Koordinate težišta formule trapeza. Položaj centra mase. Geometrijske karakteristike jednakokračnog trougla

U inženjerskoj praksi se dešava da je potrebno izračunati koordinate težišta složene ravne figure koja se sastoji od jednostavnih elemenata za koje je poznata lokacija težišta. Ovaj zadatak je dio zadatka utvrđivanja...

Geometrijske karakteristike kompozitnih poprečnih presjeka greda i šipki. Često se s takvim pitanjima suočavaju inženjeri projektanti štanca za probijanje prilikom određivanja koordinata centra pritiska, programeri šema opterećenja za različita vozila pri postavljanju tereta, projektanti građevinskih metalnih konstrukcija pri odabiru presjeka elemenata i, naravno, studenti prilikom studiranja. discipline "Teorijska mehanika" i "Čvrstoća materijala".

Biblioteka elementarnih figura.

Za simetrične ravne figure, centar gravitacije se poklapa sa centrom simetrije. Simetrična grupa elementarnih objekata uključuje: krug, pravougaonik (uključujući kvadrat), paralelogram (uključujući romb), pravilan poligon.

Od deset figura prikazanih na gornjoj slici, samo dvije su osnovne. Odnosno, koristeći trokute i sektore krugova, možete kombinirati gotovo svaku figuru od praktičnog interesa. Bilo koje proizvoljne krive mogu se podijeliti na dijelove i zamijeniti lukovima krugova.

Preostalih osam figura je najčešće, zbog čega su i uvrštene u ovu vrstu biblioteke. U našoj klasifikaciji ovi elementi nisu osnovni. Pravougaonik, paralelogram i trapez mogu se sastaviti od dva trougla. Šestougao je zbir četiri trougla. Segment kružnice je razlika između sektora kružnice i trougla. Prstenasti sektor kruga je razlika između dva sektora. Krug je sektor kružnice sa uglom α=2*π=360˚. Polukrug je, odnosno, sektor kružnice sa uglom α=π=180˚.

Izračunavanje u Excelu koordinata težišta složene figure.

Uvijek je lakše prenijeti i percipirati informacije uzimajući u obzir primjer nego proučavati pitanje na čisto teorijskim proračunima. Razmotrite rješenje problema "Kako pronaći centar gravitacije?" na primjeru složene figure prikazane na slici ispod ovog teksta.

Složeni presjek je pravougaonik (sa dimenzijama a1 =80 mm, b1 \u003d 40 mm), kojem je u gornjem lijevom kutu dodan jednakokraki trokut (s veličinom baze a2 =24 mm i visina h2 \u003d 42 mm) i iz koje je izrezan polukrug odozgo desno (centrirano u tački s koordinatama x03 =50 mm i y03 =40 mm, radijus r3 =26 mm).

Da bismo vam pomogli u izračunu, uključit ćemo program MS Excel ili program Oo Calc . Bilo koji od njih lako će se nositi s našim zadatkom!

U ćelijama sa žuta punjenje je izvodljivo pomoćni preliminarni kalkulacije .

U ćelijama sa svijetložutom ispunom, brojimo rezultate.

Plava font je početni podaci .

Crno font je srednji rezultati proračuna .

Crveni font je final rezultati proračuna .

Počinjemo rješavati problem - počinjemo tražiti koordinate centra gravitacije presjeka.

Početni podaci:

1. Imena elementarnih figura koje čine kompozitni dio bit će unesene u skladu s tim

do ćelije D3: Pravougaonik

do ćelije E3: Trougao

u ćeliju F3: Polukrug

2. Koristeći "Biblioteku elementarnih figura" predstavljenu u ovom članku, određujemo koordinate centara gravitacije elemenata kompozitnog presjeka xci I yci u mm u odnosu na proizvoljno odabrane ose 0x i 0y i upisati

do ćelije D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

do ćelije D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

do ćelije E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

do ćelije E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

do ćelije F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

do ćelije F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Izračunajte površinu elemenata F 1 , F 2 , F3 u mm2, koristeći ponovo formule iz odjeljka "Biblioteka elementarnih figura"

u ćeliji D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

u ćeliji E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

u ćeliji F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Površina trećeg elementa - polukruga - je negativna jer je ovaj izrez prazan prostor!

