Granični i početni uvjeti diferencijalne jednadžbe. I. Granični uslovi prve vrste. Ispravnost postavljanja graničnih uslova

Kao što je navedeno u uvodu, parcijalne diferencijalne jednadžbe drugog reda imaju beskonačan broj rješenja ovisno o dvije proizvoljne funkcije. Da bismo odredili ove proizvoljne funkcije, ili, drugim riječima, da bismo izolirali određeno rješenje koje nam je potrebno, potrebno je nametnuti dodatne uvjete željenoj funkciji. Čitalac se već susreo sa sličnim fenomenom pri rješavanju običnih diferencijalnih jednadžbi, kada se odabir zajedničkog rješenja iz opšteg sastojao u procesu pronalaženja proizvoljnih konstanti prema datim početnim uslovima.

Kada se razmatra problem vibracija struna, dodatni uslovi mogu biti dva tipa: početni i granični (ili granični).

Početni uslovi pokazuju u kakvom je stanju struna bila u trenutku kada je oscilacija počela. Najprikladnije je uzeti u obzir da je struna počela oscilirati u trenutku . Početni položaj tačaka niza je dat uslovom

i početnu brzinu

gdje su date funkcije.

Oznaka i znači da se funkcija uzima na proizvoljnoj vrijednosti i na , tj. slično . Ovaj oblik snimanja se stalno koristi u budućnosti; tako npr. itd.

Uslovi (1.13) i (1.14) slični su početnim uslovima u najjednostavnijem zadatku dinamike materijalna tačka. Tamo, pored toga, odrediti zakon kretanja tačke diferencijalna jednadžba, morate znati početni položaj tačke i njenu početnu brzinu.

Granični uslovi imaju drugačiji karakter. Oni pokazuju šta se dešava na krajevima žice tokom čitavog vremena vibracije. U najjednostavnijem slučaju, kada su krajevi niza fiksirani (početak niza je u početku, a kraj u tački, funkcija će se povinovati uslovima

Čitalac je ispunio potpuno iste uslove na kursu o čvrstoći materijala kada je proučavao savijanje grede koja leži na dva oslonca pod dejstvom statičkog opterećenja.

Fizički smisao činjenice da postavljanje početnih i graničnih uslova u potpunosti određuje proces može se najlakše pratiti za slučaj slobodnih vibracija strune.

Neka se, na primjer, struna fiksirana na krajevima nekako povuče unazad, tj. postavi se funkcija - jednadžba početnog oblika strune i pusti bez početne brzine (to znači da) Jasno je da se ovim dalja priroda vibracija će biti potpuno određena i rešavanjem ćemo pronaći jedinu funkciju homogena jednačina pod odgovarajućim uslovima. Možete učiniti da struna oscilira na drugi način, naime dajući tačkama žice neku početnu brzinu. Fizički je jasno da će u ovom slučaju dalji proces oscilacija biti potpuno određen. Zadavanje tačaka početne brzine žice može se izvršiti udarcem u žicu (kao što je slučaj kod sviranja klavira); prvi način da se uzbudi žica koristi pri sviranju trkačkih instrumenata (na primjer, gitare).

Formulirajmo sada konačni matematički problem koji vodi proučavanju slobodnih vibracija žice pričvršćene na oba kraja.

Potrebno je riješiti homogenu linearnu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda sa konstantnim koeficijentima

Određuje temperaturu na površini tijela u bilo kojem trenutku, tj.

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Rice. 2.4 - Izotermno granično stanje.

Bez obzira na to kako se temperatura unutar tijela mijenja, temperatura tačaka na površini odgovara jednačini (2.15).

Kriva raspodjele temperature u tijelu (slika 2.4) na granici tijela ima zadatu ordinatu Ts , što se može promijeniti tokom vremena. Poseban slučaj graničnog stanja prve vrste je izotermni granični uslov pod kojim temperatura površine tijela ostaje konstantna tijekom cijelog procesa prijenosa topline:

T s = konst.

