30. Greenova formula. Uslovi nezavisnosti krivolinijski integral sa integracionog puta.

Greenova formula: Ako je C zatvorena granica domene D i funkcije P(x,y) i Q(x,y), zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima prvog reda, kontinuirane su u zatvorenom domenu D (uključujući granicu od C), tada vrijedi Greenova formula:, a obilaznica oko konture C je odabrana tako da područje D ostane lijevo.

Iz predavanja: Neka su date funkcije P(x,y) i Q(x,y), koje su kontinuirane u domeni D zajedno sa parcijalnim izvodima prvog reda. Integral preko granice (L), u potpunosti sadržan u području D i koji sadrži sve tačke u području D: . Pozitivan smjer konture je kada je ograničeni dio konture lijevo.

Uslov za nezavisnost krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije. Neophodan i dovoljan uslov da krivolinijski integral prve vrste koji povezuje tačke M1 i M2 ne zavisi od puta integracije, već zavisi samo od početne i krajnje tačke, jeste jednakost:.

.

31. Površinski integrali prve i druge vrste, njihova osnovna svojstva i proračun.

– specificiranje površine.

Projektujmo S na ravan xy i dobijemo regiju D. Podijelimo regiju D mrežom linija na dijelove zvane Di. Iz svake tačke svake linije povlačimo paralelne z linije, tada će S biti podijeljen na Si. Napravimo integralni zbir: . Usmjerimo maksimalni prečnik Di na nulu:, dobićemo:

Ovo je površinski integral prve vrste

Ovako se izračunava površinski integral prve vrste.

Definicija ukratko. Ako postoji konačna granica integralne sume, neovisno o metodi podjele S na elementarne presjeke Si i izboru tačaka, onda se naziva površinski integral prve vrste.

Prilikom prelaska sa varijabli x i y na u i v:

P površinski integral ima sva svojstva običnog integrala. Vidite pitanja iznad.

Definicija površinskog integrala druge vrste, njegova osnovna svojstva i proračun. Veza sa integralom prve vrste.

Neka je data površina S, ograničena linijom L (slika 3.10). Uzmimo neku konturu L na površini S koja nema zajedničkih tačaka sa granicom L. U tački M konture L možemo vratiti dvije normale na površinu S. Odaberimo jedan od ovih pravaca. Trasiramo tačku M duž konture L sa odabranim normalnim smjerom.

Ako se tačka M vrati u prvobitni položaj sa istim smjerom normale (a ne suprotnim), tada se površina S naziva dvostranom.

Razmotrićemo samo dvostrane površine. Dvostrana površina je svaka glatka površina sa jednadžbom.

Neka je S dvostrana otvorena površina omeđena pravom L koja nema točaka samopresjeka. Odaberimo određenu stranu površine. Pozitivnim smjerom prelaska konture L nazvat ćemo takav smjer u kojem, kada se kreće duž odabrane strane površine, sama površina ostaje lijevo. Dvostrana površina s pozitivnim smjerom za prelazak preko kontura uspostavljenih na njoj naziva se orijentirana površina. Pređimo na konstruisanje površinskog integrala druge vrste. Uzmimo dvostranu površinu S u prostoru, koja se sastoji od konačnog broja komada, od kojih je svaki dan jednadžbom oblika ili je cilindrična površina sa generatorima, paralelno sa osom

Neka je R(x,y,z) funkcija definirana i kontinuirana na površini S. Koristeći mrežu linija, dijelimo S proizvoljno na n “elementarnih” sekcija ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, koji nemaju zajedničkih unutrašnjih tačaka. Na svakom preseku ΔSi proizvoljno biramo tačku Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Neka je (ΔSi)xy površina projekcije presjeka ΔSi na koordinatnu ravan Oxy, uzeta sa znakom „+“, ako je normala na površinu S u tački Mi(xi,yi,zi) ( i=1,...,n) forme sa Oz osom je oštar ugao, a sa znakom “–” ako je ovaj ugao tup. Sastavimo integralni zbir za funkciju R(x,y,z) preko površine S u varijablama x,y: . Neka je λ najveći od prečnika ΔSi (i = 1, ..., n).

Ako postoji konačna granica koja ne ovisi o načinu podjele površine S na "elementarne" presjeke ΔSi i o izboru tačaka, onda se to naziva površinski integral preko odabrane strane površine S funkcije R (x,y,z) duž koordinata x, y (ili površinskog integrala druge vrste) i označava se .

