Dom
Valoviti lim
Zapremina pravilne piramide. Volumen piramide V pravilne trouglaste piramide

Zapremina pravilne piramide. Volumen piramide V pravilne trouglaste piramide

Poliedar čija je osnova pravilan trokut, a preostale strane predstavljene jednakokračnim trokutima naziva se trouglasta piramida Takva piramida se naziva i tetraedar.

Pravilna piramida ima mnoga svojstva koja su izvedena iz njenih sastavnih figura:

  • Sve strane baze su jednake jedna drugoj jer je predstavljena pravilnim trouglom;
  • Sve ivice piramide su takođe jednake jedna drugoj;
  • Jer svako lice se formira jednakokraki trougao, u kojem su ivice jednake, a baze jednake, onda možemo reći da je površina svakog lica ista;
  • Svi diedarski uglovi u osnovi su jednaki.

Izračunava se kao zbir površina baze i bočnog skeniranja. Također se može pronaći izračunavanjem površine jedne od bočnih strana i baze. Formula za zapreminu trokutaste piramide takođe se izvodi iz svojstava trokuta od kojih se sastoji:

Osnovna površina se izračunava iz formule:

Razmotrimo primjer izračunavanja volumena trokutaste piramide.

Neka nam je data trouglasta piramida. Stranica osnove je a = 2 cm, a visina h = 2√3. Pronađite zapreminu datog poliedra.
Prvo, pronađimo površinu baze. Da bismo to učinili, zamijenimo poznate podatke u gornju formulu:

Sada koristimo pronađenu vrijednost za izračunavanje volumena trokutaste piramide:

Također možete koristiti skraćenu formulu za izračunavanje površine trokutaste piramide. Kombinira osnovnu površinu i visinu, a formula se čita kao jedna trećina proizvoda površine baze i visine piramide:

Kada koristite ovu formulu, važno je striktno pratiti izračune i smanjenja. Jedna mala greška može dovesti do pogrešnog rezultata. Općenito, pronalaženje volumena pravilne trouglaste piramide je vrlo jednostavno.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

  • Prikupljeno od nas lične podatke nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
  • Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

  • Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u sudskim postupcima i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - da otkrijete svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Glavna karakteristika bilo kojeg geometrijska figura u prostoru je njegov volumen. U ovom članku ćemo pogledati što je piramida s trouglom u osnovi, a pokazat ćemo i kako pronaći volumen trokutaste piramide - pravilne pune i skraćene.

Šta je ovo - trouglasta piramida?

Svi su čuli za drevne ljude Egipatske piramide, međutim, oni su pravilni četverouglasti, a ne trouglasti. Hajde da objasnimo kako da dobijemo trouglastu piramidu.

Uzmimo proizvoljan trougao i spojimo sve njegove vrhove sa nekom tačkom koja se nalazi izvan ravni ovog trougla. Dobivena figura će se zvati trokutasta piramida. To je prikazano na donjoj slici.

Kao što vidite, dotičnu figuru čine četiri trokuta, koji su u opštem slučaju različiti. Svaki trokut su stranice piramide ili njeno lice. Ova piramida se često naziva tetraedar, odnosno tetraedarska trodimenzionalna figura.

Osim stranica, piramida ima i rubove (ima ih 6) i vrhove (od 4).

sa trouglastom bazom

Figura koja se dobije korišćenjem proizvoljnog trougla i tačke u prostoru biće nepravilna nagnuta piramida u opštem slučaju. Sada zamislite da originalni trokut ima identične stranice, a tačka u prostoru se nalazi tačno iznad njegovog geometrijskog centra na udaljenosti h od ravni trokuta. Piramida izgrađena na osnovu ovih početnih podataka bit će ispravna.

Očigledno je da će broj ivica, stranica i vrhova pravilne trouglaste piramide biti isti kao i kod piramide izgrađene od proizvoljnog trougla.

Međutim, ispravna brojka ima nešto karakteristične karakteristike:

  • njegova visina povučena iz temena će tačno preseći bazu u geometrijskom centru (tačka preseka medijana);
  • bočnu površinu takve piramide čine tri identična trokuta, koji su jednakokračni ili jednakostranični.

Pravilna trokutasta piramida nije samo čisto teorijski geometrijski objekat. Neke strukture u prirodi imaju svoj oblik, na primjer kristalna rešetka dijamanta, gdje je atom ugljika povezan sa četiri ista atoma kovalentnim vezama, ili molekula metana, gdje vrhove piramide formiraju atomi vodika.

trouglasta piramida

Možete odrediti volumen apsolutno bilo koje piramide s proizvoljnim n-ugao na bazi koristeći sljedeći izraz:

Ovdje simbol S o označava površinu osnove, h je visina figure povučene do označene baze sa vrha piramide.

Budući da je površina proizvoljnog trokuta jednaka polovini umnoška dužine njegove stranice a i apoteme h a spuštene na ovu stranu, formula za zapreminu trokutaste piramide može se napisati u sljedećem obliku:

V = 1/6 × a × h a × h

Za opšti tip Određivanje visine nije lak zadatak. Da biste to riješili, najlakši način je da koristite formulu za udaljenost između tačke (vrh) i ravni (trokutaste baze), predstavljenu jednadžbom opšti pogled.

