Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija. Kako nacrtati graf funkcije Graf e

Jedna od najpoznatijih eksponencijalnih funkcija u matematici je eksponent. Predstavlja Ojlerov broj podignut na specificirani stepen. U Excelu postoji poseban operator koji vam omogućava da ga izračunate. Hajde da vidimo kako se to može koristiti u praksi.

Eksponent je Ojlerov broj podignut na dati stepen. Sam Eulerov broj je otprilike 2,718281828. Ponekad se naziva i Napierovim brojem. Eksponentna funkcija izgleda ovako:

gdje je e Ojlerov broj, a n stepen podizanja.

Da izračunam ovaj indikator u Excelu se koristi poseban operator - EXP. Osim toga, ova funkcija se može prikazati kao grafikon. O radu sa ovim alatima ćemo dalje razgovarati.

Metoda 1: Izračunajte eksponent ručnim unosom funkcije

EXP(broj)

Odnosno, ova formula sadrži samo jedan argument. To je upravo snaga do koje se Ojlerov broj mora podići. Ovaj argument može biti ili numerička vrijednost ili referenca na ćeliju koja sadrži eksponent.

Metoda 2: Korišćenje čarobnjaka za funkcije

Iako je sintaksa za izračunavanje eksponenta izuzetno jednostavna, neki korisnici radije koriste Čarobnjak za funkcije. Pogledajmo kako se to radi na primjeru.

Ako se kao argument koristi referenca ćelije koja sadrži eksponent, tada morate postaviti kursor u polje "broj" i jednostavno odaberite tu ćeliju na listu. Njegove koordinate će odmah biti prikazane u polju. Nakon toga, da biste izračunali rezultat, kliknite na dugme "OK".

Metoda 3: crtanje

Osim toga, u Excelu je moguće konstruirati graf koristeći rezultate dobivene izračunavanjem eksponenta kao osnovu. Da bi se napravio graf, list mora već imati izračunate vrijednosti eksponenta različitih potencija. Oni se mogu izračunati pomoću jedne od gore opisanih metoda.

Prvo pokušajte pronaći domenu funkcije:

Jeste li uspjeli? Uporedimo odgovore:

Je li sve u redu? Bravo!

Pokušajmo sada pronaći raspon vrijednosti funkcije:

Našao? uporedimo:

Jasno? Bravo!

Ponovo radimo s grafovima, samo što će sada biti malo kompliciranije - pronađite i domenu definicije funkcije i raspon vrijednosti funkcije.

Kako pronaći i domenu i raspon funkcije (napredno)

Evo šta se dogodilo:

Mislim da ste shvatili grafikone. Pokušajmo sada pronaći domenu definicije funkcije u skladu s formulama (ako ne znate kako to učiniti, pročitajte odjeljak o):

Jeste li uspjeli? Hajde da proverimo odgovori:

1. , budući da radikalni izraz mora biti veći ili jednak nuli.
2. , budući da ne možete dijeliti sa nulom i radikalni izraz ne može biti negativan.
3. , pošto, respektivno, za sve.
4. , pošto ne možete podijeliti sa nulom.

Ipak, ostaje nam još jedno neodgovoreno pitanje...

Još jednom ću ponoviti definiciju i naglasiti je:

Jeste li primijetili? Riječ "singl" je vrlo, vrlo važan element naše definicije. Pokušaću da ti objasnim prstima.

Recimo da imamo funkciju definiranu pravom linijom. . At, ovu vrijednost zamjenjujemo u naše "pravilo" i dobijamo to. Jedna vrijednost odgovara jednoj vrijednosti. Možemo čak napraviti i sto različita značenja i napravite graf ove funkcije da to potvrdite.

„Pogledaj! - kažete: “„pojavljuje se dva puta!” Dakle, možda parabola nije funkcija? Ne, jeste!

Činjenica da se “ ” pojavljuje dvaput nije razlog da se parabola optužuje za dvosmislenost!

Činjenica je da smo, računajući za, dobili jednu utakmicu. I kada se računa sa, dobili smo jednu utakmicu. Tako je, parabola je funkcija. Pogledajte grafikon:

Jasno? Ako ne, evo jednog životnog primjera koji je jako daleko od matematike!

