Kako postaviti funkciju. Metode za određivanje funkcije. Primjeri. Analitička metoda specificiranja funkcije

Šta riječi znače? "postaviti funkciju"? Oni znače: objasnite svima koji žele da znaju šta specifična funkcija mi pričamo. Štaviše, objasnite jasno i nedvosmisleno!

Kako se to može uraditi? Kako postaviti funkciju?

Možete napisati formulu. Možete nacrtati graf. Možete napraviti sto. Bilo koji način jeste neko pravilo po kojem možemo saznati vrijednost i za vrijednost x koju smo odabrali. One. "postavi funkciju", to znači pokazati zakon, pravilo po kojem se x pretvara u y.

Obično ih ima u raznim zadacima već spreman funkcije. Oni nam daju su već postavljeni. Odlučite sami, da, odlučite.) Ali... Najčešće, školarci (pa čak i studenti) rade sa formulama. Naviknu se, znate... Toliko se naviknu da svako elementarno pitanje vezano za drugačiji način određivanja funkcije odmah uznemiri osobu...)

Da biste izbjegli takve slučajeve, ima smisla pozabaviti se njima na različite načine zadaci funkcija. I, naravno, primijenite ovo znanje na “škakljiva” pitanja. Prilično je jednostavno. Ako znate šta je funkcija...)

Idemo?)

Analitička metoda specificiranja funkcije.

Najuniverzalniji i najmoćniji način. Funkcija definirana analitički ovo je funkcija koja je data formule. Zapravo, ovo je cijelo objašnjenje.) Funkcije koje su svima poznate (želim vjerovati!), na primjer: y = 2x, ili y = x 2 itd. itd. su specificirani analitički.

Usput, ne može svaka formula definirati funkciju. Ne ispunjava svaka formula strogi uslov iz definicije funkcije. Naime - za svaki X može postojati samo jedan igrek. Na primjer, u formuli y = ±x, Za jedan vrijednosti x=2, ispostavilo se dva y vrijednosti: +2 i -2. Nemoguće je definirati jednovrijednu funkciju ovom formulom. Po pravilu, ne rade s viševrijednim funkcijama u ovoj grani matematike, u računanju.

Što je dobro u analitičkom načinu specificiranja funkcije? Jer ako imate formulu, znate za funkciju Sve! Možeš napraviti znak. Napravite graf. Istražite ovu funkciju do kompletan program. Predvidite tačno gdje i kako će se ova funkcija ponašati. Sva matematička analiza zasniva se na ovoj metodi specificiranja funkcija. Recimo, uzimanje derivata tabele je izuzetno teško...)

Analitička metoda je prilično poznata i ne stvara probleme. Možda postoje neke varijacije ove metode sa kojima se učenici susreću. Govorim o parametarskim i implicitnim funkcijama.) Ali takve funkcije su u posebnoj lekciji.

Pređimo na manje na uobičajene načine funkcije.

Tabelarni metod specificiranja funkcije.

Kao što ime govori, ova metoda je jednostavan znak. U ovoj tabeli svaki x odgovara ( je u skladu) neko značenje igre. Prvi red sadrži vrijednosti argumenta. Drugi red sadrži odgovarajuće vrijednosti funkcije, na primjer:

Tabela 1.

Molimo obratite pažnju! U ovom primjeru, igra ovisi o X u svakom slučaju. Namjerno sam smislio ovo.) Nema šablona. U redu je, dešava se. znači, baš tako Naveo sam ovu specifičnu funkciju. Tako je Ustanovio sam pravilo prema kojem se X pretvara u Y.

Možeš se pomiriti drugi ploča koja sadrži uzorak. Ovaj znak će ukazati ostalo funkcija, na primjer:

Tabela 2.

Jeste li uhvatili uzorak? Ovdje se sve vrijednosti igre dobijaju množenjem x sa dva. Evo prvog “škakljivog” pitanja: može li se funkcija definirana korištenjem Tablice 2 smatrati funkcijom y = 2x? Razmislite za sada, odgovor će biti ispod, na grafički način. Tamo je sve vrlo jasno.)

sta je dobro tabelarni metod specificiranja funkcije? Da, jer ne morate ništa da brojite. Sve je već izračunato i zapisano u tabeli.) Ali nema ništa više dobro. Ne znamo vrijednost funkcije za X, kojih nema u tabeli. U ovoj metodi, takve x vrijednosti su jednostavne ne postoje. Usput, ovo je nagoveštaj škakljivog pitanja.) Ne možemo saznati kako se funkcija ponaša izvan tabele. Ne možemo ništa. A jasnoća ove metode ostavlja mnogo da se poželi... Grafička metoda je dobra za jasnoću.

Grafički način specificiranja funkcije.