Rice. 2.5 - Stanje prve vrste

Da bismo zamislili takvo stanje tijela, potrebno je pretpostaviti da drugi, fiktivni izvor topline izvan njega sa negativnim predznakom (tzv. hladnjak) djeluje simetrično na izvor topline koji djeluje u tijelu. Štaviše, svojstva ovog hladnjaka tačno odgovaraju svojstvima stvarnog izvora toplote, a raspodela temperature je opisana istim matematičkim izrazom. Ukupni učinak ovih izvora će dovesti do toga da se na površini tijela uspostavi konstantna temperatura, u konkretnom slučaju T = 0 8C , dok se unutar tijela temperatura tačaka kontinuirano mijenja.

Granični uslov druge vrste

Određuje gustinu toplotni tok u bilo kojoj tački na površini tijela u bilo koje vrijeme, tj.

Prema Fourierovom zakonu, gustina toplotnog toka je direktno proporcionalna temperaturnom gradijentu. Prema tome, temperaturno polje na granici ima dati gradijent (slika b), u konkretnom slučaju, konstantan, kada

Poseban slučaj graničnog uslova druge vrste je adijabatski granični uslov, kada je toplotni tok kroz površinu tela nula (slika 2.6), tj.

Rice. 2.6 - Granični uslov druge vrste

U tehničkim proračunima često postoje slučajevi kada je toplotni tok s površine tijela mali u odnosu na tokove unutar tijela. Tada ovu granicu možemo uzeti kao adijabatsku. Kod zavarivanja, takav slučaj se može predstaviti sljedećim dijagramom (slika 2.7).

Rice. 2.7 - Stanje druge vrste

U tački O radi izvor toplote. Da bi se ispunio uslov da granica ne prenosi toplotu, potrebno je isti izvor postaviti simetrično na ovaj izvor izvan tela, u tački Oko 1 , a toplotni tok iz njega je usmjeren protiv toka glavnog izvora. Oni se međusobno poništavaju, odnosno granica ne propušta toplotu. Međutim, temperatura ruba tijela bi bila dvostruko veća da je ovo tijelo beskonačno. Ova metoda kompenzacije toplotnog toka naziva se metoda refleksije, jer se u ovom slučaju granica nepropusna za toplinu može smatrati granicom koja odražava tok topline koji dolazi iz metala.

Granični uslov treće vrste.

Određuje temperaturu okoline i zakon prijenosa topline između površine tijela i okoline. Najjednostavniji oblik graničnog uvjeta treće vrste dobiva se ako je prijenos topline na granici zadan Newtonovom jednačinom, koja izražava da je gustina toplotnog fluksa prijenosa topline kroz graničnu površinu direktno proporcionalna temperaturnoj razlici između granice površine i okoline

Gustoća toplotnog toka koja teče na graničnu površinu sa strane tijela, prema Fourierovom zakonu, direktno je proporcionalna gradijentu temperature na graničnoj površini:

Izjednačavajući toplotni tok koji dolazi sa strane tijela sa fluksom prijenosa topline, dobijamo granični uvjet 3. vrste:

,

izražavajući da je temperaturni gradijent na graničnoj površini direktno proporcionalan temperaturnoj razlici između površine tijela i okoline. Ovaj uvjet zahtijeva da tangenta krivulje raspodjele temperature na graničnoj tački prolazi kroz kontrolnu tačku O sa temperaturom izvan tijela na udaljenosti od granične površine (slika 2.8).

Slika 2.8 - Granični uslov 3. vrste

Iz graničnog uslova 3. vrste može se dobiti kao poseban slučaj izotermni granični uslov. Ako , što se odvija pri vrlo velikom koeficijentu prijenosa topline ili vrlo malom koeficijentu toplinske provodljivosti, tada:

i , tj. temperatura površine tijela je konstantna tokom cijelog procesa prijenosa topline i jednaka je temperaturi okoline.

Jedna jednadžba kretanja (1.116) nije dovoljna za matematički opis fizičkog procesa. Potrebno je formulisati uslove dovoljne za nedvosmislenu definiciju procesa. Kada se razmatra problem vibracija strune, dodatni uslovi mogu biti dva tipa: početni i granični (granični).