Izračunavanje koordinata centra gravitacije:

4. Hajde da definišemo ukupne površine konačna cifra F0 u mm2

u spojenoj ćeliji D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Izračunajte statičke momente kompozitne figure Sx I Sy u mm3 u odnosu na odabrane ose 0x i 0y

u spojenoj ćeliji D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

u spojenoj ćeliji D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. I na kraju, izračunavamo koordinate centra gravitacije kompozitnog presjeka Xc I Yc u mm u odabranom koordinatnom sistemu 0x - 0y

u spojenoj ćeliji D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

u spojenoj ćeliji D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Zadatak je riješen, proračun u Excelu je završen - pronađene su koordinate težišta presjeka, sastavljene pomoću tri jednostavna elementa!

Zaključak.

Primjer u članku odabran je kao vrlo jednostavan kako bi se olakšalo razumijevanje metodologije za izračunavanje težišta složenog presjeka. Metoda leži u činjenici da bilo koju složenu figuru treba podijeliti na jednostavne elemente s poznata mesta lokaciju centara gravitacije i napraviti konačne proračune za cijelu dionicu.

Ako se presjek sastoji od valjanih profila - uglova i kanala, onda ih nema potrebe lomiti na pravokutnike i kvadrate s izrezanim kružnim "π / 2" - sektorima. Koordinate težišta ovih profila date su u GOST tablicama, odnosno ugao i kanal će biti osnovni elementarni elementi u vašim proračunima kompozitnih presjeka (nema smisla govoriti o I-gredama, cijevima , šipke i šesterokuti - ovo su centralno simetrični presjeci).

Položaj koordinatnih osa na položaj težišta figure, naravno, ne utiče! Stoga odaberite koordinatni sistem koji pojednostavljuje vaše proračune. Ako bih, na primjer, rotirao koordinatni sistem za 45˚ u smjeru kazaljke na satu u našem primjeru, tada bi se izračunavanje koordinata težišta pravokutnika, trokuta i polukruga pretvorilo u još jedan zaseban i glomazan korak proračuna koji ne možete učiniti “ u tvojoj glavi".

Sljedeća Excel datoteka proračuna u ovaj slučaj nije program. Radije, to je skica kalkulatora, algoritam, šablon koji slijedi u svakom slučaju. kreirajte svoj vlastiti niz formula za ćelije sa svijetlo žutom ispunom.

Dakle, sada znate kako pronaći centar gravitacije bilo kojeg dijela! Kompletan proračun svih geometrijskih karakteristika proizvoljnih složenih kompozitnih presjeka bit će razmatran u jednom od sljedećih članaka u naslovu "". Pratite vijesti na blogu.

Za primanje informacije o objavljivanju novih članaka i za preuzimanje radnih programskih datoteka Molim vas da se pretplatite na objave u prozoru koji se nalazi na kraju članka ili u prozoru na vrhu stranice.

Nakon unosa vaše adrese Email i klikom na dugme "Primajte najave članaka" NEMOJ ZABORAVITI POTVRDI PRETPLATU klikom na link u pismu koje će vam odmah stići na navedenu poštu (ponekad - u fascikli « Neželjena pošta » )!

Nekoliko riječi o čaši, novčiću i dvije viljuške, koji su prikazani na „ikoni-ilustraciji“ na samom početku članka. Mnogima od vas sigurno je poznat ovaj "trik" koji izaziva zadivljene poglede djece i neupućenih odraslih. Tema ovog članka je centar gravitacije. To je on i tačka oslonca, igrajući se našom svešću i iskustvom, jednostavno zavaraju naš um!

Težište sistema "viljuške + novčić" je uvijek uključeno fiksno razdaljina vertikalno dole od ruba novčića, koji je zauzvrat uporište. Ovo je pozicija stabilne ravnoteže! Ako protresete viljuške, odmah postaje očigledno da sistem teži da zauzme svoju nekadašnju stabilnu poziciju! Zamislite klatno - tačku pričvršćivanja (= tačka oslonca novčića na ivici stakla), šipku-os klatna (= u našem slučaju, os je virtuelna, pošto su mase dve vilice je razdvojen u različitim pravcima prostora) i opterećenje na dnu ose (= težište čitavog sistema „vilje + novčić“). Ako klatno počnete odstupati od vertikale u bilo kojem smjeru (naprijed, nazad, lijevo, desno), onda će se ono pod utjecajem gravitacije neizbježno vratiti u prvobitni položaj. stabilno stanje ravnoteže(isto se dešava sa našim viljuškama i novčićem)!

Ko nije razumeo, ali želi da razume - shvatite sami. Veoma je zanimljivo "doći" do sebe! Dodaću da je isti princip korištenja stabilne ravnoteže implementiran i u igračku Roly-Get Up. Samo težište ove igračke nalazi se iznad uporišta, ali ispod središta hemisfere potporne površine.

