektora x → u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Provjerena teorija razjašnjava izraz „dat je n-dimenzionalni vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: razmatra se vektorski x → n-dimenzionalni vektorski prostor, a njegove koordinate su specificirane u određenu osnovu. Također je jasno da će isti vektor u drugoj bazi n-dimenzionalnog prostora imati različite koordinate.

Razmotrimo sljedeći primjer: pretpostavimo da je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora dan sistem od n linearno nezavisnih vektora

a takođe je dat vektor x = (x 1 , x 2 , . . , x n).

Vektori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) u ovom slučaju su također osnova ovog vektorskog prostora.

Pretpostavimo da je potrebno odrediti koordinate vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , označeno kao x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → će biti predstavljen na sljedeći način:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Zapišimo ovaj izraz u koordinatnom obliku:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , e n (1) + .

Rezultirajuća jednakost je ekvivalentna sistemu od n linearnih algebarski izrazi sa n nepoznatih linearnih varijabli x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrica ovog sistema će imati sledeći oblik:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Neka je ovo matrica A, a njeni stupci su vektori linearno nezavisnog sistema vektora e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rang matrice je n, a njena determinanta je različita od nule. To ukazuje da sistem jednačina ima jedinstveno rješenje, određeno bilo kojom prikladnom metodom: na primjer, Cramerovom metodom ili matričnom metodom. Na ovaj način možemo odrediti koordinate x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Primijenimo razmatranu teoriju na konkretan primjer.

Primjer 6

Početni podaci: vektori su specificirani u bazi trodimenzionalnog prostora

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Neophodno je potvrditi činjenicu da sistem vektora e (1), e (2), e (3) takođe služi kao osnova datog prostora, kao i odrediti koordinate vektora x u datoj bazi.

Rješenje

Sistem vektora e (1), e (2), e (3) biće osnova trodimenzionalnog prostora ako je linearno nezavisan. Otkrijmo ovu mogućnost određivanjem ranga matrice A čiji su redovi dati vektori e (1), e (2), e (3).

Koristimo Gaussovu metodu:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Dakle, sistem vektora e (1), e (2), e (3) je linearno nezavisan i baza je.

Neka vektor x → ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 u bazi. Odnos između ovih koordinata određen je jednadžbom:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Primijenimo vrijednosti prema uslovima problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rešimo sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Dakle, vektor x → u bazi e (1), e (2), e (3) ima koordinate x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

odgovor: x = (1, 1, 1)

Odnos između baza

Pretpostavimo da su u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora data dva linearno nezavisna sistema vektora:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Ovi sistemi su takođe baze datog prostora.

Neka je c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinate vektora c (1) u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) , tada će koordinatni odnos biti dat sistemom linearnih jednačina:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem se može predstaviti kao matrica na sljedeći način:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Napravimo isti unos za vektor c (2) po analogiji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Kombinirajmo matrične jednakosti u jedan izraz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

On će odrediti vezu između vektora dvije različite baze.

Koristeći isti princip, moguće je izraziti sve bazne vektore e(1), e(2), . . . , e (3) kroz bazu c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Dajemo sljedeće definicije:

Definicija 5

Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze e (1) , e (2) , . . . , e (3)

bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definicija 6

Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze c (1) , c (2) , . . . , c(n)

bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Iz ovih jednakosti je očigledno da

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

one. matrice prelaza su recipročne.

Pogledajmo teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 7

Početni podaci: potrebno je pronaći prijelaznu matricu iz baze

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Također morate naznačiti odnos između koordinata proizvoljnog vektora x → u datim bazama.

Rješenje

1. Neka je T prijelazna matrica, tada će jednakost biti tačna:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Pomnožite obje strane jednakosti sa

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobijamo:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definirajte prijelaznu matricu:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definirajmo odnos između koordinata vektora x → :

Pretpostavimo da je u bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → ima koordinate x 1 , x 2 , x 3 , tada:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

a u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, tada:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Jer Ako su leve strane ovih jednakosti jednake, možemo izjednačiti i desne strane:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnožite obje strane na desnoj strani

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobijamo:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Na drugoj strani

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Posljednje jednakosti pokazuju odnos između koordinata vektora x → u obje baze.

odgovor: matrica prelaza

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinate vektora x → u datim bazama povezane su relacijom:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vector(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata koji se nazivaju vektori, za koje su definirane operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalarom.

1) X+y=y+x ( komutativnost sabiranja)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( asocijativnost sabiranja)

3) postoji element 0êV takav da je x+0=x

4) za bilo koje x êV postoji element - x êV takav da je x+(-x)=0? zove se vektor, suprotno vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( asocijativnost množenja skalarom)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Slobodni vektori u prostoru R 3

2) Matrice dimenzije nxm

3) Skup svih polinoma čiji stepen ne prelazi n

4) Primjeri linearnog prostora su:

5) - prostor realnih brojeva.