Hajde da formulišemo dodatne uslove za strunu sa fiksnim krajevima. Budući da su krajevi niza dužine fiksni, njihova odstupanja u tačkama i moraju biti jednaka nuli za bilo koje:

Pozivaju se uslovi (1.119). granica uslovi; pokazuju šta se dešava na krajevima žice tokom procesa vibracije.

Očigledno, proces oscilovanja će zavisiti od toga kako je struna izvučena iz ravnoteže. Pogodnije je uzeti u obzir da je struna počela oscilirati u trenutku . U početnom trenutku vremena, svim tačkama strune su dati neki pomaci i brzine:

,

, ,

(1.120)

gdje su i date funkcije.

Pozivaju se uslovi (1.120). početni uslovima.

Dakle, fizički problem vibracija struna je sveden na sljedeće matematički problem: pronaći rješenje jednačine (1.116) (ili (1.117) ili (1.118)), koje bi zadovoljilo granične uslove (1.119) i početne uslove (1.120). Ovaj problem se naziva problem mješovite granične vrijednosti jer uključuje i granične i početne uvjete. Dokazano je da pod određenim ograničenjima nametnutim funkcijama i , mješoviti problem ima jedinstveno rješenje.

Ispada da se problem (1.116), (1.119), (1.120), pored problema vibracija struna, svodi na mnoge druge fizičke probleme: bacanje elastična šipka, torzione vibracije osovine, fluktuacije tečnosti i gasova u cevi, itd.

Osim granični uslovi(1.119) mogući su granični uslovi drugih tipova. Najčešći su sljedeći:

I. , ;

II. , ;

III. , ,

gdje su , poznate funkcije, i , poznate konstante.

Dati granični uslovi nazivaju se, redom, granični uslovi prve, druge i treće vrste. Uslovi I se odvijaju ako se krajevi objekta (žica, štap, itd.) kreću prema datom zakonu; uslovi II - ako se navedene sile primenjuju na krajeve; uslovi III - u slučaju elastičnog fiksiranja krajeva.

Ako su funkcije date na desnoj strani jednakosti jednake nuli, tada se pozivaju granični uvjeti homogena. Dakle, granični uslovi (1.119) su homogeni.

Kombinujući različite navedene tipove graničnih uslova, dobijamo šest tipova najjednostavnijih graničnih problema.

Za jednačinu (1.116) može se postaviti i drugi problem. Neka je struna dovoljno duga i zanimaju nas oscilacije njenih tačaka, dovoljno udaljenih od krajeva, i za kratak vremenski period. U ovom slučaju, način rada na krajevima neće imati značajan učinak i stoga se ne uzima u obzir; Pretpostavlja se da je niz beskonačan. Umjesto kompletan zadatak postaviti ograničavajući problem sa početnim uslovima za neograničeno područje: pronaći rješenje jednadžbe (1.116) za pri čemu zadovoljavaju početne uvjete:

, .

područje koje se razmatra.

Obično diferencijalna jednadžba nema jedno rješenje, već čitavu njihovu porodicu. Početni i granični uslovi vam omogućavaju da od njih odaberete onaj koji odgovara stvarnom fizičkom procesu ili fenomenu. U teoriji običnih diferencijalnih jednadžbi dokazuje se teorema o postojanju i jedinstvenosti rješenja problema s početnim uvjetom (tzv. Cauchyjev problem). Za parcijalne diferencijalne jednadžbe dobivene su neke teoreme postojanja i jedinstvenosti rješenja za određene klase početnih i graničnih problema.

Terminologija

Ponekad se početni uslovi u nestacionarnim problemima, kao što je rješenje hiperboličkih ili paraboličkih jednačina, također nazivaju graničnim uvjetima.

Za stacionarne probleme postoji podjela graničnih uslova na main I prirodno.

Glavni uvjeti obično imaju oblik , gdje je granica regije.

Prirodni uslovi takođe sadrže izvod rešenja u odnosu na normalu na granicu.

Primjer

Jednačina opisuje kretanje tijela u gravitacionom polju Zemlje. Zadovoljava ga bilo koja kvadratna funkcija oblika , gdje su proizvoljni brojevi. Da bi se izdvojio određeni zakon kretanja, potrebno je naznačiti početnu koordinatu tijela i njegovu brzinu, odnosno početne uslove.

