Dvostruki integrali. Definicija dvostrukog integrala i njegova svojstva. Iterirani integrali. Redukcija dvostrukih integrala na ponovljene. Uređenje granica integracije. proračun dvostruki integrali u kartezijanskom koordinatnom sistemu.

1. DVOSTRUKI INTEGRALI

1.1. Definicija dvostrukog integrala

Dvostruki integral je generalizacija koncepta određenog integrala na slučaj funkcije dvije varijable. U ovom slučaju, umjesto segmenta integracije, postojaće neka vrsta ravne figure.

Neka D je neka zatvorena ograničena domena, i f(x, y) je proizvoljna funkcija definirana i ograničena u ovoj domeni. Pretpostavićemo da su granice regiona D sastoji se od konačnog broja krivulja datih jednadžbama oblika y=f(x) ili x=g( y), Gdje f(x) I g(y) – kontinuirane funkcije.

R

Rice. 1.1

Azobem region D nasumično uključeno n dijelovi. Square i-ti dio će biti označen simbolom  s i. Na svakoj sekciji proizvoljno biramo tačku P i , i neka ima koordinate u nekom fiksnom kartezijanskom sistemu ( x i , y i). Hajde da komponujemo integralni zbir za funkciju f(x, y) po oblasti D, da bismo to učinili, nalazimo vrijednosti funkcije u svim točkama P i, pomnožite ih površinama odgovarajućih sekcija s i i sumiramo sve rezultate:

. (1.1)

Hajde da pozovemo prečnika diam(G) područje G najveća udaljenost između graničnih tačaka ovog područja.

dvostruki integral funkcije f(x, y) po regionu D naziva se granica kojoj teži niz integrala iznosi (1.1) uz neograničeno povećanje broja particija n (pri čemu
). Ovo je zapisano na sljedeći način

. (1.2)

Imajte na umu da, općenito govoreći, integralni zbir za datu funkciju a dato područje integracije ovisi o načinu podjele područja D i izbor bodova P i. Međutim, ako dvostruki integral postoji, onda to znači da granica odgovarajućih integralnih suma više ne zavisi od ovih faktora. Da bi dvostruki integral postojao(ili, kako kažu, to funkcija f(x, y) bio integrabilan u oblastiD), dovoljno je da je integrandkontinuirano u datoj oblasti integracije.

P

Rice. 1.2

st funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D. Budući da granica odgovarajućih integralnih suma za takve funkcije ne ovisi o načinu particioniranja domene integracije, particioniranje se može izvršiti pomoću vertikalnih i horizontalnih linija. Zatim većina dijelova regije D imaće pravougaoni oblik, čija je površina jednaka  s i =x i y i. Stoga se diferencijalna površina može zapisati kao ds= dxdy. dakle, u kartezijanskom koordinatnom sistemu dvostruki integrali može se napisati u formi

. (1.3)

Komentar . Ako je integrand f(x, y)1, tada će dvostruki integral biti jednak površini regije integracije:

. (1.4)

Imajte na umu da dvostruki integrali imaju ista svojstva kao i definitivni integrali. Zabilježimo neke od njih.

Svojstva dvostrukih integrala.

1 0 . Linearno svojstvo. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:

a konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

.

2 0 . Aditivno svojstvo. Ako je područje integracijeDpodijeljeno na dva dijela, tada će dvostruki integral biti jednak zbiru integrala nad svakim dijelom:

.

3 0 . Teorema srednje vrijednosti. Ako je funkcija f( x, y)kontinuirano u regionuD, onda u ovoj oblasti postoji takva tačka() , Šta:

.

Tada se postavlja pitanje: kako se izračunavaju dvostruki integrali? Može se izračunati približno, u tu svrhu su razvijene efikasne metode za sastavljanje odgovarajućih integralnih suma, koji se zatim numerički izračunavaju pomoću računara. U analitičkom proračunu dvostrukih integrala oni se svode na dva određena integrala.

1.2. Iterirani integrali

Ponovljeni integrali su integrali oblika

. (1.5)

U ovom izrazu prvo se izračunava unutrašnji integral, tj. najprije se vrši integracija preko varijable y(dok je varijabla x pretpostavlja se konstantnim). Kao rezultat integracije preko y dobiti neku funkciju x:

.

Rezultirajuća funkcija se zatim integrira preko x:

.

Primjer 1.1. Izračunaj integrale:

A)
, b)
.

Rješenje . a) Hajde da se ponovo integrišemo y, pod pretpostavkom da je varijabla x= konst. Nakon toga izračunavamo integral preko x:

.

b) Pošto se u unutrašnjem integralu integracija vrši preko varijable x, To y 3 se može uzeti u vanjski integral kao konstantni faktor. Zbog y 2 u internom integralu smatra se konstantnom vrijednošću, tada će ovaj integral biti tabelarni. Uzastopnim integrisanjem preko y I x, dobijamo

Postoji veza između dvostrukih integrala i iteriranih integrala, ali prvo pogledajmo jednostavna i složena područja. Područje se zove jednostavno u bilo kojem smjeru ako bilo koja linija povučena u tom smjeru siječe granicu regije u najviše dvije tačke. U Dekartovom koordinatnom sistemu obično se razmatraju pravci duž ose O x i O y. Ako je područje jednostavno u oba smjera, onda se ukratko kaže - jednostavno područje, bez isticanja smjera. Ako domena nije jednostavna, onda se kaže da jeste kompleks.

L

a b

Rice. 1.4

Bilo koja složena domena može se predstaviti kao zbir jednostavnih domena. Prema tome, svaki dvostruki integral se može predstaviti kao zbir dvostrukih integrala nad jednostavnim domenima. Stoga ćemo u nastavku uglavnom razmatrati samo integrale nad jednostavnim domenima.

Teorema . Ako je područje integracijeD– jednostavno u smjeru osiOy(vidi sliku 1.4a), tada se dvostruki integral može zapisati kao iterirani na sljedeći način:

; (1.6)

ako je područje integracijeD– jednostavno u smjeru osiOx(vidi sliku 1.4b), tada se dvostruki integral može zapisati kao ponovljeni na sljedeći način:

. (1.7)

E

Rice. 1.3

Ako je područje integracije ispravno u oba smjera, tada se može proizvoljno odabrati oblik iteriranog integrala, ovisno o lakoći integracije.

1.3. POSTAVLJANJE GRANICA INTEGRACIJE

1.3.1. Pravougaona oblast integracije

P

Rice. 1.5

Prilikom svođenja dvostrukih integrala na iterirane, glavna poteškoća nastaje u postavljanju granica u unutrašnjim integralima. Najlakši način da to učinite je za pravougaone površine (vidi sliku 1.5).

Primjer 1.2. Izračunaj dvostruki integral

.

Rješenje . Dvostruki integral pišemo u obliku iteriranog:

.

1.3.2. Arbitrarna regija integracije

Da bismo prešli sa dvostrukog integrala na iterirani, slijedi:

konstruisati domen integracije;

postaviti granice u integralima, pritom zapamtiti da granice vanjskog integrala moraju biti konstantne vrijednosti (tj. brojevi) bez obzira na to za koju se varijablu vanjski integral izračunava.