U ovoj metodi, funkcija je predstavljena grafom. Argument (x) je iscrtan duž ose apscise, a vrednost funkcije (y) je iscrtana duž ose ordinata. Prema rasporedu možete odabrati bilo koji X i pronađite odgovarajuću vrijednost at. Graf može biti bilo koji, ali... ne bilo koji.) Radimo samo sa nedvosmislenim funkcijama. Definicija takve funkcije jasno kaže: svaki X je u skladu jedini at. Jedan jedna utakmica, ne dvije, ili tri... Na primjer, pogledajmo kružni grafikon:

Krug je kao krug... Zašto ne bi bio grafik funkcije? Pronađimo koja će igra odgovarati vrijednosti X, na primjer, 6? Pomerimo kursor preko grafikona (ili dodirnemo crtež na tabletu) i... vidimo da ovo x odgovara dva značenja igre: y=2 i y=6.

Dva i šest! Stoga, takav graf neće biti grafička dodjela funkcije. On jedan x računa dva igra. Ovaj graf ne odgovara definiciji funkcije.

Ali ako je ispunjen uslov nedvosmislenosti, raspored može biti apsolutno bilo koji. na primjer:

Ova ista krivost je zakon po kojem se X može pretvoriti u Y. Nedvosmisleno. Htjeli smo znati značenje funkcije za x = 4, Na primjer. Moramo pronaći četiri na x-osi i vidjeti koja igra odgovara ovom x. Prelazimo mišem preko slike i vidimo da je funkcija vrijednost at Za x=4 jednako pet. Ne znamo koja formula određuje ovu transformaciju X u Y. I nemoj. Sve je dogovoreno po rasporedu.

Sada se možemo vratiti na „škakljivo“ pitanje o tome y=2x. Nacrtajmo ovu funkciju. evo ga:

Naravno, prilikom crtanja ovog grafikona nismo uzimali beskonačan broj vrijednosti X. Uzeli smo nekoliko vrijednosti i izračunali y, napravio znak - i sve je spremno! Najpismeniji ljudi uzeli su samo dvije vrijednosti X! I s pravom. Za ravnu liniju ne treba vam više. Zašto dodatni posao?

Ali mi znao sigurnošta bi moglo biti x bilo koga. Cijeli, razlomak, negativan... Bilo koji. To je prema formuli y=2x vidljivo. Stoga smo hrabro povezali tačke na grafu punom linijom.

Ako nam je funkcija data tablicom 2, tada ćemo morati uzeti vrijednosti x samo sa stola. Jer drugi X-ovi (i Y-ovi) nam nisu dati i nema ih gdje nabaviti. Ove vrijednosti nisu prisutne u ovoj funkciji. Raspored će funkcionisati od bodova. Prelazimo mišem preko slike i vidimo graf funkcije navedene u tabeli 2. Nisam napisao x-y vrijednosti na osi, shvatit ćeš, ćeliju po ćeliju?)

Evo odgovora na "škakljivo" pitanje. Funkcija specificirana u tablici 2 i funkcija y=2x - drugačije.

Grafička metoda dobar zbog svoje jasnoće. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava. gde se smanjuje. Iz grafikona možete odmah prepoznati neke važne karakteristike funkcije. A u temi sa izvedenicama zadaci sa grafovima su posvuda!

Općenito, analitičke i grafičke metode definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad sa formulom pomaže u izgradnji grafikona. A graf često predlaže rješenja koja ne biste ni primijetili u formuli... Mi ćemo biti prijatelji s grafovima.)

Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koje smo upravo pogledali. Ali na pitanje: "A četvrto!?" - potpuno se zamrzava.)

Postoji takav način.

Verbalni opis funkcije.

Da, da! Funkcija se može sasvim nedvosmisleno specificirati riječima. Veliki i moćni ruski jezik je sposoban za mnogo!) Recimo funkciju y=2x može se specificirati sljedećim verbalnim opisom: Svaka realna vrijednost argumenta x povezana je s njegovom dvostrukom vrijednošću. Ovako! Pravilo je uspostavljeno, funkcija specificirana.

Štaviše, možete verbalno odrediti funkciju koju je izuzetno teško, ako ne i nemoguće, definirati pomoću formule. na primjer: Svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbirom cifara koje čine vrijednost x. Na primjer, ako x=3, To y=3. Ako x=257, To y=2+5+7=14. I tako dalje. Problematično je to zapisati u formulu. Ali znak je lako napraviti. I napravite raspored. Inače, grafikon izgleda smiješno...) Probajte.

