Izomorfne grupe. Grupni izomorfizam

4. Izomorfizam grupa.

Definicija.

Preslikavanje dvije grupe G i K naziva se izomorfizam, Ako

1. Preslikavanje j je jedan prema jedan. 2. Mapiranje j pohranjuje operaciju: .

Pošto je inverzno preslikavanje na j takođe izomorfizam, uvedeni koncept je simetričan u odnosu na grupe G i K, koje se nazivaju izomorfnim.

1.Grupe rotacija ravnine i oko tačaka i međusobno su izomorfne. Slično, grupe koje se sastoje od rotacija prostora oko bilo koje dvije ose također će biti izomorfne.

2. Grupa diedara i odgovarajuća prostorna grupa su izomorfne.

3. Grupa tetraedara T je izomorfna grupi koja se sastoji od parnih permutacija četvrtog stepena. Da bi se konstruisao izomorfizam, dovoljno je vrhove tetraedra numerisati brojevima 1,2,3,4 i primetiti da svaka rotacija koja kombinuje tetraedar sa sobom na neki način preuređuje njegove vrhove i, stoga, definiše neku zamenu skup (1,2, 3, 4) Rotacije oko ose koja prolazi kroz neki vrh (na primjer, 1), ostavlja simbol 1 na mjestu i ciklički preuređuje simbole 1, 2, 3. Sve takve permutacije su parne. Rotacija oko ose koja povezuje sredine ivica (na primjer, 12 i 34) preuređuje simbole 1 i 2, kao i 3 i 4. Takve permutacije su također parne.

4. Formula određuje korespondenciju jedan prema jedan između skupa R realni brojevi i mnogi pozitivni brojevi. U isto vreme. To znači da je izomorfizam.

Komentar. U apstraktnoj algebri, izomorfne grupe se obično smatraju identičnima. U suštini to znači da se zanemaruju pojedinačna svojstva elemenata grupe i porijeklo algebarske operacije.

5. Koncept podgrupe.

Poziva se neprazan podskup podgrupa, ako je sama grupa. Detaljnije to znači da , i .

Znak podgrupe.

Neprazan podskup će biti podgrupa ako i samo ako .

Dokaz.

Na jedan način ova izjava je očigledna. Neka je sada bilo koji element. Uzmimo atribut podgrupe. Onda dobijamo . Sada uzmimo . Onda dobijamo .

Primjeri podgrupa.

1. Za transformacijske grupe, novi i stari koncepti podgrupa su jedni drugima ekvivalentni.

2. - podgrupa parnih permutacija.

5. Neka je G bilo koja grupa i bilo koji fiksni element. Razmotrite set sve moguće stepene ovog elementa. Pošto , skup koji se razmatra je podgrupa. Zove se ciklička podgrupa s generirajućim elementom g.

6. Neka bilo koja podgrupa Razmotrimo skup koji je centralizator podgrupe H u grupi G. Iz definicije slijedi da ako , odnosno tj . Sada je jasno da ako , onda a to znači da je centralizator podgrupa. Ako je grupa G komutativna, onda . Ako je G=H, onda se centralizator sastoji od onih elemenata koji komutiraju sa svim elementima grupe; u ovom slučaju se naziva središte grupe G i označava se sa Z(G).

Napomena o aditivnom obliku grupne notacije.

Ponekad, posebno kada je operacija u grupi komutativna, označava se sa (+) i naziva se zbrajanjem. U ovom slučaju, neutralni element se naziva nula i zadovoljava uslov: g+0=g. Inverzni element u ovom slučaju naziva se suprotan i označava se (-g). Potencije elementa g imaju oblik g+g+ .+g , nazivaju se višekratnici elementa g i označavaju se sa ng.

A

Dužina većeg broja podgrupa- broj n u definiciji broj podgrupa.

E

Prirodni homomorfizam po faktorskoj grupi po normalnoj podgrupi H je homomorfizam koji dodjeljuje svakom elementu a susedne razredne grupe aH. Srž ovog homomorfizma je podgrupa H .

I

Konačno generirana grupa- grupa koja ima konačni sistem formiranje.

Torzija, Tor G, komutativna ili nilpotentna grupa G je podgrupa svih elemenata konačnog red.

L

Lokalno vlasništvo grupe G. Kažu da je grupa G ima lokalnu imovinu P, ako je bilo koja konačno generirana podgrupa od G ima ovo svojstvo. Primjeri uključuju lokalnu konačnost i lokalnu nilpotencija.

