Formula za izvod funkcije specificirane implicitno. Dokaz i primjeri primjene ove formule. Primjeri izračunavanja derivata prvog, drugog i trećeg reda.

Izvod prvog reda

Neka funkcija bude specificirana implicitno koristeći jednadžbu
(1) .
I neka ova jednadžba, za neku vrijednost, ima jedinstveno rješenje.
.
Neka je funkcija diferencijabilna funkcija u točki , i
(2) .

Zatim, na ovoj vrijednosti, postoji izvod, koji je određen formulom:

Dokaz
.
Da biste to dokazali, razmotrite funkciju kao kompleksnu funkciju varijable:
(3) :
.
Primijenimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije i pronađemo derivaciju u odnosu na varijablu s lijeve i desne strane jednačine
(4) ;
.

Budući da je derivacija konstante nula i , Onda

Formula je dokazana.

Derivati ​​višeg reda
(4) .
Prepišimo jednačinu (4) koristeći različite oznake:
;
.
U isto vrijeme i složene su funkcije varijable:
(1) .

Ovisnost je određena jednadžbom (1):
Pronalazimo derivaciju u odnosu na varijablu s lijeve i desne strane jednačine (4).
;
.
Prema formuli za izvod kompleksne funkcije imamo:

.
Prema formuli derivata proizvoda:


.

Koristeći formulu izvedenog zbira:
(5) .
Pošto je derivacija desne strane jednačine (4) jednaka nuli, onda

Zamjenom izvoda ovdje dobijamo vrijednost izvoda drugog reda u implicitnom obliku.
.
Diferencirajući jednadžbu (5) na sličan način, dobijamo jednačinu koja sadrži izvod trećeg reda:

Zamjenjujući ovdje pronađene vrijednosti derivata prvog i drugog reda, nalazimo vrijednost derivata trećeg reda.

Nastavljajući diferencijaciju, može se pronaći derivat bilo kojeg reda.

Primjeri

Primjer 1
Pronađite izvod prvog reda funkcije date implicitno jednadžbom: .

(P1)

Rješenje po formuli 2
(2) .

Izvod nalazimo pomoću formule (2):
.
Pomerimo sve varijable na lijevu stranu tako da jednačina dobije oblik .

Odavde.
;
;
;
.

Nalazimo derivaciju u odnosu na , smatrajući je konstantnom.
;
;
;
.

Pronalazimo derivaciju u odnosu na varijablu, s obzirom na konstantu varijable.
.

Koristeći formulu (2) nalazimo:
.
Pomnožite brojilac i imenilac sa:
.

Rešenje drugog načina

Riješimo ovaj primjer na drugi način. Da bismo to učinili, naći ćemo izvod u odnosu na varijablu lijeve i desne strane izvorne jednačine (A1).

Primjenjujemo:
.
Primjenjujemo formulu izvedenog razlomka:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije:
.
Razlikujemo originalnu jednačinu (A1).
Pronađite izvod prvog reda funkcije date implicitno jednadžbom: ;
;
.
Množimo sa i grupišemo pojmove.
;
.

Zamijenimo (iz jednačine (A1)):
.
pomnoži sa:
.

Primjer 2

Pronađite izvod drugog reda funkcije date implicitno koristeći jednadžbu:
(A2.1) .

Originalnu jednačinu razlikujemo s obzirom na varijablu, s obzirom da je ona funkcija:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
.

Hajde da razlikujemo originalnu jednačinu (A2.1):
;
.
Iz originalne jednačine (A2.1) slijedi da .
.
Zamenimo:
;
Otvorite zagrade i grupirajte članove: .
(A2.2)
Nalazimo izvod prvog reda: .

(A2.3)
;
;
;
.
Da bismo pronašli izvod drugog reda, diferenciramo jednačinu (A2.2).
.
pomnoži sa:

;
.
Zamijenimo izraz za izvod prvog reda (A2.3):

Odavde nalazimo derivat drugog reda.

Primjer 3
Pronađite izvod trećeg reda funkcije date implicitno koristeći jednadžbu: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Mi razlikujemo originalnu jednačinu s obzirom na varijablu, uz pretpostavku da je funkcija od . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
Izdiferencirajmo jednačinu (A3.2) s obzirom na varijablu . .