Metoda verbalnog opisa je prilično egzotična. Ali ponekad je tako. Donio sam ga ovdje da vam dam povjerenje u neočekivano i neobične situacije. Samo treba da razumete značenje reči "funkcija specificirana..." Evo ga, ovo značenje:

Ako postoji zakon jedan-na-jedan korespondencije između X I at- to znači da postoji funkcija. Koji zakon, u kom obliku je izražen - formula, tabla, grafikon, riječi, pjesme, plesovi - ne mijenja suštinu stvari. Ovaj zakon vam omogućava da odredite odgovarajuću vrijednost Y iz vrijednosti X. Sve.

Sada ćemo ovo duboko znanje primijeniti na neke nestandardne zadatke.) Kao što je obećano na početku lekcije.

Zadatak 1:

Funkcija y = f(x) data je u tabeli 1:

Tabela 1.

Pronađite vrijednost funkcije p(4), ako je p(x)= f(x) - g(x)

Ako uopće ne možete razumjeti šta je šta, pročitajte prethodnu lekciju "Šta je funkcija?" O takvim slovima i zagradama je vrlo jasno napisano.) A ako vas samo tabelarni oblik zbuni, onda ćemo to riješiti ovdje.

Iz prethodne lekcije je jasno da ako, p(x) = f(x) - g(x), To p(4) = f(4) - g(4). Pisma f I g znači pravila prema kojima se svakom X dodjeljuje vlastita igra. Za svako slovo ( f I g) - tvoj pravilo. Što je dato odgovarajućom tabelom.

Vrijednost funkcije f(4) određeno iz Tabele 1. To će biti 5. Vrijednost funkcije g(4) određeno prema tabeli 2. Ovo će biti 8. Najteže ostaje.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Ovo je tačan odgovor.

Riješite nejednačinu f(x) > 2

To je to! Potrebno je riješiti nejednakost, koja (u uobičajenom obliku) briljantno izostaje! Ostaje samo ili odustati od zadatka ili okrenuti glavu. Mi biramo drugo i raspravljamo.)

Šta znači riješiti nejednakost? To znači pronalaženje svih vrijednosti x pri kojima je uvjet koji nam je dat zadovoljen f(x) > 2. One. sve vrijednosti funkcije ( at) mora biti veći od dva. I na našem grafikonu imamo svaku utakmicu... I ima više dvojki, a manje... I hajde, radi jasnoće, povući granicu duž ove dvije! Pomeramo kursor preko crteža i vidimo ovu ivicu.

Strogo govoreći, ova granica je graf funkcije y=2, ali to nije poenta. Važno je da sada grafikon vrlo jasno pokazuje gdje, kod kojih X, vrijednosti funkcije, tj. y, više od dva. Oni su više X > 3. At X > 3 cijela naša funkcija prolazi viši granice y=2. To je rešenje. Ali prerano je isključiti glavu!) Još moram da zapišem odgovor...

Grafikon pokazuje da se naša funkcija ne proteže lijevo i desno do beskonačnosti. Tačke na krajevima grafikona to ukazuju. Funkcija se tu završava. Stoga, u našoj nejednakosti, svi X-ovi koji prelaze granice funkcije nemaju značenje. Za funkciju ovih X-ova ne postoji. A mi, zapravo, rješavamo nejednakost za funkciju...

Tačan odgovor će biti:

3 < X ≤ 6

Ili, u drugom obliku:

X ∈ (3; 6]

Sada je sve kako treba. Tri nije uključeno u odgovor, jer izvorna nejednakost je stroga. I šestica se uključuje, jer i funkcija na šest postoji, a uslov nejednakosti je zadovoljen. Uspješno smo riješili nejednakost koja (u uobičajenom obliku) ne postoji...

Ovako vas neko znanje i elementarna logika spašava u nestandardnim slučajevima.)

je dan, drugim riječima, poznat, ako se za svaku vrijednost mogućeg broja argumenata može pronaći odgovarajuća vrijednost funkcije. Najčešća tri način specificiranja funkcije: tabelarno, grafičko, analitičko, postoje i verbalne i rekurzivne metode.

1. Tabelarni metod najrasprostranjeniji (tablice logaritama, kvadratni korijeni), njegova glavna prednost je mogućnost dobivanja numeričke vrijednosti funkcije, nedostaci su što tabela može biti teška za čitanje i ponekad ne sadrži međuvrijednosti argument.

na primjer:

Argument X uzima vrijednosti navedene u tabeli, i at određuje se prema ovom argumentu X.

2. Grafička metoda sastoji se od crtanja linije (grafa) u kojoj apscise predstavljaju vrijednosti argumenta, a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije. Često se, radi jasnoće, skale na osovinama uzimaju drugačije.

na primjer: pronaći po rasporedu at, što odgovara x = 2,5 potrebno je nacrtati okomicu na osu X na marku 2,5 . Oznaka se može prilično precizno napraviti pomoću ravnala. Onda to nalazimo na X = 2,5 at jednaki 7,5 , međutim, ako trebamo pronaći vrijednost at at X jednaka 2,76 , onda grafička metoda specificiranja funkcije neće biti dovoljno precizna, jer Lenjir ne dozvoljava tako precizna merenja.