6) - skup geometrijskih vektora na ravni.

7) - prostor matrica fiksne dimenzije.

8) - prostor rešenja homogenih linearnih sistema itd.

Osnovne definicije

N-dimenzionalni vektor naziva se niz od n brojeva. Ovi brojevi se zovu koordinate vektor. Poziva se broj vektorskih koordinata n dimenzija vektor.

Možete dodati samo vektore iste dimenzije

Vektori su jednaki, ako imaju istu dimenziju i njihove odgovarajuće koordinate su jednake.

Bilo koji n-dimenzionalni vektor A može biti pomnoži sa bilo kojim brojemλ, a sve njegove koordinate se pomnože ovim brojem:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Mogu se dodati dva vektora iste dimenzije i dodati im odgovarajuće koordinate:

Kako se zove linearna kombinacija vektori?

Linearna kombinacija vektora a1,a2,…,an nazvan izrazom oblika:

Gdje a1,a2,…,an- proizvoljni brojevi

Koji vektori se nazivaju linearno zavisni (nezavisni)?

Vektori koji nisu nula a1,a2,…,an su pozvani linearno zavisna, ako je netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru:

Vektori koji nisu nula a1,a2,…,an su pozvani linearno nezavisna, osim ako trivijalna linearna kombinacija ovih vektora nije jednaka nultom vektoru.

Primjeri linearno nezavisnih vektora

Kako je riješeno pitanje linearne zavisnosti vektora?

Teorema 1. Da bi sistem vektora bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da barem jedan od njih bude predstavljen kao linearna kombinacija ostalih.

Teorema 2. U n-dimenzionalnom prostoru, svaki sistem koji sadrži više od n vektora je linearno zavisan.

Teorema 3.Ako je determinanta koju čine vektorske koordinate različita od nule, tada je sistem vektora linearno nezavisan. Ako ove teoreme ne daju odgovor na pitanje linearne zavisnosti ili nezavisnosti vektora, onda je potrebno riješiti sistem jednačina za , odnosno odrediti rang sistema vektora.

Kakav je odnos između koordinata dva linearno zavisna vektora?

Navedite primjer dva linearno zavisna vektora

: Vektori i kolinearni kada takav broj postoji da vrijedi jednakost:
.

Definicija baze linearnog prostora

Kolekcija od n linearno nezavisnih elemenata u prostoru dimenzije n naziva se baza ovog prostora.

Određivanje dimenzije linearnog prostora.

Definicija 3.1. Linearni prostor R naziva se n-dimenzionalnim ako sadrži n linearno nezavisni elementi, i bilo koji ( n+1) elementi su već linearno zavisni. U ovom slučaju, broj n zove se dimenzija prostora R.

Dimenzija prostora se označava simbolom dim.

Definicija 3.2. Linearni prostor R naziva se beskonačno-dimenzionalnim ako sadrži bilo koji broj linearno nezavisnih elemenata.

Teorema 3.4. Neka linearni prostor R ima osnovu koja se sastoji od n elementi. Zatim dimenzija R jednako n(dim R=n).

Koncept n-dimenzionalnog prostora

Linearni prostor V naziva se n-dimenzionalni prostor ako sadrži sistem od n linearno nezavisnih elemenata, a bilo koji n+1 element je linearno zavisan.

Formule koje povezuju vektore stare i nove baze

Vektorski (linearni) prostor je skup vektora (elemenata) sa realnim komponentama, u kojem su definirane operacije sabiranja vektora i množenja vektora brojem koji zadovoljavaju određene aksiome (osobine)

1)x+at=at+X(zamjenjivost sabiranja);

2)(X+at)+z=x+(y+z) (asocijativnost sabiranja);

3) postoji nulti vektor 0 (ili nulti vektor) koji zadovoljava uslov x+ 0 =x: za bilo koji vektor x;

4) za bilo koji vektor X postoji suprotan vektor at takav da X+at = 0 ,

5) 1 x=X,

6) a(bx)=(ab)X(asocijativnost množenja);

7) (a+b)X=ah+bx(distributivna svojstva u odnosu na numerički faktor);

8) a(X+at)=ah+ay(distributivno svojstvo u odnosu na vektorski množitelj).

Linearni (vektorski) prostor V(P) nad poljem P je neprazan skup V. Elementi skupa V nazivaju se vektori, a elementi polja P nazivaju se skalari.

Najjednostavnija svojstva.