(A3.3)
;
;
;
;
;
Hajde da izdiferenciramo jednačinu (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Iz jednačina (A3.2), (A3.3) i (A3.4) nalazimo vrijednosti izvoda na .
Derivat funkcije specificirane implicitno.

Derivat parametarski definirane funkcije U ovom članku ćemo pogledati još dva tipična zadatka koja se često nalaze testovi By višu matematiku . Da biste uspješno savladali gradivo, morate biti u stanju pronaći derivate barem na srednjem nivou. Možete naučiti pronaći derivate praktično od nule u dvije osnovne lekcije i Derivat kompleksne funkcije

. Ako su vaše vještine razlikovanja u redu, idemo.

Derivat funkcije specificirane implicitno

Ili, ukratko, derivat implicitne funkcije. Šta je implicitna funkcija? Prisjetimo se prvo same definicije funkcije jedne varijable: Jedna varijabla funkcija

je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti funkcije. Varijabla se poziva nezavisna varijabla ili.
argument Varijabla se poziva nezavisna varijabla zavisna varijabla .

funkcija Do sada smo gledali funkcije definirane u eksplicitno

formu. šta to znači? Hajde da provedemo debrifing koristeći konkretne primjere.

Razmotrite funkciju Vidimo da na lijevoj strani imamo usamljenog "igrača", a na desnoj -. Odnosno, funkcija eksplicitno izraženo kroz nezavisnu varijablu.

Pogledajmo još jednu funkciju:

Ovdje su varijable pomiješane. Štaviše nemoguće na bilo koji način izraziti “Y” samo kroz “X”. Koje su to metode? Prenošenje pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, njihovo micanje iz zagrada, bacanje faktora prema pravilu proporcije, itd. Prepišite jednakost i pokušajte eksplicitno izraziti “y”: . Možete satima uvijati i okretati jednačinu, ali nećete uspjeti.

Dozvolite mi da vas predstavim: – primjer implicitna funkcija.

U toku matematičke analize dokazano je da je implicitna funkcija postoji(međutim, ne uvijek), ima graf (baš kao "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je potpuno ista postoji prvi izvod, drugi izvod itd. Kako kažu, poštuju se sva prava seksualnih manjina.

I u ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije specificirane implicitno. Nije tako teško! Sva pravila diferencijacije, tabela derivata elementarne funkcije ostaju na snazi. Razlika je u jednom neobičnom trenutku, koji ćemo sada pogledati.

Da, i reći ću vam dobru vijest - zadaci o kojima se govori u nastavku izvode se prema prilično strogom i jasnom algoritmu bez kamena ispred tri staze.

Primjer 1

1) U prvoj fazi pričvršćujemo poteze na oba dijela:

2) Koristimo pravila linearnosti derivacije (prva dva pravila lekcije Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja):

3) Direktna diferencijacija.
Kako razlikovati je potpuno jasno. Šta raditi tamo gdje su "igre" ispod poteza?

- samo do sramote, derivacija funkcije jednaka je njenom izvodu: .

Kako razlikovati
Evo nas složena funkcija. Zašto? Čini se da ispod sinusa postoji samo jedno slovo "Y". Ali činjenica je da postoji samo jedno slovo "y" - JE SAMA FUNKCIJA(vidi definiciju na početku lekcije). Dakle, sinus je eksterna funkcija i unutrašnja je funkcija. Koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Proizvod razlikujemo prema uobičajenom pravilu :

Imajte na umu da je – također složena funkcija, svaka "igra sa zvonima i zviždaljkama" je složena funkcija:

Samo rješenje bi trebalo izgledati otprilike ovako:


Ako postoje zagrade, proširite ih:

4) Na lijevoj strani skupljamo pojmove koji sadrže “Y” sa prostim brojem. Sve ostalo pomjerite na desnu stranu:

5) Na lijevoj strani vadimo izvod iz zagrada:

6) I prema pravilu proporcije ove zagrade ispuštamo u nazivnik desne strane:

Izvod je pronađen. Spreman.