Ispravnost postavljanja graničnih uslova

Zadaci matematička fizika opisati stvarno fizički procesi, te stoga njihova formulacija mora zadovoljiti sljedeće prirodne zahtjeve:

1. Odluka treba postoje u bilo kojoj klasi funkcija;
2. Rješenje mora biti jedini u bilo kojoj klasi funkcija;
3. Odluka treba kontinuirano zavisi od podataka(početni i granični uslovi, slobodni termin, koeficijenti, itd.).

Zahtjev za kontinuiranom ovisnošću rješenja nastaje zbog činjenice da se fizički podaci, po pravilu, određuju približno iz eksperimenta, pa se stoga mora biti siguran da je rješenje problema u okviru odabranog matematički model neće značajno zavisiti od greške merenja. Matematički, ovaj zahtjev se može napisati, na primjer, na sljedeći način (za nezavisnost od slobodnog pojma):

Neka su date dvije diferencijalne jednadžbe: s istim diferencijalnim operatorima i istim graničnim uvjetima, tada će njihova rješenja kontinuirano ovisiti o slobodnom članu ako:

Poziva se skup funkcija za koje su ispunjeni navedeni zahtjevi klasa ispravnosti. Netačno postavljanje graničnih uslova dobro je ilustrovano Adamardovim primjerom.

vidi takođe

• Granični uvjeti 1. vrste (Dirichletov problem) , en:Dirichletov granični uvjet
• Granični uvjeti 2. vrste (Neumannov problem) , en:Neumannov granični uvjet
• Granični uvjeti 3. vrste (Robin problem), en:Robin granični uvjet
• Uslovi za savršen termalni kontakt , en:Savršen termički kontakt

Književnost

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta su "Početni i granični uslovi" u drugim rječnicima:

U teoriji diferencijalnih jednadžbi, početni i granični uvjeti su dodatak glavnoj diferencijalnoj jednadžbi (obični ili parcijalni derivati), koji specificira njeno ponašanje u početnom trenutku vremena ili na granici razmatranog ... ... Wikipedia

Neumannov problem u diferencijalnim jednačinama je granični problem sa datim graničnim uvjetima za izvod željene funkcije na granici područja, takozvanim graničnim uvjetima druge vrste. Prema vrsti područja, Neumannov problem se može podijeliti na dva ... Wikipedia

granični uslovi- formalizirani fizički uvjeti na granici zone deformacije ili njihov matematički model, koji, uz druge, omogućavaju jedinstveno rješenje problema tlačne obrade. Granični uslovi se dijele na…

U teoriji diferencijalnih jednadžbi, početni i granični uvjeti su dodatak glavnoj diferencijalnoj jednadžbi (obični ili parcijalni derivati), koji specificira njeno ponašanje u početnom trenutku vremena ili na granici razmatranog ... ... Wikipedia

početni uslovi- opis stanja tijela prije deformacije. Obično se u početnom trenutku daju Eulerove koordinate tačaka xi0 površine tijela, naprezanje, brzina, gustina, temperatura u bilo kojoj tački M tijela. Diya površina prostora, ... ... enciklopedijski rječnik u metalurgiji

uslovi hvatanja- određeni odnos pri valjanju, koji povezuje ugao hvatanja i koeficijent ili ugao trenja, pri kojem se obezbeđuje primarno prianjanje metala valjcima i popunjavanje zone deformacije; Pogledajte i: Uslovi rada... Enciklopedijski rečnik metalurgije

Uslovi- : Vidi takođe: uslovi rada diferencijalni ravnotežni uslovi tehnički uslovi (TS) početni uslovi ... Enciklopedijski rečnik metalurgije

uslove rada- skup sanitarno-higijenskih karakteristika spoljašnje okruženje(temperatura i vlažnost vazduha, sadržaj prašine, buka itd.) u kojima se odvijaju tehnološki procesi; regulisano u Rusiji radom ... ... Enciklopedijski rečnik metalurgije

U teoriji diferencijalnih jednadžbi, početni i granični uvjeti su dodatak glavnoj diferencijalnoj jednadžbi (obični ili parcijalni derivati), koji specificira njeno ponašanje u početnom trenutku vremena ili na granici razmatranog ... ... Wikipedia

Knjige

• Numeričke metode za rješavanje inverznih zadataka matematičke fizike, Samarskiy A.A. Tradicionalni kursevi o metodama rješavanja problema matematičke fizike bave se direktnim problemima. U ovom slučaju, rješenje se određuje iz parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, koje su dopunjene ...

