Transformacija dvostrukog integrala pravokutnih koordinata, na polarne koordinate
, vezano za pravokutne koordinate relacijama
,
, provodi se prema formuli

Ako je domen integracije
ograničeno na dvije grede
,
(
), koji izlazi iz stuba i dvije krivine
I
, tada se dvostruki integral izračunava pomoću formule

.

Primjer 1.3. Izračunajte površinu figure ograničene ovim linijama:
,
,
,
.

Rješenje. Za izračunavanje površine neke površine
Koristimo formulu:
.

Oslikajmo područje (Sl. 1.5). Da bismo to učinili, transformiramo krive: , , , . Pređimo na polarne koordinate: , . . U polarnom koordinatnom sistemu, oblast opisano jednadžbama:

.

1.2. Trostruki integrali

Osnovna svojstva trostruki integrali slično svojstvima dvostrukih integrala.

U kartezijanskim koordinatama, trostruki integral se obično piše na sljedeći način:

.

Ako
, zatim trostruki integral po površini brojčano jednak zapremini tela :

.

Trostruki integralni proračun

Neka je domen integracije ograničene odozdo i odozgo, respektivno, jednoznačnim neprekidnim površinama
,
, i projekcija regiona na koordinatnu ravan
postoji ravna površina
(Sl. 1.6).

Zatim za fiksne vrijednosti odgovarajuće aplikacije tačke područja variraju unutar. tada dobijamo: . Ako, pored toga, projekcija određena nejednakostima , , Gdje - nedvosmisleno kontinuirano funkcije uključene , To

.

Primjer 1.4. Izračunati
, Gdje - tijelo ograničeno avionima:

	, , , ( , , ). Rješenje. Područje integracije je piramida (slika 1.7). Područje projekcije postoji trougao , omeđen pravim linijama , , (Sl. 1.8). At tačka se primenjuje zadovoljiti nejednakost , Zbog toga .
	Postavljanje granica integracije za trokut , dobijamo

Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Kada se krećete od kartezijanskih koordinata
na cilindrične koordinate
(Sl. 1.9) povezan sa
odnosi
,
,
, i

	, ,, trostruki integral se transformiše: Primjer 1.5. Izračunaj zapreminu tijela ograničenog površinama: , , . Rješenje. Potreban volumen tijela jednaki .
	Integraciona domena je dio cilindra koji je odozdo omeđen ravninom , i iznad aviona (Sl. 1.10). Područje projekcije postoji krug sa centrom na početku i jediničnim radijusom. Pređimo na cilindrične koordinate. , , . At tačka se primenjuje , zadovoljiti nejednakost ili u cilindrične koordinate:

Region
, omeđen krivom
, će poprimiti oblik, ili
, dok je polarni ugao
. Kao rezultat imamo

.

2. Elementi teorije polja

Prisjetimo se najprije metoda za izračunavanje krivolinijskih i površinskih integrala.

Proračun krivolinijskog integrala nad koordinatama funkcija definiranih na krivulji , svodi se na izračunavanje određenog integrala oblika

ako je kriva specificirano parametarski
odgovara početnoj tački krive , A
- njegova krajnja tačka.

Izračunavanje površinskog integrala funkcije
, definirana na dvostranoj površini , svodi se na izračunavanje dvostrukog integrala, na primjer, oblika

,

ako površina , dato jednačinom
, jedinstveno se projektuje na ravan
regionu
. Evo - ugao između vektora jedinične normale na površinu i osovina
:

.

Strana površine koju zahtijevaju problemski uvjeti određuje se izborom odgovarajućeg predznaka u formuli (2.3).

Definicija 2.1. Vektorsko polje
zove se vektorska funkcija tačke
zajedno sa svojim obimom:

Vektorsko polje
karakterizira skalarna veličina – divergencija:

Definicija 2.2. Protok vektorsko polje
kroz površinu zove se površinski integral:

,

Gdje - jedinični vektor normale na odabranu stranu površine , A
- skalarni proizvod vektora I .

Definicija 2.3. Cirkulacija vektorsko polje

By zatvorena kriva naziva krivolinijski integral

,

Gdje
.

Ostrogradsky-Gaussova formula uspostavlja vezu između toka vektorskog polja kroz zatvorenu površinu i divergenciju polja:

Gdje - površina omeđena zatvorenom konturom , A je jedinični vektor normale na ovu površinu. Smjer normale mora biti u skladu sa smjerom pomicanja konture .

Primjer 2.1. Izračunaj površinski integral

,

Gdje - vanjski dio konusa
(
), odsječen avionom
(Slika 2.1).

Rješenje. Površina jedinstveno projektovan u regionu
avion
, a integral se izračunava pomoću formule (2.2).

Jedinični površinski normalni vektor nalazimo koristeći formulu (2.3): . Ovdje se u izrazu za normalu bira znak plus, pošto je ugao između ose i normalno - glupo i stoga mora biti negativan. S obzirom na to , na površini dobijamo

Region
postoji krug
. Dakle, u posljednjem integralu prelazimo na polarne koordinate, dok
,
:

Primjer 2.2. Pronađite divergenciju i zavoj vektorskog polja
.

Rješenje. Koristeći formulu (2.4) dobijamo

Rotor datog vektorskog polja se nalazi pomoću formule (2.5)

Primjer 2.3. Pronađite fluks vektorskog polja
kroz deo aviona :
, koji se nalazi u prvom oktantu (normala formira oštar ugao sa osom
).