Vaši komentari su uvijek dobrodošli, dragi čitaoci!

pitaj, RESPECTING autorski rad, preuzimanje fajla NAKON PRETPLATE za najave članaka.

Matematička tehnika izračunavanja centra masa spada u oblast matematičkih predmeta; postoje slični zadaci dobri primjeri integralnim računom. Ali čak i ako znate kako integrirati, korisno je znati neke trikove za izračunavanje položaja centra mase. Jedan od ovih trikova zasniva se na upotrebi takozvane Papusove teoreme, koja funkcioniše na sledeći način. Ako uzmemo neku zatvorenu figuru i formiramo kruto tijelo rotirajući ovu figuru u prostoru tako da se svaka točka kreće okomito na ravan figure, tada je volumen tijela nastalog u ovom slučaju jednak proizvodu površine . ​figura i udaljenost koju prijeđe njeno težište! Naravno, ova teorema je tačna i u slučaju kada se ravna figura kreće po pravoj liniji okomitoj na svoju površinu, ali ako je pomjerimo po kružnici ili nekom drugom

krivulje, tada se dobija mnogo zanimljivije tijelo. Kada se krećete zakrivljenom putanjom, unutrašnjost figure napreduje manje od vanjske strane i ovi efekti se međusobno poništavaju. Dakle, ako želimo da definišemo; središte mase ravne figure ujednačene gustine, onda se mora imati na umu da je zapremina nastala njenom rotacijom oko ose jednaka udaljenosti koju centar mase pređe, pomnoženoj sa površinom figure.
Na primjer, ako trebamo pronaći centar mase pravokutnog trokuta sa osnovom D i visinom H (slika 19.2), to se radi na sljedeći način. Zamislite osu duž H i zarotirajte trokut za 360° oko te ose. Ovo nam daje konus. Udaljenost koju x-koordinata centra mase pređe je 2πx, a površina područja koje se pomjerilo, odnosno površina trokuta, jednaka je l/2 HD. Proizvod udaljenosti koju pređe centar mase i površine trokuta jednak je zapremini konusa, tj. 1/3 πD 2 H. Dakle, (2πh) (1/2HD) = 1/3D 2 H, ili x= D/Z. Sasvim slično, rotiranjem oko druge noge, ili jednostavno iz razloga simetrije, nalazimo da je y = H / 3. Općenito, središte mase bilo kojeg homogenog trokuta nalazi se na presjeku njegove tri medijane (linije koje povezuju vrh trokuta sa središtem suprotne strane), što je na udaljenosti od osnove jednakoj 1/ 3 dužine svake medijane.
Kako to vidjeti? Izrežite trokut s linijama paralelnim s bazom na mnogo pruga. Zapazite sada da medijana prepolovi svaku prugu, tako da centar mase mora ležati na medijani.
Uzmimo sada složeniju figuru. Pretpostavimo da je potrebno pronaći položaj centra mase homogenog polukruga, odnosno kruga presečenog na pola. Gdje će se centar mase nalaziti u ovom slučaju? Za puni krug, centar mase se nalazi u geometrijskom centru, ali za polukrug je teže pronaći njegovu poziciju. Neka je r polumjer kružnice, a x udaljenost centra mase od pravolinijske granice polukruga. Rotirajući ga oko ove ivice kao oko ose, dobijamo loptu. U ovom slučaju, centar mase prelazi udaljenost od 2πx, a površina polukruga je 1/2πr 2 (polovina površine kruga). Pošto je zapremina sfere, naravno, 4πg 3 /3, odavde nalazimo

ili

Postoji još jedna Papusova teorema, koja je zapravo poseban slučaj gore formulirane teoreme i stoga je također važeća. Pretpostavimo da smo umjesto punog polukruga uzeli polukrug, na primjer, komad žice u obliku polukruga ujednačene gustine i želimo pronaći njegovo središte mase. Ispostavilo se da je površina koju pri kretanju "zamete" ravna kriva, slična gore opisanoj, jednaka udaljenosti koju pređe centar mase, pomnoženoj sa dužinom ove krive. (Krivulja se može smatrati vrlo uskom trakom i prethodna teorema je primijenjena na nju.)

Na osnovu gore dobijenih općih formula, moguće je naznačiti specifične metode za određivanje koordinata težišta tijela.

1. Simetrija. Ako homogeno tijelo ima ravan, os ili centar simetrije (slika 7), onda njegovo težište leži u ravni simetrije, osi simetrije ili u centru simetrije.

Fig.7

2. Razdvajanje. Tijelo je podijeljeno na konačan broj dijelova (slika 8), za svaki od kojih je poznat položaj težišta i površina.

