N-ti korijen kompleksnog kompleksa. Potencija sa proizvoljnim racionalnim eksponentom

brojevi u trigonometrijskom obliku.

Moivreova formula

Neka je z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) i z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Trigonometrijski oblik pisanja kompleksnog broja pogodan je za korištenje za izvođenje operacija množenja, dijeljenja, podizanja na cijeli broj i vađenja korijena stepena n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Prilikom množenja dva kompleksna broja u trigonometrijskom obliku, njihovi moduli se množe i njihovi argumenti se dodaju. Prilikom podjele njihovi moduli se dijele i njihovi argumenti se oduzimaju.

Posljedica pravila za množenje kompleksnog broja je pravilo za podizanje kompleksnog broja na stepen.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ovaj omjer se zove Moivreova formula.

Primjer 8.1 Pronađite proizvod i količnik brojeva:

I

Rješenje

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Primjer 8.2 Napišite broj u trigonometrijskom obliku

∙
–i) 7 .

Rješenje

Označimo
i z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arktan
;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arktan
;

z 2 = 2
) 5
z 1 5 = (

;
z 2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Izdvajanje korena kompleksnog brojaDefinicija. Root n
stepen kompleksnog broja z (označiti) se zove
= 0.

kompleksni broj

w takav da je w n = z. Ako je z = 0, onda

Neka je z  0, z = r(cos + isin). Označimo w = (cos + sin), zatim zapišemo jednačinu w n = z u sljedećem obliku

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Stoga je  n = r,

Dakle, wk =

Među ovim vrijednostima ima tačno n različitih.
Stoga je k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Na kompleksnoj ravni, ove tačke su vrhovi pravilnog n-ugla upisanog u krug poluprečnika

sa centrom u tački O (slika 12). Slika 12
.

Primjer 9.1

Pronađite sve vrijednosti

Rješenje.
Hajde da predstavimo ovaj broj u trigonometrijskom obliku. Nađimo njegov modul i argument.

w k =
.

, gdje je k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
w 3 =

Na kompleksnoj ravni ove tačke su vrhovi kvadrata upisanog u krug poluprečnika

sa centrom na početku (slika 13). Slika 12
.

Primjer 9.1

Slika 13 Slika 14

Rješenje.
Primjer 9.2

w k =
z = – 64 = 64(cos +isin);
;

w 0 =
, gdje je k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

Na kompleksnoj ravni ove tačke su vrhovi pravilnog šestougla upisanog u krug poluprečnika 2 sa centrom u tački O (0; 0) - slika 14.

§ 10 Eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Ojlerova formula

Označimo
= cos  + isin  i
= cos  - isin  . Ovi odnosi se nazivaju .

Ojlerove formule
Funkcija

ima uobičajena svojstva eksponencijalne funkcije:

Neka je kompleksni broj z napisan u trigonometrijskom obliku z = r(cos + isin).

Koristeći Ojlerovu formulu, možemo napisati:
.

z = r Ovaj unos se zove eksponencijalni oblik

kompleksni broj. Koristeći ga, dobijamo pravila za množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena.
Ako je z 1 = r 1 ·
i z 2 = r 2 ·

?To
;

·

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·

z n = r n ·

, gdje je k = 0, 1, … , n – 1. Primjer 10.1

Napišite broj u algebarskom obliku
.

Primjer 9.1

z = Primjer 10.2

Primjer 9.1

Riješite jednačinu z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.
Za bilo koje kompleksne koeficijente, ova jednadžba ima dva korijena z 1 i z 1 (možda se poklapaju). Ovi korijeni se mogu pronaći koristeći istu formulu kao u stvarnom slučaju. Jer

uzima dvije vrijednosti koje se razlikuju samo po predznaku, tada ova formula izgleda ovako:
Kako je –9 = 9 e  i, onda su vrijednosti

biće brojevi:
Onda
.

Primjer 9.1

Riješiti jednačine z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.
.

Traženi korijeni jednačine će biti vrijednosti

Rješenje.
Za z = –1 imamo r = 1, arg(–1) = .

, k = 0, 1, 2.

Vježbe

G)

d) 7(cos0 + isin0).

11 Napišite brojeve u algebarskim i geometrijskim oblicima:

12 Brojevi su dati
.

Predstavljajući ih u eksponencijalnom obliku, pronađite

13 Koristeći eksponencijalni oblik kompleksnog broja, izvršite sljedeće korake:
A)

b)
V)

d) With I § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja 2 .

prirodni broj Kompleksni broj Z pozvao§ 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja– root c Kompleksni broj § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = root.