Zanimljivo je napomenuti da se bilo koja funkcija može implicitno prepisati. Na primjer, funkcija može se prepisati ovako: . I razlikovati ga koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Zapravo, fraze “implicitna funkcija” i “implicitna funkcija” razlikuju se u jednoj semantičkoj nijansi. Izraz "implicitno specificirana funkcija" je općenitiji i ispravniji, – ova funkcija je specificirana implicitno, ali ovdje možete izraziti „igru“ i eksplicitno predstaviti funkciju. Riječi “implicitna funkcija” češće znače “klasičnu” implicitnu funkciju, kada se “igra” ne može izraziti.

Također treba napomenuti da "implicitna jednačina" može implicitno specificirati dvije ili čak više funkcija odjednom, na primjer, jednadžba kruga implicitno definira funkcije , , koje definiraju polukrugove, ali, u okviru ovog članka, mi neće praviti posebnu razliku između pojmova i nijansi, to je bila samo informacija za opšti razvoj.

Drugo rješenje

Pažnja! S drugom metodom možete se upoznati samo ako znate kako pouzdano pronaći parcijalni derivati. Početnici u učenju matematička analiza i čajnike molim nemojte čitati i preskočiti ovu tačku, inače će ti glava biti potpuni nered.

Nađimo izvod implicitne funkcije koristeći drugu metodu.

Pomeramo sve pojmove na lijevu stranu:

I razmotrite funkciju dvije varijable:

Tada se naš izvod može pronaći pomoću formule
Nađimo parcijalne derivate:

ovako:

Drugo rješenje vam omogućava da izvršite provjeru. Ali nije preporučljivo da napišu konačnu verziju zadatka, jer se parcijalni izvod savladavaju kasnije, a student koji proučava temu „Izvod funkcije jedne varijable“ još ne bi trebao znati parcijalne izvode.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Dodajte poteze na oba dijela:

Koristimo pravila linearnosti:

Pronalaženje derivata:

Otvaranje svih zagrada:

Sve pojmove sa pomjerimo na lijevu stranu, a ostale na desnu stranu:

Konačan odgovor:

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno da razlomci nastaju nakon diferencijacije. U takvim slučajevima morate se riješiti razlomaka. Pogledajmo još dva primjera.

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Oba dijela stavljamo pod crte i koristimo pravilo linearnosti:

Razlikujte koristeći pravilo za diferenciranje složene funkcije i pravilo diferencijacije količnika :

Proširivanje zagrada:

Sada se trebamo riješiti razlomka. To se može učiniti kasnije, ali je racionalnije to učiniti odmah. Nazivnik razlomka sadrži . Pomnožite na . Detaljno, to će izgledati ovako:

Ponekad se nakon diferencijacije pojavljuju 2-3 frakcije. Ako bismo imali drugi razlomak, na primjer, tada bi operaciju trebalo ponoviti - množiti svaki pojam svakog dijela on

Na lijevoj strani stavljamo ga iz zagrada:

Konačan odgovor:

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Jedina stvar je da prije nego što se riješite razlomka, prvo ćete se morati riješiti trokatne strukture samog razlomka. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Derivat parametarski definirane funkcije

Da ne naglašavamo, sve u ovom odlomku je takođe prilično jednostavno. Možete zapisati opću formulu parametarski definirane funkcije, ali, da bi bilo jasno, odmah ću napisati konkretan primjer. U parametarskom obliku, funkcija je data sa dvije jednačine: . Često se jednadžbe ne pišu pod vitičastim zagradama, već uzastopno: , .

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost". Razmotrite, na primjer, vrijednost i zamijenite je u obje jednačine: . Ili ljudskim riječima: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Možete označiti tačku na koordinatnoj ravni, a ta tačka će odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra “te”. Što se tiče "regularne" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije, također se poštuju sva prava: možete graditi graf, pronaći derivate itd. Usput, ako trebate nacrtati graf parametarski definirane funkcije, možete koristiti moj program.