Za ispravan, ima specifičan izgled. Površina osnove (jednakostraničnog trokuta) za njega je jednaka:

Zamjenjujući ga u opći izraz za V, dobivamo:

V = √3/12 × a 2 × h

Poseban slučaj je situacija kada se ispostavi da su sve strane tetraedra identični jednakostrani trouglovi. U ovom slučaju, njegov volumen se može odrediti samo na osnovu poznavanja parametra njegove ivice a. Odgovarajući izraz izgleda ovako:

Krnja piramida

Ako se gornji dio koji sadrži vrh odsječe od pravilne trouglaste piramide, dobićete skraćeni lik. Za razliku od originalnog, sastojat će se od dvije jednakostranične trokutne baze i tri jednakokraka trapeza.

Fotografija ispod prikazuje kako izgleda pravilna skraćena trouglasta piramida napravljena od papira.

Da biste odredili volumen skraćene trokutaste piramide, morate znati njene tri linearne karakteristike: svaku od stranica baza i visinu figure, jednaku udaljenosti između gornje i donje baze. Odgovarajuća formula za volumen je napisana na sljedeći način:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Ovdje je h visina figure, A i a su dužine stranica velikog (donjeg) i malog (gornjeg) jednakostraničnog trokuta, respektivno.

Rješenje problema

Da bi informacije u članku bile jasnije čitaocu, pokazat ćemo na jasnim primjerima kako koristiti neke od napisanih formula.

Neka zapremina trouglaste piramide bude 15 cm 3 . Poznato je da je cifra tačna. Potrebno je pronaći apotemu a b bočne ivice ako je poznato da je visina piramide 4 cm.

Budući da su volumen i visina figure poznati, možete koristiti odgovarajuću formulu za izračunavanje dužine stranice njene baze. imamo:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Pokazalo se da je izračunata dužina apotema figure veća od njegove visine, što vrijedi za bilo koju vrstu piramide.

Ovdje ćemo pogledati primjere vezane za koncept volumena. Da biste riješili takve zadatke, morate znati formulu za volumen piramide:

S

h – visina piramide

Baza može biti bilo koji poligon. Ali u većini problema na Jedinstvenom državnom ispitu, stanje se obično odnosi na pravilne piramide. Dozvolite mi da vas podsjetim na jedno od njegovih svojstava:

Vertex pravilne piramide projektovan u centar svoje baze

Pogledajte projekciju pravilne trouglaste, četvorougaone i šestougaone piramide (POGLED OD GORNJE):


Možete na blogu, gdje se raspravljalo o problemima oko pronalaženja zapremine piramide.Razmotrimo zadatke:

27087. Nađi zapreminu pravilne trouglaste piramide čije su osnovne stranice jednake 1 i čija je visina jednaka korijenu od tri.

S– površina osnove piramide

h– visina piramide

Nađimo površinu osnove piramide, ovo je pravilan trokut. Koristimo formulu - površina trokuta jednaka je polovini umnoška susjednih stranica i sinusa kuta između njih, što znači:

Odgovor: 0,25

27088. Nađi visinu pravilne trouglaste piramide čije su osnovne stranice jednake 2 i čija je zapremina jednaka korijenu od tri.

Koncepti kao što su visina piramide i karakteristike njene osnove povezani su formulom zapremine:

S– površina osnove piramide

h– visina piramide

Znamo sam volumen, možemo pronaći površinu baze, pošto znamo stranice trokuta, koji je osnova. Poznavajući navedene vrijednosti, lako možemo pronaći visinu.

Da bismo pronašli površinu baze, koristimo formulu - površina trokuta jednaka je polovini umnoška susjednih stranica i sinusa kuta između njih, što znači:

Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u formulu volumena, možemo izračunati visinu piramide:

Visina je tri.

Odgovor: 3

27109. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi, visina je 6, bočna ivica je 10. Nađite njen volumen.

Zapremina piramide se izračunava po formuli:

S– površina osnove piramide

h– visina piramide

Znamo visinu. Morate pronaći površinu baze. Da vas podsjetim da je vrh pravilne piramide projektovan u centar njene osnove. Osnova pravilne četvorougaone piramide je kvadrat. Možemo pronaći njegovu dijagonalu. Zamislite pravougaoni trokut (označen plavom bojom):

Segment koji povezuje centar kvadrata sa tačkom B je krak koji je jednak polovini dijagonale kvadrata. Ovu nogu možemo izračunati koristeći Pitagorinu teoremu:

To znači BD = 16. Izračunajmo površinu kvadrata koristeći formulu za površinu četverokuta:

dakle:

Dakle, zapremina piramide je:

Odgovor: 256

27178. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi visina je 12, a zapremina 200. Pronađite bočnu ivicu ove piramide.