Slično, možete konstruisati površinske integrale preko koordinata x, z ili y, z duž odgovarajuće strane površine, tj. I .

Ako svi ovi integrali postoje, onda možemo uvesti “opći” integral preko odabrane strane površine: .

Površinski integral druge vrste ima uobičajena svojstva integrala. Napominjemo samo da svaki površinski integral druge vrste mijenja predznak kada se promijeni strana površine.

Odnos površinskih integrala prve i druge vrste.

Neka je površina S definirana jednadžbom: z = f(x,y), a f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) su kontinuirane funkcije u zatvorenom domena τ (projekcije površine S na koordinatnu ravan Oxy), a funkcija R(x,y,z) je kontinuirana na površini S. Normala na površinu S, koja ima kosinuse smjera cos α, cos β, cos γ, bira se na gornju stranu površine S. Tada .

Za opšti slučaj imamo:

=

Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste, gdje L– kriva koja povezuje tačke M I N. Neka funkcije P(x, y) I Q(x, y) imaju kontinuirane parcijalne izvode u nekom domenu D, koji sadrži cijelu krivu L. Odredimo uslove pod kojima razmatrani krivolinijski integral ne zavisi od oblika krive L, ali samo na lokaciji tačaka M I N.

Nacrtajmo dvije proizvoljne krive MPN I MQN, koji leži u okolini D i spojne tačke M I N(Sl. 1).

M N Rice. 1. P

Pretpostavimo da, tj

Onda gde L– zatvorena kontura sastavljena od krivih MPN I N.Q.M.(dakle, može se smatrati proizvoljnim). Dakle, uslov za nezavisnost krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije je ekvivalentan uslovu da je takav integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi jednak nuli.

Teorema 1. Neka na svim tačkama neke regije D funkcije su kontinuirane P(x, y) I Q(x, y) i njihovi parcijalni derivati ​​i . Zatim, za bilo koju zatvorenu konturu L, koji leži u okolini D, uslov je ispunjen

Neophodno je i dovoljno da = na svim tačkama regiona D.

Dokaz .

1) Dovoljnost: neka je uslov = zadovoljen. Razmotrimo proizvoljnu zatvorenu petlju L u oblasti D, ograničavajući područje S i napišite Greenovu formulu za to:

Dakle, dovoljnost je dokazana.

2) Neophodnost: pretpostavimo da je uslov zadovoljen u svakoj tački u regionu D, ali postoji barem jedna tačka u ovom području u kojoj je - ≠ 0. Neka, na primjer, u tački P(x 0 , y 0)- > 0. Budući da lijeva strana nejednakosti sadrži kontinuiranu funkciju, ona će biti pozitivna i veća od nekog δ > 0 u nekom malom području D` koji sadrži tačku R. dakle,

Odavde, koristeći Greenovu formulu, dobijamo da je , gdje L`- kontura koja ograničava područje D`. Ovaj rezultat je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, = na svim tačkama regiona D, što je trebalo dokazati.

Napomena 1 . Slično za trodimenzionalni prostor može se dokazati da je potrebno i dovoljne uslove nezavisnost linijskog integrala

sa puta integracije su:

Napomena 2. Ako su ispunjeni uslovi (28/1.18), izraz Pdx + Qdy + Rdz je ukupni diferencijal neke funkcije I. Ovo nam omogućava da smanjimo izračunavanje krivolinijskog integrala na određivanje razlike između vrijednosti I na krajnjim i početnim tačkama konture integracije, pošto

U ovom slučaju, funkcija I može se pronaći pomoću formule

Gdje ( x 0 , y 0 , z 0)– tačka iz područja D, a C– proizvoljna konstanta. Zaista, lako je provjeriti da su parcijalni derivati ​​funkcije I, date formulom (28/1.19), jednake su P, Q I R.

2. vrsta sa puta integracije

Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste, gdje je L kriva koja povezuje točke M i N. Neka funkcije P(x, y) i Q(x, y) imaju kontinuirane parcijalne izvode u nekoj domeni D u kojoj je kriva L u potpunosti leži. Odredimo uslove pod kojima razmatrani krivolinijski integral ne zavisi od oblika krive L, već samo od položaja tačaka M i N.