U najjednostavnijim slučajevima, funkciju je moguće eksplicitno predstaviti. Izrazimo parametar: – iz prve jednačine i zamijenimo ga drugom jednačinom: . Rezultat je obična kubična funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne funkcionira. Ali nije važno, jer postoji formula za pronalaženje derivacije parametarske funkcije:

Nalazimo derivat "igre s obzirom na varijablu te":

Sva pravila diferencijacije i tablica izvedenica vrijede, naravno, za slovo , dakle, nema novina u procesu pronalaženja derivata. Samo mentalno zamijenite sva "X" u tabeli sa slovom "Te".

Nalazimo derivaciju "x u odnosu na varijablu te":

Sada ostaje samo da nađene derivate zamijenimo u našu formulu:

Spreman. Izvod, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se tiče notacije, umjesto da je upišemo u formulu, moglo bi se jednostavno napisati bez indeksa, jer je ovo „regularni“ derivat „u odnosu na X“. Ali u literaturi uvijek postoji opcija, tako da neću odstupiti od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

IN u ovom slučaju:

ovako:

Posebna karakteristika nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika šansa da će se prilikom zamjene u formulu mnoge stvari dobro smanjiti. Iako, naravno, ima primjera sa nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije specificirane parametarski

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

U članku Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama pogledali smo primjere u kojima smo trebali pronaći drugi izvod funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugi izvod, a on se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očigledno da da biste pronašli drugi izvod, prvo morate pronaći prvi izvod.

Primjer 8

Naći prvi i drugi izvod funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvi derivat.
Koristimo formulu

u ovom slučaju:

Funkcija Z= f(x; y) naziva se implicitnom ako je data jednačinom F(x,y,z)=0 nerazriješena u odnosu na Z. Nađimo parcijalne izvode funkcije Z date implicitno. Da bismo to učinili, zamjenom funkcije f(x;y) u jednačinu umjesto Z, dobijamo identitet F(x,y, f(x,y))=0. Parcijalni derivati ​​funkcije identično jednake nuli u odnosu na x i y također su jednaki nuli.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (smatra se konstantom)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xsmatrana konstanta)

Gdje
I

Primjer: Pronađite parcijalne izvode funkcije Z date jednadžbom
.

Ovdje je F(x,y,z)=
;
;
;
. Prema gore navedenim formulama imamo:

I

1. Smjerni derivat

Neka je data funkcija dvije varijable Z= f(x; y) u određenom susjedstvu tačke M (x,y). Razmotrimo neki smjer definiran jediničnim vektorom
, Gdje
(vidi sliku).

Na pravoj liniji koja prolazi u ovom pravcu kroz tačku M, uzimamo tačku M 1 (
) tako da dužina
segmentMM 1 je jednak
. Prirast funkcije f(M) je određen relacijom gdje je
povezani odnosima. Granica omjera at
zvaće se derivacija funkcije
u tački
u pravcu i biti određen .

=

Ako je funkcija Z diferencijabilna u točki
, zatim njegovo povećanje u ovoj tački uzimajući u obzir odnose za
može se napisati u sljedećem obliku.

dijeleći oba dijela sa

i prelazeći do granice na
dobijamo formulu za izvod funkcije Z= f(x; y) u pravcu:

1. Gradijent

Razmotrimo funkciju tri varijable
diferenciran u nekom trenutku
.

Gradijent ove funkcije
u tački M je vektor čije su koordinate jednake parcijalnim derivacijama
u ovom trenutku. Da biste označili gradijent, koristite simbol
.
=
.

.Gradijent pokazuje smjer najbržeg rasta funkcije u datoj tački.

Pošto je jedinični vektor ima koordinate (
), tada se smjerni izvod za slučaj funkcije tri varijable zapisuje u obliku, tj. ima formulu za skalarni proizvod vektora I
. Prepišimo posljednju formulu na sljedeći način:

, Gdje - ugao između vektora I
. Pošto
, onda slijedi da derivacija funkcije u smjeru uzima maksimalnu vrijednost na =0, tj. kada je smjer vektora I
match. U isto vreme
To jest, u stvari, gradijent funkcije karakterizira smjer i veličinu maksimalne brzine povećanja ove funkcije u nekoj tački.