	Rješenje. Na osnovu formule (2.6) . Hajde da prikažemo deo aviona : , koji se nalazi u prvom oktantu. Jednačina ove ravni u segmentima ima oblik (Sl. 2.3). Vektor normale na ravan ima koordinate: , jedinični normalni vektor
	. . , , gdje , dakle,

Gdje
- projekcija u ravni on
(Sl. 2.4).

Primjer 2.4. Izračunajte tok vektorskog polja kroz zatvorenu površinu , formiran od strane aviona
i dio konusa
(
) (Sl. 2.2).

Rješenje. Koristimo formulu Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Nađimo divergenciju vektorskog polja prema formuli (2.4):

Gdje
je volumen konusa preko kojeg se vrši integracija. Koristimo dobro poznatu formulu za izračunavanje volumena konusa
(- poluprečnik osnove konusa, - njegova visoka). U našem slučaju dobijamo
. Konačno dobijamo

.

Primjer 2.5. Izračunajte cirkulaciju vektorskog polja
duž konture , formiran presjekom površina
I
(
). Provjerite rezultat koristeći Stokesovu formulu.

Rješenje. Presjek ovih površina je kružnica
,
(Sl. 2.1). Smjer prelaska se obično bira tako da područje ograničeno njime ostane lijevo. Napišimo parametarske jednačine konture :

gdje

i parametar varira od prije
. Koristeći formulu (2.7), uzimajući u obzir (2.1) i (2.10), dobijamo

.

Primijenimo sada Stokesovu formulu (2.9). Kao površina , rastegnut na konturi , možete uzeti dio aviona
. Normalni smjer
na ovu površinu je u skladu sa smjerom prelaska konture . Zavoj datog vektorskog polja izračunat je u primjeru 2.2:
. Dakle, željena cirkulacija

Gdje
- područje regije
.
- radijus kruga
, gdje

Neka imamo dva pravougaona koordinatna sistema u prostoru i
, i sistem funkcija

(1)

koji uspostavljaju korespondenciju jedan-na-jedan između tačaka u nekim oblastima
I
u ovim koordinatnim sistemima. Pretpostavimo da funkcije sistema (1) imaju
kontinuirani parcijalni derivati. Odrednica sastavljena od ovih parcijalnih izvoda

,

naziva se Jacobian (ili Jacobijeva determinanta) sistema funkcija (1). Pretpostavićemo to
V
.

Pod gore navedenim pretpostavkama, vrijedi sljedeća opća formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu:

Kao iu slučaju dvostrukog integrala, međusobna jedinstvenost sistema (1) i uslova
može biti narušena na pojedinačnim tačkama, na pojedinačnim linijama i na pojedinačnim površinama.

Sistem funkcija (1) za svaku tačku
odgovara jednoj tački
. Ova tri broja
se nazivaju krivolinijskim koordinatama tačke . Tačke prostora
, za koje jedna od ovih koordinata zadržava konstantnu vrijednost, formiraju tzv. koordinatnu površinu.

II Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrični koordinatni sistem (CSS) je određen ravninom
, u kojem je specificiran polarni koordinatni sistem i osa
, okomito na ovu ravan. Cilindrične koordinate tačke
, Gdje
– polarne koordinate tačke – projekcije t naočale u avion
, A – ovo su koordinate projekcije tačke po osi
ili
.

U avionu
upisujemo kartezijanske koordinate na uobičajen način, usmjeravamo primijenjenu os duž ose
CSK. Sada nije teško dobiti formule koje povezuju cilindrične koordinate s kartezijanskim:

(3)

Ove formule mapiraju područje u cijeli prostor
.

Koordinatne površine u slučaju koji se razmatra bit će:

1)
– cilindrične površine sa generatricijama paralelnim sa osi
, čiji su vodiči krugovi u ravni
, centriran u tački ;

2)

;

3)
– ravni paralelne sa ravninom
.

Jakobijan sistema (3):

.

Opća formula u slučaju CSK ima oblik:

Napomena 1 . Prijelaz na cilindrične koordinate se preporučuje u slučaju kada je područje integracije kružni cilindar ili konus, ili paraboloid okretanja (ili njihovi dijelovi), a os ovog tijela poklapa se s osom aplikacije
.

Napomena 2. Cilindrične koordinate se mogu generalizirati na isti način kao i polarne koordinate u ravni.

Primjer 1. Izračunajte trostruki integral funkcije

po regionu
, koji predstavlja unutrašnji dio cilindra
, omeđen konusom
i paraboloid
.

Rješenje. Već smo razmotrili ovu oblast u §2, primjer 6, i dobili standardni unos u DPSC. Međutim, izračunavanje integrala u ovoj regiji je teško. Idemo na CSK:

.

Projekcija
tijelo
u avion
- to je krug
. Dakle, koordinata varira od 0 do
, A – od 0 do R. Kroz proizvoljnu tačku
nacrtati pravu liniju paralelnu sa osom
. Prava linija će ići u
na konusu, ali će izaći na paraboloidu. Ali konus
ima jednačinu u CSC
, i paraboloid
- jednačina
. Tako da imamo

III Trostruki integral u sfernim koordinatama

Sferni koordinatni sistem (SCS) određen je ravninom
, u kojem je specificiran UCS, i os
, okomito na ravan
.

Sferne koordinate tačke prostor se naziva trojka brojeva
, Gdje – polarni ugao projekcije tačke na ravan
,– ugao između osa
i vektor
I
.

U avionu
hajde da uvedemo kartezijanske koordinatne ose
I
na uobičajen način, a primijenjena osa je kompatibilna s osom
. Formule koje povezuju sferne koordinate s kartezijanskim su sljedeće:

(4)

Ove formule mapiraju područje u cijeli prostor
.