Nacrtajmo dvije proizvoljne krive MSN i MTN, koje leže u području D i povezuju tačke M i N (slika 14).

Pretpostavimo da, tj.

gdje je L zatvorena petlja sastavljena od MSN i NTM krive (dakle, može se smatrati proizvoljnim). Dakle, uslov za nezavisnost krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije je ekvivalentan uslovu da je takav integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi jednak nuli.

Teorema 5 (Grinov teorem). Neka su funkcije P(x, y) i Q(x, y) i njihove parcijalne derivacije i kontinuirane u svim tačkama neke domene D. Zatim, da bi bilo koja zatvorena kontura L koja leži u domeni D zadovoljila uslov

neophodno je i dovoljno da = u svim tačkama oblasti D.

Dokaz.

1) Dovoljnost: neka je uslov = zadovoljen. Razmotrimo proizvoljnu zatvorenu konturu L u području D, koja ograničava regiju S, i napišimo Greenovu formulu za nju:

Dakle, dovoljnost je dokazana.

2) Neophodnost: pretpostavimo da je uslov zadovoljen u svakoj tački regiona D, ali postoji barem jedna tačka ovog regiona u kojoj -? 0. Neka, na primjer, u tački P(x0, y0) imamo: - > 0. Pošto lijeva strana nejednakosti sadrži kontinuiranu funkciju, hoće li ona biti pozitivna i veća od neke? > 0 u nekoj maloj oblasti D` koja sadrži tačku P. Prema tome,

Odavde, koristeći Greenovu formulu, dobijamo to

gdje je L` kontura koja ograničava područje D`. Ovaj rezultat je u suprotnosti sa uslovom. Prema tome, = u svim tačkama oblasti D, što je trebalo dokazati.

Napomena 1. Slično, za trodimenzionalni prostor može se dokazati da su potrebni i dovoljni uslovi za nezavisnost krivolinijskog integrala

sa puta integracije su:

Napomena 2. Ako su ispunjeni uslovi (52), izraz Pdx + Qdy + Rdz je ukupni diferencijal neke funkcije u. Ovo nam omogućava da smanjimo izračunavanje krivolinijskog integrala na određivanje razlike između vrijednosti i na krajnjoj i na početnoj tački konture integracije, jer

U ovom slučaju, funkcija i može se pronaći pomoću formule

gde je (x0, y0, z0) tačka iz regiona D, a C je proizvoljna konstanta. Zaista, lako je provjeriti da su parcijalni izvodi funkcije i, dani formulom (53), jednaki P, Q i R.

Primjer 10.

Izračunati linijski integral 2. vrste

duž proizvoljne krive koja povezuje tačke (1, 1, 1) i (2, 3, 4).

Uvjerimo se da su ispunjeni uslovi (52):

Dakle, funkcija postoji. Pronađimo ga pomoću formule (53), stavljajući x0 = y0 = z0 = 0. Tada

Dakle, funkcija je određena do proizvoljnog konstantnog člana. Uzmimo C = 0, tada je u = xyz. dakle,

Sa puta integracije.

Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste, gdje L– kriva koja povezuje tačke M I N. Neka funkcije P(x, y) I Q(x, y) imaju kontinuirane parcijalne izvode u nekom domenu D, koji sadrži cijelu krivu L. Odredimo uslove pod kojima razmatrani krivolinijski integral ne zavisi od oblika krive L, ali samo na lokaciji tačaka M I N.

Nacrtajmo dvije proizvoljne krive MPN I MQN, koji leži u okolini D i spojne tačke M I N(Sl. 1).

Q

M N Rice. 1.

Pretpostavimo to , odnosno

Onda gde L– zatvorena kontura sastavljena od krivih MPN I N.Q.M.(dakle, može se smatrati proizvoljnim). Dakle, uslov za nezavisnost krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije je ekvivalentan uslovu da je takav integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi jednak nuli.

Ulaznica br. 34.Površinski integral prve vrste (preko površine). Primjena (masa površine materijala, koordinate centra gravitacije, momenti, površina zakrivljene površine).

Razmislite o otvorenoj površini S, ograničen konturom L, i podijelite ga na dijelove nekim krivuljama S 1, S 2,…, S n. Odaberimo po jednu tačku u svakom dijelu M i i projektovati ovaj dio na tangentnu ravan na površinu koja prolazi kroz ovu tačku. Dobijamo u projekciji ravnu figuru sa površinom T i. Nazovimo ρ najveća udaljenost između dvije točke na bilo kojem dijelu površine S.