1. Ekstremum funkcije dvije varijable

Koncepti max, min, ekstremuma funkcije dvije varijable slični su odgovarajućim konceptima funkcije jedne varijable. Neka je funkcija Z= f(x; y) definirana u nekom domenu D, itd.
pripada ovom području. Tačka M
naziva se maksimalna tačka funkcije Z= f(x; y) ako postoji takvo δ-susjedstvo tačke
, da je za svaku tačku iz ove okoline nejednakost
. Tačka min se određuje na sličan način, samo će se promijeniti predznak nejednakosti
. Vrijednost funkcije u tački max(min) naziva se maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcije nazivaju se ekstremima.

1. Neophodni i dovoljni uslovi za ekstrem

Teorema:(Neophodni uslovi za ekstrem). Ako u tački M
diferencijabilna funkcija Z= f(x; y) ima ekstrem, tada su njeni parcijalni derivati ​​u ovoj tački jednaki nuli:
,
.

dokaz: Nakon fiksiranja jedne od varijabli x ili y, transformiramo Z = f(x; y) u funkciju jedne varijable, za čiji ekstrem moraju biti ispunjeni gore navedeni uvjeti. Geometrijski jednakosti
I
znači da je u tački ekstrema funkcije Z= f(x; y), tangentna ravan na površinu koja predstavlja funkciju f(x,y)=Z paralelna sa ravninom OXY, jer jednadžba tangentne ravni je Z = Z 0. Tačka u kojoj su parcijalni izvodi prvog reda funkcije Z = f (x; y) jednaki nuli, tj.
,
, nazivaju se stacionarna točka funkcije. Funkcija može imati ekstrem u tačkama u kojima barem jedan od parcijalnih izvoda ne postoji. Na primjer Z=|-
| ima max u tački O(0,0), ali nema izvoda u ovoj tački.

Stacionarne tačke i tačke u kojima ne postoji barem jedan parcijalni izvod nazivaju se kritične tačke. U kritičnim tačkama funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem. Jednakost parcijalnih izvoda nuli je neophodan, ali ne i dovoljan uslov za postojanje ekstrema. Na primjer, kada je Z=xy, tačka O(0,0) je kritična. Međutim, funkcija Z=xy nema ekstremu u sebi. (Jer u kvartalima I i III Z>0, a u kvartalima II i IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (dovoljno stanje za ekstreme). Neka u stacionarnoj tački
a u određenoj okolini funkcija f(x; y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno 2. reda. Izračunajmo u tački
vrijednosti
,
I
. Označimo

U slučaju
, ekstremum u tački
Može i ne mora biti. Potrebno je više istraživanja.

Ili ukratko - derivat implicitne funkcije. Šta je implicitna funkcija? Pošto su moje lekcije praktične, pokušavam izbjeći definicije i teoreme, ali bi bilo prikladno to učiniti ovdje. Šta je uopće funkcija?

Funkcija jedne varijable je pravilo koje kaže da za svaku vrijednost nezavisne varijable postoji jedna i samo jedna vrijednost funkcije.

je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti funkcije. Varijabla se poziva nezavisna varijabla ili.
Varijabla se poziva Varijabla se poziva nezavisna varijabla zavisna varijabla.

Grubo govoreći, slovo “Y” u ovom slučaju je funkcija.

funkcija Do sada smo gledali funkcije definirane u eksplicitno

formu. šta to znači? Hajde da provedemo debrifing koristeći konkretne primjere.

Vidimo da na lijevoj strani imamo usamljenu "igru" (funkciju), a na desnoj - Vidimo da na lijevoj strani imamo usamljenog "igrača", a na desnoj -. Odnosno, funkcija eksplicitno izraženo kroz nezavisnu varijablu.

Pogledajmo još jednu funkciju:

Ovdje su varijable pomiješane. Štaviše nemoguće na bilo koji način izraziti “Y” samo kroz “X”. Koje su to metode? Prenošenje pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, njihovo micanje iz zagrada, bacanje faktora prema pravilu proporcije, itd. Prepišite jednakost i pokušajte eksplicitno izraziti “y”: . Možete satima uvijati i okretati jednačinu, ali nećete uspjeti.

Dozvolite mi da vas predstavim: - primjer implicitna funkcija.