Jakobijan sistema funkcija (4):

.

Postoje tri porodice koordinatnih površina:

1)
– koncentrične sfere sa centrom u početku;

2)
– poluravnine koje prolaze kroz osu
;

3)
– kružni stošci sa vrhom u početku koordinata, čija je osa os
.

Formula za prelazak na SSC u trostrukom integralu:

Napomena 3. Prelazak na SCS se preporučuje kada je domen integracije lopta ili njen dio. U ovom slučaju, jednačina sfere
ulazi u. Kao i CSK o kojem smo ranije govorili, CSK je "vezan" za osu
. Ako se središte sfere pomakne za polumjer duž koordinatne osi, tada ćemo dobiti najjednostavniju sfernu jednadžbu kada se pomakne duž osi
:

Napomena 4. SSC je moguće generalizirati:

sa Jacobianom
. Ovaj sistem funkcija će prevesti elipsoid

na "paralelepiped"

Primjer 2. Pronađite prosječnu udaljenost tačaka na kugli polumjera iz njegovog centra.

Rješenje. Podsjetimo da je prosječna vrijednost funkcije
u oblasti
je trostruki integral funkcije nad područjem podijeljen volumenom regije. U našem slučaju

Tako da imamo

Procedura za izračunavanje trostrukog integrala je slična odgovarajućoj operaciji za dvostruki integral. Da bismo to opisali, uvodimo koncept regularne trodimenzionalne regije:

Definicija 9.1. Trodimenzionalno područje V ograničeno zatvorenom površinom S naziva se regularno ako:

1. bilo koja prava linija paralelno sa osom Oz i povučen kroz unutrašnju tačku regije siječe S u dvije tačke;
2. čitava oblast V je projektovana na Oxy ravan u pravilnu dvodimenzionalnu oblast D;
3. bilo koji dio područja V, odsječen od njega ravninom koja je paralelna bilo kojoj od koordinatnih ravni, ima svojstva 1) i 2).

Razmotrimo regularnu regiju V, ograničenu ispod i iznad površinama z=χ(x,y) i z=ψ(x,y) i projektovanu na ravan Oxy u regularnu regiju D, unutar koje x varira od a do b, ograničen krivuljama y=φ1(x) i y=φ2(x) (slika 1). Definirajmo kontinuiranu funkciju f(x, y, z) u domeni V.

Definicija 9.2. Nazovimo trostruki integral funkcije f(x, y, z) nad područjem V izrazom oblika:

Trostruki integral ima ista svojstva kao i dvostruki integral. Navodimo ih bez dokaza, jer se dokazuju slično kao u slučaju dvostrukog integrala.

Izračunavanje trostrukog integrala.

Teorema 9.1. Trostruki integral funkcije f(x,y,z) nad regularnom domenom V jednak je trostrukom integralu nad istom domenom:

. (9.3)

Dokaz.

Podijelimo oblast V ravninama paralelnim koordinatnim ravnima na n regularnih regiona. Tada iz svojstva 1 slijedi da

gdje je trostruki integral funkcije f(x,y,z) preko regije.

Koristeći formulu (9.2), prethodna jednakost se može prepisati kao:

Iz uvjeta kontinuiteta funkcije f(x,y,z) slijedi da granica integralnog zbira na desnoj strani ove jednakosti postoji i jednaka je trostrukom integralu. Tada, prelazeći na granicu na , dobijamo:

Q.E.D.

Komentar.

Slično kao u slučaju dvostrukog integrala, može se dokazati da promjena reda integracije ne mijenja vrijednost trostrukog integrala.

Primjer. Izračunajmo integral gdje je V - trouglasta piramida sa vrhovima u tačkama (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). Njegova projekcija na Oxy ravan je trokut sa vrhovima (0, 0), (1, 0) i (0, 1). Područje je odozdo ograničeno ravninom z = 0, a odozgo ravninom x + y + z = 1. Pređimo na trostruki integral:

Faktori koji ne zavise od integracione varijable mogu se izvući iz predznaka odgovarajućeg integrala:

Krivolinijski koordinatni sistemi u trodimenzionalnom prostoru.

1. Cilindrični koordinatni sistem.

Cilindrične koordinate tačke P(ρ,φ,z) su polarne koordinate ρ, φ projekcije ove tačke na ravan Oxy i aplikat ove tačke z (slika 2).

Formule za prijelaz iz cilindričnih u kartezijanske koordinate mogu se specificirati na sljedeći način:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sferni koordinatni sistem.

U sfernim koordinatama, položaj tačke u prostoru određen je linearnom koordinatom ρ - udaljenosti od tačke do početka Kartezijanski sistem koordinate (ili pol sfernog sistema), φ je polarni ugao između pozitivne poluose Ox i projekcije tačke na ravan Oxy, a θ je ugao između pozitivne poluose Oz ose i segment OP (slika 3). Gde

Postavimo formule za prijelaz sa sfernih na kartezijanske koordinate:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje.

Razmotrimo opći slučaj promjene varijabli u dvostruki integral. Neka je područje D zadano u ravni Oxy, ograničeno linijom L. Pretpostavimo da su x i y jednovrijedne i kontinuirano diferencibilne funkcije novih varijabli u i v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Hajde da razmotrimo pravougaoni sistem koordinate Ouv, čija tačka P΄(u, v) odgovara tački P(x, y) iz oblasti D. Sve takve tačke čine oblast D΄ u ravni Ouv, ograničenu pravom L΄. Možemo reći da formule (9.6) uspostavljaju korespondenciju jedan prema jedan između tačaka oblasti D i D΄. U ovom slučaju, linije u = const i

v = const u ravni Ouv će odgovarati nekim linijama u ravni Oxy.