Definicija 12.1. Hajde da pozovemo području S površine ograničenje sume područja T i at

Površinski integral prve vrste.

Razmotrite neku površinu S, ograničen konturom L, i razbiti ga na dijelove S 1, S 2,…, S str(također ćemo označiti površinu svakog dijela S p). Neka vrijednost funkcije bude specificirana u svakoj tački ove površine f(x, y, z). Birajmo u svakom dijelu S i tačka M i (x i , y i , z i) i sastavi integralni zbir

. (12.2)

Definicija 12.2. Ako postoji konačna granica za integralni zbir (12.2), neovisno o načinu podjele površine na dijelove i izboru tačaka M i, onda se zove površinski integral prve vrste iz funkcije f(M) = f(x, y, z) na površini S i određen je

Komentar. Površinski integral 1. vrste ima uobičajena svojstva integrala (linearnost, zbir integrala date funkcije po pojedinim dijelovima površine koja se razmatra, itd.).

Geometrijski i fizičko značenje površinski integral 1. vrste.

Ako je integrand f(M)≡ 1, onda iz definicije 12.2 slijedi da je jednaka površini površine koja se razmatra S.

. (12.4)

Primena površinskog integrala 1. vrste.

1. Površina zakrivljene površine, čija je jednadžba z = f(x, y), može se naći u obliku:

(14.21)

(Ω – projekcija S na O avion xy).

2. Površinska masa

(14.22)

3. Trenuci:

Statički momenti površine u odnosu na koordinatne ravni O xy, O xz, O yz;

Momenti inercije površine u odnosu na koordinatne ose;

Momenti inercije površine u odnosu na koordinatne ravni;

- (14.26)

Moment inercije površine u odnosu na ishodište.

4. Koordinate površinskog centra mase:

. (14.27)

Ulaznica broj 35. Proračun površinskog integrala 1. vrste (svođenje na višekratnik).

Ograničimo se na slučaj kada je površina S je dat eksplicitno, to jest, jednačinom oblika z = φ(x, y). Štaviše, iz definicije površine proizlazi da

S i =, gdje je Δ σi – područje projekcije S i na O avion xy, A γ i– ugao između O ose z i normalno na površinu S u tački M i. To je poznato

,

Gdje ( x i , y i , z i) – koordinate tačke M i. stoga,

Zamjenom ovog izraza u formulu (12.2) dobijamo to

,

Gdje se zbrajanje na desnoj strani vrši preko područja Ω O ravni xy, što je projekcija na ovu površinsku ravninu S(Sl. 1).

S: z=φ(x,y)

Δσ iΩ

Istovremeno, na desnoj strani dobijena je integralna suma za funkciju dvije varijable nad ravnom regijom, koja u granici na daje dvostruki integral površinskog integrala 1. vrste za proračun dvostruki integral:

Komentar. Pojasnimo još jednom da se na lijevoj strani formule (12.5) nalazi površine integralni, a desno - duplo.

Ulaznica broj 36.Površinski integral druge vrste. Vektorski tok polja. Odnos površinskih integrala prve i druge vrste.

Vektorski tok polja.

Razmotrimo vektorsko polje A (M), definisan u prostornom domenu G, orijentisana glatka površina S G i polje jediničnih normala n (M) na odabranoj strani površine S.

Definicija 13.3. Površinski integral 1. vrste

, (13.1)

Gdje An je skalarni proizvod odgovarajućih vektora, i A str– vektorska projekcija A u normalni smjer se zove vektorski tok polja A(M) kroz odabranu stranu površine S .

Napomena 1. Ako odaberete drugu stranu površine, onda će normala, a samim tim i fluks promijeniti predznak.

Napomena 2. Ako je vektor A specificira brzinu protoka fluida u datoj tački, zatim integral (13.1) određuje količinu fluida koja teče u jedinici vremena kroz površinu S u pozitivnom smjeru (otuda uobičajeni izraz "tok").

Neka je dato ravno vektorsko polje. U nastavku ćemo pretpostaviti da su funkcije P i Q kontinuirane, zajedno sa svojim derivatima, u nekom području O ravnine

Razmotrimo dvije proizvoljne tačke u području G. Ove tačke se mogu povezati različitim linijama koje leže u području duž koje su vrijednosti krivolinijskog integrala, općenito govoreći, različite.