U toku matematičke analize dokazano je da je implicitna funkcija postoji(međutim, ne uvijek), ima graf (baš kao "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je potpuno ista postoji prvi izvod, drugi izvod itd. Kako kažu, poštuju se sva prava seksualnih manjina.

I u ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije specificirane implicitno. Nije tako teško! Sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija ostaju na snazi. Razlika je u jednom neobičnom trenutku, koji ćemo sada pogledati.

Da, i reći ću vam dobru vijest - zadaci o kojima se govori u nastavku izvode se prema prilično strogom i jasnom algoritmu bez kamena ispred tri staze.

Primjer 1

1) U prvoj fazi pričvršćujemo poteze na oba dijela:

2) Koristimo pravila linearnosti derivacije (prva dva pravila lekcije Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja):

3) Direktna diferencijacija.
Kako razlikovati je potpuno jasno. Šta raditi tamo gdje su "igre" ispod poteza?

Samo do sramote derivacija funkcije jednaka je njenom izvodu: .

Kako razlikovati

Evo nas složena funkcija. Zašto? Čini se da ispod sinusa postoji samo jedno slovo "Y". Ali činjenica je da postoji samo jedno slovo "y" - JE SAMA FUNKCIJA(vidi definiciju na početku lekcije). Dakle, sinus je eksterna funkcija i unutrašnja je funkcija. Koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Proizvod razlikujemo prema uobičajenom pravilu:

Imajte na umu da je - također složena funkcija, svaka "igra sa zvonima i zviždaljkama" je složena funkcija:

Samo rješenje bi trebalo izgledati otprilike ovako:

Ako postoje zagrade, proširite ih:

4) Na lijevoj strani skupljamo pojmove koji sadrže “Y” sa prostim brojem. Sve ostalo pomjerite na desnu stranu:

5) Na lijevoj strani vadimo izvod iz zagrada:

6) I prema pravilu proporcije ove zagrade ispuštamo u nazivnik desne strane:

Izvod je pronađen. Spreman.

Zanimljivo je napomenuti da se bilo koja funkcija može implicitno prepisati. Na primjer, funkcija se može prepisati ovako: . I razlikovati ga koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Zapravo, fraze “implicitna funkcija” i “implicitna funkcija” razlikuju se u jednoj semantičkoj nijansi. Izraz “funkcija specificirana u implicitnom obliku” je opštija i ispravnija - ova funkcija je specificirana u implicitnom obliku, ali ovdje možete izraziti “igru” i eksplicitno predstaviti funkciju. Izraz “implicitna funkcija” odnosi se na “klasičnu” implicitnu funkciju kada se “y” ne može izraziti.

Drugo rješenje

Pažnja! S drugom metodom možete se upoznati samo ako znate kako pouzdano pronaći parcijalne derivate. Početnici i početnici u proučavanju matematičke analize, nemojte čitati i preskočiti ovu tačku, inače će vam glava biti u potpunom neredu.

Nađimo izvod implicitne funkcije koristeći drugu metodu.

Pomeramo sve pojmove na lijevu stranu:

I razmotrite funkciju dvije varijable:

Tada se naš izvod može pronaći pomoću formule

Nađimo parcijalne derivate:

ovako:

Drugo rješenje vam omogućava da izvršite provjeru. Ali nije preporučljivo da napišu konačnu verziju zadatka, jer se parcijalni izvod savladavaju kasnije, a student koji proučava temu „Izvod funkcije jedne varijable“ još ne bi trebao znati parcijalne izvode.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Dodajte poteze na oba dijela:

Koristimo pravila linearnosti:

Pronalaženje derivata:

Otvaranje svih zagrada:

Sve pojmove sa pomeramo na lijevu stranu, ostale - na desnu stranu:

Na lijevoj strani stavljamo ga iz zagrada:

Konačan odgovor:

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno da razlomci nastaju nakon diferencijacije. U takvim slučajevima morate se riješiti razlomaka. Pogledajmo još dva primjera: svaki pojam svakog dijela

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Jedina stvar je da prije nego što se riješite razlomka, prvo ćete se morati riješiti trokatne strukture samog razlomka. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.