Početni uslovi

Da bi se mogle očitati promjene temperature na tačkama tijela u jednom ili drugom smjeru u narednim trenucima vremena, mora se postaviti početno početno termičko stanje za svaku tačku. Drugim riječima, mora se dati kontinuirana ili diskontinuirana funkcija koordinata T0 (x, y, z), koja u potpunosti opisuje temperaturno stanje u svim tačkama tijela u početno vrijeme t = 0, a željena funkcija T (x , y, z, t), koji je rješenje diferencijalne jednadžbe (1.8), mora zadovoljiti početni uvjet

T (x, y, z, 0i=o = T0 (x, y, z). (1.11)

Granični uslovi

Telo koje provodi toplotu može biti pod različitim uslovima spoljašnjeg toplotnog dejstva kroz svoju površinu. Stoga se od svih rješenja diferencijalne jednadžbe (1.8) mora izabrati ono koje zadovoljava zadate uslove na površini S, odnosno date specifične granične uslove. Koriste se sljedeći oblici matematičke dodjele graničnih uslova.

1. Temperatura u svakoj tački površine tijela može se mijenjati tokom vremena prema određenom datom zakonu, tj. temperatura površine tijela će biti kontinuirana (ili diskontinuirana) funkcija koordinata i vremena Ts (x, y, z, i ). U ovom slučaju, tražena funkcija T(x, y, z, t), koja je rješenje jednadžbe (1.8), mora zadovoljiti granični uvjet

T (x, y, z, 0 Is = Ts (x, y, z, i). (1.12)

U najjednostavnijim slučajevima, temperatura na površini tijela 7 (x, y, z, t) može biti periodična funkcija vrijeme ili može biti konstantno.

2. Toplotni tok kroz površinu tijela poznat je kao kontinuirana (ili diskontinuirana) funkcija koordinata tačaka površine i vremena qs (x, y, z, I). Tada funkcija T(x, y, z, I) mora zadovoljiti granični uvjet:

X grad T (x, y, z, 0u = Qs (*. y > z > 0-(1 -13))

3. Dati su temperatura okoline Ta i zakon prijenosa topline između okoline i površine tijela, za što se, radi jednostavnosti, koristi Newtonov zakon. U skladu sa ovim zakonom, količina ispuštene toplote dQ

tokom vremena dt elementom površine dS sa temperaturom

Ts (x, y, z, t) u okolinu, određuje se formulom

dQ = k (Ts - Ta) dS dt, (1.14)

gdje je k koeficijent prolaza topline u cal/cm2 - sec-°C. S druge strane, u skladu s formulom (1.6), ista količina topline se dovodi elementu površine iznutra i određena je jednakošću

dQ \u003d - x (grad "7") s dS dt. (1.15)

Izjednačavanjem (1.14) i (1.15) dobijamo da željena funkcija T(x, y, z, t) mora zadovoljiti granični uslov

(gradnr)s = -±-(Ts-Ta). (1.16)

Kao što je gore navedeno, prilikom spajanja ugradnje dva dijela konstrukcije, uvjeti za zavarivanje su najteži. Izvođenje zavarivanja cijele sekcije u isto vrijeme potpuno je nemoguće, te je stoga nakon nanošenja nekih šavova ...

Ako na ukupnu deformaciju zavarenih konstrukcija u velikoj mjeri utiče redoslijed nanošenja pojedinačnih šavova, onda na lokalne deformacije i deformacije iz ravnine zavarenih limova značajno utječe način izrade svakog šava. …

Kao što je gore navedeno, pri zavarivanju složenih kompozitnih dijelova i konstrukcija, priroda rezultirajućih deformacija ovisi o redoslijedu zavarivanja. Stoga je jedno od glavnih sredstava za borbu protiv deformacija u proizvodnji zavarenih konstrukcija ...