Fig.8

3.Metoda negativnih područja. Poseban slučaj metode particioniranja (slika 9). Primjenjuje se na tijela sa izrezima ako su poznati centri gravitacije tijela bez izreza i izreza. Tijelo u obliku izrezane ploče predstavljeno je kombinacijom pune ploče (bez izreza) površine S 1 i površine izrezanog dijela S 2 .

Fig.9

4.metod grupisanja. Dobar je dodatak posljednje dvije metode. Nakon što se figura razbije na njene sastavne elemente, može biti zgodno ponovo kombinovati neke od njih, kako bi se pojednostavilo rješenje uzimajući u obzir simetriju ove grupe.

Težišta nekih homogenih tijela.

1) Težište kružnog luka. Uzmite u obzir luk AB radijus R sa centralnim uglom. Zbog simetrije, težište ovog luka leži na osi Ox(Sl. 10).

Fig.10

Nađimo koordinate koristeći formulu. Da biste to učinili, odaberite na luku AB element MM' dužine, čiji je položaj određen uglom. Koordinate X element MM'će . Zamjena ovih vrijednosti X i d l a imajući u vidu da se integral mora proširiti cijelom dužinom luka, dobijamo:

Gdje L- dužina luka AB, jednak .

Odavde konačno nalazimo da težište kružnog luka leži na njegovoj osi simetrije na udaljenosti od centra O jednak

gdje se ugao mjeri u radijanima.

2) Težište površine trougla. Zamislite trougao koji leži u ravni Oxy, čije su koordinate temena poznate: Ai(x i,y i), (i= 1,2,3). Razbijanje trokuta na uske trake paralelne sa strane A 1 A 2, dolazimo do zaključka da težište trougla mora pripadati medijani A 3 M 3 (sl.11) .

Fig.11

Razbijanje trougla na trake paralelne sa stranicom A 2 A 3, možete biti sigurni da mora ležati na medijani A 1 M 1 . dakle, težište trougla leži u tački preseka njegovih medijana, koji, kao što znate, odvaja treći dio od svake medijane, računajući od odgovarajuće strane.

Posebno za medijanu A 1 M 1 dobijamo, s obzirom da su koordinate tačke M 1 je aritmetička sredina koordinata vrha A 2 i A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Dakle, koordinate centra gravitacije trokuta su aritmetička sredina koordinata njegovih vrhova:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Težište područja kružnog sektora. Razmotrimo sektor kruga radijusa R sa centralnim uglom od 2α, koji se nalazi simetrično oko ose Ox(Sl. 12) .

Očigledno je da y c = 0, a udaljenost od centra kruga iz kojeg je ovaj sektor isječen do njegovog težišta može se odrediti formulom:

Fig.12

Najlakši način za izračunavanje ovog integrala je podjelom domene integracije na elementarne sektore sa uglom dφ. Do infinitezimala prvog reda, takav sektor se može zamijeniti trouglom sa osnovom jednakom R× dφ i visina R. Površina takvog trougla dF=(1/2)R 2 ∙dφ, a težište mu je na udaljenosti od 2/3 R odozgo, pa u (5) stavljamo x = (2/3)R∙cosφ. Zamjena u (5) F= α R 2, dobijamo:

Koristeći posljednju formulu, izračunavamo, posebno, udaljenost do centra gravitacije polukrug.

Zamjenom u (2) α = π/2 dobijamo: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Primjer 1 Odredimo težište homogenog tijela prikazanog na sl. 13.

Fig.13

Tijelo je homogeno, sastoji se od dva dijela simetričnog oblika. Koordinate njihovih centara gravitacije:

Njihove količine:

Dakle, koordinate centra gravitacije tijela

Primjer 2 Pronađite težište ploče savijene pod pravim uglom. Dimenzije - na crtežu (sl. 14).

Fig.14

Koordinate centara gravitacije:

kvadrati:

Rice. 6.5.

Primjer 3 Iz kvadratnog lima cm izrezana je kvadratna rupa cm (slika 15). Pronađite težište lista.

Fig.15

U ovom je problemu prikladnije podijeliti tijelo na dva dijela: veliki kvadrat i kvadratnu rupu. Samo područje rupe treba smatrati negativnim. Zatim koordinate centra gravitacije lima s rupom:

koordinata jer tijelo ima os simetrije (dijagonalu).

Primjer 4Žičani nosač (slika 16) se sastoji od tri dijela iste dužine l.

Fig.16

Koordinate centara gravitacije sekcija:

Dakle, koordinate centra gravitacije cijele zagrade:

Primjer 5 Odrediti položaj težišta rešetke, čije sve šipke imaju istu linearnu gustoću (slika 17).