1. Vektorski prostor je Abelova grupa (grupa u kojoj je operacija grupe komutativna. Grupna operacija u Abelovim grupama se obično naziva "adicijom" i označava se znakom +)

2. Neutralni element je jedini koji slijedi iz svojstava grupe za bilo koji .

3. Za bilo koji, suprotni element je jedini koji slijedi iz svojstava grupe.

4.(–1) x = – x za bilo koje x ê V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) za bilo koje α ê P i x ê V.

Izraz a 1 e 1+a 2 e 2+ … +a n e n(1) se naziva linearna kombinacija vektora e 1 , e 2 ,..., e n sa kvotama a 1, a 2,..., a n . Linearna kombinacija (1) se naziva netrivijalnom ako ima barem jedan od koeficijenata a 1 , a 2 ,..., a n različito od nule. Vektori e 1 , e 2 ,..., e n nazivaju se linearno zavisne ako postoji netrivijalna kombinacija (1), koja je nulti vektor. Inače (to jest, ako je samo trivijalna kombinacija vektora e 1 , e 2 ,..., e n jednak nultom vektoru) vektori e 1 , e 2 ,..., e n nazivaju se linearno nezavisnim.

Dimenzija prostora je maksimalni broj LZ vektora sadržanih u njemu.

Vektorski prostor naziva se n-dimenzionalnim (ili ima „dimenziju n"), ako postoji n linearno nezavisnih elemenata e 1 , e 2 ,..., e n , i bilo koji n+ 1 elementi su linearno zavisni (generalizovani uslov B). Vektorski prostor nazivaju se beskonačno-dimenzionalnim ako su u njemu za bilo koji prirodni n postoji n linearno nezavisni vektori. Bilo koji n linearno nezavisni n-dimenzionalni vektori Vektorski prostorčine osnovu ovog prostora. Ako e 1 , e 2 ,..., e n- osnova Vektorski prostor, zatim bilo koji vektor X ovaj prostor se može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora: x=a 1 e 1+a 2 e 2+... +a n e n.
Istovremeno, brojevi a 1 , a 2, ..., a n se nazivaju vektorske koordinate X u ovoj osnovi.

1. Koncept linearnog prostora

Definicija 1.1. R Mnogi elementi x, y, z,

1. ... bilo koje prirode naziva se linearni (ili vektorski) prostor ako su ispunjena sljedeća tri zahtjeva: x Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa y I R treći element je uparen z ovog skupa, koji se naziva zbirom elemenata x Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa y i određen z=x+y.
2. Postoji pravilo po kojem bilo koji element x I R i bilo ko pravi broj α element se podudara w ovog skupa, koji se naziva proizvod elementa x po broju α i određen w=αx ili w=xα.
3. Dva predstavljena pravila podliježu sljedećih osam aksioma:
1. x+y=y+x(komutativno svojstvo sume);
2. (x+y)+z=x+(y+z)(kombinativno svojstvo sume);
3. postoji nulti element 0 takav da x+0=x za bilo koji element x.
4. za bilo koji element x postoji suprotan element elementa x" takav da x+x"=0;
5. 1· x=x za bilo koga x;
6. λ(μx)=(λμ)x(kombinativno svojstvo u pogledu numeričkog faktora);
7. (λ+μ )x= λx+μx(distributivna svojstva u pogledu brojčanih faktora);
8. λ(x+y)=λx+λy(distributivno svojstvo u odnosu na zbir elemenata).

Elementi linearnog (vektorskog) prostora nazivaju se vektori.

2. Osnova linearnog prostora

Definicija 2.1. R Skup linearno nezavisnih elemenata prostora x naziva se osnovom ovog prostora ako za svaki element prostor R postoje stvarni brojevi

tako da vrijedi jednakost x Jednakost (2.1) naziva se ekspanzija elementa x prema osnovici i brojevima nazivaju se koordinate elementa

(u odnosu na osnovu). x Hajde da dokažemo da bilo koji element R

linearni prostor x:

Neka dođe do još jedne dekompozicije

(2.3)

Oduzimanjem (2.1) od (2.2) imamo:

Kako su osnovni elementi linearno nezavisni, iz relacije (2.3) slijedi da R Dakle, svaki element linearnog prostora

može se proširiti na osnovu na jedinstven način. R Teorema 2.2. R Prilikom dodavanja proizvoljna dva elementa linearnog prostora x njihove koordinate (u odnosu na bilo koju svemirsku bazu α ) zbrajati, a prilikom množenja bilo kojeg elementa x na bilo koji broj α .

sve koordinate

pomnoženo sa

Dokaz slijedi iz aksioma 1-8 definicije 1.1. R.

3. Dimenzija linearnog prostora R naziva se n-dimenzionalnim ako sadrži n linearno nezavisni elementi, i bilo koji ( n Razmislite o proizvoljnom realnom prostoru n Definicija 3.1. R.

Dimenzija prostora se označava simbolom dim.