Primjer 1.3. Postavite granice integracije u odgovarajućim iteriranim integralima za dvostruki integral

ako a)
b)

R

Rice. 1.6

rješenje . A) Nacrtajte područje integracije D(vidi sliku 1.6). Neka se integracija u vanjskom integralu izvrši preko varijable x, iu unutrašnjem y. Postavljanje granica uvijek treba početi s vanjskim integralom, u ovom slučaju s promjenljivom x. Iz slike se vidi da x mijenja se od 0 do 1, dok se vrijednosti varijable yće se promijeniti od vrijednosti na pravoj liniji y= x do vrijednosti na pravoj liniji y=2x. Dakle, dobijamo

.

Neka se sada integracija u vanjskom integralu izvede prema y, iu unutrašnjem x. U ovom slučaju, vrijednosti y promijenit će se od 0 do 2. Međutim, tada je gornja granica promjene vrijednosti varijable x sastojaće se od dva dela x= y/2 i x=1. To znači da se područje integracije mora podijeliti na dva dijela prave linije y=1. Tada se u prvom području y mijenja od 0 do 1, i x od pravog x= y/2 na ravno x= y. U drugoj regiji, y se mijenja sa 1 na 2, i x- od pravog x= y/2 na ravno x=1. Kao rezultat, dobijamo

.

b

Rice. 1.7

) Konstruirajmo oblast integracije D(vidi sliku 1.7). Neka se izvede integracija u vanjski integral x, iu unutrašnjem y. U ovom slučaju, prilikom promjene x-1 do 1 promjena u varijabli y odozgo će biti ograničen s dvije linije: kružnicom i pravom linijom. Na segmentu [–1; 0] y promjene od y=0 do
; na segmentnu varijablu y promjene od y=0 do y=1–x. dakle,

.

Neka se sada izvrši integracija u vanjski integral y, iu unutrašnjem x. U ovom slučaju yće se promijeniti od 0 do 1, a varijabla x- iz luka kružnice
na ravno x=1–y. Kao rezultat, dobijamo

.

Ovi primjeri pokazuju koliko je važno odabrati pravi red integracije.

Primjer 1.4. Promijenite redosljed integracije

A)
; b)
.

R

Rice. 1.8

rješenje . A) Hajde da izgradimo oblast integracije. Na segmentu za x varijabla y mijenja iz ravnog y=0 do pravog y= x. Kao rezultat, dobija se sljedeća oblast integracije (vidi sliku 1.8). Na osnovu konstruisane figure postavljamo granice integracije

.

b) Hajde da izgradimo oblast integracije. Na segmentu za y varijabla x mijenja iz ravnog x=y to parabola
; na segmentu - od prave linije x=y na ravno x= 3/4. Rezultat je sljedeća oblast integracije (vidi sliku 1.9). Na osnovu konstruisane figure postavljamo granice integracije,

.

Dvostruki integral ima svojstva slična osobinama određenog integrala. Istaknimo samo glavne:

1. Ako su funkcije i
integrabilan u oblasti
, tada su njihov zbir i razlika integrabilni u njega, i

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka dvostrukog integrala:

3. Ako
integrabilan u oblasti
, a ovo područje je podijeljeno na dva područja koja se ne sijeku I
, To

.

4. Ako
I
integrabilan u oblasti
, pri čemu

, To

.

5. Ako je u području
funkcija
zadovoljava nejednakosti


,Gdje
I
onda neki realni brojevi

,

Gdje – područje regije
.

Dokazi ovih svojstava su slični dokazima odgovarajućih teorema za određeni integral.

Izračunavanje dvostrukog integrala u pravokutnim Dekartovim koordinatama

Neka je potrebno izračunati dvostruki integral
, gdje je područje je pravougaonik definiran nejednačinama ,.

Pretvarajmo se to
je kontinuiran u ovom pravokutniku i u njemu uzima nenegativne vrijednosti, tada je ovaj dvostruki integral jednak volumenu tijela sa bazom omeđen odozgo površinom
, sa strana - avioni
,
,
,
:

.

S druge strane, volumen takve figure može se izračunati korištenjem određenog integrala:

,

Gdje
- površina presjeka datog tijela ravninom koja prolazi kroz tačku i okomito na osu
. A budući da je presjek koji se razmatra krivolinijski trapez
, omeđen odozgo grafom funkcije
, Gdje fiksno, i , To

.

Iz ove tri jednakosti slijedi da

.

Dakle, izračunavanje ovog dvostrukog integrala je svedeno na izračunavanje dva određena integrala; kada se računa "unutrašnji integral" (napisano u zagradama) smatra trajnim.

Komentar. Može se pokazati da posljednja formula vrijedi i za
, kao i u slučaju kada je funkcija
mijenja znak u navedenom pravokutniku.

Desna strana formule naziva se iterirani integral i označava se na sljedeći način:

.

Slično, to se može pokazati

.

Iz navedenog proizilazi da

.

Posljednja jednakost znači da rezultat integracije ne ovisi o redoslijedu integracije.

Da bismo razmotrili opštiji slučaj, uvodimo pojam standardne domene. Standardna (ili pravilna) regija u smjeru date ose je takva regija za koju bilo koja prava linija paralelna ovoj osi siječe granicu regije u najviše dvije točke. Drugim riječima, samo jednim linijskim segmentom siječe sam region i njegovu granicu.

Pretpostavimo da je ograničeno područje

i omeđen odozgo grafom funkcije
, ispod - grafikon funkcije
. Neka R( ,) - minimalni pravougaonik koji obuhvata datu oblast
.

Pustite u okolinu
definirana i kontinuirana funkcija
. Hajde da predstavimo novu funkciju:

,

zatim, u skladu sa svojstvima dvostrukog integrala

.

I zbog toga

.

Od segmenta
u potpunom vlasništvu regiona
onda, dakle,
at


, i ako dakle leži izvan ovog segmenta
.

Na fiksni možemo napisati:

.

Pošto su prvi i treći integral na desnoj strani jednaki nuli, onda

.

dakle,

.

Iz koje dobijamo formulu za izračunavanje dvostrukog integrala nad standardom regiona u odnosu na osu
svođenjem na iterirani integral:

.

Ako područje
je standardno u smjeru osi
a određen je nejednakostima ,

, na sličan način se to može dokazati

.

Komentar. Za područje
, standardno u smjeru osi
I
, obje posljednje jednakosti će biti zadovoljene, dakle

Ova formula mijenja red integracije prilikom izračunavanja odgovarajućeg dvostrukog integrala.

Komentar. Ako područje integracije nije standardno (ispravno) u smjeru obje koordinatne ose, tada se dijeli na zbir standardnih površina i integral se predstavlja kao zbir integrala nad tim površinama.

Primjer. Izračunaj dvostruki integral
po regionu
omeđen linijama:
,
,
.

Rješenje.

Ovo područje je standardno u odnosu na os
, kao i oko ose
.

Računamo integral, smatrajući površinu standardnom u odnosu na osu
.

.

Komentar. Ako izračunamo integral, smatrajući površinu standardnom u odnosu na osu
, dobijamo isti rezultat:

.

Primjer. Izračunaj dvostruki integral
po regionu
omeđen linijama:
,
,
.

Rješenje. Opišimo dato područje integracije na slici.

Ovo područje je standardno u odnosu na os
.

.

Primjer. Promijenite redosljed integracije u iteriranom integralu:

Rješenje. Hajde da opišemo region integracije na slici.