Podsjetimo da su u fizici gustina tijela ρ i njegova specifična težina g povezani relacijom: γ= ρ g, Gdje g- ubrzanje gravitacije. Da biste pronašli masu takvog homogenog tijela, morate pomnožiti gustinu s njegovom zapreminom.

Fig.17

Izraz "linearna" ili "linearna" gustoća znači da se za određivanje mase šipke za rešetku, linearna gustoća mora pomnožiti s dužinom ove šipke.

Da biste riješili problem, možete koristiti metodu particioniranja. Predstavljajući datu rešetku kao zbir 6 pojedinačnih šipki, dobijamo:

Gdje L i dužina i-th štap farme, i x i, y i su koordinate njegovog centra gravitacije.

Rješenje ovog problema može se pojednostaviti grupiranjem posljednjih 5 rešetkastih šipki. Lako je uočiti da formiraju lik sa centrom simetrije koji se nalazi u sredini četvrtog štapa, gdje se nalazi težište ove grupe štapova.

Dakle, data rešetka može biti predstavljena kombinacijom samo dvije grupe šipki.

Prvu grupu čini prvi štap, za nju L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Drugu grupu štapova čini pet štapova, za koje L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Koordinate centra gravitacije farme nalaze se po formuli:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Imajte na umu da centar WITH leži na liniji koja spaja WITH 1 i WITH 2 i dijeli segment WITH 1 WITH 2 u vezi: WITH 1 WITH/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pitanja za samoispitivanje

Šta je centar paralelnih sila?

Kako se određuju koordinate centra paralelnih sila?

Kako odrediti centar paralelnih sila čija je rezultanta nula?

Koje je svojstvo centra paralelnih sila?

Koje se formule koriste za izračunavanje koordinata centra paralelnih sila?

Šta je težište tijela?

Zašto se sile privlačenja Zemlje, koje djeluju na tačku tijela, mogu uzeti kao sistem paralelnih sila?

Zapišite formulu za određivanje položaja težišta nehomogenih i homogenih tijela, formulu za određivanje položaja težišta ravnih presjeka?

Zapišite formulu za određivanje položaja težišta jednostavnog geometrijski oblici: pravougaonik, trokut, trapez i polukrug?

Šta se naziva statički moment površine?

Navedite primjer tijela čije se težište nalazi izvan tijela.

Kako se svojstva simetrije koriste za određivanje centara gravitacije tijela?

Koja je suština metode negativnih pondera?

Gdje se nalazi težište kružnog luka?

Kojom grafičkom konstrukcijom se može pronaći težište trougla?

Zapišite formulu koja određuje težište kružnog sektora.

Koristeći formule koje određuju težišta trokuta i kružnog sektora, izvedite sličnu formulu za kružni segment.

Koje se formule koriste za izračunavanje koordinata težišta homogenih tijela, ravnih figura i pravih?

Što se naziva statički moment površine ravne figure u odnosu na osu, kako se izračunava i koju dimenziju ima?

Kako odrediti položaj težišta područja, ako je poznat položaj težišta pojedinih njegovih dijelova?

Koje se pomoćne teoreme koriste za određivanje položaja centra gravitacije?

6.1. Opće informacije

Centar paralelnih snaga
Razmotrite dvije paralelne sile usmjerene u istom smjeru , i , primijenjene na tijelo u tačkama A 1 i A 2 (sl.6.1). Ovaj sistem sila ima rezultantu, čija linija djelovanja prolazi kroz određenu tačku WITH. Položaj tačke WITH može se naći pomoću Varignonovog teorema:

Ako okrenete silu i blizu tačaka A 1 i A 2 u jednom pravcu i pod istim uglom, dobijamo novi sistem paralelne masti koje imaju iste module. U ovom slučaju, njihova rezultanta će također proći kroz tačku WITH. Takva tačka se naziva središte paralelnih sila.
Razmotrimo sistem paralelnih i jednako usmjerenih sila koje se primjenjuju na kruto tijelo u tačkama. Ovaj sistem ima rezultantu.
Ako se svaka sila sistema rotira u blizini tačaka njihove primjene u istom smjeru i pod istim uglom, onda će se dobiti novi sistemi jednako usmjerenih paralelnih sila sa istim modulima i tačkama primjene. Rezultanta takvih sistema će imati isti modul R, ali svaki put u drugom pravcu. Položena snaga F 1 i F 2 nalaze da je njihova rezultanta R 1, koji će uvijek prolaziti kroz tačku WITH 1 , čiji je položaj određen jednakošću . Dodavanje dalje R 1 i F 3, pronađite njihovu rezultantu, koja će uvijek prolaziti kroz tačku WITH 2 leži na liniji A 3 WITH 2. Nakon što smo proces sabiranja sila priveli kraju, doći ćemo do zaključka da će rezultanta svih sila zaista uvijek prolaziti kroz istu tačku WITH, čiji će položaj u odnosu na tačke biti nepromijenjen.
Dot WITH, kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantnog sistema paralelnih sila za bilo koju rotaciju ovih sila u blizini tačaka njihove primjene u istom smjeru pod istim uglom naziva se centar paralelnih sila (slika 6.2).