Linearni prostor R naziva se beskonačno-dimenzionalnim ako sadrži bilo koji broj linearno nezavisnih elemenata.

+1) elementi su već linearno zavisni. U ovom slučaju, broj R zove se dimenzija prostora n(dim R=n Definicija 3.2. n Linearni prostor

Teorema 3.3. R Neka n je linearni prostor dimenzija n). Onda bilo koje x linearno nezavisni elementi ovog prostora čine njegovu osnovu. R Dokaz. Jer linearno zavisna, tj. postoje brojevi (nisu svi jednaki nuli) tako da je jednakost

(3.3)

Iz jednakosti (3.3) slijedi da je bilo koji vektor iz prostora R mogu se proširiti na elemente i stoga čine osnovu prostora R. ■

Teorema 3.4. R ima osnovu koja se sastoji od n elementi. Zatim dimenzija R Neka je linearni prostor n(dim R=n).

jednako n Dokaz. Neka set R elementi su osnova prostora n. Dovoljno je dokazati da bilo koji +1 elementi

ovog prostora su linearno zavisne. Proširujući ove elemente prema osnovi, dobijamo: Gdje 11 a 12 , a ,...,a n+1,n

realni brojevi. Pustite elemente

linearno nezavisna. Prepišimo (3.4) u matričnom obliku: Pošto su linearno nezavisne, matrica A ima inverznu matricu A -1 .

Nakon što smo riješili matričnu jednačinu (3.5), dobijamo: Kao što se može vidjeti iz jednačine (3.9), može se predstaviti linearnom kombinacijom vektora . Stoga vektori

linearno zavisna. ■

4. Zamjena baze i transformacija koordinata R Pustite u svemir Uz prvobitnu osnovu postoji još jedna osnova

. Vektori ove baze mogu se izraziti kroz linearnu kombinaciju vektora originalne baze na sljedeći način: Matrix P pozvao matrica promjene baze .

on

Zauzvrat, vektori originalne baze se izražavaju kroz vektore nove sljedećom relacijom: Iz (4.6) slijedi da QP=E , Gdje E je matrica identiteta i matrice Q Matrix I

međusobno inverzne matrice.

Razmotrimo kako se mijenjaju koordinate vektora kada se promijeni baza. x Neka vektor ima koordinate i koordinate

(4.7)

. Vektori ove baze mogu se izraziti kroz linearnu kombinaciju vektora originalne baze na sljedeći način: , Onda P P T matrica transformacije koordinata . Transponira se sa matricom promjene baze. Inverzna matrica(P T) -1

daje izraze za nove koordinate u terminima starih. Matrica inverzna transponovanju neke matrice naziva se kontra gradijent

sa njom.

5. Izomorfizam linearnih prostora R Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Definicija 5.1. Dva proizvoljna realna linearna prostora R"∈R nazivaju se izomorfnim ako se može uspostaviti korespondencija jedan prema jedan između elemenata ovih prostora tako da ako x, y∊Definicija 5.1. odgovori x", y"∈R shodno tome, onda element x+y∈Definicija 5.1. odgovara element α x"+y" α x∈R shodno tome, onda element α x"∈Definicija 5.1..

, i za bilo koji pravi R Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Definicija 5.1., element

Teorema 5.2. R Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Definicija 5.1. Ako je prostor su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. R Dokaz. Neka linearni prostori su izomorfni, i neka elementi prostor elementi odgovaraju prostor R" respektivno. Pretpostavimo elemente Dokaz. Neka linearni prostori y u prostoru R, a zbir odgovara zbiru . Ali ovo drugo znači linearnu zavisnost elemenata . Dakle linearno nezavisna. Iz linearne zavisnosti elemenata prati linearnu zavisnost elemenata . Dakle, maksimalan broj linearno nezavisnih vektora za prostore R Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Definicija 5.1. jedno te isto, tj. ovi prostori imaju istu dimenziju. ■

Teorema 5.3. n Bilo koja dva R Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Definicija 5.1.-dimenzionalni realni linearni prostori

su izomorfne. Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Dokaz. Odaberimo baze R Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa Definicija 5.1. za prostore Definicija 5.1. respektivno. Tada se svaki element prostora R može predstaviti linearnom kombinacijom osnovnih elemenata: . Ovaj element u prostoru x" su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. Definicija 5.1. hajde da spojimo element sa istim koordinatama:. Zauzvrat, element x su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. R odgovara elementu x Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa y su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. R Dokaz. Neka linearni prostori x" Postoji pravilo po kojem bilo koja dva elementa . Imajte na umu da ako elementi su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. Definicija 5.1. y" x", y" su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. R shodno tome, onda element x+y su izomorfne, onda imaju istu dimenziju. Definicija 5.1. prema tome, onda, na osnovu teoreme 2.2, element α x shodno tome, onda element α x". ■