Od granica integracije nalazimo linije koje ograničavaju područje integracije: ,
,
,
. Za promjenu redoslijeda integracije izražavamo kao funkcija i pronađite tačke raskrsnice:

,
,
.

Budući da je na jednom od intervala funkcija izraženo sa dva analitička izraza, onda se integraciona oblast mora podeliti na dve oblasti, a ponovljeni integral predstaviti kao zbir dva integrala.

.

1.1 Definicija dvostrukog integrala

1.2 Svojstva dvostrukog integrala

Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima pojedinačnog određenog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) integrabilna u domenu D i ako je domena D podijeljena krivuljom Γ površine nula na dvije povezane domene D 1 i D 2 bez zajedničkih unutrašnjih tačaka, tada je funkcija f(x, y) je integrabilna u svaki iz regiona D 1 i D 2 , i

2°. Linearno svojstvo. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, ha? I? - bilo koji realni brojevi, zatim funkcija [? f(x, y) + ? g(x, y)] je takođe integrabilna u domenu D, i

3°. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, onda je proizvod ovih funkcija također integrabilan u D.

4°. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) obje integrabilne u domeni D i svuda u ovoj domeni f(x, y) ? g(x, y), onda

5°. Ako je funkcija f(x, y) integrabilna u domenu D, onda je funkcija |f(x, y)| je integrabilna u domenu D, i

(Naravno, integrabilnost |f(x, y)| u D ne implicira integrabilnost f(x, y) u D.)

6°. Teorema srednje vrijednosti. Ako su obje funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, funkcija g(x, y) je nenegativna (nepozitivna) svuda u ovoj domeni, M i m su najbolje gornje i donje granice funkcije f( x, y) u domeni D, onda postoji broj? koji zadovoljava nejednakost m ? ? ? M i takav da je formula

Konkretno, ako je funkcija f(x, y) kontinuirana u D, a domen D je povezan, onda u ovom domenu postoji takva tačka (?, ?), šta? = f(?, ?), i formula postaje

7°. Bitan geometrijsko svojstvo. jednaka površini regije D

Neka je tijelo T dato u prostoru (slika 2.1), ograničeno odozdo regijom D, odozgo - grafom kontinuirane i nenegativne funkcije) z = f (x, y,) koja je definirana u regionu D, sa strana - cilindrična površina, čiji je vodič granica područja D, a generatori su paralelni sa osom Oz. Tijelo ove vrste naziva se cilindrično tijelo.

1.3 Geometrijska interpretacija dvostrukog integrala

1.4 Koncept dvostrukog integrala za pravougaonik

Neka je proizvoljna funkcija f(x, y) definirana svuda na pravokutniku R = ? (Vidi sliku 1).

Podijelimo segment a ? x? b na n parcijalnih segmenata koristeći tačke a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Ova podjela pomoću pravih linija paralelnih sa osama Ox i Oy odgovara podjeli pravougaonika R na n · p parcijalnih pravougaonika R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Označena pregrada pravougaonika R će biti označena simbolom T. U daljem tekstu, u ovom odeljku, termin "pravougaonik" će označavati pravougaonik sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osa.

Na svakom parcijalnom pravougaoniku R kl biramo proizvoljnu tačku (? k , ? l). Stavljajući?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, označavamo sa?R kl površinu pravokutnika R kl. Očigledno, ?R kl = ?x k ?y l .

naziva se integralni zbir funkcije f(x, y) koja odgovara datoj particiji T pravokutnika R i datom izboru međutačaka (?k, ?l) na parcijalnim pravokutnicima particije T.

Dijagonala će se zvati prečnik pravougaonika R kl. Simbol? označavamo najveći od promjera svih parcijalnih pravokutnika R kl .

Broj I se zove granica integralnih suma (1) za? > 0 ako za bilo koji pozitivan broj? ovo možete odrediti pozitivan broj?, u čemu?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I |< ?.

Funkcija f(x, y) naziva se integrabilnom (prema Riemannu) na pravokutniku R ako postoji konačan limit I integralnih suma ove funkcije na? > 0.

Ova granica I naziva se dvostrukim integralom funkcije f(x, y) nad pravokutnikom R i označava se jednim od sljedećih simbola:

Komentar. Na isti način kao i za jednokratni definitivni integral, ustanovljeno je da je bilo koja funkcija f(x, y) integrabilna na pravougaoniku R ograničena na ovaj pravougaonik.

Ovo daje osnovu da se u nastavku razmatraju samo ograničene funkcije f(x, y).

Tangenta i normalna površina

Definicija. normalno na površinu u tački N 0 naziva se prava linija koja prolazi kroz tačku N 0 okomita na tangentnu ravan na ovu površinu.

U nekom trenutku površina ima ili samo jednu tangentnu ravan, ili je uopšte nema.

Ako je površina data jednadžbom z = f (x, y), gdje je f (x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u tački N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednačinu:

Jednačina za normalu na površinu u ovoj tački je:

geometrijskog smisla totalni diferencijal funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza iz tačke (x 0, y 0) ) do tačke (x 0 + Dx, y 0 +Dy).

kao što se vidi, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Primjer. Naći jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu

u tački M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravni:

Normalna jednačina:

Proračun dvostrukog integrala u polarnim koordinatama.

Neka je površina D ograničena pravom r = r() i zraci = I = , gdje i r su polarne koordinate tačke na ravni pridružene njenim kartezijanskim koordinatama x I y

Omjeri (slika 5). U ovom slučaju

Komentar. Ako je područje D u Kartezijanske koordinate ax je dat jednadžbom koja sadrži binom, na primjer, itd., tada je zgodnije izračunati dvostruki integral nad takvim područjem u polarnim koordinatama.

Dvostruki integral. Osnovne definicije i svojstva.

Dvostruki integrali.

Razmotrimo neku zatvorenu krivu na ravni, čija je jednačina

Skup svih tačaka koje leže unutar krive i na samoj krivulji naziva se zatvoreno područje D. Ako odaberete točke područja bez uzimanja u obzir tačaka koje leže na krivulji, područje će se zvati otvoreno područje D.

Sa geometrijske tačke gledišta, D je površina figure ograničena konturom.

Podijelimo regiju D na n djelomičnih regija pomoću mreže pravih linija koje su međusobno razmaknute duž x ose rastojanjem Dh i , a duž y ose sa Du i . Uopšteno govoreći, takav redoslijed podjele nije obavezan, moguće je podijeliti regiju na djelomične dijelove proizvoljnog oblika i veličine.

Dobijamo da je površina S podijeljena na elementarne pravokutnike, čije su površine jednake S i = Dx i × Dy i .

U svakoj parcijalnoj oblasti uzimamo proizvoljnu tačku R(h i , y i) i sastavljamo integralni zbir

gdje je f kontinuirana i jednoznačna funkcija za sve tačke domene D.

Ako se broj parcijalnih regija D i beskonačno povećava, tada, očigledno, površina svake parcijalne regije S i teži nuli.

definicija: Ako, kao korak particioniranja domene D teži nuli, integralni sumi imaju konačnu granicu, tada se ova granica naziva dvostruki integral iz funkcije f(x, y) preko domene D.

Uzimajući u obzir činjenicu da je S i = Dx i × Dy i dobijamo:

U gornjem unosu postoje dva znaka S, jer. sumiranje se vrši preko dvije varijable x i y.