Razmotrimo pravougaonu površinu ΔS΄ u ravni Ouv, ograničenu pravim linijama u = const, u+Δu = const, v = const i v+Δv = const. To će odgovarati zakrivljenoj oblasti ΔS u ravni Oxy (slika 4). Područja područja koja se razmatraju također će biti označena sa ΔS΄ i ΔS. U ovom slučaju, ΔS΄ = Δu Δv. Nađimo površinu ΔS. Označimo vrhove ovog krivolinijskog četverokuta P1, P2, P3, P4, gdje je

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Zamijenimo male inkremente Δu i Δv odgovarajućim diferencijalima. Onda

U ovom slučaju, četverokut P1 P2 P3 P4 se može smatrati paralelogramom i njegova površina se može odrediti pomoću formule iz analitičke geometrije:

(9.7)

Definicija 9.3. Determinanta se naziva funkcionalna determinanta ili Jakobijan funkcija φ(x, y) i ψ(x, y).

Prelazeći na granicu u u jednakosti (9.7), dobijamo geometrijsko značenje Jakobijana:

odnosno modul Jakobijana je granica omjera površina infinitezimalnih površina ΔS i ΔS΄.

Komentar. Na sličan način možemo definirati pojam jakobijana i njegovo geometrijsko značenje za n-dimenzionalni prostor: ako je x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), tada

(9.8)

U ovom slučaju, modul Jakobijana daje ograničenje omjeru “volumena” malih područja prostora x1, x2,..., xn i u1, u2,..., un.

Promjena varijabli u višestrukim integralima.

Proučimo opći slučaj promjene varijabli na primjeru dvostrukog integrala.

Neka je zadana oblast D kontinuirana funkcija z = f(x,y), čija svaka vrijednost odgovara istoj vrijednosti funkcije z = F(u, v) u domeni D΄, gdje je

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Razmotrimo integralni zbir

pri čemu je integralni zbir sa desne strane uzet preko domena D΄. Prelaskom do granice na , dobijamo formulu za transformaciju koordinata u dvostruki integral.

Trostruki integrali. Proračun zapremine tela.
Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Tri dana je mrtav ležao u dekanatu, obučen u Pitagorine pantalone,
U rukama Fihtenholca držao je knjigu koja ga je donela sa ovog sveta,
Za noge je vezan trostruki integral, a leš je umotan u matricu,
I umjesto molitve, neka drska osoba je pročitala Bernoullijevu teoremu.

Trostruki integrali su nešto čega se ne morate plašiti =) Jer ako čitate ovaj tekst, onda, najverovatnije, dobro razumete teorija i praksa “običnih” integrala, i dvostruki integrali. A gde je duplo, u blizini je trostruko:

I zaista, čega se tu treba bojati? Integral je manji, integral je više...

Pogledajmo snimak:

– trostruka integralna ikona;
– integrand funkcija tri varijable;
– proizvod diferencijala.
– oblast integracije.

Hajde da se posebno fokusiramo na oblasti integracije. Ako u dvostruki integral to predstavlja ravna figura, onda ovdje – prostorno tijelo, koji je, kao što je poznato, ograničen skupom površine. Dakle, pored gore navedenog, morate navigirati osnovne površine prostora i biti u stanju napraviti jednostavne trodimenzionalne crteže.

Neki su depresivni, razumem... Nažalost, članak ne može biti naslovljen kao "trostruki integrali za lutke", a postoje neke stvari koje trebate znati/biti u stanju učiniti. Ali u redu je - sav materijal je predstavljen u izuzetno pristupačnom obliku i može se savladati u najkraćem mogućem roku!

Šta znači izračunati trostruki integral i koliko je on paran?

Za izračunavanje trostrukog integrala znači pronađi BROJ:

U najjednostavnijem slučaju, kada trostruki integral je numerički jednak zapremini tela. I zaista, prema opšte značenje integracije, proizvod je jednak infinitezimal zapremine elementarne „cigle“ tela. A trostruki integral je pravedan ujedinjuje sve ovo beskonačno male čestice po površini, što rezultira integralnom (ukupnom) vrijednošću zapremine tijela: .

Osim toga, trostruki integral je važan fizičke aplikacije. Ali više o tome kasnije - u 2. dijelu lekcije, posvećenom proračuni proizvoljnih trostrukih integrala, za koju je funkcija u općem slučaju različita od konstante i kontinuirana je u području. U ovom članku ćemo detaljno razmotriti problem pronalaženja volumena, koji po mom mišljenju subjektivnoj proceni javlja se 6-7 puta češće.

Kako riješiti trostruki integral?

Odgovor logično proizlazi iz prethodnog pasusa. Treba utvrditi red obilaženja tijela i idi na iterirani integrali. Zatim pozabavite tri pojedinačna integrala uzastopno.

Kao što vidite, cijela kuhinja vrlo, vrlo podsjeća dvostruki integrali, s tom razlikom što smo sada dodali dodatnu dimenziju (grubo rečeno, visinu). I, vjerovatno, mnogi od vas su već pogodili kako se rješavaju trostruki integrali.

Otklonimo sve preostale sumnje:

Primjer 1

Molimo zapišite u kolonu na papiru:

I odgovorite na sljedeća pitanja. Znate li koje površine definiraju ove jednačine? Razumijete li neformalno značenje ovih jednačina? Možete li zamisliti kako se ove površine nalaze u svemiru?