Sl.6.2

Odredimo koordinate centra paralelnih sila. Od pozicije tačke WITH u odnosu na tijelo je nepromijenjen, tada njegove koordinate ne zavise od izbora koordinatnog sistema. Rotirajte sve sile blizu njihove primjene tako da postanu paralelne s osi OU i primijeniti Varignonovu teoremu na rotirane sile. Jer R" je rezultanta ovih sila, onda, prema Varignon teoremi, imamo , jer , , dobijamo

Odavde nalazimo koordinate centra paralelnih sila zc:

Za određivanje koordinata xc sastaviti izraz za moment sila oko ose Oz.

Za određivanje koordinata yc rotirati sve sile tako da postanu paralelne s osi Oz.

Položaj centra paralelnih sila u odnosu na ishodište (slika 6.2) može se odrediti njegovim radijus vektorom:

6.2. Težište krutog tijela

centar gravitacije krutog tijela je tačka koja je uvijek povezana s ovim tijelom WITH, kroz koju prolazi linija djelovanja rezultante sila gravitacije datog tijela, za bilo koji položaj tijela u prostoru.
Težište se koristi u proučavanju stabilnosti ravnotežnih položaja tijela i kontinuiranih medija pod utjecajem gravitacije iu nekim drugim slučajevima, naime: u otpornosti materijala i u strukturnoj mehanici - kada se koristi Vereščaginovo pravilo.
Postoje dva načina da se odredi centar gravitacije tijela: analitički i eksperimentalni. Analitička metoda definicija centra gravitacije direktno slijedi iz koncepta centra paralelnih sila.
Koordinate centra gravitacije, kao centra paralelnih sila, određene su formulama:

Gdje R- težina cijelog tijela; pk- težina tjelesnih čestica; xk , yk , zk- koordinate tjelesnih čestica.
Za homogeno tijelo, težina cijelog tijela i bilo kojeg njegovog dijela proporcionalna je zapremini P=Vγ, pk =vk γ, Gdje γ - težina po jedinici zapremine, V- zapremina tela. Zamjena izraza P, pk u formule za određivanje koordinata centra gravitacije i, smanjenje za zajednički faktor γ , dobijamo:

Dot WITH, čije su koordinate određene dobijenim formulama, se zove težište zapremine.
Ako je tijelo tanka homogena ploča, tada se težište određuje formulama:

Gdje S- površina cijele ploče; sk- površina njegovog dijela; xk, yk- koordinate težišta dijelova ploče.
Dot WITH u ovom slučaju se zove područje centra gravitacije.
Brojivači izraza koji određuju koordinate težišta ravnih figura nazivaju se sa statične momente područja o sekirama at I X:

Tada se centar gravitacije područja može odrediti formulama:

Za tijela čija je dužina višestruko veća od dimenzija poprečnog presjeka, određuje se težište linije. Koordinate centra gravitacije linije određene su formulama:

Gdje L- dužina linije; lk- dužina njegovih dijelova; xk , yk , zk- koordinata težišta dijelova linije.

6.3. Metode za određivanje koordinata težišta tijela

Na osnovu dobijenih formula moguće je predložiti praktične metode za određivanje težišta tijela.
1. Simetrija. Ako tijelo ima centar simetrije, onda je centar gravitacije u centru simetrije.
Ako tijelo ima ravan simetrije. Na primjer, ravan XOU, tada centar gravitacije leži u ovoj ravni.
2. razdvajanje. Za tijela koja se sastoje od jednostavnih tijela koristi se metoda cijepanja. Tijelo je podijeljeno na dijelove čiji se centar gravitacije nalazi metodom simetrije. Težište cijelog tijela određeno je formulama za težište zapremine (površine).

Primjer. Odredite težište ploče prikazane na donjoj slici (slika 6.3). Ploča se može podijeliti na pravokutnike na različite načine i odrediti koordinate težišta svakog pravokutnika i njihovu površinu.

Sl.6.3

odgovor: xc=17,0cm; yc=18,0 cm.