Recimo da imamo grupu aplikanata koji su se upoznali prilikom podnošenja dokumenata, od kojih je svaki u razgovoru rekao gdje živi:

Slažem se, sasvim je moguće da nekoliko momaka živi u jednom gradu, ali je nemoguće da jedna osoba živi u nekoliko gradova istovremeno. Ovo je kao logičan prikaz naše "parabole" - Nekoliko različitih X-ova odgovara istoj igri.

Hajde sada da smislimo primjer gdje ovisnost nije funkcija. Recimo da su nam ti isti momci rekli za koje su se specijalnosti prijavili:

Ovdje imamo potpuno drugačiju situaciju: jedna osoba može lako podnijeti dokumentaciju za jedan ili više smjerova. To je jedan element setovi se stavljaju u korespondenciju nekoliko elemenata mnoštvo. odnosno ovo nije funkcija.

Provjerimo vaše znanje u praksi.

Odredite iz slika što je funkcija, a što nije:

Jasno? I evo ga odgovori:

• Funkcija je - B, E.
• Funkcija nije - A, B, D, D.

Pitate zašto? Da, evo zašto:

Na svim slikama osim IN) I E) Ima ih nekoliko za jednog!

Siguran sam da sada možete lako razlikovati funkciju od ne-funkcije, reći šta je argument, a šta zavisna varijabla, te također odrediti raspon dopuštenih vrijednosti argumenta i raspon definicije funkcije . Pređimo na sljedeći odjeljak - kako postaviti funkciju?

Metode za određivanje funkcije

Šta mislite šta znače riječi? "postavi funkciju"? Tako je, to znači objasniti svima koja je funkcija u ovom slučaju postoji govor. I objasnite to na takav način da vas svi dobro razumiju i da su grafovi funkcija koje su nacrtali ljudi na osnovu vašeg objašnjenja isti.

Kako se to može uraditi? Kako postaviti funkciju? Najjednostavnija metoda, koja je već korištena više puta u ovom članku, je koristeći formulu. Pišemo formulu i zamjenom vrijednosti u nju izračunavamo vrijednost. I kao što se sjećate, formula je zakon, pravilo po kojem nama i drugoj osobi postaje jasno kako se X pretvara u Y.

Obično upravo to rade - u zadacima vidimo gotove funkcije specificirane formulama, međutim, postoje i drugi načini postavljanja funkcije na koje svi zaboravljaju, a samim tim i pitanje "kako drugačije možete postaviti funkciju?" pregrade. Hajde da shvatimo sve po redu i počnimo sa analitičkom metodom.

Analitička metoda specificiranja funkcije

Analitička metoda je specificiranje funkcije pomoću formule. Ovo je najuniverzalnija, sveobuhvatnija i nedvosmislena metoda. Ako imate formulu, onda znate apsolutno sve o funkciji - možete napraviti tablicu vrijednosti ​​iz nje, možete izgraditi graf, odrediti gdje se funkcija povećava, a gdje smanjuje, općenito, proučite je u potpunosti.

Razmotrimo funkciju. u čemu je razlika?

"Šta to znači?" - pitate. Sad ću objasniti.

Da vas podsjetim da se u notaciji izraz u zagradama naziva argumentom. A ovaj argument može biti bilo koji izraz, ne nužno jednostavan. Prema tome, kakav god da je argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu.

U našem primjeru to će izgledati ovako:

Razmotrimo još jedan zadatak koji se odnosi na analitičku metodu specificiranja funkcije, koju ćete imati na ispitu.

Pronađite vrijednost izraza at.

Siguran sam da ste se u početku uplašili kada ste vidjeli takav izraz lica, ali u tome nema apsolutno ništa strašno!

Sve je isto kao u prethodnom primjeru: kakav god da je argument (izraz u zagradama), upisaćemo ga umjesto njega u izraz. Na primjer, za funkciju.

Šta treba učiniti u našem primjeru? Umjesto toga trebate napisati, i umjesto toga -:

skratiti rezultirajući izraz:

To je to!

Samostalan rad

Sada pokušajte sami pronaći značenje sljedećih izraza:

1. , Ako
2. , Ako

Jeste li uspjeli? Uporedimo naše odgovore: Navikli smo na činjenicu da funkcija ima oblik

Čak iu našim primjerima funkciju definiramo upravo na ovaj način, ali analitički je moguće definirati funkciju u implicitnom obliku, na primjer.