Jer podjela integracionog područja je proizvoljna, a izbor tačaka R i je također proizvoljan, onda, s obzirom da su sve oblasti S i iste, dobijamo formulu:

Uslovi za postojanje dvostrukog integrala.

Hajde da formulišemo dovoljne uslove postojanje dvostrukog integrala.

Teorema. Ako je funkcija f(x, y) kontinuirana u zatvorenom domenu D, tada postoji dvostruki integral

Teorema. Ako je funkcija f(x, y) ograničena u zatvorenom domenu D i kontinuirana u njoj svuda osim za konačan broj glatkih linija, tada postoji dvostruki integral.

Svojstva dvostrukog integrala.

3) Ako je D \u003d D 1 + D 2, onda

4) Teorema srednje vrijednosti. Dvostruki integral funkcije f(x, y) jednak je proizvodu vrijednosti ove funkcije u nekoj tački regije integracije i površine regije integracije.

5) Ako je f(x, y) ³ 0 u D, onda .

6) Ako je f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), onda .

#43 Definicija Pretpostavimo da je kriva C dato vektorska funkcija gdje je varijabla s− dužina luka krive. Zatim derivacija vektorske funkcije

Predstavlja jedinični vektor usmjeren duž tangente na datu krivu (slika 1).
U gornjoj formuli α, β I γ − uglovi između tangente i pozitivnog smjera osi O x, O y i O z, odnosno.

Uvodimo vektorsku funkciju definiranu na krivulji C, tako da je za skalarnu funkciju

Postojao je krivolinijski integral koji se naziva krivolinijski integral druge vrste vektorske funkcije duž krive C i označava se kao

Dakle, po definiciji,

gdje je jedinični vektor tangente na krivu C.
Posljednja formula se također može prepisati u vektorskom obliku:

Gdje.
Ako je kriva C leži u ravni O xy, onda pod pretpostavkom R= 0, dobijamo

Svojstva krivolinijskog integrala druge vrste

Krivolinijski integral druge vrste ima sljedeća svojstva: Neka C označava krivu s ishodištem u tački A i krajnja tačka B. Označiti sa −C krivulja suprotnog smjera - od B To A. Onda

Ako C− unija krivih C 1 i C 2 (slika 2 iznad), zatim Ako je kriva C je dat parametarski u obliku , onda Ako je kriva C leži u ravni O xy i data je jednačina Tm (pretpostavlja se da je R= 0 i t=x), tada se posljednja formula piše kao

#49 Površina F je data eksplicitno z = z(x,y), (x,y)n D (kompaktna),

gdje z(x,y) ima kontinuirane parcijalne izvode prvog reda u D, funkcija f(x,y,z) je definirana i kontinuirana na F. Tada postoji integral jednak

Dokaz. Za oblasti, dobijamo

Tada će integralni zbroji biti jednaki

Prvi od zbroja je integralni za , drugi se može učiniti proizvoljno malim odabirom dovoljno male particije. Ovo posljednje slijedi iz uniformnog kontinuiteta funkcije f(x,y,z(x,y)) na D.

#40 (nastavak) Dovoljan uslov za postojanje krivolinijski integral Prva vrsta će biti formulisana kasnije, kada pokažemo kako je izračunati.

Definicija krivolinijskog integrala prve vrste u smislu strukture je ista kao i definicija određenog integrala. Dakle, krivolinijski integral prve vrste ima ista svojstva kao i definitivni integral. Predstavljamo ova svojstva bez dokaza.

SVOJSTVA KRIVOLINEARNOG INTEGRALA PRVE VRSTE

1. , gdje je dužina krive .

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka krivolinijskog integrala prve vrste, tj.

3. Krivolinijski integral prve vrste algebarskog zbira dvije (konačno mnogo) funkcija jednak je algebarskom zbiru krivolinijskih integrala prve vrste ovih funkcija, tj.

4. Ako je kriva podijeljena na dva dijela i , nema zajedničkih unutrašnjih tačaka, onda

(osobina aditivnosti krivolinijskog integrala prve vrste).

5. Ako je funkcija () svuda na krivulji, onda

6. Ako svuda na krivini (),

7. (posledica svojstava 6 i 1) Ako su i najmanja i najveća vrijednost funkcije na krivulji, tada

gdje je dužina krive.

8. (teorema o srednjoj vrijednosti za krivolinijski integral prve vrste) Ako je funkcija kontinuirana na krivulji , tada postoji tačka takva da je jednakost

gdje je dužina krive.

#42 Dužina krivulje.

Ako je integrand f(x, y, z) ≡ 1, onda iz definicije krivolinijskog integrala 1. vrste dobijamo da je on u ovom slučaju jednak dužini krive duž koje se vrši integracija:

Krivulja mase.

Uz pretpostavku da integrand γ (x, y, z) određuje gustinu svake tačke krive, nalazimo masu krive po formuli

3. Pronalazimo momente krive l, argumentirajući na isti način kao u slučaju ravne regije: -

statične momente ravna kriva l oko osa Ox i Oy;

moment inercije prostorne krive u odnosu na ishodište;

· momenti inercije krive u odnosu na koordinatne ose.

4. Koordinate centra mase krive se izračunavaju po formulama

#38(2) Promjena varijabli u trostrukim integralima

Prilikom izračunavanja trostrukog, kao i dvostrukog integrala, često je zgodno izvršiti promjenu varijabli. Ovo omogućava pojednostavljenje oblika domene integracije ili integranda.

Neka je originalni trostruki integral zadan u kartezijanskim koordinatama x, y, z u domeni U:

Potrebno je izračunati ovaj integral u novim koordinatama u, v, w. Odnos između starih i novih koordinata opisan je relacijama:

Pretpostavlja se da su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Funkcije φ, ψ, χ su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima;

2. Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka regiona integracije U u prostoru xyz i tačaka regiona U" u prostoru uvw;

3. Jakobijan transformacije I (u, v, w), jednak

je različit od nule i zadržava konstantan predznak svuda u domenu integracije U.

Tada se formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu piše kao:

U gornjem izrazu znači apsolutna vrijednost Jacobian.

#38 Trostruki integrali u sfernim koordinatama

Sferne koordinate tačke M(x,y,z) su tri broja − ρ, φ, θ , gdje je

ρ je dužina radijus vektora tačke M;

φ je ugao formiran projekcijom vektora radijusa na Oxy ravan i Ox osu;

θ je ugao odstupanja radijus vektora od pozitivnog smjera ose Oz (slika 1).

Imajte na umu da se definicije ρ, φ u sfernim i cilindričnim koordinatama razlikuju jedna od druge.

Sferne koordinate tačke odnose se na njene kartezijanske koordinate

Jakobijan prijelaza iz kartezijanskih u sferne koordinate ima oblik:

Proširujući determinantu u drugoj koloni, dobijamo

Prema tome, apsolutna vrijednost Jakobijana je

Stoga formula za promjenu varijabli pri pretvaranju kartezijanskih koordinata u sferne ima oblik:

Pogodnije je izračunati trostruki integral u sfernim koordinatama kada je domen integracije U lopta (ili neki njen dio) i/ili kada integrand ima oblik f (x2 + y2 + z2).

Površina

Odaberemo tačku M0 na glatkoj površini (zatvorenu ili ograničenu glatkom konturom) i u njoj nacrtamo normalu na površinu, birajući joj određeni smjer (jedan od dva moguća). Nacrtajmo zatvorenu konturu duž površine, počevši i završavajući u tački M0. Razmotrimo tačku M koja zaobilazi ovu konturu i u svakom njenom položaju crtamo normalu u smjeru u koji normala kontinuirano prelazi iz prethodne tačke. Ako se nakon prelaska konture normala vrati u tačku M0 u prvobitni položaj za bilo koji izbor tačke M0 na površini, površina se naziva dvostranom. Ako se, međutim, smjer normale promijeni u suprotan nakon obilaska barem jedne tačke, površina se naziva jednostrana (primjer jednostrane površine je Möbiusova traka). Iz prethodnog slijedi izbor pravca normale u jednoj tački jednoznačno određuje pravac normale u svim tačkama površine.

Definicija

Skup svih tačaka površine sa istim smjerom normale naziva se stranica površine.

Površinska orijentacija.

Razmotrimo nezatvorenu glatku dvostranu površinu S ograničenu konturom L i odaberite jednu stranu ove površine.

Definicija

Nazovimo pozitivnim smjer zaobilaženja konture L, u kojem se kretanje duž konture događa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u odnosu na promatrača koji se nalazi na krajnjoj tački normale na bilo koju tačku površine S koja odgovara odabranoj strani površine. Obrnuti smjer zaobilaženje konture će se zvati negativnim.

Vektorski tok polja.

Razmotrimo vektorsko polje A(M) definisano u prostornom domenu G, orijentisanu glatku površinu S G i polje jediničnih normala n(M) na odabranoj strani površine S.

Definicija 13.3. Površinski integral 1. vrste , (13.1)

gdje je An skalarni proizvod odgovarajućih vektora, a Ap projekcija vektora A na pravac normale, naziva se protok vektorskog polja A(M) kroz odabranu stranu površine S.

Napomena 1.

Ako odaberete drugu stranu površine, tada će normala, a samim tim i protok promijeniti predznak.

Napomena 2.

Ako vektor A specificira brzinu protoka fluida u datoj tački, tada integral (13.1) određuje količinu fluida koja teče u jedinici vremena kroz površinu S u pozitivnom smjeru (otuda opći naziv "protok").

№53 Površinski integral druge vrste. Definicija i St. Islands.

Definicija

Uzmite u obzir dvostranu površinu, glatku ili glatku u komadima, i fiksirajte jednu od njene dvije strane, što je ekvivalentno odabiru određene orijentacije na površini.

Radi određenosti, prvo pretpostavimo da je površina data eksplicitnom jednačinom i da se tačka mijenja u području na ravni , ograničenom komadično glatkom konturom.

Neka je sada neka funkcija definirana u tačkama date površine. Dijeleći površinu mrežom komadno glatkih krivulja na dijelove i odabirom točke na svakom takvom dijelu, izračunavamo vrijednost funkcije u datoj točki i množimo je s površinom projekcije na ravninu elementa, opremljenu sa određenim predznakom. Napravimo integralni zbir:

Konačna granica ove integralne sume pošto prečnici svih delova teže nuli naziva se površinski integral druge vrste

proširen na odabranu stranu površine i označen simbolom

(ovdje ) podsjeća na površinu projekcije elementa površine na ravan

Ako, umjesto u ravninu, projiciramo elemente površine na ravan ili , tada ćemo dobiti dva druga površinska integrala drugog tipa:

U aplikacijama, najčešće kombinacije integrala svih ovih tipova su:

gdje su funkcije , definirane u točkama površine .

Odnos površinskih integrala druge i prve vrste

Gdje je jedinični vektor normale površine - orth.

Svojstva

1. Linearnost: ;

2. Aditivnost: ;

3. Kada se orijentacija površine promijeni, površinski integral mijenja predznak.

br. 60 Operaternable (Hamilton operater) je vektorski diferencijalni operator, označen simbolom (nabla). Za trodimenzionalni euklidski prostor u pravokutnim Dekartovim koordinatama, nabla operator je definiran na sljedeći način: gdje su jedinični vektori duž x, y, z osa.

Svojstva nabla operatora. Ovaj vektor ima smisla kada se kombinuje sa skalarnom ili vektorskom funkcijom na koju se primenjuje.Ako vektor pomnožite sa skalarom φ, dobićete vektor koji predstavlja gradijent funkcije. Ako se vektor skalarno pomnoži sa vektorom, rezultat je skalar

odnosno divergenciju vektora . Ako se pomnoži sa vektorom, onda dobijamo rotor vektora:

Napomena: što se tiče oznake skalarnog i vektorskog proizvoda općenito, u slučaju njihove upotrebe s nabla operatorom, uz one korištene gore, često se koriste alternativne oznake koje su njima ekvivalentne, na primjer, često pišu umjesto , i umjesto toga napisati ; ovo važi i za formule date u nastavku.

Prema tome, skalarni proizvod je skalarni operator, nazvan Laplaceov operator. Ovo posljednje je također označeno. U Dekartovim koordinatama Laplaceov operator je definiran na sljedeći način: Pošto je nabla operator diferencijalni operator, pri transformaciji izraza potrebno je uzeti u obzir i pravila vektorske algebre i pravila diferencijacije. Na primjer:

Odnosno, derivacija izraza koji zavisi od dva polja je zbir izraza u svakom od kojih je samo jedno polje podvrgnuto diferencijaciji. Radi lakšeg označavanja na koja polja djeluje nabla, uobičajeno je pretpostaviti da u proizvodu polja i operatora svaki operator djeluje na izraz desno od njega, a ne djeluje na sve lijevo. Ako je potrebno da operator djeluje na polje lijevo, ovo polje se nekako označava, na primjer, stavljanjem strelice iznad slova: Ovaj oblik notacije se obično koristi u srednjim transformacijama. Zbog svoje neugodnosti, pokušavaju se riješiti strelica u konačnom odgovoru.

№61 Vektorske diferencijalne operacije drugog reda Zovu se sljedećih pet operacija:

1. gdje je Laplaceov operator.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Ovdje je vektorska količina dobivena primjenom Laplaceovog operatora na svaku projekciju vektora .

- - - - - - - - - - - - - - -

Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Redukcija dvostrukog integrala na iterirani Promjena varijabli u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jacobian i njegovo geometrijsko značenje Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama

Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala. Definicija dvostrukog integrala. Do koncepta dvostrukog integrala dolazimo rješavanjem specifičnog problema izračunavanja zapremine cilindričnog tijela. Cilindrično tijelo je tijelo ograničeno ravninom xOy, nekom površinom i cilindričnom površinom, čiji su generatori paralelni s osi (vidi sliku 1). Područje D promjene varijabli x i y naziva se baza cilindričnog tijela. Prilikom određivanja zapremine tijela polazit ćemo od dva principa: !) ako je tijelo podijeljeno na dijelove, tada je njegova zapremina jednaka zbiru zapremina svih dijelova (osobina aditivnosti); 2) zapremina pravog cilindra omeđenog ravninom z = const, paralelnom ravni xOy, jednaka je površini osnove pomnoženoj sa visinom. U nastavku ćemo pretpostaviti da je domena D povezana (sastoji se od jednog dijela), kvadratna (tj. ima površinu) i omeđena (tj. smještena unutar nekog kruga sa središtem u početku). Neka je kontinuirana funkcija tačke P(x, y) u domeni svuda u domeni Z>, tj. da razmatrana cilindrična površina leži u potpunosti iznad ravni xOy. Zapreminu cilindričnog tijela označavamo sa V. Podijelimo područje D - bazu cilindričnog tijela - na određeni broj n kvadratnih područja proizvoljnog oblika koji se ne seku; zvaćemo ih parcijalnim regionima. Nakon numerisanja parcijalnih regiona nekim redom, oblasti - kroz, respektivno. Prečnik parcijalnog regiona Dk nazivamo veličinom Problem koji dovodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Redukcija dvostrukog integrala na iterirani Promena varijabli u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jacobian i njegovo geometrijsko značenje Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama gdje simbol p(P; Q) označava udaljenost između tačaka P i Q. Neka d označava najveći od prečnika parcijalnih oblasti Dk (k = 1,2,...,n). Nacrtajmo cilindričnu površinu kroz granicu svake parcijalne regije sa generatorima paralelnim sa Oz osom. Kao rezultat toga, cilindrično tijelo će biti podijeljeno na n djelomičnih cilindričnih tijela. Zamenimo k-to parcijalno telo ravnim cilindrom sa istom osnovom i visinom jednakom aplikatu neke tačke zamenjene površine (sl. 2). Zapremina takvog cilindra je mjesto gdje je tačka površina područja Dk. Nakon što smo uradili opisane konstrukcije za svako parcijalno cilindrično tijelo, dobili smo tijelo s n korakom, čija zapremina (o) Intuitivno je jasno da Vn izražava željeni volumen V što su točnije što su dimenzije parcijalnih područja Dk manje. . Prihvatamo zapreminu V cilindričnog tijela kao jednaku granici do koje teži volumen (1) n-stepenog tijela jer najveći prečnik d parcijalnih područja Dk teži nuli n. Naravno, granica ne treba da zavisi od tipa podele domena D na parcijalne domene Dk i od izbora tačaka Pk u parcijalnim domenima. Neka je f(x, y) proizvoljna funkcija definirana u domeni D. Zbir n (1) naziva se integralni zbir funkcije f(x)y) nad domenom D koja odgovara datoj particiji ove domene na n parcijalnih domena i dat izbor tačaka ®*,!/*) na parcijalnim domenima Dk. Definicija. Ako za d - * 0 postoji granica integralnih suma n koja ne zavisi od metode dijeljenja domene D na parcijalne domene, niti od izbora tačaka Pk u parcijalnim domenama, onda se to naziva dvostrukim integralom od funkcija f(P) (ili f(x, y )) nad domenom D i označena je simbolom ILI Dakle, (2) Funkcija f(x, y) sama se naziva integrabilnom u domenu D (f( P) je integrand, f(P) dS je integrand, dS je diferencijal (ili element) površine, područje D je područje integracije; tačka P (®, y) je varijabla fina integracija) . ,.. Vraćajući se na cilindrično tijelo, zaključujemo: zapremina cilindričnog tijela ograničenog ravninom xOy, površine i cilindrične površine s generatorima paralelnim osi Oz jednaka je dvostrukom integralu funkcije f(x , y) preko oblasti D, koja je osnova cilindričnog tijela. / ILI Ovdje je dx dy element površine u Dekartovim koordinatama. Ovo je geometrijsko značenje dvostrukog integrala nenegativne funkcije. Ako tada volumen If u području D funkcije f (P) ima i pozitivne i negativne vrijednosti, tada integral predstavlja algebarski zbir volumena onih dijelova tijela koji se nalaze iznad ravni xOy (uzeti sa znak “+”), a oni dijelovi tijela koji se nalaze ispod ravni xOy (uzeti sa znakom “-”). Različiti problemi dovode do kompilacije suma oblika (1) za funkciju dvije nezavisne varijable i do naknadnog prelaska do granice, a ne samo problema zapremine cilindričnog tijela. Hajde da formulišemo dovoljne uslove za integrabilnost. Teorema 1. Svaka funkcija y) neprekidna u ograničenom zatvorenom području D je integrabilna u ovoj domeni. Zahtjev za kontinuitetom integranda je često previše restriktivan. Za aplikacije je važna sljedeća teorema koja garantuje postojanje dvostrukog integrala za određenu klasu diskontinuiranih funkcija. Reći ćemo da neki skup tačaka u ravni ima površinu nula ako se može ograditi u poligonalnu figuru proizvoljno male površine. Teorema 2. Ako je funkcija f(x, y) ograničena u zatvorenom ograničenom domenu D i kontinuirana svuda u D, osim za neki skup tačaka površine nula, onda je ova funkcija integrabilna u domenu D. §2. Osnovna svojstva dvostrukog integrala Dvostruki integrali imaju niz svojstava sličnih osobinama određenog integrala za funkcije jedne nezavisne varijable. 2.1. Linearno svojstvo Ako su funkcije a) integrabilne u domenu D, a a i p su bilo koji realni brojevi, onda je funkcija af) također integrabilna u domenu D, i o) 2.2. Integracija nejednačina Ako su funkcije) integrabilne u domeni D i svuda u ovoj domeni, tada (2), tj. nejednakosti se mogu integrisati. Konkretno, integrirajući očigledne nejednakosti, dobijamo površinu ravne regije. Površina ravne regije D jednaka je dvostrukom integralu nad ovim područjem funkcije koja je identično jednaka jedinici. Zaista, integralni zbir za funkciju /(P) = 1 u domeni D ima oblik i za bilo koju particiju domene D na parcijalne domene Dt, jednak je njenoj površini S. Ali tada je granica ove sume, tj. , dvostruki integral, jednak je površini S domena D: ili, što je isto, (3) 2.4. Procjena integrala Neka je funkcija /(P) neprekidna u ograničenom zatvorenom području D, neka su M i mn najveća i najmanja vrijednost /(P) u području D, i neka je 5 njena površina. Tada je (4) 2.5. Aditivnost: Ako je funkcija /(P) integrabilna u domenu D, a domena Z) podijeljena na dvije domene D\ i Di bez zajedničkih unutrašnjih tačaka, tada je /(P) integrabilna na svakoj od domena D\ i Di , i (5) 2.6. Teorema o srednjoj vrijednosti Teorema 3 (o srednjoj vrijednosti). Ako je funkcija /(P) kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, tada postoji barem jedna tačka Pc regije D takva da vrijedi formula u, gdje je S površina područja D domena, onda u D pretpostavlja svoje najveća vrijednost M i njegovu najmanju vrijednost m. Prema svojstvu 4 o evaluaciji integrala, imamo Dakle, broj je zatvoren između najvećeg i najmanjih vrednosti funkcija /(P) u domeni D. Zbog kontinuiteta funkcije /(P) u domeni D, ona u nekoj tački Pc G D uzima vrijednost jednaku ovom broju, odakle je S Vrijednost f(Pc) određena sa formula (7) naziva se prosječna vrijednost funkcije f(P) u domeni D. Geometrijsko značenje teoreme srednje vrijednosti Ako je funkcija f(P) ^ 0 u domeni D, onda formula (6) znači da postoji pravi cilindar sa osnovom D (čija je površina jednaka 5) i visinom N = /(Rs), čija je zapremina jednaka zapremini cilindričnog tela (sl. 3). § 3. Redukcija dvostrukog integrala na iterirani efikasne načine izračunavanje dvostrukog integrala je da se on svede na iterirani. 