Visina piramide i njen volumen su poznati, što znači da možemo pronaći površinu kvadrata, što je osnova. Poznavajući površinu kvadrata, možemo pronaći njegovu dijagonalu. Zatim, uzimajući u obzir pravokutni trokut koristeći Pitagorinu teoremu, izračunavamo bočnu ivicu:

Nađimo površinu kvadrata (osnova piramide):

Izračunajmo dijagonalu kvadrata. Pošto je njegova površina 50, stranica će biti jednaka korijenu od pedeset i prema Pitagorinoj teoremi:

Tačka O dijeli dijagonalu BD na pola, što znači krak pravokutnog trougla OB = 5.

Dakle, možemo izračunati koliko je bočna ivica piramide jednaka:

Odgovor: 13

245353. Pronađite zapreminu piramide prikazane na slici. Njegova osnova je mnogokut čije su susjedne strane okomite, a jedna od bočnih ivica je okomita na ravan baze i jednaka je 3.

Kao što je više puta rečeno, zapremina piramide se izračunava po formuli:

S– površina osnove piramide

h– visina piramide

Bočna ivica okomita na osnovu jednaka je tri, što znači da je visina piramide tri. Osnova piramide je mnogokut čija je površina jednaka:

ovako:

Odgovor: 27

27086. Osnova piramide je pravougaonik sa stranicama 3 i 4. Zapremina mu je 16. Odredi visinu ove piramide.

Piramida je poliedar sa poligonom u osnovi. Sva lica, zauzvrat, formiraju trouglove koji se konvergiraju u jednom vrhu. Piramide su trouglaste, četvorougaone i tako dalje. Da biste odredili koja se piramida nalazi ispred vas, dovoljno je izbrojati broj uglova u njenoj osnovi. Definicija “visine piramide” se vrlo često nalazi u zadacima iz geometrije u školskom programu. U ovom članku ćemo pokušati razmotriti različite načine njena lokacija.

Dijelovi piramide

Svaka piramida se sastoji od sljedećih elemenata:

  • bočne strane, koje imaju tri ugla i konvergiraju na vrhu;
  • apotema predstavlja visinu koja se spušta sa njenog vrha;
  • vrh piramide je tačka koja spaja bočna rebra, ali ne leži u ravni baze;
  • baza je mnogougao na kojem vrh ne leži;
  • visina piramide je segment koji siječe vrh piramide i formira pravi ugao sa njenom bazom.

Kako pronaći visinu piramide ako je poznat njen volumen

Preko formule V = (S*h)/3 (u formuli V je zapremina, S je površina osnove, h je visina piramide) nalazimo da je h = (3*V)/ S. Da bismo konsolidirali materijal, odmah riješimo problem. Trouglasta osnova je 50 cm 2 , a zapremina 125 cm 3 . Visina trouglaste piramide je nepoznata, što je ono što trebamo pronaći. Ovdje je sve jednostavno: unosimo podatke u našu formulu. Dobijamo h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Kako pronaći visinu piramide ako su poznati dužina dijagonale i njene ivice

Kao što se sjećamo, visina piramide formira pravi ugao sa svojom bazom. To znači da visina, rub i polovina dijagonale zajedno čine Mnogi se, naravno, sjećaju Pitagorine teoreme. Poznavajući dvije dimenzije, neće biti teško pronaći treću veličinu. Prisjetimo se dobro poznate teoreme a² = b² + c², gdje je a hipotenuza, au našem slučaju ivica piramide; b - prvi krak ili polovina dijagonale i c - drugi krak, odnosno visina piramide. Iz ove formule c² = a² - b².

Sada je problem: u pravilnoj piramidi dijagonala je 20 cm, kada je dužina ivice 30 cm. Rješavamo: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Otuda c = √ 500 = oko 22,4.

Kako pronaći visinu krnje piramide

To je mnogokut čiji je poprečni presjek paralelan s njegovom osnovom. Visina krnje piramide je segment koji spaja njene dvije osnove. Visina se može naći za pravilnu piramidu ako su poznate dužine dijagonala obje baze, kao i ivica piramide. Neka je dijagonala veće baze d1, dok je dijagonala manje baze d2, a ivica dužine l. Da biste pronašli visinu, možete spustiti visine od dvije gornje suprotne točke dijagrama do njegove osnove. Vidimo da imamo dva pravougaonog trougla, ostaje da pronađemo dužine njihovih nogu. Da biste to učinili, oduzmite manji od veće dijagonale i podijelite sa 2. Tako ćemo pronaći jednu nogu: a = (d1-d2)/2. Nakon toga, prema Pitagorinoj teoremi, sve što treba da uradimo je da pronađemo drugu nogu, koja je visina piramide.

Pogledajmo sada cijelu ovu stvar u praksi. Pred nama je zadatak. Skraćena piramida ima kvadrat u osnovi, dužina dijagonale veće baze je 10 cm, dok je manja 6 cm, a ivica 4 cm. Prvo, nalazimo jedan krak: a = (10-6)/2 = 2 cm, a hipotenuza je 4 cm. 4 = 12, odnosno h = √12 = oko 3,5 cm.

Sekcije