Pokušajte sami izgraditi ovu funkciju.

Jeste li uspjeli?

Ovako sam ga napravio.

Koju smo jednačinu na kraju izveli?

Tačno! Linearno, što znači da će graf biti prava linija. Napravimo tabelu da odredimo koje tačke pripadaju našoj liniji:

Upravo o tome smo pričali... Jedan odgovara nekoliko.

Pokušajmo nacrtati šta se dogodilo:

Je li ono što imamo funkcija?

Tako je, ne! Zašto? Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje uz pomoć crteža. šta si dobio?

“Zato što jedna vrijednost odgovara nekoliko vrijednosti!”

Kakav zaključak možemo izvući iz ovoga?

Tako je, funkcija se ne može uvijek eksplicitno izraziti, a ono što je “prikriveno” u funkciju nije uvijek funkcija!

Tabelarni metod specificiranja funkcije

Kao što ime govori, ova metoda je jednostavan znak. Da, da. Kao onaj koji smo ti i ja već napravili. na primjer:

Ovdje ste odmah primijetili uzorak - Y je tri puta veći od X. A sada zadatak da “vrlo pažljivo razmislite”: mislite li da je funkcija data u obliku tabele ekvivalentna funkciji?

Hajde da ne pričamo dugo, nego da crtamo!

Dakle. Funkciju specificiranu pozadinom crtamo na sljedeće načine:

Vidite li razliku? Nije sve u označenim tačkama! Pogledajte izbliza:

Jeste li ga sada vidjeli? Kada definišemo funkciju na tabelarni način, na grafu prikazujemo samo one tačke koje imamo u tabeli i linija (kao u našem slučaju) prolazi samo kroz njih. Kada analitički definiramo funkciju, možemo uzeti bilo koje točke, a naša funkcija nije ograničena na njih. Ovo je posebnost. Zapamtite!

Grafička metoda konstruisanja funkcije

Grafička metoda konstruisanja funkcije nije ništa manje zgodna. Nacrtamo našu funkciju, a druga zainteresirana osoba može pronaći koliko je y jednako pri određenom x i tako dalje. Grafički i analitičke metode neke od najčešćih.

Međutim, ovdje se morate sjetiti o čemu smo pričali na samom početku - nije svaka „švrgola“ nacrtana u koordinatnom sistemu funkcija! Sjećaš li se? Za svaki slučaj, kopirat ću ovdje definiciju što je funkcija:

U pravilu, ljudi obično imenuju upravo tri načina specificiranja funkcije o kojima smo raspravljali - analitički (pomoću formule), tabelarni i grafički, potpuno zaboravljajući da se funkcija može opisati verbalno. Kako je ovo? Da, vrlo jednostavno!

Verbalni opis funkcije

Kako verbalno opisati funkciju? Uzmimo naš nedavni primjer - . Ova funkcija može se opisati kao "svakoj realnoj vrijednosti x odgovara njena trostruka vrijednost." To je to. Ništa komplikovano. Vi ćete, naravno, prigovoriti - "postoje tako složene funkcije da je jednostavno nemoguće verbalno odrediti!" Da, ima takvih, ali postoje funkcije koje je lakše opisati verbalno nego definirati formulom. Na primjer: „svi prirodna vrijednost x odgovara razlici između cifara od kojih se sastoji, dok se minus uzima kao najveća cifra sadržana u zapisu broja.” Pogledajmo sada kako se naš verbalni opis funkcije implementira u praksi:

Najveća cifra u datom broju je, respektivno, minus, a zatim:

Glavne vrste funkcija

Pređimo sada na najzanimljiviji dio – pogledajmo glavne vrste funkcija s kojima ste radili/radite i koje ćete raditi u toku školske i fakultetske matematike, odnosno upoznajmo ih, da tako kažem , i dajte im kratak opis. Pročitajte više o svakoj funkciji u odgovarajućem odjeljku.

Linearna funkcija

Funkcija oblika gdje su realni brojevi.

Grafikon ove funkcije je prava linija, pa se konstruisanje linearne funkcije svodi na pronalaženje koordinata dvije tačke.