3.1. Slučaj pravougaonika Neka je oblast D zatvoreni pravougaonik Π sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osa. Neka je funkcija f(x, y) neprekidna u pravokutniku P. Dvostruki integral se može tumačiti kao (algebarski) volumen cilindričnog tijela čija je baza P ograničena površinom. Razmotrimo odgovarajuće cilindrično tijelo. Nacrtajmo ravan okomitu na osu Oy (slika 4). Ova ravnina seče cilindrično tijelo duž krivolinijskog trapeza, omeđenog odozgo ravnom linijom z, opisanom jednadžbama. Površina trapeza ABB\A\ izražena je integralom gdje se integracija vrši preko x, a yo - drugi argument integranda - smatra se konstantom). Vrijednost integrala (1) ovisi o izboru vrijednosti y0. Postavljamo (2) Izraz (2) daje površinu poprečnog presjeka cilindričnih tijela a kao funkciju y. Stoga se zapremina cilindričnog tijela može izračunati po formuli. izrazom (2), dobijamo Problem koji vodi do koncepta dvostrukog integrala Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Redukcija dvostrukog integrala na iterirani Promjena varijabli u dvostrukom integralni element površine u krivolinijskim koordinatama Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje Promjena varijabli formule u dvostrukom integralu Dvostruki integral u polarnim koordinatama. Posljednja relacija se obično piše na sljedeći način. ravni x = x0. Ovo dovodi do formule (4) Svaki od izraza na desnoj strani formula (3) i (4) sadrži dvije uzastopne operacije obične integracije funkcije f(x, y). Oni se nazivaju iteriranim integralima funkcije f(x, y) nad domenom Π. Ako je f(x, y) kontinuirano u zatvorenom pravokutniku Π, tada je prijelaz na iterirane integrale uvijek moguć, i (5) tj. vrijednosti iteriranih integrala kontinuirane funkcije /(x, y) ne ovise o redoslijedu integracije. Primjer 1. Naći dvostruki integral funkcije nad površinom Imamo (vidi sliku 5): 3.2. Slučaj proizvoljnog domena Pretpostavimo sada da je integraciona domena proizvoljno ograničena kvadratno zatvorena domena D na ravni xOy koja zadovoljava sljedeći uvjet: bilo koja prava paralelna osi Oy siječe granicu domene D ne više od dvije tačke ili duž cijelog segmenta (sl. 6 a). Unutar pravougaonika zatvaramo područje D kao što je prikazano na sl. 66. Segment [a, 6] je ortogonalna projekcija područja D na osu Oxy, a segment [c, dj je ortogonalna projekcija područja D na osu Oy. Tačkama A i C, granica regije D je podijeljena na dvije krive ABC i AEC. Svaka od ovih krivulja seče proizvoljnom ravnom linijom paralelnom sa Oy osom u najviše jednoj tački. Stoga se njihove jednadžbe mogu zapisati u obliku dozvoljenom za y: Neka je f(x, y) neka funkcija kontinuirana u domeni D. Isjecimo cilindrično tijelo koje se razmatra ravninom. U presjeku dobijamo krivolinijski trapez PQMN (slika 7), čija je površina izražena običnim integralom funkcije / (x, y), koja se smatra funkcijom jedne varijable y. U ovom slučaju, promenljiva y se menja od ordinate tačke P do ordinate tačke Q\ tačka P je *!-ka "ulaz" prave x = const (u ravni) u oblast - tačka njenog "izlaska" iz ovog regiona. Pošto postoji jednačina za ABC krivu, i za krivu, ove ordinate su, respektivno, jednake kada se uzme x. Dakle, integral nam daje izraz za površinu ravnog presjeka cilindričnog tijela kao funkciju položaja sekantne ravnine x = const. Zapremina cijelog tijela bit će jednaka integralu ovog izraza preko w u intervalu promjene. Dakle, posebno, za područje S regije D dobijamo Pretpostavimo sada da svaka prava siječe granicu regije D u najviše dvije tačke P i Q, čije su apscise jednake, respektivno (ili duž ceo segment) (slika 8). Provodeći slično razmišljanje, dolazimo do formule koja također svodi izračunavanje dvostrukog integrala na ponovljeni. Primjer 2. Izračunajte dvostruki integral funkcije nad površinom D. ograničenom linijama ^ Prvi način. Predstavimo oblast integracije D. Prava y = x i parabola y = x2 seku se u tačkama). To znači da se x mijenja unutar 8 granica od 0. Svaka prava linija x = const) siječe granicu regije u najviše dvije tačke. Stoga je primenljiva formula (8): Drugi metod (slika 10). Primjena formule (10). dobijamo isti rezultat: Primjer 3. Izračunajte volumen tijela ograničenog površinom koja se siječe s ravninom xOy duž linije elipse sa poluosi zbog simetrije ovog tijela u odnosu na koordinatne ravni xOx i y, dobivamo: Napomena. Ako je domena D takva da neke prave (bilo ortogonalne ili horizontalne) sijeku njegovu granicu u više od dvije tačke, tada je za izračunavanje dvostrukog integrala nad domenom D potrebno podijeliti na dijelove na odgovarajući način, da ponovite integraciju integrala u dijelove i dodajte rezultate. Primjer 4. Izračunajte dvostruki integral nad površinom D, zatvorenom između dva kvadrata sa centrima i na početku i stranicama paralelnim sa koordinatnim osama, ako je stranica unutrašnjeg kvadrata 2, a vanjskog 4. je kontinuirana kao u velikom kvadratu Q, čija je stranica 4, i u malom kvadratu R. čija je stranica jednaka 2 (slika 12). Prema teoremi 1. postoje integrali funkcije e*** nad naznačenim kvadratima, tako da je vrijednost željenog integrala §4. Promjena varijabli u dvostrukom integralu 4.1. Koncept krivolinijskih koordinata tačke Neka je u domeni D* ravni uOv zadan par funkcija koje ćemo smatrati kontinuiranim u ovoj domeni i koje imaju kontinuirane parcijalne izvode. Na osnovu jednačine (1), svaka tačka M*(x, v) regiona D* odgovara jednoj određenoj tački M(x, y) u ravni xOy, a time i tačkama regiona D* odgovara određeni skup D tačaka (x, y) u xy ravni (slika 13). U ovom slučaju, za funkcije (1) se kaže da mapiraju područje D4 na skup D. Pretpostavimo da različite tačke (u, v) odgovaraju različitim tačkama (x, y). Ovo je ekvivalentno jedinstvenoj rješivosti jednadžbi (1) s obzirom na u, v: U ovom slučaju, preslikavanje se naziva jedan-na-jedan preslikavanje domene D* na domenu D. Pod takvom transformacijom, bilo koja kontinuirana kriva L* koja leži u domeni D* preći će u kontinuiranu krivulju L koja leži u području D. Ako su funkcije q(x) y) i h(x, y) također neprekidne, tada bilo koja kontinuirana linija LCD koristeći transformaciju (2) će ići preko kontinuirane linije L* C D*. Za dati par W, Vo vrijednosti varijabli u, v iz regije D*, moguće je jedinstveno odrediti ne samo položaj tačke M*(u<)> Vq) u samom domenu ξ)*, ali položaj odgovarajuće tačke M(xo, yo) u domenu D, xo = 4>(o, v0), 3/0 = o, vo). Ovo daje osnovu da se brojevi u, v smatraju nekim novim koordinatama tačke D oblasti M na ravni xOy. Zovu se krivolinijske koordinate tačke M. Skup tačaka u oblasti D, za koje jedna od koordinata ostaje konstantna, naziva se koordinatna linija. Uz pretpostavku u formuli (1) u = vq, dobijamo parametarske jednadžbe koordinatne linije. Ovdje ulogu parametra ima varijabla u. Dajući koordinate v različite (za to moguće) konstantne vrijednosti, dobijamo familiju koordinatnih linija (v = const) na ravni xOy. Slično, dobijamo još jednu familiju koordinatnih linija (u = const). Ako postoji korespondencija jedan-na-jedan između regiona D* i D, različite koordinatne linije iste porodice se ne seku jedna s drugom, a jedna linija iz svake porodice prolazi kroz bilo koju tačku regiona D. Mreža krivolinijskih koordinatnih linija na xOp ravni je slika pravokutne mreže na ravni uOv (vidi sliku 13). 4.2. Element površine u krivolinijskim koordinatama. Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje Izdvojimo u području D* na ravni Uo*V mali pravougaonik P*P?P$Pl sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osama 0*u i O"v i dužinama stranice Au i Av (radi određenosti pretpostavljamo da je A ) redom (slika 14 a). Njegova površina Pravougaonik se pretvara u krivolinijski četverougao * u području D (slika 146). Ako vrhovi P) imaju koordinate, tada , prema formulama (1), odgovarajući vrhovi Pi imaju koordinate), Koristeći Taylorovu formulu za funkciju dvije varijable i ograničavajući se na članove prvog reda / pc u odnosu na Au i Av, dobijamo sljedeće približne vrijednosti koordinata za vrhove četverokuta gdje su funkcije, sve njihove derivacije izračunate u tački.red četverokut P\PiPiPa je paralelogram To slijedi iz činjenice da se tada površina DS četverokuta može približno izraziti u smislu dužine vektorskog proizvoda, gram Definicija dvostrukog integrala Osnovna svojstva dvostrukog integrala Površina ravne regije Redukcija dvostrukog integrala na iterirani Promjena varijabli u dvostrukom integralu Element površine u krivolinijskim koordinatama Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje Promjena formule varijabli u dvostruki integral Dvostruki integral u polarnim koordinatama Odrednica Iz formula (7) i (8) video da apsolutna vrijednost Jakobijana igra ulogu lokalnog faktora rastezanja regije D" (u datoj tački (tx, v)) kada se mapira na područje D pomoću formula transformacije (1). 4.3. Formula za promjenu varijabli u dvostrukom integralu Neka kontinuirane funkcije izvode jedno-na-jedan preslikavanje domene D* na D i imaju kontinuirane parcijalne izvode prvog reda. Neka je data kontinuirana funkcija u domeni D na ravni xOy. Svaka vrijednost funkcije) u domeni D odgovara jednakoj vrijednosti funkcije r = u domeni D, gdje je (u, v) i (x , y) tako da se vrijednosti funkcija u njima poklapaju i sastavimo integralne zbrojeve za funkcije z = /(x, y) i v) preko domena D i D*. Dobijamo Jakobijan od (9) do granice pošto najveći prečnik d* parcijalnih regiona D\ teži nuli (zbog kontinuiteta preslikavanja (I), najveći od prečnika d parcijalnih regiona u D takođe teži na nulu), imamo gdje je Uslov J F 0 uslov Teorema 4. Da bi se dvostruki integral dat u kartezijanskim koordinatama transformisao u dvostruki integral u krivolinijskim koordinatama, potrebno je zamijeniti u integrandu f(x, y) sa varijablama s i y, respektivno, kroz i element površine dx dy - njegov izraz u krivolinijskim koordinatama: Primjer. Pronađite površinu figure ograničene hiperbolama krivolinijske koordinate i o formulama Iz uslova aadachi yashio da. To znači da smo u ravni uOv dobili pravougaonik (slika 156) - figuru jednostavniju od date figure D. Izrazimo x i y iz relacija (11) kroz u i t>: Slika 15 Zatim dvostruki integral u polarnom koordinate Izračunavanje dvostrukog integrala često se pojednostavljuje zamjenom pravougaone koordinate x i y u polarnim koordinatama prema formulama Element površine u polarnim koordinatama ima oblik i formula za prijelaz iz integrala u Dekartovim koordinatama u integral u polarnim koordinatama može se napisati na sljedeći način: U ovom slučaju (13) element površine u polarnim koordinatama se takođe može dobiti iz geometrijskih razmatranja (vidi sliku 16). Površina ​površine zasjenjene na slici A = pl. sektori. sektori Odbacivanjem infinitezimalne vrijednosti višeg reda, dobijamo i prihvatamo kao element površine u polarnim koordinatama. Dakle, da biste pretvorili dvostruki integral u Dekartovim koordinatama u dvostruki integral u polarnim koordinatama, trebate zamijeniti a: i y u integrandu sa p costp i psiny, respektivno, i zamijeniti element površine u Dekartovim koordinatama dx dy sa površinom element u polarnim koordinatama p dp dip. Pređimo sada na izračunavanje dvostrukog integrala u polarnim koordinatama. Kao iu slučaju pravokutnih Dekartovih koordinata, izračunavanje integrala u polarnim koordinatama se provodi tako što se on svodi na iterirani integral. Razmotrimo prvo slučaj kada pol O leži izvan datog područja D. Neka područje D ima svojstvo da bilo koji zrak izlazi iz pola (koordinatna prava y siječe njegovu granicu u najviše dvije tačke ili duž cijelog segmenta ( Slika 17). Imajte na umu da su ekstremne vrijednosti i polarnog ugla granice vanjske integracije. Zrak q> = prolazi kroz tačku A konture područja D, a zrak kroz tačku B. tačke Aw B dijele konturu područja D na dva dijela: ACB i AFB. Neka su njihove polarne jednačine, gdje su) jednovrijedne kontinuirane funkcije koje zadovoljavaju uslov Funkcije su granice unutrašnje integracije. Prelaskom na iterirane integrale dobijamo sledeću formulu. Konkretno, za područje S domena D za F(p, r 1 dobijamo granicu oblasti samo u jednoj tački ili duž celog segmenta (slika 18) Neka - jednadžba granice regije u polarnim koordinatama Zatim Slika 18 Primjer Izračunajte integral gdje je regija četvrtina jedinične kružnice koja se nalazi u prvom kvadrantu. Pređimo na polarne koordinate. Tada je područje integracije a pravougaonik Transformirani integral / je lako izračunati: r Napomena: Ako je Jakobijan različit od nule u domeni D, tada je preslikavanje u nekom susjedstvu svake tačke ove domene jedan prema jedan, ali se može dogoditi da mapiranje cijele domene nije jedno-na-jedan. Razmotrimo preslikavanje definisano funkcijama.Jacobian ovih funkcija je svuda jednak i, prema tome, nije nula. Uprkos tome, jer dobijamo, tako da ovo preslikavanje nije jedan-na-jedan. S druge strane, ako Jakobijan preslikavanja u nekom trenutku nestane, onda se ipak preslikavanje u susjedstvu ove tačke može pokazati kao jedan-prema-jedan. Na primjer, za mapiranje definirano funkcijama, Jacobian je jednak nuli i at, ali je preslikavanje jedan prema jedan. Obrnuto preslikavanje je definirano funkcijama