Ako ste skloni opštem odgovoru „radije ne nego da“, onda svakako odradite lekciju, inače nećete napredovati dalje!

Rješenje: koristimo formulu.

Da bi saznali red obilaženja tijela i idi na iterirani integrali trebate (sve genijalno je jednostavno) da shvatite kakvo je ovo tijelo. I u mnogim slučajevima, crteži uvelike doprinose takvom razumijevanju.

Po stanju, tijelo je ograničeno s nekoliko površina. Gdje početi graditi? Predlažem sledeću proceduru:

Prvo da oslikamo paralelno ortogonalno projekcija tijela na koordinatnu ravan. Prvi put sam rekao kako se zove ova projekcija, lol =)

Budući da se projekcija vrši duž ose, tada je prije svega preporučljivo pozabaviti se površine, koje su paralelne ovoj osi. Dozvolite mi da vas podsjetim da su jednačine takvih površina ne sadrže slovo "z". Tri su od njih u problemu koji se razmatra:

– jednačina određuje koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu;
– jednačina određuje koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu;
– postavlja jednačina avion "ravne" prave linije paralelno sa osom.

Najvjerovatnije, željena projekcija je sljedeći trokut:

Možda nisu svi u potpunosti razumjeli o čemu govorimo. Zamislite da os izlazi iz ekrana monitora i zalijepi se direktno u most vašeg nosa ( one. ispada da gledate 3-dimenzionalni crtež odozgo). Proučavano prostorno tijelo nalazi se u beskrajnom trougaonom “hodniku” i njegova projekcija na ravan najvjerovatnije predstavlja osenčeni trougao.

Želeo bih da skrenem posebnu pažnju na činjenicu da smo se izrazili samo pretpostavka projekcije a klauzule “najvjerovatnije” i “najvjerovatnije” nisu bile slučajne. Činjenica je da još nisu analizirane sve površine i da se može desiti da jedna od njih “odsječe” dio trougla. Kao jasan primjer, ovo sugerira sfera sa centrom u početku poluprečnika manjim od jedan, na primjer, sfera – njegova projekcija na ravan (krug ) neće u potpunosti "pokriti" zasjenjeno područje, a konačna projekcija tijela uopće neće biti trokut (krug će "odsjeći" svoje oštre uglove).

U drugoj fazi otkrivamo kako je tijelo ograničeno odozgo i odozdo i izvodimo prostorni crtež. Vratimo se na iskaz problema i vidimo koje površine ostaju. Jednačina specificira samu koordinatnu ravan, a jednačina – parabolični cilindar, nalazi se gore ravni i prolazi kroz osu. Dakle, projekcija tijela je zaista trokut.

Usput, našao sam ga ovdje redundantnost uslovi - nije bilo potrebno uključiti jednadžbu ravnine, jer površina, dodirujući osu apscise, već zatvara tijelo. Zanimljivo je primijetiti da u ovom slučaju ne bismo mogli odmah nacrtati projekciju – trokut bi se „crtao“ tek nakon analize jednačine.

Pažljivo oslikajmo fragment paraboličnog cilindra:

Nakon završetka crteža sa redosled hodanja po telu nema problema!

Prvo određujemo redoslijed obilaženja projekcije (istovremeno je PUNO POVOLJNIJE kretati se pomoću dvodimenzionalnog crteža). Gotovo je UPRAVO ISTO, Kao u dvostruki integrali! Zamislite laserski pokazivač i skeniranje ravnog područja. Odaberimo “tradicionalnu” 1. metodu zaobilaženja:

Zatim uzimamo čarobni fenjer, gledamo trodimenzionalni crtež i striktno odozdo prema gore Osvetljavamo pacijenta. Zraci ulaze u tijelo kroz ravan i izlaze kroz površinu. Dakle, redoslijed prelaska tijela je:

Pređimo na ponovljene integrale:

1) Trebali biste početi sa “zeta” integralom. Koristimo Newton-Leibnizova formula:

Zamijenimo rezultat u integral "igre":

Šta se desilo? U suštini, rješenje je svedeno na dvostruki integral, i to upravo na formulu zapremine cilindrične grede! Ono što slijedi poznato je:

2)

Obratite pažnju na racionalnu tehniku ​​rješavanja 3. integrala.

Odgovori:

Izračuni se uvijek mogu napisati u "jednom redu":


Ali budite oprezni s ovom metodom - dobitak u brzini prepun je gubitka kvalitete, a što je primjer složeniji, veća je šansa da napravite grešku.

Odgovorimo na jedno važno pitanje:

Da li je potrebno izraditi crteže ako uslovi zadatka ne zahtijevaju njihovu implementaciju?

Možete ići na četiri načina:

1) Nacrtajte projekciju i samo tijelo. Ovo je najpovoljnija opcija - ako imate priliku da dovršite dva pristojna crteža, nemojte biti lijeni, napravite oba crteža. Prvo ga preporučujem.

2) Nacrtajte samo tijelo. Pogodno kada tijelo ima jednostavnu i očiglednu projekciju. Tako bi, na primjer, u rastavljenom primjeru bio dovoljan trodimenzionalni crtež. Međutim, postoji i minus - nezgodno je odrediti redoslijed pomicanja projekcije sa 3D slike, a ovu metodu bih preporučio samo osobama sa dobrim nivoom obuke.

3) Nacrtajte samo projekciju. To također nije loše, ali tada su potrebni dodatni pisani komentari, što ograničava prostor sa raznih strana. Nažalost, treća opcija je često prisiljena - kada je tijelo preveliko ili je njegova konstrukcija prepuna drugih poteškoća. I mi ćemo također razmotriti takve primjere.