Lokalna teorema. Kažu to za neku imovinu P grupe, lokalni teorem vrijedi ako je svaka grupa lokalno posjeduju ovu nekretninu, ona sama ga posjeduje.

Na primjer: lokalno Abelova grupa je Abelova, ali lokalno konačna grupa može biti beskonačna.

M

Metabelova grupa je grupa čija je druga komutantna podgrupa trivijalna (odlučiva nivoa 2).

Metaciklička grupa- grupa koja ima ciklično normalna podgrupa, čija je faktorska grupa također ciklična. Svaka konačna grupa red koji nema kvadrata (tj. nije djeljiv kvadratom bilo kojeg broja) je metacikličan.

Multiplikativna grupa tijelo - grupa čiji su svi elementi različiti od nule elementi datog tijela, a operacija se poklapa sa operacijom množenja u tijelu.

N

Hall podgrupa- podgrupa čiji je redoslijed koprimetan s njenim indeksom u cijeloj grupi.

C

Grupni centar G, obično se označava Z(G), definira se kao

drugim riječima, ovo je maksimalna podgrupa elemenata koji komutiraju sa svakim elementom G.

Homomorfno preslikavanje iz grupe u grupu razmatrano gore nije jedno-prema jedan; dva različita elementa a grupe se transformišu u isti element b grupe (preslikavanje iz jedne konačne grupe u drugu može biti jedno-prema jedan samo ako ove grupe imaju isti red.) Homomorfno jedan-na-jedan preslikavanje jedne grupe u drugu naziva se izomorfno preslikavanje ili izomorfizam. Dakle, izomorfizam grupa je preslikavanje jedne grupe u drugu, koja zadovoljava dva uslova:

1) za sve elemente a i b (homomorfizam);

2) ako i samo ako (jedan na jedan).

Razmotrimo dva primjera takvih preslikavanja. Jedna od njih uključuje konačne grupe, a druga - beskonačne. Čitalac treba da obrati pažnju na sledeću činjenicu: izomorfizam jedne grupe drugoj znači da imaju istu algebarsku strukturu. Iz tog razloga postoji izomorfizam iz jedne grupe u drugu.

Neka su elementi grupe H korijeni jednadžbe

Grupna operacija je obično množenje. Hajde da razmotrimo ciklička grupa takve rotacije kvadrata u njegovoj ravni, kao rezultat kojih se kombinira sam sa sobom,

Označimo takvim preslikavanjem grupe na H:

Očigledno, f je mapiranje jedan-na-jedan. Ali hoće li biti homomorfan? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, ispitujemo tablicu grupnog množenja (tabela 9.2) i uporedimo svaki proizvod r sa njegovom slikom (napisano ispod):

Tabela 9.2

Čitalac može lako provjeriti (uzimajući u obzir jednakost da slike elemenata grupe čine tablicu množenja grupe H. Dakle,

i stoga preslikavanje f nije samo jedan-na-jedan, već je i homomorfno. To znači da je f izomorfizam. U takvim slučajevima ćemo reći da su grupe i H izomorfne. Dvije grupe su izomorfne ako postoji izomorfizam iz jedne grupe u drugu. Sa stanovišta ove definicije, izomorfizam je i svojstvo dvije grupe i svojstvo preslikavanja koje ih povezuje. To je svojstvo koje smo imali na umu kada smo rekli da grupe imaju istu strukturu.

Grafikoni dve izomorfne grupe prikazani su na Sl. 9.7. Jasno je da se ovi grafovi poklapaju do notacije na vrhovima i generatorima.

Kao drugi primjer izomorfnih grupa, razmotrite skup P pozitivnih realnih brojeva i skup L njihovih logaritama. (Nije bitno na osnovu čega se logaritmi razmatraju, ali radi određenosti pretpostavit ćemo da su decimalni.)

Prvo, imajte na umu da je svaki od ovih skupova grupa u odnosu na binarnu operaciju specificiranu u sljedećoj tabeli:

Dokažimo da su ove grupe izomorfne i da je preslikavanje definisano formulom

postoji izomorfizam. Svaki element skupa L pod naznačenim preslikavanjem f je slika nekog elementa iz P. Dakle, domen definicije ovog preslikavanja je skup svih pozitivnih brojeva, a domen vrijednosti je skup svih realnih brojevi (slika 9.8). Ostaje da se to proveri

(1) za bilo koje x i y iz

(2) preslikavanje je jedan-na-jedan.

Ovdje morate paziti da ne pobrkate operacije u grupama P i L. Neka je binarna operacija grupe P, a neka je binarna operacija grupe

Tada za bilo koja dva elementa x, y grupe P