Prednosti ove metode specificiranja funkcija su lakoća i integritet percepcije, kontinuitet promjena u argumentu; Nedostatak je smanjen stepen tačnosti i teškoća dobijanja tačnih vrednosti.

3. Analitička metoda sastoji se od specificiranja funkcije pomoću jedne ili više formula. Glavna prednost ove metode je visoka tačnost određivanja funkcije argumenta od interesa, ali nedostatak je vrijeme potrebno za izvođenje dodatnih matematičkih operacija.

na primjer:

Funkcija se može specificirati korištenjem matematičke formule y=x2, onda ako X jednaki 2 , To at jednaki 4, gradimo X u kvadrat.

4. Verbalna metoda sastoji se od specificiranja funkcije na običnom jeziku, tj. riječi. U ovom slučaju potrebno je dati ulazne i izlazne vrijednosti i korespondenciju između njih.

na primjer:

Možete verbalno odrediti funkciju (zadatak) koja je prihvaćena kao prirodni argument X sa odgovarajućom vrijednošću zbira cifara koje čine vrijednost at. Da pojasnimo: ako X jednaki 4 , To at jednaki 4 , i ako X jednaki 358 , To at jednak zbiru 3 + 5 + 8 , tj. 16 . Dalje slično.

5. Rekurzivni način sastoji se u specificiranju funkcije kroz sebe, dok vrijednosti funkcije određuju se kroz njegove druge vrijednosti. Ova metoda specificiranja funkcije se koristi u specificiranju skupova i serija.

na primjer:

Tokom raspadanja Ojlerovi brojevi je dato funkcijom:

Njegova skraćenica je data u nastavku:

At direktan obračun dolazi do beskonačne rekurzije, ali se može dokazati da vrijednost f(n) sa povećanjem n teži jedinstvu (dakle, uprkos beskonačnosti niza, vrijednost Ojlerovi brojevi Svakako). Za približan izračun vrijednosti e dovoljno je umjetno ograničiti dubinu rekurzije na određeni unaprijed dat broj i, kada se dostigne, upotrijebiti ga umjesto toga f(n) jedinica.

Predavanje: Pojam funkcije. Osnovna svojstva funkcije.

Učitelj: Goryacheva A.O.

O. : Pravilo (zakon) korespondencije između skupova X i Y, prema kojem se za svaki element iz skupa X može naći jedan i samo jedan element iz skupa Y, naziva sefunkcija .

Funkcija se smatra definiranom ako:

Dato je područje definicije funkcije X;

Naveden je raspon vrijednosti funkcije Y;

Pravilo (zakon) korespondencije je poznato i takvo da se za svaku vrijednost argumenta može pronaći samo jedna vrijednost funkcije. Ovaj zahtjev jedinstvenosti funkcije je obavezan.

O. : Skup X svih važećih realnih vrijednosti argumenta x za koji je definirana funkcija y = f (x) naziva sedomenu funkcije .

Poziva se skup Y svih realnih vrijednosti y koje funkcija zauzimaopseg funkcija .

Pogledajmo neke načine specificiranja funkcija.

Tabelarni metod . Prilično uobičajeno je specificiranje tablice pojedinačnih vrijednosti argumenata i njihovih odgovarajućih vrijednosti funkcija. Ova metoda definiranja funkcije se koristi kada je domen definicije funkcije diskretni konačni skup.

Grafička metoda . Grafikon funkcije y = f(x) je skup svih tačaka na ravni čije koordinate zadovoljavaju datu jednačinu.

Grafička metoda specificiranja funkcije ne omogućava uvijek precizno određivanje numeričkih vrijednosti argumenta. Međutim, ima veliku prednost u odnosu na druge metode – vidljivost. U inženjerstvu i fizici često se koristi grafička metoda specificiranja funkcije, a graf je jedini dostupan način za to.

Analitička metoda . Najčešće se kroz formule specificira zakon koji uspostavlja vezu između argumenta i funkcije. Ova metoda specificiranja funkcije naziva se analitička.

Ova metoda omogućava da svaka numerička vrijednost argumenta x pronađe odgovarajuću numeričku vrijednost funkcije y tačno ili sa određenom tačnošću.

Verbalna metoda . Ova metoda je to funkcionalna zavisnost izraženo rečima.

Primjer 1: funkcija E(x) je cijeli broj x. Općenito, E(x) = [x] označava najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Drugim riječima, ako je x = r + q, gdje je r cijeli broj (može biti negativan) i q pripada intervalu = r. Funkcija E(x) = [x] je konstantna na intervalu = r.

Primjer 2: funkcija y = (x) je razlomak broja. Tačnije, y =(x) = x - [x], gdje je [x] cijeli broj x. Ova funkcija je definirana za sve x. Ako je x proizvoljan broj, onda ga predstavite u obliku x = r + q (r = [x]), gdje je r cijeli broj, a q leži u intervalu; 2) (-;-2] ; 4) [-2;0]

5. Pronađite sve vrijednosti x na kojima funkcija poprima negativne vrijednosti (slika e):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (- ;0); 4) (- ;0) (0;+ )

f) g)

6. Pronađite sve vrijednosti x za koje funkcija uzima nenegativne vrijednosti (slika e):

1) (Sl. i).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

h) i)

9. Pri kojim vrijednostima argumenta y<0 (рис. к)?

1) [-4;0); 2) (-3;0); 3) (-3;1); 4) (0;1)

j) l)

10. Pri kojim vrijednostima x je vrijednost funkcije pozitivna (slika l)?

Funkcija je zakon prema kojem je broj x iz datog skupa X povezan sa samo jednim brojem y, napisanim , dok se x naziva argumentom funkcije, y se naziva vrijednošću funkcije.
Postoje različiti načini definiranja funkcija.

1. Analitička metoda.
Analitička metoda - Ovo je najčešći način specificiranja funkcije.
Sastoji se u činjenici da je funkcija data formulom koja utvrđuje koje operacije treba izvršiti na x da bi se pronašlo y. Na primjer.
Pogledajmo prvi primjer - . Ovdje vrijednost x = 1 odgovara , vrijednost x = 3 odgovara, itd.
Funkcija se može definirati na različitim dijelovima skupa X različitim funkcijama.
na primjer:

U svim prethodno navedenim primjerima analitičke metode postavljanja funkcija je eksplicitno specificirana. To jest, desno je bila varijabla y, a desno formula za varijablu x. Međutim, uz analitičku metodu postavljanja, funkcija se može specificirati i implicitno.
Na primjer. Ovdje, ako varijabli x damo vrijednost, onda da bismo pronašli vrijednost varijable y (vrijednost funkcije), moramo riješiti jednačinu. Na primjer, za prvu datu funkciju na x = 3, riješit ćemo jednačinu:
. To jest, vrijednost funkcije pri x = 3 je -4/3.
Uz analitičku metodu postavljanja, funkcija se može specificirati parametarski - to je kada su x i y izraženi kroz neki parametar t. na primjer,

Ovdje kod t = 2, x = 2, y = 4. To jest, vrijednost funkcije na x = 2 je 4.
2. Grafička metoda.
Grafičkom metodom uvodi se pravougaoni koordinatni sistem i u ovom koordinatnom sistemu se prikazuje skup tačaka sa koordinatama (x,y). U isto vreme. primjer:
3. Verbalna metoda.
Funkcija je specificirana pomoću verbalne formulacije. Klasičan primjer je Dirichletova funkcija.
„Funkcija je jednaka 1 ako je x racionalan broj; funkcija je jednaka 0 ako je x iracionalan broj.”
4. Tabelarni metod.
Tablični metod je najpogodniji kada je skup X konačan. Ovom metodom se sastavlja tabela u kojoj je svakom elementu iz skupa X dodijeljen broj Y.
Primjer.

Koncept funkcije Metode specificiranja funkcije Primjeri funkcija Analitička definicija funkcije Grafička metoda specificiranja funkcije Granica funkcije u tački Tablična metoda specificiranja funkcije teorema o granicama jedinstvenost granične ograničenosti funkcije koja ima granicu prijelaz na granicu u nejednakosti Granica funkcije u beskonačnosti Infinitezimalne funkcije Svojstva infinitezimalnih funkcija

Pojam funkcije je osnovni i početni, kao i koncept skupa. Neka je X neki skup realnih brojeva x. Ako je svakom x € X, prema nekom zakonu, pridružen određeni realan broj y, onda kažu da je funkcija data na skupu X i zapisuju se funkcija koja je na ovaj način uvedena. U ovom slučaju, skup X se naziva domenom definicije funkcije, a nezavisna varijabla x naziva se argument. Za označavanje funkcije ponekad koriste samo simbol koji označava zakon korespondencije, tj. umjesto f(x) n i jednostavno /. Dakle, funkcija je specificirana ako je specificirano 1) domen definicije 2) pravilo /, koje svakoj vrijednosti a: € X dodjeljuje određeni broj y = /(x) - vrijednost funkcije koja odgovara ovoj vrijednosti argument x. Funkcije / i g nazivaju se jednakim ako im se domeni poklapaju i jednakost f(x) = g(x) vrijedi za bilo koju vrijednost argumenta x iz njihove zajedničke domene definicije. Dakle, funkcije y, nisu jednake; jednaki su samo na intervalu [O, I]. Primjeri funkcija. 1. Niz (o„) je funkcija cjelobrojnog argumenta, definiranog na skupu prirodnih brojeva, tako da je /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funkcija y = n? (čitaj “en-faktorski”). Dato na skupu prirodnih brojeva: svaki prirodni broj n je pridružen proizvodu svih prirodnih brojeva od 1 do n uključujući: i po konvenciji pretpostavljamo da je 0! = 1. Oznaka znak dolazi od latinske riječi signum - znak. Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj liniji, njen skup vrijednosti se sastoji od tri broja -1,0, I (slika 1). Za funkciju, domen definicije je segment Za funkciju y - sin x, domen definicije je cijela numerička os. Imajte na umu da svaka formula ne definira funkciju. Na primjer, formula ne definira nijednu funkciju, jer ne postoji niti jedna realna vrijednost x za koju bi oba gore napisana korijena imala stvarne vrijednosti. Analitički zadatak funkcije može izgledati prilično komplicirano. Konkretno, funkcija se može definirati različitim formulama na različitim dijelovima svoje domene definicije. Na primjer, funkcija bi se mogla definirati ovako: 1.2. Grafička metoda specificiranja funkcije Za funkciju y = f(x) se kaže da je grafički specificirana ako je zadan njen graf, tj. skup tačaka (xy/(x)) na ravni xOy, čije apscise pripadaju domeni definicije funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije (slika 4). Ne može se za svaku funkciju njen graf prikazati na slici. Na primjer, Dirichletova funkcija ako je x racionalno, ako je x iracionalno, ZX \o, ne dozvoljava takvu sliku. Funkcija R(x) je navedena na cijeloj brojevnoj liniji, a skup njenih vrijednosti sastoji se od dva broja 0 i 1. 1.3. Tablični način specificiranja funkcije Funkcija se naziva tabelarnom ako je data tablica u kojoj su numeričke vrijednosti funkcije naznačene za neke vrijednosti argumenata. Prilikom specificiranja funkcije u tabeli, njen domen definicije sastoji se samo od vrijednosti x\t x2i..., xn navedenih u tabeli. §2. Granica funkcije u tački Koncept granice funkcije je centralna za matematičku analizu. Neka je funkcija f(x) definirana u nekom susjedstvu Q tačke xq, osim, možda, u tački redefiniranja (Cauchy). Broj A naziva se granica funkcije f(x) u tački xo ako za bilo koji broj e > 0, koji može biti proizvoljno mali, postoji broj<5 > 0, tako da za sve iGH.i^ x0 koji zadovoljavaju uslov nejednakost je tačna Koncept funkcije Metode specificiranja funkcije Primjeri funkcija Analitičko postavljanje funkcije Grafička metoda specificiranja funkcije Granica funkcije u tački Tabelarna metoda o određivanju teoreme funkcije o ograničenjima jedinstvenosti granične ograničenosti funkcije koja ima granicu prijelaza do granice u nejednakosti Limit funkcije na beskonačnosti . 1. Koristeći definiciju granice funkcije u tački, pokažite da je funkcija svuda definirana, uključujući tačku zo = 1: /(1) = 5. Uzmite bilo koju. Da bi se ostvarila nejednakost |(2x + 3) - 5| dogodile, sljedeće nejednakosti moraju biti zadovoljene, dakle, ako uzmemo, imamo. To znači da je broj 5 granica funkcije: u tački 2. Koristeći definiciju granice funkcije, pokažite da funkcija nije definirana u tački xo = 2. Razmotrite /(x) u nekom susjedstvu tačka Xq = 2, na primjer, na intervalu ( 1, 5), koja ne sadrži tačku x = 0, u kojoj je funkcija /(x) također nedefinirana. Uzmimo proizvoljan broj sa > 0 i transformirajmo izraz |/(x) - 2| za x φ 2 na sledeći način. Za x b (1, 5) dobijamo nejednakost broj A - 2 je granica date funkcije u tački Hajde da damo geometrijsko objašnjenje koncepta granice funkcije u tački pozivajući se na njen graf (slika 5). Za x, vrijednosti funkcije /(x) određene su ordinatama tačaka krive M\M, a za x > xo - ordinatama tačaka krive MM2. Vrijednost /(x0) određena je ordinatom tačke N. Grafikon ove funkcije se dobija ako uzmemo “dobru” krivu M\MMg i zamijenimo tačku M(x0, A) na krivu sa tačkom jV. Pokažimo da u tački xo funkcija f(x) ima granicu jednaku broju A (ordinata tačke M). Uzmite bilo koji (koliko želite) broj e > 0. Označite na osi Oy tačke sa ordinatama A, A - e, A + e. Označimo sa P i Q tačke preseka grafika funkcije y = /(x) sa pravim linijama y = A- epy = A + e Neka su apscise ovih tačaka x0 - Al x0 + hi, respektivno (ht > 0, /12 > 0). Iz slike je jasno da se za bilo koje x F x0 iz intervala (x0 - h\, x0 + hi) vrijednost funkcije /(x) nalazi između. za sve x ^ xo koji zadovoljavaju uslov, nejednakost je tačna. Tada će interval biti sadržan u intervalu i, prema tome, nejednakost ili, što je isto, će biti zadovoljeno za sve x koji zadovoljavaju uslov da Dakle, funkcija y = /(x) ima granicu A u tački x0 ako, ma koliko uska e-traka između pravih y = A - eny = A + e, postoji "5 > 0 takav da se za sve x iz probušene okoline tačke x0 tačke grafa funkcije y = /(x) nađu unutar navedene e-trake. Napomena 1. Vrijednost b zavisi od e: 6 = 6(e). Napomena 2. Prilikom određivanja granice funkcije u tački Xq, sama tačka xo je isključena iz razmatranja. Dakle, vrijednost funkcije u tački Ho ns utječe na granicu funkcije u ovoj tački. Štaviše, funkcija možda nije ni definirana u tački Xq. Dakle, dvije funkcije koje su jednake u susjedstvu tačke Xq, isključujući, možda, samu tačku xo (u kojoj mogu imati različita značenja , jedan od njih ili oba zajedno mogu biti nedefinirani), imaju isto ograničenje za x - Xq, ili oba nemaju ograničenja. Odavde, posebno, slijedi da je za pronalaženje granice razlomka u tački xo zakonito taj razlomak svesti na jednake izraze koji nestaju u x = Xq. Primjer 1. Pronađite Funkcija /(x) = j za sve x F 0 jednaka je jedan, ali u tački x = 0 nije definirana. Zamjenom /(x) sa funkcijom d(x) = 1 koja joj je jednaka na x 0, dobijamo koncept funkcije Metode specificiranja funkcije Primjeri funkcija Analitičko postavljanje funkcije Grafička metoda specificiranja funkcije Granica od funkcija u tački Tabelarna metoda specificiranja funkcije teorema o granicama jedinstvenosti granice ograničenost funkcije, koja ima granicu, prijelaz na granicu u nejednakosti Granica funkcije u beskonačnosti Infinitezimalne funkcije Svojstva infinitezimalnih funkcija Primjer 2 Nađi lim /(x), gdje se funkcija poklapa s funkcijom /(x) svuda, isključujući tačku x = 0, i ima u tački x = 0 granicu jednaku nuli: lim d(x) = 0 (pokaži! ). Stoga je lim /(x) = 0. Problem. Formulirajte koristeći nejednakosti (na jeziku e -6), što znači Neka je funkcija /(i) definirana u nekom susjedstvu Π tačke x0, osim, možda, same tačke x0. Definicija (Heine). Broj A naziva se granica funkcije /(x) u tački x0 ako za bilo koji niz (xn) vrijednosti argumenta x 6 P, z„ / x0) konvergira u tačku x0, odgovarajući niz vrijednosti funkcije (f(x„)) konvergira na broj A. Gornju definiciju je zgodno koristiti kada je potrebno utvrditi da funkcija /(x) nema ograničenja u tački x0. Da bismo to učinili, dovoljno je pronaći neki niz (f(xn)) koji nema ograničenja, ili naznačiti dva niza (f(xn)) i (f(xn)) koji imaju različite granice , da funkcija iia /(x) = sin j (slika 7), definisana SVUDA, osim za TAČKU X = O, slika 7 nema ograničenja u tački x = 0. Razmotrimo dva niza (konvergirajući u tačku x = 0. Vrijednosti odgovarajućih sekvenci funkcije /(x) konvergiraju u različite granice: niz (sinnTr) konvergira na nulu, a niz (sin(5 + -) na jedan. To znači da funkcija /( x) = sin j u tački x = 0. Napomena: Obje definicije granice funkcije u tački (definicija Cauchyja i Heineova definicija) su ekvivalentne teoremi o granicama 1 (jedinstvenost granice). funkcija f(x) ima granicu u tački xo, onda je ova granica jedinstvena. Neka je lim /(x) = A. Pokažimo da nijedan broj B φ A ne može biti granica x-x0 funkcije /(. x) u tački x0. Činjenica da je lim /(x) φ Koristeći logičke simbole XO formulira se na sljedeći način: Koristeći nejednakost koju dobijamo, uzmimo e = > 0. Pošto je lim /(x) = A, za odabrano e > 0 postoji 6 > 0 tako da iz relacije (1) za naznačene vrijednosti x imamo Dakle, utvrđeno je da bez obzira koliko mali postoji x Φ xQ takav da je i stoga ^ e. Kaže se da je funkcija /(x) ograničena u susjedstvu točke x0> ako postoje brojevi M > 0 i 6 > 0 takvi da je teorem 2 (ograničenost funkcije koja ima ograničenje). Ako je funkcija f(x) definirana u susjedstvu točke x0 i ima konačan limit u tački x0, onda je ograničena u određenom susjedstvu ove tačke. m Neka za bilo koji primjer, za e = 1, postoji 6 > O tako da će za sve x Φ x0 koje zadovoljavaju uvjet nejednakost biti istinita. Tada ćemo u svakoj tački x intervala imati, prema definiciji, da je funkcija /(x) ograničena u susjedstvu u tački x0, postojanje granice funkcije /(x) u tački x0 ne slijedi. Na primjer, funkcija /(x) = sin je ograničena u susjedstvu tačke, ali nema ograničenja u tački x = 0. Formulirajmo još dvije teoreme, geometrijsko značenješto je dovoljno jasno. Teorema 3 (prelazak do granice u nejednakosti). Ako je /(x) ^ ip(x) za sve x iz neke okoline tačke x0, osim, možda, same tačke x0, i svaka od funkcija /(x) i ip(x) u tački x0 ima limit, onda Imajte na umu da stroga nejednakost za funkcije ne podrazumijeva nužno strogu nejednakost za njihove granice. Ako ova ograničenja postoje, možemo samo tvrditi da je, na primjer, nejednakost while zadovoljena za funkcije 4 (ograničenje međufunkcije). Ako za sve x u nekom okruženju tačke Xq, osim, možda, same tačke x0 (slika 9), i funkcije f(x) i ip(x) u tački xo imaju istu granicu A, tada funkcija f (x) u tački x0 ima granicu jednaku istoj vrijednosti A. § ​​4. Granica funkcije u beskonačnosti Neka je funkcija f(x) definirana ili na cijeloj brojevnoj pravoj, ili barem za. svi x zadovoljavaju uslov jx| > K za neki K > 0. Definicija. Broj A se naziva granicom funkcije f(x) jer x teži beskonačnosti, a piše se ako za bilo koje e > 0 postoji broj jV > 0 takav da za sve x koji zadovoljavaju uslov |x| > lg, nejednakost je tačna. Zamjenjujući uvjet u ovoj definiciji u skladu s tim, dobijamo definicije da ako i samo ako istovremeno Ta činjenica geometrijski znači sljedeće: bez obzira koliko je uska e-traka između ravnih. linijama y = A-eyu = A + e, postoji prava linija x = N >0 takva da je desno grafik funkcije y = /(x) u potpunosti sadržan u naznačenoj e-traci (Sl. 10 ). U ovom slučaju kažu da se na x +oo graf funkcije y = /(x) asimptotski približava pravoj liniji y = A. Primjer, funkcija /(x) = jtjj- je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i je razlomak u kojem je brojilac konstantan, a imenilac raste bez ograničenja kao |x| +oo. Prirodno je očekivati ​​da je lim /(x)=0. Hajde da to pokažemo. M Uzmimo bilo koje e > 0, pod uslovom Da bi se relacija ostvarila, mora biti zadovoljena nejednakost sa ili, koja je ista, odakle Dakle, mora biti zadovoljena. ako ga uzmemo imaćemo ga. To znači da je broj granica date funkcije na Napomena da je radikalni izraz samo za t ^ 1. U slučaju kada je nejednakost c zadovoljena automatski za sve Graf parne funkcije y = - asimptotički se približava pravoj linija Problem. Formulirajte koristeći nejednakosti šta znači §5. Infinitezimalne funkcije Neka je funkcija a(x) definirana u nekom susjedstvu tačke xo, osim, možda, same tačke x0. Definicija. Funkcija a(x) se naziva beskonačna mala funkcija (skraćeno kao b.m.f.) sa x koji teži xo, ako Koncept funkcije Metode specificiranja funkcije Primjeri funkcija Analitičko postavljanje funkcije Grafička metoda specificiranja funkcije Granica funkcije u tački Tabelarna metoda specificiranja funkcije teorema na granice jedinstvenosti granične ograničenosti funkcije koja ima granični prijelaz na granicu u nejednakosti Limit funkcije na beskonačnosti Infinitezimalne funkcije Svojstva infinitezimalnih funkcija Na primjer, funkcija a(x) = x - 1 je b. m.f. na x 1, pošto je lim(x-l) = 0. Grafikon funkcije y = x-1 1-1 prikazan je na sl. II. Općenito, funkcija a(x) = x-x0 je najjednostavniji primjer b. m.f. kod x-»ho. Uzimajući u obzir definiciju granice funkcije u tački, definicija b. m.f. može se formulisati ovako. m.f. za x -» x0.