Tako, na primjer, razmotrite krivolinijski integral

i dvije tačke. Izračunajmo ovaj integral, prvo, duž prave linije koja spaja tačke A i B, i, drugo, duž luka parabole koji povezuje ove iste tačke. Primjenom pravila za izračunavanje krivolinijskog integrala nalazimo

a) duž segmenta

b) duž luka parabole:

Dakle, vidimo da vrijednosti krivolinijskog integrala zavise od puta integracije, odnosno zavise od vrste prave koja povezuje tačke A i B. Naprotiv, kao što je lako provjeriti, krivolinijski integral duž iste linije koje povezuju točke daje istu vrijednost jednaku .

Analizirani primjeri pokazuju da se krivolinijski integrali izračunati po različitim putanjama koje spajaju dvije date tačke u nekim slučajevima međusobno razlikuju, au drugim slučajevima poprimaju istu vrijednost.

Neka su A i B dvije proizvoljne tačke regiona G. Razmotrimo različite krive koje leže u regionu G i povezuju tačke A i B.

Ako linijski integral duž bilo koje od ovih putanja ima istu vrijednost, onda se kaže da je nezavisan od puta integracije.

Sljedeće dvije teoreme daju uslove pod kojima je linijski integral nezavisan od puta integracije.

Teorema 1. Da bi krivolinijski integral u nekom domenu G bio nezavisan od puta integracije, neophodno je i dovoljno da integral nad bilo kojom zatvorenom konturom koja leži u ovom domenu bude jednak nuli.

Dokaz. Adekvatnost.

Neka je integral po bilo kojoj zatvorenoj konturi nacrtanoj u području G jednak nuli. Pokažimo da ovaj integral ne zavisi od puta integracije. U stvari, neka su A i B dve tačke koje pripadaju regionu G. Povežimo ove tačke sa dve različite, proizvoljno izabrane krive koje leže u regionu G (slika 257).

Pokažimo da lukovi formiraju zatvorenu konturu Uzimajući u obzir svojstva krivolinijskih integrala, dobijamo

jer . Ali prema uslovu, to je kao integral zatvorene petlje.

Dakle, ili Dakle, linijski integral ne zavisi od puta integracije.

Nužnost. Neka je krivolinijski integral u domeni G nezavisan od puta integracije. Pokažimo da je integral nad bilo kojom zatvorenom konturom koja leži u ovom području jednak nuli. U stvari, razmotrimo proizvoljnu zatvorenu konturu koja leži u oblasti G i uzmimo na njoj dve proizvoljne tačke A i B (vidi sliku 257). Onda

jer prema stanju . Dakle, integral nad bilo kojom zatvorenom konturom L koja leži u području G jednak je nuli.

Sljedeća teorema daje uslove pogodne za praktičnu upotrebu, pod kojima krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije.

Teorema 2.

Da bi krivolinijski integral bio nezavisan od puta integracije u jednostavno povezanoj domeni, neophodno je i dovoljno da uslov bude zadovoljen u svakoj tački u ovoj domeni

Dokaz. Adekvatnost. Pokažimo u domeni da je krivolinijski integral nad bilo kojom zatvorenom konturom L koja leži u domeni G jednak nuli. Razmotrimo područje a ograničeno konturom L. Zbog jednostavno povezane prirode područja G, područje a u potpunosti pripada ovoj oblasti. Na temelju formule Ostrogradsky-Green, posebno na web mjestu Stoga i stoga, . Dakle, integral preko bilo koje zatvorene konture L u oblasti G jednak je nuli. Na osnovu teoreme 1 zaključujemo da krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije.

Nužnost. Neka je krivolinijski integral nezavisan od puta integracije u nekom domenu Q. Pokažimo da u svim tačkama domene

Pretpostavimo suprotno, tj. da je u nekoj tački u području Neka, za određenost, . Zbog pretpostavke kontinuiteta parcijalnih izvoda, razlika će biti kontinuirana funkcija. Prema tome, oko tačke je moguće opisati kružnicu a (koja leži u oblasti G), u čijim će svim tačkama, kao i u tački, razlika biti pozitivna. Primijenimo formulu Ostrogradsky-Green na krug.