4) Uopšte bez crteža. U ovom slučaju, morate mentalno zamisliti tijelo i pismeno komentirati njegov oblik/lokaciju. Pogodno za vrlo jednostavna tijela ili zadatke gdje je izvođenje oba crteža teško. Ali ipak je bolje napraviti barem šematski crtež, jer se "golo" rješenje može odbiti.

Sljedeće tijelo je za samostalan rad:

Primjer 2

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu tijela ograničenog površinama

IN u ovom slučaju domen integracije je prvenstveno definisan nejednakostima, a ovo je još bolje - puno nejednakosti definira 1. oktant, uključujući koordinatne ravni, i nejednakost – poluprostor, koji sadrži porijeklo (provjera)+ sam avion. „Okomita“ ravan seče paraboloid duž parabole, pa je preporučljivo konstruisati ovaj presek na crtežu. Da biste to učinili, morate pronaći dodatnu referentnu tačku, najlakši način je vrh parabole (razmatramo vrijednosti i izračunaj odgovarajući "zet").

Nastavimo sa zagrijavanjem:

Primjer 3

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu tijela ograničenog naznačenim površinama. Izvršite crtež.

Rješenje: Formulacija “izvrši crtež” nam daje određenu slobodu, ali najvjerovatnije podrazumijeva izvođenje prostornog crteža. Međutim, ni projekcija neće škoditi, pogotovo što ovdje nije najjednostavnije.

Držimo se ranije dokazane taktike - prvo ćemo se pozabaviti površine, koji su paralelni sa aplikativnom osom. Jednačine takvih površina ne sadrže eksplicitno varijablu “z”:

– jednačina specificira koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu ( koji je na ravni određen "eponimnom" jednadžbom);
– postavlja jednačina avion, prolazeći kroz “eponim” "ravne" prave linije paralelno sa osom.

Željeno tijelo ograničeno je ravninom ispod i parabolični cilindar gore:

Napravimo redoslijed obilaženja tijela, dok su granice integracije "X" i "Y", podsjećam, prikladnije saznati pomoću dvodimenzionalnog crteža:

ovako:

1)

Kada se integrira preko “y”, “x” se smatra konstantom, pa je preporučljivo da se konstanta odmah izvadi iz predznaka integrala.

3)

Odgovori:

Da, skoro sam zaboravio, u većini slučajeva je od male koristi (pa čak i štetno) provjeravati rezultat dobiven trodimenzionalnim crtežom, jer je s velikom vjerovatnoćom iluzija volumena, o čemu sam pričao na času Volumen tijela rotacije. Dakle, procjenjujući tijelo razmatranog problema, meni se lično činilo da ima mnogo više od 4 “kocke”.

Sljedeći primjer je za nezavisna odluka:

Primjer 4

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu tijela ograničenog naznačenim površinama. Nacrtajte ovo tijelo i njegovu projekciju na ravan.

Približan primjer zadatka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno kada je izvođenje trodimenzionalnog crteža teško:

Primjer 5

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela dat njegovim graničnim površinama

Rješenje: projekcija ovdje nije komplikovana, ali morate razmisliti o redoslijedu prelaska. Ako odaberete 1. metodu, tada će se cifra morati podijeliti na 2 dijela, što ozbiljno prijeti izračunavanjem sume dva trostruki integrali. U tom smislu, drugi put izgleda mnogo obećavajući. Izrazimo i oslikajmo projekciju ovog tijela na crtežu:

Izvinjavam se zbog kvaliteta nekih slika, izrezao sam ih direktno iz vlastitih rukopisa.

Biramo povoljniji redoslijed prelaska figure:

Sada je na tijelu. Odozdo je ograničen ravninom, odozgo - ravninom koja prolazi kroz ordinatnu osu. I sve bi bilo u redu, ali zadnji avion je prestrm i nije tako lako izgraditi područje. Izbor je ovdje nezavidan: ili rad s nakitom u malom obimu (pošto je tijelo prilično tanko), ili crtež visok oko 20 centimetara (pa i tada, ako stane).

Ali postoji i treći, izvorni ruski način rješavanja problema - postići rezultat =) I umjesto trodimenzionalnog crteža, zadovoljite se verbalnim opisom: „Ovo tijelo je ograničeno cilindrima i avion sa strane, avion odozdo i avion odozgo.”

"Okomite" granice integracije su očigledno:

Izračunajmo volumen tijela, ne zaboravljajući da smo projekciju zaobišli na manje uobičajen način:

1)

Odgovori:

Kao što ste primijetili, tijela predložena u problemima koja nisu skuplja od sto dolara često su ograničena avionom ispod. Ali to nije pravilo, tako da uvijek morate biti na oprezu - možete naići na zadatak gdje se nalazi tijelo i ispod stan Tako, na primjer, ako u analiziranom problemu umjesto toga uzmemo u obzir ravan, tada će ispitivano tijelo biti simetrično preslikano u donji poluprostor i biće ograničeno ravninom odozdo, a ravninom odozgo!

Lako je vidjeti da dobijate isti rezultat:

(zapamtite da se tijelom treba šetati striktno odozdo prema gore!)

Osim toga, "omiljena" ravan se možda uopće ne koristi; najjednostavniji primjer: lopta koja se nalazi iznad ravnine - pri izračunavanju njenog volumena, jednadžba uopće neće biti potrebna.

Razmotrit ćemo sve ove slučajeve, ali za sada postoji sličan zadatak koji morate riješiti sami:

Primjer 6

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela ograničenog površinama

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Pređimo na drugi pasus sa jednako popularnim materijalima:

Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrične koordinate su, u suštini, polarne koordinate u svemiru.
U cilindričnom koordinatnom sistemu, položaj tačke u prostoru određen je polarnim koordinatama tačke - projekcijom tačke na ravan i primenom same tačke.

Prelazak sa trodimenzionalnog kartezijanskog sistema na cilindrični koordinatni sistem se vrši prema sledećim formulama:

U odnosu na našu temu, transformacija izgleda ovako:

I, shodno tome, u pojednostavljenom slučaju koji razmatramo u ovom članku:

Glavna stvar je da ne zaboravite na dodatni "er" množitelj i pravilno ga postavite polarne granice integracije prilikom prelaska projekcije:

Primjer 7

Rješenje: pridržavamo se iste procedure: prije svega razmatramo jednačine u kojima varijabla “ze” odsutna. Ovdje je samo jedan. Projekcija cilindrična površina na ravan predstavlja "eponim" krug .

Avioni ograničavaju željeno tijelo odozdo i odozgo ("isecite" ga iz cilindra) i projektuju ga u krug:

Sljedeći je trodimenzionalni crtež. Glavna poteškoća leži u konstruiranju ravnine koja siječe cilindar pod "kosim" uglom, što rezultira elipsa. Pojasnimo analitički ovaj odjeljak: da bismo to učinili, prepisujemo jednadžbu ravnine u funkcionalna forma i izračunajte vrijednosti funkcije ("visine") u očiglednim točkama koje leže na granici projekcije:

Pronađene tačke označavamo na crtežu i pažljivo (ne kao ja =)) povežite ih linijom:

Projekcija tijela na ravan je kružnica, a ovo je jak argument u prilog prelaska na cilindrični koordinatni sistem:

Nađimo jednadžbe površina u cilindričnim koordinatama:

Sada morate shvatiti redoslijed prelaska tijela.

Prvo, pozabavimo se projekcijom. Kako odrediti njegov redoslijed prelaska? TAKO ISTO KAO I SA izračunavanje dvostrukih integrala u polarnim koordinatama. Evo elementarno:

„Okomite“ granice integracije su takođe očigledne – ulazimo u telo kroz ravan i izlazimo iz njega kroz ravan:

Pređimo na ponovljene integrale:

U ovom slučaju odmah stavljamo faktor “er” u “naš” integral.

Kao i obično, metlu je lakše razbiti duž grančica:

1)

Rezultat stavljamo u sljedeći integral:

I ovdje ne zaboravljamo da se "phi" smatra konstantom. Ali ovo je za sada:

Odgovori:

Sličan zadatak koji ćete sami riješiti:

Primjer 8

Izračunajte volumen tijela ograničenog površinama pomoću trostrukog integrala. Nacrtajte crteže ovog tijela i njegovu projekciju na ravan.

Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Napominjemo da se u uslovima problema ne govori ni riječi o prelasku na cilindrični koordinatni sistem, a neupućena osoba će se boriti sa teškim integralima u Dekartovim koordinatama. ...Ili možda neće - ipak postoji treći, originalni ruski način rješavanja problema =)

Tek počinje! ...na dobar način :)

Primjer 9

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela ograničenog površinama

Skroman i ukusan.

Rješenje: ovo tijelo je ograničeno konusna površina I eliptični paraboloid. Čitatelji koji su pažljivo pročitali materijale članka Osnovne površine prostora, već smo zamišljali kako tijelo izgleda, ali u praksi se često dešavaju složeniji slučajevi, pa ću provesti detaljno analitičko rezonovanje.

Prvo, nalazimo linije duž kojih se sijeku površine. Sastavimo i riješimo sljedeći sistem:

Od prve jednačine oduzimamo drugi član po član:

Rezultat su dva korijena:

Zamenimo pronađenu vrednost u bilo koju jednačinu sistema:
, iz čega proizlazi da
Dakle, korijen odgovara jednoj tački - ishodištu. Naravno, jer se vrhovi razmatranih površina poklapaju.

Sada zamijenimo drugi korijen - također u bilo koju jednačinu sistema:

Koje je geometrijsko značenje dobijenog rezultata? „Na visini“ (u ravni) paraboloid i konus se sijeku duž krug– jedinični polumjer sa centrom u tački .

U ovom slučaju, "zdjela" paraboloida sadrži "lijevak" stošca, dakle formiranje Konusnu površinu treba nacrtati isprekidanom linijom (osim segmenta generatrikse koji je najudaljeniji od nas, koji je vidljiv iz ovog ugla):

Projekcija tijela na ravan je krug sa centrom na početku poluprečnika 1, što se nisam ni potrudio da prikažem zbog očiglednosti ove činjenice (međutim, dajemo pisani komentar!). Inače, u prethodna dva zadatka mogao bi se bodovati i crtež projekcije, da nije uslov.

Prilikom prelaska na cilindrične koordinate pomoću standardnih formula, nejednakost se ispisuje u najjednostavnijem obliku i nema problema s redoslijedom prelaska projekcije:

Nađimo jednadžbe površina u cilindričnom koordinatnom sistemu:

Budući da problem razmatra gornji dio konusa, izražavamo iz jednačine:

“Skeniramo tijelo” odozdo prema gore. Kroz njega ulaze zraci svjetlosti eliptični paraboloid i izlazi kroz konusnu površinu. Dakle, "vertikalni" redoslijed prelaska tijela je:

Ostalo je stvar tehnike:

Odgovori:

Nije neuobičajeno da se tijelo definira ne svojim graničnim površinama, već mnogim nejednačinama:

Primjer 10

Geometrijsko značenje Prostorne nejednakosti sam dovoljno detaljno objasnio u istom referentnom članku - Osnovne površine prostora i njihova konstrukcija.

Iako ovaj zadatak sadrži parametar, on omogućava izvođenje tačnog crteža koji odražava osnovni izgled tijela. Razmislite o tome kako izgraditi. Kratko rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

...pa, još par zadataka? Razmišljao sam da završim lekciju, ali osjećam da želiš još =)

Primjer 11

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu datog tijela:
, gdje je proizvoljan pozitivan broj.

Rješenje: nejednakost definira loptu sa centrom u početku radijusa , i nejednakosti – „unutrašnjost“ kružnog cilindra sa osom simetrije poluprečnika. Dakle, željeno tijelo je ograničeno kružnim cilindrom sa strane i sfernim segmentima simetričnim u odnosu na ravan na vrhu i dnu.

Uzimajući ovo kao osnovnu mjernu jedinicu, nacrtajmo:

Tačnije, trebalo bi ga nazvati crtežom, jer nisam dobro održao proporcije duž ose. Međutim, pošteno govoreći, uvjet nije zahtijevao crtanje bilo čega, a takva ilustracija se pokazala sasvim dovoljnom.

Imajte na umu da ovdje nije potrebno saznati visinu na kojoj cilindar izrezuje "kapice" iz lopte - ako uzmete kompas u ruke i koristite ga da označite krug sa centrom u početnom dijelu polumjera 2 cm, tada će se točke presjeka s cilindrom pojaviti same.

Primjeri rješenja proizvoljnih trostrukih integrala.
Fizičke primjene trostrukog integrala

U 2. dijelu lekcije razradit ćemo tehniku ​​rješavanja proizvoljnih trostrukih integrala , čiji integrand funkcija tri varijable u opštem slučaju razlikuje se od konstantnog i kontinuiranog u regionu; te se također upoznati sa fizičkim primjenama trostrukog integrala

Preporučujem da novi posjetitelji počnu sa 1. dijelom, gdje smo pokrili osnovne pojmove i problem pronalaženja volumena tijela pomoću trostrukog integrala. Predlažem da i ostali to malo ponovite. derivati ​​funkcija tri varijable, budući da ćemo u primjerima ovog članka koristiti inverznu operaciju - djelomična integracija funkcije

Osim toga, postoji još jedna važna stvar: ako se ne osjećate dobro, onda je bolje odgoditi čitanje ove stranice ako je moguće. I poenta nije samo u tome da će se sada povećati složenost proračuna – većina trostrukih integrala nema pouzdane načine ručne provjere, pa je vrlo nepoželjno krenuti u njihovo rješavanje u umornom stanju. Za niske tonove je preporučljivo riješi nešto lakše ili se samo opusti (strpljiv sam, čekat ću =)), pa da drugi put svježe glave nastavim razbijati trostruke integrale:

Primjer 13

Izračunaj trostruki integral

U praksi se tijelo također označava slovom, ali to nije baš dobra opcija, s obzirom na to, "ve" je "rezervisano" za oznaku zapremine.

Odmah ću vam reći šta NE treba raditi. Nema potrebe za korištenjem svojstva linearnosti i predstavljaju integral u obliku . Mada ako zaista želite, onda možete. Na kraju, postoji mali plus - iako će snimak biti dug, bit će manje zatrpan. Ali ovaj pristup još uvijek nije standardan.

U algoritmu rješenja biće malo novina. Prvo morate razumjeti domen integracije. Projekcija tijela na ravan je bolno poznat trokut:

Tijelo je ograničeno odozgo avion, koji prolazi kroz ishodište. Usput, morate prvo obavezno provjeri(mentalno ili na nacrtu), da li ova ravan “odsijeca” dio trougla. Da bismo to učinili, nalazimo njegovu liniju presjeka s koordinatnom ravninom, tj. Rešavamo najjednostavniji sistem: - Ne, ovaj ravno (nije na crtežu)“prolazi”, a projekcija tijela na ravan zaista predstavlja trougao.

Ni prostorni crtež ovdje nije komplikovan:

Zapravo, bilo je moguće ograničiti ga samo na ovo, jer je projekcija vrlo jednostavna. ...Pa ili samo projekcijski crtež, pošto je i tijelo jednostavno =) Međutim, ne crtati baš ništa, podsjećam, loš je izbor.

Pa, naravno, ne mogu a da vas ne obradujem konačnim zadatkom:

Primjer 19

Pronađite težište homogenog tijela ograničenog površinama, . Nacrtajte crteže ovog tijela i njegovu projekciju na ravan.

Rješenje: željeno tijelo je ograničeno koordinatnim ravnima i ravninom, što je pogodno za naknadnu konstrukciju prisutna u segmentima: . Odaberimo "a" kao mjernu jedinicu i napravimo trodimenzionalni crtež:

Crtež već ima gotovu tačku težišta, međutim, mi to još ne znamo.

Projekcija tijela na ravan je očigledna, ali, ipak, dopustite mi da vas podsjetim kako ga analitički pronaći - na kraju krajeva, takva jednostavnim slučajevima ne nalaze se uvijek. Da biste pronašli liniju duž koje se sijeku ravnine, morate riješiti sistem:

Zamijenite vrijednost u 1. jednačinu: i dobićemo jednačinu "ravno" ravno:

Koordinate težišta tijela izračunavamo pomoću formula
, gdje je zapremina tijela.