, Ako § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja– Nađimo sve vrijednosti korijena d) o moć kompleksnog broja root=| root|·(. Neka cos root+ Arg· i cosgrijeh sa), Kompleksni broj = | Kompleksni brojA|·(sa cos Kompleksni broj + Arg· i cos Kompleksni broj) os Kompleksni broj, Gdje § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja- Nađimo sve vrijednosti korijena d) root = root = | root|·(. Neka cos root+ Arg· i cos. Onda mora biti sa)
. Iz toga slijedi § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja· cos Kompleksni broj = cosI
cos Kompleksni broj =
(With=0,1,…) k Kompleksni broj =
(. Neka
+ Arg· i
), (With=0,1,…) . dakle,
, (With=0,1,…) . Lako je vidjeti da je bilo koja od vrijednosti
,(With = 0,1,…, § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja-1) razlikuje se od jedne od odgovarajućih vrijednosti višestruko 2π (With = 0,1,…, § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja-1) .

. zato ,

Primjer..

Izračunajmo korijen od (-1) |-1| = 1, , očigledno (-1) = π

arg. Neka π + Arg· i π )

, -1 = 1·(

= Arg

(k = 0, 1).

Potencija sa proizvoljnim racionalnim eksponentom d) Uzmimo proizvoljan kompleksan broj § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja. Ako d) § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = | root| § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja onda prirodan broj|·(sa ·(SanArgArg· i ·(Sa. Onda mora biti s + § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = 0 ((6). Ova formula je tačna iu ovom slučaju)
o moć kompleksnog broja § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja < 0 s≠0 § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja Kompleksni broj With I s ≠ 0

d) § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja =
, Ondad)(cos nArgd)) = , Ondad)+i·sin nArgd)) + i·sin nArg § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja.

. Dakle, formula (6) vrijedi za bilo koje os Uzmimo racionalan broj q prirodni broj, i r

je ceo. Onda ispod root stepen razumećemo broj
.

Shvatili smo to ,

(With = 0, 1, …, Uzmimo racionalan broj-1). Ove vrijednosti Uzmimo racionalan broj komada, ako razlomak nije svodljiv.

Predavanje br. 3 Granica niza kompleksnih brojeva

Poziva se funkcija prirodnog argumenta kompleksne vrijednosti niz kompleksnih brojeva i određen je (Sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) ili d) 1 , With 2 , ..., sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja . d) § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = a § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja + b § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja · Arg (§ 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = 1,2, ...) kompleksni brojevi.

d) 1 , With 2 , … - članovi niza; With § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja – zajednički član

prirodni broj d) = a+ b· Arg Z granica niza kompleksnih brojeva (root § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) os d) § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = a § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja + b § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja · Arg (§ 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = 1, 2, …) , gdje za bilo koje

to pred svima § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja > N važi nejednakost
. Niz koji ima konačnu granicu naziva se konvergentan sekvenca.

Teorema.

Da bi se dobio niz kompleksnih brojeva (sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) (S § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = a § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja + b § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja · Arg) konvergirao u broj sa = a+ b· Arg, je neophodno i dovoljno da bi se ostvarila jednakostlim a § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = a, lim b § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = b.

Dokaz.

Teoremu ćemo dokazati na osnovu sljedeće očigledne dvostruke nejednakosti

, Gdje Kompleksni broj = x + y· Arg (2)

Nužnost. Neka lim(Sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) = s. Pokažimo da su jednakosti tačne lim a § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = a With lim b § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja = b (3).

Očigledno (4)

Jer
, Kada § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja → ∞ , onda iz lijeve strane nejednakosti (4) slijedi da
. Iz toga slijedi
, Kada § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja → ∞ . stoga su jednakosti (3) zadovoljene. Potreba je dokazana.

Adekvatnost. Neka su sada zadovoljene jednakosti (3). Iz jednakosti (3) slijedi da
. Iz toga slijedi
, Kada § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja → ∞ , dakle, zbog desne strane nejednakosti (4), bit će
, Kada § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja→∞ , znači lim(Sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja )=c. Dovoljnost je dokazana.

Dakle, pitanje konvergencije niza kompleksnih brojeva je ekvivalentno konvergenciji dva niza realnih brojeva, stoga se sva osnovna svojstva granica nizova realnih brojeva odnose na nizove kompleksnih brojeva.

Na primjer, za nizove kompleksnih brojeva vrijedi Cauchyjev kriterij: kako bi se dobio niz kompleksnih brojeva (sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) konvergira, potrebno je i dovoljno da za bilo koje

, to za bilo koje§ 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja, m > Nvaži nejednakost
.

Teorema.

Neka niz kompleksnih brojeva (sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) I (z § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) konvergiraju u c i respektivnoz, onda su jednakosti tačnelim(Sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja z § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) = root z, lim(Sa § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja · z § 9 Izdvajanje korena kompleksnog broja ) = root· z. Ako se to pouzdano znaznije jednako 0, tada je jednakost tačna
.