3. Dodatak. Ova metoda je poseban slučaj metode particioniranja. Koristi se kada tijelo ima zareze, rezove i sl., ako su poznate koordinate težišta tijela bez zareza.

Primjer. Odredite težište okrugle ploče koja ima izrez polumjera r = 0,6 R(Sl. 6.4).

Sl.6.4

Okrugla ploča ima centar simetrije. Postavimo početak koordinata u centar ploče. Površina ploče bez zareza, područje zareza. Urezana površina ploče ; .
Narezana ploča ima os simetrije O1 x, dakle, yc=0.

4. Integracija. Ako se tijelo ne može podijeliti na konačan broj dijelova, čiji su položaji težišta poznati, tijelo se dijeli na proizvoljno male zapremine, za koje formula korištenjem metode particioniranja ima oblik: .
Dalje, oni prelaze do granice, težeći elementarnim volumenima na nulu, tj. ugovaranje obima u bodove. Zbirke se zamjenjuju integralima proširenim na cijeli volumen tijela, tada formule za određivanje koordinata težišta volumena imaju oblik:

Formule za određivanje koordinata centra gravitacije područja:

Koordinate težišta područja moraju se odrediti prilikom proučavanja ravnoteže ploča, kada se računa Mohrov integral u strukturnoj mehanici.

Primjer. Odredite težište kružnog luka poluprečnika R sa centralnim uglom AOB= 2α (slika 6.5).

Rice. 6.5

Luk kružnice je simetričan u odnosu na os Oh, dakle, težište luka leži na osi Oh, ys = 0.
Prema formuli za težište prave:

6.Eksperimentalni način. Centri gravitacije nehomogenih tijela složene konfiguracije mogu se odrediti eksperimentalno: vješanjem i vaganjem. Prvi način je da se tijelo okači na kablu na različitim mjestima. Smjer užeta na kojem je tijelo okačeno će dati smjer gravitacije. Tačka presjeka ovih pravaca određuje težište tijela.
Metoda vaganja se sastoji u tome da se prvo odredi težina tijela, kao što je automobil. Zatim se na vagi određuje pritisak zadnje osovine automobila na oslonac. Sastavljanjem jednadžbe ravnoteže u odnosu na neku tačku, na primjer, os prednjih kotača, možete izračunati udaljenost od ove ose do centra gravitacije automobila (slika 6.6).

Sl.6.6

Ponekad je prilikom rješavanja zadataka potrebno istovremeno primijeniti različite metode za određivanje koordinata težišta.

6.4. Težišta nekih jednostavnih geometrijskih oblika

Za određivanje težišta tijela zajedničkog oblika (trokut, kružni luk, sektor, segment) zgodno je koristiti referentne podatke (tabela 6.1).

Tabela 6.1

Koordinate težišta nekih homogenih tijela

№	Naziv figure	Crtanje
	luk kružnice: težište luka homogene kružnice je na osi simetrije (koordinate yc=0). R je polumjer kružnice.
	Homogeni kružni sektor yc=0). gdje je α polovina centralnog ugla; R je polumjer kružnice.
	Segment: centar gravitacije se nalazi na osi simetrije (koordinate yc=0). gdje je α polovina centralnog ugla; R je polumjer kružnice.
	Polukrug:
	Trougao: težište homogenog trougla je u tački preseka njegovih medijana. Gdje x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- koordinate vrhova trougla
	Kornet: težište homogenog kružnog konusa leži u njegovoj visini i na udaljenosti od 1/4 visine od osnove konusa.

Težište kružnog luka

Luk ima os simetrije. Težište leži na ovoj osi, tj. y C = 0 .

dl– lučni element, dl = Rdφ, R je polumjer kružnice, x = Rcosφ, L= 2aR,

dakle:

x C = R(sinα/α).

Težište kružnog sektora

Sektor radijusa R sa centralnim uglom 2 α ima os simetrije Ox gde se nalazi centar gravitacije.

Sektor dijelimo na elementarne sektore, koji se mogu smatrati trokutima. Centri gravitacije elementarnih sektora nalaze se na luku kružnice poluprečnika (2/3) R.

Težište sektora poklapa se sa težištem luka AB:

Polukrug:

37. Kinematika. Kinematika tačke. Metode za određivanje kretanja tačke.

Kinematika- grana mehanike u kojoj se kretanje materijalnih tijela proučava sa geometrijske tačke gledišta, ne uzimajući u obzir masu i sile koje na njih djeluju. Metode za određivanje kretanja tačke: 1) prirodni, 2) koordinatni, 3) vektorski.