Položaj prave linije na koordinatnoj ravni zavisi od ugaonog koeficijenta.

Opseg funkcije (poznat i kao opseg valjanih vrijednosti argumenata) je .

Raspon vrijednosti - .

Kvadratna funkcija

Funkcija forme, gdje

Graf funkcije je parabola kada su grane parabole usmjerene prema dolje, kada su grane usmjerene prema gore.

Mnoge nekretnine kvadratna funkcija zavisi od vrednosti diskriminanta. Diskriminanta se izračunava pomoću formule

Položaj parabole na koordinatnoj ravni u odnosu na vrijednost i koeficijent prikazan je na slici:

Domen definicije

Raspon vrijednosti ovisi o ekstremumu date funkcije (vrh parabole) i koeficijentu (smjer grana parabole)

Inverzna proporcionalnost

Funkcija data formulom, gdje

Broj se naziva koeficijent inverzne proporcionalnosti. Ovisno o vrijednosti, grane hiperbole su u različitim kvadratima:

Obim definicije - .

Raspon vrijednosti - .

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

1. Funkcija je pravilo prema kojem je svaki element skupa povezan s jednim elementom skupa.

• - ovo je formula koja označava funkciju, odnosno zavisnost jedne varijable od druge;
• - vrijednost varijable, ili argument;
• - zavisna količina - mijenja se kada se argument promijeni, odnosno prema bilo kojoj specifičnoj formuli koja odražava ovisnost jedne količine od druge.

2. Važeće vrijednosti argumenata, ili domena funkcije, je ono što je povezano s mogućnostima u kojima funkcija ima smisla.

3. Raspon funkcija- to su vrijednosti koje uzima, s obzirom na prihvatljive vrijednosti.

4. Postoje 4 načina za postavljanje funkcije:

• analitički (koristeći formule);
• tabelarni;
• grafički
• verbalni opis.

5. Glavne vrste funkcija:

• : , gdje su realni brojevi;
• : , Gdje;
• : , Gdje.

Birajmo u avionu pravougaoni sistem koordinate i iscrtaćemo vrijednosti argumenta na osi apscise X, a na ordinati - vrijednosti funkcije y = f(x).

Funkcijski graf y = f(x) je skup svih tačaka čije apscise pripadaju domeni definicije funkcije, a ordinate su jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije.

Drugim riječima, graf funkcije y = f (x) je skup svih tačaka ravnine, koordinata X, at koji zadovoljavaju relaciju y = f(x).

Na sl. 45 i 46 prikazuju grafikone funkcija y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.

Strogo govoreći, treba razlikovati graf funkcije (čija je tačna matematička definicija data gore) i nacrtanu krivu, koja uvijek daje samo manje ili više tačnu skicu grafa (a čak i tada, po pravilu, ne cijeli graf, već samo njegov dio koji se nalazi u završnim dijelovima ravni). Međutim, u nastavku ćemo općenito reći “graf” umjesto “skica grafikona”.

Koristeći graf, možete pronaći vrijednost funkcije u tački. Naime, ako je tačka x = a pripada domenu definicije funkcije y = f(x), zatim da pronađete broj f(a)(tj. vrijednosti funkcije u tački x = a) trebalo bi da uradite ovo. Potrebno je kroz tačku apscise x = a nacrtati pravu liniju paralelno sa osom ordinate; ova linija će presijecati graf funkcije y = f(x) u jednom trenutku; ordinata ove tačke će, na osnovu definicije grafa, biti jednaka f(a)(Sl. 47).

Na primjer, za funkciju f(x) = x 2 - 2x koristeći graf (slika 46) nalazimo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, itd.

Grafikon funkcije jasno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Na primjer, iz razmatranja Sl. 46 jasno je da je funkcija y = x 2 - 2x uzima pozitivne vrijednosti kada X< 0 i na x > 2, negativan - na 0< x < 2; najmanju vrijednost funkcija y = x 2 - 2x prihvata na x = 1.

Za grafički prikaz funkcije f(x) morate pronaći sve tačke ravnine, koordinate X,at koji zadovoljavaju jednačinu y = f(x). U većini slučajeva to je nemoguće učiniti, jer postoji beskonačan broj takvih tačaka. Stoga je graf funkcije prikazan približno - sa većom ili manjom tačnošću. Najjednostavniji je način iscrtavanja grafa pomoću nekoliko tačaka. Sastoji se u činjenici da argument X dajte konačan broj vrijednosti - recimo, x 1, x 2, x 3,..., x k i kreirajte tabelu koja uključuje odabrane vrijednosti funkcije.

Tabela izgleda ovako:

Nakon što smo sastavili takvu tablicu, možemo ocrtati nekoliko tačaka na grafu funkcije y = f(x). Zatim, povezujući ove tačke glatkom linijom, dobijamo približan prikaz grafa funkcije y = f(x).

Međutim, treba napomenuti da je metoda crtanja u više tačaka vrlo nepouzdana. U stvari, ponašanje grafa između predviđenih tačaka i njegovo ponašanje izvan segmenta između uzetih ekstremnih tačaka ostaje nepoznato.

Primjer 1. Za grafički prikaz funkcije y = f(x) neko je sastavio tabelu vrednosti argumenata i funkcija:

Odgovarajućih pet tačaka prikazano je na Sl. 48.

Na osnovu položaja ovih tačaka, zaključio je da je graf funkcije prava linija (prikazana na slici 48 isprekidanom linijom). Može li se ovaj zaključak smatrati pouzdanim? Osim ako ne postoje dodatna razmatranja koja potkrepljuju ovaj zaključak, teško da se može smatrati pouzdanim. pouzdan.

Da bismo potkrijepili našu tvrdnju, razmotrimo funkciju

.

Proračuni pokazuju da su vrijednosti ove funkcije u tačkama -2, -1, 0, 1, 2 tačno opisane gornjom tablicom. Međutim, grafik ove funkcije uopće nije prava linija (prikazano je na slici 49). Drugi primjer bi bila funkcija y = x + l + sinπx; njegova značenja su takođe opisana u gornjoj tabeli.

Ovi primjeri pokazuju da je u svom „čistom“ obliku metoda iscrtavanja grafa pomoću nekoliko tačaka nepouzdana. Stoga, da bi se nacrtao graf date funkcije, obično se postupa na sljedeći način. Prvo proučavamo svojstva ove funkcije, uz pomoć kojih možemo izgraditi skicu grafa. Zatim se izračunavanjem vrijednosti funkcije u nekoliko tačaka (čiji izbor ovisi o utvrđenim svojstvima funkcije) pronalaze odgovarajuće točke grafa. I na kraju, kriva se crta kroz konstruisane tačke koristeći svojstva ove funkcije.

Kasnije ćemo pogledati neka (najjednostavnija i najčešće korištena) svojstva funkcija koje se koriste za pronalaženje skice grafa, ali sada ćemo pogledati neke najčešće korištene metode za konstruiranje grafova.

Grafikon funkcije y = |f(x)|.

Često je potrebno iscrtati funkciju y = |f(x)|, gde f(x) - datu funkciju. Podsjetimo kako se to radi. Definiranjem apsolutne vrijednosti broja možemo pisati

To znači da je graf funkcije y =|f(x)| može se dobiti iz grafa, funkcija y = f(x) kako slijedi: sve tačke na grafu funkcije y = f(x), čije ordinate nisu negativne, treba ostaviti nepromijenjene; dalje, umjesto tačaka grafa funkcije y = f(x) imajući negativne koordinate, treba konstruisati odgovarajuće tačke na grafu funkcije y = -f(x)(tj. dio grafa funkcije
y = f(x), koja leži ispod ose X, treba da se reflektuje simetrično oko ose X).

Primjer 2. Grafikujte funkciju y = |x|.

Uzmimo graf funkcije y = x(Sl. 50, a) i dio ovog grafikona na X< 0 (leži ispod ose X) simetrično reflektovano u odnosu na osu X. Kao rezultat, dobijamo graf funkcije y = |x|(Sl. 50, b).

Primjer 3. Grafikujte funkciju y = |x 2 - 2x|.

Prvo, nacrtajmo funkciju y = x 2 - 2x. Graf ove funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf siječe x-osu u tačkama 0 i 2. U intervalu (0; 2) funkcija poprima negativne vrijednosti, pa se ovaj dio grafika simetrično reflektuje u odnosu na osu apscise. Slika 51 prikazuje graf funkcije y = |x 2 -2x|, na osnovu grafa funkcije y = x 2 - 2x

Grafikon funkcije y = f(x) + g(x)

Razmotrimo problem konstruisanja grafa funkcije y = f(x) + g(x). ako su dati grafovi funkcija y = f(x) I y = g(x).

Imajte na umu da je domen definicije funkcije y = |f(x) + g(x)| je skup svih onih vrijednosti x za koje su definirane obje funkcije y = f(x) i y = g(x), tj. ova domena definicije je sjecište domena definicije, funkcija f(x) i g(x).

Neka bodove (x 0 , y 1) I (x 0, y 2) pripadaju grafovima funkcija y = f(x) I y = g(x), tj. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Tada tačka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i bilo koja tačka na grafu funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti na ovaj način. Dakle, graf funkcije y = f(x) + g(x) može se dobiti iz grafova funkcija y = f(x). I y = g(x) zamjena svake tačke ( x n, y 1) funkcionalna grafika y = f(x) dot (x n, y 1 + y 2), Gdje y 2 = g(x n), tj. pomicanjem svake tačke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) duž ose at po iznosu y 1 = g(x n). U ovom slučaju se razmatraju samo takve tačke X n za koji su definirane obje funkcije y = f(x) I y = g(x).

Ova metoda crtanja funkcije y = f(x) + g(x) naziva se dodavanjem grafova funkcija y = f(x) I y = g(x)

Primjer 4. Na slici je graf funkcije konstruiran metodom sabiranja grafova
y = x + sinx.

Prilikom crtanja funkcije y = x + sinx mislili smo to f(x) = x, A g(x) = sinx. Za crtanje grafa funkcije biramo tačke sa apscisama -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrijednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Izračunajmo na odabranim tačkama i stavimo rezultate u tabelu.

Eksponent je označen kao , ili .

Broj e

Osnova stepena eksponenta je broj e. Ovo iracionalan broj. To je približno jednako
e ≈ 2,718281828459045...

Broj e je određen kroz granicu niza. Ovo je tzv druga divna granica:
.

Broj e se također može predstaviti kao niz:
.

Eksponencijalni graf

Grafikon prikazuje eksponent e do stepena X.
y (x) = e x
Grafikon pokazuje da eksponent monotono raste.

Formule

Osnovne formule su iste kao i za eksponencijalnu funkciju sa bazom stepena e.

;
;
;

Izraz eksponencijalne funkcije sa proizvoljnom bazom stepena a kroz eksponencijal:
.

Privatne vrijednosti

Neka y (x) = e x.
.

Onda

Svojstva eksponenta e > 1 .

Eksponent ima svojstva eksponencijalne funkcije sa osnovom stepena

Domen, skup vrijednosti (x) = e x Eksponent y
definisano za sve x.
- ∞ < x + ∞ .
Njegov domen definicije:
0 < y < + ∞ .

Njegova mnoga značenja:

Ekstremi, povećanje, smanjenje

Eksponencijal je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.

Inverzna funkcija
;
.

Inverzna vrijednost eksponenta je prirodni logaritam.

Derivat eksponenta e do stepena X Derivat e do stepena X :
.
jednako
.
Derivat n-tog reda:

Izvođenje formula > > >

Integral

Kompleksni brojevi Akcije sa kompleksni brojevi sprovedeno korišćenjem:
,
Ojlerove formule
.

Izrazi kroz hiperboličke funkcije

; ;
.

Izrazi koji koriste trigonometrijske funkcije

; ;
;
.

Proširenje serije snaga

Korištena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Funkcijski graf je vizualni prikaz ponašanja funkcije na koordinatnoj ravni. Grafovi vam pomažu da shvatite različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete graditi grafove mnogih funkcija, a svakoj od njih će biti data određena formula. Grafikon bilo koje funkcije se gradi pomoću specifičnog algoritma (ako ste zaboravili tačan proces grafiranja određene funkcije).

Koraci

Grafički prikaz linearne funkcije

Odredite da li je funkcija linearna. Linearna funkcija je data formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je prava linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez eksponenata, znakova korijena i slično. Ako je data funkcija sličnog tipa, vrlo je jednostavno nacrtati graf takve funkcije. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Koristite konstantu da označite tačku na Y osi. Konstanta (b) je “y” koordinata tačke u kojoj graf seče Y osu, to jest, to je tačka čija je “x” koordinata jednaka 0. Dakle, ako je x = 0 zamenjeno u formulu. , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je jednaka 5, odnosno tačka preseka sa Y osom ima koordinate (0,5). Iscrtajte ovu tačku na koordinatnoj ravni.

Nađi nagib direktno. Jednaka je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) kod varijable “x” postoji faktor 2; dakle, koeficijent nagiba je jednak 2. Koeficijent nagiba određuje ugao nagiba prave linije prema X osi, odnosno što je veći koeficijent nagiba, funkcija se brže povećava ili smanjuje.

Zapišite nagib kao razlomak. Ugaoni koeficijent jednak je tangentu ugla nagiba, odnosno omjeru vertikalne udaljenosti (između dvije tačke na pravoj liniji) i horizontalne udaljenosti (između istih tačaka). U našem primjeru, nagib je 2, tako da možemo reći da je vertikalna udaljenost 2, a horizontalna 1. Napišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ako je nagib negativan, funkcija se smanjuje.

1. Od tačke u kojoj prava linija seče Y osu, nacrtajte drugu tačku koristeći vertikalne i horizontalne udaljenosti.

   Linearna funkcija se može prikazati pomoću dvije tačke. U našem primeru, tačka preseka sa Y osom ima koordinate (0,5); Od ove tačke, pomerite 2 razmaka gore, a zatim 1 prostor udesno. Označite tačku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati pravu liniju. Koristeći ravnalo, povucite pravu liniju kroz dvije tačke.

   Da biste izbjegli greške, pronađite treću tačku, ali u većini slučajeva graf se može nacrtati koristeći dvije točke. Dakle, nacrtali ste linearnu funkciju.

   1. Iscrtavanje tačaka na koordinatnoj ravni Definirajte funkciju.

      Funkcija je označena kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivaju se domenom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivaju se domenom funkcije. Na primjer, razmotrite funkciju y = x+2, odnosno f(x) = x+2. Nacrtajte dvije okomite linije koje se seku.

      Horizontalna linija je osa X. Vertikalna linija je osa Y. Označite koordinatne ose. Podijelite svaku osu na jednake segmente i numerirajte ih. Točka presjeka osi je 0. Za os X: desno (od 0) su ucrtani pozitivni brojevi

      , a na lijevoj strani su negativne. Za Y osu: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu. Pronađite vrijednosti "y" iz vrijednosti "x".

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. U našem primjeru, f(x) = x+2. Zamijenite određene vrijednosti x u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće y vrijednosti. Ako je data složena funkcija, pojednostavite je izolacijom "y" na jednoj strani jednačine. Iscrtajte tačke na koordinatnoj ravni.

      Za svaki par koordinata uradite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na osi X i nacrtajte vertikalnu liniju (isprekidanu); pronađite odgovarajuću vrijednost na Y osi i nacrtajte horizontalnu liniju (isprekidana linija). Označite presek dve isprekidane linije; dakle, ucrtali ste tačku na graf. Obrišite isprekidane linije.

   Uradite to nakon što nacrtate sve tačke na grafikonu na koordinatnoj ravni. Napomena: grafik funkcije f(x) = x je prava linija koja prolazi kroz koordinatni centar [tačka sa koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je prava paralelna pravoj f(x) = x, ali pomaknuta nagore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz tačku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .

   Grafički prikaz složene funkcije Nule funkcije su vrijednosti varijable x gdje je y = 0, to jest, to su točke u kojima graf siječe X-os. Imajte na umu da sve funkcije nemaju nule, ali su prve korak u procesu grafiranja bilo koje funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, izjednačite je sa nulom. na primjer:

   Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je linija kojoj se graf funkcije približava, ali se nikada ne siječe (to jest, u ovom području funkcija nije definirana, na primjer, kada se dijeli sa 0). Označite asimptotu isprekidanom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (na primjer, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), postavite imenilac na nulu i pronađite “x”. U dobijenim vrijednostima varijable “x” funkcija nije definirana (u našem primjeru nacrtajte isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete dijeliti sa 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporučuje korištenje zdravog razuma: