Dom
Stone
Kako pronaći ukupnu površinu figure. Područje figura na kariranom papiru. Kompletna uputstva (2020). Pravokutna ili kvadratna soba

Kako pronaći ukupnu površinu figure. Područje figura na kariranom papiru. Kompletna uputstva (2020). Pravokutna ili kvadratna soba

U geometriji, površina figure je jedna od glavnih numeričkih karakteristika ravnog tijela. Što je površina, kako je odrediti za različite brojke, kao i koja svojstva ima - sva ova pitanja ćemo razmotriti u ovom članku.

Šta je oblast: definicija

Površina figure je broj jediničnih kvadrata u toj figuri; neformalno govoreći, ovo je veličina figure. Najčešće se područje figure označava kao "S". Može se izmjeriti pomoću palete ili planimetra. Također, površina figure se može izračunati znajući njene osnovne dimenzije. Na primjer, površina trokuta može se izračunati pomoću tri različite formule:

Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegove širine na njegovu dužinu, a površina kruga jednaka je proizvodu kvadrata polumjera i broja π = 3,14.

Svojstva površine figure

  • površina je jednaka za jednake figure;
  • površina je uvijek nenegativna;
  • Jedinica mjere za površinu je površina kvadrata sa stranicom jednakom 1 jedinici dužine;
  • ako je figura podijeljena na dva dijela, tada je ukupna površina figure jednaka zbroju površina njenih sastavnih dijelova;
  • figure jednake po površini nazivaju se jednake po površini;
  • ako jedna figura pripada drugoj figuri, tada površina prve ne može biti veća od površine druge.

Teorema 1.

Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice.

Dokažimo da je površina S kvadrata sa stranicom a jednaka a 2. Uzmimo kvadrat sa stranicom 1 i podijelimo ga na n jednakih kvadrata kao što je prikazano na slici 1. teorema o geometriji površine

Slika 1.

Pošto je stranica kvadrata 1, onda je površina svakog mali kvadrat jednaka. Stranica svakog malog kvadrata je jednaka, tj. jednako a. Iz ovoga proizilazi da. Teorema je dokazana.

Teorema 2.

Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove stranice i visine povučene na ovu stranu (slika 2.):

S = a * h.

Neka je ABCD dati paralelogram. Ako nije pravougaonik, onda je jedan od njegovih uglova A ili B oštar. Radi određenosti, neka je ugao A oštar (slika 2).


Slika 2.

Ispustimo okomitu AE iz vrha A na pravu CB. Površina trapeza AECD jednaka je zbiru površina paralelograma ABCD i trokuta AEB. Ispustimo okomitu DF iz vrha D na liniju CD. Tada je površina trapeza AECD jednaka zbroju površina pravokutnika AEFD i trokuta DFC. Pravougli trouglovi AEB i DFC su podudarni i stoga imaju jednake površine. Iz toga slijedi da je površina paralelograma ABCD jednaka površini pravokutnika AEFD, tj. jednako AE * AD. Segment AE je visina paralelograma spuštenog na stranu AD, i prema tome S = a * h. Teorema je dokazana.

Teorema 3

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove stranice i visine(Sl. 3.):


Slika 3.

Dokaz.

Neka je ABC dati trougao. Dodajmo ga paralelogramu ABCD, kao što je prikazano na slici (slika 3.1.).


Slika 3.1.

Površina paralelograma jednaka je zbroju površina trokuta ABC i CDA. Pošto su ovi trokuti podudarni, površina paralelograma je jednaka dvostrukoj površini trougla ABC. Visina paralelograma koji odgovara strani CB jednaka je visini trougla povučenog na stranu CB. To implicira tvrdnju teoreme. Teorema je dokazana.

Teorema 3.1.

Površina trokuta jednaka je polovini umnoška njegove dvije stranice i sinusa ugla između njih(Slika 3.2.).


Slika 3.2.

Dokaz.

Uvedemo koordinatni sistem sa ishodištem u tački C tako da B leži na pozitivnoj poluosi C x, a tačka A ima pozitivnu ordinatu. Površina datog trokuta može se izračunati pomoću formule, gdje je h visina trokuta. Ali h je jednako ordinati tačke A, tj. h=b sin C. Dakle, . Teorema je dokazana.

Teorema 4.

Površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine(Sl. 4.).


Slika 4.

Dokaz.

Neka je ABCD dati trapez (slika 4.1.).

Slika 4.1.

Dijagonala AC trapeza dijeli ga na dva trougla: ABC i CDA.

Dakle, površina trapeza je jednaka zbroju površina ovih trokuta.

Površina trougla ACD jednaka je površini trougla ABC. Visine AF i CE ovih trouglova jednake su rastojanju h između paralelnih pravih BC i AD, tj. visina trapeza. Dakle, . Teorema je dokazana.

Područja figura su od velike važnosti u geometriji, kao iu nauci. Na kraju krajeva, površina je jedna od najvažnijih veličina u geometriji. Bez poznavanja područja nemoguće je riješiti mnoge geometrijske probleme, dokazati teoreme i opravdati aksiome. Područja figura su bila od velike važnosti prije mnogo stoljeća, ali nisu izgubila na značaju savremeni svet. Koncepti područja se koriste u mnogim profesijama. Koriste se u građevinarstvu, dizajnu i mnogim drugim ljudskim aktivnostima. Iz ovoga možemo zaključiti da bez razvoja geometrije, posebno pojmova područja, čovječanstvo ne bi moglo napraviti tako veliki iskorak u oblasti nauke i tehnologije.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

  • Prikupljeno od nas lične podatke nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
  • Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

  • Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u sudskim postupcima i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - da otkrijete svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Square geometrijska figura - numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trougla

  1. Formula za površinu trokuta po strani i visini
    Površina trougla jednak polovini umnoška dužine stranice trokuta i dužine visine povučene ovoj strani
  2. Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku opisane kružnice
  3. Formula za površinu trokuta zasnovana na tri strane i poluprečniku upisane kružnice
    Površina trougla jednak je proizvodu poluperimetra trokuta i poluprečnika upisane kružnice.
    4. gdje je S površina trokuta,
    - dužine stranica trougla,
    - visina trougla,
    - ugao između stranica i,
    - poluprečnik upisane kružnice,
    R - poluprečnik opisane kružnice,

Formule kvadratne površine

  1. Formula za površinu kvadrata po dužini stranice
    Kvadratna površina jednak kvadratu dužine njegove stranice.
  2. Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne dužine
    Kvadratna površina jednaka polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
    S=1 2
    2
    3. gdje je S površina kvadrata,
    - dužina stranice kvadrata,
    - dužina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

    Površina pravougaonika jednak proizvodu dužina njegove dvije susjedne strane

    gdje je S - površina pravougaonika,
    - dužine stranica pravougaonika.

Formule površine paralelograma

  1. Formula za površinu paralelograma na osnovu dužine i visine stranice
    Površina paralelograma
  2. Formula za površinu paralelograma zasnovanu na dvije strane i kutu između njih
    Površina paralelograma jednak je proizvodu dužina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom ugla između njih.

    a b sin α

    3. gdje je S površina paralelograma,
    - dužine stranica paralelograma,
    - dužina visine paralelograma,
    - ugao između stranica paralelograma.

Formule za površinu romba

  1. Formula za površinu romba na osnovu dužine i visine stranice
    Područje romba jednak proizvodu dužine njegove stranice i dužine visine spuštene na ovu stranu.
  2. Formula za površinu romba na osnovu dužine stranice i kuta
    Područje romba jednak je proizvodu kvadrata dužine njegove stranice i sinusa ugla između stranica romba.
  3. Formula za površinu romba zasnovana na dužinama njegovih dijagonala
    Područje romba jednak polovini umnoška dužina njegovih dijagonala.
    4. gdje je S površina romba,
    - dužina stranice romba,
    - dužina visine romba,
    - ugao između stranica romba,
    1, 2 - dužine dijagonala.

Formule površine trapeza

  1. Heronova formula za trapez

    gdje je S površina trapeza,
    - dužine osnova trapeza,
    - dužine stranica trapeza,

klasa: 5

Po mom mišljenju, zadatak nastavnika nije samo da podučava, već razvija kognitivni interes kod učenika. Stoga, kad god je to moguće, povezujem teme lekcije sa praktičnim zadacima.

Tokom časa, učenici, pod vodstvom nastavnika, sastavljaju plan rješavanja zadataka za pronalaženje površine „kompleksne figure“ (za izračunavanje procjena popravke), učvršćuju vještine u rješavanju problema za pronalaženje površine; dolazi do razvoja pažnje, sposobnosti za istraživačke aktivnosti, vaspitanja aktivnosti, samostalnosti.

Rad u paru stvara situaciju komunikacije između onih koji imaju znanje i onih koji ga stiču; Ovaj rad se zasniva na poboljšanju kvaliteta obuke iz predmeta. Podstiče razvoj interesovanja za proces učenja i dublju asimilaciju nastavnog materijala.

Čas ne samo da sistematizuje znanje učenika, već doprinosi i razvoju kreativnih i analitičkih sposobnosti. Upotreba zadataka sa praktičnim sadržajima u nastavi omogućava nam da pokažemo relevantnost matematičkog znanja u svakodnevnom životu.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

  • konsolidacija znanja o formulama za površinu pravougaonika, pravougaonog trougla;
  • analiza zadataka za izračunavanje površine "složene" figure i metode za njihovo izvođenje;
  • samostalno izvršavanje zadataka za provjeru znanja, vještina i sposobnosti.

edukativni:

  • razvoj metoda mentalne i istraživačke aktivnosti;
  • razvijanje sposobnosti slušanja i objašnjavanja toka odluke.

edukativni:

  • razvijati akademske vještine učenika;
  • neguju kulturu usmenog i pismenog matematičkog govora;
  • odgojiti prijateljski stav u učionici i sposobnost rada u grupama.

Vrsta lekcije: kombinovano.

Oprema:

  • Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: “Mnemosyne”, 2010.
  • Kartice za grupe učenika sa oblicima za izračunavanje površine složenog oblika.
  • Alati za crtanje.

Plan lekcije:

  1. Organizacioni momenat.
  2. Ažuriranje znanja.
    A) Teorijska pitanja(test).
    b) Izjava o problemu.
  3. Naučio novo gradivo.
    a) pronalaženje rješenja za problem;
    b) rješenje problema.
  4. Učvršćivanje materijala.
    a) kolektivno rješavanje problema;
    Minut fizičkog vaspitanja.
    b) samostalan rad.
  5. Domaći.
  6. Sažetak lekcije. Refleksija.

Napredak lekcije

I. Organizacioni momenat.

Počećemo lekciju sa ovim rečima za rastanak:

matematika, prijatelji,
Apsolutno svima treba.
Radite vrijedno na času
A uspjeh vas sigurno čeka!

II. Ažuriranje znanja.

A) Frontalni rad sa signalnim karticama (svaki učenik ima kartice sa brojevima 1, 2, 3, 4; prilikom odgovora na testno pitanje učenik podiže karticu sa brojem tačnog odgovora).

1. Kvadratni centimetar je:

  1. površina kvadrata sa stranicom od 1 cm;
  2. kvadrat sa stranicom 1 cm;
  3. kvadrat sa perimetrom od 1 cm.

2. Površina figure prikazane na slici jednaka je:

  1. 8 dm;
  2. 8 dm 2;
  3. 15 dm 2.

3. Da li je tačno da jednake figure imaju jednake perimetre i jednake površine?

4. Površina pravokutnika određena je formulom:

  1. S = a 2 ;
  2. S = 2 (a + b);
  3. S = a b.

5. Površina figure prikazane na slici jednaka je:

  1. 12 cm;
  2. 8 cm;
  3. 16 cm.

b) (Izjava o problemu). Zadatak. Koliko je boje potrebno za farbanje poda koji ima sljedeći oblik (vidi sliku), ako se potroši 200 g boje na 1 m2?

III. Učenje novog gradiva.

Šta trebamo znati da bismo riješili posljednji problem? (Pronađite površinu poda koja izgleda kao "složena figura.")

Učenici formulišu temu i ciljeve časa (ako je potrebno, nastavnik pomaže).

Zamislite pravougaonik ABCD. Hajde da povučemo crtu u njemu KPMN, razbijanje pravougaonika ABCD na dva dela: ABNMPK I KPMNCD.

Koja je oblast? ABCD? (15 cm 2)

Kolika je površina figure? ABMNPK? (7 cm 2)

Kolika je površina figure? KPMNCD? (8 cm 2)

Analizirajte svoje rezultate. (15= = 7 + 8)

Zaključak? (Površina cijele figure jednaka je zbroju površina njenih dijelova.)

S = S 1 + S 2

Kako možemo primijeniti ovo svojstvo da riješimo naš problem? (Hajde da to raskinemo složena figura na dijelove, pronađite površine dijelova, zatim površinu cijele figure.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Hajde da se pomirimo plan za rješavanje problema za pronalaženje površine "složene figure":

  1. Sliku razbijamo na jednostavne figure.
  2. Pronalaženje površina jednostavnih figura.

a) Zadatak 1. Koliko će pločica biti potrebno za postavljanje stranice sljedećih dimenzija:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Postoji li drugi način za rješavanje? (Razmatramo predložene opcije.)

Odgovor: 2100 dm 2.

Zadatak 2. (kolektivna odluka na tabli i u sveskama.) Koliko m2 linoleuma je potrebno za renoviranje prostorije koja ima sljedeći oblik:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Odgovor: 8 m2.

Minut fizičkog vaspitanja.

A sada, momci, ustanite.
Brzo su podigli ruke.
Na strane, napred, nazad.
Skrenuo desno, lijevo.
Tiho su sjeli i vratili se na posao.

b) Samostalan rad (obrazovni) .

Učenici su podijeljeni u grupe (br. 5-8 su jači). Svaka grupa je tim za popravku.

Zadatak za ekipe: odredite koliko je boje potrebno za farbanje poda koji ima oblik figure prikazane na kartici, ako je potrebno 200 g boje na 1 m2.

Ugradite ovu figuru u svoju bilježnicu i zapišete sve podatke i započnete zadatak. O rješenju možete razgovarati (ali samo u svojoj grupi!). Ako se neka grupa brzo nosi sa zadatkom, onda im se daje dodatni zadatak (nakon provjere samostalnog rada).

Zadaci za grupe:

V. Domaći.

stav 18, br. 718, br. 749.

Dodatni zadatak. Planski dijagram Ljetne bašte (Sankt Peterburg). Izračunajte njegovu površinu.

VI. Sažetak lekcije.

Refleksija. Nastavite rečenicu:

  • Danas sam saznao...
  • Bilo je zanimljivo...
  • Bilo je teško...
  • sada mogu...
  • Dao mi je lekciju za ceo zivot...
Sekcije