Kinematika tačke- dio kinematike koji proučava matematički opis kretanje materijalnih tačaka. Glavni zadatak kinematike je da opiše kretanje uz pomoć matematičkog aparata bez razjašnjavanja uzroka koji uzrokuju ovo kretanje.

prirodne banje. naznačena je putanja tačke, zakon njenog kretanja duž ove putanje, početak i pravac koordinata luka: s=f(t) – zakon kretanja tačke. Za pravolinijsko kretanje: x=f(t).

Coordinate sp. položaj tačke u prostoru određen je sa tri koordinate, čije promene određuju zakon kretanja tačke: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Ako je kretanje u ravni, tada postoje dvije jednadžbe kretanja. Jednačine kretanja opisuju jednadžbu putanje u parametarskom obliku. Eliminirajući parametar t iz jednačina, dobijamo jednačinu putanje u uobičajenom obliku: f (x, y) = 0 (za ravan).

Vector spa. položaj tačke je određen njenim radijus vektorom povučenim iz nekog centra. Kriva koja je nacrtana na kraju vektora, tzv. hodograph ovaj vektor. One. trajektorija je hodograf radijus vektora.

38. Veza između koordinata i vektora, koordinatni i prirodni načini zadavanja kretanja tačke.

ODNOS VEKTORSKE METODE SA KOORDINATNOM I PRIRODNOM izražava se relacijama:

gdje je jedinični vektor tangente na trajektoriju u datoj tački, usmjeren prema očitavanju udaljenosti, je jedinični vektor normale na putanju u datoj tački, usmjeren prema centru zakrivljenosti (vidi sliku 3).

ODNOS KOORDINATNE METODE SA PRIRODNIM. Jednačina putanje f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y se dobija iz jednadžbi kretanja u koordinatnom obliku eliminacijom vremena t. Dodatnom analizom vrijednosti koje mogu uzeti koordinate tačke određuje se onaj dio krivulje, koji je putanja. Na primjer, ako je kretanje tačke dato jednadžbama: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , tada je putanja tačke onaj presek parabole y=x 2 za koji je -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Početak i smjer brojanja udaljenosti biraju se proizvoljno, što dalje određuje predznak brzine i veličinu i predznak početne udaljenosti s 0 .

Zakon kretanja je određen zavisnošću:

znak + ili - se određuje u zavisnosti od prihvaćenog smera brojanja udaljenosti.

Tačkasta brzina je kinematička mjera njenog kretanja, jednaka vremenskoj derivaciji radijus vektora ove tačke u referentnom okviru koji se razmatra. Vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju točke u smjeru kretanja

Vektor brzine (v) je udaljenost koju tijelo prijeđe u određenom smjeru u jedinici vremena. Imajte na umu da je definicija vektor brzine vrlo slično određivanju brzine, osim jedne važne razlike: brzina tijela ne pokazuje smjer kretanja, ali vektor brzine tijela pokazuje i brzinu i smjer kretanja. Stoga su potrebne dvije varijable koje opisuju vektor brzine tijela: brzina i smjer. Fizičke veličine koje imaju značenje i smjer nazivaju se vektorske veličine.

Vektor brzine tijelo se s vremena na vrijeme može promijeniti. Ako se promijeni njegova brzina ili smjer, mijenja se i brzina tijela. Vektor konstantne brzine podrazumijeva konstantnu brzinu i konstantan smjer, dok izraz "konstantna brzina" podrazumijeva samo konstantnu vrijednost, bez obzira na smjer. Termin "vektor brzine" se često koristi naizmjenično sa terminom "brzina". Oboje izražavaju udaljenost koju tijelo prijeđe u jedinici vremena.

tačka ubrzanje je mjera promjene njene brzine, jednaka vremenskom izvodu brzine ove tačke ili drugom izvodu radijus vektora tačke u vremenu. Ubrzanje karakterizira promjenu vektora brzine u veličini i smjeru i usmjereno je prema konkavnosti putanje.

Vektor ubrzanja

je omjer promjene brzine i vremenskog intervala tokom kojeg se ta promjena dogodila. Prosečno ubrzanje se može odrediti formulom:

Gdje - vektor ubrzanja.

Smjer vektora ubrzanja poklapa se sa smjerom promjene brzine Δ = - 0 (ovdje je 0 početna brzina, odnosno brzina kojom je tijelo počelo ubrzavati).

U trenutku t1 (vidi sliku 1.8) tijelo ima brzinu od 0 . U trenutku t2 tijelo ima brzinu . Prema pravilu oduzimanja vektora nalazimo vektor promjene brzine Δ = - 0 . Tada se ubrzanje može definirati na sljedeći način: